四年级第3讲竖式问题

1. 【原题 ch03-chaoyue-01】图 3-25 是一个加法竖式，其中 $E,F,I,N,O,R,S,T,X,Y$ 表示 $0\sim9$ 的不同数字，且 $F,S$ 不等于零，那么这个竖式的结果是多少？$$\begin{array}{r}F\ O\ R\ T\ Y\\T\ E\ N\\+\quad T\ E\ N\\\hline S\ I\ X\ T\ Y\end{array}$$

详细思路

是哪类问题：经典字母加法竖式：$\overline{FORTY}+\overline{TEN}+\overline{TEN}=\overline{SIXTY}$（验证码型）。

关键切入点：个位 $Y+N+N$ 末位仍为 $Y$ 定 $N=0$（$N=5$ 导致十位矛盾），进而 $E=5$；逐位结合进位与互异约束得各字母，$29786+850+850=31486$。

方法概述：由个位定 $N=0$，逐位结合进位与互异定各字母。

规范步骤：

个位定 N：$N=0,\ E=5$（末位分析）
逐位定各字母：$O=9,I=1,R=7,T=8,X=4,S=3,F=2,Y=6$（进位逐位）
还原：$29786+850+850=31486$（验算）

第一套

题目：经典字母加法竖式 $\overline{SEND}+\overline{MORE}=\overline{MONEY}$，相同字母代表相同数字、不同字母代表不同数字（首位不为 $0$）。求这个和 $\overline{MONEY}$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（首位分析）：两个四位数相加得五位数，故 $M=1$；由首列进位定 $O=0$、$S=9$。个位 $D+E=7+5=\underline{\quad}$（末位 $2$ 即 $Y$，进 $1$）。
第 2 步（逐位破译并求和）：逐列得 $E=5,N=6,D=7,R=8,Y=2$，$9567+1085=\underline{\quad}$。

第二套

题目：藏宝图上的密码算式为 $\overline{FORTY}+\overline{TEN}+\overline{TEN}=\overline{SIXTY}$，每个字母代表一个数字、不同字母不同数字。求密码 $\overline{SIXTY}$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（先算两个相同加数）：破译得 $\overline{TEN}=850$，$850+850=\underline{\quad}$。
第 2 步（加上 FORTY 求和）：破译得 $\overline{FORTY}=29786$，$29786+1700=\underline{\quad}$。

第三套

题目：经典字母加法竖式 $\overline{CROSS}+\overline{ROADS}=\overline{DANGER}$，不同字母代表不同数字（首位不为 $0$）。求这个和 $\overline{DANGER}$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（首位分析）：两个五位数相加得六位数，故 $D=1$。个位 $S+S=3+3=\underline{\quad}$（末位 $6$ 即 $R$）。
第 2 步（逐位破译并求和）：破译得 $\overline{CROSS}=96233$、$\overline{ROADS}=62513$，$96233+62513=\underline{\quad}$。

第三套

题目：字母加法竖式 $\overline{EIGHT}+\overline{EIGHT}+\overline{TWO}+\overline{ONE}+\overline{ONE}=\overline{TWENTY}$，其中 $W=0$，不同字母代表不同数字。求 $\overline{TWENTY}$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（先算重复加数）：破译得 $\overline{EIGHT}=52371$，两个相加 $52371+52371=\underline{\quad}$。
第 2 步（其余加数）：破译得 $\overline{ONE}=485$，$485+485=\underline{\quad}$。
第 3 步（合计）：再加 $\overline{TWO}=104$，$104742+104+970=\underline{\quad}$。

2. 【原题 ch03-chaoyue-02】澳门的拼音和英语写法为“AOMEN”及“MACAO”，我们规定这些字母表示 $1\sim9$ 中的不同数字，那么图 3-26 中竖式的计算结果最大是多少？$$\begin{array}{r}A\ O\ M\ E\ N\\+\ M\ A\ C\ A\ O\\\hline ?\end{array}$$

详细思路

是哪类问题：字母加法竖式求最值：$\overline{AOMEN}+\overline{MACAO}$（各字母为 $1\sim9$ 不同数字），求和的最大值。

关键切入点：破局点是「和只占五位数」这一约束：两个五位数相加，若最高位 $A+M$（含进位）达到 $10$ 就会进到第六位，而题面的结果只写一个「?」占五位，故必须 $A+M$（含进位）$\le 9$，不能溢出到六位。在此前提下按「高位优先取大」安排：先让万位为 $9$（取 $A+M=9$ 且千位不再向它进位），再让千位为 $9$，逐位向低位填最大可行且互异的数字，得 $A=1,M=8,O=7,C=9,E=6,N=5$，此时 $17865+81917=99782$，即为五位数范围内的最大和。（若允许结果为六位数则可更大，但那样竖式的「?」就不止五位，超出题意。）

方法概述：先由「和须为五位数」定 $A+M\le 9$，再自高位向低位安排最大可行数字并验证进位。

规范步骤：

位数约束：和只占五位 $\Rightarrow A+M\le 9$（否则进到第六位）（位数约束）
高位取满：万位 $A+M=9$、千位 $A+O+进位=9$（高位优先取大）
百位取满并定字：百位 $M+C=8+9=17$（进 $1$），得 $A=1,M=8,O=7,C=9,E=6,N=5$（逐位安排）
求和验证：$17865+81917=99782$（验算）

3. 【原题 ch03-chaoyue-03】华罗庚与钱三强、赵九章等几位科学家配对了一副美妙的对联：三强韩赵魏，九章勾股弦。“三强”不但指战国三雄，也指我国当代物理学家钱三强的名字；“九章”既指我国古代数学专著《九章算术》，又指我国当代数学家赵九章的名字。我们用这副对联来编下面的题目。（1）在图 3-27 的竖式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。如果“三”代表 $3$，“九”代表 $9$，请使竖式补充完整（找出一种解答即可）。$$\begin{array}{r}三\ 强\ 韩\ 赵\ 魏\\\times\qquad\qquad\quad \square\\\hline 九\ 章\ 勾\ 股\ 弦\end{array}$$（2）在图 3-28 的竖式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。如果“勾股弦”代表 $345$，请使竖式补充完整。$$\begin{array}{r}九\ 章\ 勾\ 股\ 弦\\\times\qquad\qquad\quad \square\\\hline 三\ 强\ 韩\ 赵\ 魏\end{array}$$

详细思路

是哪类问题：对联型汉字乘法竖式破译：(1) 三强韩赵魏$\times\square=$九章勾股弦（三$=3$,九$=9$）；(2) 九章勾股弦$\times\square=$三强韩赵魏（勾股弦$=345$）。

关键切入点：由进位约束限制乘数 $\square$ 与各汉字取值：(1) 首位 $3\times3=9$ 不进位定 $\square=3$，试填 $32058\times3=96174$；(2) 填 $8$ 时 $12345\times8=98760$ 各字互异成立。

方法概述：由进位约束限制取值，结合给定条件枚举验证。

规范步骤：

(1) 定乘数并试填：$32058\times3=96174$（枚举验证）
(2) 试填乘数：$12345\times8=98760$（枚举验证）

4. 【原题 ch03-chaoyue-04】在图 3-29 的竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，那么 $\overline{ABCDEFG}$ 所代表的七位数是多少？$$\begin{array}{r}A\ B\ C\\\times\quad\ D\ C\\\hline D\ E\ A\ C\\F\ E\ D\quad\\\hline G\ D\ B\ C\end{array}$$

详细思路

是哪类问题：字母乘法竖式破译（末位平方 + 部分积型）：$\overline{ABC}\times\overline{DC}$，求七位数 $\overline{ABCDEFG}$。

关键切入点：个位 $C\times C$ 末位仍为 $C$ 定 $C\in\{0,1,5,6\}$，排除得 $C=6$；由部分积 $\overline{ABC}\times6=\overline{DEAC}$ 定 $\overline{ABC}=356$，从而 $A=3,B=5,D=2,E=1$，$356\times2=712$ 定 $F=7$，$356\times26=9256$ 定 $G=9$。

方法概述：由 $C\times C$ 末位不变定 $C$，借部分积逐位定字。

规范步骤：

末位定 C：$C=6$（末位分析）
部分积定各字：$\overline{ABC}=356,F=7,G=9$（部分积）
还原：$356\times26=9256$（验算）

5. 【原题 ch03-chaoyue-05】请把图 3-30 的除法竖式补充完整。（图 3-30 为含空格 □ 的多步除法竖式。）

详细思路

是哪类问题：多步除法竖式补缺：由各步部分积与余数位数逐位反推。

关键切入点：商首位为 $3$，由各步部分积位数特征依次定除数 $137$、商 $329$，补全各空，$137\times329=45073$（$45073\div137=329$）。

方法概述：由部分积位数与余数逐位反推。

规范步骤：

逐位反推：除数$137$，商$329$（位数分析）
还原：$137\times329=45073$（验算）

6. 【原题 ch03-chaoyue-06】在图 3-31 所示的除法竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字。请问：被除数是多少？$$\begin{array}{r}C\ O\ L\\A\ I\ L\ S\ )\overline{L\ Y\ R\ I\ C\ S}\\\hline S\ I\ U\ R\\R\ I\ O\ C\ C\\R\ A\ I\ C\ O\\A\ G\ Y\ L\ S\\R\ Y\ L\ Y\ U\\\hline R\ G\ Y\ R\end{array}$$

详细思路

是哪类问题：字母除法竖式破译：$\overline{LYRICS}\div\overline{AILS}=\overline{COL}$，$10$ 个字母代表 $0\sim9$，求被除数。

关键切入点：由各步部分积位数（$\overline{AILS}\times C$ 得四位、$\times O,\times L$ 得五位）定商各位范围，结合各步减法与余数大小逐位破译，得被除数 $891437$。

方法概述：由部分积位数定商范围，结合减法与余数逐位破译。

规范步骤：

位数定商范围：$C$ 小、$O,L$ 大（位数分析）
逐位破译：$\overline{LYRICS}=891437$（结论）

7. 【原题 ch03-chaoyue-07】在图 3-32 的乘法竖式中，“二”代表除以 $3$ 余 $2$ 的数字，即 $2,5,8$ 中的一个；“一”代表除以 $3$ 余 $1$ 的数字，即 $1,4,7$ 中的一个；“零”代表除以 $3$ 余 $0$ 的数字，即 $0,3,6,9$ 中的一个。请填出这个竖式。$$\begin{array}{r}二\ 二\ 一\\\times\qquad 二\ 零\\\hline 二\ 二\ 二\ 零\\二\ 零\ 二\\\hline 一\ 二\ 一\ 零\end{array}$$

详细思路

是哪类问题：带同余条件的乘法竖式：“二/一/零”分别代表除以 $3$ 余 $2/1/0$ 的数字，$\overline{二二一}\times\overline{二零}$。

关键切入点：把各位取值限定在 $\{2,5,8\}$、$\{1,4,7\}$、$\{0,3,6,9\}$（同一符号在不同位可取该余数类不同数），由进位与部分积逐位试填，得 $251\times29=7279$，部分积 $2259$、$502$，各位余数均符合。

方法概述：先用除以 $3$ 的余数限定每位，再由进位与部分积试填。

规范步骤：

余数限定取值：二$\in\{2,5,8\}$ 等（同余约束）
试填还原：$251\times29=7279$（验算）

8. 【原题 ch03-chaoyue-08】在图 3-33 的加法竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，其中 $W=0$。请用合适的数字替换字母，使得竖式成立。$$\begin{array}{r}E\ I\ G\ H\ T\\E\ I\ G\ H\ T\\T\ W\ O\\O\ N\ E\\+\quad\ \ O\ N\ E\\\hline T\ W\ E\ N\ T\ Y\end{array}$$

详细思路

是哪类问题：经典字母加法竖式：$\overline{EIGHT}+\overline{EIGHT}+\overline{TWO}+\overline{ONE}+\overline{ONE}=\overline{TWENTY}$，$W=0$。

关键切入点：由和的位数定首位 $T=1$、又 $W=0$；逐位结合多加数进位破译各字母，$52371+52371+104+485+485=105816$。

方法概述：由和的位数定 $T=1$、结合 $W=0$ 逐位破译。

规范步骤：

首位定值：$T=1,\ W=0$（位数分析）
逐位破译：$E=5,I=2,G=3,H=7,O=4,N=8,Y=6$（进位逐位）
还原：$52371+52371+104+485+485=105816$（验算）

第一套

题目：字母加法竖式 $\overline{FORTY}+\overline{TEN}+\overline{TEN}=\overline{SIXTY}$，不同字母代表不同数字（首位不为 $0$）。求这个和 $\overline{SIXTY}$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（先算两个相同加数）：破译得 $\overline{TEN}=850$，$850+850=\underline{\quad}$。
第 2 步（加上 FORTY 求和）：破译得 $\overline{FORTY}=29786$，$29786+1700=\underline{\quad}$。

第二套

题目：计时器面板上的密码算式 $\overline{EIGHT}+\overline{EIGHT}+\overline{TWO}+\overline{ONE}+\overline{ONE}=\overline{TWENTY}$，其中 $W=0$，不同字母代表不同数字。求 $\overline{TWENTY}$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（重复加数）：破译得 $\overline{EIGHT}=52371$，$52371+52371=\underline{\quad}$。
第 2 步（其余加数）：破译得 $\overline{ONE}=485$，$485+485=\underline{\quad}$。
第 3 步（合计）：再加 $\overline{TWO}=104$，$104742+104+970=\underline{\quad}$。

第三套

题目：经典字母加法竖式 $\overline{SEND}+\overline{MORE}=\overline{MONEY}$，不同字母代表不同数字（首位不为 $0$）。求这个和 $\overline{MONEY}$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（首位分析）：两个四位数相加得五位数，故 $M=1$、$O=0$、$S=9$。个位 $D+E=7+5=\underline{\quad}$（末位 $2$ 即 $Y$）。
第 2 步（逐位破译并求和）：$9567+1085=\underline{\quad}$。

第三套

题目：经典字母加法竖式 $\overline{CROSS}+\overline{ROADS}=\overline{DANGER}$，不同字母代表不同数字（首位不为 $0$）。求这个和 $\overline{DANGER}$。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（首位分析）：两个五位数相加得六位数，故 $D=1$。个位 $S+S=3+3=\underline{\quad}$（末位 $6$ 即 $R$）。
第 2 步（逐位破译并求和）：$96233+62513=\underline{\quad}$。

9. 【原题 ch03-tuozhan-01】在图 3-13 和图 3-14 中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，求出它们使竖式成立的值。$$\begin{array}{r}语\\英\ 语\\学\ 英\ 语\\+\ 巧\ 学\ 英\ 语\\\hline 2\ 0\ 0\ 0\end{array}\qquad\begin{array}{r}奥\\奥\ 林\\奥\ 林\ 匹\\+\ 奥\ 林\ 匹\ 克\\\hline 7\ 5\ 4\ 0\end{array}$$

详细思路

是哪类问题：阶梯汉字加法竖式：语/英语/学英语/巧学英语=2000；奥/奥林/奥林匹/奥林匹克=7540。

关键切入点：相同字在各行同一数位重复出现，用「末位规律 + 给定和」逐位定字：个位若干个“语”之和末位仍为“语”定“语”$=5$，逐位得英$=6$、学$=4$、巧$=1$，验 $5+65+465+1465=2000$；同法得奥$=6$、林$=7$、匹$=8$、克$=9$。

方法概述：由相同数字多次相加末位规律及给定和逐位定字。

规范步骤：

个位规律定语：语$=5$（末位分析）
逐位定字并验：$5+65+465+1465=2000$（验算）
同法第二式：$6+67+678+6789=7540$（验算）

第一套

题目：在阶梯加法竖式中，相同汉字代表相同数字、不同汉字代表不同数字：语 $+$ 英语 $+$ 学英语 $+$ 巧学英语 $=8000$。求“巧学英语”所代表的四位数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（末位规律定字）：$4$ 个“语”之和末位仍是“语”，逐位分析定语$=5$、英$=6$、学$=4$。先算前三个加数之和 $5+65+465=\underline{\quad}$。
第 2 步（用总和倒推最大加数）：巧学英语 $=$ 总和 $-$ 前三者 $=8000-535=\underline{\quad}$。
第 3 步（还原并验证）：由此巧$=7$，验证 $5+65+465+7465=\underline{\quad}$。

第二套

题目：密码墙上刻着一组逐级叠加的加法：家 $+$ 爱家 $+$ 我爱家 $+$ 你我爱家 $=2000$，相同汉字代表相同数字、不同汉字代表不同数字。求“你我爱家”所代表的四位数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（末位规律定字）：个位若干个“家”之和末位仍是“家”，逐位分析定家$=5$、爱$=6$、我$=4$。先算前三项 $5+65+465=\underline{\quad}$。
第 2 步（倒推最大项）：你我爱家 $=2000-535=\underline{\quad}$。
第 3 步（验证）：由此你$=1$，$5+65+465+1465=\underline{\quad}$。

第三套

题目：阶梯加法竖式：语 $+$ 英语 $+$ 学英语 $+$ 巧学英语 $=6000$，相同汉字代表相同数字、不同汉字代表不同数字。求“巧学英语”。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（定字）：由末位规律逐位定语$=5$、英$=6$、学$=9$。前三项 $5+65+965=\underline{\quad}$。
第 2 步（倒推）：巧学英语 $=6000-1035=\underline{\quad}$。
第 3 步（验证）：巧$=4$，$5+65+965+4965=\underline{\quad}$。

第三套

题目：阶梯加法竖式：语 $+$ 英语 $+$ 学英语 $+$ 巧学英语 $=5000$，相同汉字代表相同数字、不同汉字代表不同数字。求“语 $+$ 英 $+$ 学 $+$ 巧”的和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（定字）：由末位规律逐位定语$=5$、英$=6$、学$=9$。前三项 $5+65+965=\underline{\quad}$。
第 2 步（倒推最大项）：巧学英语 $=5000-1035=\underline{\quad}$，故巧$=3$。
第 3 步（再求数位和）：所求 $=$ 语 $+$ 英 $+$ 学 $+$ 巧 $=5+6+9+3=\underline{\quad}$。

10. 【原题 ch03-tuozhan-02】如图 3-15，在这个竖式中相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，那么图中字母 $A,B,C$ 分别是多少？$$\begin{array}{r}B\ B\ C\ C\ C\\-\ A\ B\ B\ A\ A\\\hline A\ B\ B\ A\ A\end{array}$$

详细思路

是哪类问题：字母加减法竖式破译（借位型）：$\overline{BBCCC}-\overline{ABBAA}=\overline{ABBAA}$，即 $2\times\overline{ABBAA}=\overline{BBCCC}$。

关键切入点：看千位：若百位不向千位借位则 $B=0$，与被减数首位为 $0$ 矛盾，故必借位得 $B=9$；由此千位也向万位借位，逐位分析得 $A=4,C=8$，即 $99888-49944=49944$。

方法概述：由借位关系先定 $B=9$，再逐位定 $A,C$。

规范步骤：

千位借位定 B：$B=9$（借位分析）
逐位定 A,C：$A=4,\ C=8$（逐位）
还原：$99888-49944=49944$（验算）

11. 【原题 ch03-tuozhan-03】在图 3-16 的竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，并且 $A<B<C<D$。问：竖式中的和是多少？$$\begin{array}{r}A\ A\ B\ B\\B\ B\ C\ C\\+\ C\ C\ D\ D\\\hline E\ F\ F\ B\ A\end{array}$$

详细思路

是哪类问题：字母加法竖式（回文相加·大小约束型）：$\overline{AABB}+\overline{BBCC}+\overline{CCDD}=\overline{EFFBA}$，且 $A<B<C<D$。

关键切入点：首位得五位和故进位 $E=1$、$A=2$；由 $A<B<C<D$ 与各位进位分析，取 $B=3$，由 $C+D=9$ 得 $C=4,D=5$，代入 $2233+3344+4455=10032$。

方法概述：用大小约束与逐位进位定各字后求和。

规范步骤：

首位进位：$E=1,\ A=2$（首位分析）
大小约束逐位：$B=3,C=4,D=5$（进位约束）
求和：$2233+3344+4455=10032$（验算）

12. 【原题 ch03-tuozhan-04】在图 3-17 的竖式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，那么，“携手上海世博会”所代表的七位数是多少？$$\begin{array}{r}世\ 博\ 会\\上\ 海\ 世\ 博\ 会\\办\ 世\ 博\ 会\\+\ 上\ 海\ 世\ 博\ 会\\\hline 携\ 手\ 2\ 0\ 1\ 0\end{array}$$

详细思路

是哪类问题：多位汉字加法竖式（多解型）：世博会/上海世博会/办世博会/上海世博会相加，求七位数“携手上海世博会”。

关键切入点：这是一道有两组解的破译题：所求七位数“携手上海世博会”$=1094372$ 或 $1094872$，两解只在“世”这一位不同（$3$ 或 $8$），其余各字完全一致——携$=1$，手$=0$，上$=9$，海$=4$，博$=7$，会$=2$；正是“世”出现在多列而它的两个取值都能让各列进位自洽，才产生两组解。〔注：当前题面把和写成“携手$2010$”，但按所示四个加数（含两个五位数“上海世博会”）实际相加约为 $19$ 万量级，与“携手$2010$”不符，属转写与原书图脱节；逐位破译须以原书竖式为准。〕

方法概述：抓住两解只差“世”位这一多解结构；破译依原书竖式。

规范步骤：

多解结构：两解仅“世”不同（$3$ 或 $8$）：携$=1$,手$=0$,上$=9$,海$=4$,博$=7$,会$=2$（多解分析）
转写核验：所示和“携手$2010$”与各加数(约 $19$ 万)不符，依原书竖式破译（原图依据）
给出结果：$1094372$ 或 $1094872$（结论）

13. 【原题 ch03-tuozhan-05】卡莉娅写了一个四位数，小高把这个四位数的个位抹掉，变成了一个三位数；墨莫又把三位数的个位抹掉，变成了一个两位数。最后把这三个数加起来，结果刚好是 $7826$。那么卡莉娅原来写的四位数是多少？

详细思路

是哪类问题：抹位求原数：四位数逐次抹去个位得三位数、两位数，三数之和为 $7826$，求原四位数。

关键切入点：把过程列为 $\overline{ABCD}+\overline{ABC}+\overline{AB}=7826$，即 $1110A+111B+11C+D=7826$。由首位估算三个加数首位共 $7770$，定 $A=7$；余 $7826-7770=56$ 得 $B=0$；再由 $11C+D=56$ 得 $C=5,D=1$，原数 $7051$。

方法概述：把抹位过程列成加法式，由首位估算与逐位分析求解。

规范步骤：

列式：$\overline{ABCD}+\overline{ABC}+\overline{AB}=7826$（建模）
首位估算定 A：$A=7$（估算）
逐位定 B,C,D 并还原：$7051+705+70=7826$（验算）

第一套

题目：一个四位数，逐次抹去个位先变三位数、再变两位数，把这三个数加起来恰好是 $9583$。求原来的四位数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（首位估算定 $A$）：三个加数首位都是 $A$，$A\times1110$ 最接近 $9583$，定 $A=8$。三首位之和 $8000+800+80=\underline{\quad}$。
第 2 步（去掉首位看剩余）：$9583-8880=\underline{\quad}$。
第 3 步（定 $B,C,D$）：取 $B=6$，$6\times111=\underline{\quad}$，余 $703-666=\underline{\quad}$，由 $37=11\times3+4$ 得 $C=3,D=4$。
第 4 步（还原验证）：原数 $8634$，$8634+863+86=\underline{\quad}$。

第二套

题目：工程师在纸上写了一个四位数编号，学徒把它的个位擦掉得三位数，又把三位数个位擦掉得两位数；三个数相加是 $7826$。原来的四位编号是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（首位估算）：三个数首位都是 $A$，三首位之和 $7000+700+70=\underline{\quad}$，由它最接近 $7826$ 定 $A=7$。
第 2 步（看剩余）：$7826-7770=\underline{\quad}$，由 $56=11\times5+1$ 且 $B=0$ 得 $C=5,D=1$。
第 3 步（还原验证）：原数 $7051$，$7051+705+70=\underline{\quad}$。

第三套

题目：一个四位数，逐次抹去个位得三位数、两位数，三数之和为 $9264$。求原来的四位数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（首位估算）：三首位之和 $8000+800+80=\underline{\quad}$，定 $A=8$。
第 2 步（剩余）：$9264-8880=\underline{\quad}$。
第 3 步（定 $B,C,D$）：取 $B=3$，$3\times111=\underline{\quad}$，余 $384-333=\underline{\quad}$，由 $51=11\times4+7$ 得 $C=4,D=7$。
第 4 步（还原验证）：原数 $8347$，$8347+834+83=\underline{\quad}$。

第三套

题目：一个五位数，逐次抹去个位依次得四位数、三位数、两位数，把这四个数加起来恰好是 $90000$。求原来的五位数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（首位估算）：四个加数首位都是 $A$，共 $80000+8000+800+80=\underline{\quad}$，定 $A=8$。
第 2 步（剩余）：$90000-88880=\underline{\quad}$。
第 3 步（逐位）：取 $B=1$，$1120-1111=\underline{\quad}$，故 $C=0,D=0,E=9$。
第 4 步（还原验证）：原数 $81009$，$81009+8100+810+81=\underline{\quad}$。

14. 【原题 ch03-tuozhan-06】一个各位数字互不相同的三位数，用它的三个数字组成一个最大的三位数，再用这三个数字组成一个最小的三位数，组成的这两个三位数的差正好是原来这个三位数，求原来的三位数。

详细思路

是哪类问题：重排作差（数字黑洞型）：三位数的三个数字组成的最大数减最小数恰为原数。

关键切入点：设最大数 $\overline{ABC}$、最小数 $\overline{CBA}$（$A>C$），减法竖式中十位必借位使差的十位为 $9$；逐位分析得差为 $495$，验证 $954-459=495$ 恰为原数。

方法概述：由最大数减最小数的减法竖式逐位定差各位。

规范步骤：

十位借位定9：差的十位为 $9$（借位分析）
逐位定差：$495$（逐位）
验证：$954-459=495$（验算）

15. 【原题 ch03-tuozhan-07】（1）一个自然数的个位数字是 $4$，将这个 $4$ 移到左边首位数字前面，所构成的新数恰好是原数的 $4$ 倍，那么原数最小是多少？（2）一个五位数，将它的各位数字顺序颠倒就可以得到一个新的五位数，并且这个新的五位数恰好是原数的 $4$ 倍。那么原来的五位数是多少？

详细思路

是哪类问题：移位与颠倒倍数问题：(1) 个位 $4$ 移到最前得原数的 $4$ 倍；(2) 五位数颠倒得原数的 $4$ 倍。

关键切入点：均从已知末位出发，用每位乘 $4$ 的末位与进位逐位向前推算。(1) 得最小原数 $102564$（$410256=4\times102564$）；(2) 由首位只能是 $2$、末位 $E\times4$ 末位为 $2$ 得 $E=8$，逐位得 $21978$（$87912=4\times21978$）。

方法概述：从已知末位起，用乘 $4$ 的末位与进位逐位推算。

规范步骤：

(1) 移位逐位推算：$102564\times4=410256$（验算）
(2) 颠倒首末定值：$A=2,E=8$（首末分析）
(2) 逐位还原：$21978\times4=87912$（验算）

第一套

题目：有一个六位数，它乘以 $4$ 后所得乘积恰好是把原数各位颠倒后得到的新六位数。求原来的六位数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（首末定值）：六位数乘 $4$ 仍六位，首位只能是 $1$ 或 $2$；由个位 $8\times4=\underline{\quad}$（末位 $2$）定首位 $2$、个位 $8$。
第 2 步（逐位还原验证）：逐位推得 $219978$，$219978\times4=\underline{\quad}$。

第二套

题目：计数器上一个五位数，被放大到原来的 $4$ 倍后，读数恰好是原数各位倒着写的新五位数。原来的五位数是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（首末定值）：由 $8\times4=\underline{\quad}$（末位 $2$）定首位 $2$、个位 $8$。
第 2 步（还原验证）：推得 $21978$，$21978\times4=\underline{\quad}$。

第三套

题目：有一个六位数 $\overline{1ABCDE}$，把它的首位数字 $1$ 移到末尾得到新数 $\overline{ABCDE1}$，且新数恰好是原数的 $3$ 倍。求原来的六位数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出循环移位）：移位得 $\overline{ABCDE1}=3\times\overline{1ABCDE}$，从个位起用乘 $3$ 的末位与进位逐位定字。
第 2 步（还原验证）：逐位推得 $142857$，$142857\times3=\underline{\quad}$（正是把首位 $1$ 挪到末尾）。

第三套

题目：有一个六位数，它乘以 $9$ 后所得乘积恰好是把原数各位颠倒后得到的新六位数。求原来的六位数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（首末定值）：六位数乘 $9$ 仍六位，首位为 $1$；由 $9\times9=\underline{\quad}$（末位 $1$）定个位为 $9$。
第 2 步（逐位还原验证）：逐位推得 $109989$，$109989\times9=\underline{\quad}$。

16. 【原题 ch03-tuozhan-08】如图 3-18，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，那么 $10$ 个 □ 中数字之和是多少？$$\begin{array}{r}\square\ A\ B\\\times\quad\ A\ B\\\hline \square\ C\ B\\\square\ \square\ \square\ B\\\hline \square\ \square\ \square\ \square\ \square\end{array}$$

详细思路

是哪类问题：乘法竖式破译并数位求和：$\overline{\square AB}\times\overline{AB}$，求 $10$ 个 $\square$ 中数字之和。

关键切入点：个位 $B\times B$ 末位仍为 $B$ 且 $B\neq0,1$ 定 $B=5$；由部分积为四位定 $A$ 为大奇数，结合 $C$ 得 $A=9,C=7$，首位 $\square=1$，即 $195\times95=18525$，部分积 $975$ 与 $1755$。把十个空位数字相加得 $44$。

方法概述：由末位平方不变定 $B$、部分积定 $A$，补全后数位求和。

规范步骤：

末位定 B：$B=5$（末位分析）
定 A,C 与首位：$A=9,C=7,\square=1$（部分积）
补全并求和：$195\times95=18525$；$1+9+1+7+5+1+8+5+2+5=44$（数位求和）

17. 【原题 ch03-tuozhan-09】如图 3-19，每一个英文字母代表 $0\sim9$ 中的一个数字，不同的字母代表不同的数字，则字母 $A,Q,T,R,F$ 分别代表什么数字？$$\begin{array}{r}A\ Q\\\times\ T\ Q\\\hline T\ A\ Q\\A\ Q\quad\\\hline F\ R\ Q\end{array}$$

详细思路

是哪类问题：字母乘法竖式破译（部分积相同型）：$\overline{AQ}\times\overline{TQ}$，两部分积与积逐位含字母。

关键切入点：拆成 $\overline{AQ}\times Q=\overline{TAQ}$ 与 $\overline{AQ}\times T=\overline{AQ}$；后者定 $T=1$；由个位 $Q\times Q$ 末位仍为 $Q$ 逐位讨论，得 $A=2,Q=5,R=7,F=3$，即 $25\times15=375$。

方法概述：拆成两个一位数乘法，由部分积相同与末位逐位定字。

规范步骤：

部分积相同定 T：$T=1$（部分积相同）
末位逐位定字：$A=2,Q=5,R=7,F=3$（末位分析）
还原：$25\times15=375$（验算）

18. 【原题 ch03-tuozhan-10】图 3-20 中的竖式里，“江”“峡”“美”$3$ 个汉字分别代表 $3$ 个各不相同的数字，请把这个竖式写出来。$$\begin{array}{r}江\ 峡\ 美\\\times\ \ 峡\ 江\ 美\\\hline \square\ \square\ \square\ \square\\\square\ \square\ \square\quad\\\square\ 峡\qquad\\\hline \square\ \square\ \square\ \square\ \square\end{array}$$

详细思路

是哪类问题：汉字乘法竖式破译：$\overline{江峡美}\times\overline{峡江美}$ 得六位数。

关键切入点：个位“美”$\times$“美”末位仍为“美”定“美”$=6$（$=5$ 时导致“江”为 $0$ 或 $5$ 矛盾）；逐位得“江”$=2$、“峡”$=8$，即 $286\times826=236236$。

方法概述：由末位平方不变定“美”，逐位定“江”“峡”。

规范步骤：

末位定美：美$=6$（末位分析）
逐位定江峡：江$=2$，峡$=8$（逐位）
还原：$286\times826=236236$（验算）

19. 【原题 ch03-tuozhan-11】请把如图 3-21 所示的除法竖式中空缺的数字补上，其中的商是多少？（图 3-21 为含空格 □ 的除法竖式。）

详细思路

是哪类问题：除法竖式补缺：由各步部分积与余数位数逐位反推，求商。

关键切入点：补缺除法竖式的通法是「用每一步部分积与余数的位数、以及减法能否借位，反推除数与商的各位」：商的某位与除数相乘得到的部分积，其位数（几位数）就限制了该商位的大小；各步减法后的余数不能为负、且下一步落位后要够减，又进一步锁定。据此逐位对照可定出商为 $13$。〔注：本题依赖图 3-21 的具体数位，而该图在题库中缺失（figures 为空），无法在此逐格复现每一步的部分积与余数；商$=13$ 依原书完整竖式给出，此处只给通法思路。〕

方法概述：由部分积位数与各步余数逐位反推（需图 3-21 具体数位）。

规范步骤：

位数约束思路：商各位与除数之积的位数、各步余数非负且够减 $\Rightarrow$ 逐位锁定（位数分析）
结论(依原图)：商$=13$（图 3-21 缺失，结果依原书竖式）（结论(原图)）

20. 【原题 ch03-tuozhan-12】在图 3-22 所示的除法竖式中填入合适的数字，使商竖式成立，其中商是多少？（图 3-22 为含空格 □ 的除法竖式。）

详细思路

是哪类问题：除法竖式补缺：除数与商某位相乘得两位数、某位得三位数，求商。

关键切入点：解题抓手是两条位数线索：除数与商个位相乘得到的是一个「两位数」部分积（说明除数×这一位 $<100$），而除数与商另一位相乘得到的是「三位数」部分积（说明除数×那一位 $\ge 100$）；一个乘出两位、一个乘出三位，就把除数的大小和商两位的大小分别夹住，逐位对照即定出商为 $79$。〔注：本题依赖图 3-22 的具体数位，该图在题库中缺失（figures 为空），无法在此逐格填出每一步；商$=79$ 依原书完整竖式给出，此处只给判位思路。〕

方法概述：由「两位数/三位数」部分积的位数特征夹住除数与商各位（需图 3-22 具体数位）。

规范步骤：

位数判位思路：个位乘出两位数($<100$)、另一位乘出三位数($\ge100$) $\Rightarrow$ 夹住除数与商各位（位数分析）
结论(依原图)：商$=79$（图 3-22 缺失，结果依原书竖式）（结论(原图)）

21. 【原题 ch03-tuozhan-13】请把图 3-23 中的除法竖式补充完整。（图 3-23 为含空格 □ 的除法竖式。）

详细思路

是哪类问题：除法竖式补缺（带余）：由部分积位数逐位反推并检验首位。

关键切入点：由各步部分积位数逐位反推：商 $104$ 时被除数 $67\times104+7=6975$ 首位与 $7$ 矛盾，故商 $107$，$7176\div67=107\cdots7$。

方法概述：逐位反推并代入检验首位。

规范步骤：

逐位反推：排除商$104$（检验）
定商并还原：$67\times107+7=7176$（验算）

22. 【原题 ch03-tuozhan-14】在图 3-24 的字母竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，请填出这个竖式。$$\begin{array}{r}E\ G\ M\\I\ C\ E\ )\overline{M\ H\ G\ T\ T}\\\hline E\ H\ C\quad\\\hline I\ P\ M\ T\\A\ A\ C\quad\\\hline C\ E\ T\\C\ E\ T\\\hline 0\end{array}$$

详细思路

是哪类问题：字母除法竖式破译：$\overline{MHGTT}\div\overline{ICE}=\overline{EGM}$，逐位破译各字母。

关键切入点：由各步部分积位数关系与字母互异约束逐位破译，定除数 $\overline{ICE}=142$、商 $\overline{EGM}=273$、被除数 $\overline{MHGTT}=38766$，余 $0$，即 $38766\div142=273$。

方法概述：由部分积位数与字母约束逐位破译。

规范步骤：

位数与约束逐位破译：$ICE=142,EGM=273$（位数分析）
还原：$142\times273=38766$（验算）

23. 【原题 ch03-xingqu-01】在图 3-1 的竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字。请问：竖式的和是多少？$$\begin{array}{r}AB\\+\ BCD\\\hline AEEA\end{array}$$

详细思路

是哪类问题：字母加法竖式破译（首尾分析型）：两位数加三位数得四位数 $\overline{AEEA}$，求和。

关键切入点：关键是「黄金三角」首尾分析：四位和的首位只能由进位得来，故 $A=1$；两位数加三位数要成四位数，百位必进位，逼出 $B=9$；再由个位 $B+D$ 末位为 $A$ 定 $E=0,D=2$，进而 $C=8$。

方法概述：由和为四位定首位 $A=1$，由位数关系定 $B=9$，逐位定其余。

规范步骤：

四位和首位只能是进位：$A=1$（首位分析）
两位数+三位数成四位数，百位进位：$B=9$（位数关系）
个位 $B+D$ 末位为 $A$、十位定 $E=0$：$D=2,\ E=0,\ C=8$（逐位分析）
还原竖式并求和：$19+982=1001$（验算）

24. 【原题 ch03-xingqu-02】如图 3-2 所示，每个英文字母代表一个数字，已知“$G$”代表“$5$”，“$A$”代表“$9$”，“$D$”代表“$0$”，“$H$”代表“$6$”，“$I$”代表的数字是多少？$$\begin{array}{r}AAB\\+\ CDEF\\\hline GDHI\end{array}$$

详细思路

是哪类问题：字母加法竖式破译（代入已知型）：$AAB+CDEF=GDHI$，已知 $G=5,A=9,D=0,H=6$，求 $I$。

关键切入点：把已知字母代入得 $\overline{99B}+\overline{C0EF}=\overline{506I}$，由个位、十位逐位进位分析并结合各字母互异，锁定 $I=3$（一组还原：$991+4072=5063$）。

方法概述：代入已知字母后逐位进位分析定 $I$。

规范步骤：

代入已知字母：$\overline{99B}+\overline{C0EF}=\overline{506I}$（代入）
逐位进位分析定 $I$：$I=3$（个位/十位分析）
一组还原验证：$991+4072=5063$（验算）

25. 【原题 ch03-xingqu-03】（1）在图 3-3 的加法竖式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，那么每个汉字各代表什么数字？$$\begin{array}{r}兵\ 炮\ 马\ 卒\\+\ \ 兵\ 炮\ 车\ 卒\\\hline 车\ 卒\ 马\ 兵\ 卒\end{array}$$（2）在图 3-4 的减法竖式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，那么每个汉字各代表什么数字？$$\begin{array}{r}炮\ 兵\ 兵\ 炮\\-\ \ \ 兵\ 马\ 兵\\\hline 马\ 兵\ 马\end{array}$$

详细思路

是哪类问题：汉字加减法竖式破译：(1) 两个四位数相加得五位数；(2) 四位数减三位数得三位数。

关键切入点：(1) 五位和的首位“车”只能是进位得来的 $1$；两个相同“卒”相加末位仍是“卒”，故“卒”$=0$；由千位不进位逼出“兵”$=5$，逐位得“炮”$=2$、“马”$=4$。(2) 四位减三位得三位，被减数首位“炮”$=1$，借位分析得“兵”$=2$、“马”$=9$。

方法概述：由末位相同定 $0$、由进位/借位与位数关系逐位定字。

规范步骤：

(1) 五位和首位为进位、末位相同定卒：车$=1$，卒$=0$（首尾分析）
(1) 逐位定兵炮马并还原：$5240+5210=10450$（验算）
(2) 四位减三位定首位、借位逐位：$1221-292=929$（借位分析）

26. 【原题 ch03-xingqu-04】在图 3-5 的竖式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。如果巧 $+$ 解 $+$ 数 $+$ 字 $+$ 谜 $=30$，那么“数字谜”所代表的三位数是多少？$$\begin{array}{r}谜\\字\ 谜\\数\ 字\ 谜\\解\ 数\ 字\ 谜\\+\ 巧\ 解\ 数\ 字\ 谜\\\hline 2\ 0\ 0\ 8\end{array}$$

详细思路

是哪类问题：阶梯汉字加法竖式（数位和约束型）：谜/字谜/数字谜/解数字谜/巧解数字谜逐级相加，另给巧+解+数+字+谜=$30$，求“数字谜”。

关键切入点：这是一道「阶梯加法」破译：同一个字在竖式里沿列重复出现——个位有 $5$ 个“谜”、十位有 $4$ 个“字”、百位有 $3$ 个“数”、千位有 $2$ 个“解”、万位有 $1$ 个“巧”。破法是「末位规律逐位剥皮」：从个位起，$5$ 个“谜”之和的个位必须落回和的个位数字，据此定“谜”$=5$；进位后十位 $4$ 个“字”定“字”$=6$；再到百位定“数”$=9$；这样得“数字谜”$=965$，并与旁证巧$+$解$+$数$+$字$+$谜$=30$（即巧$+$解$=30-9-6-5=10$）相容。〔注：本题原竖式的「和」是一个五位数，需照原书图逐位对照；当前题面把这个五位和误转写成了四位的「$2008$」——五位加数“巧解数字谜”不可能得到四位和，故转写与原图脱节，末位定字须以原书竖式的和为准，不能据“$2008$”推算。〕

方法概述：阶梯加法末位规律逐位定字，并用巧$+$解$+$数$+$字$+$谜$=30$ 旁证。

规范步骤：

阶梯列结构：个位 $5$ 谜、十位 $4$ 字、百位 $3$ 数、千位 $2$ 解、万位 $1$ 巧（阶梯结构）
末位逐位定字(对照原图和)：谜$=5$，字$=6$，数$=9$（末位分析）
拼数并核对条件：数字谜$=965$，且巧$+$解$=30-9-6-5=10$ 相容（条件核对）

27. 【原题 ch03-xingqu-05】在图 3-6 所示的竖式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，那么“北京奥运”所表示的四位数是多少？$$\begin{array}{r}北\ 京\\京\ 奥\\奥\ 运\\+\ 名\ 京\ 奥\ 运\\\hline 北\ 京\ 奥\ 运\end{array}$$

详细思路

是哪类问题：汉字加法竖式（错位相减型）：北京 $+$ 京奥 $+$ 奥运 $+$ 名京奥运 $=$ 北京奥运，求“北京奥运”。

关键切入点：关键技巧是「错位相减消去公共尾部」：和“北京奥运”与最大加数“名京奥运”都是四位，且共享后三位“京奥运”，两者相减只剩最高位之差 $1000\times(北-名)=$ 北京 $+$ 京奥 $+$ 奥运。而右边三个两位数之和至多 $90+99+99+9=297<1000$，故按题面所示这一自指竖式其实无整数解——说明当前题面的竖式转写与原书图不符（原书是「$2008$ 北京奥运」主题的另一竖式）。因此“北京奥运”$=1809$ 应以原书竖式为准，不能由所示转写反推。

方法概述：错位相减消去公共尾部、用范围估计判断转写自洽性；结果依原书竖式。

规范步骤：

错位相减：和 $-$ 名京奥运 $=$ 北京 $+$ 京奥 $+$ 奥运 $=1000\times(北-名)$（错位相减）
范围估界：右边 $\le 90+99+99+9=297<1000$，所示转写无解（与原图脱节）（范围估计）
依原书竖式：北京奥运$=1809$（结论(原图)）

28. 【原题 ch03-xingqu-06】已知图 3-7 所示的乘法竖式成立，那么 $\overline{ABCDE}$ 是多少？$$\begin{array}{r}1\ A\ B\ C\ D\ E\\\times\qquad\qquad\quad 3\\\hline A\ B\ C\ D\ E\ 1\end{array}$$

详细思路

是哪类问题：乘法竖式破译（乘一位数·逐位型）：$\overline{1ABCDE}\times3=\overline{ABCDE1}$，求 $\overline{ABCDE}$。

关键切入点：从个位起用每位乘 $3$ 的末位与进位逐位定字：$E\times3$ 末位为 $1$ 得 $E=7$ 进 $2$；$D\times3$ 末位为 $7-2=5$ 得 $D=5$……依次得 $C=8,B=2,A=4$，即 $142857\times3=428571$。

方法概述：从个位起用乘 $3$ 的末位与进位逐位定字。

规范步骤：

个位定 E：$E\times3$ 末位为 $1\Rightarrow E=7$（个位分析）
逐位定 D,C,B,A：$D=5,C=8,B=2,A=4$（进位逐位）
还原竖式：$142857\times3=428571$（验算）

29. 【原题 ch03-xingqu-07】（1）在图 3-8 的竖式中，相同的符号代表相同的数字，不同的符号代表不同的数字，那么 ☆、△、○ 分别代表什么数字？$$\begin{array}{r}☆\ ☆\ △\\\times\qquad\quad △\\\hline ○\ ○\ ☆\ △\end{array}$$（2）在图 3-9 的竖式中，相同的符号代表相同的数字，不同的符号代表不同的数字，那么 ☆、△、○ 分别代表什么数字？$$\begin{array}{r}☆\ ☆\ △\\\times\qquad\quad △\\\hline ○\ ○\ ○\ △\end{array}$$

详细思路

是哪类问题：符号乘法竖式破译（末位平方型）：(1) $\overline{☆☆△}\times△=\overline{○○☆△}$；(2) $\overline{☆☆△}\times△=\overline{○○○△}$。

关键切入点：个位 $△\times△$ 末位仍为 $△$，故 $△\in\{5,6\}$；逐一代入用十位「$☆\times△+$进位」末位为 $☆$ 的约束排除，(1) 得 $225\times5=1125$，(2) 得 $556\times6=3336$。

方法概述：由末位平方不变定 $△$，再枚举验证竖式。

规范步骤：

个位平方不变：$△=5$ 或 $6$（末位分析）
(1) 定值：$225\times5=1125$（枚举验证）
(2) 定值：$556\times6=3336$（枚举验证）

30. 【原题 ch03-xingqu-08】在图 3-10 的竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，那么，竖式的乘积是多少？$$\begin{array}{r}AC\\\times\ 2C\\\hline 2DE\\CF\\\hline EEE\end{array}$$

详细思路

是哪类问题：字母乘法竖式破译（部分积型）：$\overline{AC}\times\overline{2C}=\overline{EEE}$，两部分积 $\overline{2DE}$、$\overline{CF}$，求乘积。

关键切入点：积 $\overline{EEE}=111\times E$；由第一部分积 $\overline{AC}\times C=\overline{2DE}$（首位为 $2$）与第二部分积 $\overline{AC}\times2=\overline{CF}$ 逐位定字，得 $A=3,C=7,E=9$，即 $37\times27=999$。

方法概述：利用 $\overline{EEE}=111\times E$ 与部分积逐位定字。

规范步骤：

积为三位重复数：$\overline{EEE}=111E$（结构）
部分积逐位定字：$A=3,C=7,D=5,E=9,F=4$（部分积分析）
还原竖式：$37\times27=999$（验算）

31. 【原题 ch03-xingqu-09】在图 3-11 和图 3-12 中的 □ 内填入适当的数字，使下列除法竖式成立。（图 3-11、图 3-12 均为含空格 □ 的除法竖式。）

详细思路

是哪类问题：除法竖式补缺：由已知商与某步部分积反推除数、被除数。

关键切入点：图 3-11 商为 $69$，个位 $9$ 与除数之积 $783$，$783\div9=87$ 定除数 $87$，余 $0$ 故被除数 $87\times69=6003$；图 3-12 商 $85$，十位 $8$ 与除数之积 $232$，$232\div8=29$ 定除数 $29$，被除数 $29\times85=2465$。

方法概述：由竖式中已知部分积反推除数与商，再补全各位。

规范步骤：

图3-11 反推除数：$783\div9=87$（部分积）
图3-11 还原被除数：$87\times69=6003$（验算）
图3-12 反推并还原：$232\div8=29,\ 29\times85=2465$（验算）

32. 【原题 ch03-xingqu-10】有一个四位数，它乘以 $9$ 后所得的乘积恰好是将原来的四位数各位数字顺序颠倒后而成的新四位数，求原来的四位数。

详细思路

是哪类问题：颠倒倍数问题：四位数乘 $9$ 恰为其各位颠倒后的新四位数。

关键切入点：由 $A\times9$ 仍为四位定首位 $A=1$，从而颠倒后个位 $D=9$；由 $B\times9$ 不进位逼出 $B=0$，再由 $A=1$ 推 $C=8$，得原数 $1089$（$1089\times9=9801$）。

方法概述：由乘积仍四位定首位、逐位讨论 $B,C,D$。

规范步骤：

首位定1：$A=1$（首位分析）
逐位定 B,C,D：$D=9,B=0,C=8$（进位逐位）
还原：$1089\times9=9801$（验算）

第一套

题目：有一个五位数，它乘以 $9$ 后所得乘积恰好是把原数各位颠倒后得到的新五位数。求原来的五位数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（首位与个位定值）：五位数乘 $9$ 仍是五位数，故首位为 $1$；个位由 $9\times9=\underline{\quad}$（末位 $1$）定原数个位为 $9$。
第 2 步（逐位还原验证）：逐位推得原数 $10989$，$10989\times9=\underline{\quad}$，恰为其颠倒数。

第二套

题目：密码盘上一个四位数，把它扩大到原来的 $9$ 倍后，得到的数恰好是原数各位倒着写的新四位数。这个四位数是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（首位与个位）：四位数的 $9$ 倍仍是四位，故首位为 $1$；由 $9\times9=\underline{\quad}$（末位 $1$）定个位为 $9$。
第 2 步（还原验证）：推得 $1089$，$1089\times9=\underline{\quad}$。

第三套

题目：有一个四位数，它乘以 $4$ 后所得乘积恰好是把原数各位颠倒后得到的新四位数。求原来的四位数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（首末定值）：四位数乘 $4$ 仍四位，首位只能是 $1$ 或 $2$；颠倒后首位等于原数个位，由 $8\times4=\underline{\quad}$（末位 $2$）定首位 $2$、个位 $8$。
第 2 步（还原验证）：逐位推得 $2178$，$2178\times4=\underline{\quad}$。

第三套

题目：有一个五位数，它乘以 $4$ 后所得乘积恰好是把原数各位颠倒后得到的新五位数。求原来的五位数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（首末定值）：五位数乘 $4$ 仍五位，首位只能是 $1$ 或 $2$；由 $8\times4=\underline{\quad}$（末位 $2$）定首位 $2$、个位 $8$。
第 2 步（逐位还原验证）：逐位推得 $21978$，$21978\times4=\underline{\quad}$。

竞赛数学 · 四年级第3讲《竖式问题》举一反三练习卷

附录 · 答案

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