竞赛数学 · 四年级 第9讲《还原问题与年龄问题》举一反三练习卷

详细解题思路 + 规范步骤 + 三套填空变式（换数字 / 换场景 / 增加知识点）· 答案见文末附录
1. 【原题 ch09-chaoyue-01】口渴的三个和尚分别揣着一个水罐。最初，三个和尚的水各不相同，并且有一个和尚没有水喝。这一天，老和尚把自己水罐里的水平均分给了大、小两个和尚；接着，大和尚又把自己水罐里的水全部平均分给了老、小两个和尚；最后，小和尚把自己水罐里的水全部平均分给另外两个和尚。这样，三人轮流谦让了一阵，结果太阳落山时，老和尚的水罐里有 $10$ 升水、小和尚的水罐里则装有 $20$ 升水。问：最初大和尚的水罐里有多少升水？
详细思路
是哪类问题：这是「还原（逆推）问题·总量不变」：每次某人把自己罐中的水全部平均分给另外两人（自己清零，另两人各得其一半）。总水量不变，由末态老 $10$、小 $20$（大和尚刚分完为 $0$）倒推。
关键切入点：总量 $10+20=30$ 不变。刚分水的人清零：末态大和尚 $=0$。倒推“大分水”：大分给老、小各 $x$ 使老从 $0$ 变 $10$，故 $x=10$、大分水前有 $10\times2=20$，此时小 $20-10=10$、老 $0$。倒推“老分水”：老分给大小各 $10$，老分水前老 $=20$、大 $=20-10=10$、小 $=0$。故大和尚最初 $10$ 升。
方法概述：抓住总量不变，把每次“全部平分”逆推为“分水者复原、另两人各减去所得一半”。
规范步骤：
  1. 末态与总量：老 $10$、大 $0$、小 $20$，总 $10+20=30$（大刚分完为 0）
  2. 倒推大分水：大分水前 $=10\times2=20$，小 $20-10=10$，老 $0$（老从 0 得 10，故大给出 20）
  3. 倒推老分水（原有）：老分水前老 $=20$，大 $=20-10=10$，小 $=0$（老给大小各 10）
  4. 正推验证：$(20,10,0)\to(0,20,10)\to(10,0,20)$（回代成立，且最初小和尚无水）
2. 【原题 ch09-chaoyue-02】甲和乙各有若干块糖，甲的糖数比乙多。每次操作是由糖多的人给糖少的人一些糖，使糖少的人的糖数翻倍。如此经过 $2005$ 次这样的操作以后，甲有 $10$ 块糖、乙有 $8$ 块糖。请问：两个人原来分别有多少块糖？
详细思路
是哪类问题：这是「还原问题·总数不变 + 周期规律」：每次糖多者给糖少者使少者翻倍，总数 $10+8=18$ 不变。该操作以 $6$ 次为周期，$2005=6\times334+1$，故用周期把 $2005$ 步逆推化为逆推 $1$ 步。题库标注甲 $5$、乙 $13$ 有误（且违背“甲比乙多”前提），正确应为甲 $14$、乙 $4$。
关键切入点：从任一状态迭代可得 $6$-循环：$(14,4)\to(10,8)\to(2,16)\to(4,14)\to(8,10)\to(16,2)\to(14,4)$。因 $2005\equiv1\pmod6$，末态 $(10,8)$ 是原态经 $1$ 次操作所得，故原态是 $(10,8)$ 的前一环 $(14,4)$，满足“甲比乙多”。
方法概述：由总数不变 + 操作 6 次一循环，用 $2005\equiv1\pmod6$ 逆推一步。
规范步骤：
  1. 总数不变：$10+8=18$（每次给糖总数不变）
  2. 求周期：$2005=6\times334+1$（操作 6 次一循环）
  3. 逆推一步（原态）：$(14,4)\to(10,8)$：乙 $4\times2=8$、甲 $14-4=10$（原态经 1 次得末态）
  4. 验前提：甲 $14>$ 乙 $4$（满足“甲比乙多”，题库 5、13 有误）
3. 【原题 ch09-chaoyue-03】哥哥对弟弟说：“你长到我这么大的时候，我正好获得博士学位；我在你这么大的时候，你才刚刚上幼儿园。”已知哥哥和弟弟现在的年龄和为 $32$ 岁，哥哥获得博士学位的年龄是弟弟上幼儿园那年年龄的 $7$ 倍，求哥哥获得博士学位的年龄。
详细思路
是哪类问题：这是「年龄问题·年龄差不变 + 份数法」：把“弟弟上幼儿园那年年龄”设 $1$ 份、“哥哥获博士学位年龄”设 $7$ 份，两段之间跨 $3$ 个相等年龄差，结合年龄和 $32$ 求解。
关键切入点：设年龄差 $d$。弟幼儿园（$d$ 年前）$=$ 弟今 $-d$，哥博士（$d$ 年后）$=$ 弟今 $+2d$。由“弟幼儿园→哥博士”跨 $3$ 个年龄差且哥博士 $=7\times$ 弟幼儿园，得 $d=2$ 份、弟今 $3$ 份、哥今 $5$ 份。和 $3+5=8$ 份 $=32$，$1$ 份 $=4$，哥博士 $=7\times4=28$。
方法概述：把幼儿园那年年龄设 1 份，用线段图跨 3 个年龄差 + 年龄和求每份。
规范步骤：
  1. 份数关系：幼儿园 $1$ 份、博士 $7$ 份，$7-1=6$ 份 $=3$ 个年龄差（跨 3 个年龄差）
  2. 每个年龄差份数：$(7-1)\div3=2$（份）（6 份分 3 段）
  3. 今龄份数与每份：弟今 $1+2=3$、哥今 $3+2=5$，$(3+5)$ 份 $=32\Rightarrow1$ 份 $=4$（年龄和 32）
  4. 求博士年龄：$7\times4=28$（7 份）
  5. 验证：哥 $20$、弟 $12$，差 $8$；博士 $20+8=28=7\times4$（回代成立）
4. 【原题 ch09-chaoyue-04】小明跟爷爷聊天，爷爷对小明说：“当我的岁数是你爸爸现在的岁数时，你才 $5$ 岁；”小明对爷爷说：“当我的岁数是您现在的岁数时，我爸都 $89$ 岁了。”请问：小明的爸爸今年多少岁？
详细思路
是哪类问题：这是「年龄问题·多人年龄差不变」：小明 $M$、爸爸 $F$、爷爷 $G$，两两年龄差不变。两句话给出两个线性关系，直接相加即得爸爸年龄，无需假设两代年龄差相等。
关键切入点：爷爷说“当爷爷 $=$ 爸爸现龄 $F$（即 $G-F$ 年前）时小明 $5$ 岁”：$M-(G-F)=5$，即 $F+M-G=5$。小明说“当小明 $=$ 爷爷现龄 $G$（即 $G-M$ 年后）时爸爸 $89$ 岁”：$F+(G-M)=89$，即 $F+G-M=89$。两式相加：$2F=94$，$F=47$。
方法概述：把两句话写成两个含 F、M、G 的等式，相加消去 M、G 求 F。
规范步骤：
  1. 爷爷那句列式：$M-(G-F)=5\Rightarrow F+M-G=5$（$G-F$ 年前小明 5 岁）
  2. 小明那句列式：$F+(G-M)=89\Rightarrow F+G-M=89$（$G-M$ 年后爸爸 89 岁）
  3. 两式相加：$(F+M-G)+(F+G-M)=5+89$（消去 M、G）
  4. 求爸爸：$2F=94\Rightarrow F=47$（解出）
5. 【原题 ch09-chaoyue-05】$1996$ 年时，父母的年龄之和是 $78$ 岁，兄弟二人的年龄之和是 $17$ 岁；$4$ 年后，父亲年龄是弟弟年龄的 $4$ 倍，母亲年龄是哥哥年龄的 $3$ 倍。试问：当父亲年龄是哥哥年龄的 $3$ 倍时是公元多少年？
详细思路
是哪类问题：这是「年龄问题·和倍 + 年龄差不变」：先把 $1996$ 年的两个和推到 $4$ 年后（$2000$ 年），用两个倍数关系解出各人年龄，再用父与哥年龄差不变求“父是哥 $3$ 倍”的年份。
关键切入点：$2000$ 年父母和 $=78+4\times2=86$、兄弟和 $=17+4\times2=25$。由父 $=4$ 弟、母 $=3$ 哥及两和：$4$ 弟 $+3$ 哥 $=86$、弟 $+$ 哥 $=25$，解得哥 $14$、弟 $11$，父 $44$、母 $42$。父哥差 $44-14=30$。父是哥 $3$ 倍时差是哥的 $2$ 倍，哥 $=30\div2=15$，比 $2000$ 年大 $1$ 岁，即 $2001$ 年。
方法概述：先推 4 年后两和并解各龄，再用父哥年龄差 30 按差倍定 3 倍年份。
规范步骤：
  1. 推到 2000 年两和：父母和 $78+8=86$，兄弟和 $17+8=25$（各 +4×2）
  2. 解各人年龄：$4弟+3哥=86,\ 弟+哥=25\Rightarrow$ 哥 $14$、弟 $11$（代入消元）
  3. 求父、母与差：父 $4\times11=44$、母 $3\times14=42$，父哥差 $44-14=30$（回代）
  4. 定 3 倍年份：哥 $=30\div(3-1)=15$，$2000+(15-14)=2001$（差倍 + 定年）
6. 【原题 ch09-chaoyue-06】全家四口人，父亲比母亲大 $3$ 岁，姐姐比弟弟大 $2$ 岁，$4$ 年前全家人的年龄之和是 $58$ 岁，而现在是 $73$ 岁。问：现在各人的年龄分别是多少岁？
详细思路
是哪类问题：这是「年龄问题·年龄和增长 + 和差」：四口人本应 $4$ 年增 $16$ 岁，实际只增 $73-58=15$ 岁，少 $1$ 岁说明弟弟这 $4$ 年内才出生，据此定弟龄，再用和差求父母。
关键切入点：$4$ 年四人本应增 $4\times4=16$，实际增 $73-58=15$，少 $1$，故弟弟 $4$ 年内出生、今 $4-1=3$ 岁，姐 $3+2=5$。父母和 $73-3-5=65$，父比母大 $3$，父 $=(65+3)\div2=34$、母 $=(65-3)\div2=31$。
方法概述：由年龄和增长比 16 少判断弟弟 4 年内出生，再用和差求父母。
规范步骤：
  1. 应增与实增：应增 $4\times4=16$，实增 $73-58=15$（四口人 4 年）
  2. 定弟弟、姐姐年龄：少 $16-15=1$，弟今 $4-1=3$，姐 $3+2=5$（弟弟 4 年内出生）
  3. 父母和：$73-3-5=65$（总和减子女）
  4. 和差求父母：父 $(65+3)\div2=34$，母 $(65-3)\div2=31$（父比母大 3）
7. 【原题 ch09-chaoyue-07】老师在黑板上写了三个不同的整数，小明每次先擦掉第一个数，然后在最后写上另一个数（这个数等于擦掉的数加上 $159$），如果这样做了 $7$ 次，这时黑板上三个数的和为 $159$。如果开始时老师在黑板上写的三个数之和为 $2008$，且所有写过的数都是整数。请问：开始时老师在黑板上写的第一个数是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「还原问题·和的变化」：每次擦掉第一个数 $x$、在末尾写上 $x+159$，一擦一写使三数之和恰好增加 $159$。由此推出 $7$ 次操作后和应为 $2008+7\times159=3121$，与题面‘$7$ 次后和为 $159$’直接矛盾；而且仅凭‘三数之和’这一个量根本无法唯一确定被擦去的第一个数。故题面数据有损、无严格解，保留题库答案 $1860$ 并给出完整推理。
关键切入点：设初始三数为 $a,b,c$。每操作一次都是‘去掉一个 $x$、补上一个 $x+159$’，和的净变化恒为 $+159$，与被擦的是谁无关，故 $7$ 次后和 $=2008+7\times159=3121\ne159$，题述矛盾；又因为三数之和这一条件不含‘顺序/首数’信息，第一个数 $a$ 不被唯一确定，无法严格解出，保留题库答案 $1860$。
方法概述：抓住每操作和恒增 159，正向算出 7 次后应有的和以证伪题面（题面数据矛盾、且首数不唯一）。
规范步骤：
  1. 每操作和的净变化：擦去 $x$、补上 $x+159$，和变化 $=-x+(x+159)=+159$（与被擦去的数无关，每次恒增 159）
  2. $7$ 次后和（应有）：$2008+7\times159=2008+1113=3121$（初始和 + 7 次各增 159）
  3. 指出矛盾：$3121\ne159$，题面‘$7$ 次后和为 $159$’与‘和每次增 $159$’自相矛盾（数据有损）
  4. 结论：无严格解：三数之和不含首数信息，无法唯一定出第一个数；题面又自相矛盾，故保留题库答案 $1860$（数据矛盾、首数不唯一）
8. 【原题 ch09-chaoyue-08】甲、乙、丙三人现在年龄的和是 $113$ 岁，当乙的岁数是丙的岁数的一半时，甲是 $17$ 岁，请问：乙现在多少岁？
详细思路
是哪类问题：这是「年龄问题·多人年龄差不变 + 线段图」：三人两两年龄差不变。设“乙是丙一半”那一时刻在 $\Delta$ 年前，那时甲 $17$。用现和 $113$ 列式，恰好直接得出乙现在年龄。
关键切入点：设那时刻在 $\Delta$ 年前，那时乙 $=$ 乙${}_s$、丙 $=2$ 乙${}_s$、甲 $=17$。现三人年龄 $=$ 那时 $+\Delta$，和 $113$：$(17+\Delta)+(乙_s+\Delta)+(2乙_s+\Delta)=113$，即 $17+3\Delta+3乙_s=113$，$3(\Delta+乙_s)=96$，$\Delta+乙_s=32$。而乙现在 $=乙_s+\Delta=32$。
方法概述：把某时刻乙、丙设为倍半关系，用现和 113 直接解出乙今年龄。
规范步骤：
  1. 设那时刻年龄：乙 $=乙_s$、丙 $=2乙_s$、甲 $=17$（$\Delta$ 年前）（乙是丙一半）
  2. 现和列式：$(17+\Delta)+(乙_s+\Delta)+(2乙_s+\Delta)=113$（各加 Δ）
  3. 化简：$17+3\Delta+3乙_s=113\Rightarrow \Delta+乙_s=32$（$3(\Delta+乙_s)=96$）
  4. 求乙今年龄：乙今 $=乙_s+\Delta=32$（恰为所求）
9. 【原题 ch09-tuozhan-01】有一个数，把它加上 $37$，再乘以 $18$，减去 $323$，得到的结果用 $23$ 去除，商是 $16$，余数是 $11$。这个数原来是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「还原（逆推）问题·含带余除法」：某数依次 $+37$、$\times18$、$-323$，最后被 $23$ 除得商 $16$ 余 $11$，要倒推还原。
关键切入点：带余除法处倒推要用“商 $\times$ 除数 $+$ 余数”还原被除数：$16\times23+11=379$；其余各步照常用逆运算，从右往左：$379+323=702$，$702\div18=39$，$39-37=2$。
方法概述：从末端倒推，带余除法处用“商乘除数加余数”还原。
规范步骤：
  1. 带余除法还原被除数：$16\times23+11=379$（商×除数+余数）
  2. 倒推 $-323$：$379+323=702$（减的逆是加）
  3. 倒推 $\times18$：$702\div18=39$（乘的逆是除）
  4. 倒推 $+37$：$39-37=2$（加的逆是减）
第一套
题目：有一个数，加上 $52$，再乘以 $19$，再减去 $318$，所得的数用 $24$ 去除，商是 $30$，余数是 $7$。这个数原来是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（带余除法还原）：被 $24$ 除商 $30$ 余 $7$ 的数为 $30\times24+7=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（倒推 $-318$）：$727+318=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（倒推 $\times19$）：$1045\div19=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（倒推 $+52$）：$55-52=\underline{\quad}$。
第二套
题目：小马虎算一道题：先给某数加 $37$，再乘 $18$，再减 $323$，最后除以 $23$，结果商 $16$ 余 $11$。请帮他还原出这个数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（带余除法还原）：被 $23$ 除商 $16$ 余 $11$ 的数为 $16\times23+11=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（倒推 $-323$）：$379+323=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（倒推 $\times18$）：$702\div18=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（倒推 $+37$）：$39-37=\underline{\quad}$。
第三套
题目：某数加 $40$，再乘 $12$，再减 $215$，所得的数用 $18$ 去除，商 $18$ 余 $1$。求这个数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（带余除法还原）：$18\times18+1=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（倒推 $-215$）：$325+215=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（倒推 $\times12$）：$540\div12=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（倒推 $+40$）：$45-40=\underline{\quad}$。
第三套
题目：某数加 $38$，再乘 $16$，再减去 $(100+40)$，所得的数用 $27$ 去除，商 $18$ 余 $14$。求这个数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先算括号）：$100+40=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（带余除法还原）：$18\times27+14=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（倒推 $-140$）：$500+140=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（倒推 $\times16$）：$640\div16=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（倒推 $+38$）：$40-38=\underline{\quad}$。
10. 【原题 ch09-tuozhan-02】果园里有一棵桃树。有一天，$3$ 只猴子来摘桃子吃，第一只猴子吃了一个桃子并摘下了剩下桃子的一半，第二只猴子又吃了一个桃子并摘下了剩下桃子的一半，第三只猴子还是吃了一个桃子并摘下了剩下桃子的一半，这时树上刚好还剩有 $4$ 个桃子。原来树上一共有多少个桃子？
详细思路
是哪类问题：这是「还原（逆推）问题」：每只猴子对树上的桃“先吃掉 $1$ 个、再把剩下的摘走一半（树上留另一半）”，已知末态倒推初值。题库标注 $49$，但按题目条件（吃 $1$ 再留一半）正确应为 $39$：设某猴前树上 $x$ 个，吃 $1$ 剩 $x-1$，摘走一半后树上留 $(x-1)\div2$，故逆推为 $x=2\times(\text{后})+1$，$49$ 正推第二只时会出现半个桃，不自洽。
关键切入点：正向每只猴使树上桃变为 $(x-1)\div2$，逆推即“先乘 $2$ 再加 $1$”。从末态 $4$ 个出发倒推三次：$4\to9\to19\to39$。正推验证 $39\to19\to9\to4$ 完全成立。
方法概述：从末态 4 个出发，每只猴“吃 1 摘一半”逆推为“×2 后 +1”。
规范步骤：
  1. 倒推第三只猴（末态 $4$）：$2\times4+1=9$（留一半的逆是×2，吃1的逆是+1）
  2. 倒推第二只猴：$2\times9+1=19$（同法逆推）
  3. 倒推第一只猴（原有）：$2\times19+1=39$（同法逆推）
  4. 正推验证：$(39-1)\div2=19,\ (19-1)\div2=9,\ (9-1)\div2=4$（回代成立）
11. 【原题 ch09-tuozhan-03】地上有 $26$ 块砖，兄弟二人争着去挑，弟弟抢在前面，刚挑起一些，哥哥赶到了，抢了剩下的砖。哥哥看弟弟挑得太多，就从弟弟那儿抢走一半。弟弟不肯，又从哥哥那儿抢走一半。哥哥只好再给弟弟 $5$ 块；这时哥哥比弟弟多挑 $2$ 块砖。问：最初弟弟准备挑多少块砖？
详细思路
是哪类问题：这是「还原问题·总数不变 + 和差 + 列表倒推」：砖总数 $26$ 不变。把抢砖过程正向写出会发现：无论弟弟最初挑 $d$ 块，走完‘哥抢弟一半→弟抢哥一半→哥给弟 $5$’三步，最后总是哥哥比弟弟**少** $10+\dfrac d2$ 块（恒为正的一个数），根本不可能出现题面所说的‘哥哥比弟弟多 $2$ 块’。可见题面数据自相矛盾，无严格解，保留题库答案 $16$ 并给出完整的正向分析与标准框架。
关键切入点：设弟弟最初挑 $d$ 块、哥哥抢下其余 $26-d$ 块。按流程正向逐步计算两人的砖数，最后比较哥、弟之差，得哥比弟少 $10+\dfrac d2$ 块，对任意 $d>0$ 恒成立，与‘哥多 $2$’矛盾；若数据自洽，标准解法应由末态和差（和 $26$、差 $2$）定出哥 $14$、弟 $12$，再按抢砖步骤列表倒推。
方法概述：正向逐步算出末态之差以证伪题面；标准框架则由末态和差 + 列表倒推（题面数据矛盾）。
规范步骤：
  1. 设弟准备挑 $d$ 块，哥哥抢下其余：弟 $=d$，哥 $=26-d$（总数 26 不变）
  2. 哥哥从弟弟处抢走一半：弟 $=\dfrac d2$，哥 $=26-\dfrac d2$（弟少一半、总数不变）
  3. 弟弟再从哥哥处抢走一半：哥 $=\dfrac{26-\frac d2}{2}=13-\dfrac d4$，弟 $=26-\left(13-\dfrac d4\right)=13+\dfrac d4$（哥少一半、总数不变）
  4. 哥哥再给弟弟 $5$ 块：哥 $=13-\dfrac d4-5=8-\dfrac d4$，弟 $=13+\dfrac d4+5=18+\dfrac d4$（各增减 5）
  5. 比较末态两人之差：哥 $-$ 弟 $=\left(8-\dfrac d4\right)-\left(18+\dfrac d4\right)=-10-\dfrac d2<0$（对任意 $d>0$ 恒为负）
  6. 结论：题面数据矛盾：‘哥比弟多 $2$’要求差为正 $+2$，与恒为负矛盾；如以题库答案 $d=16$ 代入验证，末态哥 $4$、弟 $22$，差 $=-18$，确不为 $+2$。保留题库答案 $16$（数据有损，无严格解）
12. 【原题 ch09-tuozhan-04】某人发现了一条魔道，魔道内有一个存钱的小箱子。当他从魔道走过去的时候，箱子里的一些钱会飞到某人的身上，使他身上的钱增加 $1$ 倍；当他从魔道走回来时，他身上的钱会飞到箱子里，使箱子里的钱增加 $1$ 倍。这人一连走了 $3$ 个来回后，箱子里的钱和他身上的钱都是 $64$ 枚一元的硬币。那么原来这人身上有多少元？箱子里有多少元？
详细思路
是哪类问题：这是「还原（逆推）问题·多对象交替翻倍」：走过去（$go$）时箱子的钱使身上翻倍（身上 $\times2$、箱子给出等量）；走回来（$back$）时身上的钱使箱子翻倍（箱子 $\times2$、身上给出等量）。总钱数不变，末态身上、箱子各 $64$。
关键切入点：$3$ 个来回共 $6$ 步：$go,back,go,back,go,back$。逆推时把每步翻倍还原为“翻倍者取一半、另一方补上这一半”。总钱数 $64+64=128$ 恒不变。从末态 $(身64,箱64)$ 倒推六步。
方法概述：对身上、箱子交替翻倍的六步逐步倒推还原。
规范步骤：
  1. 倒推 $back3$（箱翻倍）：箱 $64\div2=32$，身 $64+32=96$（箱翻倍的逆：箱取半、身补回）
  2. 倒推 $go3$（身翻倍）：身 $96\div2=48$，箱 $32+48=80$（身翻倍的逆：身取半、箱补回）
  3. 倒推 $back2$：箱 $80\div2=40$，身 $48+40=88$（同法）
  4. 倒推 $go2$：身 $88\div2=44$，箱 $40+44=84$（同法）
  5. 倒推 $back1$：箱 $84\div2=42$，身 $44+42=86$（同法）
  6. 倒推 $go1$（原有）：身 $86\div2=43$，箱 $42+43=85$（同法，得原始值）
13. 【原题 ch09-tuozhan-05】甲、乙各有糖若干块，每操作一次是由糖多的人给糖少的人一些糖，使得糖少的人的糖数增加一倍。经过三次这样的操作后，甲有 $5$ 块糖，乙有 $12$ 块糖。两个人原来的糖数分别是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「还原问题·总数不变 + 列表倒推」：每次由糖多者给糖少者，使糖少者翻倍，总数 $5+12=17$ 不变。末态甲 $5$、乙 $12$，倒推三次。
关键切入点：逆推时抓“翻倍者（末值为偶）取一半、给糖者补回这一半”。末态甲 $5$（奇）、乙 $12$（偶），可判乙是最后翻倍者：乙倒推 $12\div2=6$、甲补回 $5+6=11$；如此判偶数者为当次翻倍者，逐次倒推。
方法概述：抓住总数 17 不变，每次把末值为偶的翻倍者还原成一半、给糖者补回。
规范步骤：
  1. 倒推第三次（乙翻倍）：乙 $12\div2=6$，甲 $5+6=11$（乙末值偶，是翻倍者）
  2. 倒推第二次（乙翻倍）：乙 $6\div2=3$，甲 $11+3=14$（乙末值偶，是翻倍者）
  3. 倒推第一次（甲翻倍）：甲 $14\div2=7$，乙 $3+7=10$（甲末值偶，是翻倍者）
  4. 正推验证：$(7,10)\to(14,3)\to(11,6)\to(5,12)$（回代成立）
14. 【原题 ch09-tuozhan-06】甲、乙、丙三人的钱数各不相同，甲最多，他拿出一些钱给乙和丙，使乙和丙的钱数都比原来增加了 $2$ 倍，结果乙的钱最多；接着乙拿出一些钱给甲和丙，使他们的钱数都比原来增加了 $2$ 倍，结果丙的钱最多；最后丙又拿出一些钱给甲和乙，使他们的钱数都比原来增加了 $2$ 倍，结果三人的钱数一样多。如果他们三人共有 $81$ 元，那么三人原来分别有多少钱？
详细思路
是哪类问题：这是「还原问题·总数不变 + 列表倒推」：每步“增加 $2$ 倍”即变为原来的 $3$ 倍，总数不变，末态三人各 $81\div3=27$ 元，倒推三次（每次把得到 $3$ 倍者还原成三分之一、给钱者补回所给）。
关键切入点：末态各 $27$。逆推第三次（丙给甲乙，甲乙各 $\div3$）：甲 $27\div3=9$、乙 $9$，丙 $=27+(27-9)+(27-9)=63$；同法逆推第二次（乙给）、第一次（甲给）。
方法概述：由总数不变求末态各 27 元，再对每次“他人变 3 倍”逐次倒推。
规范步骤：
  1. 末态各份：$81\div3=27$（总数不变、末态相同）
  2. 倒推第三次（丙给甲乙）：甲乙各 $27\div3=9$，丙 $27+18+18=63$（得3倍者÷3、给者补回所给）
  3. 倒推第二次（乙给甲丙）：甲 $9\div3=3$、丙 $63\div3=21$，乙 $9+6+42=57$（同法：甲丙÷3、乙补回）
  4. 倒推第一次（甲给乙丙）：乙 $57\div3=19$、丙 $21\div3=7$，甲 $3+38+14=55$（同法：乙丙÷3、甲补回）
15. 【原题 ch09-tuozhan-07】今年张明 $15$ 岁，他父亲 $45$ 岁。请问：（1）多少年后，父亲年龄是张明年龄的 $2$ 倍？（2）多少年前，父亲年龄是张明年龄的 $4$ 倍？
详细思路
是哪类问题：这是「年龄问题·年龄差不变」的双问：父子年龄差恒为 $45-15=30$ 岁，两问分别用差倍关系定“几年后”“几年前”。
关键切入点：年龄差不变 $30$。（1）父是子 $2$ 倍时，年龄差等于儿子年龄，那时子 $30$ 岁，是 $30-15=15$ 年后。（2）父是子 $4$ 倍时，年龄差是子的 $4-1=3$ 倍，那时子 $30\div3=10$ 岁，是 $15-10=5$ 年前。
方法概述：用不变的年龄差 30，按差倍关系分别求“几年后”“几年前”。
规范步骤：
  1. 年龄差：$45-15=30$（同增同减不变）
  2. （1）2 倍时子年龄：$30\div(2-1)=30$，$30-15=15$ 年后（差倍）
  3. （2）4 倍时子年龄：$30\div(4-1)=10$，$15-10=5$ 年前（差倍）
第一套
题目：今年张明 $18$ 岁，父亲 $54$ 岁。（1）多少年后父亲年龄是张明的 $2$ 倍？（2）多少年前父亲年龄是张明的 $4$ 倍？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（年龄差）：$54-18=\underline{\quad}$（岁）。
  2. 第 2 步（第 1 问·2 倍）：那时张明年龄等于年龄差 $36$，$36-18=\underline{\quad}$（年后）。
  3. 第 3 步（第 2 问·4 倍）：那时张明 $=36\div(4-1)=\underline{\quad}$（岁），$18-12=\underline{\quad}$（年前）。
第二套
题目：今年女儿 $15$ 岁，妈妈 $45$ 岁。（1）多少年后妈妈年龄是女儿的 $2$ 倍？（2）多少年前妈妈年龄是女儿的 $4$ 倍？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（年龄差）：$45-15=\underline{\quad}$（岁）。
  2. 第 2 步（第 1 问·2 倍）：那时女儿年龄等于年龄差 $30$，$30-15=\underline{\quad}$（年后）。
  3. 第 3 步（第 2 问·4 倍）：那时女儿 $=30\div3=\underline{\quad}$（岁），$15-10=\underline{\quad}$（年前）。
第三套
题目：今年张明 $20$ 岁，父亲 $44$ 岁。（1）多少年后父亲年龄是张明的 $2$ 倍？（2）多少年前父亲年龄是张明的 $3$ 倍？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（年龄差）：$44-20=\underline{\quad}$（岁）。
  2. 第 2 步（第 1 问·2 倍）：那时张明年龄等于年龄差 $24$，$24-20=\underline{\quad}$（年后）。
  3. 第 3 步（第 2 问·3 倍）：那时张明 $=24\div(3-1)=\underline{\quad}$（岁），$20-12=\underline{\quad}$（年前）。
第三套
题目：今年张明 $15$ 岁，父亲 $45$ 岁。（1）多少年后父亲是张明的 $2$ 倍？（2）多少年前父亲是张明的 $4$ 倍？（3）多少年前父亲是张明的 $6$ 倍？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（年龄差）：$45-15=\underline{\quad}$（岁）。
  2. 第 2 步（第 1 问）：$30-15=\underline{\quad}$（年后）。
  3. 第 3 步（第 2 问）：那时张明 $=30\div3=\underline{\quad}$（岁），$15-10=\underline{\quad}$（年前）。
  4. 第 4 步（第 3 问·6 倍）：那时张明 $=30\div(6-1)=\underline{\quad}$（岁），$15-6=\underline{\quad}$（年前）。
16. 【原题 ch09-tuozhan-08】$12$ 年前，父亲的年龄是女儿年龄的 $11$ 倍；今年，父亲的年龄是女儿年龄的 $3$ 倍。请问：多少年后，父亲年龄是女儿年龄的 $2$ 倍？
详细思路
是哪类问题：这是「年龄问题·两个时刻倍数化份数」：$12$ 年前父是女 $11$ 倍、今年父是女 $3$ 倍，用年龄差不变求今龄，再问几年后是 $2$ 倍。
关键切入点：设 $12$ 年前女儿 $1$ 份，则年龄差 $11-1=10$ 份；今年父是女 $3$ 倍，年龄差是今年女儿的 $3-1=2$ 份，故今年女儿 $10\div2=5$ 份。女儿从 $12$ 年前到今年长 $12$ 岁，对应 $5-1=4$ 份，$1$ 份 $=3$ 岁。今年女儿 $15$、父亲 $45$、年龄差 $30$。父是女 $2$ 倍时女儿年龄等于年龄差 $30$，是 $30-15=15$ 年后。
方法概述：把两个时刻倍数化份数求今龄，再用差倍求 2 倍年份。
规范步骤：
  1. 12 年前年龄差份数：$11-1=10$（份）（倍数化份数）
  2. 今年女儿份数：$10\div(3-1)=5$（份）（年龄差不变）
  3. 每份岁数：$12\div(5-1)=3$（长 4 份对应 12 岁）
  4. 今龄与 2 倍年份：女 $15$、父 $45$，差 $30$，$30-15=15$ 年后（回代+差倍）
第一套
题目：$15$ 年前，父亲的年龄是女儿的 $13$ 倍；今年，父亲的年龄是女儿的 $3$ 倍。问：多少年后父亲年龄是女儿的 $2$ 倍？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（15 年前年龄差份数）：设 $15$ 年前女儿 $1$ 份，年龄差 $=13-1=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（今年女儿份数）：今年父是女 $3$ 倍，年龄差 $=3-1=2$ 份，今年女儿 $=12\div2=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（每份岁数）：女儿长 $15$ 岁对应 $6-1=\underline{\quad}$ 份，$1$ 份 $=15\div5=\underline{\quad}$（岁）。
  4. 第 4 步（今龄）：女儿 $=6\times3=\underline{\quad}$（岁），年龄差 $=18\times2=\underline{\quad}$（岁）。
  5. 第 5 步（2 倍年份）：$36-18=\underline{\quad}$（年后）。
第二套
题目：$12$ 年前，爷爷的年龄是孙子的 $11$ 倍；今年，爷爷的年龄是孙子的 $3$ 倍。多少年后爷爷年龄是孙子的 $2$ 倍？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（12 年前年龄差份数）：设 $12$ 年前孙子 $1$ 份，年龄差 $=11-1=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（今年孙子份数）：年龄差 $=3-1=2$ 份，今年孙子 $=10\div2=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（每份岁数）：孙子长 $12$ 岁对应 $5-1=\underline{\quad}$ 份，$1$ 份 $=12\div4=\underline{\quad}$（岁）。
  4. 第 4 步（今龄）：孙子 $=5\times3=\underline{\quad}$（岁），年龄差 $=15\times2=\underline{\quad}$（岁）。
  5. 第 5 步（2 倍年份）：$30-15=\underline{\quad}$（年后）。
第三套
题目：$9$ 年前，父亲的年龄是女儿的 $9$ 倍；今年，父亲的年龄是女儿的 $3$ 倍。多少年后父亲年龄是女儿的 $2$ 倍？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（9 年前年龄差份数）：设 $9$ 年前女儿 $1$ 份，年龄差 $=9-1=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（今年女儿份数）：年龄差 $=3-1=2$ 份，今年女儿 $=8\div2=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（每份岁数）：女儿长 $9$ 岁对应 $4-1=\underline{\quad}$ 份，$1$ 份 $=9\div3=\underline{\quad}$（岁）。
  4. 第 4 步（今龄）：女儿 $=4\times3=\underline{\quad}$（岁），年龄差 $=12\times2=\underline{\quad}$（岁）。
  5. 第 5 步（2 倍年份）：$24-12=\underline{\quad}$（年后）。
第三套
题目：$12$ 年前，父亲的年龄是女儿的 $11$ 倍；今年，父亲的年龄是女儿的 $3$ 倍。问：（1）多少年后父亲是女儿的 $2$ 倍？（2）多少年前父亲是女儿的 $6$ 倍？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（12 年前年龄差份数）：$11-1=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（今年女儿份数）：$10\div2=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（每份岁数）：$12\div(5-1)=\underline{\quad}$（岁），今年女儿 $15$、父亲 $45$、年龄差 $30$。
  4. 第 4 步（第 1 问·2 倍）：$30-15=\underline{\quad}$（年后）。
  5. 第 5 步（第 2 问·6 倍）：那时女儿 $=30\div(6-1)=\underline{\quad}$（岁），$15-6=\underline{\quad}$（年前）。
17. 【原题 ch09-tuozhan-09】去年哥哥的年龄是明年兄弟两人年龄和的一半，前年哥哥的年龄是弟弟的 $2$ 倍，求哥哥和弟弟现在的年龄。
详细思路
是哪类问题：这是「年龄问题·年龄差不变 + 两时刻关系联立」：兄弟年龄差不变。由“去年哥哥年龄 $=$ 明年兄弟年龄和的一半”定出年龄差，再由“前年哥哥 $=$ 前年弟弟的 $2$ 倍”定出具体年龄。（题库解答中途误写“年龄差 $2$ 岁”，实际年龄差为 $4$ 岁，但最终答案哥 $10$、弟 $6$ 一致。）
关键切入点：设今哥 $B$、弟 $b$。去年哥 $B-1$，明年兄弟和 $(B+1)+(b+1)=B+b+2$。由 $B-1=(B+b+2)\div2$ 得 $2B-2=B+b+2$，即 $B-b=4$（年龄差 $4$）。前年哥 $=2\times$ 前年弟：$B-2=2(b-2)$，即 $B=2b-2$。联立 $B-b=4$ 得 $b=6$、$B=10$。
方法概述：先由“去年=明年和一半”定年龄差 4，再由“前年 2 倍”定现龄。
规范步骤：
  1. 定年龄差：$B-1=\dfrac{(B+1)+(b+1)}{2}\Rightarrow B-b=4$（去年哥=明年兄弟和的一半）
  2. 前年 2 倍列式：$B-2=2(b-2)\Rightarrow B=2b-2$（前年哥是前年弟 2 倍）
  3. 联立求解：$b+4=2b-2\Rightarrow b=6,\ B=10$（代入年龄差）
  4. 验证：去年哥 $9=\dfrac{11+7}{2}$，前年 $8=2\times4$（两条件均成立）
18. 【原题 ch09-tuozhan-10】今年父亲的年龄是 $48$ 岁，哥哥的年龄是弟弟的 $2$ 倍。当弟弟长到哥哥现在的年龄时，父亲的年龄恰好等于兄弟俩年龄之和。请问：今年哥哥多少岁？
详细思路
是哪类问题：这是「年龄问题·年龄差不变 + 份数法」：设弟今 $1$ 份则哥今 $2$ 份、年龄差 $1$ 份。当弟长到哥现在年龄（长 $1$ 份、经过 $1$ 份年数）时，弟 $2$ 份、哥 $3$ 份，父亲也长 $1$ 份，此时父 $=$ 兄弟和，用父今 $48$ 求每份。
关键切入点：设弟今 $x$，哥今 $2x$，差 $x$。弟长到哥今龄需 $2x-x=x$ 年，那时弟 $2x$、哥 $3x$、父 $48+x$。由父 $=$ 兄弟和：$48+x=2x+3x=5x$，得 $4x=48$，$x=12$，哥今 $2\times12=24$。
方法概述：把弟今年龄设 1 份，用年龄差不变与“父=兄弟和”列式求份。
规范步骤：
  1. 设份并求经过年数：弟今 $x$、哥今 $2x$，弟长到哥今龄需 $2x-x=x$ 年（年龄差 x）
  2. 写出那时三人年龄：弟 $2x$，哥 $3x$，父 $48+x$（各长 x 岁）
  3. 列方程：$48+x=2x+3x=5x$（父=兄弟和）
  4. 求解：$4x=48\Rightarrow x=12$，哥今 $2\times12=24$（解出每份）
19. 【原题 ch09-tuozhan-11】兄弟俩的年龄之和是 $32$ 岁，当哥哥是弟弟现在这么大时，哥哥的年龄是当时弟弟年龄的 $3$ 倍，求哥哥现在的年龄。
详细思路
是哪类问题：这是「年龄问题·年龄差不变 + 差倍 + 年龄和」：兄弟年龄差不变，和为 $32$。“当哥哥是弟弟现在这么大时”是 $d$（年龄差）年前，那时哥 $=$ 弟今，且哥是当时弟的 $3$ 倍，用份数结合年龄和求哥今。
关键切入点：设今哥 $B$、弟 $b$，$B+b=32$，差 $d=B-b$。$d$ 年前哥 $=b$（弟今），那时弟 $=b-d$。由哥 $=3\times$ 当时弟：$b=3(b-d)$，得 $3d=2b$。又 $d=B-b$，代入并用 $B+b=32$，解得 $b=12$、$B=20$。
方法概述：把当时弟设 1 份，用年龄差不变化倍数为份数，结合年龄和求哥今。
规范步骤：
  1. 设份：$d$ 年前弟 $1$ 份，则差 $2$ 份、哥（=弟今）$3$ 份（哥是当时弟 3 倍→差 2 份）
  2. 弟今与哥今份数：弟今 $=1+2=3$ 份，哥今 $=3+2=5$ 份（各加一个年龄差）
  3. 用年龄和求每份：$(3+5)$ 份 $=32\Rightarrow 1$ 份 $=32\div8=4$（和 32）
  4. 求哥今：$5\times4=20$（5 份）
20. 【原题 ch09-tuozhan-12】学生问老师多少岁，老师说：“当我像你这么大时，你刚 $5$ 岁；当你像我这么大时，我已经 $50$ 岁了。”求老师和学生现在的年龄。
详细思路
是哪类问题：这是「年龄问题·年龄差不变 + 线段图」：由“当我像你这么大时你 $5$ 岁”“当你像我这么大时我 $50$ 岁”，从 $5$ 到 $50$ 正好跨过 $3$ 个相等的年龄差。
关键切入点：师生年龄差不变。线段图：学生 $5$ 岁 → 学生现龄 → 老师现龄 → 老师 $50$ 岁，相邻各差一个年龄差，共 $3$ 段。一个年龄差 $=(50-5)\div3=15$，学生现 $5+15=20$、老师现 $20+15=35$。
方法概述：由 5 岁到 50 岁跨 3 个年龄差求出差，再推现龄。
规范步骤：
  1. 一个年龄差：$(50-5)\div3=15$（跨 3 个相等年龄差）
  2. 学生现龄：$5+15=20$（加一个年龄差）
  3. 老师现龄：$20+15=35$（再加一个年龄差）
21. 【原题 ch09-tuozhan-13】有老师和甲、乙、丙三个学生，现在老师年龄恰为三个学生年龄之和；$9$ 年后，老师年龄为甲、乙两学生年龄之和；又过了 $3$ 年，老师年龄为甲、丙两学生年龄之和；再过 $3$ 年，老师年龄为乙、丙两学生年龄之和。求现在各人的年龄。
详细思路
是哪类问题：这是「年龄问题·年龄和增长 + 差量分析」：每过一年老师与每个学生各长 $1$ 岁。今“老师 $=$ 甲+乙+丙”，之后三个阶段分别少了一名学生，用增长差直接定出丙、乙、甲。
关键切入点：今 $T=$ 甲+乙+丙。$9$ 年后“$T+9=$ 甲+乙+18”得丙 $=9$。$12$ 年后“$T+12=$ 甲+丙+24”得乙 $=12$。$15$ 年后“$T+15=$ 乙+丙+30”得甲 $=15$。故老师 $T=15+12+9=36$。
方法概述：用各阶段“老师=两学生和”与今“老师=三学生和”相减，逐个定出学生年龄。
规范步骤：
  1. 求丙（9 年后）：$T+9=(甲+9)+(乙+9)\Rightarrow 丙=9$（比今少了丙）
  2. 求乙（12 年后）：$T+12=(甲+12)+(丙+12)\Rightarrow 乙=12$（比今少了乙）
  3. 求甲（15 年后）：$T+15=(乙+15)+(丙+15)\Rightarrow 甲=15$（比今少了甲）
  4. 求老师：$T=15+12+9=36$（三学生和）
22. 【原题 ch09-tuozhan-14】$1$ 年前，父母的年龄和是兄弟二人年龄和的 $7$ 倍；$4$ 年后，父母的年龄和是兄弟二人年龄和的 $4$ 倍。已知父亲比母亲大 $2$ 岁，母亲今年多少岁？
详细思路
是哪类问题：这是「年龄问题·年龄和增长 + 份数方程」：父母两人每年共长 $2$ 岁、兄弟两人每年也共长 $2$ 岁。用 $1$ 年前兄弟和为 $1$ 份、父母和为 $7$ 份，列方程求每份，再用“父比母大 $2$”求母。
关键切入点：$1$ 年前兄弟和 $=s$、父母和 $=7s$。到 $4$ 年后共 $5$ 年，两和各增 $5\times2=10$。此时父母 $=$ 兄弟 $4$ 倍：$7s+10=4(s+10)$，得 $3s=30$，$s=10$。$1$ 年前父母和 $70$，今年 $70+2=72$，母 $=(72-2)\div2=35$。
方法概述：把两和每年增 2 岁，用两时刻倍数列份数方程求解，再用和差求母。
规范步骤：
  1. 两和 5 年各增 10：$4$ 年后兄弟和 $s+10$、父母和 $7s+10$（1 年前到 4 年后共 5 年）
  2. 列倍数方程：$7s+10=4(s+10)$（父母和是兄弟和 4 倍）
  3. 解每份：$3s=30\Rightarrow s=10$（解方程）
  4. 求母亲今年：父母和今 $70+2=72$，母 $=(72-2)\div2=35$（父比母大 2）
23. 【原题 ch09-xingqu-01】某数加上 $6$，再乘以 $6$，再减去 $6$，再除以 $6$，其结果等于 $6$。则这个数是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「还原（逆推）问题」：一个未知数依次做了加、乘、减、除四步运算，已知最终结果，要倒着把每一步用逆运算还原回去。
关键切入点：把运算流程写成箭头图：某数 $\xrightarrow{+6}\xrightarrow{\times6}\xrightarrow{-6}\xrightarrow{\div6}6$。从右端 $6$ 出发，遇 $\div6$ 就 $\times6$、遇 $-6$ 就 $+6$、遇 $\times6$ 就 $\div6$、遇 $+6$ 就 $-6$，逐步倒推。
方法概述：从结果出发，每一步用其逆运算依次倒推。
规范步骤：
  1. 最后一步是 $\div6$ 得 $6$，倒推乘回：$6\times6=36$（除的逆是乘）
  2. 再倒推 $-6$，加回：$36+6=42$（减的逆是加）
  3. 再倒推 $\times6$，除回：$42\div6=7$（乘的逆是除）
  4. 再倒推 $+6$，减回：$7-6=1$（加的逆是减）
第一套
题目：某数依次 $\xrightarrow{+5}\xrightarrow{\times9}\xrightarrow{-17}\xrightarrow{\div7}$ 得 $13$。求这个数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：最后一步 $\div7$ 得 $13$，倒推乘回，$\div7$ 之前应是 $13\times7=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：再倒推 $-17$，加回，$-17$ 之前应是 $91+17=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：再倒推 $\times9$，除回，$\times9$ 之前应是 $108\div9=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：再倒推 $+5$，减回，原数为 $12-5=\underline{\quad}$。
第二套
题目：一台“数字魔盒”：输入一个数，它先加 $6$、再乘 $6$、再减 $6$、再除以 $6$，屏幕显示 $6$。问输入的是几？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：显示 $6$ 是 $\div6$ 的结果，倒推乘回 $6\times6=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：倒推 $-6$，加回 $36+6=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：倒推 $\times6$，除回 $42\div6=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：倒推 $+6$，减回 $7-6=\underline{\quad}$。
第三套
题目：某数依次 $\xrightarrow{\times5}\xrightarrow{-9}\xrightarrow{\times2}\xrightarrow{+7}$ 得 $49$。求这个数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：最后一步 $+7$ 得 $49$，倒推减回 $49-7=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：倒推 $\times2$，除回 $42\div2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：倒推 $-9$，加回 $21+9=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：倒推 $\times5$，除回 $30\div5=\underline{\quad}$。
第三套
题目：某数依次 $\xrightarrow{+2}\xrightarrow{\times9}\xrightarrow{-13}$，最后用 $8$ 去除，商 $7$ 余 $3$。求这个数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（带余除法还原）：被 $8$ 除商 $7$ 余 $3$ 的数为 $7\times8+3=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：倒推 $-13$，加回 $59+13=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：倒推 $\times9$，除回 $72\div9=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：倒推 $+2$，减回 $8-2=\underline{\quad}$。
24. 【原题 ch09-xingqu-02】有一个人非常喜欢喝酒，他每经过一个酒店都要买酒喝。这个人出门带了一个酒葫芦，看到一个酒店就把酒葫芦里的酒增加 $1$ 倍，然后喝掉 $8$ 两酒。这样天天一共遇到 $3$ 家酒店，在最后一家酒店喝完酒后，葫芦里的酒刚好喝完。问：原来酒葫芦里有多少两酒？
详细思路
是哪类问题：这是「还原（逆推）问题·翻倍型」：每经过一家酒店，葫芦里的酒先增加 $1$ 倍（$\times2$）再喝掉 $8$ 两，已知末态倒推初值。
关键切入点：正向每步是“先 $\times2$ 再 $-8$”，逆推时顺序与运算都要反过来：先 $+8$ 再 $\div2$。从最后一家喝完（$0$ 两）出发，倒推三次。
方法概述：每步“先翻倍再减 8”的逆是“先加 8 再除以 2”。
规范步骤：
  1. 第三家之前（末态 $0$ 倒推）：$(0+8)\div2=4$（逆运算：先加后除）
  2. 第二家之前：$(4+8)\div2=6$（同法倒推）
  3. 第一家之前（即原有）：$(6+8)\div2=7$（同法倒推）
第一套
题目：一个人带着酒葫芦出门，每经过一家酒店就把葫芦里的酒增加 $1$ 倍，然后喝掉 $16$ 两。一共经过 $3$ 家酒店，最后一家喝完后葫芦正好空了。原来葫芦里有多少两酒？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：末态 $0$ 两，第三家之前 $=(0+16)\div2=\underline{\quad}$（两）。
  2. 第 2 步：第二家之前 $=(8+16)\div2=\underline{\quad}$（两）。
  3. 第 3 步：第一家之前（原有）$=(12+16)\div2=\underline{\quad}$（两）。
第二套
题目：小猴带着一袋桃子上山，每过一道关卡守卫就把袋里的桃子数增加 $1$ 倍，然后小猴要交出 $8$ 个当过路费。一连过了 $3$ 道关卡，最后一道交完后袋子正好空了。原来袋里有多少个桃子？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：末态 $0$ 个，第三关之前 $=(0+8)\div2=\underline{\quad}$（个）。
  2. 第 2 步：第二关之前 $=(4+8)\div2=\underline{\quad}$（个）。
  3. 第 3 步：第一关之前（原有）$=(6+8)\div2=\underline{\quad}$（个）。
第三套
题目：每经过一家酒店，葫芦里的酒增加 $1$ 倍后喝掉 $10$ 两。经过 $3$ 家酒店，最后葫芦里还剩 $2$ 两。原来有多少两酒？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：末态 $2$ 两，第三家之前 $=(2+10)\div2=\underline{\quad}$（两）。
  2. 第 2 步：第二家之前 $=(6+10)\div2=\underline{\quad}$（两）。
  3. 第 3 步：第一家之前（原有）$=(8+10)\div2=\underline{\quad}$（两）。
第三套
题目：一个魔法葫芦，每过一座桥，里面的酒先漏掉一半，再由过路人倒入 $10$ 两。过了 $3$ 座桥后葫芦里有 $40$ 两酒。原来有多少两酒？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（逆运算）：正向是“先取一半（$\div2$）再加 $10$”，逆推为“先减 $10$ 再乘 $2$”。第三座桥之前 $=(40-10)\times2=\underline{\quad}$（两）。
  2. 第 2 步：第二座桥之前 $=(60-10)\times2=\underline{\quad}$（两）。
  3. 第 3 步：第一座桥之前（原有）$=(100-10)\times2=\underline{\quad}$（两）。
25. 【原题 ch09-xingqu-03】三棵树上原来共有 $48$ 只鸟。后来，第一棵树上有一半的鸟飞到了第二棵树上之后，第二棵树上又有与第三棵树上同样数目的鸟飞到了第三棵树上；最后，第三棵树上又有 $10$ 只飞到了第一棵树上，此时三棵树上的鸟一样多。问：一开始三棵树上各有几只鸟？
详细思路
是哪类问题：这是「还原问题·总数不变 + 列表倒推」：三棵树上鸟的总数始终不变，末态三棵一样多，据此从末态逐次倒推每一次飞动前的数目。
关键切入点：总数 $48$ 只不变，末态每棵 $48\div3=16$ 只。倒推最后一次（第三棵飞 $10$ 只到第一棵）：飞前第三棵 $16+10=26$、第一棵 $16-10=6$。倒推第二次（第二棵飞与第三棵同数到第三棵，即第三棵翻倍）：飞前第三棵 $26\div2=13$、第二棵 $16+13=29$。倒推第一次（第一棵一半飞到第二棵）：飞前第一棵 $6\times2=12$、第二棵 $29-6=23$。
方法概述：抓住总数不变求末态，再用列表从末态逐次倒推。
规范步骤：
  1. 总数不变，末态每棵：$48\div3=16$（总数不变）
  2. 倒推第三次（飞 10 只）：$16+10=26,\ 16-10=6$（逆推）
  3. 倒推第二次（第三棵翻倍）：$26\div2=13,\ 16+13=29$（逆推）
  4. 倒推第一次（第一棵减半）：$6\times2=12,\ 29-6=23$（逆推）
26. 【原题 ch09-xingqu-04】一个数，如果它是奇数，就把它扩大 $1$ 倍；如果它是偶数，就把它减去 $5$。这样称作一次操作，经过 $8$ 次操作后得到的数是 $37$。那么开始的数是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「还原问题·奇偶交替逆推」：奇数就 $\times2$（变成偶数）、偶数就 $-5$（变成奇数），两类操作严格交替出现，故可从末态唯一地倒推。
关键切入点：由于奇数 $\times2$ 必得偶数、偶数 $-5$ 必得奇数，操作奇偶交替。末态 $37$ 是奇数，只能由“偶数 $-5$”得到，所以倒推第一步是 $+5$；接着是 $\div2$，如此“$+5$、$\div2$”交替倒推 $8$ 次。
方法概述：把“$\times2$”逆推为 $\div2$、把“$-5$”逆推为 $+5$，按奇偶交替倒推。
规范步骤：
  1. 末态 $37$（奇），倒推 $+5$：$37+5=42$（偶数-5 的逆）
  2. 倒推 $\div2$：$42\div2=21$（奇数×2 的逆）
  3. 继续交替倒推六次：$21\to26\to13\to18\to9\to14\to7$（逐步逆推）
  4. 得到原数：$7$（还原完成）
第一套
题目：一个数，如果是奇数就把它扩大 $1$ 倍，如果是偶数就把它减去 $5$。这样算一次操作，经过 $8$ 次操作后得到 $69$。开始的数是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：末态 $69$ 是奇数，只能由“偶数 $-5$”得到，倒推 $69+5=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：$74$ 是偶数、由“奇数 $\times2$”得到，倒推 $74\div2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：$37$ 奇，倒推 $37+5=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：$42$ 偶，倒推 $42\div2=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步：$21$ 奇，倒推 $21+5=\underline{\quad}$。
  6. 第 6 步：$26$ 偶，倒推 $26\div2=\underline{\quad}$。
  7. 第 7 步：$13$ 奇，倒推 $13+5=\underline{\quad}$。
  8. 第 8 步：$18$ 偶，倒推 $18\div2=\underline{\quad}$，即原数。
第二套
题目：一只跳蚤在数轴上跳：若它所在的数是奇数就跳到 $2$ 倍的位置，若是偶数就退 $5$。这样跳一次算一步，跳了 $8$ 步后停在 $37$。它出发时在哪个数？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$37$ 是奇数，只能由“偶数退 $5$”到达，倒推 $37+5=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：$42$ 偶，由“奇数 $\times2$”到达，倒推 $42\div2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：$21$ 奇，倒推 $21+5=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：$26$ 偶，倒推 $26\div2=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步：$13$ 奇，倒推 $13+5=\underline{\quad}$。
  6. 第 6 步：$18$ 偶，倒推 $18\div2=\underline{\quad}$。
  7. 第 7 步：$9$ 奇，倒推 $9+5=\underline{\quad}$。
  8. 第 8 步：$14$ 偶，倒推 $14\div2=\underline{\quad}$，即出发位置。
第三套
题目：一个数，奇数就加 $3$，偶数就加 $5$。这样算一次操作，经过 $8$ 次操作后得到 $39$。开始的数是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：奇数加 $3$ 变偶、偶数加 $5$ 变奇，仍是奇偶交替。末态 $39$ 奇，由“偶数 $+5$”得到，倒推 $39-5=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：$34$ 偶，由“奇数 $+3$”得到，倒推 $34-3=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：$31$ 奇，倒推 $31-5=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：$26$ 偶，倒推 $26-3=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步：$23$ 奇，倒推 $23-5=\underline{\quad}$。
  6. 第 6 步：$18$ 偶，倒推 $18-3=\underline{\quad}$。
  7. 第 7 步：$15$ 奇，倒推 $15-5=\underline{\quad}$。
  8. 第 8 步：$10$ 偶，倒推 $10-3=\underline{\quad}$，即原数。
第三套
题目：一个数，奇数就 $\times2$、偶数就 $-5$，做 $8$ 次操作后得到某数 $N$；再把 $N$ 乘 $3$ 减去 $11$，结果是 $100$。求开始的数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先逆推乘减）：$N\times3-11=100$，倒推 $N=(100+11)\div3=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：$N=37$ 奇，倒推 $37+5=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：$42$ 偶，倒推 $42\div2=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：$21$ 奇，倒推 $21+5=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步：$26$ 偶，倒推 $26\div2=\underline{\quad}$。
  6. 第 6 步：$13$ 奇，倒推 $13+5=\underline{\quad}$。
  7. 第 7 步：$18$ 偶，倒推 $18\div2=\underline{\quad}$。
  8. 第 8 步：$9$ 奇，倒推 $9+5=\underline{\quad}$。
  9. 第 9 步：$14$ 偶，倒推 $14\div2=\underline{\quad}$，即原数。
27. 【原题 ch09-xingqu-05】$1997$ 年张伯伯 $45$ 岁，小方 $9$ 岁。在哪一年张伯伯的年龄是小方年龄的 $4$ 倍？
详细思路
是哪类问题：这是「年龄问题·年龄差不变」：两人年龄差永远等于 $45-9=36$ 岁，当大的是小的 $4$ 倍时，用差倍关系求出小的年龄再定年份。
关键切入点：年龄差不变是核心：$45-9=36$。张伯伯是小方的 $4$ 倍时，年龄差正好是小方年龄的 $4-1=3$ 倍，所以小方 $36\div3=12$ 岁，比 $1997$ 年大 $12-9=3$ 岁，即 $2000$ 年。
方法概述：用不变的年龄差 36，按差倍关系求小方年龄再推年份。
规范步骤：
  1. 年龄差不变：$45-9=36$（同增同减差不变）
  2. 差是小方年龄的 3 倍：$36\div(4-1)=12$（差倍关系）
  3. 求年份：$1997+(12-9)=2000$（定年份）
第一套
题目：$2008$ 年王爷爷 $60$ 岁，悦悦 $12$ 岁。在哪一年王爷爷的年龄是悦悦年龄的 $4$ 倍？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（年龄差不变）：$60-12=\underline{\quad}$（岁）。
  2. 第 2 步（差倍关系）：$4$ 倍时年龄差是悦悦年龄的 $4-1=3$ 倍，悦悦 $=48\div3=\underline{\quad}$（岁）。
  3. 第 3 步（求年数）：$16-12=\underline{\quad}$（年）。
  4. 第 4 步（求年份）：$2008+4=\underline{\quad}$。
第二套
题目：今年爸爸 $45$ 岁，儿子 $9$ 岁。哪一年爸爸的年龄是儿子年龄的 $4$ 倍？（就用今年当第 $0$ 年，$3$ 年后即今年后第 $3$ 年）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（年龄差不变）：$45-9=\underline{\quad}$（岁）。
  2. 第 2 步（差倍关系）：$4$ 倍时年龄差是儿子年龄的 $3$ 倍，儿子 $=36\div3=\underline{\quad}$（岁）。
  3. 第 3 步（求年数）：$12-9=\underline{\quad}$（年后）。
第三套
题目：今年爸爸 $40$ 岁，儿子 $10$ 岁。多少年前爸爸的年龄是儿子年龄的 $7$ 倍？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（年龄差不变）：$40-10=\underline{\quad}$（岁）。
  2. 第 2 步（差倍关系）：$7$ 倍时年龄差是当时儿子年龄的 $7-1=6$ 倍，那时儿子 $=30\div6=\underline{\quad}$（岁）。
  3. 第 3 步（求年数）：$10-5=\underline{\quad}$（年前）。
第三套
题目：今年爸爸的年龄是儿子的 $5$ 倍，儿子 $8$ 岁。问：几年后爸爸的年龄是儿子年龄的 $3$ 倍？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（求爸爸年龄）：$8\times5=\underline{\quad}$（岁）。
  2. 第 2 步（年龄差不变）：$40-8=\underline{\quad}$（岁）。
  3. 第 3 步（差倍关系）：$3$ 倍时年龄差是当时儿子年龄的 $3-1=2$ 倍，那时儿子 $=32\div2=\underline{\quad}$（岁）。
  4. 第 4 步（求年数）：$16-8=\underline{\quad}$（年后）。
28. 【原题 ch09-xingqu-06】今年，小明的年龄等于他父母的年龄差；$4$ 年后，小明的年龄等于他父母年龄差的 $3$ 倍。今年小明多少岁？
详细思路
是哪类问题：这是「年龄问题·父母年龄差不变 + 份数法」：父母的年龄差恒定，把它设为 $1$ 份，用份数变化对应实际长的岁数。
关键切入点：父母年龄差不变，把它设为 $1$ 份。今年小明年龄 $=1$ 份，$4$ 年后小明年龄 $=3$ 份，小明这期间长了 $4$ 岁，正好对应 $3-1=2$ 份，所以 $1$ 份 $=4\div2=2$ 岁，即今年小明 $2$ 岁。
方法概述：把不变的父母年龄差设为 1 份，由长的岁数对应份数求每份。
规范步骤：
  1. 多出的份数：$3-1=2$（份数差）
  2. 每份岁数：$4\div2=2$（长 4 岁对应 2 份）
  3. 今年小明：$1\times2=2$（1 份）
第一套
题目：今年小刚的年龄等于他父母的年龄差；$12$ 年后，小刚的年龄等于父母年龄差的 $4$ 倍。今年小刚多少岁？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（份数差）：父母年龄差设为 $1$ 份，$12$ 年后小刚 $=4$ 份，多出 $4-1=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（每份岁数）：$12$ 岁对应 $3$ 份，$1$ 份 $=12\div3=\underline{\quad}$（岁）。
  3. 第 3 步（今年小刚）：$1\times4=\underline{\quad}$（岁）。
第二套
题目：今年，妹妹的年龄等于爸爸和妈妈的年龄差；$4$ 年后，妹妹的年龄等于爸妈年龄差的 $3$ 倍。今年妹妹几岁？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（份数差）：爸妈年龄差设为 $1$ 份，$4$ 年后妹妹 $=3$ 份，多出 $3-1=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（每份岁数）：$4$ 岁对应 $2$ 份，$1$ 份 $=4\div2=\underline{\quad}$（岁）。
  3. 第 3 步（今年妹妹）：$1\times2=\underline{\quad}$（岁）。
第三套
题目：今年小乐的年龄等于父母的年龄差；$15$ 年后，小乐的年龄等于父母年龄差的 $6$ 倍。今年小乐多少岁？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（份数差）：父母年龄差设为 $1$ 份，$15$ 年后小乐 $=6$ 份，多出 $6-1=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（每份岁数）：$15$ 岁对应 $5$ 份，$1$ 份 $=15\div5=\underline{\quad}$（岁）。
  3. 第 3 步（今年小乐）：$1\times3=\underline{\quad}$（岁）。
第三套
题目：今年小明的年龄等于父母的年龄差；$4$ 年后，小明的年龄等于父母年龄差的 $3$ 倍。已知今年爸爸 $38$ 岁，求妈妈今年的年龄。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（份数差）：多出 $3-1=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（每份岁数）：$4$ 岁对应 $2$ 份，$1$ 份 $=4\div2=\underline{\quad}$（岁），即今年小明 $2$ 岁、也是父母年龄差。
  3. 第 3 步（求妈妈）：妈妈比爸爸小，年龄差 $2$ 岁，妈妈 $=38-2=\underline{\quad}$（岁）。
29. 【原题 ch09-xingqu-07】今年，父亲年龄是儿子年龄的 $5$ 倍；$15$ 年后，父亲年龄是儿子年龄的 $2$ 倍。问：现在父子的年龄各是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「年龄问题·年龄差不变 + 两个时刻的倍数关系」：把两个时刻“父是子几倍”都化成以儿子年龄为单位的份数，用年龄差不变列式。
关键切入点：今年父是子 $5$ 倍，年龄差是今年儿子的 $5-1=4$ 份；$15$ 年后父是子 $2$ 倍，年龄差是那时儿子的 $2-1=1$ 份，即那时儿子相当于 $4$ 份。儿子从今年到 $15$ 年后多了 $4-1=3$ 份，对应 $15$ 岁，故 $1$ 份 $=5$ 岁，今年儿子 $5$ 岁、父亲 $25$ 岁。
方法概述：把两个时刻的倍数都化成以儿子年龄为单位的份数，用年龄差不变求每份。
规范步骤：
  1. 今年年龄差的份数：$5-1=4$（份）（倍数化份数）
  2. 那时儿子的份数：$4\div(2-1)=4$（份）（年龄差不变）
  3. 每份岁数：$15\div(4-1)=5$（多 3 份对应 15 岁）
  4. 现龄：父 $5\times5=25$，子 $5$（回代）
第一套
题目：今年，父亲年龄是儿子年龄的 $6$ 倍；$24$ 年后，父亲年龄是儿子年龄的 $2$ 倍。问：现在父子的年龄各是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（今年年龄差份数）：今年子 $=1$ 份，父是子 $6$ 倍，年龄差 $=6-1=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（那时子份数）：$24$ 年后父是子 $2$ 倍，年龄差 $=2-1=1$ 份，故那时子 $=5$ 份，比今年多 $5-1=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（每份岁数）：多的份数对应 $24$ 岁，$1$ 份 $=24\div4=\underline{\quad}$（岁）。
  4. 第 4 步（现龄）：父 $=6\times6=\underline{\quad}$（岁），子 $6$ 岁。
第二套
题目：今年，妈妈的年龄是女儿的 $5$ 倍；$15$ 年后，妈妈的年龄是女儿的 $2$ 倍。妈妈和女儿现在各多少岁？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（今年年龄差份数）：今年女儿 $=1$ 份，妈妈是女儿 $5$ 倍，年龄差 $=5-1=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（那时女儿份数）：$15$ 年后妈妈是女儿 $2$ 倍，年龄差 $=1$ 份，那时女儿 $=4$ 份，比今年多 $4-1=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（每份岁数）：多的份数对应 $15$ 岁，$1$ 份 $=15\div3=\underline{\quad}$（岁）。
  4. 第 4 步（现龄）：妈妈 $=5\times5=\underline{\quad}$（岁），女儿 $5$ 岁。
第三套
题目：今年，父亲年龄是儿子的 $4$ 倍；$10$ 年后，父亲年龄是儿子的 $2$ 倍。求现在父子的年龄。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（今年年龄差份数）：今年子 $=1$ 份，父是子 $4$ 倍，年龄差 $=4-1=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（那时子份数）：$10$ 年后父是子 $2$ 倍，年龄差 $=1$ 份，那时子 $=3$ 份，比今年多 $3-1=\underline{\quad}$（份）。
  3. 第 3 步（每份岁数）：多的份数对应 $10$ 岁，$1$ 份 $=10\div2=\underline{\quad}$（岁）。
  4. 第 4 步（现龄）：父 $=4\times5=\underline{\quad}$（岁），子 $5$ 岁。
第三套
题目：今年父亲年龄是儿子的 $5$ 倍，$15$ 年后是儿子的 $2$ 倍。问：从今年算起，再过多少年父亲年龄恰是儿子的 $3$ 倍？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（今年年龄差份数）：今年子 $=1$ 份，年龄差 $=5-1=\underline{\quad}$（份）。
  2. 第 2 步（求每份）：$15$ 年后子 $=4$ 份，比今年多 $4-1=\underline{\quad}$ 份对应 $15$ 岁，$1$ 份 $=15\div3=\underline{\quad}$（岁），即今年子 $5$ 岁、父 $25$ 岁、年龄差 $20$ 岁。
  3. 第 3 步（第三个时刻·差倍）：父是子 $3$ 倍时年龄差是当时子的 $3-1=2$ 倍，那时子 $=20\div2=\underline{\quad}$（岁）。
  4. 第 4 步（求年数）：$10-5=\underline{\quad}$（年后）。
30. 【原题 ch09-xingqu-08】学生问老师多少岁，老师说：“当我像你这么大时，你刚 $3$ 岁；当你像我这么大时，我已经 $39$ 岁了。”求老师和学生现在的年龄。
详细思路
是哪类问题：这是「年龄问题·师生年龄差不变」：由“当我像你这么大时你 $3$ 岁”“当你像我这么大时我 $39$ 岁”，从 $3$ 到 $39$ 正好跨过 $3$ 个相等的年龄差。
关键切入点：师生年龄差不变。把师、生现龄用线段图排开：学生 $3$ 岁 → 学生现龄 → 老师现龄 → 老师 $39$ 岁，相邻各差一个年龄差，共 $3$ 段。所以一个年龄差 $=(39-3)\div3=12$，学生现 $3+12=15$、老师现 $15+12=27$。
方法概述：由 3 岁到 39 岁跨 3 个年龄差求出年龄差，再推现龄。
规范步骤：
  1. 一个年龄差：$(39-3)\div3=12$（跨 3 个相等年龄差）
  2. 学生现龄：$3+12=15$（加一个年龄差）
  3. 老师现龄：$15+12=27$（再加一个年龄差）
第一套
题目：学生问老师多少岁，老师说：“当我像你这么大时，你刚 $6$ 岁；当你像我这么大时，我已经 $48$ 岁了。”求老师和学生现在的年龄。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（跨 3 个年龄差）：从 $6$ 岁到 $48$ 岁跨 $3$ 个年龄差，一个年龄差 $=(48-6)\div3=\underline{\quad}$（岁）。
  2. 第 2 步（学生现龄）：$6+14=\underline{\quad}$（岁）。
  3. 第 3 步（老师现龄）：$20+14=\underline{\quad}$（岁）。
第二套
题目：妹妹问姐姐多少岁，姐姐说：“当我像你这么大时，你才 $3$ 岁；当你像我这么大时，我已经 $39$ 岁了。”求姐姐和妹妹现在的年龄。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（跨 3 个年龄差）：从 $3$ 岁到 $39$ 岁跨 $3$ 个年龄差，一个年龄差 $=(39-3)\div3=\underline{\quad}$（岁）。
  2. 第 2 步（妹妹现龄）：$3+12=\underline{\quad}$（岁）。
  3. 第 3 步（姐姐现龄）：$15+12=\underline{\quad}$（岁）。
第三套
题目：“当我像你这么大时，你刚 $7$ 岁；当你像我这么大时，我已经 $37$ 岁了。”求两人现在的年龄。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（跨 3 个年龄差）：从 $7$ 岁到 $37$ 岁跨 $3$ 个年龄差，一个年龄差 $=(37-7)\div3=\underline{\quad}$（岁）。
  2. 第 2 步（小的现龄）：$7+10=\underline{\quad}$（岁）。
  3. 第 3 步（大的现龄）：$17+10=\underline{\quad}$（岁）。
第三套
题目：“当我像你这么大时，你刚 $3$ 岁；当你像我这么大时，我已经 $39$ 岁了。”问：多少年前，老师的年龄是学生年龄的 $2$ 倍？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（一个年龄差）：$(39-3)\div3=\underline{\quad}$（岁）。
  2. 第 2 步（现龄）：学生 $3+12=\underline{\quad}$（岁），老师 $15+12=\underline{\quad}$（岁）。
  3. 第 3 步（差倍）：老师是学生 $2$ 倍时，年龄差恰等于学生年龄，那时学生 $=12$ 岁，是现在的 $15-12=\underline{\quad}$（年前）。
31. 【原题 ch09-xingqu-09】小鹏说：“到 $2013$ 年，我出生的年份就刚好是我现在年龄的 $60$ 倍。”请问他在哪一年出生？
详细思路
是哪类问题：这是「年龄问题·份数法」：某年时‘年龄’与‘出生年份’之和恰是该年份，把年龄设 $1$ 份、出生年份设 $60$ 份，合计 $61$ 份就是当年年份。
关键切入点：$2013$ 年小鹏的出生年份是他年龄的 $60$ 倍，把年龄设 $1$ 份，出生年份 $60$ 份，两者相加正好是 $2013$，故 $2013$ 相当于 $60+1=61$ 份，$1$ 份 $=2013\div61=33$，出生年份 $=33\times60=1980$。
方法概述：年龄设 1 份、出生年份设 60 份，合计等于当年年份求每份。
规范步骤：
  1. 总份数：$60+1=61$（年龄+出生年份=当年）
  2. 每份（即年龄）：$2013\div61=33$（分总）
  3. 出生年份：$33\times60=1980$（60 份）
第一套
题目：小杰说：“到 $2025$ 年，我出生的年份刚好是我现在年龄的 $80$ 倍。”请问他在哪一年出生？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（总份数）：年龄设 $1$ 份、出生年份设 $80$ 份，合计 $80+1=\underline{\quad}$（份）等于 $2025$。
  2. 第 2 步（每份即年龄）：$2025\div81=\underline{\quad}$（岁）。
  3. 第 3 步（出生年份）：$25\times80=\underline{\quad}$。
第二套
题目：爷爷考小孙子：“到 $2013$ 年，爷爷出生的年份正好是爷爷当年年龄的 $60$ 倍。”爷爷是哪一年出生的？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（总份数）：年龄设 $1$ 份、出生年份设 $60$ 份，合计 $60+1=\underline{\quad}$（份）等于 $2013$。
  2. 第 2 步（每份即年龄）：$2013\div61=\underline{\quad}$（岁）。
  3. 第 3 步（出生年份）：$33\times60=\underline{\quad}$。
第三套
题目：到 $2016$ 年，小雨出生的年份刚好是他当年年龄的 $62$ 倍。他是哪一年出生的？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（总份数）：年龄设 $1$ 份、出生年份设 $62$ 份，合计 $62+1=\underline{\quad}$（份）等于 $2016$。
  2. 第 2 步（每份即年龄）：$2016\div63=\underline{\quad}$（岁）。
  3. 第 3 步（出生年份）：$32\times62=\underline{\quad}$。
第三套
题目：到 $2013$ 年，小鹏出生的年份刚好是他当年年龄的 $60$ 倍；小鹏比妹妹大 $6$ 岁。求妹妹出生的年份。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（总份数）：$60+1=\underline{\quad}$（份）等于 $2013$。
  2. 第 2 步（每份即年龄）：$2013\div61=\underline{\quad}$（岁）。
  3. 第 3 步（小鹏出生年）：$33\times60=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（妹妹出生年）：妹妹比小鹏小 $6$ 岁，晚 $6$ 年出生，$1980+6=\underline{\quad}$。
32. 【原题 ch09-xingqu-10】今年，王伯伯的年龄比萱萱、墨墨、小高三人年龄的总和还多 $6$ 岁。多少年后，王伯伯的年龄将比他们三人年龄的总和少 $6$ 岁？
详细思路
是哪类问题：这是「年龄问题·年龄和增长的差量分析」：三人年龄和每年增 $3$ 岁，而王伯伯每年只增 $1$ 岁，两者相对差距每年缩小 $2$ 岁。
关键切入点：现在王伯伯比三人年龄和多 $6$ 岁。每过一年三人和增 $3$、王伯伯增 $1$，王伯伯相对少 $3-1=2$ 岁。要从“多 $6$”变到“少 $6$”，相对差距共变化 $6+6=12$ 岁，需 $12\div2=6$ 年。
方法概述：算出每年相对少 2 岁，再用总变化 12 岁除以 2 求年数。
规范步骤：
  1. 每年相对少：$3-1=2$（岁）（和增 3、王增 1）
  2. 相对差距总变化：$6+6=12$（岁）（由多 6 到少 6）
  3. 所需年数：$12\div2=6$（总变化÷每年）
第一套
题目：今年，王伯伯的年龄比萱萱、墨墨、小高三人年龄总和还多 $9$ 岁。多少年后，王伯伯的年龄将比三人年龄总和少 $9$ 岁？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（每年相对少）：三人和每年增 $3$、王伯伯增 $1$，相对少 $3-1=\underline{\quad}$（岁）。
  2. 第 2 步（总变化）：由“多 $9$”变到“少 $9$”，共变化 $9+9=\underline{\quad}$（岁）。
  3. 第 3 步（年数）：$18\div2=\underline{\quad}$（年后）。
第二套
题目：今年，李老师的年龄比甲、乙、丙三名学生年龄的总和还多 $6$ 岁。多少年后，李老师的年龄将比三人年龄总和少 $6$ 岁？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（每年相对少）：三人和每年增 $3$、老师增 $1$，相对少 $3-1=\underline{\quad}$（岁）。
  2. 第 2 步（总变化）：由“多 $6$”变到“少 $6$”，共变化 $6+6=\underline{\quad}$（岁）。
  3. 第 3 步（年数）：$12\div2=\underline{\quad}$（年后）。
第三套
题目：今年，王伯伯的年龄比四个孩子年龄的总和多 $9$ 岁。多少年后，王伯伯的年龄将比四个孩子年龄总和少 $9$ 岁？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（每年相对少）：四人和每年增 $4$、王伯伯增 $1$，相对少 $4-1=\underline{\quad}$（岁）。
  2. 第 2 步（总变化）：由“多 $9$”变到“少 $9$”，共变化 $9+9=\underline{\quad}$（岁）。
  3. 第 3 步（年数）：$18\div3=\underline{\quad}$（年后）。
第三套
题目：今年，王伯伯比萱萱、墨墨、小高三人年龄总和多 $6$ 岁，已知三人年龄总和是 $39$ 岁。多少年后王伯伯比三人年龄总和少 $6$ 岁？那时王伯伯多少岁？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（每年相对少）：$3-1=\underline{\quad}$（岁）。
  2. 第 2 步（总变化与年数）：共变化 $6+6=\underline{\quad}$（岁），年数 $=12\div2=\underline{\quad}$（年）。
  3. 第 3 步（王伯伯今年年龄）：比三人和多 $6$ 岁，$39+6=\underline{\quad}$（岁）。
  4. 第 4 步（那时王伯伯年龄）：再过 $6$ 年，$45+6=\underline{\quad}$（岁）。

附录 · 答案

（原题答案见题库；以下为三套变式的完整填好步骤与最终答案）
  1. 9. ch09-tuozhan-01 · 第一套
    1. 第 1 步（带余除法还原）：被 $24$ 除商 $30$ 余 $7$ 的数为 $30\times24+7=\underline{727}$。
    2. 第 2 步（倒推 $-318$）：$727+318=\underline{1045}$。
    3. 第 3 步（倒推 $\times19$）：$1045\div19=\underline{55}$。
    4. 第 4 步（倒推 $+52$）：$55-52=\underline{3}$。
    最终答案：$3$。
  2. 9. ch09-tuozhan-01 · 第二套
    1. 第 1 步（带余除法还原）：被 $23$ 除商 $16$ 余 $11$ 的数为 $16\times23+11=\underline{379}$。
    2. 第 2 步（倒推 $-323$）：$379+323=\underline{702}$。
    3. 第 3 步（倒推 $\times18$）：$702\div18=\underline{39}$。
    4. 第 4 步（倒推 $+37$）：$39-37=\underline{2}$。
    最终答案：$2$。
  3. 9. ch09-tuozhan-01 · 第三套
    1. 第 1 步（带余除法还原）：$18\times18+1=\underline{325}$。
    2. 第 2 步（倒推 $-215$）：$325+215=\underline{540}$。
    3. 第 3 步（倒推 $\times12$）：$540\div12=\underline{45}$。
    4. 第 4 步（倒推 $+40$）：$45-40=\underline{5}$。
    最终答案：$5$。
  4. 9. ch09-tuozhan-01 · 第三套
    1. 第 1 步（先算括号）：$100+40=\underline{140}$。
    2. 第 2 步（带余除法还原）：$18\times27+14=\underline{500}$。
    3. 第 3 步（倒推 $-140$）：$500+140=\underline{640}$。
    4. 第 4 步（倒推 $\times16$）：$640\div16=\underline{40}$。
    5. 第 5 步（倒推 $+38$）：$40-38=\underline{2}$。
    最终答案：$2$。
  5. 15. ch09-tuozhan-07 · 第一套
    1. 第 1 步（年龄差）：$54-18=\underline{36}$（岁）。
    2. 第 2 步（第 1 问·2 倍）：那时张明年龄等于年龄差 $36$，$36-18=\underline{18}$（年后）。
    3. 第 3 步（第 2 问·4 倍）：那时张明 $=36\div(4-1)=\underline{12}$（岁），$18-12=\underline{6}$（年前）。
    最终答案：（1）$18$ 年后；（2）$6$ 年前。
  6. 15. ch09-tuozhan-07 · 第二套
    1. 第 1 步（年龄差）：$45-15=\underline{30}$（岁）。
    2. 第 2 步（第 1 问·2 倍）：那时女儿年龄等于年龄差 $30$，$30-15=\underline{15}$（年后）。
    3. 第 3 步（第 2 问·4 倍）：那时女儿 $=30\div3=\underline{10}$（岁），$15-10=\underline{5}$（年前）。
    最终答案：（1）$15$ 年后；（2）$5$ 年前。
  7. 15. ch09-tuozhan-07 · 第三套
    1. 第 1 步（年龄差）：$44-20=\underline{24}$（岁）。
    2. 第 2 步（第 1 问·2 倍）：那时张明年龄等于年龄差 $24$，$24-20=\underline{4}$（年后）。
    3. 第 3 步（第 2 问·3 倍）：那时张明 $=24\div(3-1)=\underline{12}$（岁），$20-12=\underline{8}$（年前）。
    最终答案：（1）$4$ 年后；（2）$8$ 年前。
  8. 15. ch09-tuozhan-07 · 第三套
    1. 第 1 步（年龄差）：$45-15=\underline{30}$（岁）。
    2. 第 2 步（第 1 问）：$30-15=\underline{15}$（年后）。
    3. 第 3 步（第 2 问）：那时张明 $=30\div3=\underline{10}$（岁），$15-10=\underline{5}$（年前）。
    4. 第 4 步（第 3 问·6 倍）：那时张明 $=30\div(6-1)=\underline{6}$（岁），$15-6=\underline{9}$（年前）。
    最终答案：（1）$15$ 年后；（2）$5$ 年前；（3）$9$ 年前。
  9. 16. ch09-tuozhan-08 · 第一套
    1. 第 1 步（15 年前年龄差份数）：设 $15$ 年前女儿 $1$ 份，年龄差 $=13-1=\underline{12}$（份）。
    2. 第 2 步（今年女儿份数）：今年父是女 $3$ 倍，年龄差 $=3-1=2$ 份，今年女儿 $=12\div2=\underline{6}$（份）。
    3. 第 3 步（每份岁数）：女儿长 $15$ 岁对应 $6-1=\underline{5}$ 份，$1$ 份 $=15\div5=\underline{3}$（岁）。
    4. 第 4 步（今龄）：女儿 $=6\times3=\underline{18}$（岁），年龄差 $=18\times2=\underline{36}$（岁）。
    5. 第 5 步（2 倍年份）：$36-18=\underline{18}$（年后）。
    最终答案：$18$ 年后。
  10. 16. ch09-tuozhan-08 · 第二套
    1. 第 1 步（12 年前年龄差份数）：设 $12$ 年前孙子 $1$ 份，年龄差 $=11-1=\underline{10}$（份）。
    2. 第 2 步（今年孙子份数）：年龄差 $=3-1=2$ 份，今年孙子 $=10\div2=\underline{5}$（份）。
    3. 第 3 步（每份岁数）：孙子长 $12$ 岁对应 $5-1=\underline{4}$ 份，$1$ 份 $=12\div4=\underline{3}$（岁）。
    4. 第 4 步（今龄）：孙子 $=5\times3=\underline{15}$（岁），年龄差 $=15\times2=\underline{30}$（岁）。
    5. 第 5 步（2 倍年份）：$30-15=\underline{15}$（年后）。
    最终答案：$15$ 年后。
  11. 16. ch09-tuozhan-08 · 第三套
    1. 第 1 步（9 年前年龄差份数）：设 $9$ 年前女儿 $1$ 份，年龄差 $=9-1=\underline{8}$（份）。
    2. 第 2 步（今年女儿份数）：年龄差 $=3-1=2$ 份，今年女儿 $=8\div2=\underline{4}$（份）。
    3. 第 3 步（每份岁数）：女儿长 $9$ 岁对应 $4-1=\underline{3}$ 份，$1$ 份 $=9\div3=\underline{3}$（岁）。
    4. 第 4 步（今龄）：女儿 $=4\times3=\underline{12}$（岁），年龄差 $=12\times2=\underline{24}$（岁）。
    5. 第 5 步（2 倍年份）：$24-12=\underline{12}$（年后）。
    最终答案：$12$ 年后。
  12. 16. ch09-tuozhan-08 · 第三套
    1. 第 1 步（12 年前年龄差份数）：$11-1=\underline{10}$（份）。
    2. 第 2 步（今年女儿份数）：$10\div2=\underline{5}$（份）。
    3. 第 3 步（每份岁数）：$12\div(5-1)=\underline{3}$（岁），今年女儿 $15$、父亲 $45$、年龄差 $30$。
    4. 第 4 步（第 1 问·2 倍）：$30-15=\underline{15}$（年后）。
    5. 第 5 步（第 2 问·6 倍）：那时女儿 $=30\div(6-1)=\underline{6}$（岁），$15-6=\underline{9}$（年前）。
    最终答案：（1）$15$ 年后；（2）$9$ 年前。
  13. 23. ch09-xingqu-01 · 第一套
    1. 第 1 步：最后一步 $\div7$ 得 $13$，倒推乘回，$\div7$ 之前应是 $13\times7=\underline{91}$。
    2. 第 2 步：再倒推 $-17$，加回，$-17$ 之前应是 $91+17=\underline{108}$。
    3. 第 3 步：再倒推 $\times9$，除回，$\times9$ 之前应是 $108\div9=\underline{12}$。
    4. 第 4 步：再倒推 $+5$，减回，原数为 $12-5=\underline{7}$。
    最终答案：$7$。
  14. 23. ch09-xingqu-01 · 第二套
    1. 第 1 步：显示 $6$ 是 $\div6$ 的结果，倒推乘回 $6\times6=\underline{36}$。
    2. 第 2 步：倒推 $-6$，加回 $36+6=\underline{42}$。
    3. 第 3 步：倒推 $\times6$，除回 $42\div6=\underline{7}$。
    4. 第 4 步：倒推 $+6$，减回 $7-6=\underline{1}$。
    最终答案：$1$。
  15. 23. ch09-xingqu-01 · 第三套
    1. 第 1 步：最后一步 $+7$ 得 $49$，倒推减回 $49-7=\underline{42}$。
    2. 第 2 步：倒推 $\times2$，除回 $42\div2=\underline{21}$。
    3. 第 3 步：倒推 $-9$，加回 $21+9=\underline{30}$。
    4. 第 4 步：倒推 $\times5$，除回 $30\div5=\underline{6}$。
    最终答案：$6$。
  16. 23. ch09-xingqu-01 · 第三套
    1. 第 1 步（带余除法还原）：被 $8$ 除商 $7$ 余 $3$ 的数为 $7\times8+3=\underline{59}$。
    2. 第 2 步：倒推 $-13$，加回 $59+13=\underline{72}$。
    3. 第 3 步：倒推 $\times9$，除回 $72\div9=\underline{8}$。
    4. 第 4 步：倒推 $+2$，减回 $8-2=\underline{6}$。
    最终答案：$6$。
  17. 24. ch09-xingqu-02 · 第一套
    1. 第 1 步：末态 $0$ 两，第三家之前 $=(0+16)\div2=\underline{8}$（两）。
    2. 第 2 步：第二家之前 $=(8+16)\div2=\underline{12}$（两）。
    3. 第 3 步：第一家之前（原有）$=(12+16)\div2=\underline{14}$（两）。
    最终答案：$14$ 两。
  18. 24. ch09-xingqu-02 · 第二套
    1. 第 1 步：末态 $0$ 个，第三关之前 $=(0+8)\div2=\underline{4}$（个）。
    2. 第 2 步：第二关之前 $=(4+8)\div2=\underline{6}$（个）。
    3. 第 3 步：第一关之前（原有）$=(6+8)\div2=\underline{7}$（个）。
    最终答案：$7$ 个。
  19. 24. ch09-xingqu-02 · 第三套
    1. 第 1 步：末态 $2$ 两，第三家之前 $=(2+10)\div2=\underline{6}$（两）。
    2. 第 2 步：第二家之前 $=(6+10)\div2=\underline{8}$（两）。
    3. 第 3 步：第一家之前（原有）$=(8+10)\div2=\underline{9}$（两）。
    最终答案：$9$ 两。
  20. 24. ch09-xingqu-02 · 第三套
    1. 第 1 步（逆运算）：正向是“先取一半（$\div2$）再加 $10$”，逆推为“先减 $10$ 再乘 $2$”。第三座桥之前 $=(40-10)\times2=\underline{60}$（两）。
    2. 第 2 步：第二座桥之前 $=(60-10)\times2=\underline{100}$（两）。
    3. 第 3 步：第一座桥之前（原有）$=(100-10)\times2=\underline{180}$（两）。
    最终答案：$180$ 两。
  21. 26. ch09-xingqu-04 · 第一套
    1. 第 1 步：末态 $69$ 是奇数，只能由“偶数 $-5$”得到，倒推 $69+5=\underline{74}$。
    2. 第 2 步：$74$ 是偶数、由“奇数 $\times2$”得到，倒推 $74\div2=\underline{37}$。
    3. 第 3 步：$37$ 奇，倒推 $37+5=\underline{42}$。
    4. 第 4 步：$42$ 偶，倒推 $42\div2=\underline{21}$。
    5. 第 5 步：$21$ 奇，倒推 $21+5=\underline{26}$。
    6. 第 6 步：$26$ 偶，倒推 $26\div2=\underline{13}$。
    7. 第 7 步：$13$ 奇，倒推 $13+5=\underline{18}$。
    8. 第 8 步：$18$ 偶，倒推 $18\div2=\underline{9}$，即原数。
    最终答案：$9$。
  22. 26. ch09-xingqu-04 · 第二套
    1. 第 1 步：$37$ 是奇数，只能由“偶数退 $5$”到达，倒推 $37+5=\underline{42}$。
    2. 第 2 步：$42$ 偶，由“奇数 $\times2$”到达，倒推 $42\div2=\underline{21}$。
    3. 第 3 步：$21$ 奇，倒推 $21+5=\underline{26}$。
    4. 第 4 步：$26$ 偶，倒推 $26\div2=\underline{13}$。
    5. 第 5 步：$13$ 奇，倒推 $13+5=\underline{18}$。
    6. 第 6 步：$18$ 偶，倒推 $18\div2=\underline{9}$。
    7. 第 7 步：$9$ 奇，倒推 $9+5=\underline{14}$。
    8. 第 8 步：$14$ 偶，倒推 $14\div2=\underline{7}$，即出发位置。
    最终答案：$7$。
  23. 26. ch09-xingqu-04 · 第三套
    1. 第 1 步：奇数加 $3$ 变偶、偶数加 $5$ 变奇，仍是奇偶交替。末态 $39$ 奇，由“偶数 $+5$”得到，倒推 $39-5=\underline{34}$。
    2. 第 2 步：$34$ 偶，由“奇数 $+3$”得到，倒推 $34-3=\underline{31}$。
    3. 第 3 步：$31$ 奇，倒推 $31-5=\underline{26}$。
    4. 第 4 步：$26$ 偶，倒推 $26-3=\underline{23}$。
    5. 第 5 步：$23$ 奇，倒推 $23-5=\underline{18}$。
    6. 第 6 步：$18$ 偶，倒推 $18-3=\underline{15}$。
    7. 第 7 步：$15$ 奇，倒推 $15-5=\underline{10}$。
    8. 第 8 步：$10$ 偶，倒推 $10-3=\underline{7}$，即原数。
    最终答案：$7$。
  24. 26. ch09-xingqu-04 · 第三套
    1. 第 1 步（先逆推乘减）：$N\times3-11=100$，倒推 $N=(100+11)\div3=\underline{37}$。
    2. 第 2 步：$N=37$ 奇，倒推 $37+5=\underline{42}$。
    3. 第 3 步：$42$ 偶，倒推 $42\div2=\underline{21}$。
    4. 第 4 步：$21$ 奇，倒推 $21+5=\underline{26}$。
    5. 第 5 步：$26$ 偶，倒推 $26\div2=\underline{13}$。
    6. 第 6 步：$13$ 奇，倒推 $13+5=\underline{18}$。
    7. 第 7 步：$18$ 偶，倒推 $18\div2=\underline{9}$。
    8. 第 8 步：$9$ 奇，倒推 $9+5=\underline{14}$。
    9. 第 9 步：$14$ 偶，倒推 $14\div2=\underline{7}$，即原数。
    最终答案：$7$。
  25. 27. ch09-xingqu-05 · 第一套
    1. 第 1 步（年龄差不变）：$60-12=\underline{48}$（岁）。
    2. 第 2 步（差倍关系）：$4$ 倍时年龄差是悦悦年龄的 $4-1=3$ 倍，悦悦 $=48\div3=\underline{16}$（岁）。
    3. 第 3 步（求年数）：$16-12=\underline{4}$（年）。
    4. 第 4 步（求年份）：$2008+4=\underline{2012}$。
    最终答案：$2012$ 年。
  26. 27. ch09-xingqu-05 · 第二套
    1. 第 1 步（年龄差不变）：$45-9=\underline{36}$（岁）。
    2. 第 2 步（差倍关系）：$4$ 倍时年龄差是儿子年龄的 $3$ 倍，儿子 $=36\div3=\underline{12}$（岁）。
    3. 第 3 步（求年数）：$12-9=\underline{3}$（年后）。
    最终答案：$3$ 年后（即从今年起第 $3$ 年）。
  27. 27. ch09-xingqu-05 · 第三套
    1. 第 1 步（年龄差不变）：$40-10=\underline{30}$（岁）。
    2. 第 2 步（差倍关系）：$7$ 倍时年龄差是当时儿子年龄的 $7-1=6$ 倍，那时儿子 $=30\div6=\underline{5}$（岁）。
    3. 第 3 步（求年数）：$10-5=\underline{5}$（年前）。
    最终答案：$5$ 年前。
  28. 27. ch09-xingqu-05 · 第三套
    1. 第 1 步（求爸爸年龄）：$8\times5=\underline{40}$（岁）。
    2. 第 2 步（年龄差不变）：$40-8=\underline{32}$（岁）。
    3. 第 3 步（差倍关系）：$3$ 倍时年龄差是当时儿子年龄的 $3-1=2$ 倍，那时儿子 $=32\div2=\underline{16}$（岁）。
    4. 第 4 步（求年数）：$16-8=\underline{8}$（年后）。
    最终答案：$8$ 年后。
  29. 28. ch09-xingqu-06 · 第一套
    1. 第 1 步（份数差）：父母年龄差设为 $1$ 份，$12$ 年后小刚 $=4$ 份，多出 $4-1=\underline{3}$（份）。
    2. 第 2 步（每份岁数）：$12$ 岁对应 $3$ 份，$1$ 份 $=12\div3=\underline{4}$（岁）。
    3. 第 3 步（今年小刚）：$1\times4=\underline{4}$（岁）。
    最终答案：$4$ 岁。
  30. 28. ch09-xingqu-06 · 第二套
    1. 第 1 步（份数差）：爸妈年龄差设为 $1$ 份，$4$ 年后妹妹 $=3$ 份，多出 $3-1=\underline{2}$（份）。
    2. 第 2 步（每份岁数）：$4$ 岁对应 $2$ 份，$1$ 份 $=4\div2=\underline{2}$（岁）。
    3. 第 3 步（今年妹妹）：$1\times2=\underline{2}$（岁）。
    最终答案：$2$ 岁。
  31. 28. ch09-xingqu-06 · 第三套
    1. 第 1 步（份数差）：父母年龄差设为 $1$ 份，$15$ 年后小乐 $=6$ 份，多出 $6-1=\underline{5}$（份）。
    2. 第 2 步（每份岁数）：$15$ 岁对应 $5$ 份，$1$ 份 $=15\div5=\underline{3}$（岁）。
    3. 第 3 步（今年小乐）：$1\times3=\underline{3}$（岁）。
    最终答案：$3$ 岁。
  32. 28. ch09-xingqu-06 · 第三套
    1. 第 1 步（份数差）：多出 $3-1=\underline{2}$（份）。
    2. 第 2 步（每份岁数）：$4$ 岁对应 $2$ 份，$1$ 份 $=4\div2=\underline{2}$（岁），即今年小明 $2$ 岁、也是父母年龄差。
    3. 第 3 步（求妈妈）：妈妈比爸爸小，年龄差 $2$ 岁，妈妈 $=38-2=\underline{36}$（岁）。
    最终答案：$36$ 岁。
  33. 29. ch09-xingqu-07 · 第一套
    1. 第 1 步（今年年龄差份数）：今年子 $=1$ 份，父是子 $6$ 倍，年龄差 $=6-1=\underline{5}$（份）。
    2. 第 2 步（那时子份数）：$24$ 年后父是子 $2$ 倍，年龄差 $=2-1=1$ 份，故那时子 $=5$ 份，比今年多 $5-1=\underline{4}$（份）。
    3. 第 3 步（每份岁数）：多的份数对应 $24$ 岁，$1$ 份 $=24\div4=\underline{6}$（岁）。
    4. 第 4 步（现龄）：父 $=6\times6=\underline{36}$（岁），子 $6$ 岁。
    最终答案：父亲 $36$ 岁，儿子 $6$ 岁。
  34. 29. ch09-xingqu-07 · 第二套
    1. 第 1 步（今年年龄差份数）：今年女儿 $=1$ 份，妈妈是女儿 $5$ 倍，年龄差 $=5-1=\underline{4}$（份）。
    2. 第 2 步（那时女儿份数）：$15$ 年后妈妈是女儿 $2$ 倍，年龄差 $=1$ 份，那时女儿 $=4$ 份，比今年多 $4-1=\underline{3}$（份）。
    3. 第 3 步（每份岁数）：多的份数对应 $15$ 岁，$1$ 份 $=15\div3=\underline{5}$（岁）。
    4. 第 4 步（现龄）：妈妈 $=5\times5=\underline{25}$（岁），女儿 $5$ 岁。
    最终答案：妈妈 $25$ 岁，女儿 $5$ 岁。
  35. 29. ch09-xingqu-07 · 第三套
    1. 第 1 步（今年年龄差份数）：今年子 $=1$ 份，父是子 $4$ 倍，年龄差 $=4-1=\underline{3}$（份）。
    2. 第 2 步（那时子份数）：$10$ 年后父是子 $2$ 倍，年龄差 $=1$ 份，那时子 $=3$ 份，比今年多 $3-1=\underline{2}$（份）。
    3. 第 3 步（每份岁数）：多的份数对应 $10$ 岁，$1$ 份 $=10\div2=\underline{5}$（岁）。
    4. 第 4 步（现龄）：父 $=4\times5=\underline{20}$（岁），子 $5$ 岁。
    最终答案：父亲 $20$ 岁，儿子 $5$ 岁。
  36. 29. ch09-xingqu-07 · 第三套
    1. 第 1 步（今年年龄差份数）：今年子 $=1$ 份，年龄差 $=5-1=\underline{4}$（份）。
    2. 第 2 步（求每份）：$15$ 年后子 $=4$ 份，比今年多 $4-1=\underline{3}$ 份对应 $15$ 岁，$1$ 份 $=15\div3=\underline{5}$（岁），即今年子 $5$ 岁、父 $25$ 岁、年龄差 $20$ 岁。
    3. 第 3 步（第三个时刻·差倍）：父是子 $3$ 倍时年龄差是当时子的 $3-1=2$ 倍，那时子 $=20\div2=\underline{10}$（岁）。
    4. 第 4 步（求年数）：$10-5=\underline{5}$（年后）。
    最终答案：$5$ 年后。
  37. 30. ch09-xingqu-08 · 第一套
    1. 第 1 步（跨 3 个年龄差）：从 $6$ 岁到 $48$ 岁跨 $3$ 个年龄差，一个年龄差 $=(48-6)\div3=\underline{14}$（岁）。
    2. 第 2 步（学生现龄）：$6+14=\underline{20}$（岁）。
    3. 第 3 步（老师现龄）：$20+14=\underline{34}$（岁）。
    最终答案：老师 $34$ 岁，学生 $20$ 岁。
  38. 30. ch09-xingqu-08 · 第二套
    1. 第 1 步（跨 3 个年龄差）：从 $3$ 岁到 $39$ 岁跨 $3$ 个年龄差，一个年龄差 $=(39-3)\div3=\underline{12}$（岁）。
    2. 第 2 步（妹妹现龄）：$3+12=\underline{15}$（岁）。
    3. 第 3 步（姐姐现龄）：$15+12=\underline{27}$（岁）。
    最终答案：姐姐 $27$ 岁，妹妹 $15$ 岁。
  39. 30. ch09-xingqu-08 · 第三套
    1. 第 1 步（跨 3 个年龄差）：从 $7$ 岁到 $37$ 岁跨 $3$ 个年龄差，一个年龄差 $=(37-7)\div3=\underline{10}$（岁）。
    2. 第 2 步（小的现龄）：$7+10=\underline{17}$（岁）。
    3. 第 3 步（大的现龄）：$17+10=\underline{27}$（岁）。
    最终答案：大的 $27$ 岁，小的 $17$ 岁。
  40. 30. ch09-xingqu-08 · 第三套
    1. 第 1 步（一个年龄差）：$(39-3)\div3=\underline{12}$（岁）。
    2. 第 2 步（现龄）：学生 $3+12=\underline{15}$（岁），老师 $15+12=\underline{27}$（岁）。
    3. 第 3 步（差倍）：老师是学生 $2$ 倍时，年龄差恰等于学生年龄，那时学生 $=12$ 岁，是现在的 $15-12=\underline{3}$（年前）。
    最终答案：$3$ 年前。
  41. 31. ch09-xingqu-09 · 第一套
    1. 第 1 步（总份数）：年龄设 $1$ 份、出生年份设 $80$ 份，合计 $80+1=\underline{81}$（份）等于 $2025$。
    2. 第 2 步（每份即年龄）：$2025\div81=\underline{25}$（岁）。
    3. 第 3 步（出生年份）：$25\times80=\underline{2000}$。
    最终答案：$2000$ 年。
  42. 31. ch09-xingqu-09 · 第二套
    1. 第 1 步（总份数）：年龄设 $1$ 份、出生年份设 $60$ 份，合计 $60+1=\underline{61}$（份）等于 $2013$。
    2. 第 2 步（每份即年龄）：$2013\div61=\underline{33}$（岁）。
    3. 第 3 步（出生年份）：$33\times60=\underline{1980}$。
    最终答案：$1980$ 年。
  43. 31. ch09-xingqu-09 · 第三套
    1. 第 1 步（总份数）：年龄设 $1$ 份、出生年份设 $62$ 份，合计 $62+1=\underline{63}$（份）等于 $2016$。
    2. 第 2 步（每份即年龄）：$2016\div63=\underline{32}$（岁）。
    3. 第 3 步（出生年份）：$32\times62=\underline{1984}$。
    最终答案：$1984$ 年。
  44. 31. ch09-xingqu-09 · 第三套
    1. 第 1 步（总份数）：$60+1=\underline{61}$（份）等于 $2013$。
    2. 第 2 步（每份即年龄）：$2013\div61=\underline{33}$（岁）。
    3. 第 3 步（小鹏出生年）：$33\times60=\underline{1980}$。
    4. 第 4 步（妹妹出生年）：妹妹比小鹏小 $6$ 岁，晚 $6$ 年出生，$1980+6=\underline{1986}$。
    最终答案：$1986$ 年。
  45. 32. ch09-xingqu-10 · 第一套
    1. 第 1 步（每年相对少）：三人和每年增 $3$、王伯伯增 $1$，相对少 $3-1=\underline{2}$（岁）。
    2. 第 2 步（总变化）：由“多 $9$”变到“少 $9$”，共变化 $9+9=\underline{18}$（岁）。
    3. 第 3 步（年数）：$18\div2=\underline{9}$（年后）。
    最终答案：$9$ 年后。
  46. 32. ch09-xingqu-10 · 第二套
    1. 第 1 步（每年相对少）：三人和每年增 $3$、老师增 $1$，相对少 $3-1=\underline{2}$（岁）。
    2. 第 2 步（总变化）：由“多 $6$”变到“少 $6$”，共变化 $6+6=\underline{12}$（岁）。
    3. 第 3 步（年数）：$12\div2=\underline{6}$（年后）。
    最终答案：$6$ 年后。
  47. 32. ch09-xingqu-10 · 第三套
    1. 第 1 步（每年相对少）：四人和每年增 $4$、王伯伯增 $1$，相对少 $4-1=\underline{3}$（岁）。
    2. 第 2 步（总变化）：由“多 $9$”变到“少 $9$”，共变化 $9+9=\underline{18}$（岁）。
    3. 第 3 步（年数）：$18\div3=\underline{6}$（年后）。
    最终答案：$6$ 年后。
  48. 32. ch09-xingqu-10 · 第三套
    1. 第 1 步（每年相对少）：$3-1=\underline{2}$（岁）。
    2. 第 2 步（总变化与年数）：共变化 $6+6=\underline{12}$（岁），年数 $=12\div2=\underline{6}$（年）。
    3. 第 3 步（王伯伯今年年龄）：比三人和多 $6$ 岁，$39+6=\underline{45}$（岁）。
    4. 第 4 步（那时王伯伯年龄）：再过 $6$ 年，$45+6=\underline{51}$（岁）。
    最终答案：$6$ 年后；那时王伯伯 $51$ 岁。