四年级第2讲数阵图初步

1. 【原题 ch02-chaoyue-01】如图 2-25，$4$ 个圆共被分成 $12$ 个区域，其中已有 $6$ 个区域内填有数（$4$、$7$、$10$、$2$、$5$、$8$），请将 $1\sim 12$ 中的另 $6$ 个数填入其他空白区域内，使得每个圆中 $4$ 个数之和都等于 $28$。

详细思路

是哪类问题：这是「四圆分区数阵」题：每个圆分成 $4$ 个区域、$4$ 数之和都为 $28$，逐圆用“$28$ 减去已填数”求出该圆其余区域应填数之和，再用可填数配出。

关键切入点：上圆已填 $4$、$7$，和 $11$，故其余两区域之和 $=28-11=17$；在可填数 $1,3,6,9,11,12$ 中取和为 $17$ 的两数填入。其余各圆同法处理。

方法概述：逐圆用 28 减去已填数求剩余区域之和。

规范步骤：

上圆已填之和：$4+7=11$（已知求和）
剩余两区之和：$28-11=17$（圆和减已知）
写出答案：$逐圆同法补全$

第一套

题目：$4$ 个圆各分成 $4$ 个区域，每个圆内 $4$ 数之和都为 $32$。上圆已填 $5$、$9$，右圆已填 $5$、$10$，下圆已填 $10$、$6$，分别求各圆其余两区域之和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（上圆）：其余两区之和 $=32-5-9=\underline{\quad}$。
第 2 步（右圆）：其余两区之和 $=32-5-10=\underline{\quad}$。
第 3 步（下圆）：其余两区之和 $=32-10-6=\underline{\quad}$。

第二套

题目：$4$ 个相连的池塘各分 $4$ 个养殖区，每个池塘 $4$ 区产量之和都为 $28$（吨）。上塘已知 $4$、$7$，右塘已知 $7$、$10$，下塘已知 $10$、$2$，分别求各塘其余两区产量之和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（上塘）：$28-4-7=\underline{\quad}$（吨）。
第 2 步（右塘）：$28-7-10=\underline{\quad}$（吨）。
第 3 步（下塘）：$28-10-2=\underline{\quad}$（吨）。

第三套

题目：$3$ 条直线各有 $3$ 个数，和都为 $20$。第一条已知 $7$、$8$，第二条已知 $9$、$4$，第三条已知 $6$、$11$，分别求各直线第三个数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：第一条 $=20-7-8=\underline{\quad}$。
第 2 步：第二条 $=20-9-4=\underline{\quad}$。
第 3 步：第三条 $=20-6-11=\underline{\quad}$。

第三套

题目：某圆 $4$ 数之和为 $28$，已填 $4$、$7$，其余两区域从可填数 $1$、$3$、$6$、$9$、$11$、$12$ 中取。求这两个数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（求剩余和）：其余两区之和 $=28-4-7=\underline{\quad}$。
第 2 步（枚举确定）：在 $1$、$3$、$6$、$9$、$11$、$12$ 中，和为 $17$ 的两数是 $6+11=\underline{\quad}$，故这两数是 $6$ 和 $11$。

2. 【原题 ch02-chaoyue-02】如图 2-26，请在 $3$ 个空白 $\bigcirc$ 内分别填入 $3$ 个数，使得每条直线上 $3$ 个数之和都等于大圆上 $3$ 个数之和。

详细思路

是哪类问题：这是「圆与直线复合数阵」题：$3$ 个空白圆在大圆周上（大圆和 $=$ 三空白圆之和），$3$ 条辐条各从一个空白圆经一个已知小数、汇到中心 $9$。列出“每条辐条 $=$ 大圆和”三式相加即可解出三空白圆。

关键切入点：记三个空白圆（上、左、右）为 $x,y,z$，大圆和 $T=x+y+z$。三条辐条：上 $=x+1+9=x+10$，左 $=y+9+9=y+18$，右 $=z+7+9=z+16$，都等于 $T$。由 $x+10=T$、$y+18=T$、$z+16=T$ 得 $y+z=10$、$x+z=18$、$x+y=16$；三式相加 $2(x+y+z)=44$，故 $T=22$，从而 $x=22-10=12$、$y=22-18=4$、$z=22-16=6$。验证：上 $12+1+9=22$、左 $4+9+9=22$、右 $6+7+9=22$，大圆 $12+4+6=22$，全相等。

方法概述：设三空白圆为 x,y,z 且 T=x+y+z，令每条辐条=T 列三式相加求出 T 再回代。

规范步骤：

设未知与定值：空白圆 $x,y,z$，大圆和 $T=x+y+z$（等量关系）
三辐条等于 T：$x+10=T,\ y+18=T,\ z+16=T$（每条直线和=大圆和）
化简：$y+z=10,\ x+z=18,\ x+y=16$（移项）
相加求 T：$2(x+y+z)=10+18+16=44,\ T=22$（三式相加）
回代求空白：$x=22-10=12,\ y=22-18=4,\ z=22-16=6$（由 T 回代）
写出答案：$上\,12、左\,4、右\,6，各和都是\,22$

3. 【原题 ch02-chaoyue-03】把 $1\sim 8$ 这 $8$ 个数分别填入图 2-27 中正方体 $8$ 个顶点处的 $\bigcirc$ 内，使得正方体每个面上的 $4$ 个数之和都相等。

详细思路

是哪类问题：这是「正方体顶点数阵」题：正方体 $6$ 个面、每个顶点同属 $3$ 个面，故 $6\times$（每面和）$=3\times$ 所有数之和，先求每面和，再用“和为 $9$ 的数对”放体对角线两端。

关键切入点：$1\sim 8$ 总和 $36$。设每面和 $S$，$6S=3\times 36=108$，故 $S=18$。把 $(1,8),(2,7),(3,6),(4,5)$ 分放四条体对角线两端，每面 $4$ 数和都为 $18$。

方法概述：由 6S=3×总和求每面和，再用对角数对配置。

规范步骤：

总和：$1+2+\cdots+8=36$（整体求和）
重复计数：$6S=3\times 36=108$（每顶点属 3 面）
每面和：$S=108\div 6=18$（解出 S）
配置：$(1,8),(2,7),(3,6),(4,5)$ 放体对角线（对角配对）

第一套

题目：把 $2\sim 9$ 这 $8$ 个数填入正方体 $8$ 个顶点，使每个面上 $4$ 数之和都相等。求这个和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（总和）：$2+3+\cdots+9=\underline{\quad}$。
第 2 步（重复计数）：每顶点属 $3$ 个面，$6S=3\times 44=\underline{\quad}$。
第 3 步（每面和）：$S=132\div 6=\underline{\quad}$。

第二套

题目：一个正方体礼盒的 $8$ 个顶点各挂一个价值为 $1\sim 8$ 的小挂件，使每个面上 $4$ 个挂件价值之和都相等。求这个和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（总和）：$1+2+\cdots+8=\underline{\quad}$。
第 2 步（重复计数）：$6S=3\times 36=\underline{\quad}$。
第 3 步（每面和）：$S=108\div 6=\underline{\quad}$。

第三套

题目：把 $1\sim 12$ 填入六角星 $12$ 个 $\bigcirc$ 内（每个数恰在 $2$ 条直线上），使 $6$ 条直线上 $4$ 数之和都相等。求这个和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（总和）：$1+2+\cdots+12=\underline{\quad}$。
第 2 步（重复计数）：每数在 $2$ 条直线上，$6S=2\times 78=\underline{\quad}$。
第 3 步（每线和）：$S=156\div 6=\underline{\quad}$。

第三套

题目：把 $1\sim 8$ 填入正方体顶点，使每面 $4$ 数和相等。求每面和，并说明放在体对角线两端的数对应凑成多少，从而每个面为什么等于该和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（每面和）：$6S=3\times 36=\underline{\quad}$，$S=108\div 6=\underline{\quad}$。
第 2 步（对角数对之和）：把数配成和为 $36\div 4=\underline{\quad}$ 的数对，例如 $1+8=\underline{\quad}$。
第 3 步（每面）：每个面的 $4$ 个顶点恰好是两组“和为 $9$”的数对，故每面和 $=9+9=\underline{\quad}$。

4. 【原题 ch02-chaoyue-04】把 $1\sim 12$ 这 $12$ 个数分别填入如图 2-28 所示的六角星图案的 $12$ 个 $\bigcirc$ 内，使得每条直线上 $4$ 个数之和都相等。现在已经填好了 $6$ 个数，那么每条直线上各数的和应该是多少？请把图 2-28 补充完整。

详细思路

是哪类问题：这是「六角星数阵」题：六角星 $6$ 条直线、每个 $\bigcirc$ 恰在 $2$ 条直线上，故 $6\times$（每线和）$=2\times$ 所有数之和，先求每线和，再逐条补出其余数。

关键切入点：$1\sim 12$ 总和 $78$。设每线和 $S$，$6S=2\times 78=156$，故 $S=26$。再用已填的 $6$ 个数，按每条直线和 $26$ 逐条补全。

方法概述：由 6S=2×总和求每线和，再逐条补全。

规范步骤：

总和：$1+2+\cdots+12=78$（整体求和）
重复计数：$6S=2\times 78=156$（每数在 2 线）
每线和：$S=156\div 6=26$（解出 S）

第一套

题目：把 $3\sim 14$ 这 $12$ 个数填入六角星 $12$ 个 $\bigcirc$（每数在 $2$ 条直线上）内，使 $6$ 条直线上 $4$ 数之和都相等。求这个和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（总和）：$3+4+\cdots+14=\underline{\quad}$。
第 2 步（重复计数）：$6S=2\times 102=\underline{\quad}$。
第 3 步（每线和）：$S=204\div 6=\underline{\quad}$。

第二套

题目：六角星灯饰有 $12$ 个灯珠，亮度恰是 $1\sim 12$，每个灯珠在 $2$ 条星线上。要使 $6$ 条星线上 $4$ 个灯珠亮度之和都相等，求这个和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（总和）：$1+2+\cdots+12=\underline{\quad}$。
第 2 步（重复计数）：$6S=2\times 78=\underline{\quad}$。
第 3 步（每线和）：$S=156\div 6=\underline{\quad}$。

第三套

题目：把 $1\sim 8$ 填入正方体 $8$ 个顶点（每顶点属 $3$ 个面），使每个面 $4$ 数之和都相等。求这个和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（总和）：$1+2+\cdots+8=\underline{\quad}$。
第 2 步（重复计数）：$6S=3\times 36=\underline{\quad}$。
第 3 步（每面和）：$S=108\div 6=\underline{\quad}$。

第三套

题目：六角星填 $1\sim 12$，每条直线 $4$ 数和相等。求每线和；再求一条已知 $1$、$12$、$4$ 的直线的缺数，和一条已知 $11$、$2$、$3$ 的直线的缺数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（每线和）：$6S=2\times 78=\underline{\quad}$，$S=156\div 6=\underline{\quad}$。
第 2 步（补缺）：已知 $1$、$12$、$4$ 的直线缺数 $=26-1-12-4=\underline{\quad}$。
第 3 步：已知 $11$、$2$、$3$ 的直线缺数 $=26-11-2-3=\underline{\quad}$。

5. 【原题 ch02-chaoyue-05】把 $1\sim 8$ 这 $8$ 个数分别填入图 2-29 中的 $8$ 个 $\bigcirc$ 内，使得每个三角形 $3$ 个顶点的数之和相等，且小正方形顶点处数之和是大正方形顶点处数之和的一半。

详细思路

是哪类问题：这是「和的比例关系」题：小正方形顶点和是大正方形顶点和的一半，两者共用全部 $8$ 个数、总和固定，用 $a+2a=$ 总和求出两个顶点和。

关键切入点：$1\sim 8$ 总和 $36$。设小正方形顶点和 $a$，大正方形 $2a$，则 $a+2a=36$，$3a=36$，$a=12$，大正方形顶点和 $=2\times 12=24$。

方法概述：由 a+2a=总和求出两个正方形的顶点和。

规范步骤：

总和：$1+2+\cdots+8=36$（整体求和）
列比例式：$a+2a=36$（小是大的一半）
解出：$a=36\div 3=12,\ 2a=24$（求两顶点和）

第一套

题目：把 $2$、$4$、$6$、$\cdots$、$16$ 这 $8$ 个偶数分别填入两个正方形的 $8$ 个顶点，使小正方形顶点和是大正方形顶点和的一半。求两个正方形的顶点和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（总和）：$2+4+6+8+10+12+14+16=\underline{\quad}$。
第 2 步（比例式）：设小正方形和 $a$，大正方形 $2a$，$a+2a=72$，$3a=72$，$a=72\div 3=\underline{\quad}$。
第 3 步（大正方形）：$2a=2\times 24=\underline{\quad}$。

第二套

题目：$8$ 件礼物价值恰是 $1\sim 8$，分放在里外两个方形展台的 $8$ 个角上，里台 $4$ 角价值之和是外台 $4$ 角价值之和的一半。求里台和外台的价值之和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（总和）：$1+2+\cdots+8=\underline{\quad}$。
第 2 步（比例式）：设里台 $a$，外台 $2a$，$a+2a=36$，$a=36\div 3=\underline{\quad}$。
第 3 步（外台）：$2a=2\times 12=\underline{\quad}$。

第三套

题目：把 $1\sim 9$ 这 $9$ 个数分成甲、乙两组，使甲组之和是乙组之和的一半。求甲、乙两组各自的和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（总和）：$1+2+\cdots+9=\underline{\quad}$。
第 2 步（比例式）：设甲 $a$，乙 $2a$，$a+2a=45$，$a=45\div 3=\underline{\quad}$。
第 3 步（乙组）：$2a=2\times 15=\underline{\quad}$。

第三套

题目：把 $1\sim 12$ 这 $12$ 个数分成甲、乙、丙三组，使三组之和的比是 $1:2:3$。求三组各自的和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（总和）：$1+2+\cdots+12=\underline{\quad}$。
第 2 步（按份分）：比 $1:2:3$ 共 $6$ 份，每份 $=78\div 6=\underline{\quad}$。
第 3 步（三组）：甲 $=13$，乙 $=2\times 13=\underline{\quad}$，丙 $=3\times 13=\underline{\quad}$。

6. 【原题 ch02-chaoyue-06】图 2-30 中一共有 $6$ 条线段，请将 $9$ 个连续的自然数填入 $9$ 个 $\bigcirc$ 内（其中一个是 $6$，已填好），使得每条直线上 $\bigcirc$ 内的数加起来都等于 $23$。

详细思路

是哪类问题：这是「网状直线数阵」题：$9$ 个圆填 $9$ 个连续自然数（含已填的 $6$），$6$ 条直线每条 $3$ 个圆、和都为 $23$。关键抓手：任一条直线上已知一圆就能得另两圆之和 $=23-$ 已知；从固定的 $6$ 出发，沿相邻直线共用的“公共点”把已定圆代入下一条直线，逐圆推出全部数。

关键切入点：每条直线 $3$ 数之和 $=23$，平均每圆约 $7.7$，故这 $9$ 个连续自然数应落在含 $6$ 且不太小的区间。抓住已填的 $6$：过 $6$ 的直线上另两圆之和 $=23-6=17$；求出其中一圆后，它又是另一条直线的公共点，代入该直线得该线余两数之和 $=23-$ 该圆，如此沿公共点逐条推进，直到所有圆确定，且用满这 $9$ 个连续自然数。每步都用同一式“余下之和 $=23-$ 已定数”，只是所在直线不同。具体 $9$ 个连续数的区间与各圆位置依赖图 2-30 的连线，一种填法如图。

方法概述：从固定的 6 出发，反复用“同一直线余下之和=23−已定数”沿公共点逐圆推算。

规范步骤：

已知条件：每条直线 $3$ 数之和 $=23$，$9$ 个连续数含 $6$（连续自然数）
过 6 定另两数之和：过 $6$ 的直线另两圆之和 $=23-6=17$（直线和减已知）
公共点递推：每定出一圆，把它当作邻线公共点，$余两圆之和=23-$ 该圆（逐圆推算）
收尾：推满 $9$ 个连续自然数即得填法（用满数集）

7. 【原题 ch02-chaoyue-07】如图 2-31，$5\times 5$ 的方格表被分成了 $5$ 块，请你在每格中填入 $1\sim 5$ 中的一个（其中两个格子已经分别填入 $1$ 和 $2$），使得每行、每列、每条对角线的 $5$ 个数各不相同，且每块上所填数的和都相等。请问：“$ABCDE$”是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「拉丁方分块」题：$5\times 5$ 方格每行、每列、每条对角线的 $5$ 个数各不相同，且每块（共 $5$ 块）之和相等，结合拉丁方与块和逐格推理。

关键切入点：每个数 $1\sim 5$ 在表中各出现 $5$ 次，总和 $(1+2+3+4+5)\times 5=75$，每块和 $=75\div 5=15$。结合已填的 $1$、$2$ 与拉丁方、对角线、块和的限制逐格确定，得 $ABCDE=14523$。

方法概述：由总和求每块和 15，结合拉丁方与对角线约束逐格确定。

规范步骤：

总和：$(1+2+3+4+5)\times 5=75$（整体求和）
每块和：$75\div 5=15$（分块和相等）
逐格推理：结合拉丁方定出 $ABCDE=14523$（逻辑推理）

8. 【原题 ch02-chaoyue-08】图 2-32 是奥林匹克五环标志，$5$ 个圆共组成了 $9$ 个部分，请在这 $9$ 个部分中填入 $1\sim 9$ 这 $9$ 个数，使得每个圆环内的各数之和都相等，请问：这个和最大是多少？最小是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「奥运五环求最值」题：五环从左到右排成一串，最左、最右两环各只由「$1$ 个独占部分 $+1$ 个重叠部分」组成（各 $2$ 块），中间三环各由「$2$ 个重叠部分 $+1$ 个独占部分」组成（各 $3$ 块）。把 $5$ 条环和相加时 $4$ 个重叠部分各被算 $2$ 次，故 $5S=45+($四个重叠部分之和$)$；最小时重叠取最小四数，最大时受“端环只有两块”的限制，公式上界 $15$ 不可行，实际最大是 $14$。

关键切入点：$1\sim 9$ 总和 $45$，$5S=45+($四重叠部分之和$)$。最小：重叠取最小四数 $1+2+3+4=10$，$5S=55$，$S=11$。最大：若 $S=15$ 则 $5S=75$，四重叠之和 $=75-45=30$，而 $1\sim 9$ 中和为 $30$ 的四数只能是 $6+7+8+9$，于是独占部分只剩 $1\sim 5$；但最左、最右两环各只有“$1$ 独占 $+1$ 重叠”两块，其和至多 $5+9=14<15$，矛盾，故 $S$ 达不到 $15$。取 $S=14$：四重叠之和须 $=70-45=25$，例如重叠依次取 $9,3,7,6$，独占依次 $5,2,4,1,8$，五环和分别为 $5+9,\ 9+2+3,\ 3+4+7,\ 7+1+6,\ 6+8$ 都等于 $14$，可行。故最大 $14$、最小 $11$。

方法概述：由 5S=45+重叠四数之和求最小；对最大用“端环只有两块、和≤5+9=14”排除 15 并给出 14 的构造。

规范步骤：

总和：$1+2+\cdots+9=45$（整体求和）
关系式：$5S=45+$（四重叠部分之和）（重叠部分重复计数）
最小：重叠取最小四数 $1+2+3+4=10$，$S=(45+10)\div 5=11$（取最小重叠）
排除 15：若 $S=15$ 则四重叠之和 $=75-45=30$，只能是 $6+7+8+9$，独占仅剩 $1\sim 5$；端环两块之和 $\le 5+9=14<15$，矛盾（端环只含两块的限制）
构造 14：四重叠之和取 $70-45=25$（如 $9,3,7,6$），五环和 $5+9=9+2+3=3+4+7=7+1+6=6+8=14$（给出可行填法）
写出答案：$最大\,14、最小\,11$

9. 【原题 ch02-tuozhan-01】将 $1\sim 9$ 这 $9$ 个数分别填入图 2-11 这 $9$ 个 $\bigcirc$ 内，使得图中所有小三角形（共 $7$ 个）的 $3$ 个顶点上的数之和都等于 $15$。现在已经填好了其中 $3$ 个，请你在图中填出其余的数。

详细思路

是哪类问题：这是「复合三角形数阵」题：大三角形被分成 $7$ 个小三角形，每个小三角 $3$ 顶点和都为 $15$，从已知数最多的小三角入手逐个推算。

关键切入点：$1\sim 9$ 总和 $45$。已填好 $3$ 个数，从与已知数相邻最多的小三角形开始，用“$15$ 减已知两数”逐步填出其余各圆。

方法概述：从已填最多的小三角入手，逐三角推算缺数。

规范步骤：

总和：$1+2+\cdots+9=45$（整体求和）
逐三角：每个小三角用 $15-$ 已知两数补缺（小三角和相等）

10. 【原题 ch02-tuozhan-02】在图 2-12 中的 $8$ 个 $\bigcirc$ 内分别填入 $8$ 个不同的自然数，使得正方形每条边上 $3$ 个数的和相等。现在已经填好了 $5$ 个数，那么每条边上各数的和应该是多少？并将其补充完整。

详细思路

是哪类问题：这是「正方形边数阵」题：正方形每条边 $3$ 数之和相等；先比较共用一个角的两条边求出未知角，得到一条完整边的和，再用它逐边补全。

关键切入点：上边有 $1$、$16$（缺右上角），右边有 $9$。上、右两边共用右上角，故 $9+A=1+16=17$，右下角 $A=8$；下边 $7+6+8=21$，即边和 $21$；右上角 $=21-1-16=4$，左下角 $=21-1-7=13$。

方法概述：先由共用角的两边定出边和，再逐边补全。

规范步骤：

共点两边相等：$9+A=1+16=17\Rightarrow A=8$（两边和相等）
由完整边求边和：$7+6+8=21$（整条边求和）
逐边补全：$21-1-16=4,\ 21-1-7=13$（边和减已知）
写出答案：$每条边和\,21$

第一套

题目：正方形每条边上 $3$ 个数之和相等。已知上边有 $2$、$20$（缺右上角），右边有 $12$（右上、右下角未知），下边有 $9$、$8$。求每条边的和，并补出右上角、左下角。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（共点两边相等）：上、右两边共用右上角，$12+右下=2+20=\underline{\quad}$，右下角 $=22-12=\underline{\quad}$。
第 2 步（求边和）：下边三数 $9+8+10=\underline{\quad}$，即每条边和 $27$。
第 3 步（补全）：右上角 $=27-2-20=\underline{\quad}$，左下角 $=27-2-9=\underline{\quad}$。

第二套

题目：正方形城墙每条边上设 $3$ 个岗哨，各边岗哨人数之和相等。上边有 $1$、$16$（缺右上角），右边有 $9$，下边有 $7$、$6$。求每条边人数之和，并补出右上角、左下角。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（共点两边相等）：$9+右下=1+16=\underline{\quad}$，右下角 $=17-9=\underline{\quad}$。
第 2 步（求边和）：下边三数 $7+6+8=\underline{\quad}$。
第 3 步（补全）：右上角 $=21-1-16=\underline{\quad}$，左下角 $=21-1-7=\underline{\quad}$。

第三套

题目：三角形每条边上 $3$ 数之和相等。一条边上三数是 $8$、$5$、$6$；另一条边上已知 $8$、$4$（缺一个数）。求每条边的和及那个缺数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（由完整边求边和）：完整边 $8+5+6=\underline{\quad}$，即每条边和 $19$。
第 2 步（补缺）：另一条边缺数 $=19-8-4=\underline{\quad}$。

第三套

题目：正方形每条边上 $3$ 数之和相等。已知上边有 $6$、$18$（缺右上角），右边中点是 $11$，下边有 $9$、$7$（左下角 $7$）。求每条边的和，并求右下角、右上角。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（共点两边相等，右上角相消）：上边两已知 $6+18=\underline{\quad}$，由 $6+18=11+右下$ 得右下角 $=24-11=\underline{\quad}$。
第 2 步（求边和）：下边三数 $13+9+7=\underline{\quad}$，即每条边和 $29$。
第 3 步（补右上角）：右上角 $=29-6-18=\underline{\quad}$。

11. 【原题 ch02-tuozhan-03】把 $1\sim 12$ 这 $12$ 个数分别填入图 2-13 中的 $\bigcirc$ 内，使得图中 $3$ 个小三角形 $3$ 条边上的 $6$ 个数之和相等。

详细思路

是哪类问题：这是「复合三角形边数阵」题：$3$ 个小三角形各由 $6$ 个圆组成，位于交界处的圆同时属于两个小三角形（被重复计入）。把三个小三角的 $6$ 数之和相加时，交界圆被算两次，故 $3E=78+($交界圆之和$)$，由此定出每个小三角应有的相等和 $E$，再配数。

关键切入点：$1\sim 12$ 总和 $78$。设每个小三角形 $6$ 数之和都为 $E$。把三个小三角形各自的 $6$ 数之和相加，独占圆各算 $1$ 次、交界处圆各算 $2$ 次，于是 $3E=78+($交界圆之和$P)$。这样 $E=(78+P)\div 3$ 必是整数，即 $78+P$ 要是 $3$ 的倍数（$78$ 已是 $3$ 的倍数，故 $P$ 也须是 $3$ 的倍数）；据此选定交界圆的取值得到 $E$，再在每个小三角内用“$E-$ 已定数”配出剩余圆。具体哪几个圆是交界圆、$E$ 取何值依赖图 2-13 的连接，一种填法如图。

方法概述：由 3E=78+交界圆之和定出每个小三角的相等和 E，再逐三角配数。

规范步骤：

总和：$1+2+\cdots+12=78$（整体求和）
重复计数：$3E=78+($交界圆之和 $P)$（交界圆被两小三角共用）
整除条件：$E=(78+P)\div 3$ 为整数 $\Rightarrow P$ 是 $3$ 的倍数（整除约束）
配数：选定交界圆得 $E$ 后，各小三角内用 $E-$ 已定数补齐（凑相等和）

12. 【原题 ch02-tuozhan-04】图 2-14 是由 $4$ 个交叠的长方形组成的，在交点处有 $8$ 个 $\bigcirc$，请把 $1\sim 8$ 这 $8$ 个数分别填入这些 $\bigcirc$ 内，使得每个长方形上 $4$ 个数之和都相等。

详细思路

是哪类问题：这是「交叠长方形数阵」题：$4$ 个长方形两两交叠，每个 $\bigcirc$ 被两个长方形共用，用总和 $36$ 及“和为 $9$ 的数对”合理分配。

关键切入点：$1\sim 8$ 总和 $36$。把和为 $9$ 的数对 $(1,8),(2,7),(3,6),(4,5)$ 分配到各交点，使每个长方形 $4$ 数之和都相等。

方法概述：把和为 9 的数对分配到交点，使各长方形和一致。

规范步骤：

总和：$1+2+\cdots+8=36$（整体求和）
数对：$(1,8),(2,7),(3,6),(4,5)$ 各和 $9$（配对凑数）

13. 【原题 ch02-tuozhan-05】在图 2-15 中的方格里填入三个 $0$、两个 $2$、两个 $3$、两个 $4$，使得每个箭头所指的列中各方格内的数之和都相同，并且使得从上到下第二行与第三行的数之和都等于 $7$。

详细思路

是哪类问题：这是「阶梯方格数阵」题：把三个 $0$、两个 $2$、两个 $3$、两个 $4$ 填入方格，先满足第二、三行之和各为 $7$，再调各列使每个箭头列之和相同。

关键切入点：所给九个数总和 $3\times 0+2\times 2+2\times 3+2\times 4=18$。先满足第二、三行各为 $7$ 的约束，再逐格调整使各箭头列之和相同。

方法概述：先满足行和约束，再调列使各箭头列之和一致。

规范步骤：

九数总和：$3\times 0+2\times 2+2\times 3+2\times 4=18$（整体求和）
行约束：第二、三行各凑成 $7$（行和约束）

14. 【原题 ch02-tuozhan-06】请在图 2-16 的每个小 $\bigcirc$ 内填入 $1$ 或 $2$，使得每个大圆圈上 $4$ 个数之和两两不同，那么所填数的总和是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「相交圆和互异」题：每个小 $\bigcirc$ 只能填 $1$ 或 $2$，每个大圆 $4$ 数之和在 $4$ 到 $8$ 之间，且要两两不同，据此安排 $1$、$2$ 的分布。

关键切入点：每个大圆 $4$ 数之和最小 $4\times 1=4$、最大 $4\times 2=8$，要各圆和两两不同，则须取遍或错开这些值；结合各圆共用的小圆合理安排。

方法概述：利用每圆和介于 4 到 8 且两两不同的限制安排 1、2。

规范步骤：

每圆和最小：$4\times 1=4$（全填 1）
每圆和最大：$4\times 2=8$（全填 2）
两两不同：各大圆和取不同值（互异约束）

15. 【原题 ch02-tuozhan-07】在图 2-17 中的 $6$ 个 $\bigcirc$ 内分别填入不同的自然数，使得每一个数都是与它相连的上面 $2$ 个数之和，那么最下面那个数最小是几？

详细思路

是哪类问题：这是「求和金字塔」题：每个数等于与它相连的上面两数之和，从上层向下逐层相加；要使最下面的数最小，须让上层各数尽量小且互不相同。

关键切入点：由“下 $=$ 上两数之和”自上而下相加。经检验，让上层取尽量小的不同数时，最下面的数不能再小于 $8$，故最小是 $8$。

方法概述：自上而下按两数之和推算，取小的不同上层数使底数最小。

规范步骤：

递推规则：每个数 $=$ 相连上两数之和（求和塔）
最小化：上层取尽量小的不同数，底数最小为 $8$（最小值分析）

16. 【原题 ch02-tuozhan-08】把 $1\sim 8$ 这 $8$ 个数分别填入图 2-18 的 $8$ 个 $\bigcirc$ 内，使得任意两个由线段直接相连的 $\bigcirc$ 内的数字之差都不等于 $1$。

详细思路

是哪类问题：这是「相邻差不为 1」题：把 $1\sim 8$ 填入图中，使任意两个有线段直接相连的 $\bigcirc$ 内数字之差都不等于 $1$，即相邻位置不能填连续数。

关键切入点：$1\sim 8$ 共 $8$ 个数。先安排连接最多（度数最大）的位置，使其邻居都不与它是相邻自然数，再依次安排其余位置。

方法概述：先定连接最多的点，避免相邻填连续数，逐步排布。

规范步骤：

所有数之和：$1+2+\cdots+8=36$（整体求和）
约束：相连两圆不填连续数（相邻差不为 1）

17. 【原题 ch02-tuozhan-09】在图 2-19 中的 $7$ 个 $\bigcirc$ 内填入 $7$ 个连续自然数，使得每两个相邻 $\bigcirc$ 内所填数之和都等于它们连线上的已知数，请你（标有“$\bigstar$”的 $\bigcirc$）内所填的数是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「环形相邻和」题：$7$ 个连续自然数填入 $7$ 个圆，每两个相邻圆之和等于连线上的已知数，沿环逐段推算各圆的数。

关键切入点：设 ★ 处为 $x$，用相邻两圆之和的已知值沿连线依次推算。取 $x=5$ 时相邻各圆依次为 $3,1,6,4,2,7$，恰是 $1\sim 7$，且各相邻和都与已知相符（如 $5+3=8$），故 ★ 处为 $5$。

方法概述：用相邻和的已知值沿环逐段求各圆的数。

规范步骤：

所有数之和：$1+2+\cdots+7=28$（连续自然数）
验证 ★=5：相邻和 $5+3=8$ 等均相符（逐段推算）

18. 【原题 ch02-tuozhan-10】小悦是 $8$ 月 $11$ 日 $15$ 点整出生的，她想把 $1\sim 7$ 这 $7$ 个数填入图 2-20 中的 $7$ 个 $\Box$ 里，每个数只能填一次，使得三条直线上的 $3$ 个数之和恰好是 $8$、$11$、$15$，问：在圆圈上的 $3$ 个数的乘积最大可能是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「三线交汇求最值乘积」题：三条直线都过中心方格，把三线和相加时中心被算 $3$ 次，故 $($三线和之和$)=$ 所有数 $+2\times$ 中心，先求中心，再定各线另两数，最后取外圈大数使乘积最大。

关键切入点：$8+11+15=34=(1+2+\cdots+7)+2\times$ 中心 $=28+2\times$ 中心，中心 $=(34-28)\div 2=3$。凑 $8$ 的两数 $1,4$，凑 $11$ 的 $2,6$，凑 $15$ 的 $5,7$；外圈取 $4,6,7$，最大乘积 $4\times 6\times 7=168$。

方法概述：由三线和之和与总和求中心，再取外圈大数求最大乘积。

规范步骤：

三线和之和：$8+11+15=34$（三线相加）
求中心：$34=28+2\times 中心\Rightarrow 中心=3$（中心重复计数）
各线另两数：$(1,4),(2,6),(5,7)$（凑各线和）
最大乘积：$4\times 6\times 7=168$（外圈取大数）

第一套

题目：把 $1\sim 7$ 填入三线交汇数阵（三条直线各 $3$ 个数、共用中心）内，使三条直线上 $3$ 数之和分别是 $9$、$10$、$11$。求外圈 $3$ 个端点数的最大乘积。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（三线和之和求中心）：$9+10+11=\underline{\quad}$，中心被算 $3$ 次，$30=28+2\times$ 中心，中心 $=(30-28)\div 2=\underline{\quad}$。
第 2 步（各线另两数之和）：$9-1=\underline{\quad}$、$10-1=\underline{\quad}$、$11-1=\underline{\quad}$。
第 3 步（最大乘积）：外圈取每对中较大数，即余下数中最大的 $5$、$6$、$7$，乘积 $=5\times 6\times 7=\underline{\quad}$。

第二套

题目：小明想把 $1\sim 7$ 填入三线交汇数阵，使三条直线上 $3$ 数之和恰是妈妈生日的月、日、时 $8$、$11$、$15$。求外圈 $3$ 个端点数的最大乘积。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（求中心）：$8+11+15=\underline{\quad}$，$34=28+2\times$ 中心，中心 $=(34-28)\div 2=\underline{\quad}$。
第 2 步（各线另两数之和）：$8-3=\underline{\quad}$、$11-3=\underline{\quad}$、$15-3=\underline{\quad}$。
第 3 步（最大乘积）：凑 $12$ 的 $(5,7)$、凑 $8$ 的 $(2,6)$、凑 $5$ 的 $(1,4)$，外圈取较大数 $7$、$6$、$4$，乘积 $=7\times 6\times 4=\underline{\quad}$。

第三套

题目：把 $1\sim 7$ 填入三线交汇数阵，使三条直线和分别是 $8$、$11$、$15$。求外圈 $3$ 个端点数的最小乘积。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（求中心）：$8+11+15=\underline{\quad}$，中心 $=(34-28)\div 2=\underline{\quad}$。
第 2 步（各线数对）：凑 $5$ 的 $(1,4)$、凑 $8$ 的 $(2,6)$、凑 $12$ 的 $(5,7)$。
第 3 步（最小乘积）：外圈取每对中较小数 $1$、$2$、$5$，乘积 $=1\times 2\times 5=\underline{\quad}$。

第三套

题目：把 $2\sim 8$ 这 $7$ 个数填入三线交汇数阵，使三条直线和分别是 $10$、$14$、$15$。求外圈 $3$ 个端点数的最大乘积。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（自求总和）：$2+3+\cdots+8=\underline{\quad}$。
第 2 步（求中心）：$10+14+15=\underline{\quad}$，$39=35+2\times$ 中心，中心 $=(39-35)\div 2=\underline{\quad}$。
第 3 步（各线另两数之和）：$10-2=\underline{\quad}$、$14-2=\underline{\quad}$、$15-2=\underline{\quad}$。
第 4 步（最大乘积）：凑 $8$ 的 $(3,5)$、凑 $12$ 的 $(4,8)$、凑 $13$ 的 $(6,7)$，外圈取较大数 $5$、$8$、$7$，乘积 $=5\times 8\times 7=\underline{\quad}$。

19. 【原题 ch02-tuozhan-11】把 $1\sim 6$ 这 $6$ 个数填入图 2-21 中的 $6$ 个 $\bigcirc$ 内，使得三角形每条边上 $3$ 个数之和都相等。那么这个和最小是多少？最大是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「三角形数阵求最值」题：$3$ 个顶点各被 $2$ 条边算，三条边和之总 $=$ 所有数 $+$ 三顶点之和，故每条边和 $=(21+顶点和)\div 3$，调节顶点和的大小求边和最值。

关键切入点：$1\sim 6$ 总和 $21$。顶点和最小取 $1+2+3=6$：每条边和 $=(21+6)\div 3=9$；顶点和最大取 $4+5+6=15$：每条边和 $=(21+15)\div 3=12$。

方法概述：每条边和 =(总和+顶点和)÷3，调顶点和求最值。

规范步骤：

总和：$1+2+\cdots+6=21$（整体求和）
边和公式：$每条边和=(21+顶点和)\div 3$（顶点重复计数）
最小：$(21+6)\div 3=9$（顶点取最小三数）
最大：$(21+15)\div 3=12$（顶点取最大三数）

第一套

题目：把 $2\sim 7$ 这 $6$ 个数填入三角形 $6$ 个 $\bigcirc$（$3$ 顶点 $3$ 边中）内，使每条边上 $3$ 数之和相等。这个和最小、最大各是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（总和）：$2+3+\cdots+7=\underline{\quad}$。
第 2 步（最小）：顶点取最小三数 $2+3+4=\underline{\quad}$，边和 $=(27+9)\div 3=\underline{\quad}$。
第 3 步（最大）：顶点取最大三数 $5+6+7=\underline{\quad}$，边和 $=(27+18)\div 3=\underline{\quad}$。

第二套

题目：三角形花圃 $6$ 个花坛的观赏值恰是 $1\sim 6$，$3$ 个角、$3$ 个边中。要使每条边上 $3$ 个花坛观赏值之和相等，这个和最小、最大各是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（总和）：$1+2+\cdots+6=\underline{\quad}$。
第 2 步（最小）：$3$ 个角取最小三数，角和 $=1+2+3=\underline{\quad}$，边和 $=(21+6)\div 3=\underline{\quad}$。
第 3 步（最大）：角取最大三数，角和 $=4+5+6=\underline{\quad}$，边和 $=(21+15)\div 3=\underline{\quad}$。

第三套

题目：把 $1\sim 6$ 填入三角形数阵，使每条边和相等。这个边和一共可能取哪些值？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（公式）：边和 $=(21+顶点和)\div 3$ 须为整数，故顶点和须是 $3$ 的倍数。
第 2 步（逐一算）：顶点和 $6\to(21+6)\div 3=\underline{\quad}$；顶点和 $9\to(21+9)\div 3=\underline{\quad}$；顶点和 $12\to(21+12)\div 3=\underline{\quad}$；顶点和 $15\to(21+15)\div 3=\underline{\quad}$。

第三套

题目：把 $1\sim 6$ 填入三角形数阵，使每条边和相等且取到最大值。此时求含顶点 $4$、$5$ 的那条边的中点数，以及含顶点 $5$、$6$ 的那条边的中点数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（最大边和）：顶点取 $4$、$5$、$6$，顶点和 $=4+5+6=\underline{\quad}$，边和 $=(21+15)\div 3=\underline{\quad}$。
第 2 步（求中点）：含顶点 $4$、$5$ 的边，中点 $=12-4-5=\underline{\quad}$。
第 3 步：含顶点 $5$、$6$ 的边，中点 $=12-5-6=\underline{\quad}$。

20. 【原题 ch02-tuozhan-12】把 $1\sim 11$ 这 $11$ 个数分别填入图 2-22 中“六一”图形的 $11$ 个空格内，使得每一个长方形中的 $2$ 个或 $3$ 个数之和都相等。

详细思路

是哪类问题：这是「拼块方格数阵」题：“六一”图形由若干 $2$ 格或 $3$ 格的长方形拼成，用总和及各块格数关系确定每块应有的相等之和，再配对填入。

关键切入点：$1\sim 11$ 总和 $66$。利用各长方形格数与总和关系定出每块的公共和，再用配对凑数把数填入各格。

方法概述：由总和与块结构定出块和，再凑数填入各块。

规范步骤：

总和：$1+2+\cdots+11=66$（整体求和）
块和：按块结构定公共和后配数（配对凑数）

21. 【原题 ch02-tuozhan-13】请将 $1\sim 6$ 这 $6$ 个数分别填入图 2-23 中的 $6$ 个 $\bigcirc$ 内，使得 $4$ 条直线上的数字之和都相等。

详细思路

是哪类问题：这是「蝴蝶形数阵」题：$6$ 个圆是上排 $3$ 个（左上 $a$、上中 $b$、右上 $c$）、中心 $C$、下排 $2$ 个（左下 $d$、右下 $e$）。$4$ 条直线是：上排 $a\,b\,c$、下排 $d\,e$、以及过中心的两条对角 $a\,C\,e$ 与 $c\,C\,d$。用总和与重复计数先定出中心的可能值与直线和，再配出各数。

关键切入点：设直线和为 $S$。上排 $a+b+c=S$ 与下排 $d+e=S$ 相加得 $a+b+c+d+e=2S$，而六数总和 $a+b+c+C+d+e=21$，故 $2S=21-C$，$C$ 须为奇数。又两对角相加 $(a+C+e)+(c+C+d)=2S$ 即 $a+c+d+e+2C=2S=21-C$，与 $a+c+d+e=21-C-b$ 联立得 $b=2C$，故 $b=2C\le 6\Rightarrow C\le 3$，结合 $C$ 奇数得 $C=1$ 或 $3$。取 $C=3$：$b=6$，$S=(21-3)\div 2=9$；余下 $\{1,2,4,5\}$ 中 $d+e=9$ 取 $4,5$、$a+c=S-b=3$ 取 $1,2$，再由对角 $a+3+e=9$ 定出 $a=2,e=4,c=1,d=5$。验证四线 $2+6+1=9$、$5+4=9$、$2+3+4=9$、$1+3+5=9$ 都为 $9$。

方法概述：由 2S=21−C 与 b=2C 定出中心只能取 1 或 3，取 C=3 求出直线和 9 并配数。

规范步骤：

总和：$1+2+\cdots+6=21$（整体求和）
上下两排：$(a+b+c)+(d+e)=2S$，又总和 $=21$，得 $2S=21-C$（重复计数）
两对角：$(a+C+e)+(c+C+d)=2S$ 化简得 $b=2C$（重复计数）
定中心：$b=2C\le 6$ 且 $C$ 为奇数 $\Rightarrow C=1$ 或 $3$（整除+范围）
取 C=3 求线和：$b=6,\ S=(21-3)\div 2=9$（回代）
配数：$d,e=4,5;\ a,c=1,2$，由对角定 $a=2,e=4,c=1,d=5$（凑各线和）
写出答案：$中心\,3、上中\,6，四线和都是\,9$

22. 【原题 ch02-tuozhan-14】如图 2-24，有一座长方形城堡，四周有 $10$ 个掩体。守城的士兵有 $10$ 件武器，各种武器的威力数如下表。为了使城堡四条边上的武器威力总数都相同，并且尽量大，应如何在 $10$ 个掩体中配备武器？（手枪威力数 $1$、步枪 $2$、自动步枪 $3$、冲锋枪 $4$、轻机枪 $5$；重机枪 $6$、迫击炮 $7$、火箭筒 $8$、加农炮 $9$、榴弹炮 $10$。）

详细思路

是哪类问题：这是「长方形边数阵求最值」题：四角各被 $2$ 条边算，四条边威力之总 $=$ 所有威力 $+$ 四角之和，即 $4\times$（每边和）$=$ 总和 $+$ 四角和；要边和最大且相等，让四角放大数，并满足整除。

关键切入点：$1\sim 10$ 总和 $55$。四角取 $7,8,9,10$ 时和 $34$，$55+34=89$ 不能被 $4$ 整除；改取四角 $6,8,9,10$，和 $33$，$55+33=88$，每边和 $=88\div 4=22$，可填出。

方法概述：四边总和 = 总和 + 四角和，令四角取大数且满足整除。

规范步骤：

总和：$1+2+\cdots+10=55$（整体求和）
试最大四角：$55+(7+8+9+10)=89$ 不整除 $4$（整除判断）
调四角：$55+(6+8+9+10)=88$（换四角满足整除）
求边和：$88\div 4=22$（四边总和÷4）

第一套

题目：把 $3\sim 12$ 这 $10$ 个数填入长方形四条边（四角各被两条边共用）上，使每条边之和都相等且尽量大。求这个最大的边和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（总和）：$3+4+\cdots+12=\underline{\quad}$。
第 2 步（试最大四角）：四角取 $9$、$10$、$11$、$12$，和 $=\underline{\quad}$，四边总和 $=75+42=\underline{\quad}$，$117$ 不能被 $4$ 整除。
第 3 步（调四角）：改取四角 $8$、$10$、$11$、$12$，和 $=\underline{\quad}$，四边总和 $=75+41=\underline{\quad}$，每边和 $=116\div 4=\underline{\quad}$。

第二套

题目：长方形城堡四周有 $10$ 个掩体，$10$ 件武器威力恰是 $1\sim 10$，四角掩体各被两条边共用。要使四条边威力之和都相同且尽量大，求这个最大的边和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（总和）：$1+2+\cdots+10=\underline{\quad}$。
第 2 步（试最大四角）：四角取 $7$、$8$、$9$、$10$，和 $=\underline{\quad}$，四边总和 $=55+34=\underline{\quad}$，$89$ 不能被 $4$ 整除。
第 3 步（调四角）：改取四角 $6$、$8$、$9$、$10$，和 $=\underline{\quad}$，四边总和 $=55+33=\underline{\quad}$，每边和 $=88\div 4=\underline{\quad}$。

第三套

题目：长方形边数阵填 $1\sim 10$，四角已放 $6$、$8$、$9$、$10$，四条边之和相等。求每条边的和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（四角和）：$6+8+9+10=\underline{\quad}$。
第 2 步（求边和）：四边总和 $=55+33=\underline{\quad}$，每边和 $=88\div 4=\underline{\quad}$。

第三套

题目：长方形边数阵填 $1\sim 10$，求最大的相等边和，并求此时四角上四个数的乘积。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（总和）：$1+2+\cdots+10=\underline{\quad}$。
第 2 步（试最大四角）：四角 $7$、$8$、$9$、$10$ 和 $=\underline{\quad}$，$55+34=\underline{\quad}$ 不整除 $4$。
第 3 步（调四角求边和）：四角 $6$、$8$、$9$、$10$ 和 $=\underline{\quad}$，$55+33=\underline{\quad}$，每边和 $=88\div 4=\underline{\quad}$。
第 4 步（四角乘积）：$6\times 8\times 9\times 10=\underline{\quad}$。

23. 【原题 ch02-xingqu-01】在图 2-1 中的 3 个空白 $\bigcirc$ 内填入 3 个不同的自然数，使得三角形每条边上的 3 个数之和都等于 $11$。

详细思路

是哪类问题：这是「三角形数阵填数」题：三角形每条边上 3 个数之和相等，从已知数最多的边入手，用“边和减去已知两数”依次求出各缺数。

关键切入点：图中已填好顶点 $2$、左中 $5$、底中 $1$，边和为 $11$。左边线已有 $2$、$5$，故左下角 $=11-2-5=4$；底边已有 $4$、$1$，故右下角 $=11-4-1=6$；右边线已有 $2$、$6$，故右中 $=11-2-6=3$。

方法概述：从已知数最多的边入手，逐边用“边和−已知两数”求缺数。

规范步骤：

左边线求左下角：$11-2-5=4$（边和减已知两数）
底边求右下角：$11-4-1=6$（边和减已知两数）
右边线求右中：$11-2-6=3$（边和减已知两数）
写出答案：$左下\,4、右下\,6、右中\,3$

第一套

题目：三角形每条边上 $3$ 个数之和都等于 $20$。已知顶点是 $3$、左中是 $9$、底中是 $2$，其余 $3$ 个空圈填 $3$ 个不同的自然数，求它们。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（从已知最多的边入手）：左边线已有顶点 $3$、左中 $9$，边和 $20$，左下角 $=20-3-9=\underline{\quad}$。
第 2 步：底边已有左下 $8$、底中 $2$，右下角 $=20-8-2=\underline{\quad}$。
第 3 步：右边线已有顶点 $3$、右下 $10$，右中 $=20-3-10=\underline{\quad}$。

第二套

题目：三角形花坛的每条边上摆 $3$ 盆花，每条边花的盆数之和都为 $11$。已知顶点摆 $2$ 盆、左中 $5$ 盆、底中 $1$ 盆，求其余三处各摆几盆。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：左边一条边已有 $2$、$5$，左下处 $=11-2-5=\underline{\quad}$（盆）。
第 2 步：底边已有 $4$、$1$，右下处 $=11-4-1=\underline{\quad}$（盆）。
第 3 步：右边一条边已有 $2$、$6$，右中处 $=11-2-6=\underline{\quad}$（盆）。

第三套

题目：两条直线共用一个公共点 $A$，两条直线上 $3$ 个数之和相等。一条直线上除 $A$ 外的两数是 $9$、$8$，另一条直线上除 $A$ 外的两数是 $7$、$B$，求 $B$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（两线和相等）：两条线都过 $A$，去掉公共的 $A$ 后其余两数之和也相等。先算已知那条线除 $A$ 外两数之和 $9+8=\underline{\quad}$。
第 2 步：于是另一条线 $7+B=17$，$B=17-7=\underline{\quad}$。

第三套

题目：把 $1\sim 6$ 这 $6$ 个数填入三角形的 $6$ 个 $\bigcirc$ 内（$3$ 个顶点、$3$ 个边中点），使每条边上 $3$ 个数之和相等。这个和最小是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（重复计数）：$3$ 个顶点各被 $2$ 条边算到，三条边数之总和 $=$ 所有数之和 $+$ 三顶点之和。所有数之和 $1+2+3+4+5+6=\underline{\quad}$。
第 2 步（顶点取最小）：要边和最小，$3$ 个顶点放最小的三个数，顶点和 $=1+2+3=\underline{\quad}$。
第 3 步（求边和）：每条边和 $=(21+6)\div 3=\underline{\quad}$。

24. 【原题 ch02-xingqu-02】请分别将 $1$、$2$、$4$、$6$ 这 $4$ 个数填在图 2-2 的各空白区域内，使得每个圆圈里 $4$ 个数之和都等于 $15$。

详细思路

是哪类问题：这是「相交圆数阵」题：每个圆内 $4$ 个数之和相等，用“圆和减去已知数”求出该圆其余数之和，再结合可填数集合确定具体的数。

关键切入点：上面的圆 $4$ 数和为 $15$，其中两数是 $5$、$7$，故另两数之和 $=15-5-7=3$；在 $1,2,4,6$ 中和为 $3$ 的只有 $1$ 和 $2$。同理定出左圆另两数，$1$ 因两圆共用只能填在中间，$4$ 填右圆。

方法概述：用圆和减去已知数求其余数之和，再由可填数集合定数。

规范步骤：

上圆其余两数之和：$15-5-7=3$（圆和减已知）
在 1,2,4,6 中和为 3 的两数：$1+2=3$（枚举确定）
写出答案：$中间填\,1、右圆填\,4$

第一套

题目：两个相交的圆，每个圆内 $4$ 个数之和都等于 $24$。上面的圆已知其中两数是 $9$、$8$，左边的圆已知其中两数是 $9$、$3$，分别求各圆另外两数之和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（圆和减已知）：上圆 $4$ 数和 $24$，已知 $9$、$8$，另两数之和 $=24-9-8=\underline{\quad}$。
第 2 步：左圆 $4$ 数和 $24$，已知 $9$、$3$，另两数之和 $=24-9-3=\underline{\quad}$。

第二套

题目：三个相交的圆形展区，每个圆内 $4$ 件展品价值之和都为 $15$（万元）。上圆已知两件是 $5$、$7$，左圆已知两件是 $5$、$2$，各求另外两件展品价值之和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：上圆价值和 $15$，已知 $5$、$7$，另两件之和 $=15-5-7=\underline{\quad}$（万元）。
第 2 步：左圆价值和 $15$，已知 $5$、$2$，另两件之和 $=15-5-2=\underline{\quad}$（万元）。

第三套

题目：一条直线上有 $3$ 个数，和为 $18$，已知其中两个是 $7$、$5$；另一条直线的和也是 $18$，已知其中两个是 $9$、$4$。分别求各直线上第三个数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：第一条直线第三数 $=18-7-5=\underline{\quad}$。
第 2 步：第二条直线第三数 $=18-9-4=\underline{\quad}$。

第三套

题目：某圆内 $4$ 个数之和为 $15$，可用的数是 $1$、$2$、$4$、$6$。已知圆里已有 $5$、$7$，求另外两个数分别是几？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（圆和减已知）：另两数之和 $=15-5-7=\underline{\quad}$。
第 2 步（枚举确定）：在 $1$、$2$、$4$、$6$ 中，和为 $3$ 的两数只有 $1+2=\underline{\quad}$，所以这两个数是 $1$ 和 $2$。

25. 【原题 ch02-xingqu-03】如图 2-3 所示，请在 5 个空白 $\bigcirc$ 内填入 5 个数，使得每条直线上 3 个数之和都相等。

详细思路

是哪类问题：这是「三角形数阵填数」题：两条粗实线共用一个公共圆 $A$，由两线之和相等可先求出与 $A$ 无关的缺数，再利用公共点逐一推出其余数。

关键切入点：两条直线都过公共圆 $A$，去掉 $A$ 后其余各数之和相等，得 $7+B=9+8$，故 $B=9+8-7=10$；再利用公共点依次求出其他空白圆里的数。

方法概述：比较共用一点的两条直线，由和相等推出缺数。

规范步骤：

两线除公共点外和相等：$7+B=9+8$（共点两线和相等）
求 B：$B=9+8-7=10$（移项求缺）
推其余：再由公共点逐一求出其他圆

26. 【原题 ch02-xingqu-04】把 $1\sim 8$ 这 $8$ 个数分别填入图 2-4 中的 $8$ 个方格内，使得各列上 $2$ 个数之和都相等，各行 $4$ 个数之和也相等。

详细思路

是哪类问题：这是「方格数阵」题：$8$ 个数排成 $2$ 行 $4$ 列，先用总和求出每列两数之和与每行四数之和，再把数两两配对填入。

关键切入点：$1+2+\cdots+8=36$。每列上下两数之和 $=36\div 4=9$，每行四数之和 $=36\div 2=18$。凑成 $9$ 的数对有 $(1,8),(2,7),(3,6),(4,5)$，把它们适当排入使每行和为 $18$。

方法概述：先由总和求每行每列的和，再两两配对填入。

规范步骤：

求总和：$1+2+\cdots+8=36$（整体求和）
每列两数之和：$36\div 4=9$（总和÷列数）
每行四数之和：$36\div 2=18$（总和÷行数）
配对：$(1,8),(2,7),(3,6),(4,5)$ 各凑 9（配对凑数）

第一套

题目：把 $3\sim 10$ 这 $8$ 个数填入 $2$ 行 $4$ 列的方格内，使各列上 $2$ 个数之和都相等，各行 $4$ 个数之和也相等。求每列之和与每行之和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（整体求和）：$3+4+5+6+7+8+9+10=\underline{\quad}$。
第 2 步（总和÷列数）：每列 $2$ 数之和 $=52\div 4=\underline{\quad}$。
第 3 步（总和÷行数）：每行 $4$ 数之和 $=52\div 2=\underline{\quad}$。

第二套

题目：$8$ 箱货物的重量恰是 $1\sim 8$ 吨，排成 $2$ 行 $4$ 列码放，使各列上下两箱之和都相等、各行四箱之和也相等。求每列之和与每行之和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（整体求和）：$1+2+\cdots+8=\underline{\quad}$（吨）。
第 2 步：每列两箱之和 $=36\div 4=\underline{\quad}$（吨）。
第 3 步：每行四箱之和 $=36\div 2=\underline{\quad}$（吨）。

第三套

题目：把 $1\sim 9$ 这 $9$ 个数填入 $3\times 3$ 方格内，使每行 $3$ 个数之和都相等，求这个和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（整体求和）：$1+2+\cdots+9=\underline{\quad}$。
第 2 步（总和÷行数）：每行之和 $=45\div 3=\underline{\quad}$。

第三套

题目：把 $1\sim 8$ 填入 $2$ 行 $4$ 列，使各列 $2$ 数之和都相等、各行 $4$ 数之和也相等。求列和、行和，并把每列上下两数配对。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（整体求和）：$1+2+\cdots+8=\underline{\quad}$。
第 2 步：每列和 $=36\div 4=\underline{\quad}$，每行和 $=36\div 2=\underline{\quad}$。
第 3 步（配对凑数）：每列上下两数凑成 $9$，配成 $(1,8)$、$(2,7)$、$(3,6)$、$(4,\_)$，最后一对的另一数 $=9-4=\underline{\quad}$。

27. 【原题 ch02-xingqu-05】如图 2-5，在这只“毛毛虫”身体上的 $7$ 个小 $\bigcirc$ 中分别填入数 $1\sim 7$，使得 $3$ 个大圆上的数之和相等。

详细思路

是哪类问题：这是「链状相交圆数阵」题：相邻两个大圆共用一个小圆，利用公共小圆做调节，使 $3$ 个大圆上的数之和相等。

关键切入点：$1\sim 7$ 总和 $28$。相邻大圆有公共小圆，先确定公共位置的数，再依次推算其余各圆缺数，使三个大圆和都相同。

方法概述：利用相邻大圆共用的小圆做调节，使各大圆和一致。

规范步骤：

所有数之和：$1+2+\cdots+7=28$（整体求和）
调节：用公共小圆使三大圆和相等（公共点调节）

28. 【原题 ch02-xingqu-06】在图 2-6 所示的 $3\times 3$ 方格表内填入 $1\sim 3$ 这 $3$ 个数各 $3$ 次，使得每行每列以及两条对角线上的 $3$ 个数之和都相等。

详细思路

是哪类问题：这是「三阶幻方」题：$3\times 3$ 方格填数，每行、每列、两条对角线上 $3$ 数之和都相等（幻和），由总和先求出幻和再凑数。

关键切入点：$1,2,3$ 各填 $3$ 次，总和 $(1+2+3)\times 3=18$，共 $3$ 行，故每行（每列、每条对角线）之和 $=18\div 3=6$。

方法概述：由总和除以行数求出幻和，再凑数填表。

规范步骤：

求总和：$(1+2+3)\times 3=18$（整体求和）
求幻和：$18\div 3=6$（总和÷行数）
写出答案：$每行、每列、对角线之和都是\,6$

第一套

题目：在 $3\times 3$ 方格里填入 $2$、$3$、$4$ 这 $3$ 个数各 $3$ 次，使每行、每列、两条对角线上 $3$ 数之和都相等，求这个和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（整体求和）：$(2+3+4)\times 3=\underline{\quad}$。
第 2 步（总和÷行数）：每行（列、对角线）之和 $=27\div 3=\underline{\quad}$。

第二套

题目：把 $1$、$2$、$3$ 三种颜色的花各栽 $3$ 盆（花的观赏值分别 $1$、$2$、$3$），摆成 $3\times 3$ 花阵，使每行、每列、两条对角线的观赏值之和都相等，求这个和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（整体求和）：$(1+2+3)\times 3=\underline{\quad}$。
第 2 步：每行（列、对角线）之和 $=18\div 3=\underline{\quad}$。

第三套

题目：把 $1\sim 9$ 这 $9$ 个数各填一次到 $3\times 3$ 方格里，使每行、每列、两条对角线上 $3$ 数之和都相等，求这个幻和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（整体求和）：$1+2+\cdots+9=\underline{\quad}$。
第 2 步（总和÷行数）：幻和 $=45\div 3=\underline{\quad}$。

第三套

题目：把 $1\sim 9$ 填成 $3\times 3$ 幻方（幻和 $15$）。利用“过中心格的 $4$ 条线（$1$ 行 $1$ 列 $2$ 对角线）”求出中心格的数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（求幻和）：$1+2+\cdots+9=\underline{\quad}$，幻和 $=45\div 3=\underline{\quad}$。
第 2 步（过中心四线求和）：过中心有 $4$ 条线，它们的和 $=4\times 15=\underline{\quad}$。
第 3 步（重复计数）：这 $4$ 条线里，所有数各算 $1$ 次共 $45$，中心格被多算了 $3$ 次，故中心的 $3$ 倍 $=60-45=\underline{\quad}$，中心 $=15\div 3=\underline{\quad}$。

29. 【原题 ch02-xingqu-07】将 $1\sim 6$ 这 $6$ 个数填入图 2-7 中的 $6$ 个 $\bigcirc$ 内，使“大”字三笔上的各数之和都等于 $9$。

详细思路

是哪类问题：这是「重叠点数阵」题：“大”字三笔共用中心圆，中心被算 $3$ 次、其余各算 $1$ 次，故三笔总和 $=$ 所有数之和 $+ 2\times$ 中心，由此解出中心数。

关键切入点：设中心为 $A$，$9\times 3=(1+2+\cdots+6)+2A$，即 $27=21+2A$，故 $A=(27-21)\div 2=3$。再把其余数与 $3$ 配成每笔 $9$。

方法概述：三笔总和 = 所有数 + 2×中心，先求中心数。

规范步骤：

三笔总和：$9\times 3=27$（每笔和×3）
所有数之和：$1+2+\cdots+6=21$（整体求和）
求中心：$2A=27-21=6,\ A=3$（中心重复计数）
写出答案：$中心填\,3$

第一套

题目：把 $1\sim 6$ 填入“大”字形的 $6$ 个 $\bigcirc$ 内，使三笔上各数之和都等于 $11$，求中心圆的数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（三笔总和）：$11\times 3=\underline{\quad}$。
第 2 步（所有数之和）：$1+2+\cdots+6=\underline{\quad}$。
第 3 步（中心重复计数）：中心被算 $3$ 次、多算 $2$ 次，$2\times$ 中心 $=33-21=\underline{\quad}$，中心 $=12\div 2=\underline{\quad}$。

第二套

题目：三条马路都经过同一个广场，每条马路上有 $3$ 个站点，$6$ 个站点的客流量恰是 $1\sim 6$（万人）。若每条马路上 $3$ 个站点客流之和都为 $9$ 万人，求广场（中心站点）的客流。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（三笔总和）：$9\times 3=\underline{\quad}$。
第 2 步（所有客流和）：$1+2+\cdots+6=\underline{\quad}$。
第 3 步（重复计数）：$2\times$ 广场 $=27-21=\underline{\quad}$，广场 $=6\div 2=\underline{\quad}$。

第三套

题目：把 $1\sim 7$ 填入三条经过同一中心的直线上（每条直线 $3$ 个数），使每条直线上 $3$ 数之和都为 $12$，求中心的数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（三线总和）：$12\times 3=\underline{\quad}$。
第 2 步（所有数之和）：$1+2+\cdots+7=\underline{\quad}$。
第 3 步（中心重复计数）：$2\times$ 中心 $=36-28=\underline{\quad}$，中心 $=8\div 2=\underline{\quad}$。

第三套

题目：“大”字形 $6$ 个圈填 $1\sim 6$，每笔之和都为 $9$。先求中心，再求过中心的某一斜笔上另外两数之和，并在余下数中确定这两数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（求中心）：$2\times$ 中心 $=9\times 3-21=27-21=\underline{\quad}$，中心 $=6\div 2=\underline{\quad}$。
第 2 步（斜笔另两数之和）：斜笔和 $9$，除中心 $3$ 外两数之和 $=9-3=\underline{\quad}$。
第 3 步（确定两数）：余下数 $1$、$5$、$6$ 中和为 $6$ 的是 $1+5=\underline{\quad}$，故这两数是 $1$ 和 $5$。

30. 【原题 ch02-xingqu-08】把 $1\sim 6$ 这 $6$ 个数分别填入图 2-8 中的 $6$ 个 $\bigcirc$ 内，使得每个正方形 $4$ 个顶点的数之和都等于 $13$。

详细思路

是哪类问题：这是「双正方形数阵」题：两个正方形共用中间两个圆，由两正方形顶点和都为 $13$、总和 $21$，可先求出两公共数之和，再定四角。

关键切入点：$1\sim 6$ 总和 $21$。两正方形顶点和之总 $13+13=26$，其中两公共圆被算 $2$ 次，故两公共数之和 $=26-21=5$；再据此推出四角的数。

方法概述：由两正方形顶点和之总与总和求公共两数之和。

规范步骤：

总和：$1+2+\cdots+6=21$（整体求和）
两正方形和之总：$13+13=26$（两框相加）
公共两数之和：$26-21=5$（重复计数）

31. 【原题 ch02-xingqu-09】把 $1\sim 6$ 这 $6$ 个数填入图 2-9 中的 $6$ 个方格内，使得横行 $3$ 个数之和与竖列 $4$ 个数的和相同。这个和最大是多少？最小是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「十字数阵求最值」题：横行与竖列交于一个公共格 $A$，把两段和相加时 $A$ 被算 $2$ 次，故 $2S=$ 所有数之和 $+A$，由整数条件讨论 $A$ 的取值求最值。

关键切入点：$1\sim 6$ 总和 $21$，$2S=21+A$，要 $S$ 为整数须 $A$ 为奇数。$S$ 最小取 $A=1$：$S=(21+1)\div 2=11$；$S$ 最大本应取 $A=6$，但 $21+6=27$ 为奇数，故取 $A=5$：$S=(21+5)\div 2=13$。

方法概述：设公共格为 A，由 2S=总和+A 及奇偶条件求最值。

规范步骤：

总和：$1+2+\cdots+6=21$（整体求和）
关系式：$2S=21+A$（公共格重复计数）
最小：$A=1,\ S=(21+1)\div 2=11$（取最小奇数）
最大：$A=5,\ S=(21+5)\div 2=13$（取最大合适奇数）

第一套

题目：把 $1\sim 7$ 填入十字形（横行与竖列交于一个公共格），使横行几数之和与竖列几数之和相同。这个和最大是多少？最小是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（总和）：$1+2+\cdots+7=\underline{\quad}$。
第 2 步（重复计数）：设公共格 $A$，$2S=28+A$，要 $S$ 为整数须 $28+A$ 为偶数，即 $A$ 为偶数。
第 3 步（最小）：$A$ 取最小偶数 $2$，$S=(28+2)\div 2=\underline{\quad}$。
第 4 步（最大）：$A$ 取最大偶数 $6$，$S=(28+6)\div 2=\underline{\quad}$。

第二套

题目：十字路口横、竖两条街上共 $6$ 个摊位，营业额恰是 $1\sim 6$（万元），交叉口有一个公共摊位。若横街几个摊位营业额之和与竖街几个摊位营业额之和相同，这个和最大、最小各是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（总和）：$1+2+\cdots+6=\underline{\quad}$。
第 2 步（最小）：公共摊位取 $1$，$S=(21+1)\div 2=\underline{\quad}$。
第 3 步（最大）：公共摊位取 $5$（取 $6$ 则 $21+6$ 为奇数不行），$S=(21+5)\div 2=\underline{\quad}$。

第三套

题目：把 $1\sim 7$ 填入三条经过同一中心的直线（每条 $3$ 个数），使每条直线和相等。这个直线和最大、最小各是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（总和）：$1+2+\cdots+7=\underline{\quad}$。
第 2 步（重复计数）：中心被算 $3$ 次，三线和 $=(28+2A)\div 3$ 须为整数，故 $A$ 除以 $3$ 余 $1$，即 $A$ 取 $1$、$4$、$7$。
第 3 步（最小）：$A=1$，直线和 $=(28+2\times 1)\div 3=\underline{\quad}$。
第 4 步（最大）：$A=7$，直线和 $=(28+2\times 7)\div 3=\underline{\quad}$。

第三套

题目：把 $1\sim 6$ 填入十字形，横行几数之和与竖列几数之和相同。这个和一共可能取哪些值？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（关系式）：$2S=21+A$，$S$ 为整数须 $A$ 为奇数，$A$ 可取 $1$、$3$、$5$。
第 2 步（逐一算）：$A=1$ 时 $S=(21+1)\div 2=\underline{\quad}$；$A=3$ 时 $S=(21+3)\div 2=\underline{\quad}$；$A=5$ 时 $S=(21+5)\div 2=\underline{\quad}$。

32. 【原题 ch02-xingqu-10】把 $1\sim 7$ 这 $7$ 个数填入图 2-10 中各 $\bigcirc$ 内，使每条直线上 $3$ 个数所填之和都相等，如果中心 $\bigcirc$ 内填的数固定，那么这就是同一种填法。请写出所有有可能的填法。

详细思路

是哪类问题：这是「三线共点分类填数」题：中心圆被三条直线共用、算 $3$ 次，三线总和 $=$ 所有数 $+2\times$ 中心，再由“每条直线和为整数”得整除条件，定出中心的可能取值。

关键切入点：$1\sim 7$ 总和 $28$，三线和 $=(28+2A)\div 3$ 须为整数，故 $28+2A$ 是 $3$ 的倍数，即 $A$ 除以 $3$ 余 $1$，$A$ 只能是 $1$、$4$、$7$：对应直线和 $10$、$12$、$14$，都能填出。

方法概述：由三线和的整除条件确定中心数的可能取值。

规范步骤：

总和：$1+2+\cdots+7=28$（整体求和）
整除条件：$(28+2A)\div 3$ 为整数 $\Rightarrow A\div 3$ 余 $1$（重复计数+整除）
取值：$A=1\to10,\ A=4\to12,\ A=7\to14$（分类）
写出答案：$共\,3\,种填法$

第一套

题目：把 $2\sim 8$ 这 $7$ 个数填入三条经过同一中心的直线（每条 $3$ 个数）内，使每条直线和相等。中心可以填哪些数？对应的直线和各是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（总和）：$2+3+\cdots+8=\underline{\quad}$。
第 2 步（整除条件）：三线和 $=(35+2A)\div 3$ 须为整数，故 $35+2A$ 是 $3$ 的倍数，$A$ 只能取 $2$、$5$、$8$。
第 3 步（逐一算直线和）：$A=2\to(35+2\times 2)\div 3=\underline{\quad}$；$A=5\to(35+2\times 5)\div 3=\underline{\quad}$；$A=8\to(35+2\times 8)\div 3=\underline{\quad}$。

第二套

题目：三条彩带都穿过中央的一颗大珠子，每条彩带串 $3$ 颗珠（含大珠），$7$ 颗珠的编号恰是 $1\sim 7$。若每条彩带上珠子编号之和都相等，中央大珠的编号可能是几？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（总和）：$1+2+\cdots+7=\underline{\quad}$。
第 2 步（整除条件）：每条彩带和 $=(28+2A)\div 3$ 须整数，$A$ 除以 $3$ 余 $1$，$A$ 取 $1$、$4$、$7$。
第 3 步（验证）：$A=1\to\underline{\quad}$、$A=4\to\underline{\quad}$、$A=7\to\underline{\quad}$，都能填出。

第三套

题目：把 $1\sim 6$ 填入“大”字形 $6$ 个圈（中心被三笔共用），使三笔之和都相等。中心可以填哪些数？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（关系式）：三笔和的 $3$ 倍 $=21+2\times$ 中心，即 $3S=21+2A$。
第 2 步（整除条件）：$S$ 为整数须 $21+2A$ 是 $3$ 的倍数，即 $A$ 是 $3$ 的倍数，$A$ 取 $3$ 或 $6$。
第 3 步（验证）：$A=3\to 3S=21+2\times 3=\underline{\quad}$，$S=27\div 3=\underline{\quad}$；$A=6\to 3S=21+2\times 6=\underline{\quad}$，$S=33\div 3=\underline{\quad}$。

第三套

题目：把 $1\sim 7$ 填入三线共点数阵，取中心 $=7$，使每条直线和相等。求外圈（每条直线靠外端点）$3$ 个数的最大乘积。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（每条直线和）：中心 $7$，直线和 $=(28+2\times 7)\div 3=\underline{\quad}$。
第 2 步（每线另两数之和）：每条直线除中心 $7$ 外两数之和 $=14-7=\underline{\quad}$。
第 3 步（最大乘积）：$3$ 组和为 $7$ 的数对是 $(1,6)$、$(2,5)$、$(3,4)$，外圈取每对较大数 $6$、$5$、$4$，乘积 $=6\times 5\times 4=\underline{\quad}$。

竞赛数学 · 四年级第2讲《数阵图初步》举一反三练习卷

附录 · 答案

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