四年级第6讲抽屉原理一

1. 【原题 ch06-chaoyue-01】体育馆里有足球、篮球和排球 $3$ 种球，一个班的 $50$ 名学生去借球，每人最少借 $1$ 个，最多可以借 $2$ 个。请问：最少有多少名学生借到球的数量和种类完全一样？

详细思路

是哪类问题：这是「情形枚举作抽屉」题：先数清“借球的种类与数量”一共有多少种情况（$9$ 种），再用平均带余求保证相同的人数。

关键切入点：借 $1$ 个有足、篮、排 $3$ 种；借 $2$ 个有 $6$ 种（$3$ 种“两个同类”+$3$ 种“两个不同类”），共 $3+6=9$ 种。$50\div9=5\cdots5$，每种至多 $5$ 人则 $45<50$，故必有 $6$ 人情况完全相同。

方法概述：枚举 $9$ 种借球情况作抽屉，$50\div9=5\cdots5$，商 $+1=6$。

规范步骤：

枚举情况数：$借1个3种+借2个6种=3+6=9$（情形枚举作抽屉）
平均带余：$50\div9=5\cdots\cdots5$，$9\times5=45<50$（带余除法）
商加 1：$5+1=6$（抽屉原理）

第一套

题目：体育馆有足球、篮球、排球 $3$ 种球，$100$ 名学生借球，每人借 $1$ 或 $2$ 个。最少有多少名学生借球的数量和种类完全一样？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（枚举情况数）：借 $1$ 个 $3$ 种、借 $2$ 个 $6$ 种，共 $3+6=\underline{\quad}$ 种。
第 2 步（平均带余）：$100\div9=11\cdots\cdots1$，$9\times11=\underline{\quad}$ 人不足 $100$。
第 3 步（商加 1）：$11+1=\underline{\quad}$。

第二套

题目：文具店有钢笔、铅笔、圆珠笔 $3$ 种，$50$ 名学生每人买 $1$ 或 $2$ 支。最少有多少名学生买的数量和种类完全一样？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（枚举情况数）：买 $1$ 支 $3$ 种、买 $2$ 支 $6$ 种，共 $3+6=\underline{\quad}$ 种。
第 2 步（平均带余）：$50\div9=5\cdots\cdots5$，$9\times5=\underline{\quad}$ 人不足 $50$。
第 3 步（商加 1）：$5+1=\underline{\quad}$。

第三套

题目：体育馆有足球、篮球 $2$ 种球，$20$ 名学生借球，每人借 $1$ 或 $2$ 个。最少有多少名学生借球的数量和种类完全一样？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（枚举情况数）：借 $1$ 个有“足、篮” $2$ 种；借 $2$ 个有“足足、篮篮、足篮” $3$ 种，共 $2+3=\underline{\quad}$ 种情况，作 $5$ 个抽屉。
第 2 步（反证·每种偏少）：若每种情况至多 $3$ 人，$5$ 种情况最多容纳 $5\times3=\underline{\quad}$ 人，还不到 $20$ 人（$15<20$），矛盾。
第 3 步（下界加 1 得结论）：所以必有某种情况人数达到 $3+1=\underline{\quad}$ 人，即至少 $4$ 名学生借球的数量和种类完全一样。

第三套

题目：体育馆有足球、篮球、排球、羽毛球 $4$ 种球，$70$ 名学生借球，每人借 $1$ 或 $2$ 个。最少有多少名学生借球的数量和种类完全一样？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（枚举情况数）：借 $1$ 个 $4$ 种；借 $2$ 个有“$4$ 种两同 $+$ $6$ 种两不同”，即 $4+6=\underline{\quad}$ 种；合计 $4+10=\underline{\quad}$ 种。
第 2 步（平均带余）：$70\div14=5$，$14\times5=\underline{\quad}$ 人恰好 $70$。
第 3 步（下结论）：$70$ 人时每种情况恰 $5$ 人，要保证相同人数更多需再加人；$70$ 人时至少有 $5$ 人完全一样。

2. 【原题 ch06-chaoyue-02】把 $31$ 个桃子分给若干只猴子，每只猴子分得的桃子不超过 $3$ 个。那么至少有几只猴子分得的桃子一样多？

详细思路

是哪类问题：这是「分得数目作抽屉」题：每只猴子分得 $1,2$ 或 $3$ 个，把“分得的数目”当 $3$ 个抽屉；用反证（每种数目至多 $5$ 只则总数不足）逼出至少 $6$ 只相同。

关键切入点：分得数目 $1,2,3$ 是 $3$ 个抽屉。若每种数目至多 $5$ 只，则桃子最多 $(1+2+3)\times5=30<31$，矛盾，故必有 $6$ 只分得的桃子一样多。

方法概述：分得数目 $1,2,3$ 作抽屉，反证每种至多 $5$ 只则总数不足 $31$。

规范步骤：

认出抽屉：$分得\ 1,2,3\ 个=3\ 个抽屉$（分得数目作抽屉）
反证：$(1+2+3)\times5=30<31$（最不利原则）
矛盾得结论：$5+1=6$（抽屉原理）

第一套

题目：把 $61$ 个桃子分给若干只猴子，每只不超过 $3$ 个。至少有几只猴子分得的桃子一样多？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出抽屉）：分得 $1,2,3$ 个是 $3$ 个抽屉。
第 2 步（反证）：若每种数目至多 $10$ 只，桃子最多 $(1+2+3)\times10=\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（比较得结论）：$60$ 不足 $61$，故至少 $10+1=\underline{\quad}$ 只分得一样多。

第二套

题目：把 $31$ 张贴纸发给若干名同学，每人不超过 $3$ 张。至少有几名同学拿到的贴纸一样多？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出抽屉）：拿到 $1,2,3$ 张是 $3$ 个抽屉。
第 2 步（反证）：若每种数目至多 $5$ 人，贴纸最多 $(1+2+3)\times5=\underline{\quad}$ 张。
第 3 步（比较得结论）：$30$ 不足 $31$，故至少 $5+1=\underline{\quad}$ 人一样多。

第三套

题目：把 $51$ 个桃子分给若干只猴子，每只分得 $1,2,3$ 或 $4$ 个。至少有几只猴子分得一样多？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出抽屉）：分得 $1,2,3,4$ 个是 $4$ 个抽屉。
第 2 步（反证）：若每种数目至多 $5$ 只，桃子最多 $(1+2+3+4)\times5=\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（比较得结论）：$50$ 不足 $51$，故至少 $5+1=\underline{\quad}$ 只一样多。

第三套

题目：把 $99$ 个桃子分给若干只猴子，每只分得 $2,3,4$ 或 $5$ 个。至少有几只猴子分得一样多？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出抽屉）：分得 $2,3,4,5$ 个是 $4$ 个抽屉。
第 2 步（反证）：若每种数目至多 $7$ 只，桃子最多 $(2+3+4+5)\times7=\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（比较）：$98$ 不足 $99$，还多 $99-98=\underline{\quad}$ 个。
第 4 步（下结论）：故至少 $7+1=\underline{\quad}$ 只一样多。

3. 【原题 ch06-chaoyue-03】有 $37$ 个数，每个数为 $0$ 或 $1$。要求：当把这些数以任意的方式排列在圆周上时，总能找到 $6$ 个 $1$ 连排在一起。问：其中最少有多少个数是 $1$？

详细思路

是哪类问题：这是「圆周分段·连排保证」题：要让圆周上任意排列都出现 $6$ 个连排的 $1$，就得让 $0$ 无法把 $1$ 都隔成长度 $\le5$ 的段，从而反推 $1$ 的最少个数。

关键切入点：设有 $z$ 个 $0$，它们把圆周分成 $z$ 段，每段至多 $5$ 个 $1$ 才能避免 $6$ 连排，即 $1$ 至多 $5z$ 个、总数 $37\le6z$。当 $z=6$ 时 $1$ 至多 $30$ 个、总数 $36$；再多 $1$ 个（$1$）必使某段达 $6$。故 $1$ 最少 $37-6=31$ 个。

方法概述：用 $0$ 分段，每段 $1$ 至多 $5$ 个，构造最不利后推出 $1$ 最少 $31$ 个。

规范步骤：

0 分段：$z\ 个\ 0\ 分成\ z\ 段，每段\ 1\ 至多\ 5\ 个$（圆周分段）
避免 6 连排的上界：$1\ 至多\ 5z,\ 37\le6z$（最不利原则）
反推 1 的最少个数：$37-6=31$（抽屉原理）

4. 【原题 ch06-chaoyue-04】有一个大口袋，里面装着许多球，每个球上写着一个数字，其中写 $0$ 的有 $1$ 个，写 $1$ 的有 $2$ 个，写 $2$ 的有 $3$ 个……写 $9$ 的有 $10$ 个。如果闭着眼睛从袋中取球，那么至少要取出多少个球，才能保证取出的球中必有 $3$ 个球上面的数字恰好组成 $678$？（考虑“$9$”倒过来看是“$6$”）

详细思路

是哪类问题：这是「反面分析·保证组成指定结果」题：袋中写 $k$ 的球有 $k+1$ 个，共 $55$ 个；要凑 $678$ 需数字 $6$（或倒看的 $9$）、$7$、$8$ 各一个。最不利是避开最“省”的封锁类。

关键切入点：封锁 $678$ 有三法：去掉全部 $7$（$8$ 个）、去掉全部 $8$（$9$ 个）、或去掉全部 $6$ 与 $9$（$7+10=17$ 个）。最省的封锁是去掉 $8$ 个 $7$，此时其余 $55-8=47$ 个仍配不出 $678$；再取 $1$ 个必是 $7$，凑成 $678$，故至少 $47+1=48$ 个。

方法概述：从反面找最省的封锁类（去掉 $8$ 个 $7$），最多 $47$ 个配不出，再加 $1$。

规范步骤：

球总数：$1+2+\cdots+10=55$（计数）
三种封锁比较：$7:8\ 个;\ 8:9\ 个;\ 6\text{与}9:17\ 个$，最省去掉 $8$ 个 $7$（反面分析）
最不利后加 1：$55-8=47,\ 47+1=48$（最不利原则）

5. 【原题 ch06-chaoyue-05】一个袋子里有 $3$ 种不同颜色的球共 $20$ 个，其中有红球 $7$ 个，黄球 $5$ 个，绿球 $8$ 个。现在墨莫闭着眼睛从中取球，要保证有一种颜色的球不少于 $4$ 个，则至少要取出多少个球才能满足要求？如果还要保证另一种颜色的球不少于 $3$ 个，则至少要取出多少个球？

详细思路

是哪类问题：这是「颜色作抽屉·两个数量条件」题：（1）保证一色 $\ge4$，每色先取 $3$ 个造最不利；（2）再保证另一色 $\ge3$，需构造“最多一色够 $4$、其余压到 $2$”的更深最不利。

关键切入点：红 $7$、黄 $5$、绿 $8$。（1）每色取 $3$ 个共 $3\times3=9$ 个仍无一色到 $4$，再 $1$ 个得 $10$；（2）最不利：把最多的绿取满 $8$（够 $4$）、其余两色各压到 $2$，共 $8+2+2=12$ 个仍无“另一色 $\ge3$”，再 $1$ 个必成，故 $13$。

方法概述：(1) 每色取 3 个 +1；(2) 一色取满、其余压到 2 后 +1。

规范步骤：

(1) 每色 3 个：$3\times3=9$，再 $+1=10$（最不利原则）
(2) 绿满 8+两色各 2：$8+2+2=12$，再 $+1=13$（最不利原则）
作出结论：$(1)10;\ (2)13$

第一套

题目：袋里有红球 $9$、黄球 $7$、绿球 $10$ 个。（1）至少取几个保证有一色不少于 $4$ 个？（2）在此基础上再保证另一色不少于 $3$ 个，至少取几个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（(1)）：每色取 $3$ 个，共 $3\times3=\underline{\quad}$ 个仍无一色到 $4$，再 $+1=\underline{\quad}$。
第 2 步（(2)）：把最多的绿取满 $10$（够 $4$）、其余两色各压到 $2$，共 $10+2+2=\underline{\quad}$ 个仍无另一色到 $3$，再 $+1=\underline{\quad}$。

第二套

题目：文具袋里有红笔 $7$、黄笔 $5$、绿笔 $8$ 支。（1）至少取几支保证有一色不少于 $4$ 支？（2）再保证另一色不少于 $3$ 支，至少取几支？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（(1)）：每色取 $3$ 支，共 $3\times3=\underline{\quad}$ 支仍无一色到 $4$，再 $+1=\underline{\quad}$。
第 2 步（(2)）：绿取满 $8$、其余两色各压到 $2$，共 $8+2+2=\underline{\quad}$ 支，再 $+1=\underline{\quad}$。

第三套

题目：袋里有红 $7$、黄 $5$、绿 $8$、蓝 $6$ 个球。至少取几个，才能保证有一种颜色不少于 $5$ 个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出抽屉）：$4$ 种颜色是 $4$ 个抽屉。
第 2 步（最不利）：每色取 $4$ 个，共 $4\times4=\underline{\quad}$ 个仍无一色到 $5$。
第 3 步（再加 1 个）：再取 $1$ 个必成，$16+1=\underline{\quad}$。

第三套

题目：袋里有红球 $7$、黄球 $5$、绿球 $8$ 个。至少取几个，才能保证有两种颜色各不少于 $4$ 个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（找最不利）：要使“第二色够 $4$”不成立，最坏让最多的绿取满 $8$（够 $4$）、其余两色各压到 $3$，共 $8+3+3=\underline{\quad}$ 个仍只一色到 $4$。
第 2 步（再加 1 个）：再取 $1$ 个必使第二色到 $4$，$14+1=\underline{\quad}$。

6. 【原题 ch06-chaoyue-06】$50$ 个苹果分给 $8$ 个小朋友，那么分到苹果最多的小朋友至少分到几个？如果 $1$ 号小朋友最多给 $2$ 个，$2$ 号最多给 $4$ 个，$3$ 号最多给 $6$ 个……$8$ 号最多给 $16$ 个，那么得到苹果最多的小朋友至少分到几个？

详细思路

是哪类问题：这是「平均数与最值·带余 + 限额构造」题：（1）无限额时用 $50\div8$ 求“最多的人至少多少”；（2）有各自限额时，让各人尽量接近以压低最大值。

关键切入点：（1）$50\div8=6\cdots2$，故最多的人至少 $6+1=7$ 个；（2）限额 $2,4,6,8,10,12,14,16$，先给前三人满 $2,4,6$，其余五人尽量平均：若上限压到 $8$，则总量 $2+4+6+8\times5=52\ge50$ 可行，压到 $7$ 则 $2+4+6+7\times5=47<50$ 不够，故最多的人至少 $8$ 个。

方法概述：(1) $50\div8=6\cdots2$ 得 $7$；(2) 在限额下压低最大值到 $8$。

规范步骤：

(1) 平均带余：$50\div8=6\cdots\cdots2$，$6+1=7$（抽屉原理）
(2) 压到 7 不够：$2+4+6+7\times5=47<50$（最值构造）
(2) 压到 8 可行：$2+4+6+8\times5=52\ge50$（最值构造）
作出结论：$(1)7;\ (2)8$

第一套

题目：$100$ 个苹果分给 $9$ 个小朋友，分到最多的小朋友至少分到几个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（平均带余）：$100\div9=11\cdots\cdots1$，先算 $9\times11=\underline{\quad}$。
第 2 步（比较）：$99$ 不足 $100$，还多 $100-99=\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（商加 1）：故最多的小朋友至少 $11+1=\underline{\quad}$ 个。

第二套

题目：$50$ 本练习册发给 $8$ 个组，拿到最多的组至少拿到几本？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（平均带余）：$50\div8=6\cdots\cdots2$，先算 $8\times6=\underline{\quad}$。
第 2 步（比较）：$48$ 不足 $50$，还多 $50-48=\underline{\quad}$ 本。
第 3 步（商加 1）：故最多的组至少 $6+1=\underline{\quad}$ 本。

第三套

题目：$60$ 个苹果分给 $7$ 个小朋友，分到最多的小朋友至少分到几个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（平均带余）：$60\div7=8\cdots\cdots4$，先算 $7\times8=\underline{\quad}$。
第 2 步（比较）：$56$ 不足 $60$，还多 $60-56=\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（商加 1）：故最多的小朋友至少 $8+1=\underline{\quad}$ 个。

第三套

题目：$50$ 个苹果分给 $8$ 个小朋友，$1$ 号最多 $2$ 个、$2$ 号最多 $4$ 个、……、$8$ 号最多 $16$ 个（第 $k$ 号最多 $2k$ 个）。分到最多的小朋友至少分到几个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（试把最大值压到 7）：让上限都不超过 $7$，则总量最多 $2+4+6+7+7+7+7+7=\underline{\quad}$ 个。
第 2 步（比较）：$47$ 不足 $50$，说明压到 $7$ 装不下 $50$ 个。
第 3 步（试把最大值压到 8）：让上限都不超过 $8$，则总量最多 $2+4+6+8+8+8+8+8=\underline{\quad}$ 个，$52\ge50$ 可行。
第 4 步（下结论）：故最多的小朋友至少 $8$ 个。

7. 【原题 ch06-chaoyue-07】$888$ 名学生站成一个圆圈，如果任意连续 $32$ 人中，至多有 $9$ 名男生，那么男生最多有多少人？

详细思路

是哪类问题：这是「圆周分段估值 + 构造验证」题：任意连续 $32$ 人至多 $9$ 男，用频率估上界再构造排列说明可达到。

关键切入点：把 $888$ 人按 $32$ 人一段估计：$888\div32\times9=249.75$，故男生至多 $249$ 人。构造：$27$ 段“$32$ 人含 $9$ 男”加 $1$ 段“$24$ 人含 $6$ 男”，共 $32\times27+24=888$ 人、男生 $9\times27+6=249$ 人，满足条件。故最多 $249$ 人。

方法概述：用 $888\div32\times9$ 估上界 $249$，再构造排列达到。

规范步骤：

频率估上界：$888\div32\times9=249.75\Rightarrow\le249$（圆周分段估值）
构造达到：$9\times27+6=249$（$32\times27+24=888$）（构造验证）
作出结论：男生最多 $249$ 人

8. 【原题 ch06-chaoyue-08】新春佳节，商场举办抽奖活动，抽奖箱中有 $5$ 种不同颜色的奖券，分别有 $32,30,28,26,24$ 张。每次可以抽出任意多张，但每抽出一张就要付 $2$ 元钱。奖励方式如下：用 $15$ 张同色的奖券换一架相同颜色的飞机模型，用 $11$ 张同色的奖券换一架相同颜色的坦克模型，用 $4$ 张同色的奖券换一架相同颜色的摩托车模型。请问：至少要付多少元钱，才能保证可以换到三种模型，且三种模型的颜色互不相同？

详细思路

是哪类问题：这是「多条件构造最值」题：要保证换到三种颜色互不相同的模型（飞机 $15$、坦克 $11$、摩托 $4$ 张同色），须比较不同最坏抽券局面取最大。

关键切入点：五色 $32,30,28,26,24$ 张。最不利可先抽满一色 $32$ 张再让其余每色都差 $1$ 张不足摩托的 $4$ 张（每色取 $3$ 张），$32+10\times4=72$ 张仍换不齐三种不同色模型；再抽 $1$ 张必使第三色达标。故至少 $72+1=73$ 张，每张 $2$ 元，共 $73\times2=146$ 元。

方法概述：构造最不利抽券局面得 $73$ 张，每张 $2$ 元共 $146$ 元。

规范步骤：

最不利局面：$32+10\times4=72$（换不齐）（多条件构造最值）
再加 1 张：$72+1=73$（张）（最不利原则）
算钱数：$73\times2=146$（元）

9. 【原题 ch06-tuozhan-01】红领巾小学今年入学的一年级新生中有 $370$ 人是在同一年出生的。试说明：他们中一定有 $2$ 个人是在同一天出生的。

详细思路

是哪类问题：这是「天数作抽屉·存在性」题：一年最多 $366$ 天，人数多于天数即必有两人同天。

关键切入点：$366$ 天是 $366$ 个抽屉，$370$ 人是苹果。每天先各占一人用去 $366$ 人，还剩 $370-366=4$ 人只能与某人同天。

方法概述：以 $366$ 天为抽屉，$370>366$ 即存在同天。

规范步骤：

认出抽屉数：$一年最多\ 366\ 天$（天数作抽屉）
每天各占一人：$370-366=4$（还剩 $4$ 人）（最不利安排）
剩下的人必与某人同天：必有 $2$ 人同天（抽屉原理）

第一套

题目：某年级 $500$ 名新生都在同一年出生。试说明：一定有 $2$ 人是在同一天出生的。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出抽屉数）：一年最多 $366$ 天，是 $366$ 个抽屉。
第 2 步（最不利安排）：先让 $366$ 人各占一天，还剩 $500-366=\underline{\quad}$ 人。
第 3 步（下结论）：剩下的人必与某人同天，故一定有 $2$ 人同天。

第二套

题目：一个大礼堂里有 $370$ 位观众，每人的手机尾号（末 $3$ 位共 $000\sim365$ 中选，$366$ 种）互相独立。试说明：一定有 $2$ 人尾号相同。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出抽屉数）：可能的尾号共 $366$ 种，是抽屉。
第 2 步（最不利安排）：先让 $366$ 人各占一个尾号，还剩 $370-366=\underline{\quad}$ 人。
第 3 步（下结论）：剩下的人必与某人尾号相同，故一定有 $2$ 人尾号相同。

第三套

题目：$60$ 个人。试说明：一定有 $2$ 人的生日在同一周（一年最多 $53$ 周）。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出抽屉数）：一年最多 $53$ 周，是 $53$ 个抽屉。
第 2 步（最不利安排）：先让 $53$ 人各占一周，还剩 $60-53=\underline{\quad}$ 人。
第 3 步（下结论）：剩下的人必与某人同周，故一定有 $2$ 人同周。

第三套

题目：$740$ 个人都在同一年出生。试说明：一定有 $3$ 人在同一天出生。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（要避免 3 人同天，每天最多 2 人）：$366$ 天每天至多 $2$ 人，最多容纳 $366\times2=\underline{\quad}$ 人。
第 2 步（比较）：$732$ 人还不到 $740$ 人，还多 $740-732=\underline{\quad}$ 人。
第 3 步（下结论）：多出的人使某天达到 $2+1=\underline{\quad}$ 人，故一定有 $3$ 人同天。

10. 【原题 ch06-tuozhan-02】某公司决定派 $95$ 名员工去 $8$ 个不同的城市进行市场调查，是不是一定有 $12$ 人会去同一个城市？“一定有 $13$ 人去同一个城市”这个说法正确吗？

详细思路

是哪类问题：这是「抽屉原理·判断说法对错」题：用反证证下界（“一定有 $12$ 人”），再构造均摊方案否定更强的说法（“一定有 $13$ 人”）。

关键切入点：$8$ 城市是抽屉。若每城至多 $11$ 人则最多 $8\times11=88<95$，矛盾，故必有城市至少 $12$ 人，“$12$ 人”成立；但每城至多 $12$ 人时 $8\times12=96\ge95$，可让 $7$ 城各 $12$、$1$ 城 $11$，故“$13$ 人”不成立。

方法概述：反证证 $12$ 人；构造均摊方案否定 $13$ 人。

规范步骤：

反证下界：$8\times11=88<95$，故必有城市 $\ge12$ 人（反证/最不利）
构造否定更强说法：$8\times12=96\ge95$，可 $7\times12+11=95$（构造反例）
作出结论：$12$ 人成立，$13$ 人不成立

第一套

题目：派 $130$ 名员工去 $9$ 个城市。“一定有 $15$ 人去同一城市”成立吗？“一定有 $16$ 人去同一城市”呢？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（反证下界）：若每城至多 $14$ 人，$9$ 城最多 $9\times14=\underline{\quad}$ 人。
第 2 步（比较）：$126$ 不足 $130$，矛盾，故必有城市至少 $14+1=\underline{\quad}$ 人，“$15$ 人”成立。
第 3 步（构造否定更强说法）：每城至多 $15$ 人时 $9\times15=\underline{\quad}\ge130$，可让 $4$ 城各 $15$、$5$ 城各 $14$，共 $4\times15+5\times14=\underline{\quad}$，故“$16$ 人”不成立。

第二套

题目：$95$ 件快递分到 $8$ 个网点。“一定有网点收到 $12$ 件”成立吗？“一定有网点收到 $13$ 件”呢？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（反证下界）：若每网点至多 $11$ 件，$8$ 个网点最多 $8\times11=\underline{\quad}$ 件。
第 2 步（比较）：$88$ 不足 $95$，矛盾，故必有网点至少 $11+1=\underline{\quad}$ 件，“$12$ 件”成立。
第 3 步（构造否定更强说法）：每网点至多 $12$ 件时 $8\times12=\underline{\quad}\ge95$，可 $7\times12+11=\underline{\quad}$，故“$13$ 件”不成立。

第三套

题目：$40$ 个人。“一定有 $4$ 人同生肖”成立吗？“一定有 $5$ 人同生肖”呢？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（反证下界）：生肖 $12$ 种，若每种至多 $3$ 人，最多 $12\times3=\underline{\quad}$ 人。
第 2 步（比较）：$36$ 不足 $40$，矛盾，故必有生肖至少 $3+1=\underline{\quad}$ 人，“$4$ 人”成立。
第 3 步（构造否定更强说法）：每种至多 $4$ 人时 $12\times4=\underline{\quad}\ge40$，可让 $4$ 种各 $4$、$8$ 种各 $3$，共 $4\times4+8\times3=\underline{\quad}$，故“$5$ 人”不成立。

第三套

题目：派 $200$ 名员工去 $7$ 个城市，用带余除法判断：“一定有 $29$ 人去同一城市”成立吗？“一定有 $30$ 人”呢？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（带余除法）：$200\div7=28\cdots\cdots4$，先算 $7\times28=\underline{\quad}$。
第 2 步（判 29 人）：$196$ 不足 $200$，还多 $200-196=\underline{\quad}$ 人，使某城达 $28+1=\underline{\quad}$ 人，故“$29$ 人”成立。
第 3 步（判 30 人）：每城至多 $29$ 人时 $7\times29=\underline{\quad}\ge200$，可让 $4$ 城各 $29$、$3$ 城各 $28$，共 $4\times29+3\times28=\underline{\quad}$，故“$30$ 人”不成立。

11. 【原题 ch06-tuozhan-03】任意 $40$ 个人中，至少有几个人属于同一个生肖？

详细思路

是哪类问题：这是「生肖作抽屉·平均带余」题：$40\div12=3\cdots4$，商 $+1$ 即“保证同生肖”的最少人数。

关键切入点：$12$ 种生肖是抽屉。若每种至多 $3$ 人，最多 $12\times3=36<40$，故必有 $3+1=4$ 人同生肖。

方法概述：$12$ 抽屉、$40\div12=3\cdots4$，商 $+1=4$。

规范步骤：

认出抽屉数：$生肖\ 12\ 种=12\ 个抽屉$（生肖作抽屉）
带余除法：$40\div12=3\cdots\cdots4$，$12\times3=36<40$（带余除法）
商加 1：$3+1=4$（抽屉原理）
作出结论：至少 $4$ 人同生肖

第一套

题目：任意 $100$ 个人中，至少有几个人属于同一个生肖？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出抽屉数）：生肖 $12$ 种，是 $12$ 个抽屉。
第 2 步（试每种至多 8 人）：若每种至多 $8$ 人，$12$ 种最多 $12\times8=\underline{\quad}$ 人。
第 3 步（比较下结论）：$96$ 不足 $100$，故必有某生肖至少 $8+1=\underline{\quad}$ 人。

第二套

题目：班里 $40$ 名同学，每人喜欢 $12$ 种星座之一。至少有几名同学是同一个星座？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出抽屉数）：$12$ 个星座是 $12$ 个抽屉。
第 2 步（试每种至多 3 人）：若每星座至多 $3$ 人，最多 $12\times3=\underline{\quad}$ 人。
第 3 步（比较下结论）：$36$ 不足 $40$，故必有某星座至少 $3+1=\underline{\quad}$ 人。

第三套

题目：任意 $40$ 个人中，至少有几个人的生日在同一个月？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出抽屉数）：一年 $12$ 个月是 $12$ 个抽屉。
第 2 步（试每月至多 3 人）：若每月至多 $3$ 人，最多 $12\times3=\underline{\quad}$ 人。
第 3 步（比较下结论）：$36$ 不足 $40$，故必有某月至少 $3+1=\underline{\quad}$ 人。

第三套

题目：任意 $150$ 个人中，至少有几个人的星期几（一周 $7$ 天）出生相同？请写出带余除法过程。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出抽屉数）：一周 $7$ 天是 $7$ 个抽屉。
第 2 步（带余除法）：$150\div7=21\cdots\cdots3$，先算 $7\times21=\underline{\quad}$。
第 3 步（比较）：$147$ 不足 $150$，还多 $150-147=\underline{\quad}$ 人。
第 4 步（商加 1）：多出的人使某天达到 $21+1=\underline{\quad}$ 人。

12. 【原题 ch06-tuozhan-04】一个盒子内有 $4$ 个格子，现在我们闭着眼睛，把棋子往格子里“瞎放”（没有放到格子外的），那么至少要放多少枚棋子，才能保证一定有 $2$ 枚棋子放在同一格内？

详细思路

是哪类问题：这是「格子作抽屉·保证 2 同格」题：每格先放 $1$ 枚造最不利，再放 $1$ 枚必与某格重合。

关键切入点：$4$ 个格子是 $4$ 个抽屉。最不利每格 $1$ 枚共 $4$ 枚仍无同格；再放 $1$ 枚必成，故 $4+1=5$。

方法概述：每格各放 $1$ 枚（最不利）再加 $1$：$4+1=5$。

规范步骤：

认出抽屉数：$4\ 个格子=4\ 个抽屉$（格子作抽屉）
最不利：每格 1 枚：$4\times1=4$（仍无同格）（最不利原则）
再放 1 枚必同格：$4+1=5$（抽屉原理）

第一套

题目：一个盒子内有 $9$ 个格子，闭眼把棋子往格子里放。至少放多少枚，才能保证有 $2$ 枚在同一格？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出抽屉数）：$9$ 个格子是 $9$ 个抽屉。
第 2 步（最不利）：每格各放 $1$ 枚，共 $9\times1=\underline{\quad}$ 枚仍无同格。
第 3 步（再加 1 枚）：再放 $1$ 枚必同格，$9+1=\underline{\quad}$。

第二套

题目：信箱墙上有 $4$ 个信格，邮差随意投信。至少投多少封，才能保证有 $2$ 封投进同一个信格？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出抽屉数）：$4$ 个信格是 $4$ 个抽屉。
第 2 步（最不利）：每格各投 $1$ 封，共 $4\times1=\underline{\quad}$ 封仍无同格。
第 3 步（再加 1 封）：再投 $1$ 封必同格，$4+1=\underline{\quad}$。

第三套

题目：一个盒子内有 $4$ 个格子，闭眼放棋子。至少放多少枚，才能保证有 $3$ 枚在同一格？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出抽屉数）：$4$ 个格子是 $4$ 个抽屉。
第 2 步（更深最不利）：要避免 $3$ 枚同格，每格最多 $2$ 枚，共 $4\times2=\underline{\quad}$ 枚仍无 $3$ 枚同格。
第 3 步（再加 1 枚）：再放 $1$ 枚必成，$8+1=\underline{\quad}$。

第三套

题目：一个盒子内有 $16$ 个格子，闭眼放棋子。至少放多少枚，才能保证有某格至少 $3$ 枚？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出抽屉数）：$16$ 个格子是 $16$ 个抽屉。
第 2 步（更深最不利）：要避免某格 $3$ 枚，每格最多 $2$ 枚，共 $16\times2=\underline{\quad}$ 枚仍无某格 $3$ 枚。
第 3 步（再加 1 枚）：再放 $1$ 枚必使某格达 $3$ 枚，$32+1=\underline{\quad}$。

13. 【原题 ch06-tuozhan-05】一个鱼缸里有很多条鱼，共有 $5$ 个品种。至少要捞出多少条鱼，才能保证其中有 $5$ 条相同品种的鱼？

详细思路

是哪类问题：这是「品种作抽屉·保证 5 同品种」题：每品种先取 $4$ 条造最不利，再加 $1$ 条必成 5 条同品种。

关键切入点：$5$ 个品种是 $5$ 个抽屉。最不利每品种 $4$ 条共 $5\times4=20$ 条仍无 5 条同品种；再取 $1$ 条必成，故 $20+1=21$。

方法概述：每品种取 $4$ 条（最不利）再加 $1$：$5\times4+1=21$。

规范步骤：

认出抽屉数：$5\ 个品种=5\ 个抽屉$（品种作抽屉）
最不利：每品种 4 条：$5\times4=20$（仍无 5 条同品种）（最不利原则）
再取 1 条必成：$20+1=21$（抽屉原理）

第一套

题目：一个鱼缸里有 $6$ 个品种的鱼，每种都足够多。至少捞几条，才能保证有 $6$ 条同品种？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出抽屉数）：$6$ 个品种是 $6$ 个抽屉。
第 2 步（最不利）：每品种捞 $5$ 条，共 $6\times5=\underline{\quad}$ 条仍无 $6$ 条同品种。
第 3 步（再加 1 条）：再捞 $1$ 条必成，$30+1=\underline{\quad}$。

第二套

题目：糖果罐里有 $5$ 种口味的糖，每种都足够多。闭眼至少抓几颗，才能保证有 $5$ 颗口味相同？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出抽屉数）：$5$ 种口味是 $5$ 个抽屉。
第 2 步（最不利）：每种口味抓 $4$ 颗，共 $5\times4=\underline{\quad}$ 颗仍无 $5$ 颗同味。
第 3 步（再加 1 颗）：再抓 $1$ 颗必成，$20+1=\underline{\quad}$。

第三套

题目：有 $5$ 种颜色的珠子各足够多。至少取几颗，才能保证有 $5$ 颗颜色相同？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出抽屉数）：$5$ 种颜色是 $5$ 个抽屉。
第 2 步（最不利）：每色取 $4$ 颗，共 $5\times4=\underline{\quad}$ 颗仍无 $5$ 颗同色。
第 3 步（再加 1 颗）：再取 $1$ 颗必成，$20+1=\underline{\quad}$。

第三套

题目：一个鱼缸里有 $5$ 个品种的鱼，每种都足够多。至少捞几条，才能保证有 $8$ 条同品种？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出抽屉数）：$5$ 个品种是 $5$ 个抽屉。
第 2 步（更深最不利）：要避免 $8$ 条同品种，每品种最多 $7$ 条，共 $5\times7=\underline{\quad}$ 条仍无 $8$ 条同品种。
第 3 步（再加 1 条）：再捞 $1$ 条必成，$35+1=\underline{\quad}$。

14. 【原题 ch06-tuozhan-06】小高把一副围棋子混装在一个盒子中，然后每次从盒子中摸出 $4$ 枚棋子，那么他至少要摸几次，才能保证其中有 $3$ 次摸出棋子的颜色情况是相同的？（围棋子有黑、白两种颜色）

详细思路

是哪类问题：这是「情形分类作抽屉」题：每次摸 $4$ 枚，按其中黑子个数（$0\sim4$）恰好分成 $5$ 种情况；把 $5$ 种情况当抽屉，保证 $3$ 次相同就是“保证 3 同类”。

关键切入点：摸 $4$ 枚按黑子数分 $0,1,2,3,4$ 共 $5$ 类，是 $5$ 个抽屉。最不利每类恰 $2$ 次共 $5\times2=10$ 次仍无某类 3 次；再摸 $1$ 次必成，故 $10+1=11$。

方法概述：$5$ 类各出现 $2$ 次（最不利）再加 $1$：$5\times2+1=11$。

规范步骤：

按黑子数分类：$0,1,2,3,4\ 个黑子=5\ 类=5\ 个抽屉$（情形分类作抽屉）
最不利：每类 2 次：$5\times2=10$（仍无某类 3 次）（最不利原则）
再摸 1 次必成：$10+1=11$（抽屉原理）

第一套

题目：每次从盒子中摸出 $6$ 枚黑白棋子，至少要摸几次，才能保证有 $3$ 次摸出棋子的颜色情况相同？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（按黑子数分类）：摸 $6$ 枚按黑子数 $0,1,2,3,4,5,6$ 分成 $6+1=\underline{\quad}$ 类。
第 2 步（最不利）：每类恰 $2$ 次，共 $7\times2=\underline{\quad}$ 次仍无某类 $3$ 次。
第 3 步（再加 1 次）：再摸 $1$ 次必成，$14+1=\underline{\quad}$。

第二套

题目：每次从袋中抓 $4$ 颗红绿弹珠，按其中红珠个数分类。至少抓几次，才能保证有 $3$ 次红珠个数相同？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（按红珠数分类）：抓 $4$ 颗按红珠数 $0,1,2,3,4$ 分成 $5$ 类，是抽屉。
第 2 步（最不利）：每类恰 $2$ 次，共 $5\times2=\underline{\quad}$ 次仍无某类 $3$ 次。
第 3 步（再加 1 次）：再抓 $1$ 次必成，$10+1=\underline{\quad}$。

第三套

题目：每次任写一个两位数（$10\sim99$），把它各位数字之和（范围 $1\sim18$，共 $18$ 种）看作情况。至少写几个数，才能保证有 $3$ 个数的数字和相同？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（数字和分类）：数字和取值 $1\sim18$ 共 $18$ 类，是抽屉。
第 2 步（最不利）：每类恰 $2$ 个，共 $18\times2=\underline{\quad}$ 个仍无某类 $3$ 个。
第 3 步（再加 1 个）：再写 $1$ 个必成，$36+1=\underline{\quad}$。

第三套

题目：每次从盒子中摸出 $4$ 枚黑白棋子，按黑子个数分 $5$ 类。至少摸几次，才能保证有 $4$ 次颜色情况相同？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（按黑子数分类）：摸 $4$ 枚分 $0,1,2,3,4$ 共 $5$ 类，是抽屉。
第 2 步（更深最不利）：要避免某类 $4$ 次，每类最多 $3$ 次，共 $5\times3=\underline{\quad}$ 次仍无某类 $4$ 次。
第 3 步（再加 1 次）：再摸 $1$ 次必成，$15+1=\underline{\quad}$。

15. 【原题 ch06-tuozhan-07】在一个盒子里装着形状相同的 $3$ 种口味的果冻，分别是苹果口味的、草莓口味的和牛奶口味的，每种果冻都有 $20$ 个。现在闭着眼睛从盒子里拿果冻，请问：（1）至少要从中拿出多少个，才能保证拿出的果冻中有牛奶口味的？（2）至少要从中拿出多少个，才能保证拿出的果冻中至少有两种口味？

详细思路

是哪类问题：这是「口味作抽屉·两类保证」题：（1）保证含某味先取尽其余两味再加 $1$；（2）保证至少两味先取尽一味再加 $1$。

关键切入点：每味 $20$ 个。（1）取尽苹果、草莓 $20+20=40$ 个仍无牛奶，再 $1$ 个必牛奶，共 $41$；（2）取尽某一味 $20$ 个仍只一味，再 $1$ 个必另一味，共 $21$。

方法概述：(1) 取尽其余两味 +1；(2) 取尽一味 +1。

规范步骤：

(1) 取尽苹果草莓：$20+20=40$，再 $+1=41$（最不利原则）
(2) 取尽一味：$20$，再 $+1=21$（最不利原则）
作出结论：$(1)41;\ (2)21$

第一套

题目：盒子里有 $4$ 种口味的果冻，每种各 $30$ 个。（1）至少拿几个保证有牛奶味？（2）至少拿几个保证至少有两种口味？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（(1) 保证牛奶味）：先取尽其余 $3$ 味 $30\times3=\underline{\quad}$ 个仍无牛奶，再 $+1=\underline{\quad}$。
第 2 步（(2) 保证两味）：先取尽某一味 $30$ 个仍只一味，再 $+1=\underline{\quad}$。

第二套

题目：文具盒里有红、蓝、黑 $3$ 种笔芯，每种各 $20$ 支。（1）至少取几支保证有黑笔芯？（2）至少取几支保证至少有两种颜色？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（(1) 保证黑笔芯）：先取尽红、蓝 $20+20=\underline{\quad}$ 支仍无黑，再 $+1=\underline{\quad}$。
第 2 步（(2) 保证两色）：先取尽某一色 $20$ 支仍只一色，再 $+1=\underline{\quad}$。

第三套

题目：盒子里有苹果、草莓、牛奶 $3$ 味果冻各 $20$ 个。至少拿几个，才能保证既有苹果味、又有草莓味？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（找最不利）：要同时有苹果、草莓两味，最坏先取尽牛奶 $20$ 个，再取尽两指定味中的一味 $20$ 个，共 $20+20=\underline{\quad}$ 个仍缺一味。
第 2 步（再加 1 个）：再取 $1$ 个必补齐缺的味，$40+1=\underline{\quad}$。

第三套

题目：盒子里有 $5$ 种口味的果冻，每种各 $20$ 个。至少拿几个，才能保证至少有 $3$ 种口味？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（找最不利）：要避免第 $3$ 味出现，最坏先取尽数量最多的 $2$ 味，共 $20\times2=\underline{\quad}$ 个仍只 $2$ 味。
第 2 步（再加 1 个）：再取 $1$ 个必出现第 $3$ 味，$40+1=\underline{\quad}$。

16. 【原题 ch06-tuozhan-08】一个布袋里有大小相同、颜色不同的一些木球，其中红色的有 $10$ 个，黄色的有 $8$ 个，蓝色的有 $3$ 个，绿色的有 $1$ 个。请问：（1）一次至少要取出多少个球，才能保证取出的球至少有 $3$ 种颜色？（2）一次至少要取出多少个球，才能保证其中必有红色球和黄色球？

详细思路

是哪类问题：这是「颜色作抽屉·数量不等的两类保证」题：数量不同，最不利时要“先取尽最有利于拖延的颜色”。

关键切入点：红 $10$、黄 $8$、蓝 $3$、绿 $1$。（1）保证 $3$ 色：先取尽最多两色 $10+8=18$ 个仍两色，再 $1$ 个必第三色，共 $19$；（2）保证有红且有黄：最坏取蓝 $3$+绿 $1$+红 $10=14$ 个仍无黄，再 $1$ 个必黄，共 $15$。

方法概述：(1) 取尽最多两色 +1；(2) 取尽蓝绿与较多主色 +1。

规范步骤：

(1) 取尽红黄：$10+8=18$，再 $+1=19$（最不利原则）
(2) 取蓝绿+红：$3+1+10=14$，再 $+1=15$（最不利原则）
作出结论：$(1)19;\ (2)15$

第一套

题目：袋里有红球 $12$、黄球 $9$、蓝球 $4$、绿球 $2$ 个。（1）至少取几个保证至少有 $3$ 种颜色？（2）至少取几个保证必有红球和黄球？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（(1) 保证 3 色）：先取尽最多两色红、黄 $12+9=\underline{\quad}$ 个仍两色，再 $+1=\underline{\quad}$。
第 2 步（(2) 保证有红且黄）：最坏取蓝 $4$+绿 $2$+红 $12$ 共 $4+2+12=\underline{\quad}$ 个仍无黄，再 $+1=\underline{\quad}$。

第二套

题目：文具袋里有黑笔 $10$、蓝笔 $8$、红笔 $3$、绿笔 $1$ 支。（1）至少取几支保证至少 $3$ 种颜色？（2）至少取几支保证必有黑笔和蓝笔？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（(1) 保证 3 色）：先取尽最多两色黑、蓝 $10+8=\underline{\quad}$ 支仍两色，再 $+1=\underline{\quad}$。
第 2 步（(2) 保证有黑且蓝）：最坏取红 $3$+绿 $1$+黑 $10$ 共 $3+1+10=\underline{\quad}$ 支仍无蓝，再 $+1=\underline{\quad}$。

第三套

题目：袋里有红球 $10$、黄球 $8$、蓝球 $3$、绿球 $1$ 个。至少取几个，才能保证取出的球里一定有绿球？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（找最不利）：绿球只有 $1$ 个最难取到，最坏先取尽其余三色 $10+8+3=\underline{\quad}$ 个仍无绿。
第 2 步（再加 1 个）：再取 $1$ 个必是绿球，$21+1=\underline{\quad}$。

第三套

题目：袋里有红球 $10$、黄球 $8$、蓝球 $3$、绿球 $1$ 个。至少取几个，才能保证既有红球、又至少有 $3$ 种颜色？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（找两种最坏情形）：情形一“没有红”——取尽其余三色黄、蓝、绿 $8+3+1=\underline{\quad}$ 个，仍无红。
第 2 步（情形二“颜色不足 3 种”）：只取最多的两色红、黄 $10+8=\underline{\quad}$ 个，仍只 $2$ 种颜色。
第 3 步（取较大者再加 1）：两种最坏取较大的 $18$ 个，再取 $1$ 个必同时满足，$18+1=\underline{\quad}$。

17. 【原题 ch06-tuozhan-09】一副扑克牌共 $54$ 张，其中有 $2$ 张王牌，还有黑桃、红桃、草花和方块 $4$ 种花色的牌各 $13$ 张。现在要从中随意取出一些牌，如果要保证在取出来的牌中至少包含 $3$ 种花色，并且这 $3$ 种花色的牌至少都有 $3$ 张，那么最少要取出多少张牌？

详细思路

是哪类问题：这是「扑克牌·多花色多张保证」题：王牌先取尽，再让尽量少的花色达标，构造“$2$ 王 + 两花色全取 + 另两花色各 $2$ 张”的最不利。

关键切入点：最不利：$2$ 王 + 某两花色全取 $13+13$ + 另两花色各 $2$ 张 = $2+13+13+2+2=32$ 张，仍只 $2$ 种花色达 $3$ 张；再取 $1$ 张必使第三花色到 $3$ 张，故 $33$。

方法概述：构造 $2+13+13+2+2=32$ 的最不利，再加 $1$。

规范步骤：

取尽 2 王：$2$ 张王牌（王牌干扰项）
两花色全取+两花色各 2 张：$13+13+2+2=30$（最不利原则）
合计再加 1：$2+30=32$，$32+1=33$（抽屉原理）

第一套

题目：一副扑克牌 $54$ 张（$2$ 王 + 四花色各 $13$）。要保证取出的牌里至少有 $3$ 种花色，且这 $3$ 种花色各至少 $4$ 张，最少取几张？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（取尽王牌）：先取 $2$ 张王牌。
第 2 步（构造最不利）：两花色各全取 $13$、另两花色各 $3$ 张，$13+13+3+3=\underline{\quad}$ 张仍只 $2$ 花色达标。
第 3 步（合计加 1）：$2+32=\underline{\quad}$，再取 $1$ 张必成，$34+1=\underline{\quad}$。

第二套

题目：抽奖箱有 $2$ 张空卡和红、橙、黄、绿 $4$ 色奖券各 $13$ 张。要保证取出的券里至少 $3$ 种颜色，且这 $3$ 色各至少 $3$ 张，最少取几张？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（取尽空卡）：先取 $2$ 张空卡。
第 2 步（构造最不利）：两色各全取 $13$、另两色各 $2$ 张，$13+13+2+2=\underline{\quad}$ 张仍只 $2$ 色达标。
第 3 步（合计加 1）：$2+30=\underline{\quad}$，再取 $1$ 张必成，$32+1=\underline{\quad}$。

第三套

题目：一副扑克牌 $54$ 张（$2$ 王 + 四花色各 $13$）。要保证取出的牌里至少有 $2$ 种花色各至少 $5$ 张，最少取几张？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（取尽王牌）：先取 $2$ 张王牌。
第 2 步（构造最不利）：一花色全取 $13$、另三花色各 $4$ 张，$13+4\times3=\underline{\quad}$ 张仍只 $1$ 花色达 $5$ 张。
第 3 步（合计加 1）：$2+25=\underline{\quad}$，再取 $1$ 张必使第二花色到 $5$ 张，$27+1=\underline{\quad}$。

第三套

题目：一副扑克牌 $54$ 张（$2$ 王 + 四花色各 $13$）。要保证取出的牌里 $4$ 种花色各至少 $3$ 张，最少取几张？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（取尽王牌）：先取 $2$ 张王牌。
第 2 步（构造最不利）：要使第 $4$ 种花色不达标，最坏让三花色全取 $13\times3$、第四花色只 $2$ 张，$13\times3+2=\underline{\quad}$ 张。
第 3 步（合计加 1）：$2+41=\underline{\quad}$，再取 $1$ 张必使第四花色到 $3$ 张，$43+1=\underline{\quad}$。

18. 【原题 ch06-tuozhan-10】黑色、白色、黄色、红色的筷子各有 $8$ 根，混放在一起，在黑暗中取出一些筷子，要使得这些筷子能够搭配出两双筷子（两根筷子颜色相同即为一双），那么最少要取多少根才能保证达到要求？

详细思路

是哪类问题：这是「配对·保证两双」题：一双即 $2$ 根同色。“最多只有一双”是反面，构造它需让配对能力尽量小。

关键切入点：$4$ 色各 $8$ 根。最不利：某色 $3$ 根（只成一双）+ 其余三色各 $1$ 根，共 $3+1\times3=6$ 根只一双；再取 $1$ 根必成第二双，故 $6+1=7$。

方法概述：构造“最多一双”（$3+1\times3=6$）再加 $1$。

规范步骤：

找最不利：某色 $3$ 根+其余各 $1$ 根（最不利原则）
计数：$3+1\times3=6$（只一双）（配对分析）
再取 1 根成第二双：$6+1=7$（抽屉原理）

第一套

题目：黑、白、黄、红、蓝 $5$ 种颜色的筷子各 $8$ 根混放。至少取多少根，才能保证能搭出两双（$2$ 根同色为一双）？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（找最不利）：某色取 $3$ 根（只一双），其余 $4$ 色各 $1$ 根。
第 2 步（计数）：$3+1\times4=\underline{\quad}$ 根仍只一双。
第 3 步（再加 1 根）：再取 $1$ 根必成第二双，$7+1=\underline{\quad}$。

第二套

题目：抽屉里有 $4$ 种颜色的手套各 $8$ 只混放。黑暗中至少取多少只，才能保证能配出两副同色手套（$2$ 只同色为一副）？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（找最不利）：某色取 $3$ 只（只一副），其余 $3$ 色各 $1$ 只。
第 2 步（计数）：$3+1\times3=\underline{\quad}$ 只仍只一副。
第 3 步（再加 1 只）：再取 $1$ 只必成第二副，$6+1=\underline{\quad}$。

第三套

题目：黑、白、黄、红 $4$ 种颜色的筷子各 $8$ 根混放。至少取多少根，才能保证能搭出一双同色筷子？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（找最不利）：每色各取 $1$ 根，共 $4\times1=\underline{\quad}$ 根仍无一双。
第 2 步（再加 1 根）：再取 $1$ 根必与某色成双，$4+1=\underline{\quad}$。

第三套

题目：黑、白、黄、红 $4$ 种颜色的筷子各 $8$ 根混放。至少取多少根，才能保证能搭出三双（$2$ 根同色为一双）？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（找最不利）：要“最多两双”，最坏让两色各 $3$ 根（各一双）、其余两色各 $1$ 根，$3+3+1+1=\underline{\quad}$ 根仍只两双。
第 2 步（再加 1 根）：再取 $1$ 根必成第三双，$8+1=\underline{\quad}$。

19. 【原题 ch06-tuozhan-11】将 $1$ 只白袜子、$2$ 只黑袜子、$3$ 只红袜子、$8$ 只黄袜子和 $9$ 只绿袜子放入一个布袋里。（1）一次至少要摸出多少只袜子才能保证一定有颜色相同的两双袜子？（2）一次至少要摸出多少只袜子才能保证一定有颜色不同的两双袜子？（两双袜子颜色相同即为一双）

详细思路

是哪类问题：这是「袜子·配对两双」题：白 $1$、黑 $2$、红 $3$、黄 $8$、绿 $9$。（1）同色两双 = 某色 $\ge4$；（2）异色两双 = 两种颜色各成一双。

关键切入点：（1）每色尽量不成两双：各色至多 $3$ 只，白 $1$+黑 $2$+红 $3$+黄 $3$+绿 $3=12$ 只仍无同色两双，再 $1$ 只必成，共 $13$；（2）只让一色成双：绿 $9$ 只 + 其余各 $1$ 只 $=9+1\times4=13$ 只仍只绿成双，再 $1$ 只必第二色成双，共 $14$。

方法概述：(1) 各色 ≤3 只 +1；(2) 取尽最多色 + 其余各 1 只 +1。

规范步骤：

(1) 各色至多 3 只：$1+2+3+3+3=12$，再 $+1=13$（配对/最不利）
(2) 绿 9+其余各 1：$9+1\times4=13$，再 $+1=14$（配对/最不利）
作出结论：$(1)13;\ (2)14$

第一套

题目：布袋里有白袜 $1$、黑袜 $2$、红袜 $4$、黄袜 $10$、绿袜 $12$ 只。（1）至少摸几只保证有同色的两双？（2）至少摸几只保证有颜色不同的两双？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（(1) 同色两双）：各色尽量不成两双（至多 $3$ 只），白 $1$+黑 $2$+红 $3$+黄 $3$+绿 $3=\underline{\quad}$ 只，再 $+1=\underline{\quad}$。
第 2 步（(2) 异色两双）：只让最多色成双，绿 $12$+其余各 $1$，$12+1\times4=\underline{\quad}$ 只，再 $+1=\underline{\quad}$。

第二套

题目：手套箱里有白 $1$、黑 $2$、红 $3$、黄 $8$、绿 $9$ 只（不分左右）。（1）至少取几只保证有同色的两副？（2）至少取几只保证有颜色不同的两副？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（(1) 同色两副）：各色至多 $3$ 只，$1+2+3+3+3=\underline{\quad}$ 只，再 $+1=\underline{\quad}$。
第 2 步（(2) 异色两副）：绿 $9$+其余各 $1$，$9+1\times4=\underline{\quad}$ 只，再 $+1=\underline{\quad}$。

第三套

题目：布袋里有白 $1$、黑 $2$、红 $3$、黄 $8$、绿 $9$ 只袜子。至少摸几只，才能保证一定有一双同色袜子？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（找最不利）：每种颜色各摸 $1$ 只，共 $5$ 色各 $1$ 只 $=5\times1=\underline{\quad}$ 只仍无一双。
第 2 步（再加 1 只）：再摸 $1$ 只必与某色成双，$5+1=\underline{\quad}$。

第三套

题目：布袋里有白 $1$、黑 $2$、红 $3$、黄 $8$、绿 $9$ 只袜子。至少摸几只，才能保证有同一种颜色的三双（$6$ 只同色）？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（找最不利）：要使无某色 $6$ 只，各色至多 $5$ 只，取白 $1$+黑 $2$+红 $3$+黄 $5$+绿 $5=\underline{\quad}$ 只仍无同色三双。
第 2 步（再加 1 只）：再摸 $1$ 只必使黄或绿到 $6$ 只，$16+1=\underline{\quad}$。

20. 【原题 ch06-tuozhan-12】如图，把 $40$ 块巧克力放入 $A,B,C,D$ 四个盒子内，$A$ 盒中放的最多，放了 $13$ 块，且四个盒子内装的巧克力的数量依次减少。那么：（1）$D$ 盒最少可以装几块？（2）$D$ 盒最多可以装几块？

详细思路

是哪类问题：这是「分配求极值」题：四盒巧克力和为 $40$、$A=13$ 且严格递减。求 $D$ 最少令其余尽量大，求 $D$ 最多令各盒尽量接近且仍严格递减。

关键切入点：$B,C,D$ 之和为 $40-13=27$。（1）$D$ 最少：$B,C$ 尽量大取 $12,11$，$D=27-12-11=4$；（2）$D$ 最多：三数尽量接近且严格递减，取 $B=10,C=9,D=8$，故 $D$ 最多 $8$。

方法概述：求最少令其余尽量大；求最多令各盒尽量接近且严格递减。

规范步骤：

B、C、D 之和：$40-13=27$（总量约束）
(1) D 最少：$B=12,C=11$，$D=27-12-11=4$（极值分析）
(2) D 最多：$B=10,C=9,D=8$，和 $=27$（极值分析）
作出结论：$D_{\min}=4,\ D_{\max}=8$

第一套

题目：把 $50$ 块巧克力放入 $A,B,C,D$ 四盒，$A$ 盒放得最多且最多放 $16$ 块，四盒数量依次严格减少。（1）$D$ 盒最少几块？（2）$D$ 盒最多几块？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（(1) D 最少·让前三盒尽量大）：$A$ 取最大 $16$、$B$ 取 $15$、$C$ 取 $14$，则 $D=50-16-15-14=\underline{\quad}$。
第 2 步（(2) D 最多·四盒尽量接近且严格递减）：设 $D$ 最大，因 $A>B>C>D$ 有 $A\ge D+3,\ B\ge D+2,\ C\ge D+1$，四盒和 $\ge 4\times D+6$，由 $4D+6\le50$ 得 $D\le11$。
第 3 步（构造达到 $D=11$）：取 $A=14,B=13,C=12,D=11$（满足 $A=14\le16$、$14>13>12>11$ 严格递减、和为 $50$），故 $D=50-14-13-12=\underline{\quad}$。

第二套

题目：$40$ 名志愿者分到甲、乙、丙、丁四个组，甲组最多 $13$ 人，四组人数依次严格减少。（1）丁组最少几人？（2）丁组最多几人？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（求和）：乙+丙+丁 $=40-13=\underline{\quad}$。
第 2 步（(1) 丁最少）：乙、丙尽量大取 $12,11$，丁 $=27-12-11=\underline{\quad}$。
第 3 步（(2) 丁最多）：三数尽量接近且严格递减取乙 $10$、丙 $9$、丁 $=27-10-9=\underline{\quad}$。

第三套

题目：把 $60$ 块糖放入 $A,B,C,D$ 四盒，$A=20$ 且四盒依次严格减少。$D$ 盒最少几块？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（求和）：$B+C+D=60-20=\underline{\quad}$。
第 2 步（D 最少）：$B,C$ 尽量大取 $19,18$，$D=40-19-18=\underline{\quad}$。

第三套

题目：把 $60$ 块巧克力放入 $A,B,C,D,E$ 五盒，$A=16$ 且五盒依次严格减少。$E$ 盒最多几块？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（求和）：$B+C+D+E=60-16=\underline{\quad}$。
第 2 步（E 最多）：四数尽量接近且严格递减、都小于 $16$，取 $B=13,C=12,D=10,E=?$，由和为 $44$ 得 $E=44-13-12-10=\underline{\quad}$。

21. 【原题 ch06-tuozhan-13】$31$ 个同学围成一个圆圈，坐好后发现任何 $2$ 个男生之间至少有 $2$ 个女生。那么最多有多少个男生？

详细思路

是哪类问题：这是「围圈相邻限制最值」题：任两男生间至少 $2$ 个女生，等于每个男生要“带着”后面 $2$ 个女生，$3$ 人一组围排，位置数除以 $3$ 即男生上限。

关键切入点：按“男、女、女”每 $3$ 人一组排，$31\div3=10\cdots1$，前 $30$ 位排 $10$ 男 $20$ 女，第 $31$ 位须是女生（否则与 $1$ 号男生相邻不足 $2$ 女），故男生最多 $10$。

方法概述：“男女女”每 $3$ 人一组，$31\div3=10\cdots1$，取商 $10$。

规范步骤：

每男带 2 女成一组：$1+2=3$（人一组）（相邻间隔约束）
位置数除以 3：$31\div3=10\cdots\cdots1$（带余除法）
余下 1 位补女生：男生最多 $10$ 个（圆周排列）

第一套

题目：$40$ 个同学围成一圈，任何 $2$ 个男生之间至少有 $2$ 个女生。最多有多少个男生？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（每男带 2 女）：$1$ 男 $+2$ 女 $=1+2=\underline{\quad}$ 人一组。
第 2 步（位置数除以 3）：$40\div3=13\cdots\cdots1$，$13$ 组用 $3\times13=\underline{\quad}$ 人，余 $1$ 位补女生。
第 3 步（下结论）：男生最多 $13$ 个。

第二套

题目：$31$ 盏灯围成一圈，要求任何 $2$ 盏亮灯之间至少隔 $2$ 盏暗灯。最多能点亮多少盏？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（每亮灯带 2 暗灯）：$1+2=\underline{\quad}$ 盏一组。
第 2 步（位置数除以 3）：$31\div3=10\cdots\cdots1$，$10$ 组用 $3\times10=\underline{\quad}$ 盏，余 $1$ 盏须暗。
第 3 步（下结论）：最多点亮 $10$ 盏。

第三套

题目：$36$ 个同学围成一圈，任何 $2$ 个男生之间至少有 $2$ 个女生。最多有多少个男生？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（每男带 2 女）：$1+2=\underline{\quad}$ 人一组。
第 2 步（位置数除以 3）：$36\div3=\underline{\quad}$，恰好整除。
第 3 步（下结论）：男生最多 $12$ 个。

第三套

题目：$31$ 个同学围成一圈，任何 $2$ 个男生之间至少有 $3$ 个女生。最多有多少个男生？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（每男带 3 女）：$1$ 男 $+3$ 女 $=1+3=\underline{\quad}$ 人一组。
第 2 步（位置数除以 4）：$31\div4=7\cdots\cdots3$，$7$ 组用 $4\times7=\underline{\quad}$ 人，余 $3$ 位补女生。
第 3 步（下结论）：男生最多 $7$ 个。

22. 【原题 ch06-tuozhan-14】现有 $10$ 把钥匙分别能开 $10$ 把锁，但是不知道哪把钥匙能开哪把锁。那么最少要试验多少次才能保证使全部的钥匙和锁相匹配？

详细思路

是哪类问题：这是「最不利·逐步排除 + 等差求和」题：第 $k$ 把钥匙最坏试到只剩 $1$ 把锁时不用再试，故试验次数依次为 $9,8,\ldots,1$，求和即答案。

关键切入点：第 $1$ 把最多试 $9$ 次（剩最后一把不用试），第 $2$ 把最多 $8$ 次……第 $9$ 把 $1$ 次、第 $10$ 把不用试，共 $9+8+\cdots+1=45$ 次。

方法概述：对每把钥匙取最不利次数 $9,8,\ldots,1$，等差求和 $45$。

规范步骤：

第 k 把的最不利次数：$第\ 1\ 把\ 9\ 次,第\ 2\ 把\ 8\ 次,\ldots$（逐步排除）
等差数列求和：$9+8+7+\cdots+1=45$（等差数列求和）
作出结论：最少试验 $45$ 次

第一套

题目：现有 $12$ 把钥匙分别能开 $12$ 把锁，不知对应关系。最少试验多少次才能保证全部配对？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（逐把的最不利次数）：第 $1$ 把最多试 $12-1=\underline{\quad}$ 次，第 $2$ 把 $10$ 次……第 $11$ 把 $1$ 次，第 $12$ 把不用试。
第 2 步（等差求和）：$11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=\underline{\quad}$。

第二套

题目：有 $10$ 名同学和 $10$ 个储物柜，每人对应一个柜（关系未知），只能逐个试开。最少试多少次保证全部对上？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（逐人的最不利次数）：第 $1$ 人最多试 $9$ 次（剩最后 $1$ 柜不用试），依次 $9,8,\ldots,1$。
第 2 步（等差求和）：$9+8+7+6+5+4+3+2+1=\underline{\quad}$。

第三套

题目：现有 $8$ 把钥匙分别能开 $8$ 把锁，不知对应关系。最少试验多少次保证全部配对？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（逐把的最不利次数）：第 $1$ 把最多 $7$ 次，依次 $7,6,\ldots,1$。
第 2 步（等差求和）：$7+6+5+4+3+2+1=\underline{\quad}$。

第三套

题目：现有 $20$ 把钥匙分别能开 $20$ 把锁，不知对应关系。用等差数列求和公式求最少试验次数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（逐把的最不利次数）：依次为 $19,18,\ldots,1$，共 $19$ 个数。
第 2 步（求和公式）：首项 $1$、末项 $19$、项数 $19$，和 $=(1+19)\times19\div2=\underline{\quad}$。

23. 【原题 ch06-xingqu-01】学校周末要组织 $4$ 个班的同学去春游，有 $3$ 个地点可供选择：游乐园、植物园和动物园。如果一个班只能去一个地点，试说明：一定有 $2$ 个班要去同一个地点。

详细思路

是哪类问题：这是「抽屉原理·存在性说明」题：把地点当抽屉、班级当苹果，苹果数多于抽屉数，就一定有两个苹果落进同一抽屉。

关键切入点：关键是认出“谁是抽屉、谁是苹果”：$3$ 个地点是 $3$ 个抽屉，$4$ 个班是 $4$ 个苹果。先让每个抽屉各放 $1$ 个（用掉 $3$ 个班），必然剩下 $4-3=1$ 个班无处安放，只能与前面某班挤进同一地点。

方法概述：地点作抽屉、班级作苹果；苹果比抽屉多 $1$，故必有两班同地点。

规范步骤：

认出抽屉数与苹果数：$抽屉=3,\ 苹果=4$（构造抽屉）
每个地点先各放一个班：$4-3=1$（还剩 $1$ 个班）（最不利安排）
剩下的班必与某班同地点：$3+1=4$，第 $4$ 班无新抽屉可去（抽屉原理）
作出结论：一定有 $2$ 个班去同一个地点

第一套

题目：学校组织 $7$ 个班去春游，有 $5$ 个地点可选，每班只去一个地点。试说明：一定有 $2$ 个班去同一个地点。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出抽屉与苹果）：地点是抽屉，共 $5$ 个；班级是苹果，共 $7$ 个。
第 2 步（最不利安排）：先让每个地点各去 $1$ 个班，用掉 $5$ 个班，还剩 $7-5=\underline{\quad}$ 个班。
第 3 步（下结论）：剩下的班无论去哪个地点，都会与某班同地点，故一定有 $2$ 个班去同一个地点。

第二套

题目：$5$ 个兴趣社团共用 $4$ 间活动室，每个社团只用一间。试说明：一定有 $2$ 个社团用同一间活动室。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出抽屉与苹果）：活动室是抽屉，共 $4$ 间；社团是苹果，共 $5$ 个。
第 2 步（最不利安排）：先让每间活动室各排 $1$ 个社团，用掉 $4$ 个，还剩 $5-4=\underline{\quad}$ 个社团。
第 3 步（下结论）：剩下的社团只能与某社团同用一间，故一定有 $2$ 个社团同室。

第三套

题目：有 $10$ 只鸽子飞进 $9$ 个鸽巢。试说明：一定有一个鸽巢里至少有 $2$ 只鸽子。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出抽屉与苹果）：鸽巢是抽屉，共 $9$ 个；鸽子是苹果，共 $10$ 只。
第 2 步（最不利安排）：先让每个巢各飞进 $1$ 只，用掉 $9$ 只，还剩 $10-9=\underline{\quad}$ 只。
第 3 步（下结论）：剩下的鸽子只能飞进已有鸽子的巢，故必有一巢至少 $2$ 只。

第三套

题目：$9$ 个班去 $4$ 个地点春游，每班只去一个地点。试说明：一定有 $3$ 个班去同一个地点。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出抽屉与苹果）：地点是抽屉，共 $4$ 个；班级是苹果，共 $9$ 个。
第 2 步（最不利安排）：要避免 $3$ 班同地，每个地点最多放 $2$ 个班，$4$ 个地点最多放 $4\times2=\underline{\quad}$ 个班。
第 3 步（比较）：$8$ 个班还不到 $9$ 个班，$8<9$，所以一定有某地点放到第 $\underline{\quad}$ 个班。
第 4 步（下结论）：故一定有 $3$ 个班去同一个地点。

24. 【原题 ch06-xingqu-02】卡莉娅、墨莫和萱萱到小高家玩，小高拿出一些巧克力来招待他们，他们一数，共有 $19$ 块巧克力。如果把这些巧克力分给他们 $3$ 人，试说明：一定有人至少拿到 $7$ 块巧克力，但不一定有人拿到 $8$ 块。

详细思路

是哪类问题：这是「抽屉原理·最少保证量」题：用反证（若人人都不多）算出总量不够，逼出“一定有人至少多少”；再举一个例子说明更大的数不必然出现。

关键切入点：把 $3$ 人看作 $3$ 个抽屉。若每人都不超过 $6$ 块，则最多 $3\times6=18$ 块，不足 $19$ 块，矛盾，故必有人至少 $7$ 块。又 $7,6,6$ 恰好 $19$ 块且无人到 $8$ 块，故 $8$ 块不必然。

方法概述：反证：若人人 $\le6$ 则总数不足；再举例证 $8$ 块不必然。

规范步骤：

假设人人不超过 $6$ 块：$3\times6=18<19$（反证/最不利）
矛盾，必有人至少 $7$ 块：$6+1=7$（抽屉原理）
举例说明 $8$ 块不必然：$7+6+6=19$，无人到 $8$（构造反例）
作出结论：一定有人 $\ge7$ 块，但不必然有人到 $8$ 块

第一套

题目：$27$ 块巧克力分给 $4$ 个人。试说明：一定有人至少拿到 $7$ 块，但不一定有人拿到 $8$ 块。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（反证·人人偏少）：若每人都不超过 $6$ 块，$4$ 人最多 $4\times6=\underline{\quad}$ 块。
第 2 步（比较逼出下界）：$24$ 块不足 $27$ 块，$24<27$，矛盾，所以必有人至少 $6+1=\underline{\quad}$ 块。
第 3 步（举例证上界不必然）：取 $7,7,7,6$，合计 $7+7+7+6=\underline{\quad}$ 块，无人到 $8$ 块，故 $8$ 块不必然。

第二套

题目：$19$ 颗糖分给 $3$ 个小朋友。试说明：一定有人至少分到 $7$ 颗，但不一定有人分到 $8$ 颗。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（反证·人人偏少）：若每人都不超过 $6$ 颗，$3$ 人最多 $3\times6=\underline{\quad}$ 颗。
第 2 步（比较逼出下界）：$18$ 颗不足 $19$ 颗，矛盾，故必有人至少 $6+1=\underline{\quad}$ 颗。
第 3 步（举例证上界不必然）：取 $7,6,6$，合计 $7+6+6=\underline{\quad}$ 颗，无人到 $8$ 颗。

第三套

题目：把 $25$ 个球放进 $3$ 个盒子。试说明：一定有盒子至少放 $9$ 个球，但不一定有盒子放到 $10$ 个。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（反证·盒盒偏少）：若每盒都不超过 $8$ 个，$3$ 盒最多 $3\times8=\underline{\quad}$ 个。
第 2 步（比较逼出下界）：$24$ 个不足 $25$ 个，矛盾，故必有盒至少 $8+1=\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（举例证上界不必然）：取 $9,8,8$，合计 $9+8+8=\underline{\quad}$ 个，无盒到 $10$ 个。

第三套

题目：$58$ 本书分给 $8$ 个书架。试说明：一定有书架至少放 $8$ 本书。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（带余除法看平均）：$58\div8=7\cdots\cdots2$，先让每架各放 $7$ 本用去 $8\times7=\underline{\quad}$ 本。
第 2 步（比较）：$56$ 本不足 $58$ 本，还剩 $58-56=\underline{\quad}$ 本要继续放。
第 3 步（下结论）：剩下的书使某架达到 $7+1=\underline{\quad}$ 本，故必有书架至少 $8$ 本。

25. 【原题 ch06-xingqu-03】一次聚会上，大家发现，有 $40$ 人都是在同一年的 $10$ 月出生的。试说明：他们中一定有 $2$ 个人是在同一天出生的，但不一定有 $3$ 个人在同一天出生。

详细思路

是哪类问题：这是「天数作抽屉·存在性」题：把日期当抽屉、人当苹果；人多于天数则必有两人同一天，而每天至多 $2$ 人的构造又说明 $3$ 人同天不必然。

关键切入点：$10$ 月有 $31$ 天，是 $31$ 个抽屉，$40$ 人是苹果。先让 $31$ 人各占一天，还剩 $40-31=9$ 人只能与人同天，故必有 $2$ 人同天；而 $9$ 天各 $2$ 人、其余各 $1$ 人即可让每天至多 $2$ 人，故 $3$ 人同天不必然。

方法概述：以 $31$ 天为抽屉证两人同天；再构造每天至多 $2$ 人证三人不必然。

规范步骤：

认出抽屉与苹果：$抽屉=31（天），苹果=40（人）$（天数作抽屉）
每天先各占一人：$40-31=9$（还剩 $9$ 人）（最不利安排）
剩下的人必与某人同天：必有 $2$ 人同一天（抽屉原理）
构造每天至多 $2$ 人：$9$ 天各 $2$ 人、其余各 $1$ 人，共 $9\times2+22\times1=40$（构造反例）
作出结论：$2$ 人同天必然，$3$ 人同天不必然

第一套

题目：$50$ 人都在同一年的 $12$ 月（$31$ 天）出生。试说明：一定有 $2$ 人同一天出生，但不一定有 $3$ 人同一天出生。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出抽屉与苹果）：$12$ 月有 $31$ 天是抽屉，$50$ 人是苹果。
第 2 步（最不利安排）：先让 $31$ 人各占一天，还剩 $50-31=\underline{\quad}$ 人，只能与某人同天，故必有 $2$ 人同天。
第 3 步（构造证 3 人不必然）：让 $19$ 天各 $2$ 人、其余 $12$ 天各 $1$ 人，共 $19\times2+12\times1=\underline{\quad}$ 人，每天至多 $2$ 人，故 $3$ 人同天不必然。

第二套

题目：某社团 $40$ 名成员的幸运数字都取自 $1\sim31$。试说明：一定有 $2$ 人幸运数字相同，但不一定有 $3$ 人相同。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出抽屉与苹果）：$1\sim31$ 这 $31$ 个数字是抽屉，$40$ 人是苹果。
第 2 步（最不利安排）：先让 $31$ 人各占一个数字，还剩 $40-31=\underline{\quad}$ 人，必与某人同数字。
第 3 步（构造证 3 人不必然）：$9$ 个数字各 $2$ 人、其余各 $1$ 人，共 $9\times2+22\times1=\underline{\quad}$ 人，每数字至多 $2$ 人。

第三套

题目：$24$ 个人的生日都在同一年里。试说明：一定有 $2$ 人生日在同一个月，但不一定有 $3$ 人在同一个月。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出抽屉与苹果）：一年 $12$ 个月是抽屉，$24$ 人是苹果。
第 2 步（最不利安排）：先让 $12$ 个月各占 $1$ 人用去 $12$ 人，还剩 $24-12=\underline{\quad}$ 人，只能与某人同月，故必有 $2$ 人同月。
第 3 步（构造证 3 人不必然）：让 $12$ 个月各 $2$ 人，共 $12\times2=\underline{\quad}$ 人，每月至多 $2$ 人，故 $3$ 人同月不必然。

第三套

题目：$70$ 人都在同一年的 $12$ 月（$31$ 天）出生。试说明：一定有 $3$ 人在同一天出生。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（要避免 3 人同天，每天最多 2 人）：$31$ 天每天至多 $2$ 人，最多容纳 $31\times2=\underline{\quad}$ 人。
第 2 步（比较）：$62$ 人还不到 $70$ 人，$62<70$，还多出 $70-62=\underline{\quad}$ 人。
第 3 步（下结论）：这些人只能使某天达到 $2+1=\underline{\quad}$ 人，故一定有 $3$ 人同天。

26. 【原题 ch06-xingqu-04】任意 $1830$ 人中，至少有多少人的生日在同一天？

详细思路

是哪类问题：这是「天数作抽屉·平均带余」题：人数除以天数（抽屉数），商即“每天至多几人时不够”，商 $+1$ 就是保证同天的最少人数。

关键切入点：一年最多 $366$ 天，是 $366$ 个抽屉。若每天至多 $4$ 人，则最多 $366\times4=1464<1830$ 人，不够；故必有某天至少 $5$ 人。恰好 $1830\div366=5$。

方法概述：$1830\div366=5$，每天至多 $4$ 人不足，故至少 $5$ 人同天。

规范步骤：

认出抽屉数：$一年最多\ 366\ 天=366\ 个抽屉$（天数作抽屉）
假设每天至多 $4$ 人：$366\times4=1464<1830$（反证/整除）
矛盾，必有某天至少 $5$ 人：$4+1=5$（抽屉原理）
作出结论：至少有 $5$ 人生日在同一天

第一套

题目：任意 $2200$ 人中，至少有多少人的生日在同一天？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出抽屉数）：一年最多 $366$ 天，是 $366$ 个抽屉。
第 2 步（试每天至多 6 人）：若每天至多 $6$ 人，$366$ 天最多 $366\times6=\underline{\quad}$ 人。
第 3 步（比较）：$2196$ 人不足 $2200$ 人，$2196<2200$，说明每天 $6$ 人还不够。
第 4 步（下结论）：故必有某天至少 $6+1=\underline{\quad}$ 人。

第二套

题目：某市图书馆一天接待 $1830$ 位读者，每人任选一个开放时段入馆，全天共 $366$ 个时段。至少有多少位读者在同一时段入馆？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出抽屉数）：$366$ 个时段是 $366$ 个抽屉，$1830$ 位读者是苹果。
第 2 步（试每时段至多 4 人）：若每时段至多 $4$ 人，最多 $366\times4=\underline{\quad}$ 人。
第 3 步（比较下结论）：$1464$ 不足 $1830$，故必有某时段至少 $4+1=\underline{\quad}$ 人。

第三套

题目：任意 $49$ 人中，至少有多少人属于同一个生肖？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出抽屉数）：生肖共 $12$ 种，是 $12$ 个抽屉。
第 2 步（试每种至多 4 人）：若每种生肖至多 $4$ 人，$12$ 种最多 $12\times4=\underline{\quad}$ 人。
第 3 步（比较下结论）：$48$ 不足 $49$，故必有某生肖至少 $4+1=\underline{\quad}$ 人。

第三套

题目：任意 $3663$ 人中，至少有多少人的生日在同一天？请写出带余除法过程。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（带余除法）：一年最多 $366$ 天，$3663\div366=10\cdots\cdots3$，先验算 $366\times10=\underline{\quad}$。
第 2 步（比较）：$3660$ 不足 $3663$，还多 $3663-3660=\underline{\quad}$ 人。
第 3 步（商加 1）：多出的人使某天达到 $10+1=\underline{\quad}$ 人。

27. 【原题 ch06-xingqu-05】有红、黄、蓝、绿 $4$ 种颜色的小珠子放在同一个口袋里，每种颜色的珠子都足够多。一次至少要取几颗珠子，才能保证其中一定有 $2$ 颗颜色相同？

详细思路

是哪类问题：这是「最不利原则·保证 2 个同类」题：先按“各类各取 1 个”造出最不利局面（还没有两个同类），再补 $1$ 个必成同类。

关键切入点：$4$ 种颜色是 $4$ 个抽屉。最不利是红黄蓝绿各取 $1$ 颗，共 $4$ 颗仍无同色；再取 $1$ 颗必与某色相同，故 $4+1=5$。

方法概述：各色各取 $1$（最不利）再加 $1$：$4+1=5$。

规范步骤：

认出抽屉数：$4\ 种颜色=4\ 个抽屉$（颜色作抽屉）
最不利：各色各取 1 颗：$4\times1=4$（仍无同色）（最不利原则）
再取 1 颗必同色：$4+1=5$（抽屉原理）
作出结论：至少取 $5$ 颗

第一套

题目：口袋里有红、黄、蓝、绿、紫、橙 $6$ 种颜色的珠子，每种都足够多。一次至少要取几颗，才能保证一定有 $2$ 颗颜色相同？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出抽屉数）：$6$ 种颜色是 $6$ 个抽屉。
第 2 步（最不利）：每种颜色各取 $1$ 颗，共 $6\times1=\underline{\quad}$ 颗，仍无 $2$ 颗同色。
第 3 步（再加 1 颗）：再取 $1$ 颗必与某色相同，$6+1=\underline{\quad}$。

第二套

题目：抽屉里混放着红、黄、蓝、绿 $4$ 种颜色的袜子，每种都足够多。闭眼一次至少取几只，才能保证有 $2$ 只颜色相同？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出抽屉数）：$4$ 种颜色是 $4$ 个抽屉。
第 2 步（最不利）：每种颜色各取 $1$ 只，共 $4\times1=\underline{\quad}$ 只，仍无 $2$ 只同色。
第 3 步（再加 1 只）：再取 $1$ 只必同色，$4+1=\underline{\quad}$。

第三套

题目：有 $5$ 个格子，把球随意放入格子（每格容量够大）。至少放几个球，才能保证有 $2$ 个球在同一格？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出抽屉数）：$5$ 个格子是 $5$ 个抽屉。
第 2 步（最不利）：每格各放 $1$ 个，共 $5\times1=\underline{\quad}$ 个，仍无同格两球。
第 3 步（再加 1 个）：再放 $1$ 个必与某格重合，$5+1=\underline{\quad}$。

第三套

题目：红、黄、蓝、绿 $4$ 种颜色的珠子各足够多。一次至少取几颗，才能保证有 $3$ 颗颜色相同？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出抽屉数）：$4$ 种颜色是 $4$ 个抽屉。
第 2 步（更深的最不利）：要避免 $3$ 颗同色，每种颜色最多取 $2$ 颗，共 $4\times2=\underline{\quad}$ 颗仍无 $3$ 颗同色。
第 3 步（再加 1 颗）：再取 $1$ 颗必使某色到 $3$ 颗，$8+1=\underline{\quad}$。

28. 【原题 ch06-xingqu-06】某校的小学生中，年龄最小的 $6$ 岁，最大的 $13$ 岁。从这个学校中至少选几个学生，才能保证其中一定有 $3$ 个学生的年龄相同？

详细思路

是哪类问题：这是「最不利原则·保证 3 个同类」题：每类先放满 $2$ 个（还不到 3 个）造最不利，再加 $1$ 个必成 3 个同类。

关键切入点：年龄 $6\sim13$ 岁共 $8$ 种，是 $8$ 个抽屉。最不利是每种年龄恰 $2$ 人，共 $8\times2=16$ 人仍无 3 人同龄；再选 $1$ 人必成，故 $16+1=17$。

方法概述：$8$ 种年龄各放 $2$ 人（最不利）再加 $1$：$8\times2+1=17$。

规范步骤：

认出抽屉数：$6\sim13\ 岁共\ 8\ 种=8\ 个抽屉$（年龄作抽屉）
最不利：每种年龄 2 人：$8\times2=16$（仍无 3 人同龄）（最不利原则）
再选 1 人必成 3 同龄：$16+1=17$（抽屉原理）
作出结论：至少选 $17$ 人

第一套

题目：某校学生年龄最小 $6$ 岁、最大 $16$ 岁。至少选几个学生，才能保证有 $3$ 个学生年龄相同？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出抽屉数）：$6\sim16$ 岁共有 $16-6+1=\underline{\quad}$ 种年龄，是抽屉。
第 2 步（最不利）：每种年龄恰 $2$ 人，共 $11\times2=\underline{\quad}$ 人仍无 $3$ 人同龄。
第 3 步（再加 1 人）：再选 $1$ 人必成 $3$ 人同龄，$22+1=\underline{\quad}$。

第二套

题目：一次测验的分数只能是 $6,7,8,\ldots,13$ 分共 $8$ 个整数值。至少要收多少份卷子，才能保证有 $3$ 份分数相同？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出抽屉数）：$8$ 个可能分值是 $8$ 个抽屉。
第 2 步（最不利）：每个分值恰 $2$ 份，共 $8\times2=\underline{\quad}$ 份仍无 $3$ 份同分。
第 3 步（再加 1 份）：再收 $1$ 份必成 $3$ 份同分，$16+1=\underline{\quad}$。

第三套

题目：有 $8$ 种颜色的卡片各足够多。一次至少取几张，才能保证有 $3$ 张颜色相同？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出抽屉数）：$8$ 种颜色是 $8$ 个抽屉。
第 2 步（最不利）：每种颜色恰 $2$ 张，共 $8\times2=\underline{\quad}$ 张仍无 $3$ 张同色。
第 3 步（再加 1 张）：再取 $1$ 张必成 $3$ 张同色，$16+1=\underline{\quad}$。

第三套

题目：某校学生年龄 $6\sim13$ 岁共 $8$ 种。至少选几个学生，才能保证有 $4$ 个学生年龄相同？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出抽屉数）：$8$ 种年龄是 $8$ 个抽屉。
第 2 步（更深最不利）：要避免 $4$ 人同龄，每种年龄最多 $3$ 人，共 $8\times3=\underline{\quad}$ 人仍无 $4$ 人同龄。
第 3 步（再加 1 人）：再选 $1$ 人必成 $4$ 人同龄，$24+1=\underline{\quad}$。

29. 【原题 ch06-xingqu-07】有红、黄、蓝、绿 $4$ 种颜色的铅笔各 $10$ 支，拿的时候不许看铅笔的颜色，那么一次至少要拿多少支，才能保证其中一定有 $4$ 支是同一种颜色的铅笔？

详细思路

是哪类问题：这是「最不利原则·保证 4 支同色」题：每色先取 $3$ 支（还不到 4）造最不利，再加 $1$ 支必成 4 支同色。

关键切入点：$4$ 种颜色是 $4$ 个抽屉。最不利每色 $3$ 支共 $4\times3=12$ 支仍无 4 支同色；再取 $1$ 支必成，故 $12+1=13$。

方法概述：每色取 $3$ 支（最不利）再加 $1$：$4\times3+1=13$。

规范步骤：

认出抽屉数：$4\ 种颜色=4\ 个抽屉$（颜色作抽屉）
最不利：每色 3 支：$4\times3=12$（仍无 4 支同色）（最不利原则）
再取 1 支必成：$12+1=13$（抽屉原理）
作出结论：至少取 $13$ 支

第一套

题目：红、黄、蓝、绿、紫 $5$ 种颜色的铅笔各 $10$ 支。一次至少取几支，才能保证有 $5$ 支同色？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出抽屉数）：$5$ 种颜色是 $5$ 个抽屉。
第 2 步（最不利）：每色取 $4$ 支，共 $5\times4=\underline{\quad}$ 支仍无 $5$ 支同色。
第 3 步（再加 1 支）：再取 $1$ 支必成 $5$ 支同色，$20+1=\underline{\quad}$。

第二套

题目：仓库里有红、黄、蓝、绿 $4$ 种颜色的气球各 $10$ 个。闭眼一次至少取几个，才能保证有 $4$ 个颜色相同？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出抽屉数）：$4$ 种颜色是 $4$ 个抽屉。
第 2 步（最不利）：每色取 $3$ 个，共 $4\times3=\underline{\quad}$ 个仍无 $4$ 个同色。
第 3 步（再加 1 个）：再取 $1$ 个必成 $4$ 个同色，$12+1=\underline{\quad}$。

第三套

题目：鱼缸里有 $4$ 个品种的鱼，每种都足够多。至少捞几条，才能保证有 $4$ 条同品种？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出抽屉数）：$4$ 个品种是 $4$ 个抽屉。
第 2 步（最不利）：每品种捞 $3$ 条，共 $4\times3=\underline{\quad}$ 条仍无 $4$ 条同品种。
第 3 步（再加 1 条）：再捞 $1$ 条必成，$12+1=\underline{\quad}$。

第三套

题目：红、黄、蓝、绿 $4$ 种颜色的铅笔各 $10$ 支。一次至少取几支，才能保证有 $6$ 支同色？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出抽屉数）：$4$ 种颜色是 $4$ 个抽屉。
第 2 步（更深最不利）：要避免 $6$ 支同色，每色最多 $5$ 支，共 $4\times5=\underline{\quad}$ 支仍无 $6$ 支同色。
第 3 步（再加 1 支）：再取 $1$ 支必成 $6$ 支同色，$20+1=\underline{\quad}$。

30. 【原题 ch06-xingqu-08】口袋里装有红、黄、蓝、绿 $4$ 种颜色的球，且每种颜色的球都有 $4$ 个。小华闭着眼睛从口袋里往外摸球，那么他至少要摸出多少个球，才能保证摸出的球中每种颜色的球都有？

详细思路

是哪类问题：这是「最不利原则·保证每类都有」题：最坏是把其余几类全部摸空，再摸 $1$ 个才补齐缺的那类。

关键切入点：每色 $4$ 个。最坏先把某 $3$ 种颜色全摸出，共 $3\times4=12$ 个仍缺一色；再摸 $1$ 个必是缺的那色，故 $12+1=13$。

方法概述：先摸尽其余三色（$3\times4=12$）再加 $1$。

规范步骤：

找最不利：最坏先摸尽某 $3$ 色（最不利原则）
摸尽三色：$3\times4=12$（仍缺一色）（计数）
再摸 1 个补齐：$12+1=13$（抽屉原理）
作出结论：至少摸 $13$ 个

第一套

题目：口袋里有红、黄、蓝、绿、紫 $5$ 种颜色的球，每种各 $6$ 个。至少摸几个，才能保证每种颜色都摸到？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（找最不利）：最坏先把某 $4$ 种颜色全摸出。
第 2 步（摸尽四色）：$4\times6=\underline{\quad}$ 个，仍缺第 $5$ 种颜色。
第 3 步（再加 1 个）：再摸 $1$ 个必是缺的那色，$24+1=\underline{\quad}$。

第二套

题目：果盘里有苹果、橘子、香蕉、梨 $4$ 种水果各 $4$ 个。闭眼至少取几个，才能保证每种水果都取到？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（找最不利）：最坏先取尽某 $3$ 种水果。
第 2 步（取尽三种）：$3\times4=\underline{\quad}$ 个，仍缺一种。
第 3 步（再加 1 个）：再取 $1$ 个必补齐，$12+1=\underline{\quad}$。

第三套

题目：口袋里有红、黄、蓝、绿 $4$ 种颜色的球各 $4$ 个。至少摸几个，才能保证摸到的球至少有 $2$ 种颜色？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（找最不利）：最坏是摸到的全是同一种颜色。
第 2 步（取尽一色）：某色只有 $4$ 个，最多摸 $1\times4=\underline{\quad}$ 个都同色。
第 3 步（再加 1 个）：再摸 $1$ 个必是另一种颜色，$4+1=\underline{\quad}$。

第三套

题目：口袋里有红球 $10$ 个、黄球 $8$ 个、蓝球 $5$ 个、绿球 $4$ 个。至少摸几个，才能保证每种颜色都摸到？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（找最不利）：要保证每色都有，最坏先摸尽数量最多的三色（红、黄、蓝）。
第 2 步（摸尽三色）：$10+8+5=\underline{\quad}$ 个，仍缺绿色。
第 3 步（再加 1 个）：再摸 $1$ 个必是绿色，$23+1=\underline{\quad}$。

31. 【原题 ch06-xingqu-09】一副扑克牌共 $54$ 张，其中有 $2$ 张王牌，还有黑桃、红桃、草花和方块 $4$ 种花色的牌各 $13$ 张。那么：（1）至少从中摸出多少张牌，才能保证在摸出的牌中有黑桃？（2）至少从中摸出多少张牌，才能保证至少有 $3$ 张牌是红桃？（3）至少从中摸出多少张牌，才能保证有 $5$ 张牌是同一花色的？

详细思路

是哪类问题：这是「扑克牌·最不利原则」题：$2$ 张王牌是与花色无关的“干扰项”，最不利时要先摸尽所有不利牌（含王牌），再加 $1$ 张达标。

关键切入点：（1）先摸尽非黑桃 $2+13\times3=41$ 张，再 $1$ 张必黑桃，共 $42$；（2）先摸 $2$ 张红桃与 $41$ 张非红桃共 $43$，再 $1$ 张必红桃，共 $44$；（3）每花色各 $4$ 张加 $2$ 王牌共 $18$，再 $1$ 张必成 $5$ 张同花色，共 $19$。

方法概述：先取尽不利牌（含王牌），再加 $1$ 张。

规范步骤：

(1) 摸尽非黑桃：$2+13\times3=41$，再 $+1=42$（最不利原则）
(2) 摸 2 红桃+41 非红桃：$2+41=43$，再 $+1=44$（最不利原则）
(3) 每花色 4 张+2 王牌：$4\times4+2=18$，再 $+1=19$（最不利原则）
作出结论：$(1)42;\ (2)44;\ (3)19$

第一套

题目：一副扑克牌 $54$ 张（$2$ 王 + 四花色各 $13$）。（1）至少摸几张保证有草花？（2）至少摸几张保证有 $4$ 张方块？（3）至少摸几张保证有 $7$ 张同花色？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（(1) 保证有草花）：先摸尽非草花，即 $2$ 王加另三花色 $2+13\times3=\underline{\quad}$ 张，再 $+1=\underline{\quad}$。
第 2 步（(2) 保证 4 张方块）：先摸 $3$ 张方块与全部 $41$ 张非方块，$3+41=\underline{\quad}$ 张，再 $+1=\underline{\quad}$。
第 3 步（(3) 保证 7 张同花色）：每花色各 $6$ 张加 $2$ 王，$4\times6+2=\underline{\quad}$ 张，再 $+1=\underline{\quad}$。

第二套

题目：抽奖箱里有 $2$ 张“谢谢参与”卡和红、橙、黄、绿 $4$ 种颜色的奖券各 $13$ 张。（1）至少抽几张保证有红券？（2）至少抽几张保证有 $5$ 张同色券？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（(1) 保证有红券）：先抽尽非红，即 $2$ 张空卡加另三色 $2+13\times3=\underline{\quad}$ 张，再 $+1=\underline{\quad}$。
第 2 步（(2) 保证 5 张同色）：每色各 $4$ 张加 $2$ 张空卡，$4\times4+2=\underline{\quad}$ 张，再 $+1=\underline{\quad}$。

第三套

题目：一副扑克牌 $54$ 张（$2$ 王 + 四花色各 $13$）。至少摸几张，才能保证有 $2$ 张同花色？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（找最不利）：先摸 $2$ 张王牌，再每花色各摸 $1$ 张，共 $2+4\times1=\underline{\quad}$ 张仍无 $2$ 张同花色。
第 2 步（再加 1 张）：再摸 $1$ 张必与某花色相同，$6+1=\underline{\quad}$。

第三套

题目：一副扑克牌 $54$ 张（$2$ 王 + 四花色各 $13$）。至少摸几张，才能保证摸出的牌里既有 $3$ 张红桃、又有 $1$ 张黑桃？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（最坏局面一·没有黑桃）：先摸 $2$ 王 + 全部红桃 $13$ + 全部草花 $13$ + 全部方块 $13$，共 $2+13\times3=\underline{\quad}$ 张，此时红桃够但一张黑桃也没有。
第 2 步（最坏局面二·红桃不足 3 张）：先摸 $2$ 张红桃 + 全部黑桃 $13$ + 全部草花 $13$ + 全部方块 $13$ + $2$ 王，共 $2+13+13+13+2=\underline{\quad}$ 张，此时黑桃够但红桃只有 $2$ 张。
第 3 步（取更坏者再加 1 张）：$43>41$，最坏是第二种局面的 $43$ 张，再摸 $1$ 张必是红桃，凑齐 $3$ 张红桃且黑桃已有，共 $43+1=\underline{\quad}$。

32. 【原题 ch06-xingqu-10】圆桌周围恰好有 $12$ 把椅子，现在已经有一些人在桌边就座。当再有一人入座时，就必须和已就座的某个人相邻。问：已就座的最少有多少人？

详细思路

是哪类问题：这是「圆周·最少覆盖（支配）」题：要让任何新来者都必与某人相邻，等价于每把空椅子都紧挨着一位已坐的人；一个人最多“管住”自己和两侧共 $3$ 把椅子。

关键切入点：$12$ 把椅子每 $3$ 把由 $1$ 人管住（本人 + 两侧各 $1$），$12\div3=4$，故已坐 $4$ 人即可让任意第 $5$ 人都与某人相邻。

方法概述：每人管 $3$ 把椅子，$12\div3=4$。

规范步骤：

一人管住 3 把椅子：$自己+两侧=1+2=3$（覆盖分析）
整圈需要的人数：$12\div3=4$（圆周等分）
作出结论：已就座最少 $4$ 人

第一套

题目：圆桌周围有 $18$ 把椅子，已有一些人就座。当再有一人入座时必须与某人相邻。已就座的最少有多少人？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（一人管几把椅子）：每人管住自己和两侧，共 $1+2=\underline{\quad}$ 把椅子。
第 2 步（整圈人数）：$18\div3=\underline{\quad}$，故最少 $6$ 人。

第二套

题目：环形跑道旁均匀分布 $12$ 个补给点，要在其中一些设志愿者，使每个补给点要么有志愿者、要么与有志愿者的点相邻。最少要几名志愿者？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（一人管几个点）：每名志愿者管住自己和相邻两个点，共 $1+2=\underline{\quad}$ 个。
第 2 步（整圈人数）：$12\div3=\underline{\quad}$，故最少 $4$ 名。

第三套

题目：一排 $15$ 个座位，已有一些人就座，要使任何新来者都必与某人相邻或就座处两侧被占，按每人管住自己和两侧 $3$ 个座位估算，最少要几人？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（一人管几个座位）：每人管住自己和两侧，共 $1+2=\underline{\quad}$ 个。
第 2 步（整排人数）：$15\div3=\underline{\quad}$，故最少 $5$ 人。

第三套

题目：圆桌周围有 $20$ 把椅子，已有一些人就座。当再有一人入座时必须与某人相邻。已就座的最少有多少人？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（一人管几把椅子）：每人管住自己和两侧，共 $1+2=\underline{\quad}$ 把。
第 2 步（不整除·向上取整）：$20\div3=6\cdots\cdots2$，$6$ 人只能管 $6\times3=\underline{\quad}$ 把，还差 $20-18=\underline{\quad}$ 把没管住。
第 3 步（下结论）：需再加 $1$ 人，$6+1=\underline{\quad}$ 人。

竞赛数学 · 四年级第6讲《抽屉原理一》举一反三练习卷

附录 · 答案

竞赛数学 · 四年级 第6讲《抽屉原理一》举一反三练习卷

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竞赛数学 · 四年级第6讲《抽屉原理一》举一反三练习卷