竞赛数学 · 四年级 第4讲《几何图形剪拼》举一反三练习卷

详细解题思路 + 规范步骤 + 三套填空变式（换数字 / 换场景 / 增加知识点）· 答案见文末附录
1. 【原题 ch04-chaoyue-01】将图 4-23 沿格线分割成大小、形状完全相同的 4 个部分，你能想出几种方法？（如果两个图形通过旋转或翻转后重合，就认为它们的大小、形状是相同的）
详细思路
是哪类问题：这是「格点图形四等分」类：32 格图形沿格线分成 4 个全等块。
关键切入点：直接数格：共 32 个小格，每块 $32\div4=8$ 个小格；8 格拼成的形状很像一个倾斜的正方形，可按多种方式分成 4 个全等块。属构造型。
方法概述：数总格数四等分，构造与原图相似的全等块。
规范步骤：
  1. 第一步：总格数：$32$ 个小格（计数）
  2. 第二步：每块格数：$32\div 4=8$（均分）
  3. 第三步：8 格凑成“倾斜正方形”：4 个全等块（相似分割）
  4. 结论：有多种分法（不唯一）
2. 【原题 ch04-chaoyue-02】如图 4-24 (a)，长方形的长和宽分别是 25 厘米和 16 厘米，请把这个长方形剪成两块，再拼成一个正方形如图 (b)。
详细思路
是哪类问题：这是「长方形阶梯剪拼成正方形」类：$25\times16$ 长方形剪两块拼成正方形。
关键切入点：面积守恒：$25\times16=400$，正方形边长为 20（$20\times20=400$）。长要从 25 剪到 20，横阶梯每级 $25-20=5$；宽要从 16 补到 20，竖阶梯每级 $20-16=4$，沿此阶梯剪两块错位拼接。
方法概述：由面积求边长，横 5 竖 4 的阶梯剪两块错位拼接。
规范步骤：
  1. 第一步：长方形面积：$25\times 16=400$（平方厘米）（面积）
  2. 第二步：定边长：$20\times 20=400$，边长 $20$（面积定边长）
  3. 第三步：横阶梯尺寸：$25-20=5$（长的余量）
  4. 第四步：竖阶梯尺寸：$20-16=4$（宽的补量）
  5. 结论：沿横 5 竖 4 阶梯剪拼成边长 20 的正方形
第一套
题目：长方形的长和宽分别是 $32$ 厘米和 $18$ 厘米，把它剪成两块拼成一个正方形。求正方形的边长，以及横、竖阶梯每级的尺寸。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（长方形面积）：$32\times18=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  2. 第 2 步（求边长）：正方形面积也是 576，边长 $\times$ 边长 $=576$，试出边长 $=\underline{\quad}$（因为 $24\times24=576$）。
  3. 第 3 步（横阶梯尺寸）：长要从 32 剪到 24，横阶梯每级长 $32-24=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（竖阶梯尺寸）：宽要从 18 补到 24，竖阶梯每级高 $24-18=\underline{\quad}$。
第二套
题目：一块长 $25$ 厘米、宽 $16$ 厘米的长方形铁皮，剪成两块焊成一块正方形铁皮。求正方形的边长，以及横、竖阶梯每级的尺寸。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（铁皮面积）：$25\times16=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  2. 第 2 步（求边长）：焊接面积不变，正方形面积也是 400，边长 $\times$ 边长 $=400$，试出边长 $=\underline{\quad}$（因为 $20\times20=400$）。
  3. 第 3 步（横阶梯尺寸）：长从 25 剪到 20，横阶梯每级长 $25-20=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（竖阶梯尺寸）：宽从 16 补到 20，竖阶梯每级高 $20-16=\underline{\quad}$。
第三套
题目：长方形的长和宽分别是 $45$ 厘米和 $20$ 厘米，剪成两块拼成正方形。求正方形的边长，以及横、竖阶梯每级的尺寸。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（长方形面积）：$45\times20=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  2. 第 2 步（求边长）：正方形面积也是 900，边长 $\times$ 边长 $=900$，试出边长 $=\underline{\quad}$（因为 $30\times30=900$）。
  3. 第 3 步（横阶梯尺寸）：长从 45 剪到 30，$45-30=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（竖阶梯尺寸）：宽从 20 补到 30，$30-20=\underline{\quad}$。
第三套
题目：长方形的长和宽分别是 $48$ 厘米和 $27$ 厘米，剪成两块拼成正方形。求正方形的边长、横竖阶梯每级尺寸以及正方形的周长。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（长方形面积）：$48\times27=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  2. 第 2 步（求边长）：正方形面积也是 1296，边长 $\times$ 边长 $=1296$，试出边长 $=\underline{\quad}$（因为 $36\times36=1296$）。
  3. 第 3 步（横阶梯尺寸）：长从 48 剪到 36，$48-36=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（竖阶梯尺寸）：宽从 27 补到 36，$36-27=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（再求周长）：周长 $=$ 边长 $\times4$，$36\times4=\underline{\quad}$。
3. 【原题 ch04-chaoyue-03】如图 4-25 (a) 是一块 $25\times 49$（单位：厘米）的长方形纸片，现在要沿虚线将它分成 3 块，再拼成如图 (b) 所示的边长为 35 厘米的正方形纸片。请用实线标明剪切和拼接的方法。在这里，虚线划分成的小长方形的大小为 $5\times 7$（单位：厘米）。
详细思路
是哪类问题：这是「长方形阶梯剪拼成正方形」类：$25\times49$ 长方形沿虚线分 3 块拼成边长 35 的正方形。
关键切入点：面积守恒：$25\times49=1225=35^2$。长要从 49 剪到 35，横向剪去 $49-35=14$；宽要从 25 补到 35，阶梯高 $35-25=10$，沿 $5\times7$ 虚线剪 3 块拼接。
方法概述：由长宽与目标边长的差定阶梯尺寸，剪 3 块拼正方形。
规范步骤：
  1. 第一步：长方形面积：$25\times 49=1225$（平方厘米）（面积）
  2. 第二步：定边长：$35\times 35=1225$，边长 $35$（面积定边长）
  3. 第三步：长向剪去：$49-35=14$（长的余量）
  4. 第四步：宽向阶梯高：$35-25=10$（宽的补量）
  5. 结论：沿 $5\times7$ 虚线剪 3 块拼成边长 35 的正方形
第一套
题目：一块 $49\times64$ 的长方形纸片，沿虚线分成 3 块拼成一个正方形。求正方形的边长、长向要剪去的长度、宽向阶梯的高度。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（长方形面积）：$49\times64=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  2. 第 2 步（求边长）：正方形面积也是 3136，边长 $\times$ 边长 $=3136$，试出边长 $=\underline{\quad}$（因为 $56\times56=3136$）。
  3. 第 3 步（长向余量）：长从 64 剪到 56，剪去 $64-56=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（宽向补量）：宽从 49 补到 56，阶梯高 $56-49=\underline{\quad}$。
第二套
题目：一块 $25\times49$ 的长方形草坪，园丁沿虚线把它分成 3 块重新拼成一块正方形草坪。求正方形草坪的边长、长向要剪去的长度、宽向阶梯的高度。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（草坪面积）：$25\times49=\underline{\quad}$（平方米）。
  2. 第 2 步（求边长）：拼接面积不变，正方形面积也是 1225，边长 $\times$ 边长 $=1225$，试出边长 $=\underline{\quad}$（因为 $35\times35=1225$）。
  3. 第 3 步（长向余量）：长从 49 剪到 35，剪去 $49-35=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（宽向补量）：宽从 25 补到 35，阶梯高 $35-25=\underline{\quad}$。
第三套
题目：一块 $36\times64$ 的长方形纸片，分成 3 块拼成一个正方形。求正方形的边长、长向要剪去的长度、宽向阶梯的高度。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（长方形面积）：$36\times64=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  2. 第 2 步（求边长）：正方形面积也是 2304，边长 $\times$ 边长 $=2304$，试出边长 $=\underline{\quad}$（因为 $48\times48=2304$）。
  3. 第 3 步（长向余量）：长从 64 剪到 48，剪去 $64-48=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（宽向补量）：宽从 36 补到 48，阶梯高 $48-36=\underline{\quad}$。
第三套
题目：一块 $45\times80$ 的长方形纸片，分成 3 块拼成一个正方形。求正方形的边长、长向剪去的长度、宽向阶梯高度以及正方形的周长。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（长方形面积）：$45\times80=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  2. 第 2 步（求边长）：正方形面积也是 3600，边长 $\times$ 边长 $=3600$，试出边长 $=\underline{\quad}$（因为 $60\times60=3600$）。
  3. 第 3 步（长向余量）：长从 80 剪到 60，剪去 $80-60=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（宽向补量）：宽从 45 补到 60，阶梯高 $60-45=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（再求周长）：周长 $=$ 边长 $\times4$，$60\times4=\underline{\quad}$。
4. 【原题 ch04-chaoyue-04】将图 4-26 沿格线分割成 7 个形状不同的长方形（包含正方形），请在图中用实线标出分割线。
详细思路
是哪类问题：这是「正方形分割成不同长方形」类：$5\times5$ 分成 7 个形状互不相同的长方形（含正方形）。
关键切入点：从面积入手：正方形面积 25，7 个形状不同的长方形面积和也是 25。取面积依次为 $1,2,3,4,4,5,6$ 的 7 个不同形状（$1\times1,1\times2,1\times3,2\times2,1\times4,1\times5,2\times3$），$1+2+3+4+4+5+6=25$ 恰好填满。
方法概述：从面积入手，取面积互不相同的 7 个长方形使面积和为 25。
规范步骤：
  1. 第一步：总面积：$5\times 5=25$（面积）
  2. 第二步：取 7 个不同形状：$1\times1,1\times2,1\times3,2\times2,1\times4,1\times5,2\times3$（穷举构造）
  3. 第三步：面积和：$1+2+3+4+4+5+6=25$（验证）
  4. 结论：恰好填满 $5\times5$
5. 【原题 ch04-chaoyue-05】图 4-27 是由 5 个小正方形组成的一个“十字架”，请将它剪成若干块，然后拼成一个大正方形。
详细思路
是哪类问题：这是「十字形等积剪拼成正方形」类：5 个小正方形组成的十字架剪拼成一个大正方形。
关键切入点：十字架面积 5，大正方形面积也 5。由 $5=2^2+1^2$，边长等于直角边 1、2 的直角三角形斜边，按此斜边方向剪拼即可（有多种方法）。
方法概述：由面积 5 与 $5=1^2+2^2$ 定边长，按斜边方向剪拼。
规范步骤：
  1. 第一步：十字架面积：$5$（个小正方形）（面积）
  2. 第二步：分解面积：$1\times1+2\times2=1+4=5$（勾股分解）
  3. 第三步：按斜边剪拼：大正方形边长为直角边 1、2 的斜边（斜边剪拼）
  4. 结论：可有多种剪拼方法
6. 【原题 ch04-chaoyue-06】如图 4-28，一个 $5\times 7$ 的大长方形左上角割去了一个 $2\times 3$ 的小长方形，请把这个图形分成 3 部分，再拼成一个正方形。
详细思路
是哪类问题：这是「缺角图形等积剪拼成正方形」类：$5\times7$ 长方形去掉 $2\times3$ 一角，分 3 块拼成正方形。
关键切入点：剩余面积 $5\times7-2\times3=35-6=29$，目标正方形面积也是 29，边长为 $\sqrt{29}$（非整数）。原书未给解答，只需按面积等积用阶梯/斜线剪拼，属构造型。
方法概述：由剩余面积定正方形面积，等积剪拼分 3 块。
规范步骤：
  1. 第一步：外框面积：$5\times 7=35$（面积）
  2. 第二步：减去缺角：$35-2\times3=35-6=29$（作差）
  3. 第三步：目标正方形面积：$29$，边长 $\sqrt{29}$（等积）
  4. 结论：按等积剪拼分 3 块（原书未给具体图）
7. 【原题 ch04-chaoyue-07】有一个大正方形，现在要把它分割为 12 个小正方形，那么：（1）要分成 2 种面积不同的小正方形，可以如何分割？（2）要分成 3 种面积不同的小正方形，可以如何分割？（3）要分成 4 种面积不同的小正方形，可以如何分割？
详细思路
是哪类问题：这是「正方形分割成小正方形（控制面积种类）」类：把大正方形分成 12 个小正方形，控制不同面积的种类数为 2、3、4。
关键切入点：先用网格把大正方形均分成若干同样大小的小正方形，再合并其中一部分得到更大的正方形，从而出现 2 种、3 种或 4 种不同面积，且总数恰为 12 个。原书未给标准图，属构造型。
方法概述：用网格分割再合并，控制面积种类数与总数 12。
规范步骤：
  1. 第一步：网格均分：分成若干同样大小的小正方形（网格）
  2. 第二步：合并出更大正方形：制造 2/3/4 种不同面积（合并）
  3. 第三步：使总数为 12：控制个数（计数）
  4. 结论：分别构造 2、3、4 种面积的分法（原书未给标准解）
8. 【原题 ch04-chaoyue-08】请画出一个三角形，并把它分成大小、形状都完全相同的 5 个小三角形。如果要分为完全相同的 13 个小三角形，该如何画？
详细思路
是哪类问题：这是「三角形分割成全等三角形」类：把一个三角形分成 5 个、13 个大小形状都相同的小三角形。
关键切入点：先把大三角形沿格线分成 $n^2$ 个全等小三角形（$4,9,16,\dots$），再适当合并相邻小三角形，凑成大小、形状都相同的 5 个或 13 个小三角形。原书未给标准图，属构造型。
方法概述：用 $n^2$ 等分网格再合并，凑出 5 或 13 个全等小三角形。
规范步骤：
  1. 第一步：$n^2$ 等分：分成 $4,9,16,\dots$ 个全等小三角形（相似分割）
  2. 第二步：合并相邻小三角形：凑成 5 或 13 个全等块（合并）
  3. 结论：给出 5 个与 13 个的分法（原书未给标准解）
9. 【原题 ch04-tuozhan-01】观察图 4-11，$ABCDEF$ 是正六边形，$O$ 是它的中心。画出线段 $PQ$ 后，就把正六边形 $ABCDEF$ 分成了 2 个大小、形状都相同的五边形。（1）能否画出 3 条线段，把正六边形分成 6 个大小、形状都相同的图形？（2）能否画出几条线段，把正六边形分成 3 个大小、形状都相同的四边形？（3）能否画出几条线段，把正六边形分成 3 个大小、形状都相同的五边形？
详细思路
是哪类问题：这是「正多边形等分（中心对称）」类：利用正六边形绕中心 $O$ 的旋转对称把它分成若干全等块。
关键切入点：正六边形绕中心每转 $60^\circ$ 与自身重合：(1) 连 $O$ 与 6 个顶点得 6 个全等三角形；(2) 把 6 个三角形两两合并 $6\div2=3$ 得 3 个全等菱形；(3) 连 $OA,OC,OE$ 得 3 个全等五边形。
方法概述：过中心画对称分割线，按 60°/120° 旋转对称分块。
规范步骤：
  1. 第一步：(1) 连 $O$ 与 6 顶点：$6$ 个全等三角形（中心放射）
  2. 第二步：(2) 两两合并：$6\div 2=3$ 个全等菱形（合并）
  3. 第三步：(3) 连 $OA,OC,OE$：$3$ 个全等五边形（隔顶连线）
  4. 结论：三问都能实现
10. 【原题 ch04-tuozhan-02】请在图 4-12 中标出分割线，把图形沿格线分成大小、形状都相同的 4 个部分。（如果两个图形通过旋转或翻转后重合，就认为它们的大小、形状是相同的）
详细思路
是哪类问题：这是「格点图形四等分」类：把带凸出小方格的图形沿格线分成 4 个旋转/翻转可重合的全等块。
关键切入点：先数总格数四等分得每块格数，再结合轮廓的凸出部分，凑出 4 个通过旋转或翻转能重合的全等小块。属构造型。
方法概述：总格数四等分，凑旋转/翻转可重合的全等块。
规范步骤：
  1. 第一步：总格数四等分：总格数 $\div 4=$ 每块格数（均分）
  2. 第二步：结合凸出轮廓凑全等块：4 个旋转/翻转可重合的块（凑全等）
  3. 结论：标出分割线（不唯一）
11. 【原题 ch04-tuozhan-03】将图 4-13 沿格线分割成大小、形状都相同的 4 个部分，请在图中画出具体的分割方法。
详细思路
是哪类问题：这是「三角形格阵等分」类：三角形格阵共 24 个小三角形，沿格线分成 4 个全等块。
关键切入点：每块应含 $24\div4=6$ 个小三角形；6 个小三角形拼成的图形要与整体相似（仍是三角形），在格阵中找出 4 个这样的小三角形区域。
方法概述：总三角形数 ÷ 4，凑与原图相似的小三角形区域。
规范步骤：
  1. 第一步：每块小三角形数：$24\div 4=6$（均分）
  2. 第二步：6 个小三角形拼成相似小三角形：4 个全等区域（相似分割）
  3. 结论：沿格线分成 4 个相似全等块（不唯一）
12. 【原题 ch04-tuozhan-04】将图 4-14 分割成大小、形状完全相同的 4 块，请至少画出 4 种不同的分法。（图中 L 形底边长为 12、右侧高为 8，上方凸起部分宽为 4）
详细思路
是哪类问题：这是「L 形图形等分」类：把 L 形分成大小、形状都相同的 4 块，至少给 4 种分法。
关键切入点：先按格算出 L 形面积，四等分得每块面积；L 形既能分成 4 个与原图相似的小 L 形，也能分成长方形、阶梯形等其它全等块，多给几种分法即可。属构造型。
方法概述：求面积四等分，构造多种全等分块。
规范步骤：
  1. 第一步：求 L 形面积并四等分：面积 $\div 4=$ 每块面积（均分）
  2. 第二步：构造相似/长方形/阶梯等全等块：至少 4 种分法（多解构造）
  3. 结论：给出 4 种不同分法（不唯一）
13. 【原题 ch04-tuozhan-05】如图 4-15，从一张边长为 7 厘米的正方形纸片中，最多能裁剪出多少张长 4 厘米、宽 1 厘米的长方形纸条？请画图说明裁剪方法。
详细思路
是哪类问题：这是「纸条裁剪计数（面积估界）」类：边长 7 的正方形最多裁出多少张 $4\times1$ 的纸条。
关键切入点：用面积估上界：正方形面积 $7\times7=49$，每张纸条面积 $4\times1=4$，$49\div4=12.25$，故至多 12 张；再用横竖交错的实际裁法把 12 张排满（$12\times4=48\le49$），达到上界。
方法概述：面积估上界，横竖交错裁法达到上界。
规范步骤：
  1. 第一步：正方形面积：$7\times 7=49$（平方厘米）（面积）
  2. 第二步：每张纸条面积：$4\times 1=4$（平方厘米）（面积）
  3. 第三步：面积上界：$12\times 4=48\le 49$，故最多 $12$ 张（估界+验证）
  4. 结论：横竖交错裁法可裁满 $12$ 张
14. 【原题 ch04-tuozhan-06】将图 4-16 分成大小、形状相同的 4 块，使得每块中都有 $A$、$B$、$C$、$D$。（图 4-16 为 $6\times 6$ 方格中按位置填入的若干字母 $A$、$B$、$C$、$D$）
详细思路
是哪类问题：这是「字母方格等分」类：$6\times6$ 方格分成 4 个全等块，每块含 $A,B,C,D$。
关键切入点：共 $6\times6=36$ 格，四等分得每块 $36\div4=9$ 格；再结合字母位置凑出 4 个旋转/翻转可重合、且各含 $A,B,C,D$ 的全等块。属构造型。
方法概述：36 格四等分得每块 9 格，结合字母位置凑全等块。
规范步骤：
  1. 第一步：总格数：$6\times 6=36$（计数）
  2. 第二步：每块格数：$36\div 4=9$（均分）
  3. 第三步：结合字母位置凑全等块：每块含 $A,B,C,D$（按条件分）
  4. 结论：凑出 4 个全等块（不唯一）
15. 【原题 ch04-tuozhan-07】如图 4-17，请把一个大正方形分割为两种面积不同的小正方形。（1）如果要求两种小正方形一共有 6 个，应该怎么分？（2）如果要求两种小正方形一共有 7 个，应该怎么分？
详细思路
是哪类问题：这是「正方形分割成两种小正方形」类：把大正方形分成两种面积不同的小正方形，个数分别为 6、7。
关键切入点：结合面积关系确定两种边长的搭配：(1) 6 个时，可分成 2 个大正方形 + 4 个小正方形；(2) 7 个时，可分成 1 个大正方形 + 6 个小正方形。属构造型。
方法概述：按要求个数确定两种边长搭配并构造分割。
规范步骤：
  1. 第一步：(1) 拆成 $2+4$：$2+4=6$ 个（个数搭配）
  2. 第二步：(2) 拆成 $1+6$：$1+6=7$ 个（个数搭配）
  3. 结论：按面积关系定边长与位置（不唯一）
16. 【原题 ch04-tuozhan-08】将边长分别为 3 厘米和 4 厘米的两个正方形切割成 4 块，然后将它们拼成一个边长是 5 厘米的大正方形，请在图 4-18 中画出切割线和拼接线。
详细思路
是哪类问题：这是「两正方形等积剪拼成大正方形」类：边长 3、4 的两正方形切成 4 块拼成边长 5 的大正方形。
关键切入点：面积守恒：$3^2+4^2=9+16=25=5^2$，两小正方形面积和恰等于大正方形面积，故可拼成；按直角阶梯线切成 4 块绕拼即可。
方法概述：面积守恒确认可行，阶梯切拼合成大正方形。
规范步骤：
  1. 第一步：两小正方形面积和：$3\times3+4\times4=9+16=25$（面积和）
  2. 第二步：定大正方形边长：$5\times 5=25$，边长 $5$（面积定边长）
  3. 第三步：阶梯切成 4 块绕拼：拼成边长 5 的正方形（等积剪拼）
  4. 结论：大正方形边长 $5$ 厘米
第一套
题目：边长分别为 $6$ 厘米和 $8$ 厘米的两个正方形，切割成 4 块后拼成一个大正方形。这个大正方形的边长是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（各自面积）：先分别求两个正方形的面积，$6\times6=\underline{\quad}$，$8\times8=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（面积和 = 大正方形面积）：剪拼面积不变，大正方形面积 $36+64=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求边长）：正方形边长 $\times$ 边长 $=100$，试出边长 $=\underline{\quad}$（因为 $10\times10=100$）。
第二套
题目：裁缝有两块正方形布料，边长分别是 $3$ 分米和 $4$ 分米，把它们剪成 4 块后缝成一块更大的正方形桌布。这块桌布的边长是多少分米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（各自面积）：两块布料面积 $3\times3=\underline{\quad}$，$4\times4=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（面积和 = 大正方形面积）：缝合面积不变，桌布面积 $9+16=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求边长）：边长 $\times$ 边长 $=25$，试出边长 $=\underline{\quad}$（因为 $5\times5=25$）。
第三套
题目：边长分别为 $5$ 厘米和 $12$ 厘米的两个正方形，切割后拼成一个大正方形。这个大正方形的边长是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（各自面积）：$5\times5=\underline{\quad}$，$12\times12=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（面积和）：大正方形面积 $25+144=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求边长）：边长 $\times$ 边长 $=169$，试出边长 $=\underline{\quad}$（因为 $13\times13=169$）。
第三套
题目：边长分别为 $9$ 厘米和 $12$ 厘米的两个正方形，切割后拼成一个大正方形。求这个大正方形的边长和周长。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（各自面积）：$9\times9=\underline{\quad}$，$12\times12=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（面积和）：大正方形面积 $81+144=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求边长）：边长 $\times$ 边长 $=225$，试出边长 $=\underline{\quad}$（因为 $15\times15=225$）。
  4. 第 4 步（再求周长）：正方形周长 $=$ 边长 $\times4$，$15\times4=\underline{\quad}$。
17. 【原题 ch04-tuozhan-09】请将图 4-19 中的图 (a) 剪成 3 块，再拼成一个正方形如图 (b)。
详细思路
是哪类问题：这是「缺角图形等积剪拼成正方形」类：从 $4\times7$ 长方形去掉左上角 $1\times3$，剪 3 块拼成正方形。
关键切入点：剪拼面积不变：总面积 $4\times7-1\times3=28-3=25$，故正方形边长为 5（$5\times5=25$）；沿阶梯折线剪 3 块错位拼接即可。
方法概述：由面积定边长，阶梯剪 3 块错位拼接。
规范步骤：
  1. 第一步：外框面积：$4\times 7=28$（面积）
  2. 第二步：减去缺角：$28-1\times3=28-3=25$（作差）
  3. 第三步：定边长：$5\times 5=25$，边长 $5$（面积定边长）
  4. 结论：拼成边长 $5$ 的正方形
第一套
题目：从一个 $5\times10$ 的长方形左上角去掉一个 $1\times1$ 的小正方形，把剩下的图形剪成 3 块拼成一个正方形。这个正方形的边长是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（外框面积）：先算整块长方形面积 $5\times10=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（减去缺角）：挖掉的小正方形面积 $1\times1=\underline{\quad}$，剩下面积 $50-1=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求边长）：正方形边长 $\times$ 边长 $=49$，试出边长 $=\underline{\quad}$（因为 $7\times7=49$）。
第二套
题目：一块 $4\times7$ 的长方形地砖，左上角崩掉了一块 $1\times3$ 的角，工人把剩下的部分切成 3 块重新拼成一块正方形地砖。这块正方形地砖的边长是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（外框面积）：整块地砖面积 $4\times7=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（减去缺角）：崩掉的角面积 $1\times3=\underline{\quad}$，剩下面积 $28-3=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求边长）：边长 $\times$ 边长 $=25$，试出边长 $=\underline{\quad}$（因为 $5\times5=25$）。
第三套
题目：从一个 $5\times9$ 的长方形去掉一个 $3\times3$ 的角，把剩下的图形剪拼成一个正方形。这个正方形的边长是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（外框面积）：$5\times9=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（减去缺角）：$3\times3=\underline{\quad}$，剩下面积 $45-9=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求边长）：边长 $\times$ 边长 $=36$，试出边长 $=\underline{\quad}$（因为 $6\times6=36$）。
第三套
题目：从一个 $6\times12$ 的长方形去掉一个 $2\times4$ 的角，把剩下的图形剪拼成一个正方形。求这个正方形的边长和周长。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（外框面积）：$6\times12=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（减去缺角）：$2\times4=\underline{\quad}$，剩下面积 $72-8=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求边长）：边长 $\times$ 边长 $=64$，试出边长 $=\underline{\quad}$（因为 $8\times8=64$）。
  4. 第 4 步（再求周长）：周长 $=$ 边长 $\times4$，$8\times4=\underline{\quad}$。
18. 【原题 ch04-tuozhan-10】将图 4-20 分割成 4 个形状和大小都相同的部分，然后将它们拼接成一个正方形。请在原图上标明分割线，并画出正方形的拼接图。（图 4-20 为对称的十字凸形，标注边长 2、3、1、6、1、3、2 等）
详细思路
是哪类问题：这是「对称图形等积剪拼成正方形」类：十字凸形分成 4 个全等块再拼成正方形。
关键切入点：先求图形面积（等于目标正方形面积）定出边长；再利用图形关于中心的对称性分成 4 个全等块，绕中心旋转拼成正方形。属构造型（依赖图示尺寸）。
方法概述：面积定边长，中心对称分 4 块旋转拼接。
规范步骤：
  1. 第一步：求面积定正方形边长：图形面积 $=$ 正方形面积（等积）
  2. 第二步：中心对称分成 4 个全等块：绕中心旋转（对称分割）
  3. 结论：拼成正方形（分法见图示）
19. 【原题 ch04-tuozhan-11】图 4-21 (a) 中长方形的长和宽分别是 9 厘米和 4 厘米，请把这个长方形剪成 2 块，再拼成一个正方形如图 (b)。
详细思路
是哪类问题：这是「长方形等积剪拼成正方形」类：$9\times4$ 长方形剪 2 块拼成正方形。
关键切入点：面积守恒：$9\times4=36$，正方形边长为 6（$6\times6=36$）；沿阶梯折线把长方形剪成两块错位拼接即成正方形。
方法概述：由面积求边长，阶梯剪拼把长方形改拼成正方形。
规范步骤：
  1. 第一步：长方形面积：$9\times 4=36$（平方厘米）（面积）
  2. 第二步：定边长：$6\times 6=36$，边长 $6$（面积定边长）
  3. 第三步：阶梯剪 2 块错位拼：拼成边长 6 的正方形（等积剪拼）
  4. 结论：正方形边长 $6$ 厘米
第一套
题目：长 $16$ 厘米、宽 $9$ 厘米的长方形，剪成两块后拼成一个正方形。这个正方形的边长是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（长方形面积）：$16\times9=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  2. 第 2 步（求边长）：剪拼面积不变，正方形面积也是 144，边长 $\times$ 边长 $=144$，试出边长 $=\underline{\quad}$（因为 $12\times12=144$）。
第二套
题目：一块长 $9$ 厘米、宽 $4$ 厘米的长方形彩纸，剪成两块后拼成一个正方形。这个正方形的边长是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（彩纸面积）：$9\times4=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  2. 第 2 步（求边长）：剪拼面积不变，正方形面积也是 36，边长 $\times$ 边长 $=36$，试出边长 $=\underline{\quad}$（因为 $6\times6=36$）。
第三套
题目：长 $25$ 厘米、宽 $4$ 厘米的长方形，剪拼成一个正方形。这个正方形的边长是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（长方形面积）：$25\times4=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  2. 第 2 步（求边长）：正方形面积也是 100，边长 $\times$ 边长 $=100$，试出边长 $=\underline{\quad}$（因为 $10\times10=100$）。
第三套
题目：长 $32$ 厘米、宽 $18$ 厘米的长方形，剪拼成一个正方形。求这个正方形的边长和周长。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（长方形面积）：$32\times18=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  2. 第 2 步（求边长）：正方形面积也是 576，边长 $\times$ 边长 $=576$，试出边长 $=\underline{\quad}$（因为 $24\times24=576$）。
  3. 第 3 步（再求周长）：周长 $=$ 边长 $\times4$，$24\times4=\underline{\quad}$。
20. 【原题 ch04-tuozhan-12】有一长方形纸片，按图 4-22 所示剪成了 3 块。已知这 3 块纸片可拼成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？请画出具体的拼法。（图 4-22 标注边长 4、5、3、9、12 等）
详细思路
是哪类问题：这是「三块等积剪拼成正方形」类：长方形剪 3 块拼成正方形，求正方形边长。
关键切入点：剪拼面积不变：整块面积 $9\times(12+4)=9\times16=144$，故正方形边长为 12（$12\times12=144$）；拼接时斜线对齐即可。
方法概述：由面积守恒求边长，斜线对齐拼接。
规范步骤：
  1. 第一步：求总面积：$9\times(12+4)=9\times 16=144$（面积）
  2. 第二步：定边长：$12\times 12=144$，边长 $12$（面积定边长）
  3. 结论：正方形边长 $12$ 厘米
第一套
题目：一张长方形纸片被剪成 3 块，恰好能拼成一个正方形。已知长方形的长为 $25$ 厘米、宽为 $16$ 厘米，这个正方形的边长是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（长方形面积）：$25\times16=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  2. 第 2 步（求边长）：剪拼面积不变，正方形面积也是 400，边长 $\times$ 边长 $=400$，试出边长 $=\underline{\quad}$（因为 $20\times20=400$）。
第二套
题目：木工把一块长 $16$ 分米、宽 $9$ 分米的长方形木板锯成 3 块，恰好拼成一块正方形木板。这块正方形木板的边长是多少分米？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（木板面积）：$16\times9=\underline{\quad}$（平方分米）。
  2. 第 2 步（求边长）：拼接面积不变，正方形面积也是 144，边长 $\times$ 边长 $=144$，试出边长 $=\underline{\quad}$（因为 $12\times12=144$）。
第三套
题目：一张长 $12$ 厘米、宽 $27$ 厘米的长方形纸片剪成 3 块拼成正方形。这个正方形的边长是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（长方形面积）：$12\times27=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  2. 第 2 步（求边长）：正方形面积也是 324，边长 $\times$ 边长 $=324$，试出边长 $=\underline{\quad}$（因为 $18\times18=324$）。
第三套
题目：一张长 $54$ 厘米、宽 $24$ 厘米的长方形纸片剪成 3 块拼成正方形。求这个正方形的边长和周长。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（长方形面积）：$54\times24=\underline{\quad}$（平方厘米）。
  2. 第 2 步（求边长）：正方形面积也是 1296，边长 $\times$ 边长 $=1296$，试出边长 $=\underline{\quad}$（因为 $36\times36=1296$）。
  3. 第 3 步（再求周长）：周长 $=$ 边长 $\times4$，$36\times4=\underline{\quad}$。
21. 【原题 ch04-tuozhan-13】把长 7 厘米、宽为 3 厘米的长方形若干个互不重叠又不留空隙地拼成一个大长方形，那么这个大长方形的周长最少是多少厘米？请画出具体的拼法。
详细思路
是哪类问题：这是「拼接长方形求最小周长」类：用若干 $7\times3$ 小长方形拼成大长方形，求最小周长。
关键切入点：第一层：因为用面积 $7\times3=21$ 的小长方形不留空隙、不重叠地拼，大长方形面积必是 $21$ 的整数倍。第二层：面积一定时，长、宽越接近（越像正方形）周长越小。按原书取 $4$ 块拼成（面积 $21\times4=84$），把 $84$ 写成因数配对，最接近正方形的是 $12\times7$；再比周长 $(7+12)\times2=38$ 小于 $6\times14$ 的 $(6+14)\times2=40$，故取 $12\times7$，最小周长 $38$。（具体拼法见原书图）
方法概述：面积取 $21$ 的整数倍；同面积下长宽越接近周长越小；在原书选定的 $84$ 中比较因数配对，取最接近正方形者。
规范步骤：
  1. 第一步：小长方形面积决定面积倍数：$7\times 3=21$，大长方形面积是 $21$ 的整数倍（面积倍数）
  2. 第二步：最小周长的方向：面积一定时，长、宽越接近，周长越小（周长最值）
  3. 第三步：按原书取 4 块拼成：$21\times 4=84$（平方厘米）（取 4 块）
  4. 第四步：把 84 拆成最接近正方形的一对：$12\times 7=84$，比 $6\times14$ 更接近正方形（最接近正方形）
  5. 第五步：比较周长取小者：$(7+12)\times 2=38<(6+14)\times 2=40$（比周长）
  6. 结论：最小周长 $38$ 厘米（拼法见原书图）
22. 【原题 ch04-tuozhan-14】用若干张边长为 1、2、3、4 的正方形纸片互不重叠地拼成一个边长为 5 的大正方形，那么最少需要多少张纸片？请画出具体的拼法。
详细思路
是哪类问题：这是「正方形拼接求最少块数」类：用边长 1,2,3,4 的正方形拼成边长 5 的大正方形，求最少张数。
关键切入点：边长 4 的纸片其实用不上：在边长 5 的正方形里放 1 张 $4\times4$，余下的是宽只有 $1$ 的 L 形（面积 $25-16=9$），只能用 $1\times1$ 填，反而要 $1+9=10$ 张。真正最省要以 $3\times3$ 起步：$1$ 张 $3\times3+3$ 张 $2\times2+4$ 张 $1\times1$，面积 $9+12+4=25$，恰好 $8$ 张，并可证明不能再少（见下界推理）。
方法概述：排除 4×4；至多 1 张 3×3；用「行、列都是偶数的格子」计数限制 2×2 的张数，推出最少 8 张并给出拼法。
规范步骤：
  1. 第一步：大正方形面积：$5\times 5=25$（面积）
  2. 第二步：不用边长 4 的纸片：放 1 张 $4\times4$ 后余 $25-16=9$ 是宽 1 的 L 形，只能填 $1\times1$，共 $1+9=10$ 张，不划算（排除 4×4）
  3. 第三步：恰用 1 张 3×3：不用 $3\times3$ 则 $2\times2$ 至多 4 张、还要补 9 张 $1\times1$ 共 13 张，更多；而两张 $3\times3$ 放不进（$3+3>5$ 必重叠）（定 3×3 张数）
  4. 第四步：2×2 至多 3 张：行、列都是偶数的格子只有 $(2,2),(2,4),(4,2),(4,4)$ 共 4 个，每张 $2\times2$ 恰占其中 1 个，$3\times3$ 又占去 $\ge1$ 个（偶格计数）
  5. 第五步：张数下界：大纸片最多盖 $9+3\times4=21$，余 $25-21=4$ 只能用 4 张 $1\times1$，至少 $1+3+4=8$ 张（下界）
  6. 第六步：给出 8 张拼法：$1$ 张 $3\times3+3$ 张 $2\times2+4$ 张 $1\times1$，面积 $9+12+4=25$（构造达到）
  7. 结论：最少 $8$ 张（具体拼法见图）
23. 【原题 ch04-xingqu-01】如图 4-1，将一个正方形纸片剪成大小、形状都相同的 4 块，可以怎么剪？请大家画出尽量多的图形。（如果两个图形通过旋转或翻转后重合，就认为它们的大小、形状是相同的）
详细思路
是哪类问题：这是「图形等分剪拼」类：把正方形剪成 4 块大小、形状都相同（旋转/翻转可重合）的图形。
关键切入点：关键在“一分为二、二分为四”：先把正方形二等分，再把每一半各二等分；也可利用正方形绕中心的旋转对称，画出旋转对称的折线分割。
方法概述：先二等分再各自二等分；或用绕中心 90° 旋转对称的分割线构造 4 个全等块。
规范步骤：
  1. 第一步：先把正方形二等分（沿中线或对角线）：$1$ 个正方形 $\to 2$ 个全等块（先二分）
  2. 第二步：把每一半再二等分：$2\times 2=4$ 个全等块（二分为四）
  3. 另法：绕中心作旋转对称折线：4 个“风车形”全等块（旋转对称分割）
  4. 结论：沿中线/对角线/平行线/旋转折线均可分成 4 个全等块（画法不唯一）
24. 【原题 ch04-xingqu-02】如图 4-2，在一块正方形纸片中有一个正方形的空洞。现在要求用一条经过大正方形中心点的线段，把纸片分成面积相等的两部分，应该怎么分？
详细思路
是哪类问题：这是「过中心直线平分图形」类：带正方形空洞的正方形纸片，用一条过大正方形中心的线段分成等面积两块。
关键切入点：关键性质：任何过正方形中心的直线都把它平分。整体和空洞都是正方形，只要一条直线同时过两者的中心，就同时平分了整体与空洞，剩下的纸片自然被平分。
方法概述：连接大正方形中心与小正方形（空洞）中心，作过两中心的直线。
规范步骤：
  1. 第一步：过大正方形中心的直线把大正方形平分：$S_{大}\to S_{大}/2$（中心平分）
  2. 第二步：过小正方形中心的直线把空洞平分：$S_{洞}\to S_{洞}/2$（中心平分）
  3. 第三步：取同时过两中心的直线：两半面积都是 $(S_{大}-S_{洞})/2$（作差平分）
  4. 结论：连接大、小正方形中心的直线即所求
25. 【原题 ch04-xingqu-03】如图 4-3，三角形和六角星的每条边长都相等。那么用多少个三角形可以拼成六角星？请在图中表示出来。
详细思路
是哪类问题：这是「正三角形拼六角星·面积计数」类：三角形与六角星边长都相等，问几个小三角形拼成六角星。
关键切入点：把六角星拆成两部分：向外突出的 6 个尖角，每个正好是 1 个小三角形；中间是一个正六边形，正六边形又由 6 个小正三角形拼成。分别数出后相加。
方法概述：分成 6 个尖角 + 中间正六边形，尖角 6 个、六边形 6 个，合计。
规范步骤：
  1. 第一步：6 个尖角各用 1 个小三角形：$6$ 个（尖角计数）
  2. 第二步：中间正六边形用 6 个小三角形铺满：$6$ 个（六边形铺满）
  3. 第三步：相加：$6+6=12$（合计）
  4. 结论：共需 $12$ 个小三角形
26. 【原题 ch04-xingqu-04】如图 4-4，在正方形边上的 40 个点中，选出 6 个点，连出 3 条线段，将正方形分成 6 个部分，使得每个部分都恰好有 1 个三角形、2 个小正方形。
详细思路
是哪类问题：这是「按条件分区」类：在正方形边上选 6 点连 3 条线段，分成 6 块，每块恰含 1 个三角形、2 个小正方形。
关键切入点：关键是结合图中三角形与小正方形的分布，让 3 条线段各自把图形隔开，使 6 块里三角形、正方形数目都达标；属构造型，答案不唯一。
方法概述：结合图形分布，凑出每块含 1 三角形 + 2 小正方形的 3 条分割线。
规范步骤：
  1. 第一步：明确目标：6 块，每块 $1$ 三角形 $+2$ 小正方形（读条件）
  2. 第二步：3 条线段把正方形隔成 6 块：选边上 6 点连 3 段（构造分割）
  3. 结论：按图凑出满足条件的分法（不唯一）
27. 【原题 ch04-xingqu-05】请把图 4-5 中的两个图形分别沿格线剪成 4 个大小、形状都相同的图形。
详细思路
是哪类问题：这是「格点图形四等分」类：把两个格点图形分别沿格线剪成 4 个全等块。
关键切入点：先数总格数除以 4 得每块格数：图 (a) 共 12 个小方格，每块 $12\div4=3$ 格，凑成 $1\times3$ 或 L 形；图 (b) 由 12 个小三角形组成，每块 3 个小三角形，拼成与原梯形相似的小梯形。
方法概述：总格数 ÷ 4 = 每块格数，再凑成与原图相似的小块。
规范步骤：
  1. 第一步：图 (a) 数方格：$12\div 4=3$（格/块）（均分）
  2. 第二步：3 格凑成 $1\times3$ 或 L 形：4 个全等块（凑相似块）
  3. 第三步：图 (b) 每块 3 个小三角形：$12\div 4=3$（均分）
  4. 结论：两图都能沿格线四等分（不唯一）
28. 【原题 ch04-xingqu-06】请把图 4-6 沿格线分成大小、形状都相同的 3 部分，使得每部分都恰好含有 1 个“○”。
详细思路
是哪类问题：这是「格点图形三等分 + 按条件分区」类：沿格线分成 3 个全等块，每块恰含 1 个“○”。
关键切入点：先数总方格数除以 3 得每块格数，再看 3 个“○”的位置，让每块含且只含 1 个“○”，凑出 3 个全等块；属构造型。
方法概述：总格数 ÷ 3 得每块格数，结合“○”位置凑全等分割。
规范步骤：
  1. 第一步：总格数三等分求每块格数：总格数 $\div 3$（均分）
  2. 第二步：结合 3 个“○”的位置：每块含且仅含 1 个“○”（按条件分）
  3. 结论：凑出 3 个全等块（不唯一）
29. 【原题 ch04-xingqu-07】请将图 4-7 分成大小、形状都相同的 4 部分，使得每个部分都恰好包含 $A$、$B$、$C$、$D$ 4 个字母。（图 4-7 为 $4\times 4$ 字母表，从上到下、从左到右依次为：$A\ C\ B\ C$；$D\ C\ C\ D$；$B\ A\ D\ A$；$D\ B\ B\ A$）
详细思路
是哪类问题：这是「字母方格等分」类：$4\times4$ 字母表沿格线分成 4 个全等块，每块恰含 $A,B,C,D$ 各一。
关键切入点：共 16 格，四等分得每块 $16\div4=4$ 格；再结合字母位置，使每块 4 格里 $A,B,C,D$ 恰各一个，可凑成“一”“T”“田”“L”等字形。
方法概述：16 格四等分得每块 4 格，结合字母位置凑全等块。
规范步骤：
  1. 第一步：每块格数：$16\div 4=4$（格）（均分）
  2. 第二步：结合字母位置：每块含 $A,B,C,D$ 各一（按条件分）
  3. 结论：凑出 4 个全等块（不唯一）
30. 【原题 ch04-xingqu-08】如图 4-8，图 (a) 是由 5 个大小相同的小正方形拼成的，图 (b) 是由 1 个正方形和 1 个等腰直角三角形拼成的。请把这两个图形分别剪成 4 个大小、形状都相同的图形。
详细思路
是哪类问题：这是「组合图形四等分」类：由小正方形拼成的图 (a)、由正方形加等腰直角三角形拼成的图 (b) 分别剪成 4 个全等块。
关键切入点：利用对称性与小块拼合：图 (a) 5 个小正方形可把每格沿对角线/中线剖分再重组；图 (b) 借对称线分割或先补全再分，都能得到 4 个全等块。
方法概述：利用对称性与等积变形，把组合图形分成 4 个全等块。
规范步骤：
  1. 第一步：图 (a) 剖分小正方形再重组：5 个方格 $\to$ 4 个全等块（对称重组）
  2. 第二步：图 (b) 沿对称线分割：正方形+等腰直角三角形 $\to$ 4 个全等块（对称分割）
  3. 结论：两图都能分成 4 个全等块（不唯一）
31. 【原题 ch04-xingqu-09】如图 4-9，有两个面积相等的正方形纸片，现在想把它剪拼成一个更大的正方形，要求如下：（1）如果分别剪开这两个正方形，再拼接成一个大正方形，应该怎么分？（2）如果只允许剪开一个正方形，再拼接成一个大正方形，应该怎么分？
详细思路
是哪类问题：这是「正方形等积剪拼」类：两个面积相等的正方形剪拼成一个更大的正方形。
关键切入点：设每个小正方形面积为 1，两个共面积 2，大正方形面积也为 2。沿对角线把正方形剪成等腰直角三角形：(1) 两个都剪，4 个三角形拼成大正方形；(2) 只剪一个成 4 个三角形，贴在保留正方形四边上拼成斜放的大正方形。
方法概述：用对角线把正方形剪成等腰直角三角形再拼，面积守恒。
规范步骤：
  1. 第一步：面积守恒：$1+1=2$，大正方形面积 $2$（等积）
  2. 第二步：(1) 两个各沿对角线剪成 2 个三角形：$2\times 2=4$ 个等腰直角三角形拼成大正方形（对角线剪拼）
  3. 第三步：(2) 只剪一个成 4 个三角形贴四边：绕保留正方形拼成更大正方形（环拼）
  4. 结论：两法均可，面积均为 $2$
32. 【原题 ch04-xingqu-10】图 4-10 是由若干个小正方形组成的图形，你能将其剪成两块，然后拼成一个正方形吗？
详细思路
是哪类问题：这是「阶梯剪拼成正方形」类：由 16 个小正方形组成的图形剪成两块拼成正方形。
关键切入点：面积 16 决定目标正方形边长为 4（$4\times4=16$）。沿阶梯形折线剪成两块，把一块沿对角方向错位平移，就拼成 $4\times4$ 的大正方形。
方法概述：由面积定边长，沿阶梯折线剪两块错位拼接。
规范步骤：
  1. 第一步：由面积定边长：$4\times 4=16$，目标正方形边长 $4$（面积定边长）
  2. 第二步：沿阶梯折线剪成两块：两块（阶梯剪）
  3. 第三步：错位平移拼接：$4\times4$ 正方形（错位拼）
  4. 结论：能拼成 $4\times4$ 的正方形

附录 · 答案

（原题答案见题库；以下为三套变式的完整填好步骤与最终答案）
  1. 2. ch04-chaoyue-02 · 第一套
    1. 第 1 步（长方形面积）：$32\times18=\underline{576}$（平方厘米）。
    2. 第 2 步（求边长）：正方形面积也是 576，边长 $\times$ 边长 $=576$，试出边长 $=\underline{24}$（因为 $24\times24=576$）。
    3. 第 3 步（横阶梯尺寸）：长要从 32 剪到 24，横阶梯每级长 $32-24=\underline{8}$。
    4. 第 4 步（竖阶梯尺寸）：宽要从 18 补到 24，竖阶梯每级高 $24-18=\underline{6}$。
    最终答案：正方形边长 $24$ 厘米，横阶梯每级 $8$、竖阶梯每级 $6$。
  2. 2. ch04-chaoyue-02 · 第二套
    1. 第 1 步（铁皮面积）：$25\times16=\underline{400}$（平方厘米）。
    2. 第 2 步（求边长）：焊接面积不变，正方形面积也是 400，边长 $\times$ 边长 $=400$，试出边长 $=\underline{20}$（因为 $20\times20=400$）。
    3. 第 3 步（横阶梯尺寸）：长从 25 剪到 20，横阶梯每级长 $25-20=\underline{5}$。
    4. 第 4 步（竖阶梯尺寸）：宽从 16 补到 20，竖阶梯每级高 $20-16=\underline{4}$。
    最终答案：正方形铁皮边长 $20$ 厘米，横阶梯每级 $5$、竖阶梯每级 $4$。
  3. 2. ch04-chaoyue-02 · 第三套
    1. 第 1 步（长方形面积）：$45\times20=\underline{900}$（平方厘米）。
    2. 第 2 步（求边长）：正方形面积也是 900，边长 $\times$ 边长 $=900$，试出边长 $=\underline{30}$（因为 $30\times30=900$）。
    3. 第 3 步（横阶梯尺寸）：长从 45 剪到 30，$45-30=\underline{15}$。
    4. 第 4 步（竖阶梯尺寸）：宽从 20 补到 30，$30-20=\underline{10}$。
    最终答案：正方形边长 $30$ 厘米，横阶梯每级 $15$、竖阶梯每级 $10$。
  4. 2. ch04-chaoyue-02 · 第三套
    1. 第 1 步（长方形面积）：$48\times27=\underline{1296}$（平方厘米）。
    2. 第 2 步（求边长）：正方形面积也是 1296，边长 $\times$ 边长 $=1296$，试出边长 $=\underline{36}$（因为 $36\times36=1296$）。
    3. 第 3 步（横阶梯尺寸）：长从 48 剪到 36，$48-36=\underline{12}$。
    4. 第 4 步（竖阶梯尺寸）：宽从 27 补到 36，$36-27=\underline{9}$。
    5. 第 5 步（再求周长）：周长 $=$ 边长 $\times4$，$36\times4=\underline{144}$。
    最终答案：正方形边长 $36$ 厘米，横阶梯每级 $12$、竖阶梯每级 $9$，周长 $144$ 厘米。
  5. 3. ch04-chaoyue-03 · 第一套
    1. 第 1 步（长方形面积）：$49\times64=\underline{3136}$（平方厘米）。
    2. 第 2 步（求边长）：正方形面积也是 3136，边长 $\times$ 边长 $=3136$，试出边长 $=\underline{56}$（因为 $56\times56=3136$）。
    3. 第 3 步（长向余量）：长从 64 剪到 56，剪去 $64-56=\underline{8}$。
    4. 第 4 步（宽向补量）：宽从 49 补到 56，阶梯高 $56-49=\underline{7}$。
    最终答案：正方形边长 $56$，长向剪去 $8$，宽向阶梯高 $7$。
  6. 3. ch04-chaoyue-03 · 第二套
    1. 第 1 步（草坪面积）：$25\times49=\underline{1225}$（平方米）。
    2. 第 2 步（求边长）：拼接面积不变，正方形面积也是 1225，边长 $\times$ 边长 $=1225$，试出边长 $=\underline{35}$（因为 $35\times35=1225$）。
    3. 第 3 步（长向余量）：长从 49 剪到 35，剪去 $49-35=\underline{14}$。
    4. 第 4 步（宽向补量）：宽从 25 补到 35，阶梯高 $35-25=\underline{10}$。
    最终答案：正方形草坪边长 $35$ 米，长向剪去 $14$，宽向阶梯高 $10$。
  7. 3. ch04-chaoyue-03 · 第三套
    1. 第 1 步（长方形面积）：$36\times64=\underline{2304}$（平方厘米）。
    2. 第 2 步（求边长）：正方形面积也是 2304，边长 $\times$ 边长 $=2304$，试出边长 $=\underline{48}$（因为 $48\times48=2304$）。
    3. 第 3 步（长向余量）：长从 64 剪到 48，剪去 $64-48=\underline{16}$。
    4. 第 4 步（宽向补量）：宽从 36 补到 48，阶梯高 $48-36=\underline{12}$。
    最终答案：正方形边长 $48$，长向剪去 $16$，宽向阶梯高 $12$。
  8. 3. ch04-chaoyue-03 · 第三套
    1. 第 1 步（长方形面积）：$45\times80=\underline{3600}$（平方厘米）。
    2. 第 2 步（求边长）：正方形面积也是 3600，边长 $\times$ 边长 $=3600$，试出边长 $=\underline{60}$（因为 $60\times60=3600$）。
    3. 第 3 步（长向余量）：长从 80 剪到 60，剪去 $80-60=\underline{20}$。
    4. 第 4 步（宽向补量）：宽从 45 补到 60，阶梯高 $60-45=\underline{15}$。
    5. 第 5 步（再求周长）：周长 $=$ 边长 $\times4$，$60\times4=\underline{240}$。
    最终答案：正方形边长 $60$，长向剪去 $20$，宽向阶梯高 $15$，周长 $240$。
  9. 16. ch04-tuozhan-08 · 第一套
    1. 第 1 步（各自面积）：先分别求两个正方形的面积，$6\times6=\underline{36}$，$8\times8=\underline{64}$。
    2. 第 2 步（面积和 = 大正方形面积）：剪拼面积不变，大正方形面积 $36+64=\underline{100}$。
    3. 第 3 步（求边长）：正方形边长 $\times$ 边长 $=100$，试出边长 $=\underline{10}$（因为 $10\times10=100$）。
    最终答案：大正方形边长为 $10$ 厘米。
  10. 16. ch04-tuozhan-08 · 第二套
    1. 第 1 步（各自面积）：两块布料面积 $3\times3=\underline{9}$，$4\times4=\underline{16}$。
    2. 第 2 步（面积和 = 大正方形面积）：缝合面积不变，桌布面积 $9+16=\underline{25}$。
    3. 第 3 步（求边长）：边长 $\times$ 边长 $=25$，试出边长 $=\underline{5}$（因为 $5\times5=25$）。
    最终答案：桌布边长为 $5$ 分米。
  11. 16. ch04-tuozhan-08 · 第三套
    1. 第 1 步（各自面积）：$5\times5=\underline{25}$，$12\times12=\underline{144}$。
    2. 第 2 步（面积和）：大正方形面积 $25+144=\underline{169}$。
    3. 第 3 步（求边长）：边长 $\times$ 边长 $=169$，试出边长 $=\underline{13}$（因为 $13\times13=169$）。
    最终答案：大正方形边长为 $13$ 厘米。
  12. 16. ch04-tuozhan-08 · 第三套
    1. 第 1 步（各自面积）：$9\times9=\underline{81}$，$12\times12=\underline{144}$。
    2. 第 2 步（面积和）：大正方形面积 $81+144=\underline{225}$。
    3. 第 3 步（求边长）：边长 $\times$ 边长 $=225$，试出边长 $=\underline{15}$（因为 $15\times15=225$）。
    4. 第 4 步（再求周长）：正方形周长 $=$ 边长 $\times4$，$15\times4=\underline{60}$。
    最终答案：大正方形边长 $15$ 厘米，周长 $60$ 厘米。
  13. 17. ch04-tuozhan-09 · 第一套
    1. 第 1 步（外框面积）：先算整块长方形面积 $5\times10=\underline{50}$。
    2. 第 2 步（减去缺角）：挖掉的小正方形面积 $1\times1=\underline{1}$，剩下面积 $50-1=\underline{49}$。
    3. 第 3 步（求边长）：正方形边长 $\times$ 边长 $=49$，试出边长 $=\underline{7}$（因为 $7\times7=49$）。
    最终答案：正方形边长为 $7$。
  14. 17. ch04-tuozhan-09 · 第二套
    1. 第 1 步（外框面积）：整块地砖面积 $4\times7=\underline{28}$。
    2. 第 2 步（减去缺角）：崩掉的角面积 $1\times3=\underline{3}$，剩下面积 $28-3=\underline{25}$。
    3. 第 3 步（求边长）：边长 $\times$ 边长 $=25$，试出边长 $=\underline{5}$（因为 $5\times5=25$）。
    最终答案：正方形地砖边长为 $5$。
  15. 17. ch04-tuozhan-09 · 第三套
    1. 第 1 步（外框面积）：$5\times9=\underline{45}$。
    2. 第 2 步（减去缺角）：$3\times3=\underline{9}$，剩下面积 $45-9=\underline{36}$。
    3. 第 3 步（求边长）：边长 $\times$ 边长 $=36$，试出边长 $=\underline{6}$（因为 $6\times6=36$）。
    最终答案：正方形边长为 $6$。
  16. 17. ch04-tuozhan-09 · 第三套
    1. 第 1 步（外框面积）：$6\times12=\underline{72}$。
    2. 第 2 步（减去缺角）：$2\times4=\underline{8}$，剩下面积 $72-8=\underline{64}$。
    3. 第 3 步（求边长）：边长 $\times$ 边长 $=64$，试出边长 $=\underline{8}$（因为 $8\times8=64$）。
    4. 第 4 步（再求周长）：周长 $=$ 边长 $\times4$，$8\times4=\underline{32}$。
    最终答案：正方形边长 $8$，周长 $32$。
  17. 19. ch04-tuozhan-11 · 第一套
    1. 第 1 步（长方形面积）：$16\times9=\underline{144}$（平方厘米）。
    2. 第 2 步（求边长）：剪拼面积不变，正方形面积也是 144，边长 $\times$ 边长 $=144$，试出边长 $=\underline{12}$（因为 $12\times12=144$）。
    最终答案：正方形边长为 $12$ 厘米。
  18. 19. ch04-tuozhan-11 · 第二套
    1. 第 1 步（彩纸面积）：$9\times4=\underline{36}$（平方厘米）。
    2. 第 2 步（求边长）：剪拼面积不变，正方形面积也是 36，边长 $\times$ 边长 $=36$，试出边长 $=\underline{6}$（因为 $6\times6=36$）。
    最终答案：正方形边长为 $6$ 厘米。
  19. 19. ch04-tuozhan-11 · 第三套
    1. 第 1 步（长方形面积）：$25\times4=\underline{100}$（平方厘米）。
    2. 第 2 步（求边长）：正方形面积也是 100，边长 $\times$ 边长 $=100$，试出边长 $=\underline{10}$（因为 $10\times10=100$）。
    最终答案：正方形边长为 $10$ 厘米。
  20. 19. ch04-tuozhan-11 · 第三套
    1. 第 1 步（长方形面积）：$32\times18=\underline{576}$（平方厘米）。
    2. 第 2 步（求边长）：正方形面积也是 576，边长 $\times$ 边长 $=576$，试出边长 $=\underline{24}$（因为 $24\times24=576$）。
    3. 第 3 步（再求周长）：周长 $=$ 边长 $\times4$，$24\times4=\underline{96}$。
    最终答案：正方形边长 $24$ 厘米，周长 $96$ 厘米。
  21. 20. ch04-tuozhan-12 · 第一套
    1. 第 1 步（长方形面积）：$25\times16=\underline{400}$（平方厘米）。
    2. 第 2 步（求边长）：剪拼面积不变，正方形面积也是 400，边长 $\times$ 边长 $=400$，试出边长 $=\underline{20}$（因为 $20\times20=400$）。
    最终答案：正方形边长为 $20$ 厘米。
  22. 20. ch04-tuozhan-12 · 第二套
    1. 第 1 步（木板面积）：$16\times9=\underline{144}$（平方分米）。
    2. 第 2 步（求边长）：拼接面积不变，正方形面积也是 144，边长 $\times$ 边长 $=144$，试出边长 $=\underline{12}$（因为 $12\times12=144$）。
    最终答案：正方形木板边长为 $12$ 分米。
  23. 20. ch04-tuozhan-12 · 第三套
    1. 第 1 步（长方形面积）：$12\times27=\underline{324}$（平方厘米）。
    2. 第 2 步（求边长）：正方形面积也是 324，边长 $\times$ 边长 $=324$，试出边长 $=\underline{18}$（因为 $18\times18=324$）。
    最终答案：正方形边长为 $18$ 厘米。
  24. 20. ch04-tuozhan-12 · 第三套
    1. 第 1 步（长方形面积）：$54\times24=\underline{1296}$（平方厘米）。
    2. 第 2 步（求边长）：正方形面积也是 1296，边长 $\times$ 边长 $=1296$，试出边长 $=\underline{36}$（因为 $36\times36=1296$）。
    3. 第 3 步（再求周长）：周长 $=$ 边长 $\times4$，$36\times4=\underline{144}$。
    最终答案：正方形边长 $36$ 厘米，周长 $144$ 厘米。