← 练习目录 竞赛数学 · 六年级 第23讲《概率初步》举一反三练习卷
详细解题思路 + 规范步骤 + 三套填空变式（换数字 / 换场景 / 增加知识点）· 答案见文末附录
1. 【原题 ch23-chaoyue-01】阿呆与阿瓜比赛下军旗，两人水平相当。两人约定赛 $7$ 局，先赢 $4$ 局者胜。现在已经比了 $3$ 局，阿呆胜了 $2$ 局，阿瓜胜了 $1$ 局。请问：阿呆获得最后胜利的概率有多少？
详细思路 是哪类问题： 这是「比赛胜率（赌徒分金）」类：阿呆只需在后面 $\le4$ 局中再胜 $2$ 局。把后面 $4$ 局全打完，阿呆最终胜 = 这 $4$ 局中胜 $\ge2$ 局。
关键切入点： 每局各 $\frac{1}{2}$。$4$ 局中胜 $\ge2$ 局的概率 $=\frac{\mathrm{C}_4^2+\mathrm{C}_4^3+\mathrm{C}_4^4}{2^4}=\frac{6+4+1}{16}=\frac{11}{16}$。
方法概述： 补足 4 局，算胜 ≥2 局的概率。
规范步骤： 还需胜 2 局，补足 4 局：\text{胜 }\ge2\text{ 局即最终获胜}（赛况归约） 组合计数：$\mathrm{C}_4^2+\mathrm{C}_4^3+\mathrm{C}_4^4=6+4+1=11$（组合相加） 求概率：$\frac{11}{16}$（古典概型） 写出答案：$\frac{11}{16}$ 第一套 题目： 两人水平相当，约定先赢 $5$ 局者胜。现已比 $4$ 局，阿呆胜 $2$ 局、阿瓜胜 $2$ 局。阿呆最终获胜的概率是多少？
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（还需胜几局）：阿呆还需 $5-2=\underline{\quad}$ 局，阿瓜也需 $3$ 局，最多再赛 $3+3-1=5$ 局，补足 $5$ 局。 第 2 步（阿呆胜≥3 局）：$\mathrm{C}_5^3+\mathrm{C}_5^4+\mathrm{C}_5^5=10+5+1=\underline{\quad}$。 第 3 步（求概率）：$\frac{16}{32}=\underline{\quad}$。 第二套 题目： 两支乒乓球队实力相当，采用先胜 $4$ 场制。目前已赛 $3$ 场，红队胜 $2$ 场、蓝队胜 $1$ 场。红队最终夺冠的概率是多少？
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（还需胜几场）：红队还需 $4-2=\underline{\quad}$ 场，补足 $4$ 场。 第 2 步（红队胜≥2 场）：$\mathrm{C}_4^2+\mathrm{C}_4^3+\mathrm{C}_4^4=6+4+1=\underline{\quad}$。 第 3 步（求概率）：$\frac{11}{16}=\underline{\quad}$。 第三套 题目： 两人水平相当，先赢 $4$ 局者胜。已比 $3$ 局，阿呆胜 $3$ 局、阿瓜胜 $0$ 局。阿呆最终获胜的概率是多少？
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（还需胜几局）：阿呆还需 $4-3=\underline{\quad}$ 局，只要再赢 $1$ 局即可；阿瓜还需 $4$ 局。 第 2 步（对立面·阿呆最终输）：阿呆一旦赢一局就夺冠，故阿呆最终输当且仅当接下来阿瓜连赢 $4$ 局，概率 $\left(\frac{1}{2}\right)^4=\underline{\quad}$。 第 3 步（对立事件求补）：阿呆获胜 $=1-\frac{1}{16}=\underline{\quad}$。 第三套 题目： 甲、乙下棋，每局甲胜的概率为 $\frac{2}{3}$、乙胜的概率为 $\frac{1}{3}$（不会和棋）。约定先胜 $3$ 局者胜，现甲已胜 $2$ 局、乙胜 $1$ 局。甲最终获胜的概率是多少？
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（甲只差 1 局）：甲再胜 $1$ 局即获胜；否则要看后续。 第 2 步（对立面·甲最终输）：甲输当且仅当接下来乙连胜 $2$ 局，概率 $\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}=\underline{\quad}$。 第 3 步（对立事件求补）：甲获胜 $=1-\frac{1}{9}=\underline{\quad}$。
2. 【原题 ch23-chaoyue-02】六年级三班有 $40$ 名学生。这 $40$ 名同学中有 $2$ 人（含多人）的生日相同的概率，和这 $40$ 人生日都不相同的概率比较，哪个大？
详细思路 是哪类问题： 这是「生日问题（放缩比较）」类：写出“ $40$ 人生日都不同”的连乘概率 $p$，通过配对放缩证明 $p<\frac{1}{2}$，从而对立事件“有 $2$ 人及以上同生日”更大。
关键切入点： $p=1\times\frac{364}{365}\times\cdots\times\frac{326}{365}$，两两配对放缩得 $p<\left(\frac{69}{73}\right)^{20}<\frac{1}{2}$，故 $1-p>\frac{1}{2}>p$。此结论依赖不等式放缩，无法用 ev 纯算术唯一验证。
方法概述： 写出“都不同”的连乘式，放缩证明其小于 1/2。
规范步骤： 都不同的概率：$p=\frac{365\times364\times\cdots\times326}{365^{40}}$（分步乘法） 配对放缩：$p<\left(\frac{69}{73}\right)^{20}<\frac{1}{2}$（不等式放缩） 对立比较：$1-p>\frac{1}{2}>p$（对立事件） 写出答案：\text{有 }2\text{ 人及以上同生日的概率大}
3. 【原题 ch23-chaoyue-03】甲、乙、丙、丁四人玩扑克，发牌以后每人拿到 $13$ 张牌（整副牌共 $52$ 张）。结果甲、乙两人共拿了 $11$ 张黑桃。请问：丙、丁两人恰好每人拿到 $1$ 张黑桃的概率是多少？有一人拿到 $2$ 张黑桃、另一人没有拿到黑桃的概率又是多少？
详细思路 是哪类问题： 这是「发牌花色分布」类：$13$ 张黑桃里甲乙已拿 $11$ 张，剩 $2$ 张落在丙丁的 $26$ 张牌中，用组合数比值（超几何）计算。
关键切入点： 丙、丁 $26$ 张牌分配数 $\mathrm{C}_{26}^{13}$。(1) 各 $1$ 张黑桃：$\frac{\mathrm{C}_2^1\mathrm{C}_{24}^{12}}{\mathrm{C}_{26}^{13}}=\frac{2\times2704156}{10400600}=\frac{13}{25}=0.52$；(2) 一人 $2$ 张一人 $0$：$\frac{\mathrm{C}_2^1\mathrm{C}_{24}^{11}}{\mathrm{C}_{26}^{13}}=\frac{2\times2496144}{10400600}=\frac{12}{25}=0.48$。
方法概述： 剩余黑桃在 26 张中用超几何组合比值算。
规范步骤： 剩余黑桃数：$13-11=2$（计数） 各 1 张：$\frac{2\times2704156}{10400600}=0.52$（超几何） 一人 2 一人 0：$\frac{2\times2496144}{10400600}=0.48$（超几何） 写出答案：$0.52,\ 0.48$ 第一套 题目： 甲、乙、丙、丁四人各 $13$ 张牌。甲、乙两人共拿了 $10$ 张黑桃，于是还剩 $3$ 张黑桃在丙、丁手中。（1）丙、丁两人每人都拿到黑桃（即 $1$-$2$ 或 $2$-$1$ 分配）的概率是多少？（2）某一人独得这 $3$ 张黑桃的概率是多少？（$\mathrm{C}_{26}^{13}=10400600$，$\mathrm{C}_{23}^{12}=1352078$，$\mathrm{C}_{23}^{13}=1144066$）
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（剩余黑桃数）：$13-10=\underline{\quad}$。 第 2 步（每人都有：丙 1 丁 2 或丙 2 丁 1）：$\frac{2\times\mathrm{C}_3^1\times\mathrm{C}_{23}^{12}}{\mathrm{C}_{26}^{13}}=\frac{2\times3\times1352078}{10400600}=\underline{\quad}$。 第 3 步（某人独得 3 张：丙 3 丁 0 或丙 0 丁 3）：$\frac{2\times\mathrm{C}_{23}^{13}}{\mathrm{C}_{26}^{13}}=\frac{2\times1144066}{10400600}=\underline{\quad}$。 第二套 题目： 四位选手各摸 $13$ 张卡，共 $52$ 张中有 $13$ 张金卡。前两位选手共摸走 $11$ 张金卡，剩 $2$ 张金卡在后两位选手的 $26$ 张卡中。（1）后两位各摸到 $1$ 张金卡的概率；（2）某一位摸到 $2$ 张、另一位没摸到的概率。（$\mathrm{C}_{26}^{13}=10400600$，$\mathrm{C}_{24}^{12}=2704156$，$\mathrm{C}_{24}^{11}=2496144$）
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（剩余金卡数）：$13-11=\underline{\quad}$。 第 2 步（各 1 张）：$\frac{2\times2704156}{10400600}=\underline{\quad}$。 第 3 步（一人 2 一人 0）：$\frac{2\times2496144}{10400600}=\underline{\quad}$。 第三套 题目： 接原题（剩 $2$ 张黑桃在丙、丁 $26$ 张牌中）：丙、丁并非每人恰好 $1$ 张黑桃的概率是多少？（$\mathrm{C}_{26}^{13}=10400600$，$\mathrm{C}_{24}^{12}=2704156$）
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（各 1 张的概率）：$\frac{2\times2704156}{10400600}=\underline{\quad}$。 第 2 步（对立事件求补）：并非各 1 张 $=1-0.52=\underline{\quad}$。 第三套 题目： 接原题（剩 $2$ 张黑桃在丙、丁 $26$ 张牌中）：指定的丙恰好拿到 $2$ 张黑桃（丁一张也没有）的概率是多少？（$\mathrm{C}_{26}^{13}=10400600$，$\mathrm{C}_{24}^{11}=2496144$）
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（丙拿 2 张黑桃 + 11 张非黑桃）：有利数 $\mathrm{C}_2^2\times\mathrm{C}_{24}^{11}=1\times2496144=\underline{\quad}$。 第 2 步（求概率）：$\frac{2496144}{10400600}=\underline{\quad}$。
4. 【原题 ch23-chaoyue-04】用血清甲胎蛋白法诊断肝癌：如果患者患有肝癌，那么诊断出肝癌的概率为 $0.95$；如果患者没有患肝癌，那么诊断出不是肝癌的概率为 $0.9$。假设人群中肝癌的患病率为 $0.0004$。现在李强在体检中被诊断为患有肝癌，请问：他实际患有肝癌的概率是多少？（结果保留 $3$ 位小数）
详细思路 是哪类问题： 这是「医学检验后验概率」类：所求 = 真患且检出 ÷ 被检出，分母用全概率展开。
关键切入点： 被检出 $=0.0004\times0.95+0.9996\times0.1\approx0.10034$；真患且检出 $=0.0004\times0.95=0.00038$；后验 $\frac{0.00038}{0.10034}\approx0.004$。
方法概述： 分子真患且检出，分母全概率展开。
规范步骤： 误诊率：$1-0.9=0.1$（对立事件） 被检出（全概率）：$0.0004\times0.95+0.9996\times0.1\approx0.10034$（全概率） 后验概率：$\frac{0.00038}{0.10034}\approx0.004$（贝叶斯） 写出答案：\approx0.004 第一套 题目： 某病患病率为 $0.001$。若患病，检出阳性概率 $0.98$；若未患病，检出阴性概率 $0.95$（即误报阳性 $0.05$）。某人检出阳性，他真患病的概率是多少？（结果保留 $3$ 位小数）
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（真患且阳性）：$0.001\times0.98=\underline{\quad}$。 第 2 步（未患但误报阳性）：$0.999\times0.05=\underline{\quad}$。 第 3 步（阳性总概率，全概率）：$0.00098+0.04995=\underline{\quad}$。 第 4 步（后验概率）：$\frac{0.00098}{0.05093}=\underline{\quad}$。 第二套 题目： 某型号零件的次品率为 $0.0004$。检测仪对次品报警的概率为 $0.95$，对正品误报警的概率为 $0.1$。现某零件被报警，它真是次品的概率是多少？（保留 $3$ 位小数）
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（真次品且报警）：$0.0004\times0.95=\underline{\quad}$。 第 2 步（正品误报警）：$0.9996\times0.1=\underline{\quad}$。 第 3 步（报警总概率）：$0.00038+0.09996=\underline{\quad}$。 第 4 步（后验概率）：$\frac{0.00038}{0.10034}=\underline{\quad}$。 第三套 题目： 沿用原题（患病率 $0.0004$，患病检出概率 $0.95$，未患病检出阴性概率 $0.9$）。某人检出阴性，他其实患病（被漏诊）的概率是多少？（保留 $4$ 位小数）
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（真患但检出阴性）：$0.0004\times(1-0.95)=0.0004\times0.05=\underline{\quad}$。 第 2 步（阴性总概率）：$0.0004\times0.05+0.9996\times0.9=\underline{\quad}$。 第 3 步（后验概率）：$\frac{0.00002}{0.89966}=\underline{\quad}$。 第三套 题目： 沿用原题设定（患病率 $0.0004$，患病者每次检出阳性概率 $0.95$、相互独立，未患病者每次误检阳性概率 $0.1$、相互独立）。某人独立检测两次都为阳性，他真患病的概率是多少？（保留 $3$ 位小数）
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（真患且两次都阳性）：$0.0004\times0.95\times0.95=\underline{\quad}$。 第 2 步（未患但两次都误报）：$0.9996\times0.1\times0.1=\underline{\quad}$。 第 3 步（两次都阳性总概率）：$0.000361+0.009996=\underline{\quad}$。 第 4 步（后验概率）：$\frac{0.000361}{0.010357}=\underline{\quad}$。
5. 【原题 ch23-chaoyue-05】如图 23-2，这是一张街道图，每一小段路的长度都是 $500$ 米，阿瓜从 $A$ 点出发，任选一条最短路线走到 $B$ 点，阿呆从 $B$ 点出发，任选一条最短路线走到 $A$ 点，已知阿瓜每分钟走 $18$ 米，阿呆每分钟走 $24$ 米，两人同时出发，他们在途中相遇的概率是多少？
详细思路 是哪类问题： 这是「网格路径相遇概率」类：由两人速度比定出相遇点，分别数两人到相遇点的最短路径数，按各相遇点概率相加。
关键切入点： 全程 $7$ 段，速度比 $18:24=3:4$，相遇时阿瓜走 $3$ 段、阿呆走 $4$ 段，落在某交叉点。各相遇点两侧路径数相乘再平方求和：$\frac{1^2+12^2+18^2+4^2}{35^2}=\frac{485}{1225}=\frac{97}{245}$。路径条数由图 23-2 的街道结构决定。
方法概述： 由速度比定相遇点，数各点路径并按概率相加。
规范步骤： 相遇点位置：$3500\times\frac{18}{42}=1500$ 米（走 3 段）（相遇问题） 各相遇点路径：$1,12,18,4$（共 $35$ 条）（格点路径计数） 概率相加：$\frac{1+144+324+16}{1225}=\frac{97}{245}$（概率相加） 写出答案：$\frac{97}{245}$
6. 【原题 ch23-chaoyue-06】假设一般人群中戴眼镜的概率为 $50\%$。某男子练射击，在有戴眼镜的情况命中率为 $20\%$，没戴眼镜则命中率为 $0\%$。其在连续 $5$ 次后都未命中目标，求其戴了眼镜的概率。
详细思路 是哪类问题： 这是「已知结果反推条件」类（贝叶斯）：所求 = 戴镜且全未中 ÷ 全未中，分母用全概率展开。
关键切入点： 戴镜（$\frac{1}{2}$）时未中 $\left(\frac{4}{5}\right)^5$、不戴镜（$\frac{1}{2}$）时必未中（命中率 $0$）。全未中 $=\left[1+\left(\frac{4}{5}\right)^5\right]\times\frac{1}{2}$；戴镜且全未中 $=\left(\frac{4}{5}\right)^5\times\frac{1}{2}$；后验 $\frac{(4/5)^5}{1+(4/5)^5}=\frac{1024}{1024+3125}=\frac{1024}{4149}$。
方法概述： 分子戴镜且全未中，分母全未中（全概率）。
规范步骤： 戴镜全未中：$\left(\frac{4}{5}\right)^5=\frac{1024}{3125}$（独立乘法） 全未中（全概率）：$\left[1+\frac{1024}{3125}\right]\times\frac{1}{2}$（全概率） 后验概率：$\frac{1024}{1024+3125}=\frac{1024}{4149}$（贝叶斯） 写出答案：$\frac{1024}{4149}$ 第一套 题目： 人群中戴眼镜的概率为 $\frac{1}{2}$。戴眼镜时命中率 $\frac{1}{4}$，不戴时命中率 $0$。某人连续 $3$ 次都未命中，求他戴眼镜的概率。
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（戴镜且 3 次全未中）：$\left(\frac{3}{4}\right)^3=\frac{3\times3\times3}{4\times4\times4}=\underline{\quad}$。 第 2 步（不戴镜必未中）：概率为 $1$（命中率 $0$）。 第 3 步（全未中，全概率）：$\frac{27}{64}\times\frac{1}{2}+1\times\frac{1}{2}=\underline{\quad}$。 第 4 步（后验概率）：$\dfrac{\frac{27}{64}\times\frac{1}{2}}{\frac{91}{128}}=\frac{27}{91}=\underline{\quad}$。 第二套 题目： 某流水线一半产品来自 $A$ 机、一半来自 $B$ 机。$A$ 机产品有 $\frac{1}{4}$ 概率带某标记，$B$ 机产品从不带该标记。连查 $3$ 件同批产品都没有该标记，求这批来自 $A$ 机的概率。
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（$A$ 机且 3 件都无标记）：$\left(\frac{3}{4}\right)^3=\underline{\quad}$。 第 2 步（$B$ 机必无标记）：概率 $1$。 第 3 步（都无标记，全概率）：$\frac{27}{64}\times\frac{1}{2}+1\times\frac{1}{2}=\underline{\quad}$。 第 4 步（后验概率）：$\frac{27}{91}=\underline{\quad}$。 第三套 题目： 沿用原题（戴镜概率 $\frac{1}{2}$，戴镜命中率 $\frac{1}{5}$，不戴命中率 $0$），某人连续 $5$ 次都未命中。求他没戴眼镜的概率。
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（戴镜全未中）：$\left(\frac{4}{5}\right)^5=\frac{1024}{3125}=\underline{\quad}$。 第 2 步（戴镜的后验概率）：$\frac{1024}{1024+3125}=\underline{\quad}$。 第 3 步（对立事件求补）：没戴镜 $=1-\frac{1024}{4149}=\underline{\quad}$。 第三套 题目： 人群中戴镜概率 $\frac{1}{2}$。戴镜时命中率 $\frac{1}{5}$，不戴时命中率 $\frac{1}{10}$。某人射 $1$ 次未命中，求他戴眼镜的概率。
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（戴镜且未中）：$\frac{1}{2}\times\frac{4}{5}=\underline{\quad}$。 第 2 步（不戴且未中）：$\frac{1}{2}\times\frac{9}{10}=\underline{\quad}$。 第 3 步（未中总概率，全概率）：$\frac{2}{5}+\frac{9}{20}=\underline{\quad}$。 第 4 步（后验概率）：$\dfrac{\frac{2}{5}}{\frac{17}{20}}=\underline{\quad}$。
7. 【原题 ch23-chaoyue-07】如图 23-3，格线表示了允许小球滑落的通道。每一个小球在交点处有 $\frac{2}{3}$ 的可能向左滑落、有 $\frac{1}{3}$ 的可能向右滑落。如果从 $A$ 点放一个小球让其落下，那么小球最终落到 $B$ 点的概率有多少？
详细思路 是哪类问题： 这是「非对称滑道路径概率」类：每个交点向左 $\frac{2}{3}$、向右 $\frac{1}{3}$，落到 $B$ 需向左 $3$ 次向右 $2$ 次，单条路径概率 $\left(\frac{2}{3}\right)^3\left(\frac{1}{3}\right)^2=\frac{8}{243}$；由图中通道所限能到 $B$ 的路径恰 $5$ 条，故概率 $5\times\frac{8}{243}=\frac{40}{243}$。
关键切入点： 能到 $B$ 的路径条数由图 23-3 的平行四边形格阵决定（非任意 $3$ 左 $2$ 右排列都可达），需对照图形逐层递推，无法用 ev 唯一确定条数。
方法概述： 单条路径概率×可达路径条数（条数看图形）。
规范步骤： 单条路径概率：$\left(\frac{2}{3}\right)^3\left(\frac{1}{3}\right)^2=\frac{8}{243}$（独立乘法） 可达路径条数：$5$（由图形通道决定）（路径计数） 求概率：$5\times\frac{8}{243}=\frac{40}{243}$（概率相加） 写出答案：$\frac{40}{243}$
8. 【原题 ch23-chaoyue-08】飞机上有 $100$ 个座位，按顺序从 $1$ 到 $100$ 号编号，乘客也按 $1$ 号到 $100$ 号的座位，这些乘客会按号码顺序登机并应当对号入座，如果他们发现对应号座位被别人坐了，就会在剩下空的座位随便挑一个坐。现在假设 $1$ 号乘客疯了（其他人没疯），他会在 $100$ 个座位中随便选一个座位坐下。请问：第 $100$ 人正确坐到自己座位的概率是多少？
详细思路 是哪类问题： 这是「座位对称性（丢失登机牌）」类：从小规模归纳出 $p_n=\frac{1}{2}$，用第 $1$ 号与第 $100$ 号座位的对称性说明结果。
关键切入点： 记 $p_n$ 为 $n$ 名乘客时最后一人坐对的概率。$p_2=\frac{1}{2}$；$p_3=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$；一般地第 $1$ 号与第 $n$ 号座位地位对称，故 $p_n=\frac{1}{2}$。
方法概述： 由对称性/递推得 $p_n=\frac{1}{2}$。
规范步骤： n=2：$p_2=\frac{1}{2}$（枚举） n=3：$p_3=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$（递推） 对称性：1 号与 100 号座位对称 → $p_{100}=\frac{1}{2}$（对称性分析） 写出答案：$\frac{1}{2}$ 第一套 题目： 飞机上有 $200$ 个座位、$200$ 名乘客对号入座。第 $1$ 名乘客疯了随便坐，其余人对号、被占则随便找空位。第 $200$ 名乘客坐到自己座位的概率是多少？
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（小规模找规律）：$2$ 人时 $p_2=\frac{1}{2}$；$3$ 人时 $p_3=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}=\underline{\quad}$。 第 2 步（对称性）：第 $1$ 号与第 $200$ 号座位地位对称，被打乱者最终“坐 $1$ 号”与“坐 $200$ 号”两事件概率相等，故 $p_{200}=\underline{\quad}$。 第二套 题目： 剧院有 $100$ 个对号座。第 $1$ 位观众弄丢票根随便坐，后面每位有座就坐、没座就另找空位。第 $100$ 位观众坐到自己座位的概率是多少？
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（小规模）：$2$ 人 $p_2=\frac{1}{2}$；$3$ 人 $p_3=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}=\underline{\quad}$。 第 2 步（对称性）：第 $1$ 号与第 $100$ 号座位对称，$p_{100}=\underline{\quad}$。 第三套 题目： 用同样的“第 $1$ 人乱坐、其余对号”规则，验证 $4$ 名乘客时最后一人坐对的概率。
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（递推式）：$p_4=\frac{1}{4}\times1+\frac{1}{4}\times p_3+\frac{1}{4}\times p_2$，其中疯子坐 $4$ 号则最后一人必坐错（贡献 $0$）。 第 2 步（代入 $p_3=p_2=\frac{1}{2}$）：$\frac{1}{4}\times1+\frac{1}{4}\times\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\times\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\times0=\underline{\quad}$。 第三套 题目： $100$ 名乘客、第 $1$ 人乱坐、其余对号入座。求第 $99$ 号乘客坐到自己座位的概率。
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（关键对称）：轮到第 $99$ 人时，只有 $1$ 号座、$99$ 号座、$100$ 号座这几种“未定”座位与他相关，第 $99$ 号座与第 $1$ 号座在此之前地位对称。 第 2 步（细化对称）：把 $2\sim98$ 号乘客的影响归约后，第 $99$ 号座被占的两种对称来源使其空着的概率为 $\frac{2}{3}$，故坐对概率 $=\frac{2}{3}=\underline{\quad}$。
9. 【原题 ch23-tuozhan-01】下面是育才小学六年级二班 $48$ 名同学的身高测量记录（单位：厘米）：$143.8,\ 149.8,\ 142.0,\ 146.9,\ 145.4,\ 145.4,\ 138.8,\ 153.1,\ 154.6,\ 140.0,\ 146.8,\ 142.6,\ 147.4,\ 141.6,\ 133.4,\ 144.7,\ 143.6,\ 137.6,\ 149.1,\ 144.9,\ 148.1,\ 145.9,\ 146.8,\ 140.9,\ 147.3,\ 149.0,\ 150.8,\ 137.2,\ 133.0,\ 145.0,\ 149.6,\ 142.2,\ 144.2,\ 140.9,\ 140.6,\ 149.6,\ 141.1,\ 143.2,\ 149.4,\ 138.2,\ 148.0,\ 149.6,\ 146.8,\ 141.4,\ 148.9,\ 153.1,\ 136.1,\ 146.4$。请根据上面数据，填出表 23-2（身高区间 $132\sim135$、$135\sim138$、$138\sim141$、$141\sim144$、$144\sim147$、$147\sim150$、$150\sim153$、$153\sim156$ 的人数及所占百分数），并根据此表画出扇形统计图。
详细思路 是哪类问题： 这是「数据分组统计 + 扇形统计图」类：把 $48$ 个身高数据按 $8$ 个区间分组计数，频数除以 $48$ 得百分数，再画扇形图。
关键切入点： 按 $[132,135),\dots,[153,156)$ 分组得频数 $2,3,6,9,12,12,1,3$（合计 $48$），各除以 $48$ 得百分数，圆心角 $=$ 百分数 $\times360^\circ$。
方法概述： 频数÷48=百分数；百分数×360°=圆心角。
规范步骤： 按区间数出频数：$2,3,6,9,12,12,1,3$（合计 $48$）（分组计数） 频数除以总数：如 $\frac{12}{48}=25\%$（频率计算） 画扇形图：$25\%\times360^\circ=90^\circ$ 等（扇形统计图） 写出答案：频数 $2,3,6,9,12,12,1,3$ 第一套 题目： 某班 $50$ 名同学的身高按 $5$ 个区间统计，频数依次为 $5,10,20,10,5$（合计 $50$）。求各区间所占百分数。
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（先验总数）：$5+10+20+10+5=\underline{\quad}$。 第 2 步（频数÷总数）：$\frac{5}{50}=\underline{\quad}$、$\frac{10}{50}=\underline{\quad}$、$\frac{20}{50}=\underline{\quad}$、$\frac{10}{50}=\underline{\quad}$、$\frac{5}{50}=\underline{\quad}$。 第二套 题目： 某超市统计 $50$ 位顾客的消费额，按 $5$ 个金额区间得人数 $5,10,20,10,5$（合计 $50$）。求各区间所占百分数。
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（先验总数）：$5+10+20+10+5=\underline{\quad}$。 第 2 步（频数÷总数）：$\frac{5}{50}=\underline{\quad}$、$\frac{10}{50}=\underline{\quad}$、$\frac{20}{50}=\underline{\quad}$、$\frac{10}{50}=\underline{\quad}$、$\frac{5}{50}=\underline{\quad}$。 第三套 题目： 某统计的 $5$ 个区间频数为 $5,10,20,10,5$（合计 $50$）。求画扇形图时各扇形的圆心角。
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（先求百分数）：如 $\frac{20}{50}=\underline{\quad}$。 第 2 步（百分数×360°）：$\frac{5}{50}\times360^\circ=\underline{\quad}$、$\frac{10}{50}\times360^\circ=\underline{\quad}$、$\frac{20}{50}\times360^\circ=\underline{\quad}$、$\frac{10}{50}\times360^\circ=\underline{\quad}$、$\frac{5}{50}\times360^\circ=\underline{\quad}$。 第三套 题目： 某统计的 $5$ 个区间频数为 $5,10,20,10,5$（合计 $50$）。（1）求前三个区间合计所占百分数；（2）求最大区间扇形的圆心角。
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（前三区间频数合计）：$5+10+20=\underline{\quad}$。 第 2 步（累计频率）：$\frac{35}{50}=\underline{\quad}$。 第 3 步（最大区间圆心角）：其百分数 $\frac{20}{50}=\underline{\quad}$，圆心角 $\frac{20}{50}\times360^\circ=\underline{\quad}$。
10. 【原题 ch23-tuozhan-02】口袋里装着 $100$ 张卡片，分别写有 $1,2,3,\cdots,100$。从中任意抽出一张，请问：（1）抽出的卡片上的数正好是 $37$ 的概率是多少？（2）抽出的卡片上的数是偶数的概率是多少？（3）抽出的卡片上的数是质数的概率是多少？（4）抽出的卡片上的数是 $101$ 的概率是多少？（5）抽出的卡片上的数小于 $200$ 的概率是多少？
详细思路 是哪类问题： 这是「抽卡片古典概型」类：$100$ 张等可能，事件概率 = 有利个数 ÷ $100$；不可能为 $0$、必然为 $1$。
关键切入点： $37$ 只有 $1$ 张 → $0.01$；偶数 $50$ 个 → $0.5$；$1\sim100$ 内质数 $25$ 个 → $0.25$；没有 $101$ → $0$；都小于 $200$ → $1$。
方法概述： 有利个数÷100；不可能 0、必然 1。
规范步骤： 抽到 37：$\frac{1}{100}=0.01$（古典概型） 偶数：$\frac{50}{100}=0.5$（计数） 质数：$\frac{25}{100}=0.25$（质数个数） 抽到 101 / 小于 200：$0$ 与 $1$（不可能与必然） 写出答案：$0.01,0.5,0.25,0,1$ 第一套 题目： 口袋里 $200$ 张卡片写 $1\sim200$，任抽一张。求：（1）抽到 $73$ 的概率；（2）抽到偶数的概率；（3）抽到 $201$ 的概率；（4）抽到小于 $500$ 的数的概率。
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（抽到 73）：$\frac{1}{200}=\underline{\quad}$。 第 2 步（偶数）：$1\sim200$ 中偶数 $100$ 个，$\frac{100}{200}=\underline{\quad}$。 第 3 步（抽到 201，不可能）：概率 $=\underline{\quad}$。 第 4 步（小于 500，必然）：概率 $=\underline{\quad}$。 第二套 题目： 抽奖箱里 $200$ 个号码球写 $1\sim200$，任摸一个。求：（1）摸到 $73$ 号的概率；（2）摸到偶数号的概率；（3）摸到 $201$ 号的概率；（4）摸到小于 $500$ 号的概率。
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（73 号）：$\frac{1}{200}=\underline{\quad}$。 第 2 步（偶数号）：$\frac{100}{200}=\underline{\quad}$。 第 3 步（201 号）：$=\underline{\quad}$。 第 4 步（小于 500 号）：$=\underline{\quad}$。 第三套 题目： 口袋里 $50$ 张卡片写 $1\sim50$，任抽一张。抽到质数的概率是多少？（$1\sim50$ 内质数为 $2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47$，共 $15$ 个）
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（数质数个数）：题给共 $\underline{\quad}$ 个质数。 第 2 步（求概率）：$\frac{15}{50}=\underline{\quad}$。 第三套 题目： 口袋里 $100$ 张卡片写 $1\sim100$，任抽一张。抽到的数是 $2$ 的倍数或 $3$ 的倍数的概率是多少？
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（$2$ 的倍数）：$100\div2=\underline{\quad}$ 个。 第 2 步（$3$ 的倍数）：$1\sim100$ 中有 $33$ 个。 第 3 步（$6$ 的倍数，重复部分）：$1\sim100$ 中有 $16$ 个。 第 4 步（容斥求个数）：$50+33-16=\underline{\quad}$。 第 5 步（求概率）：$\frac{67}{100}=\underline{\quad}$。
11. 【原题 ch23-tuozhan-03】从小明家门口的车站到学校，有 $101$ 路和 $641$ 路两种公交车可乘，它们都是每隔 $10$ 分钟开来一辆。小明到达车站后，只要看到 $101$ 路或 $641$ 路，马上就上车。据有人观测发现：总是 $101$ 路车过去以后 $4$ 分钟就来 $641$ 路车，而 $641$ 路车过去以后 $6$ 分钟才来 $101$ 路车。请问：小明乘坐哪路车的可能性更大？
详细思路 是哪类问题： 这是「几何概型（时间长度）」类：把到站时刻看成均匀分布，比较两路车各自“会被乘上”的等待时间长度。
关键切入点： $641$ 过后 $6$ 分钟来 $101$，故 $101$ 到来前 $6$ 分钟内到站的人乘 $101$；$101$ 过后 $4$ 分钟来 $641$，故只有这 $4$ 分钟到站的人乘 $641$。$6>4$，所以乘 $101$ 的可能性更大，为 $\frac{6}{10}$。
方法概述： 两段等待时间之比即概率，长者可能性大。
规范步骤： 乘 101 的时间窗：$6$ 分钟（几何概型） 乘 641 的时间窗：$4$ 分钟（几何概型） 比较（求概率）：$\frac{6}{6+4}=0.6>0.4$（长度比较） 写出答案：\text{乘 }101\text{ 路可能性更大} 第一套 题目： 两路公交都每隔 $12$ 分钟一辆。观测发现：$B$ 路过后 $7$ 分钟才来 $A$ 路，$A$ 路过后 $5$ 分钟就来 $B$ 路。乘客随机到站上先来的车，乘 $A$ 路的概率是多少？
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（乘 $A$ 路的时间窗）：$A$ 到来前的 $7$ 分钟内到站的人乘 $A$，窗长 $7$。 第 2 步（验证两窗之和）：$7+5=\underline{\quad}$，恰为间隔 $12$。 第 3 步（求概率）：$\frac{7}{12}=\underline{\quad}$。 第二套 题目： 某路口红绿灯每 $12$ 秒一个周期，绿灯 $7$ 秒、红灯 $5$ 秒。行人随机走到路口，正好遇到绿灯的概率是多少？
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（有利时间窗）：绿灯时长 $7$ 秒。 第 2 步（一个周期）：$7+5=\underline{\quad}$ 秒。 第 3 步（求概率）：$\frac{7}{12}=\underline{\quad}$。 第三套 题目： 在长 $10$ 厘米的木条上任意点一个点，这个点落在中间某长 $4$ 厘米线段上的概率是多少？
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（有利长度）：目标线段长 $4$ 厘米。 第 2 步（总长度）：木条长 $10$ 厘米。 第 3 步（求概率）：$\frac{4}{10}=\underline{\quad}$。 第三套 题目： 往一个边长 $10$ 分米的正方形靶上随机投一点，正中央有一个边长 $6$ 分米的正方形区域。投中该中央区域的概率是多少？
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（有利面积）：中央正方形 $6\times6=\underline{\quad}$ 平方分米。 第 2 步（总面积）：大正方形 $10\times10=\underline{\quad}$ 平方分米。 第 3 步（求概率）：$\frac{36}{100}=\underline{\quad}$。
12. 【原题 ch23-tuozhan-04】在标准英文字典中，由 $2$ 个不同字母组成的单词一共有 $55$ 个。如果从 $26$ 个字母中任取 $2$ 个不同的排列起来，那么恰好能排成一个单词的概率是多少？
详细思路 是哪类问题： 这是「排列型古典概型」类：从 $26$ 个字母有序取 $2$ 个，总数用排列 $\mathrm{A}_{26}^2$，有利数为字典中 $55$ 个单词。
关键切入点： $\mathrm{A}_{26}^2=26\times25=650$，有利 $55$，概率 $\frac{55}{650}=\frac{11}{130}$。
方法概述： 总数用 $\mathrm{A}_{26}^2$，除以有利数并约分。
规范步骤： 总排列数：$\mathrm{A}_{26}^2=26\times25=650$（排列计数） 有利数：$55$（已知） 求概率：$\frac{55}{650}=\frac{11}{130}$（古典概型） 写出答案：$\frac{11}{130}$ 第一套 题目： 从 $30$ 个符号中任取 $2$ 个不同的排列成一个代码，其中恰好是有效代码的共有 $87$ 个。任排一个恰好有效的概率是多少？
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（总排列数）：$\mathrm{A}_{30}^2=30\times29=\underline{\quad}$。 第 2 步（求概率）：$\frac{87}{870}=\underline{\quad}$。 第二套 题目： 从 $26$ 名运动员中任选 $2$ 人排成一、二号位（有先后），已知只有 $55$ 种排法是教练认可的搭配。随机排出恰好被认可的概率是多少？
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（总排法）：$\mathrm{A}_{26}^2=26\times25=\underline{\quad}$。 第 2 步（求概率）：$\frac{55}{650}=\underline{\quad}$。 第三套 题目： 从 $26$ 个字母中任取 $2$ 个（不计顺序），其中恰好能组成一对固定搭配的有 $30$ 对。任取一对恰好是固定搭配的概率是多少？
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（总组合数）：$\mathrm{C}_{26}^2=\frac{26\times25}{2}=\underline{\quad}$。 第 2 步（求概率）：$\frac{30}{325}=\underline{\quad}$。 第三套 题目： 从 $26$ 个字母中任取 $2$ 个不同的排列起来，其中能组成单词的有 $55$ 个。任排一个不能组成单词的概率是多少？
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（总排列数）：$\mathrm{A}_{26}^2=26\times25=\underline{\quad}$。 第 2 步（能成词概率）：$\frac{55}{650}=\underline{\quad}$。 第 3 步（对立事件求补）：不能成词 $=1-\frac{55}{650}=\underline{\quad}$。
13. 【原题 ch23-tuozhan-05】妈妈去家乐福购物，正好碰上了橘子、香蕉、葡萄和苹果在大降价，于是她决定从这 $4$ 种水果中任选一种买回家。爸爸下班时路过集贸市场，发现有苹果、橘子、香蕉、葡萄和梨在出售，他也决定任选一种买回家。请问：他们买了不同的水果的概率是多少？
详细思路 是哪类问题： 这是「乘法原理 + 对立事件」类：总选法用乘法，先求“选到相同”的情形数，再用 $1$ 减去其概率得“不同”。
关键切入点： 总数 $4\times5=20$；两人清单的共同水果为橘、香蕉、葡萄、苹果（苹果同时在妈妈与爸爸的清单里）共 $4$ 种，各 $1$ 种相同选法，相同 $4$ 种，不同 $\frac{20-4}{20}=\frac{16}{20}=\frac{4}{5}$。
方法概述： 总数乘出来，先算相同再求补；共同水果要含两边都出现的苹果。
规范步骤： 总选法：$4\times5=20$（乘法原理） 相同情形：$4$ 种（共同水果橘、香蕉、葡萄、苹果各一种）（分类计数） 求不同概率：$\frac{20-4}{20}=\frac{16}{20}=\frac{4}{5}$（对立事件） 写出答案：$\frac{4}{5}$ 第一套 题目： 妈妈从 $6$ 种水果中任选一种，爸爸从 $8$ 种水果中任选一种，两人可选的水果里有 $5$ 种是共同的。他们买了不同水果的概率是多少？
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（总选法）：$6\times8=\underline{\quad}$。 第 2 步（相同情形）：共同水果 $5$ 种，各 $1$ 种相同选法，共 $\underline{\quad}$ 种。 第 3 步（对立事件求补）：不同 $=\frac{48-5}{48}=\underline{\quad}$。 第二套 题目： 小高从 $6$ 门选修课中任选一门，小明从 $8$ 门选修课中任选一门，两人的可选课程里有 $5$ 门是共同开设的。他们选到不同课程的概率是多少？
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（总选法）：$6\times8=\underline{\quad}$。 第 2 步（相同情形）：共同课程 $5$ 门，共 $\underline{\quad}$ 种。 第 3 步（对立事件求补）：不同 $=\frac{48-5}{48}=\underline{\quad}$。 第三套 题目： 妈妈从 $4$ 种水果（橘、香蕉、葡萄、苹果）中任选一种，爸爸从 $5$ 种水果（苹果、橘、香蕉、葡萄、梨）中任选一种。他们买了相同水果的概率是多少？
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（总选法）：$4\times5=\underline{\quad}$。 第 2 步（相同情形）：共同水果橘、香蕉、葡萄、苹果（苹果两边都有）共 $\underline{\quad}$ 种。 第 3 步（求概率）：$\frac{4}{20}=\underline{\quad}$。 第三套 题目： 三人分别从各自的水果中任选一种：甲从 $4$ 种、乙从 $4$ 种、丙从 $4$ 种（三人可选的是同样的 $4$ 种水果）。三人买的水果两两都不同的概率是多少？
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（总选法）：$4\times4\times4=\underline{\quad}$。 第 2 步（两两都不同的选法）：第一人 $4$ 种、第二人避开 $1$ 种剩 $3$ 种、第三人再避开剩 $2$ 种，$4\times3\times2=\underline{\quad}$。 第 3 步（求概率）：$\frac{24}{64}=\underline{\quad}$。
14. 【原题 ch23-tuozhan-06】大头掷出了 $2$ 枚骰子，掷出的 $2$ 个数字之和恰好等于 $10$ 的概率是多少？
详细思路 是哪类问题： 这是「两骰子样本空间」类：掷两骰共 $36$ 种等可能，枚举和为目标的点数对。
关键切入点： 总数 $6\times6=36$；和为 $10$ 的有 $(4,6),(5,5),(6,4)$ 共 $3$ 种，概率 $\frac{3}{36}=\frac{1}{12}$。
方法概述： 总数 36，枚举目标点数对相除。
规范步骤： 总数：$6\times6=36$（乘法原理） 枚举和为 10：$(4,6),(5,5),(6,4)$ 共 $3$（枚举） 求概率：$\frac{3}{36}=\frac{1}{12}$（古典概型） 写出答案：$\frac{1}{12}$ 第一套 题目： 掷出 $2$ 枚骰子，$2$ 个数字之和恰好等于 $5$ 的概率是多少？
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（总数）：$6\times6=\underline{\quad}$。 第 2 步（枚举和为 5）：$(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)$ 共 $\underline{\quad}$ 种。 第 3 步（求概率）：$\frac{4}{36}=\underline{\quad}$。 第二套 题目： 转两个各写 $1\sim6$ 的转盘，两个指针所指数字之和恰好等于 $5$ 的概率是多少？
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（总数）：$6\times6=\underline{\quad}$。 第 2 步（枚举和为 5）：$(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)$ 共 $\underline{\quad}$ 种。 第 3 步（求概率）：$\frac{4}{36}=\underline{\quad}$。 第三套 题目： 掷出 $2$ 枚骰子，$2$ 个数字之和恰好等于 $7$ 的概率是多少？
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（总数）：$6\times6=\underline{\quad}$。 第 2 步（枚举和为 7）：$(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)$ 共 $\underline{\quad}$ 种。 第 3 步（求概率）：$\frac{6}{36}=\underline{\quad}$。 第三套 题目： 掷出 $3$ 枚骰子，$3$ 个数字之和恰好等于 $10$ 的概率是多少？
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（总数）：$6\times6\times6=\underline{\quad}$。 第 2 步（有利情形数）：和为 $10$ 的点数组合（有序）共有 $27$ 种。 第 3 步（求概率）：$\frac{27}{216}=\underline{\quad}$。
15. 【原题 ch23-tuozhan-07】墨莫一次掷出了 $8$ 枚硬币，结果恰有 $4$ 枚硬币正面朝上的概率是多少？有超过 $4$ 枚的硬币正面朝上的概率是多少？
详细思路 是哪类问题： 这是「多枚硬币正面数」类：$8$ 枚硬币共 $2^8=256$ 种，正面枚数用组合 $\mathrm{C}_8^k$ 计数。
关键切入点： 恰 $4$ 正 $\mathrm{C}_8^4=70$，概率 $\frac{70}{256}=\frac{35}{128}$；超过 $4$ 即 $5,6,7,8$ 正，$56+28+8+1=93$，概率 $\frac{93}{256}$。
方法概述： 总数 $2^8$，用组合数数正面枚数。
规范步骤： 总数：$2^8=256$（枚举） 恰 4 正：$\mathrm{C}_8^4=70,\ \frac{70}{256}=\frac{35}{128}$（组合计数） 超过 4 正：$56+28+8+1=93,\ \frac{93}{256}$（组合相加） 写出答案：$\frac{35}{128},\ \frac{93}{256}$ 第一套 题目： 一次掷出 $10$ 枚硬币，恰有 $5$ 枚正面朝上的概率是多少？（$\mathrm{C}_{10}^5=252$）
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（总数）：$2^{10}=\underline{\quad}$。 第 2 步（恰 5 正情形）：$\mathrm{C}_{10}^5=\underline{\quad}$。 第 3 步（求概率）：$\frac{252}{1024}=\underline{\quad}$。 第二套 题目： $10$ 名同学每人随机举左手或右手，恰有 $5$ 人举右手的概率是多少？（$\mathrm{C}_{10}^5=252$）
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（总数）：每人 $2$ 种，$2^{10}=\underline{\quad}$。 第 2 步（恰 5 人举右手）：$\mathrm{C}_{10}^5=\underline{\quad}$。 第 3 步（求概率）：$\frac{252}{1024}=\underline{\quad}$。 第三套 题目： 一次掷出 $8$ 枚硬币，少于 $4$ 枚正面朝上的概率是多少？
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（总数）：$2^8=\underline{\quad}$。 第 2 步（少于 4 正即 0,1,2,3 正）：$\mathrm{C}_8^0+\mathrm{C}_8^1+\mathrm{C}_8^2+\mathrm{C}_8^3=1+8+28+56=\underline{\quad}$。 第 3 步（求概率）：$\frac{93}{256}=\underline{\quad}$。 第三套 题目： 一次掷出 $8$ 枚硬币，至少有 $4$ 枚正面朝上的概率是多少？
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（总数）：$2^8=\underline{\quad}$。 第 2 步（少于 4 正的情形数）：$1+8+28+56=\underline{\quad}$。 第 3 步（对立事件求补）：至少 4 正 $=1-\frac{93}{256}=\underline{\quad}$。
16. 【原题 ch23-tuozhan-08】盒子里装着 $20$ 支圆珠笔，其中有 $5$ 支红色的、$7$ 支蓝色的和 $8$ 支黑色的，从中随意抽出 $4$ 支，每种颜色的笔都被抽出的概率是多少？
详细思路 是哪类问题： 这是「多色取物覆盖」类：从 $20$ 支笔取 $4$ 支，总数 $\mathrm{C}_{20}^4$；每色都被取到即某色取 $2$ 支、另两色各 $1$ 支，按“哪种颜色取 $2$ 支”分三类。
关键切入点： $\mathrm{C}_{20}^4=4845$；三类 $\mathrm{C}_5^2\cdot7\cdot8+5\cdot\mathrm{C}_7^2\cdot8+5\cdot7\cdot\mathrm{C}_8^2=560+840+980=2380$，概率 $\frac{2380}{4845}=\frac{28}{57}$。
方法概述： 分“哪色取 2 支”三类计数，除以 $\mathrm{C}_{20}^4$。
规范步骤： 总取法：$\mathrm{C}_{20}^4=4845$（组合计数） 三类相加：$560+840+980=2380$（分类计数） 求概率：$\frac{2380}{4845}=\frac{28}{57}$（古典概型） 写出答案：$\frac{28}{57}$ 第一套 题目： 盒子里有 $4$ 支红笔、$5$ 支蓝笔、$6$ 支黑笔，共 $15$ 支，从中任取 $3$ 支。每种颜色都被取到的概率是多少？
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（总取法）：$\mathrm{C}_{15}^3=\frac{15\times14\times13}{6}=\underline{\quad}$。 第 2 步（三色各 1 支）：$4\times5\times6=\underline{\quad}$。 第 3 步（求概率）：$\frac{120}{455}=\underline{\quad}$。 第二套 题目： 果盘里有 $4$ 个苹果、$5$ 个橘子、$6$ 个梨，共 $15$ 个，随手拿 $3$ 个。三种水果都拿到的概率是多少？
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（总取法）：$\mathrm{C}_{15}^3=\underline{\quad}$。 第 2 步（三色各 1）：$4\times5\times6=\underline{\quad}$。 第 3 步（求概率）：$\frac{120}{455}=\underline{\quad}$。 第三套 题目： 盒子里有 $4$ 红、$5$ 蓝、$6$ 黑共 $15$ 支笔，取 $3$ 支。“并非三色都被取到”的概率是多少？
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（三色都取到的概率）：$\frac{4\times5\times6}{\mathrm{C}_{15}^3}=\frac{120}{455}=\underline{\quad}$。 第 2 步（对立事件求补）：并非三色都取到 $=1-\frac{120}{455}=\underline{\quad}$。 第三套 题目： 盒子里有 $4$ 红、$5$ 蓝、$6$ 黑共 $15$ 支笔，取 $3$ 支。取出的 $3$ 支恰好只有两种颜色的概率是多少？
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（总取法）：$\mathrm{C}_{15}^3=\underline{\quad}$。 第 2 步（三支同色）：$\mathrm{C}_4^3+\mathrm{C}_5^3+\mathrm{C}_6^3=4+10+20=\underline{\quad}$。 第 3 步（三支三色）：$4\times5\times6=\underline{\quad}$。 第 4 步（恰两色 = 总 - 同色 - 三色）：$455-34-120=\underline{\quad}$，概率 $\frac{301}{455}=\underline{\quad}$。
17. 【原题 ch23-tuozhan-09】如图 23-1，格线表示了允许小球滑落的通道。每一个小球在交点处有一半的可能向左滑落、有一半的可能向右滑落，从 $A$ 点放一个小球让其落下。请问：小球最终落到 $B$ 点的概率是多少？
详细思路 是哪类问题： 这是「滑道路径概率」类（高尔顿钉板雏形）：小球在每个交点各以 $\frac{1}{2}$ 向左/右，落到 $B$ 的概率 = 到 $B$ 的各条路径概率之和，每条经过 $n$ 个交点的路径概率为 $\left(\frac{1}{2}\right)^n$。
关键切入点： 按图中通道结构，将到 $B$ 点的路径分层计数并把各路径概率相加，得 $\frac{5}{18}$。因具体路径条数由图形通道决定，需对照图 23-1 逐层递推。
方法概述： 按图形通道分层数出到 B 的路径，概率相加。
规范步骤： 单条路径概率：经过 $n$ 个交点为 $\left(\frac{1}{2}\right)^n$（独立相乘） 分层累加到 B：依图形通道逐层递推相加（路径计数） 写出答案：$\frac{5}{18}$（题库结论）
18. 【原题 ch23-tuozhan-10】$6$ 名小朋友在操场上做游戏，他们被老师分成 $3$ 组，每组 $2$ 个人。请问：赵倩和孙莉恰好分到了同一组的概率是多少？
详细思路 是哪类问题： 这是「平均分组同组概率」类：$6$ 人平均分 $3$ 组（每组 $2$ 人、组间无序），总分组数 $\frac{\mathrm{C}_6^2\mathrm{C}_4^2\mathrm{C}_2^2}{\mathrm{A}_3^3}$，固定两人同组算有利数。
关键切入点： 总数 $\frac{15\times6\times1}{6}=15$；两人同组后剩 $4$ 人分 $2$ 组 $\frac{6\times1}{2}=3$，概率 $\frac{3}{15}=\frac{1}{5}$。
方法概述： 带 $\mathrm{A}$ 去除组间顺序算总数，固定同组算有利数。
规范步骤： 总分组数：$\frac{\mathrm{C}_6^2\mathrm{C}_4^2\mathrm{C}_2^2}{\mathrm{A}_3^3}=\frac{15\times6\times1}{6}=15$（平均分组） 两人同组的分法：$\frac{\mathrm{C}_4^2\mathrm{C}_2^2}{\mathrm{A}_2^2}=3$（固定同组） 求概率：$\frac{3}{15}=\frac{1}{5}$（古典概型） 写出答案：$\frac{1}{5}$ 第一套 题目： $8$ 名小朋友被平均分成 $4$ 组，每组 $2$ 人。赵倩和孙莉恰好分到同一组的概率是多少？（$8$ 人平均分 $4$ 组共 $105$ 种，$6$ 人平均分 $3$ 组共 $15$ 种）
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（总分组数）：$8$ 人平均分 $4$ 组共 $\underline{\quad}$ 种。 第 2 步（两人同组）：固定二人一组，剩 $6$ 人平均分 $3$ 组共 $\underline{\quad}$ 种。 第 3 步（求概率）：$\frac{15}{105}=\underline{\quad}$。 第二套 题目： $8$ 位运动员被平均分成 $4$ 个双打组。甲、乙两人恰好分到同一组的概率是多少？（$8$ 人分 $4$ 组共 $105$ 种，$6$ 人分 $3$ 组共 $15$ 种）
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（总分组数）：共 $\underline{\quad}$ 种。 第 2 步（两人同组）：固定二人一组，剩 $6$ 人分 $3$ 组共 $\underline{\quad}$ 种。 第 3 步（求概率）：$\frac{15}{105}=\underline{\quad}$。 第三套 题目： $6$ 人平均分成 $3$ 组，每组 $2$ 人。赵倩和孙莉恰好不在同一组的概率是多少？（总分组数 $15$，两人同组 $3$ 种）
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（同组概率）：$\frac{3}{15}=\underline{\quad}$。 第 2 步（对立事件求补）：不同组 $=1-\frac{3}{15}=\underline{\quad}$。 第三套 题目： $6$ 人平均分成 $3$ 组，每组 $2$ 人。指定的 $3$ 个人恰好分属 $3$ 个不同的组的概率是多少？（总分组数 $15$）
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（有利分法）：$3$ 人各占一组，先给三组各放一名指定的人（组间无序，等价于把另 $3$ 人分别配给他们），共 $3\times2\times1=\underline{\quad}$ 种。 第 2 步（求概率）：$\frac{6}{15}=\underline{\quad}$。
19. 【原题 ch23-tuozhan-11】某工厂生产了 $200$ 件商品，合格率为 $99\%$，那么从中抽取 $1$ 件得到次品的概率是 $1\%$。请问：从中抽查 $5$ 件，发现次品率比 $5\%$ 大还是比 $5\%$ 小？
详细思路 是哪类问题： 这是「抽样次品概率比较」类：用 $1$ 减去“抽 $5$ 件全合格”的概率得到发现次品的概率，再与 $5\%$ 比较。
关键切入点： $200$ 件中合格 $198$、次品 $2$。全合格概率 $\frac{\mathrm{C}_{198}^5}{\mathrm{C}_{200}^5}=\frac{195\times194}{200\times199}\approx0.9505$，发现次品 $\approx0.0495<0.05$。
方法概述： 算“全合格”概率再求补，与 $5\%$ 比。
规范步骤： 合格/次品数：$198$ 合格、$2$ 次品（分类） 全合格概率：$\frac{\mathrm{C}_{198}^5}{\mathrm{C}_{200}^5}=\frac{195\times194}{200\times199}\approx0.9505$（组合比值） 发现次品概率：$1-0.9505=0.0495<0.05$（对立事件） 写出答案：\text{比 }5\%\text{ 小} 第一套 题目： $300$ 件商品里有 $3$ 件次品，从中抽 $5$ 件。发现次品的概率比 $5\%$ 大还是小？
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（全合格概率）：$\frac{\mathrm{C}_{297}^5}{\mathrm{C}_{300}^5}=\frac{295\times294\times293}{300\times299\times298}=\underline{\quad}$（约）。 第 2 步（发现次品概率）：$1-0.9507=\underline{\quad}$（约）。 第 3 步（比较）：因为 $0.0493<0.05$，所以比 $5\%$ 小。 第二套 题目： 一批 $200$ 个零件里有 $2$ 个不合格，质检员随机抽 $5$ 个检验。抽到不合格品的概率比 $5\%$ 大还是小？
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（全合格概率）：$\frac{\mathrm{C}_{198}^5}{\mathrm{C}_{200}^5}=\frac{195\times194}{200\times199}=\underline{\quad}$（约）。 第 2 步（发现不合格概率）：$1-0.9505=\underline{\quad}$（约）。 第 3 步（比较）：$0.0495<0.05$，比 $5\%$ 小。 第三套 题目： $200$ 件商品里有 $2$ 件次品，从中抽 $2$ 件。至少抽到 $1$ 件次品的概率是多少？
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（两件全合格概率）：$\frac{\mathrm{C}_{198}^2}{\mathrm{C}_{200}^2}=\frac{198\times197}{200\times199}=\underline{\quad}$。 第 2 步（对立事件求补）：至少 $1$ 件次品 $=1-\frac{198\times197}{200\times199}=\underline{\quad}$。 第三套 题目： $200$ 件商品里有 $5$ 件次品，从中抽 $2$ 件。恰好 $2$ 件都是次品的概率是多少？
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（总取法）：$\mathrm{C}_{200}^2=\frac{200\times199}{2}=\underline{\quad}$。 第 2 步（两件都次品）：$\mathrm{C}_5^2=\frac{5\times4}{2}=\underline{\quad}$。 第 3 步（求概率）：$\frac{10}{19900}=\underline{\quad}$。
20. 【原题 ch23-tuozhan-12】用一枚材料不均匀的正方体骰子，掷出 $1$ 的概率为 $0.1$，掷出 $2$ 的概率为 $0.2$，掷出 $3$ 的概率为 $0.2$，掷出 $4$ 的概率为 $0.1$，掷出 $5$ 的概率为 $0.3$，掷出 $6$ 的概率为 $0.1$。请问：（1）只掷一次骰子，掷出 $3$ 的倍数的概率是多少？（2）连续掷两次骰子，第一次掷出 $3$，第二次掷出 $4$ 的概率是多少？（3）如果拿来又是一枚这样的骰子，并同时掷出这两枚骰子的点数不同的概率是多少？
详细思路 是哪类问题： 这是「非等概率模型」类：各面概率不同，用相加算某类点、用相乘算独立两次、用补事件算“点数相同”。
关键切入点： (1) $3$ 的倍数 = 掷 $3$ 或 $6$：$0.2+0.1=0.3$；(2) 先 $3$ 后 $4$ 独立：$0.2\times0.1=0.02$；(3) 点数相同 $=0.1^2+0.2^2+0.2^2+0.1^2+0.3^2+0.1^2=0.2$，不同 $=1-0.2=0.8$。
方法概述： 按给定各面概率分别相加/相乘/求补。
规范步骤： 3 的倍数：$0.2+0.1=0.3$（互斥相加） 先 3 后 4：$0.2\times0.1=0.02$（独立相乘） 点数不同：$1-(0.01+0.04+0.04+0.01+0.09+0.01)=0.8$（对立事件） 写出答案：$0.3,\ 0.02,\ 0.8$ 第一套 题目： 一枚不均匀骰子掷出 $1\sim6$ 的概率依次为 $0.2,0.1,0.1,0.2,0.1,0.3$。求：（1）掷出偶数的概率；（2）连掷两次，先 $2$ 后 $5$ 的概率；（3）掷两枚这样的骰子点数相同的概率。
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（偶数 = 2 或 4 或 6）：$0.1+0.2+0.3=\underline{\quad}$。 第 2 步（先 2 后 5，独立相乘）：$0.1\times0.1=\underline{\quad}$。 第 3 步（点数相同）：$0.2^2+0.1^2+0.1^2+0.2^2+0.1^2+0.3^2=\underline{\quad}$。 第二套 题目： 一个不均匀转盘停在 $1\sim6$ 区的概率依次为 $0.2,0.1,0.1,0.2,0.1,0.3$。求：（1）停在偶数区的概率；（2）转两次先 $2$ 后 $5$ 的概率；（3）两个这样的转盘停在相同数字的概率。
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（偶数区）：$0.1+0.2+0.3=\underline{\quad}$。 第 2 步（先 2 后 5）：$0.1\times0.1=\underline{\quad}$。 第 3 步（相同数字）：$0.2^2+0.1^2+0.1^2+0.2^2+0.1^2+0.3^2=\underline{\quad}$。 第三套 题目： 两枚给定的不均匀骰子（掷出 $1\sim6$ 的概率为 $0.1,0.2,0.2,0.1,0.3,0.1$）同时掷出，点数不同的概率是多少？
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（点数相同）：$0.1^2+0.2^2+0.2^2+0.1^2+0.3^2+0.1^2=\underline{\quad}$。 第 2 步（对立事件求补）：点数不同 $=1-0.2=\underline{\quad}$。 第三套 题目： 连掷两次给定不均匀骰子（$1\sim6$ 概率为 $0.1,0.2,0.2,0.1,0.3,0.1$），两次点数之和恰好为 $4$ 的概率是多少？
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（列出和为 4 的有序对）：$(1,3),(2,2),(3,1)$。 第 2 步（各对概率，独立相乘）：$0.1\times0.2=0.02$、$0.2\times0.2=0.04$、$0.2\times0.1=\underline{\quad}$。 第 3 步（互斥相加）：$0.02+0.04+0.02=\underline{\quad}$。
21. 【原题 ch23-tuozhan-13】（1）口袋里装有 $3$ 张卡片，一张是一面红一面黄，一张是一面黄一面蓝，一张是一面蓝一面红。张莉从口袋中随意摸出其中一张，发现朝向自己的一面恰好是红色的，请问：此时这张卡片的另一面是蓝色的概率是多少？（2）口袋里装有 $4$ 张卡片，两张是两面全黑，一张是两面全白，一张是一面黑一面白，张莉从口袋中摸出其中一张，发现朝向自己的一面恰好是黑色的，请问：此时这张卡片的另一面还是黑色的概率是多少？
详细思路 是哪类问题： 这是「双面卡片条件概率」类：把每张卡片的两个面都当等可能样本点，在“看到某颜色面”的条件下算另一面颜色。
关键切入点： (1) 红色面共 $2$ 个（红黄卡、蓝红卡），其中另一面为蓝的只有蓝红卡 $1$ 个 → $\frac{1}{2}$；(2) 黑色面共 $2\times2+1=5$ 个，其中另一面也黑的有 $4$ 个（两张全黑卡）→ $\frac{4}{5}$。
方法概述： 以“面”为等可能样本，数条件下有利面数。
规范步骤： 红色面总数：$2$ 个（以面为样本） 另一面蓝的红面：$1$ 个 → $\frac{1}{2}$（条件概率） 黑色面总数：$2\times2+1=5$（以面为样本） 另一面黑的黑面：$4$ 个 → $\frac{4}{5}$（条件概率） 写出答案：$\frac{1}{2},\ \frac{4}{5}$ 第一套 题目： 口袋里有 $3$ 张全黑卡（两面全黑）、$1$ 张全白卡、$1$ 张一面黑一面白的卡。摸出一张，朝向自己的一面是黑色。另一面还是黑色的概率是多少？
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（数黑色面总数）：全黑卡 $3$ 张贡献 $3\times2=6$ 个黑面，半黑卡贡献 $1$ 个，共 $6+1=\underline{\quad}$ 个。 第 2 步（另一面也黑的黑面）：只有全黑卡的 $6$ 个黑面符合，共 $\underline{\quad}$ 个。 第 3 步（条件概率）：$\frac{6}{7}=\underline{\quad}$。 第二套 题目： 抽屉里有 $3$ 枚两面都是数字的硬币、$1$ 枚两面都是花的硬币、$1$ 枚一面数字一面花的硬币。随手拿一枚，朝上的一面是数字。它的另一面也是数字的概率是多少？
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（数字面总数）：$3\times2+1=\underline{\quad}$ 个。 第 2 步（另一面也数字的面）：$3\times2=\underline{\quad}$ 个。 第 3 步（条件概率）：$\frac{6}{7}=\underline{\quad}$。 第三套 题目： 口袋里 $3$ 张卡片：一张一面红一面黄，一张一面黄一面蓝，一张一面蓝一面红。摸出一张，朝向自己的一面是红色。另一面是蓝色的概率是多少？
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（红色面总数）：红黄卡、蓝红卡各有 $1$ 个红面，共 $1+1=\underline{\quad}$ 个。 第 2 步（另一面蓝的红面）：只有蓝红卡符合，共 $\underline{\quad}$ 个。 第 3 步（条件概率）：$\frac{1}{2}=\underline{\quad}$。 第三套 题目： 口袋里有 $4$ 张全黑卡、$2$ 张全白卡、$3$ 张一面黑一面白的卡。摸出一张，朝向自己的一面是黑色。另一面是白色的概率是多少？
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（黑色面总数）：全黑卡 $4\times2=8$ 个、半黑卡 $3$ 个，共 $8+3=\underline{\quad}$ 个。 第 2 步（另一面为白的黑面）：只有半黑卡的黑面符合，共 $\underline{\quad}$ 个。 第 3 步（条件概率）：$\frac{3}{11}=\underline{\quad}$。
22. 【原题 ch23-tuozhan-14】甲、乙两人在靶场练习射击，甲击中目标的概率为 $0.6$，乙击中目标的概率为 $0.7$。两人朝着同一个目标各射击一次，结果目标被击中了。请问：恰好是甲击中目标而乙没有击中的概率是多少？
详细思路 是哪类问题： 这是「已知命中求条件概率」类：在“目标被击中”的条件下，用“甲中乙不中”的概率除以“至少一人击中”的概率。
关键切入点： 至少一人击中 $=0.6\times0.3+0.4\times0.7+0.6\times0.7=0.18+0.28+0.42=0.88$；甲中乙不中 $=0.18$，条件概率 $\frac{0.18}{0.88}=\frac{9}{44}$。
方法概述： 分子甲中乙不中，分母至少一人击中。
规范步骤： 至少一人击中：$0.18+0.28+0.42=0.88$（全概率） 甲中乙不中：$0.6\times0.3=0.18$（独立相乘） 条件概率：$\frac{0.18}{0.88}=\frac{9}{44}$（条件概率） 写出答案：$\frac{9}{44}$ 第一套 题目： 甲击中概率 $0.8$，乙击中概率 $0.5$，各射一次，结果目标被击中。恰好是甲中乙不中的概率是多少？
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（甲中乙不中）：$0.8\times0.5=\underline{\quad}$。 第 2 步（至少一人击中）：$0.8\times0.5+0.2\times0.5+0.8\times0.5=\underline{\quad}$。 第 3 步（条件概率）：$\frac{0.4}{0.9}=\underline{\quad}$。 第二套 题目： 两名维修工各独立尝试修好一台机器，甲成功概率 $0.6$、乙成功概率 $0.7$。结果机器被修好了。恰好是甲修好而乙没修好的概率是多少？
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（甲成乙不成）：$0.6\times0.3=\underline{\quad}$。 第 2 步（至少一人成功）：$0.6\times0.3+0.4\times0.7+0.6\times0.7=\underline{\quad}$。 第 3 步（条件概率）：$\frac{0.18}{0.88}=\underline{\quad}$。 第三套 题目： 甲击中概率 $0.6$，乙击中概率 $0.7$，各射一次，结果目标被击中。这一击中恰好是两人都命中的概率是多少？
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（两人都中）：$0.6\times0.7=\underline{\quad}$。 第 2 步（至少一人击中）：$0.6\times0.3+0.4\times0.7+0.6\times0.7=\underline{\quad}$。 第 3 步（条件概率）：$\frac{0.42}{0.88}=\underline{\quad}$。 第三套 题目： 甲、乙、丙各射一次，命中概率分别为 $0.6,0.7,0.5$，结果目标被击中（至少一人命中）。恰好只有甲一人命中的概率是多少？
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（只有甲命中）：$0.6\times0.3\times0.5=\underline{\quad}$。 第 2 步（都不中）：$0.4\times0.3\times0.5=\underline{\quad}$。 第 3 步（至少一人命中）：$1-0.06=\underline{\quad}$。 第 4 步（条件概率）：$\frac{0.09}{0.94}=\underline{\quad}$。
23. 【原题 ch23-xingqu-01】在多家商店中调查某商品的价格，所得的数据如下（单位：元）：$25,\ 21,\ 23,\ 25,\ 27,\ 29,\ 25,\ 28,\ 30,\ 29,\ 26,\ 24,\ 25,\ 27,\ 26,\ 22,\ 24,\ 25,\ 26,\ 28$。请填出表 23-1（价格范围分别为 $20.5\sim22.5$、$22.5\sim24.5$、$24.5\sim26.5$、$26.5\sim28.5$、$28.5\sim30.5$，统计各区间的商店数及所占百分数），并根据此表画出扇形统计图。
详细思路 是哪类问题： 这是「数据分组统计 + 扇形统计图」类：把一批数据按区间分组计数（频数），频数除以总数得所占百分数，再按百分数换算圆心角画扇形图。
关键切入点： $20$ 个价格按 $5$ 个区间归类得频数 $2,3,8,4,3$（合计 $20$），各频数除以 $20$ 得百分数 $10\%,15\%,40\%,20\%,15\%$；每个扇形圆心角 $=$ 百分数 $\times360^\circ$。
方法概述： 频数÷总数=百分数；百分数×360°=圆心角。
规范步骤： 按区间数出频数：$2,\ 3,\ 8,\ 4,\ 3$（合计 $20$）（分组计数） 频数除以总数得百分数：$\frac{2}{20}=10\%,\ \frac{3}{20}=15\%,\ \frac{8}{20}=40\%,\ \frac{4}{20}=20\%,\ \frac{3}{20}=15\%$（频率计算） 百分数换算圆心角画扇形图：$10\%\times360^\circ=36^\circ$ 等（扇形统计图） 写出答案：$2,3,8,4,3$ 家；$10\%,15\%,40\%,20\%,15\%$ 第一套 题目： 调查 $40$ 家商店某商品价格，按 $5$ 个价格区间统计得频数依次为 $4,6,16,8,6$（合计 $40$ 家）。求各区间所占百分数。
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（先验总数）：把各频数相加 $4+6+16+8+6=\underline{\quad}$，与总数一致才能算百分数。 第 2 步（频数÷总数）：第一区间 $\frac{4}{40}=\underline{\quad}$、第二区间 $\frac{6}{40}=\underline{\quad}$、第三区间 $\frac{16}{40}=\underline{\quad}$、第四区间 $\frac{8}{40}=\underline{\quad}$、第五区间 $\frac{6}{40}=\underline{\quad}$。 第二套 题目： 图书馆记录一周每天的借阅量，按 $5$ 个数量区间统计得天数（频数）为 $4,6,16,8,6$（合计 $40$ 次记录）。求各区间所占百分数。
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（先验总数）：$4+6+16+8+6=\underline{\quad}$。 第 2 步（频数÷总数）：各区间 $\frac{4}{40}=\underline{\quad}$、$\frac{6}{40}=\underline{\quad}$、$\frac{16}{40}=\underline{\quad}$、$\frac{8}{40}=\underline{\quad}$、$\frac{6}{40}=\underline{\quad}$。 第三套 题目： 某统计的 $5$ 个区间频数为 $4,6,16,8,6$（合计 $40$）。要画扇形统计图，求各扇形的圆心角。
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（先求百分数）：如第三区间 $\frac{16}{40}=\underline{\quad}$。 第 2 步（百分数×360°）：圆心角依次 $\frac{4}{40}\times360^\circ=\underline{\quad}$、$\frac{6}{40}\times360^\circ=\underline{\quad}$、$\frac{16}{40}\times360^\circ=\underline{\quad}$、$\frac{8}{40}\times360^\circ=\underline{\quad}$、$\frac{6}{40}\times360^\circ=\underline{\quad}$（合计应为 $360^\circ$）。 第三套 题目： 某统计的 $5$ 个区间频数为 $4,6,16,8,6$（合计 $40$）。（1）求前三个区间合计所占百分数；（2）求第三区间扇形的圆心角。
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（前三区间频数合计）：$4+6+16=\underline{\quad}$。 第 2 步（累计频率）：合计除以总数 $\frac{26}{40}=\underline{\quad}$。 第 3 步（第三区间圆心角）：先求其百分数 $\frac{16}{40}=\underline{\quad}$，再 $\times360^\circ$ 得 $\frac{16}{40}\times360^\circ=\underline{\quad}$。
24. 【原题 ch23-xingqu-02】在一只口袋里装着 $2$ 个红球、$3$ 个黄球和 $4$ 个黑球，从口袋中任取一个球，请问：（1）这个球是红球的概率有多少？（2）这个球是黄球或者是黑球的概率有多少？（3）这个球是绿球的概率有多少？不是绿球的概率有多少？
详细思路 是哪类问题： 这是「摸球古典概型」类：每个球等可能被取到，某事件概率 = 有利球数 ÷ 总球数；不可能事件概率为 $0$、必然事件概率为 $1$。
关键切入点： 总球数 $2+3+4=9$。红球 $2$ 个 → $\frac{2}{9}$；黄或黑共 $3+4=7$ 个 → $\frac{7}{9}$；没有绿球 → 取到绿球概率 $0$，不是绿球是必然事件 → 概率 $1$。
方法概述： 有利数÷总数；不可能为 0、必然为 1。
规范步骤： 求总球数：$2+3+4=9$（总情形数） 红球概率：$\frac{2}{9}$（古典概型） 黄或黑（互斥相加）：$\frac{3+4}{9}=\frac{7}{9}$（互斥事件相加） 绿球/非绿球：$0$ 与 $1$（不可能与必然事件） 写出答案：$\frac{2}{9},\ \frac{7}{9},\ 0,\ 1$ 第一套 题目： 口袋里装着 $4$ 个红球、$6$ 个黄球和 $10$ 个黑球，任取一个。求：（1）取到红球的概率；（2）取到黄球或黑球的概率；（3）取到白球的概率、不是白球的概率。
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（总球数）：$4+6+10=\underline{\quad}$。 第 2 步（红球）：有利数 $4$，概率 $=\underline{\quad}$。 第 3 步（黄或黑，互斥相加）：有利数 $6+10=\underline{\quad}$，概率 $=\underline{\quad}$。 第 4 步（白球）：袋中没有白球，取到白球概率 $=\underline{\quad}$，不是白球（必然）概率 $=\underline{\quad}$。 第二套 题目： 抽奖箱里有 $4$ 张一等奖券、$6$ 张二等奖券、$10$ 张三等奖券，随机摸一张。求：（1）摸到一等奖的概率；（2）摸到二等奖或三等奖的概率；（3）摸到纪念券（箱中没有）的概率、摸到的不是纪念券的概率。
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（总券数）：$4+6+10=\underline{\quad}$。 第 2 步（一等奖）：概率 $=\underline{\quad}$。 第 3 步（二等或三等，互斥相加）：有利数 $6+10=\underline{\quad}$，概率 $=\underline{\quad}$。 第 4 步（纪念券/非纪念券）：$=\underline{\quad}$ 与 $=\underline{\quad}$。 第三套 题目： 口袋里装着 $2$ 个红球、$3$ 个黄球和 $4$ 个黑球，任取一个。用对立事件求：取到的不是红球的概率是多少？
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（总球数）：$2+3+4=\underline{\quad}$。 第 2 步（先求红球概率）：$=\underline{\quad}$。 第 3 步（对立事件求补）：不是红球的概率 $=1-\frac{2}{9}=\underline{\quad}$。 第三套 题目： 口袋里装着 $2$ 个红球、$3$ 个黄球和 $4$ 个黑球，不放回地连取 $2$ 个球。求两个球都是黑球的概率。
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（第一次取黑球）：黑球 $4$ 个，总 $9$ 个，概率 $=\underline{\quad}$。 第 2 步（取后不放回，第二次）：剩黑球 $3$ 个，总 $8$ 个，概率 $=\underline{\quad}$。 第 3 步（相乘）：两次都是黑球 $\frac{4}{9}\times\frac{3}{8}=\underline{\quad}$。
25. 【原题 ch23-xingqu-03】$6$ 个同学在一起，墨莫的年龄不是最小的。那么墨莫年龄最大的可能性是多少？
详细思路 是哪类问题： 这是「条件下等可能」类：在“墨莫不是最小”的前提下，墨莫的名次只剩 $5$ 种且等可能，求其中“最大”这一种的概率。
关键切入点： $6$ 人年龄名次共 $6$ 个，去掉“最小”后剩 $6-1=5$ 个名次等可能，最大只占其中 $1$ 个，故概率 $\frac{1}{5}$。
方法概述： 在给定条件下数剩余等可能名次，取有利的一个。
规范步骤： 去掉“最小”这一名次：$6-1=5$（条件限制） 剩 $5$ 个名次等可能，最大占 $1$ 个：$\frac{1}{5}$（古典概型） 写出答案：$\frac{1}{5}$ 第一套 题目： $9$ 个同学在一起，墨莫的年龄不是最小的。那么墨莫年龄最大的可能性是多少？
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（去掉“最小”）：墨莫不是最小，可能的名次数为 $9-1=\underline{\quad}$。 第 2 步（等可能取最大）：最大占其中 $1$ 个，概率 $=\frac{1}{8}=\underline{\quad}$。 第二套 题目： $9$ 名选手参加比赛，已知墨莫没有得最后一名。那么墨莫得第一名的可能性是多少？
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（去掉“最后一名”）：可能的名次数 $9-1=\underline{\quad}$。 第 2 步（取第一名）：概率 $=\frac{1}{8}=\underline{\quad}$。 第三套 题目： $6$ 个同学在一起，墨莫的年龄不是最大的。那么墨莫年龄最小的可能性是多少？
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（去掉“最大”）：可能的名次数 $6-1=\underline{\quad}$。 第 2 步（取最小）：概率 $=\frac{1}{5}=\underline{\quad}$。 第三套 题目： $6$ 个同学在一起，墨莫的年龄既不是最大的也不是最小的。那么墨莫年龄排第二大的可能性是多少？
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（去掉两端）：既不是最大也不是最小，可去掉 $2$ 个名次，剩 $6-2=\underline{\quad}$ 个名次等可能。 第 2 步（取“第二大”）：它占其中 $1$ 个，概率 $=\frac{1}{4}=\underline{\quad}$。
26. 【原题 ch23-xingqu-04】一只普通的骰子有 $6$ 个面，分别写有 $1,2,3,4,5,6$，掷出这枚骰子，它的任何一面朝上的概率都是 $\frac{1}{6}$。假设你将某一面朝上掷了 $9$ 次，每次的结果都是 $1$ 点朝上。那么第十次投掷时，朝上的面上的点数恰好是奇数的概率是多少？
详细思路 是哪类问题： 这是「独立事件」类：每次投掷互不影响，第 $10$ 次的结果与前 $9$ 次无关，只需算单次掷出奇数的概率。
关键切入点： 单次掷骰 $6$ 面等可能，奇数为 $1,3,5$ 共 $3$ 个，概率 $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，与历史无关。
方法概述： 抓住“各次独立”，只算单次奇数概率。
规范步骤： 指出各次独立：\text{第 }10\text{ 次与前 }9\text{ 次无关}（独立事件） 数单次奇数点：$1,3,5$ 共 $3$ 个（古典概型） 求概率：$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$（互斥相加） 写出答案：$\frac{1}{2}$ 第一套 题目： 一枚正十二面骰子各面写 $1\sim12$，任何一面朝上的概率都是 $\frac{1}{12}$。若已连续掷出 $9$ 次都是 $1$ 点，那么第十次掷出奇数点的概率是多少？
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（独立）：第十次与前面无关，只看单次。 第 2 步（数奇数点）：$1\sim12$ 中奇数为 $1,3,5,7,9,11$ 共 $\underline{\quad}$ 个。 第 3 步（求概率）：$\frac{6}{12}=\underline{\quad}$。 第二套 题目： 转盘平均分成 $12$ 格写 $1\sim12$，指针停在各格等可能。前 $9$ 次都停在 $1$，第十次指针停在奇数格的概率是多少？
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（独立）：第十次与前面无关。 第 2 步（数奇数格）：奇数 $1,3,5,7,9,11$ 共 $\underline{\quad}$ 个。 第 3 步（求概率）：$\frac{6}{12}=\underline{\quad}$。 第三套 题目： 掷一枚普通骰子，朝上点数是质数的概率是多少？
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（数质数点）：$1\sim6$ 中质数为 $2,3,5$ 共 $\underline{\quad}$ 个。 第 2 步（求概率）：$\frac{3}{6}=\underline{\quad}$。 第三套 题目： 连掷一枚普通骰子两次，两次朝上点数都是奇数的概率是多少？
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（单次奇数）：奇数 $1,3,5$ 共 $3$ 个，单次概率 $\frac{3}{6}=\underline{\quad}$。 第 2 步（两次独立相乘）：$\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\underline{\quad}$。
27. 【原题 ch23-xingqu-05】小高与墨莫做游戏：由小高抛出 $3$ 枚硬币，如果抛出的结果中，有 $2$ 枚或 $2$ 枚以上的硬币正面朝上，小高就获胜；否则墨莫获胜。请问：这个游戏公平吗？
详细思路 是哪类问题： 这是「枚举等可能结果 + 公平性判断」类：列出 $3$ 枚硬币的全部 $8$ 种结果，数出“ $2$ 枚及以上正面”的情形，看两人概率是否各为 $\frac{1}{2}$。
关键切入点： $3$ 枚硬币共 $2^3=8$ 种等可能结果；$3$ 正 $1$ 种、恰 $2$ 正 $3$ 种，共 $4$ 种，小高胜概率 $\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，墨莫也 $\frac{1}{2}$，公平。
方法概述： 枚举 $8$ 种结果数获胜情形，比较概率。
规范步骤： 总结果数：$2^3=8$（枚举等可能） 小高获胜情形（≥2 正）：$1+3=4$（互斥相加） 两人概率：$\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$（公平性判断） 写出答案：\text{公平} 第一套 题目： 小高抛 $5$ 枚硬币，若有 $3$ 枚或 $3$ 枚以上正面朝上小高获胜，否则墨莫获胜。这个游戏公平吗？
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（总结果数）：$2^5=\underline{\quad}$。 第 2 步（小高获胜情形，≥3 正）：恰 $3,4,5$ 枚正面的情况数为 $\mathrm{C}_5^3+\mathrm{C}_5^4+\mathrm{C}_5^5=10+5+1=\underline{\quad}$。 第 3 步（小高胜概率）：$\frac{16}{32}=\underline{\quad}$，与墨莫相等，故公平。 第二套 题目： 甲、乙玩投篮机游戏：投 $5$ 次，若命中 $3$ 次或以上甲胜，否则乙胜（每次命中与否等可能）。这个游戏公平吗？
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（总结果数）：每次 $2$ 种结果，$2^5=\underline{\quad}$。 第 2 步（甲获胜情形，≥3 中）：$\mathrm{C}_5^3+\mathrm{C}_5^4+\mathrm{C}_5^5=10+5+1=\underline{\quad}$。 第 3 步（甲胜概率）：$\frac{16}{32}=\underline{\quad}$，公平。 第三套 题目： 抛 $3$ 枚硬币，恰好有 $2$ 枚正面朝上的概率是多少？
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（总结果数）：$2^3=\underline{\quad}$。 第 2 步（恰 $2$ 正情形）：正正反、正反正、反正正共 $\underline{\quad}$ 种。 第 3 步（求概率）：$\frac{3}{8}=\underline{\quad}$。 第三套 题目： 抛 $4$ 枚硬币，若有 $3$ 枚或以上正面朝上小高胜，否则墨莫胜。（1）小高获胜的概率是多少？（2）这个游戏公平吗？
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（总结果数）：$2^4=\underline{\quad}$。 第 2 步（小高获胜情形，≥3 正）：$\mathrm{C}_4^3+\mathrm{C}_4^4=4+1=\underline{\quad}$。 第 3 步（小高胜概率）：$\frac{5}{16}=\underline{\quad}$。 第 4 步（比较判断）：因为 $\frac{5}{16}\ne\frac{1}{2}$，游戏不公平；墨莫胜概率 $1-\frac{5}{16}=\underline{\quad}$。
28. 【原题 ch23-xingqu-06】有黑桃、红桃、方块、草花这 $4$ 种花色的扑克牌各 $2$ 张，从这 $8$ 张牌中任意取出 $2$ 张。请问这 $2$ 张扑克牌花色相同的概率是多少？
详细思路 是哪类问题： 这是「组合计数古典概型」类：从 $8$ 张牌任取 $2$ 张，总数用组合 $\mathrm{C}_8^2$，有利情形按 $4$ 种花色各取一对计数。
关键切入点： 总数 $\mathrm{C}_8^2=28$；每种花色只有 $2$ 张、取一对各 $1$ 种，$4$ 种花色共 $4$ 种，概率 $\frac{4}{28}=\frac{1}{7}$。
方法概述： 总数用 $\mathrm{C}_8^2$，有利数按花色计。
规范步骤： 总取法：$\mathrm{C}_8^2=\frac{8\times7}{2}=28$（组合计数） 花色相同情形：$4$ 种花色各 $1$ 对，共 $4$ 种（分类计数） 求概率：$\frac{4}{28}=\frac{1}{7}$（古典概型） 写出答案：$\frac{1}{7}$ 第一套 题目： 有 $4$ 种花色的扑克牌各 $3$ 张，共 $12$ 张，从中任取 $2$ 张。这 $2$ 张花色相同的概率是多少？
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（总取法）：$\mathrm{C}_{12}^2=\frac{12\times11}{2}=\underline{\quad}$。 第 2 步（花色相同情形）：每种花色 $3$ 张、取 $2$ 张有 $\mathrm{C}_3^2=3$ 种，$4$ 种花色共 $4\times3=\underline{\quad}$ 种。 第 3 步（求概率）：$\frac{12}{66}=\underline{\quad}$。 第二套 题目： 盒子里有 $4$ 种颜色的球各 $3$ 个，共 $12$ 个，任取 $2$ 个。取出的 $2$ 个球颜色相同的概率是多少？
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（总取法）：$\mathrm{C}_{12}^2=\frac{12\times11}{2}=\underline{\quad}$。 第 2 步（同色情形）：每色 $\mathrm{C}_3^2=3$ 种，$4$ 色共 $4\times3=\underline{\quad}$ 种。 第 3 步（求概率）：$\frac{12}{66}=\underline{\quad}$。 第三套 题目： 有 $4$ 种花色的扑克牌各 $2$ 张，共 $8$ 张，任取 $2$ 张。这 $2$ 张花色不同的概率是多少？
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（总取法）：$\mathrm{C}_8^2=\underline{\quad}$。 第 2 步（花色相同数）：$4$ 种花色各 $1$ 对，共 $\underline{\quad}$ 种。 第 3 步（对立事件求补）：花色不同概率 $=1-\frac{4}{28}=\underline{\quad}$。 第三套 题目： 有 $4$ 种花色的扑克牌各 $2$ 张，共 $8$ 张，从中任取 $3$ 张。其中至少有 $2$ 张花色相同的概率是多少？
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（总取法）：$\mathrm{C}_8^3=\frac{8\times7\times6}{6}=\underline{\quad}$。 第 2 步（对立面·三张花色互不相同）：先选 $3$ 种花色 $\mathrm{C}_4^3=4$，每种再从 $2$ 张里取 $1$ 张 $2\times2\times2=8$，共 $4\times8=\underline{\quad}$ 种。 第 3 步（对立事件求补）：至少两张同花色 $=1-\frac{32}{56}=\underline{\quad}$。
29. 【原题 ch23-xingqu-07】萱萱从 $1,2,3,4,5$ 这 $5$ 个自然数中任选一个数，墨莫从 $2,3,4,5,6,7$ 这 $6$ 个自然数中任选一个数。选出的两个数中，恰好有一个数是另一个数的倍数的概率是多少？
详细思路 是哪类问题： 这是「分类计数」类：两人各选一数，按萱萱所选的数分类，数出墨莫使两数成倍数关系的选法，再除以总数。
关键切入点： 总数 $5\times6=30$。萱萱选 $1$ 有 $6$ 种、选 $2$ 有 $3$ 种、选 $3$ 有 $2$ 种、选 $4$ 有 $2$ 种、选 $5$ 有 $1$ 种，共 $14$ 种，概率 $\frac{14}{30}=\frac{7}{15}$。
方法概述： 按一方所选分类数倍数对，再除以总数。
规范步骤： 总选法：$5\times6=30$（乘法原理） 分类数倍数对：$6+3+2+2+1=14$（分类计数） 求概率：$\frac{14}{30}=\frac{7}{15}$（古典概型） 写出答案：$\frac{7}{15}$ 第一套 题目： 萱萱从 $1,2,3,4,5,6$ 中任选一个数，墨莫从 $2,3,4,5,6,7,8,9$ 中任选一个数。恰好有一个数是另一个数的倍数的概率是多少？
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（总选法）：$6\times8=\underline{\quad}$。 第 2 步（分类数倍数对）：萱萱选 $1$ 有 $8$ 种、选 $2$ 有 $4$ 种（$2,4,6,8$）、选 $3$ 有 $3$ 种（$3,6,9$）、选 $4$ 有 $3$ 种（$2,4,8$）、选 $5$ 有 $1$ 种（$5$）、选 $6$ 有 $3$ 种（$2,3,6$），共 $8+4+3+3+1+3=\underline{\quad}$ 种。 第 3 步（求概率）：$\frac{22}{48}=\underline{\quad}$。 第二套 题目： 甲盒里有卡片 $1,2,3,4,5$，乙盒里有卡片 $2,3,4,5,6,7$，各抽一张。抽出的两个数恰好有一个是另一个的倍数的概率是多少？
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（总抽法）：$5\times6=\underline{\quad}$。 第 2 步（分类数倍数对）：甲抽 $1$ 有 $6$ 种、$2$ 有 $3$ 种、$3$ 有 $2$ 种、$4$ 有 $2$ 种、$5$ 有 $1$ 种，共 $6+3+2+2+1=\underline{\quad}$ 种。 第 3 步（求概率）：$\frac{14}{30}=\underline{\quad}$。 第三套 题目： 萱萱从 $1,2,3,4,5$ 中任选一个数，墨莫也从 $1,2,3,4,5$ 中任选一个数。两数互质（最大公约数为 $1$）的概率是多少？
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（总选法）：$5\times5=\underline{\quad}$。 第 2 步（分类数互质对）：萱萱选 $1$ 有 $5$ 种、$2$ 有 $3$ 种（$1,3,5$）、$3$ 有 $4$ 种（$1,2,4,5$）、$4$ 有 $3$ 种（$1,3,5$）、$5$ 有 $4$ 种（$1,2,3,4$），共 $5+3+4+3+4=\underline{\quad}$ 种。 第 3 步（求概率）：$\frac{19}{25}=\underline{\quad}$。 第三套 题目： 从 $1,2,3,4,5,6$ 中有放回地依次取两个数 $a,b$（可相同）。$a$ 是 $b$ 的倍数的概率是多少？
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（总取法·有序）：$6\times6=\underline{\quad}$。 第 2 步（分类数：$a$ 是 $b$ 的倍数）：按 $b=1,2,3,4,5,6$ 数出可行的 $a$：$b=1$ 有 $6$ 个、$b=2$ 有 $3$ 个（$2,4,6$）、$b=3$ 有 $2$ 个（$3,6$）、$b=4$ 有 $1$ 个（$4$）、$b=5$ 有 $1$ 个（$5$）、$b=6$ 有 $1$ 个（$6$），共 $6+3+2+1+1+1=\underline{\quad}$ 种。 第 3 步（求概率）：$\frac{14}{36}=\underline{\quad}$。
30. 【原题 ch23-xingqu-08】一只口袋里装有 $5$ 个黑球和 $3$ 个白球，另一只口袋里装有 $4$ 个黑球和 $4$ 个白球，从两只口袋里各取出一个球，取出的两个球颜色相同的概率有多少？
详细思路 是哪类问题： 这是「乘法原理 + 互斥相加」类：两袋各取一球，总数用乘法 $8\times8$，两黑与两白互斥、取法数相加。
关键切入点： 总数 $8\times8=64$；两黑 $5\times4=20$、两白 $3\times4=12$，同色 $20+12=32$，概率 $\frac{32}{64}=\frac{1}{2}$。
方法概述： 两黑、两白取法各乘出来相加，除以总数。
规范步骤： 总取法：$8\times8=64$（乘法原理） 两黑与两白：$5\times4=20,\ 3\times4=12$（分类相乘） 同色概率：$\frac{20+12}{64}=\frac{1}{2}$（互斥相加） 写出答案：$\frac{1}{2}$ 第一套 题目： 一只口袋装 $7$ 黑 $5$ 白，另一只口袋装 $6$ 黑 $6$ 白，从两袋各取一球。取出两球颜色相同的概率是多少？
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（总取法）：$12\times12=\underline{\quad}$。 第 2 步（两黑）：$7\times6=\underline{\quad}$。 第 3 步（两白）：$5\times6=\underline{\quad}$。 第 4 步（同色概率）：$\frac{42+30}{144}=\underline{\quad}$。 第二套 题目： 甲箱有 $7$ 个红球 $5$ 个蓝球，乙箱有 $6$ 个红球 $6$ 个蓝球，从两箱各摸一个。两球颜色相同的概率是多少？
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（总取法）：$12\times12=\underline{\quad}$。 第 2 步（两红）：$7\times6=\underline{\quad}$。 第 3 步（两蓝）：$5\times6=\underline{\quad}$。 第 4 步（同色概率）：$\frac{42+30}{144}=\underline{\quad}$。 第三套 题目： 一只口袋装 $5$ 黑 $3$ 白，另一只装 $4$ 黑 $4$ 白，从两袋各取一球。两球颜色不同的概率是多少？
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（总取法）：$8\times8=\underline{\quad}$。 第 2 步（同色数）：两黑 $5\times4=20$、两白 $3\times4=12$，共 $20+12=\underline{\quad}$。 第 3 步（对立事件求补）：异色概率 $=1-\frac{32}{64}=\underline{\quad}$。 第三套 题目： 三只口袋分别装 $5$ 黑 $3$ 白、$4$ 黑 $4$ 白、$6$ 黑 $2$ 白，从三袋各取一球。三球都是黑球的概率是多少？
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（总取法）：$8\times8\times8=\underline{\quad}$。 第 2 步（三黑取法）：$5\times4\times6=\underline{\quad}$。 第 3 步（求概率）：$\frac{120}{512}=\underline{\quad}$。
31. 【原题 ch23-xingqu-09】在一次军事演习中，进攻方决定对目标进行两次炮击。第一炮命中的概率为 $0.6$，第二炮命中的概率为 $0.8$。请问：两炮都命中目标的概率是多少？恰好有一炮命中目标的概率是多少？两炮都未击中目标的概率是多少？
详细思路 是哪类问题： 这是「相互独立事件」类：两炮命中互不影响，用乘法算同时命中，用分类相加算恰有一炮命中，用补事件算都未命中。
关键切入点： 都命中 $0.6\times0.8=0.48$；恰一命中 $0.6\times0.2+0.4\times0.8=0.12+0.32=0.44$；都未中 $0.4\times0.2=0.08$。
方法概述： 命中独立：乘法算全中、分类算恰一、补事件算全不中。
规范步骤： 都命中：$0.6\times0.8=0.48$（独立相乘） 恰一命中：$0.6\times0.2+0.4\times0.8=0.44$（互斥相加） 都未命中：$0.4\times0.2=0.08$（对立事件相乘） 写出答案：$0.48,\ 0.44,\ 0.08$ 第一套 题目： 两炮独立射击，第一炮命中概率 $0.7$，第二炮命中概率 $0.9$。求：两炮都命中、恰有一炮命中、两炮都未命中的概率。
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（都命中，独立相乘）：$0.7\times0.9=\underline{\quad}$。 第 2 步（恰一命中，分类相加）：第一中二不中 $0.7\times0.1=0.07$、第二中一不中 $0.9\times0.3=0.27$，合 $0.07+0.27=\underline{\quad}$。 第 3 步（都未中，对立相乘）：$0.3\times0.1=\underline{\quad}$。 第二套 题目： 两名同学各投篮一次，甲命中概率 $0.7$，乙命中概率 $0.9$（相互独立）。求：两人都命中、恰有一人命中、两人都没命中的概率。
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（都命中）：$0.7\times0.9=\underline{\quad}$。 第 2 步（恰一命中）：$0.7\times0.1+0.9\times0.3=\underline{\quad}$。 第 3 步（都未中）：$0.3\times0.1=\underline{\quad}$。 第三套 题目： 两炮独立射击，命中概率分别为 $0.6$ 和 $0.8$。目标至少被命中一次的概率是多少？
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（都未命中）：$0.4\times0.2=\underline{\quad}$。 第 2 步（对立事件求补）：至少一命中 $=1-0.08=\underline{\quad}$。 第三套 题目： 三炮独立射击，命中概率分别为 $0.6,0.8,0.5$。恰好有一炮命中目标的概率是多少？
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（只第一炮中）：$0.6\times0.2\times0.5=\underline{\quad}$。 第 2 步（只第二炮中）：$0.4\times0.8\times0.5=\underline{\quad}$。 第 3 步（只第三炮中）：$0.4\times0.2\times0.5=\underline{\quad}$。 第 4 步（三种互斥相加）：$0.06+0.16+0.04=\underline{\quad}$。
32. 【原题 ch23-xingqu-10】张先生每天早晨开车上班时，有 $\frac{1}{3}$ 的概率碰上堵车。在不堵车的时候，张先生按时到达单位的概率为 $0.9$；堵车的时候，张先生迟到的概率高达 $0.8$。按时到达的概率只有 $0.2$。请问：张先生上班迟到的概率是多少？
详细思路 是哪类问题： 这是「全概率」类：按是否堵车分两种互斥情形，各算迟到概率再相加。
关键切入点： 不堵车 $\frac{2}{3}$、迟到 $0.1$，得 $\frac{2}{3}\times0.1=\frac{1}{15}$；堵车 $\frac{1}{3}$、迟到 $0.8$，得 $\frac{1}{3}\times0.8=\frac{4}{15}$；相加 $\frac{5}{15}=\frac{1}{3}$。
方法概述： 分情形（堵/不堵）各乘迟到概率再相加。
规范步骤： 不堵车且迟到：$\frac{2}{3}\times0.1=\frac{1}{15}$（条件相乘） 堵车且迟到：$\frac{1}{3}\times0.8=\frac{4}{15}$（条件相乘） 相加（全概率）：$\frac{1}{15}+\frac{4}{15}=\frac{1}{3}$（互斥相加） 写出答案：$\frac{1}{3}$ 第一套 题目： 张先生早晨有 $0.4$ 的概率堵车。不堵车时迟到概率为 $0.15$，堵车时迟到概率为 $0.75$。求他迟到的概率。
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（不堵车概率）：$1-0.4=\underline{\quad}$。 第 2 步（不堵且迟到）：$0.6\times0.15=\underline{\quad}$。 第 3 步（堵且迟到）：$0.4\times0.75=\underline{\quad}$。 第 4 步（相加）：$0.09+0.3=\underline{\quad}$。 第二套 题目： 某机器有 $0.4$ 的概率处于高负荷状态。高负荷时出故障概率 $0.75$，正常时出故障概率 $0.15$。求它出故障的概率。
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（正常状态概率）：$1-0.4=\underline{\quad}$。 第 2 步（正常且故障）：$0.6\times0.15=\underline{\quad}$。 第 3 步（高负荷且故障）：$0.4\times0.75=\underline{\quad}$。 第 4 步（相加）：$0.09+0.3=\underline{\quad}$。 第三套 题目： 张先生有 $\frac{1}{3}$ 的概率堵车。不堵车时按时到达概率 $0.9$，堵车时按时到达概率 $0.2$。求他按时到达的概率。
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（不堵车概率）：$1-\frac{1}{3}=\underline{\quad}$。 第 2 步（不堵且按时）：$\frac{2}{3}\times0.9=\underline{\quad}$。 第 3 步（堵且按时）：$\frac{1}{3}\times0.2=\underline{\quad}$。 第 4 步（相加）：$0.6+\frac{1}{15}=\underline{\quad}$。 第三套 题目： 张先生有 $\frac{1}{3}$ 的概率堵车。不堵车迟到概率 $0.1$，堵车迟到概率 $0.8$。已知他今天迟到了，那么他今天堵过车的概率是多少？
引导填空 （在横线上填关键结果）：
第 1 步（堵且迟到）：$\frac{1}{3}\times0.8=\underline{\quad}$。 第 2 步（迟到的总概率，全概率）：$\frac{2}{3}\times0.1+\frac{1}{3}\times0.8=\underline{\quad}$。 第 3 步（逆概率求补）：$\dfrac{\frac{4}{15}}{\frac{1}{3}}=\underline{\quad}$。
附录 · 答案
（原题答案见题库；以下为三套变式的完整填好步骤与最终答案）
1. ch23-chaoyue-01 · 第一套 第 1 步（还需胜几局）：阿呆还需 $5-2=\underline{3}$ 局，阿瓜也需 $3$ 局，最多再赛 $3+3-1=5$ 局，补足 $5$ 局。 第 2 步（阿呆胜≥3 局）：$\mathrm{C}_5^3+\mathrm{C}_5^4+\mathrm{C}_5^5=10+5+1=\underline{16}$。 第 3 步（求概率）：$\frac{16}{32}=\underline{16/32}$。 最终答案： $\frac{1}{2}$。1. ch23-chaoyue-01 · 第二套 第 1 步（还需胜几场）：红队还需 $4-2=\underline{2}$ 场，补足 $4$ 场。 第 2 步（红队胜≥2 场）：$\mathrm{C}_4^2+\mathrm{C}_4^3+\mathrm{C}_4^4=6+4+1=\underline{11}$。 第 3 步（求概率）：$\frac{11}{16}=\underline{11/16}$。 最终答案： $\frac{11}{16}$。1. ch23-chaoyue-01 · 第三套 第 1 步（还需胜几局）：阿呆还需 $4-3=\underline{1}$ 局，只要再赢 $1$ 局即可；阿瓜还需 $4$ 局。 第 2 步（对立面·阿呆最终输）：阿呆一旦赢一局就夺冠，故阿呆最终输当且仅当接下来阿瓜连赢 $4$ 局，概率 $\left(\frac{1}{2}\right)^4=\underline{1/2*1/2*1/2*1/2}$。 第 3 步（对立事件求补）：阿呆获胜 $=1-\frac{1}{16}=\underline{1-1/16}$。 最终答案： $\frac{15}{16}$。1. ch23-chaoyue-01 · 第三套 第 1 步（甲只差 1 局）：甲再胜 $1$ 局即获胜；否则要看后续。 第 2 步（对立面·甲最终输）：甲输当且仅当接下来乙连胜 $2$ 局，概率 $\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}=\underline{1/3*1/3}$。 第 3 步（对立事件求补）：甲获胜 $=1-\frac{1}{9}=\underline{1-1/9}$。 最终答案： $\frac{8}{9}$。3. ch23-chaoyue-03 · 第一套 第 1 步（剩余黑桃数）：$13-10=\underline{3}$。 第 2 步（每人都有：丙 1 丁 2 或丙 2 丁 1）：$\frac{2\times\mathrm{C}_3^1\times\mathrm{C}_{23}^{12}}{\mathrm{C}_{26}^{13}}=\frac{2\times3\times1352078}{10400600}=\underline{2*3*1352078/10400600}$。 第 3 步（某人独得 3 张：丙 3 丁 0 或丙 0 丁 3）：$\frac{2\times\mathrm{C}_{23}^{13}}{\mathrm{C}_{26}^{13}}=\frac{2\times1144066}{10400600}=\underline{2*1144066/10400600}$。 最终答案： （1）$\frac{39}{50}=0.78$；（2）$\frac{11}{50}=0.22$。3. ch23-chaoyue-03 · 第二套 第 1 步（剩余金卡数）：$13-11=\underline{2}$。 第 2 步（各 1 张）：$\frac{2\times2704156}{10400600}=\underline{2*2704156/10400600}$。 第 3 步（一人 2 一人 0）：$\frac{2\times2496144}{10400600}=\underline{2*2496144/10400600}$。 最终答案： （1）$0.52$；（2）$0.48$。3. ch23-chaoyue-03 · 第三套 第 1 步（各 1 张的概率）：$\frac{2\times2704156}{10400600}=\underline{2*2704156/10400600}$。 第 2 步（对立事件求补）：并非各 1 张 $=1-0.52=\underline{0.48}$。 最终答案： $0.48$。3. ch23-chaoyue-03 · 第三套 第 1 步（丙拿 2 张黑桃 + 11 张非黑桃）：有利数 $\mathrm{C}_2^2\times\mathrm{C}_{24}^{11}=1\times2496144=\underline{2496144}$。 第 2 步（求概率）：$\frac{2496144}{10400600}=\underline{2496144/10400600}$。 最终答案： $\frac{6}{25}=0.24$。4. ch23-chaoyue-04 · 第一套 第 1 步（真患且阳性）：$0.001\times0.98=\underline{0.00098}$。 第 2 步（未患但误报阳性）：$0.999\times0.05=\underline{0.04995}$。 第 3 步（阳性总概率，全概率）：$0.00098+0.04995=\underline{0.05093}$。 第 4 步（后验概率）：$\frac{0.00098}{0.05093}=\underline{0.00098/0.05093}$。 最终答案： 约 $0.019$。4. ch23-chaoyue-04 · 第二套 第 1 步（真次品且报警）：$0.0004\times0.95=\underline{0.00038}$。 第 2 步（正品误报警）：$0.9996\times0.1=\underline{0.09996}$。 第 3 步（报警总概率）：$0.00038+0.09996=\underline{0.10034}$。 第 4 步（后验概率）：$\frac{0.00038}{0.10034}=\underline{0.00038/0.10034}$。 最终答案： 约 $0.004$。4. ch23-chaoyue-04 · 第三套 第 1 步（真患但检出阴性）：$0.0004\times(1-0.95)=0.0004\times0.05=\underline{2e-05}$。 第 2 步（阴性总概率）：$0.0004\times0.05+0.9996\times0.9=\underline{0.89966}$。 第 3 步（后验概率）：$\frac{0.00002}{0.89966}=\underline{0.00002/0.89966}$。 最终答案： 约 $0.0000222$。4. ch23-chaoyue-04 · 第三套 第 1 步（真患且两次都阳性）：$0.0004\times0.95\times0.95=\underline{0.000361}$。 第 2 步（未患但两次都误报）：$0.9996\times0.1\times0.1=\underline{0.009996}$。 第 3 步（两次都阳性总概率）：$0.000361+0.009996=\underline{0.010357}$。 第 4 步（后验概率）：$\frac{0.000361}{0.010357}=\underline{0.000361/0.010357}$。 最终答案： 约 $0.035$。6. ch23-chaoyue-06 · 第一套 第 1 步（戴镜且 3 次全未中）：$\left(\frac{3}{4}\right)^3=\frac{3\times3\times3}{4\times4\times4}=\underline{27/64}$。 第 2 步（不戴镜必未中）：概率为 $1$（命中率 $0$）。 第 3 步（全未中，全概率）：$\frac{27}{64}\times\frac{1}{2}+1\times\frac{1}{2}=\underline{27/64*1/2+1*1/2}$。 第 4 步（后验概率）：$\dfrac{\frac{27}{64}\times\frac{1}{2}}{\frac{91}{128}}=\frac{27}{91}=\underline{27/91}$。 最终答案： $\frac{27}{91}$。6. ch23-chaoyue-06 · 第二套 第 1 步（$A$ 机且 3 件都无标记）：$\left(\frac{3}{4}\right)^3=\underline{27/64}$。 第 2 步（$B$ 机必无标记）：概率 $1$。 第 3 步（都无标记，全概率）：$\frac{27}{64}\times\frac{1}{2}+1\times\frac{1}{2}=\underline{27/64*1/2+1*1/2}$。 第 4 步（后验概率）：$\frac{27}{91}=\underline{27/91}$。 最终答案： $\frac{27}{91}$。6. ch23-chaoyue-06 · 第三套 第 1 步（戴镜全未中）：$\left(\frac{4}{5}\right)^5=\frac{1024}{3125}=\underline{1024/3125}$。 第 2 步（戴镜的后验概率）：$\frac{1024}{1024+3125}=\underline{1024/(1024+3125)}$。 第 3 步（对立事件求补）：没戴镜 $=1-\frac{1024}{4149}=\underline{1-1024/4149}$。 最终答案： $\frac{3125}{4149}$。6. ch23-chaoyue-06 · 第三套 第 1 步（戴镜且未中）：$\frac{1}{2}\times\frac{4}{5}=\underline{1/2*4/5}$。 第 2 步（不戴且未中）：$\frac{1}{2}\times\frac{9}{10}=\underline{1/2*9/10}$。 第 3 步（未中总概率，全概率）：$\frac{2}{5}+\frac{9}{20}=\underline{2/5+9/20}$。 第 4 步（后验概率）：$\dfrac{\frac{2}{5}}{\frac{17}{20}}=\underline{(2/5)/(17/20)}$。 最终答案： $\frac{8}{17}$。8. ch23-chaoyue-08 · 第一套 第 1 步（小规模找规律）：$2$ 人时 $p_2=\frac{1}{2}$；$3$ 人时 $p_3=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}=\underline{1/3+1/3*1/2}$。 第 2 步（对称性）：第 $1$ 号与第 $200$ 号座位地位对称，被打乱者最终“坐 $1$ 号”与“坐 $200$ 号”两事件概率相等，故 $p_{200}=\underline{1/2}$。 最终答案： $\frac{1}{2}$。8. ch23-chaoyue-08 · 第二套 第 1 步（小规模）：$2$ 人 $p_2=\frac{1}{2}$；$3$ 人 $p_3=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}=\underline{1/3+1/3*1/2}$。 第 2 步（对称性）：第 $1$ 号与第 $100$ 号座位对称，$p_{100}=\underline{1/2}$。 最终答案： $\frac{1}{2}$。8. ch23-chaoyue-08 · 第三套 第 1 步（递推式）：$p_4=\frac{1}{4}\times1+\frac{1}{4}\times p_3+\frac{1}{4}\times p_2$，其中疯子坐 $4$ 号则最后一人必坐错（贡献 $0$）。 第 2 步（代入 $p_3=p_2=\frac{1}{2}$）：$\frac{1}{4}\times1+\frac{1}{4}\times\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\times\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\times0=\underline{1/4*1+1/4*1/2+1/4*1/2+1/4*0}$。 最终答案： $\frac{1}{2}$。8. ch23-chaoyue-08 · 第三套 第 1 步（关键对称）：轮到第 $99$ 人时，只有 $1$ 号座、$99$ 号座、$100$ 号座这几种“未定”座位与他相关，第 $99$ 号座与第 $1$ 号座在此之前地位对称。 第 2 步（细化对称）：把 $2\sim98$ 号乘客的影响归约后，第 $99$ 号座被占的两种对称来源使其空着的概率为 $\frac{2}{3}$，故坐对概率 $=\frac{2}{3}=\underline{2/3}$。 最终答案： $\frac{2}{3}$。9. ch23-tuozhan-01 · 第一套 第 1 步（先验总数）：$5+10+20+10+5=\underline{50}$。 第 2 步（频数÷总数）：$\frac{5}{50}=\underline{0.1}$、$\frac{10}{50}=\underline{0.2}$、$\frac{20}{50}=\underline{0.4}$、$\frac{10}{50}=\underline{0.2}$、$\frac{5}{50}=\underline{0.1}$。 最终答案： $50$；百分数 $10\%,20\%,40\%,20\%,10\%$。9. ch23-tuozhan-01 · 第二套 第 1 步（先验总数）：$5+10+20+10+5=\underline{50}$。 第 2 步（频数÷总数）：$\frac{5}{50}=\underline{0.1}$、$\frac{10}{50}=\underline{0.2}$、$\frac{20}{50}=\underline{0.4}$、$\frac{10}{50}=\underline{0.2}$、$\frac{5}{50}=\underline{0.1}$。 最终答案： $50$；$10\%,20\%,40\%,20\%,10\%$。9. ch23-tuozhan-01 · 第三套 第 1 步（先求百分数）：如 $\frac{20}{50}=\underline{0.4}$。 第 2 步（百分数×360°）：$\frac{5}{50}\times360^\circ=\underline{36}$、$\frac{10}{50}\times360^\circ=\underline{72}$、$\frac{20}{50}\times360^\circ=\underline{144}$、$\frac{10}{50}\times360^\circ=\underline{72}$、$\frac{5}{50}\times360^\circ=\underline{36}$。 最终答案： 圆心角 $36^\circ,72^\circ,144^\circ,72^\circ,36^\circ$。9. ch23-tuozhan-01 · 第三套 第 1 步（前三区间频数合计）：$5+10+20=\underline{35}$。 第 2 步（累计频率）：$\frac{35}{50}=\underline{0.7}$。 第 3 步（最大区间圆心角）：其百分数 $\frac{20}{50}=\underline{0.4}$，圆心角 $\frac{20}{50}\times360^\circ=\underline{144}$。 最终答案： （1）$70\%$；（2）$144^\circ$。10. ch23-tuozhan-02 · 第一套 第 1 步（抽到 73）：$\frac{1}{200}=\underline{0.005}$。 第 2 步（偶数）：$1\sim200$ 中偶数 $100$ 个，$\frac{100}{200}=\underline{0.5}$。 第 3 步（抽到 201，不可能）：概率 $=\underline{0}$。 第 4 步（小于 500，必然）：概率 $=\underline{1}$。 最终答案： （1）$0.005$；（2）$0.5$；（3）$0$；（4）$1$。10. ch23-tuozhan-02 · 第二套 第 1 步（73 号）：$\frac{1}{200}=\underline{0.005}$。 第 2 步（偶数号）：$\frac{100}{200}=\underline{0.5}$。 第 3 步（201 号）：$=\underline{0}$。 第 4 步（小于 500 号）：$=\underline{1}$。 最终答案： （1）$0.005$；（2）$0.5$；（3）$0$；（4）$1$。10. ch23-tuozhan-02 · 第三套 第 1 步（数质数个数）：题给共 $\underline{15}$ 个质数。 第 2 步（求概率）：$\frac{15}{50}=\underline{0.3}$。 最终答案： $0.3$。10. ch23-tuozhan-02 · 第三套 第 1 步（$2$ 的倍数）：$100\div2=\underline{50}$ 个。 第 2 步（$3$ 的倍数）：$1\sim100$ 中有 $33$ 个。 第 3 步（$6$ 的倍数，重复部分）：$1\sim100$ 中有 $16$ 个。 第 4 步（容斥求个数）：$50+33-16=\underline{67}$。 第 5 步（求概率）：$\frac{67}{100}=\underline{0.67}$。 最终答案： $0.67$。11. ch23-tuozhan-03 · 第一套 第 1 步（乘 $A$ 路的时间窗）：$A$ 到来前的 $7$ 分钟内到站的人乘 $A$，窗长 $7$。 第 2 步（验证两窗之和）：$7+5=\underline{12}$，恰为间隔 $12$。 第 3 步（求概率）：$\frac{7}{12}=\underline{7/12}$。 最终答案： $\frac{7}{12}$。11. ch23-tuozhan-03 · 第二套 第 1 步（有利时间窗）：绿灯时长 $7$ 秒。 第 2 步（一个周期）：$7+5=\underline{12}$ 秒。 第 3 步（求概率）：$\frac{7}{12}=\underline{7/12}$。 最终答案： $\frac{7}{12}$。11. ch23-tuozhan-03 · 第三套 第 1 步（有利长度）：目标线段长 $4$ 厘米。 第 2 步（总长度）：木条长 $10$ 厘米。 第 3 步（求概率）：$\frac{4}{10}=\underline{4/10}$。 最终答案： $\frac{2}{5}$。11. ch23-tuozhan-03 · 第三套 第 1 步（有利面积）：中央正方形 $6\times6=\underline{36}$ 平方分米。 第 2 步（总面积）：大正方形 $10\times10=\underline{100}$ 平方分米。 第 3 步（求概率）：$\frac{36}{100}=\underline{0.36}$。 最终答案： $0.36$。12. ch23-tuozhan-04 · 第一套 第 1 步（总排列数）：$\mathrm{A}_{30}^2=30\times29=\underline{870}$。 第 2 步（求概率）：$\frac{87}{870}=\underline{87/870}$。 最终答案： $\frac{1}{10}$。12. ch23-tuozhan-04 · 第二套 第 1 步（总排法）：$\mathrm{A}_{26}^2=26\times25=\underline{650}$。 第 2 步（求概率）：$\frac{55}{650}=\underline{55/650}$。 最终答案： $\frac{11}{130}$。12. ch23-tuozhan-04 · 第三套 第 1 步（总组合数）：$\mathrm{C}_{26}^2=\frac{26\times25}{2}=\underline{325}$。 第 2 步（求概率）：$\frac{30}{325}=\underline{30/325}$。 最终答案： $\frac{6}{65}$。12. ch23-tuozhan-04 · 第三套 第 1 步（总排列数）：$\mathrm{A}_{26}^2=26\times25=\underline{650}$。 第 2 步（能成词概率）：$\frac{55}{650}=\underline{55/650}$。 第 3 步（对立事件求补）：不能成词 $=1-\frac{55}{650}=\underline{1-55/650}$。 最终答案： $\frac{119}{130}$。13. ch23-tuozhan-05 · 第一套 第 1 步（总选法）：$6\times8=\underline{48}$。 第 2 步（相同情形）：共同水果 $5$ 种，各 $1$ 种相同选法，共 $\underline{5}$ 种。 第 3 步（对立事件求补）：不同 $=\frac{48-5}{48}=\underline{(48-5)/48}$。 最终答案： $\frac{43}{48}$。13. ch23-tuozhan-05 · 第二套 第 1 步（总选法）：$6\times8=\underline{48}$。 第 2 步（相同情形）：共同课程 $5$ 门，共 $\underline{5}$ 种。 第 3 步（对立事件求补）：不同 $=\frac{48-5}{48}=\underline{(48-5)/48}$。 最终答案： $\frac{43}{48}$。13. ch23-tuozhan-05 · 第三套 第 1 步（总选法）：$4\times5=\underline{20}$。 第 2 步（相同情形）：共同水果橘、香蕉、葡萄、苹果（苹果两边都有）共 $\underline{4}$ 种。 第 3 步（求概率）：$\frac{4}{20}=\underline{4/20}$。 最终答案： $\frac{1}{5}$。13. ch23-tuozhan-05 · 第三套 第 1 步（总选法）：$4\times4\times4=\underline{64}$。 第 2 步（两两都不同的选法）：第一人 $4$ 种、第二人避开 $1$ 种剩 $3$ 种、第三人再避开剩 $2$ 种，$4\times3\times2=\underline{24}$。 第 3 步（求概率）：$\frac{24}{64}=\underline{0.375}$。 最终答案： $\frac{3}{8}$。14. ch23-tuozhan-06 · 第一套 第 1 步（总数）：$6\times6=\underline{36}$。 第 2 步（枚举和为 5）：$(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)$ 共 $\underline{4}$ 种。 第 3 步（求概率）：$\frac{4}{36}=\underline{4/36}$。 最终答案： $\frac{1}{9}$。14. ch23-tuozhan-06 · 第二套 第 1 步（总数）：$6\times6=\underline{36}$。 第 2 步（枚举和为 5）：$(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)$ 共 $\underline{4}$ 种。 第 3 步（求概率）：$\frac{4}{36}=\underline{4/36}$。 最终答案： $\frac{1}{9}$。14. ch23-tuozhan-06 · 第三套 第 1 步（总数）：$6\times6=\underline{36}$。 第 2 步（枚举和为 7）：$(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)$ 共 $\underline{6}$ 种。 第 3 步（求概率）：$\frac{6}{36}=\underline{6/36}$。 最终答案： $\frac{1}{6}$。14. ch23-tuozhan-06 · 第三套 第 1 步（总数）：$6\times6\times6=\underline{216}$。 第 2 步（有利情形数）：和为 $10$ 的点数组合（有序）共有 $27$ 种。 第 3 步（求概率）：$\frac{27}{216}=\underline{27/216}$。 最终答案： $\frac{1}{8}$。15. ch23-tuozhan-07 · 第一套 第 1 步（总数）：$2^{10}=\underline{1024}$。 第 2 步（恰 5 正情形）：$\mathrm{C}_{10}^5=\underline{252}$。 第 3 步（求概率）：$\frac{252}{1024}=\underline{252/1024}$。 最终答案： $\frac{63}{256}$。15. ch23-tuozhan-07 · 第二套 第 1 步（总数）：每人 $2$ 种，$2^{10}=\underline{1024}$。 第 2 步（恰 5 人举右手）：$\mathrm{C}_{10}^5=\underline{252}$。 第 3 步（求概率）：$\frac{252}{1024}=\underline{252/1024}$。 最终答案： $\frac{63}{256}$。15. ch23-tuozhan-07 · 第三套 第 1 步（总数）：$2^8=\underline{256}$。 第 2 步（少于 4 正即 0,1,2,3 正）：$\mathrm{C}_8^0+\mathrm{C}_8^1+\mathrm{C}_8^2+\mathrm{C}_8^3=1+8+28+56=\underline{93}$。 第 3 步（求概率）：$\frac{93}{256}=\underline{93/256}$。 最终答案： $\frac{93}{256}$。15. ch23-tuozhan-07 · 第三套 第 1 步（总数）：$2^8=\underline{256}$。 第 2 步（少于 4 正的情形数）：$1+8+28+56=\underline{93}$。 第 3 步（对立事件求补）：至少 4 正 $=1-\frac{93}{256}=\underline{1-93/256}$。 最终答案： $\frac{163}{256}$。16. ch23-tuozhan-08 · 第一套 第 1 步（总取法）：$\mathrm{C}_{15}^3=\frac{15\times14\times13}{6}=\underline{455}$。 第 2 步（三色各 1 支）：$4\times5\times6=\underline{120}$。 第 3 步（求概率）：$\frac{120}{455}=\underline{120/455}$。 最终答案： $\frac{24}{91}$。16. ch23-tuozhan-08 · 第二套 第 1 步（总取法）：$\mathrm{C}_{15}^3=\underline{455}$。 第 2 步（三色各 1）：$4\times5\times6=\underline{120}$。 第 3 步（求概率）：$\frac{120}{455}=\underline{120/455}$。 最终答案： $\frac{24}{91}$。16. ch23-tuozhan-08 · 第三套 第 1 步（三色都取到的概率）：$\frac{4\times5\times6}{\mathrm{C}_{15}^3}=\frac{120}{455}=\underline{120/455}$。 第 2 步（对立事件求补）：并非三色都取到 $=1-\frac{120}{455}=\underline{1-120/455}$。 最终答案： $\frac{67}{91}$。16. ch23-tuozhan-08 · 第三套 第 1 步（总取法）：$\mathrm{C}_{15}^3=\underline{455}$。 第 2 步（三支同色）：$\mathrm{C}_4^3+\mathrm{C}_5^3+\mathrm{C}_6^3=4+10+20=\underline{34}$。 第 3 步（三支三色）：$4\times5\times6=\underline{120}$。 第 4 步（恰两色 = 总 - 同色 - 三色）：$455-34-120=\underline{301}$，概率 $\frac{301}{455}=\underline{301/455}$。 最终答案： $\frac{43}{65}$。18. ch23-tuozhan-10 · 第一套 第 1 步（总分组数）：$8$ 人平均分 $4$ 组共 $\underline{105}$ 种。 第 2 步（两人同组）：固定二人一组，剩 $6$ 人平均分 $3$ 组共 $\underline{15}$ 种。 第 3 步（求概率）：$\frac{15}{105}=\underline{15/105}$。 最终答案： $\frac{1}{7}$。18. ch23-tuozhan-10 · 第二套 第 1 步（总分组数）：共 $\underline{105}$ 种。 第 2 步（两人同组）：固定二人一组，剩 $6$ 人分 $3$ 组共 $\underline{15}$ 种。 第 3 步（求概率）：$\frac{15}{105}=\underline{15/105}$。 最终答案： $\frac{1}{7}$。18. ch23-tuozhan-10 · 第三套 第 1 步（同组概率）：$\frac{3}{15}=\underline{3/15}$。 第 2 步（对立事件求补）：不同组 $=1-\frac{3}{15}=\underline{1-3/15}$。 最终答案： $\frac{4}{5}$。18. ch23-tuozhan-10 · 第三套 第 1 步（有利分法）：$3$ 人各占一组，先给三组各放一名指定的人（组间无序，等价于把另 $3$ 人分别配给他们），共 $3\times2\times1=\underline{6}$ 种。 第 2 步（求概率）：$\frac{6}{15}=\underline{0.4}$。 最终答案： $\frac{2}{5}$。19. ch23-tuozhan-11 · 第一套 第 1 步（全合格概率）：$\frac{\mathrm{C}_{297}^5}{\mathrm{C}_{300}^5}=\frac{295\times294\times293}{300\times299\times298}=\underline{0.950666652}$（约）。 第 2 步（发现次品概率）：$1-0.9507=\underline{0.049333348}$（约）。 第 3 步（比较）：因为 $0.0493<0.05$，所以比 $5\%$ 小。 最终答案： 比 $5\%$ 小。19. ch23-tuozhan-11 · 第二套 第 1 步（全合格概率）：$\frac{\mathrm{C}_{198}^5}{\mathrm{C}_{200}^5}=\frac{195\times194}{200\times199}=\underline{0.950502513}$（约）。 第 2 步（发现不合格概率）：$1-0.9505=\underline{0.049497487}$（约）。 第 3 步（比较）：$0.0495<0.05$，比 $5\%$ 小。 最终答案： 比 $5\%$ 小。19. ch23-tuozhan-11 · 第三套 第 1 步（两件全合格概率）：$\frac{\mathrm{C}_{198}^2}{\mathrm{C}_{200}^2}=\frac{198\times197}{200\times199}=\underline{198*197/(200*199)}$。 第 2 步（对立事件求补）：至少 $1$ 件次品 $=1-\frac{198\times197}{200\times199}=\underline{1-198*197/(200*199)}$。 最终答案： 约 $0.0199$。19. ch23-tuozhan-11 · 第三套 第 1 步（总取法）：$\mathrm{C}_{200}^2=\frac{200\times199}{2}=\underline{19900}$。 第 2 步（两件都次品）：$\mathrm{C}_5^2=\frac{5\times4}{2}=\underline{10}$。 第 3 步（求概率）：$\frac{10}{19900}=\underline{10/19900}$。 最终答案： $\frac{1}{1990}$。20. ch23-tuozhan-12 · 第一套 第 1 步（偶数 = 2 或 4 或 6）：$0.1+0.2+0.3=\underline{0.6}$。 第 2 步（先 2 后 5，独立相乘）：$0.1\times0.1=\underline{0.01}$。 第 3 步（点数相同）：$0.2^2+0.1^2+0.1^2+0.2^2+0.1^2+0.3^2=\underline{0.2}$。 最终答案： （1）$0.6$；（2）$0.01$；（3）$0.2$。20. ch23-tuozhan-12 · 第二套 第 1 步（偶数区）：$0.1+0.2+0.3=\underline{0.6}$。 第 2 步（先 2 后 5）：$0.1\times0.1=\underline{0.01}$。 第 3 步（相同数字）：$0.2^2+0.1^2+0.1^2+0.2^2+0.1^2+0.3^2=\underline{0.2}$。 最终答案： （1）$0.6$；（2）$0.01$；（3）$0.2$。20. ch23-tuozhan-12 · 第三套 第 1 步（点数相同）：$0.1^2+0.2^2+0.2^2+0.1^2+0.3^2+0.1^2=\underline{0.2}$。 第 2 步（对立事件求补）：点数不同 $=1-0.2=\underline{0.8}$。 最终答案： $0.8$。20. ch23-tuozhan-12 · 第三套 第 1 步（列出和为 4 的有序对）：$(1,3),(2,2),(3,1)$。 第 2 步（各对概率，独立相乘）：$0.1\times0.2=0.02$、$0.2\times0.2=0.04$、$0.2\times0.1=\underline{0.02}$。 第 3 步（互斥相加）：$0.02+0.04+0.02=\underline{0.08}$。 最终答案： $0.08$。21. ch23-tuozhan-13 · 第一套 第 1 步（数黑色面总数）：全黑卡 $3$ 张贡献 $3\times2=6$ 个黑面，半黑卡贡献 $1$ 个，共 $6+1=\underline{7}$ 个。 第 2 步（另一面也黑的黑面）：只有全黑卡的 $6$ 个黑面符合，共 $\underline{6}$ 个。 第 3 步（条件概率）：$\frac{6}{7}=\underline{6/7}$。 最终答案： $\frac{6}{7}$。21. ch23-tuozhan-13 · 第二套 第 1 步（数字面总数）：$3\times2+1=\underline{7}$ 个。 第 2 步（另一面也数字的面）：$3\times2=\underline{6}$ 个。 第 3 步（条件概率）：$\frac{6}{7}=\underline{6/7}$。 最终答案： $\frac{6}{7}$。21. ch23-tuozhan-13 · 第三套 第 1 步（红色面总数）：红黄卡、蓝红卡各有 $1$ 个红面，共 $1+1=\underline{2}$ 个。 第 2 步（另一面蓝的红面）：只有蓝红卡符合，共 $\underline{1}$ 个。 第 3 步（条件概率）：$\frac{1}{2}=\underline{1/2}$。 最终答案： $\frac{1}{2}$。21. ch23-tuozhan-13 · 第三套 第 1 步（黑色面总数）：全黑卡 $4\times2=8$ 个、半黑卡 $3$ 个，共 $8+3=\underline{11}$ 个。 第 2 步（另一面为白的黑面）：只有半黑卡的黑面符合，共 $\underline{3}$ 个。 第 3 步（条件概率）：$\frac{3}{11}=\underline{3/11}$。 最终答案： $\frac{3}{11}$。22. ch23-tuozhan-14 · 第一套 第 1 步（甲中乙不中）：$0.8\times0.5=\underline{0.4}$。 第 2 步（至少一人击中）：$0.8\times0.5+0.2\times0.5+0.8\times0.5=\underline{0.9}$。 第 3 步（条件概率）：$\frac{0.4}{0.9}=\underline{0.4/0.9}$。 最终答案： $\frac{4}{9}$。22. ch23-tuozhan-14 · 第二套 第 1 步（甲成乙不成）：$0.6\times0.3=\underline{0.18}$。 第 2 步（至少一人成功）：$0.6\times0.3+0.4\times0.7+0.6\times0.7=\underline{0.88}$。 第 3 步（条件概率）：$\frac{0.18}{0.88}=\underline{0.18/0.88}$。 最终答案： $\frac{9}{44}$。22. ch23-tuozhan-14 · 第三套 第 1 步（两人都中）：$0.6\times0.7=\underline{0.42}$。 第 2 步（至少一人击中）：$0.6\times0.3+0.4\times0.7+0.6\times0.7=\underline{0.88}$。 第 3 步（条件概率）：$\frac{0.42}{0.88}=\underline{0.42/0.88}$。 最终答案： $\frac{21}{44}$。22. ch23-tuozhan-14 · 第三套 第 1 步（只有甲命中）：$0.6\times0.3\times0.5=\underline{0.09}$。 第 2 步（都不中）：$0.4\times0.3\times0.5=\underline{0.06}$。 第 3 步（至少一人命中）：$1-0.06=\underline{0.94}$。 第 4 步（条件概率）：$\frac{0.09}{0.94}=\underline{0.09/0.94}$。 最终答案： $\frac{9}{94}$。23. ch23-xingqu-01 · 第一套 第 1 步（先验总数）：把各频数相加 $4+6+16+8+6=\underline{40}$，与总数一致才能算百分数。 第 2 步（频数÷总数）：第一区间 $\frac{4}{40}=\underline{0.1}$、第二区间 $\frac{6}{40}=\underline{0.15}$、第三区间 $\frac{16}{40}=\underline{0.4}$、第四区间 $\frac{8}{40}=\underline{0.2}$、第五区间 $\frac{6}{40}=\underline{0.15}$。 最终答案： $40$ 家；百分数 $10\%,15\%,40\%,20\%,15\%$。23. ch23-xingqu-01 · 第二套 第 1 步（先验总数）：$4+6+16+8+6=\underline{40}$。 第 2 步（频数÷总数）：各区间 $\frac{4}{40}=\underline{0.1}$、$\frac{6}{40}=\underline{0.15}$、$\frac{16}{40}=\underline{0.4}$、$\frac{8}{40}=\underline{0.2}$、$\frac{6}{40}=\underline{0.15}$。 最终答案： $40$；百分数 $10\%,15\%,40\%,20\%,15\%$。23. ch23-xingqu-01 · 第三套 第 1 步（先求百分数）：如第三区间 $\frac{16}{40}=\underline{0.4}$。 第 2 步（百分数×360°）：圆心角依次 $\frac{4}{40}\times360^\circ=\underline{36}$、$\frac{6}{40}\times360^\circ=\underline{54}$、$\frac{16}{40}\times360^\circ=\underline{144}$、$\frac{8}{40}\times360^\circ=\underline{72}$、$\frac{6}{40}\times360^\circ=\underline{54}$（合计应为 $360^\circ$）。 最终答案： 圆心角 $36^\circ,54^\circ,144^\circ,72^\circ,54^\circ$。23. ch23-xingqu-01 · 第三套 第 1 步（前三区间频数合计）：$4+6+16=\underline{26}$。 第 2 步（累计频率）：合计除以总数 $\frac{26}{40}=\underline{0.65}$。 第 3 步（第三区间圆心角）：先求其百分数 $\frac{16}{40}=\underline{0.4}$，再 $\times360^\circ$ 得 $\frac{16}{40}\times360^\circ=\underline{144}$。 最终答案： （1）$65\%$；（2）$144^\circ$。24. ch23-xingqu-02 · 第一套 第 1 步（总球数）：$4+6+10=\underline{20}$。 第 2 步（红球）：有利数 $4$，概率 $=\underline{4/20}$。 第 3 步（黄或黑，互斥相加）：有利数 $6+10=\underline{16}$，概率 $=\underline{16/20}$。 第 4 步（白球）：袋中没有白球，取到白球概率 $=\underline{0}$，不是白球（必然）概率 $=\underline{1}$。 最终答案： （1）$\frac{1}{5}$；（2）$\frac{4}{5}$；（3）白球 $0$，不是白球 $1$。24. ch23-xingqu-02 · 第二套 第 1 步（总券数）：$4+6+10=\underline{20}$。 第 2 步（一等奖）：概率 $=\underline{4/20}$。 第 3 步（二等或三等，互斥相加）：有利数 $6+10=\underline{16}$，概率 $=\underline{16/20}$。 第 4 步（纪念券/非纪念券）：$=\underline{0}$ 与 $=\underline{1}$。 最终答案： （1）$\frac{1}{5}$；（2）$\frac{4}{5}$；（3）$0$ 与 $1$。24. ch23-xingqu-02 · 第三套 第 1 步（总球数）：$2+3+4=\underline{9}$。 第 2 步（先求红球概率）：$=\underline{2/9}$。 第 3 步（对立事件求补）：不是红球的概率 $=1-\frac{2}{9}=\underline{1-2/9}$。 最终答案： $\frac{7}{9}$。24. ch23-xingqu-02 · 第三套 第 1 步（第一次取黑球）：黑球 $4$ 个，总 $9$ 个，概率 $=\underline{4/9}$。 第 2 步（取后不放回，第二次）：剩黑球 $3$ 个，总 $8$ 个，概率 $=\underline{3/8}$。 第 3 步（相乘）：两次都是黑球 $\frac{4}{9}\times\frac{3}{8}=\underline{4/9*3/8}$。 最终答案： $\frac{1}{6}$。25. ch23-xingqu-03 · 第一套 第 1 步（去掉“最小”）：墨莫不是最小，可能的名次数为 $9-1=\underline{8}$。 第 2 步（等可能取最大）：最大占其中 $1$ 个，概率 $=\frac{1}{8}=\underline{1/8}$。 最终答案： $\frac{1}{8}$。25. ch23-xingqu-03 · 第二套 第 1 步（去掉“最后一名”）：可能的名次数 $9-1=\underline{8}$。 第 2 步（取第一名）：概率 $=\frac{1}{8}=\underline{1/8}$。 最终答案： $\frac{1}{8}$。25. ch23-xingqu-03 · 第三套 第 1 步（去掉“最大”）：可能的名次数 $6-1=\underline{5}$。 第 2 步（取最小）：概率 $=\frac{1}{5}=\underline{1/5}$。 最终答案： $\frac{1}{5}$。25. ch23-xingqu-03 · 第三套 第 1 步（去掉两端）：既不是最大也不是最小，可去掉 $2$ 个名次，剩 $6-2=\underline{4}$ 个名次等可能。 第 2 步（取“第二大”）：它占其中 $1$ 个，概率 $=\frac{1}{4}=\underline{1/4}$。 最终答案： $\frac{1}{4}$。26. ch23-xingqu-04 · 第一套 第 1 步（独立）：第十次与前面无关，只看单次。 第 2 步（数奇数点）：$1\sim12$ 中奇数为 $1,3,5,7,9,11$ 共 $\underline{6}$ 个。 第 3 步（求概率）：$\frac{6}{12}=\underline{6/12}$。 最终答案： $\frac{1}{2}$。26. ch23-xingqu-04 · 第二套 第 1 步（独立）：第十次与前面无关。 第 2 步（数奇数格）：奇数 $1,3,5,7,9,11$ 共 $\underline{6}$ 个。 第 3 步（求概率）：$\frac{6}{12}=\underline{6/12}$。 最终答案： $\frac{1}{2}$。26. ch23-xingqu-04 · 第三套 第 1 步（数质数点）：$1\sim6$ 中质数为 $2,3,5$ 共 $\underline{3}$ 个。 第 2 步（求概率）：$\frac{3}{6}=\underline{3/6}$。 最终答案： $\frac{1}{2}$。26. ch23-xingqu-04 · 第三套 第 1 步（单次奇数）：奇数 $1,3,5$ 共 $3$ 个，单次概率 $\frac{3}{6}=\underline{3/6}$。 第 2 步（两次独立相乘）：$\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\underline{1/2*1/2}$。 最终答案： $\frac{1}{4}$。27. ch23-xingqu-05 · 第一套 第 1 步（总结果数）：$2^5=\underline{32}$。 第 2 步（小高获胜情形，≥3 正）：恰 $3,4,5$ 枚正面的情况数为 $\mathrm{C}_5^3+\mathrm{C}_5^4+\mathrm{C}_5^5=10+5+1=\underline{16}$。 第 3 步（小高胜概率）：$\frac{16}{32}=\underline{16/32}$，与墨莫相等，故公平。 最终答案： 公平（双方各 $\frac{1}{2}$）。27. ch23-xingqu-05 · 第二套 第 1 步（总结果数）：每次 $2$ 种结果，$2^5=\underline{32}$。 第 2 步（甲获胜情形，≥3 中）：$\mathrm{C}_5^3+\mathrm{C}_5^4+\mathrm{C}_5^5=10+5+1=\underline{16}$。 第 3 步（甲胜概率）：$\frac{16}{32}=\underline{16/32}$，公平。 最终答案： 公平。27. ch23-xingqu-05 · 第三套 第 1 步（总结果数）：$2^3=\underline{8}$。 第 2 步（恰 $2$ 正情形）：正正反、正反正、反正正共 $\underline{3}$ 种。 第 3 步（求概率）：$\frac{3}{8}=\underline{3/8}$。 最终答案： $\frac{3}{8}$。27. ch23-xingqu-05 · 第三套 第 1 步（总结果数）：$2^4=\underline{16}$。 第 2 步（小高获胜情形，≥3 正）：$\mathrm{C}_4^3+\mathrm{C}_4^4=4+1=\underline{5}$。 第 3 步（小高胜概率）：$\frac{5}{16}=\underline{5/16}$。 第 4 步（比较判断）：因为 $\frac{5}{16}\ne\frac{1}{2}$，游戏不公平；墨莫胜概率 $1-\frac{5}{16}=\underline{1-5/16}$。 最终答案： （1）$\frac{5}{16}$；（2）不公平（墨莫 $\frac{11}{16}$）。28. ch23-xingqu-06 · 第一套 第 1 步（总取法）：$\mathrm{C}_{12}^2=\frac{12\times11}{2}=\underline{66}$。 第 2 步（花色相同情形）：每种花色 $3$ 张、取 $2$ 张有 $\mathrm{C}_3^2=3$ 种，$4$ 种花色共 $4\times3=\underline{12}$ 种。 第 3 步（求概率）：$\frac{12}{66}=\underline{12/66}$。 最终答案： $\frac{2}{11}$。28. ch23-xingqu-06 · 第二套 第 1 步（总取法）：$\mathrm{C}_{12}^2=\frac{12\times11}{2}=\underline{66}$。 第 2 步（同色情形）：每色 $\mathrm{C}_3^2=3$ 种，$4$ 色共 $4\times3=\underline{12}$ 种。 第 3 步（求概率）：$\frac{12}{66}=\underline{12/66}$。 最终答案： $\frac{2}{11}$。28. ch23-xingqu-06 · 第三套 第 1 步（总取法）：$\mathrm{C}_8^2=\underline{28}$。 第 2 步（花色相同数）：$4$ 种花色各 $1$ 对，共 $\underline{4}$ 种。 第 3 步（对立事件求补）：花色不同概率 $=1-\frac{4}{28}=\underline{1-4/28}$。 最终答案： $\frac{6}{7}$。28. ch23-xingqu-06 · 第三套 第 1 步（总取法）：$\mathrm{C}_8^3=\frac{8\times7\times6}{6}=\underline{56}$。 第 2 步（对立面·三张花色互不相同）：先选 $3$ 种花色 $\mathrm{C}_4^3=4$，每种再从 $2$ 张里取 $1$ 张 $2\times2\times2=8$，共 $4\times8=\underline{32}$ 种。 第 3 步（对立事件求补）：至少两张同花色 $=1-\frac{32}{56}=\underline{1-32/56}$。 最终答案： $\frac{3}{7}$。29. ch23-xingqu-07 · 第一套 第 1 步（总选法）：$6\times8=\underline{48}$。 第 2 步（分类数倍数对）：萱萱选 $1$ 有 $8$ 种、选 $2$ 有 $4$ 种（$2,4,6,8$）、选 $3$ 有 $3$ 种（$3,6,9$）、选 $4$ 有 $3$ 种（$2,4,8$）、选 $5$ 有 $1$ 种（$5$）、选 $6$ 有 $3$ 种（$2,3,6$），共 $8+4+3+3+1+3=\underline{22}$ 种。 第 3 步（求概率）：$\frac{22}{48}=\underline{22/48}$。 最终答案： $\frac{11}{24}$。29. ch23-xingqu-07 · 第二套 第 1 步（总抽法）：$5\times6=\underline{30}$。 第 2 步（分类数倍数对）：甲抽 $1$ 有 $6$ 种、$2$ 有 $3$ 种、$3$ 有 $2$ 种、$4$ 有 $2$ 种、$5$ 有 $1$ 种，共 $6+3+2+2+1=\underline{14}$ 种。 第 3 步（求概率）：$\frac{14}{30}=\underline{14/30}$。 最终答案： $\frac{7}{15}$。29. ch23-xingqu-07 · 第三套 第 1 步（总选法）：$5\times5=\underline{25}$。 第 2 步（分类数互质对）：萱萱选 $1$ 有 $5$ 种、$2$ 有 $3$ 种（$1,3,5$）、$3$ 有 $4$ 种（$1,2,4,5$）、$4$ 有 $3$ 种（$1,3,5$）、$5$ 有 $4$ 种（$1,2,3,4$），共 $5+3+4+3+4=\underline{19}$ 种。 第 3 步（求概率）：$\frac{19}{25}=\underline{19/25}$。 最终答案： $\frac{19}{25}$。29. ch23-xingqu-07 · 第三套 第 1 步（总取法·有序）：$6\times6=\underline{36}$。 第 2 步（分类数：$a$ 是 $b$ 的倍数）：按 $b=1,2,3,4,5,6$ 数出可行的 $a$：$b=1$ 有 $6$ 个、$b=2$ 有 $3$ 个（$2,4,6$）、$b=3$ 有 $2$ 个（$3,6$）、$b=4$ 有 $1$ 个（$4$）、$b=5$ 有 $1$ 个（$5$）、$b=6$ 有 $1$ 个（$6$），共 $6+3+2+1+1+1=\underline{14}$ 种。 第 3 步（求概率）：$\frac{14}{36}=\underline{14/36}$。 最终答案： $\frac{7}{18}$。30. ch23-xingqu-08 · 第一套 第 1 步（总取法）：$12\times12=\underline{144}$。 第 2 步（两黑）：$7\times6=\underline{42}$。 第 3 步（两白）：$5\times6=\underline{30}$。 第 4 步（同色概率）：$\frac{42+30}{144}=\underline{(42+30)/144}$。 最终答案： $\frac{1}{2}$。30. ch23-xingqu-08 · 第二套 第 1 步（总取法）：$12\times12=\underline{144}$。 第 2 步（两红）：$7\times6=\underline{42}$。 第 3 步（两蓝）：$5\times6=\underline{30}$。 第 4 步（同色概率）：$\frac{42+30}{144}=\underline{(42+30)/144}$。 最终答案： $\frac{1}{2}$。30. ch23-xingqu-08 · 第三套 第 1 步（总取法）：$8\times8=\underline{64}$。 第 2 步（同色数）：两黑 $5\times4=20$、两白 $3\times4=12$，共 $20+12=\underline{32}$。 第 3 步（对立事件求补）：异色概率 $=1-\frac{32}{64}=\underline{1-32/64}$。 最终答案： $\frac{1}{2}$。30. ch23-xingqu-08 · 第三套 第 1 步（总取法）：$8\times8\times8=\underline{512}$。 第 2 步（三黑取法）：$5\times4\times6=\underline{120}$。 第 3 步（求概率）：$\frac{120}{512}=\underline{120/512}$。 最终答案： $\frac{15}{64}$。31. ch23-xingqu-09 · 第一套 第 1 步（都命中，独立相乘）：$0.7\times0.9=\underline{0.63}$。 第 2 步（恰一命中，分类相加）：第一中二不中 $0.7\times0.1=0.07$、第二中一不中 $0.9\times0.3=0.27$，合 $0.07+0.27=\underline{0.34}$。 第 3 步（都未中，对立相乘）：$0.3\times0.1=\underline{0.03}$。 最终答案： 都命中 $0.63$；恰一命中 $0.34$；都未命中 $0.03$。31. ch23-xingqu-09 · 第二套 第 1 步（都命中）：$0.7\times0.9=\underline{0.63}$。 第 2 步（恰一命中）：$0.7\times0.1+0.9\times0.3=\underline{0.34}$。 第 3 步（都未中）：$0.3\times0.1=\underline{0.03}$。 最终答案： $0.63$；$0.34$；$0.03$。31. ch23-xingqu-09 · 第三套 第 1 步（都未命中）：$0.4\times0.2=\underline{0.08}$。 第 2 步（对立事件求补）：至少一命中 $=1-0.08=\underline{0.92}$。 最终答案： $0.92$。31. ch23-xingqu-09 · 第三套 第 1 步（只第一炮中）：$0.6\times0.2\times0.5=\underline{0.06}$。 第 2 步（只第二炮中）：$0.4\times0.8\times0.5=\underline{0.16}$。 第 3 步（只第三炮中）：$0.4\times0.2\times0.5=\underline{0.04}$。 第 4 步（三种互斥相加）：$0.06+0.16+0.04=\underline{0.26}$。 最终答案： $0.26$。32. ch23-xingqu-10 · 第一套 第 1 步（不堵车概率）：$1-0.4=\underline{0.6}$。 第 2 步（不堵且迟到）：$0.6\times0.15=\underline{0.09}$。 第 3 步（堵且迟到）：$0.4\times0.75=\underline{0.3}$。 第 4 步（相加）：$0.09+0.3=\underline{0.39}$。 最终答案： $0.39$。32. ch23-xingqu-10 · 第二套 第 1 步（正常状态概率）：$1-0.4=\underline{0.6}$。 第 2 步（正常且故障）：$0.6\times0.15=\underline{0.09}$。 第 3 步（高负荷且故障）：$0.4\times0.75=\underline{0.3}$。 第 4 步（相加）：$0.09+0.3=\underline{0.39}$。 最终答案： $0.39$。32. ch23-xingqu-10 · 第三套 第 1 步（不堵车概率）：$1-\frac{1}{3}=\underline{0.666666667}$。 第 2 步（不堵且按时）：$\frac{2}{3}\times0.9=\underline{0.6}$。 第 3 步（堵且按时）：$\frac{1}{3}\times0.2=\underline{0.066666667}$。 第 4 步（相加）：$0.6+\frac{1}{15}=\underline{0.666666667}$。 最终答案： $\frac{2}{3}$。32. ch23-xingqu-10 · 第三套 第 1 步（堵且迟到）：$\frac{1}{3}\times0.8=\underline{1/3*0.8}$。 第 2 步（迟到的总概率，全概率）：$\frac{2}{3}\times0.1+\frac{1}{3}\times0.8=\underline{2/3*0.1+1/3*0.8}$。 第 3 步（逆概率求补）：$\dfrac{\frac{4}{15}}{\frac{1}{3}}=\underline{(1/3*0.8)/(1/3)}$。 最终答案： $\frac{4}{5}$。