四年级第10讲数列与数表

1. 【原题 ch10-chaoyue-01】下面的数组是按一定顺序排列的：$(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),\cdots$。请问：（1）第 $70$ 个括号内的数分别是多少？（2）前 $50$ 个括号内各数之和是多少？

详细思路

是哪类问题：「二元数组按和分组的定位与求和」：按括号内两数之和分大组，用三角形数定位、按组求和。

关键切入点：把两数之和相同的括号归为一个大组：第 $k$ 大组含 $k$ 个括号，各括号两数之和都是 $k+1$，第 $i$ 个括号是 $(i,\,k+1-i)$。前 $n$ 大组共 $1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$ 个括号；第 $k$ 大组所有数之和 $=k(k+1)$。

方法概述：三角形数定大组，(i, k+1-i) 定括号，k(k+1) 求组和。

规范步骤：

前 11、12 大组括号数：$\frac{11\times 12}{2}=66,\ \frac{12\times 13}{2}=78$（三角形数累计）
第 70 括号 = 第 12 大组第 4 个：$70-66=4$，$(4,\,13-4)=(4,9)$（定位）
前 50 括号和：$(1\cdot2+2\cdot3+\cdots+9\cdot10)+11\times 5=330+55=385$（分组求和）
写出答案：$（1）(4,9)；（2）385$

第一套

题目：数组 $(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),\cdots$ 按规律排列。求：（1）第 $100$ 个括号内的两个数；（2）前 $80$ 个括号内各数之和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（定位第 100 括号）：前 13 大组共 $\frac{13\times 14}{2}=\underline{\quad}$，前 14 大组共 105，第 100 括号在第 14 大组第 $100-91=\underline{\quad}$ 个，是 $(9,\,15-9)=(9,\underline{\quad})$。
第 2 步（前 12 大组的和）：各大组和 $k(k+1)$ 相加 $=\underline{\quad}$。
第 3 步（第 13 大组补充部分）：第 13 大组各括号和为 14，前 2 个括号和 $=14\times 2=\underline{\quad}$。
第 4 步（总和）：$728+28=\underline{\quad}$。

第二套

题目：电影院按“楼层-座位”给出一串二元编号 $(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),\cdots$。求：（1）第 $70$ 个编号里的两个数；（2）前 $50$ 个编号里各数之和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（定位第 70 编号）：前 11 大组共 $\frac{11\times 12}{2}=\underline{\quad}$，前 12 大组 78，第 70 编号在第 12 大组第 $70-66=\underline{\quad}$ 个，是 $(4,\,13-4)=(4,\underline{\quad})$。
第 2 步（前 9 大组的和）：各大组和 $k(k+1)$ 相加 $=\underline{\quad}$。
第 3 步（第 10 大组补充部分）：第 10 大组各编号和为 11，前 5 个和 $=11\times 5=\underline{\quad}$。
第 4 步（总和）：$330+55=\underline{\quad}$。

第三套

题目：数组 $(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),\cdots$。求：（1）第 $60$ 个括号内的两个数；（2）前 $40$ 个括号内各数之和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（定位第 60 括号）：前 10 大组共 $\frac{10\times 11}{2}=\underline{\quad}$，第 60 括号在第 11 大组第 $60-55=\underline{\quad}$ 个，是 $(5,\,12-5)=(5,\underline{\quad})$。
第 2 步（前 8 大组的和）：$1\cdot2+2\cdot3+\cdots+8\cdot9=\underline{\quad}$。
第 3 步（第 9 大组补充部分）：第 9 大组各括号和为 10，前 4 个和 $=10\times 4=\underline{\quad}$。
第 4 步（总和）：$240+40=\underline{\quad}$。

第三套

题目：数组 $(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),\cdots$。求：（1）第 $70$ 个括号内两数的乘积；（2）前 $50$ 个括号内各数之和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（定位第 70 括号）：前 11 大组共 66，第 70 括号在第 12 大组第 4 个，是 $(4,9)$。
第 2 步（乘积）：两数乘积 $=4\times 9=\underline{\quad}$。
第 3 步（前 50 括号和）：前 9 大组和 330 加第 10 大组前 5 个（和 55），$330+55=\underline{\quad}$。

2. 【原题 ch10-chaoyue-02】桌子上有一堆球，如果球的总数量是 $10$ 的倍数，就平均分成 $10$ 堆并拿走其中 $9$ 堆；如果球的总数量不是 $10$ 的倍数，就添加不多于 $9$ 个球，使球数变为 $10$ 的倍数，再平均分成 $10$ 堆并拿走其中 $9$ 堆。这个过程称为一次“操作”。若球仅为一个，则不做“操作”。如果最初有 $194919481947\cdots\cdots 54321$ 个球，那么经过多少次“操作”后仅余下一个球？

详细思路

是哪类问题：「十进制去末位·操作次数与位数」：每次操作等价于在十进制下抹去末位，操作次数等于位数减 1。

关键切入点：若球数不是 10 的倍数，先补足成 10 的倍数，再平均分 10 堆拿走 9 堆，相当于（补位后）除以 10、即去掉末位一位数字。每次操作使位数减少 1，从多位数减到 1 位需“位数 −1”次操作。

方法概述：认识每次操作等于抹去末位，次数 = 位数 − 1。

规范步骤：

每次操作抹去一位：补足后 $\div 10$ = 去末位（去末位）
次数 = 位数 − 1：位数 $-1$ 次（位数计数）

3. 【原题 ch10-chaoyue-03】如图 $10\text{-}18$ 所示的数阵中，将满足下列条件的两个数分为一组：它们上下相邻，且和为 $391$。问：在所有这样的数组中，哪一组的两个数乘积最小？

详细思路

是哪类问题：「蛇形数阵相邻和·和一定时积的最值」：先确定和为 391 的相邻两行，再用“和一定时两数越远乘积越小”取最小积。

关键切入点：数阵蛇形排列，第 1 行 $1$~$15$、第 2 行从右到左 $16$~$30$……上下相邻两数（同一竖列、相邻两行）之和随行成等差递增：$31,61,91,\cdots$。找到相邻两数和为 $391$ 的两行后，和一定时两数越接近积越大、越远离积越小。

方法概述：定和为 391 的相邻两行，再用和定积最值取最小积。

规范步骤：

相邻两行的和成等差：$31,61,91,\cdots$（蛇形相邻和）
和一定时两数越远积越小：取相差最大的一组 $181$ 和 $210$（和定积最值）

4. 【原题 ch10-chaoyue-04】如图 $10\text{-}19$ 中的数字是按一定规律排列的，那么第 $6$ 行第 $23$ 列的数字是多少？

详细思路

是哪类问题：「对角线逐位排数·按位数分段计数」：把自然数逐位填入对角线，按位数分段确定目标位置上的数字。

关键切入点：自然数 $1,2,3,\cdots$ 逐位（一位一位）写入对角线，第 $n$ 条对角线上有 $n$ 个数字。用三角形数累计对角线上的数字个数，再按位数分段确定目标格所在的数与位次。

方法概述：逐位填对角线，用三角形数与位数分段定位数字。

规范步骤：

前 22 列数字个数：$1+2+\cdots+22=\frac{22\times 23}{2}=253$（三角形数累计）
定位到具体数字：落在三位数 $123$ 的第一位，为 $1$（分段定位）

5. 【原题 ch10-chaoyue-05】将“白、旦、田、由、甲、申”这六个字按如图 $10\text{-}20$ 所示的方式排列。请问：（1）第 $1$ 行从左往右数第 $15$ 个字是什么？（2）第 $1$ 列从上往下数第 $25$ 个字是什么？（3）第 $25$ 行的第 $15$ 个字是什么？

详细思路

是哪类问题：「周期循环排列·斜行定位」：把六字看成周期为 6 的循环，按斜线位置用余数确定字。

关键切入点：“白、旦、田、由、甲、申”六个字按斜行方式循环排列，以 6 个字为一周期。某位置对应第几条斜线、循环中的第几个字，用三角形数与余数确定。

方法概述：六字周期 6，按斜线位置用余数定位。

规范步骤：

第 25 行第 15 字的序号：$1+2+\cdots+24+1=301$（斜线累计）
余数定字：$301\div 6=50\cdots 1$，循环第 1 个字“申”（余数定位）

6. 【原题 ch10-chaoyue-06】将自然数从 $1$ 开始，顺次排成如图 $10\text{-}21$ 所示的螺旋形，其中 $2,3,5,7,\cdots$ 处为拐点。请问：（1）第 $30$ 个拐点处的数是多少？（2）前 $30$ 个拐点处的各数之和是多少？

详细思路

是哪类问题：「螺旋数阵拐点数的规律与求和」：把拐点处的数按奇偶序号分别写成 n²+1、n²+n+1，再求和。

关键切入点：拐点处的数按序号奇偶分两类：第 $(2m-1)$ 个（奇序）拐点 $=m^2+1$；第 $(2m)$ 个（偶序）拐点 $=m^2+m+1$。求前若干个拐点之和时，把两类分别按平方数列与等差数列求和。

方法概述：奇偶序号拐点分别写成 m²+1、m²+m+1，再分类求和。

规范步骤：

第 30 个拐点（第 15 个偶序）：$15^2+15+1=241$（偶序公式）
前 30 个拐点之和：$2\times(1^2+\cdots+15^2)+(1+\cdots+15)+1\times 30=2\times 1240+120+30=2630$（分类求和）
写出答案：$（1）241；（2）2630$

第一套

题目：自然数从 $1$ 开始顺次排成螺旋形，拐点处的数满足：第 $(2m-1)$ 个拐点 $=m^2+1$，第 $2m$ 个拐点 $=m^2+m+1$。求：（1）第 $40$ 个拐点处的数；（2）前 $40$ 个拐点处各数之和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（第 40 拐点）：$40$ 是第 $20$ 个偶序拐点，值 $=20^2+20+1=\underline{\quad}$。
第 2 步（平方和）：$1^2+2^2+\cdots+20^2=\underline{\quad}$。
第 3 步（前 40 拐点和）：$2\times 2870+(1+\cdots+20)+1\times 40=2\times 2870+210+40=\underline{\quad}$。

第二套

题目：螺旋楼梯的拐角依次编号，拐角处的编号满足：第 $(2m-1)$ 个拐角 $=m^2+1$，第 $2m$ 个拐角 $=m^2+m+1$。求：（1）第 $30$ 个拐角的编号；（2）前 $30$ 个拐角编号之和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（第 30 拐角）：$30$ 是第 $15$ 个偶序拐角，编号 $=15^2+15+1=\underline{\quad}$。
第 2 步（平方和）：$1^2+2^2+\cdots+15^2=\underline{\quad}$。
第 3 步（前 30 拐角和）：$2\times 1240+(1+\cdots+15)+1\times 30=2\times 1240+120+30=\underline{\quad}$。

第三套

题目：螺旋形拐点满足：第 $(2m-1)$ 个拐点 $=m^2+1$，第 $2m$ 个拐点 $=m^2+m+1$。求：（1）第 $25$ 个拐点处的数；（2）前 $25$ 个拐点处各数之和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（第 25 拐点）：$25=2\times 13-1$ 是第 $13$ 个奇序拐点，值 $=13^2+1=\underline{\quad}$。
第 2 步（前 24 拐点和，按对配）：前 24 个拐点是 $m=1$ 到 $12$ 各一对，每对和 $=2m^2+m+2$，$2\times(1^2+\cdots+12^2)+(1+\cdots+12)+2\times 12=2\times 650+78+24=\underline{\quad}$。
第 3 步（前 25 拐点和）：$1402+170=\underline{\quad}$。

第三套

题目：螺旋形拐点满足：第 $(2m-1)$ 个拐点 $=m^2+1$，第 $2m$ 个拐点 $=m^2+m+1$。求第 $21$ 个到第 $40$ 个拐点处各数之和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（前 40 拐点和）：由前法，前 40 个拐点之和 $=5990$。
第 2 步（前 20 拐点和，按对配）：前 20 个拐点是 $m=1$ 到 $10$ 各一对，$2\times(1^2+\cdots+10^2)+(1+\cdots+10)+2\times 10=2\times 385+55+20=\underline{\quad}$。
第 3 步（区间求和）：$5990-845=\underline{\quad}$。

7. 【原题 ch10-chaoyue-07】如图 $10\text{-}22$，把从 $1$ 开始连续的自然数按照一定的顺序排成数表。如果这个数表有 $40$ 行，请通过计算回答下列问题：（1）第 $1$ 行的数是多少？（2）第 $20$ 行中的最大数与最小数之和是多少？（3）第 $35$ 行中的最大数与最小数之和是多少？

详细思路

是哪类问题：「回形（螺旋）数表·行内最值定位」：按回形扩展规律确定每行的首数与最值，再求和。

关键切入点：数表按回形（螺旋阶梯）方式排列，“1”为中心向外逐圈扩展。由排列规律可算出第 1 行的数与各行的最大、最小数，再配对求和。

方法概述：按回形扩展规律确定行首与最值后求和。

规范步骤：

第 1 行的数：$820-(40-1)=781$（回形扩展）
第 35 行最大数：$820-(40-35)=815$（行内最值）

8. 【原题 ch10-chaoyue-08】如图 $10\text{-}23$，$25$ 个同样大小的等边三角形拼成了一个大等边三角形。在每个小三角形的顶点处都标有一个数，使得任何两个相邻小等边三角形所构成的菱形的两组相对的顶点上所放置的数的和都相等。已知在大等边三角形的三个顶点放置的数分别是 $100$、$200$、$300$，求所有顶点上数的总和。

详细思路

是哪类问题：「菱形相对顶点和相等·整体求和」：由菱形两组相对顶点和相等导出顶点数的等差关系，再逐层求和。

关键切入点：任何两个相邻小三角形构成的菱形，两组相对顶点上数的和相等，由此可推出各顶点数沿每行构成等差关系。利用大三角形三个顶点 $100,200,300$ 逐层推算，得所有顶点数之和为 $4200$。

方法概述：由菱形相对顶点和相等导出等差关系，再逐层求和。

规范步骤：

菱形相对顶点和相等：$A+B=C+E$ 等关系（条件转化）
利用三顶点求总和：由 $100,200,300$ 推得总和 $4200$（整体求和）

9. 【原题 ch10-tuozhan-01】请观察下列数列的规律：$1,100,2,98,3,96,2,94,1,92,\cdots$。请问：（1）这个数列中有多少项是 $2$？（2）这个数列所有项的总和是多少？

详细思路

是哪类问题：「合成数列（奇位周期 + 偶位等差）的计数与求和」：把奇、偶位拆成周期数列与等差数列分别计数、求和。

关键切入点：奇数位是周期 $1,2,3,2$；偶数位是首项 100、公差 2 递减到 0 的等差数列（51 项）。周期数列也是 51 项。$2$ 的个数 = 周期中的 $2$（每周期 2 个）+ 等差中的一个 $2$。

方法概述：奇偶拆分，等差定项数，周期分组计数与求和。

规范步骤：

偶位等差 100,98,\cdots,0 项数：$(100-0)\div 2+1=51$（等差计数）
奇位 51 项数 2 的个数：$51\div 4=12\cdots 3$，$12\times 2+1=25$；等差含 1 个 2，共 26（周期计数）
奇位求和：$(1+2+3+2)\times 12+(1+2+3)=102$（周期求和）
偶位求和：$(100+0)\times 51\div 2=2550$（等差求和）
总和：$2550+102=2652$（合并）

第一套

题目：数列 $1,120,2,118,3,116,2,114,1,112,\cdots,0$：奇数位循环 $1,2,3,2$，偶数位是 $120,118,\cdots,0$。求：（1）数列中有多少项是 $2$？（2）所有项的总和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（偶位项数）：偶位 $120,118,\cdots,0$，项数 $=120\div 2+1=\underline{\quad}$。
第 2 步（数“2”的个数）：奇位 61 项，$61\div 4=15$ 余 $1$，每周期含 2 个“2”，奇位共 $15\times 2=\underline{\quad}$ 个；偶位含一个“2”，合计 $30+1=\underline{\quad}$。
第 3 步（奇位求和）：$(1+2+3+2)\times 15+1=\underline{\quad}$（余 1 项是首个 1）。
第 4 步（偶位求和）：$(120+0)\times 61\div 2=\underline{\quad}$。
第 5 步（总和）：$3660+121=\underline{\quad}$。

第二套

题目：连续若干天记录两个读数，交替排成 $1,100,2,98,3,96,2,94,\cdots,0$：奇数位循环 $1,2,3,2$，偶数位是 $100,98,\cdots,0$。求：（1）序列中有多少个 $2$？（2）所有读数之和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（偶位项数）：偶位 $100,98,\cdots,0$，项数 $=100\div 2+1=\underline{\quad}$。
第 2 步（数“2”的个数）：奇位 51 项，$51\div 4=12$ 余 $3$，$12\times 2+1=\underline{\quad}$；偶位含一个 2，合计 $25+1=\underline{\quad}$。
第 3 步（奇位求和）：$(1+2+3+2)\times 12+(1+2+3)=\underline{\quad}$。
第 4 步（偶位求和）：$(100+0)\times 51\div 2=\underline{\quad}$。
第 5 步（总和）：$2550+102=\underline{\quad}$。

第三套

题目：数列 $1,100,2,98,3,96,1,94,\cdots,0$：奇数位循环 $1,2,3$，偶数位是 $100,98,\cdots,0$（51 项）。求：（1）数列中有多少个 $3$？（2）所有项之和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（奇位项数）：与偶位相同，奇位 51 项。
第 2 步（数“3”的个数）：周期 $(1,2,3)$ 每周期 1 个“3”，$51\div 3=17$ 周期，共 $17\times 1=\underline{\quad}$ 个；偶位都是偶数，合计 $=\underline{\quad}$。
第 3 步（奇位求和）：每周期和 $1+2+3=6$，$17\times 6=\underline{\quad}$。
第 4 步（总和）：$2550+102=\underline{\quad}$。

第三套

题目：数列的奇数位是等差 $1,3,5,\cdots$（公差 2，共 51 项），偶数位是等差 $100,98,\cdots,0$（共 51 项），两者交替排列。求所有项之和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（奇位末项）：奇位 $1,3,5,\cdots$ 共 51 项，末项 $=1+(51-1)\times 2=\underline{\quad}$。
第 2 步（奇位求和）：$(1+101)\times 51\div 2=\underline{\quad}$。
第 3 步（偶位求和）：$(100+0)\times 51\div 2=\underline{\quad}$。
第 4 步（总和）：$2601+2550=\underline{\quad}$。

10. 【原题 ch10-tuozhan-02】观察数组 $(1,2,3),(3,4,5),(5,6,7),\cdots$，求：（1）第 $20$ 组中三个数的和；（2）前 $20$ 组中所有数的和。

详细思路

是哪类问题：「等差型数组的求和」：用每组中间数确定组和，再对组数求和。

关键切入点：数组 $(1,2,3),(3,4,5),(5,6,7),\cdots$ 中，第 n 组的中间数是 $2n$，组和 = 中间数×3 = $6n$。总和 = $6\times(1+2+\cdots+n)$。

方法概述：中间数 2n，组和 6n，总和 6×组数之和。

规范步骤：

第 20 组中间数 = 40，组和：$40\times 3=120$（组和=中间数×3）
前 20 组和：$6\times(1+2+\cdots+20)=6\times 210=1260$（整体求和）
写出答案：$（1）120；（2）1260$

第一套

题目：观察数组 $(1,2,3),(3,4,5),(5,6,7),\cdots$，求：（1）第 $30$ 组三个数的和；（2）前 $30$ 组中所有数的和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（第 30 组中间数）：第 $n$ 组中间数 $=2n$，第 30 组中间数 $=2\times 30=\underline{\quad}$。
第 2 步（组和）：$60\times 3=\underline{\quad}$。
第 3 步（组数之和）：$1+2+\cdots+30=\frac{30\times 31}{2}=\underline{\quad}$。
第 4 步（前 30 组和）：$6\times 465=\underline{\quad}$。

第二套

题目：货架按“三连号”摆放商品：第 $1$ 组 $(1,2,3)$、第 $2$ 组 $(3,4,5)$、第 $3$ 组 $(5,6,7)\cdots$。求：（1）第 $20$ 组三个号码之和；（2）前 $20$ 组所有号码之和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（第 20 组中间号码）：第 $n$ 组中间号码 $=2n$，第 20 组 $=2\times 20=\underline{\quad}$。
第 2 步（组和）：$40\times 3=\underline{\quad}$。
第 3 步（组数之和）：$1+2+\cdots+20=\frac{20\times 21}{2}=\underline{\quad}$。
第 4 步（前 20 组和）：$6\times 210=\underline{\quad}$。

第三套

题目：数组 $(2,4,6),(6,8,10),(10,12,14),\cdots$，每组是三个连续偶数，组间中间数差 $4$。求：（1）第 $15$ 组三数之和；（2）前 $15$ 组所有数之和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（中间数规律）：第 $n$ 组中间数 $=4n$，第 15 组中间数 $=4\times 15=\underline{\quad}$。
第 2 步（组和）：$60\times 3=\underline{\quad}$。
第 3 步（组数之和）：$1+2+\cdots+15=\frac{15\times 16}{2}=\underline{\quad}$。
第 4 步（前 15 组和）：组和 $=12n$，前 15 组和 $=12\times 120=\underline{\quad}$。

第三套

题目：数组 $(1,2,3),(3,4,5),(5,6,7),\cdots$，已知某组三数之和是 $300$。求：这是第几组？并求前这一组的所有数之和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（逆推组号）：组和 $=6n=300$，组号 $n=300\div 6=\underline{\quad}$。
第 2 步（组数之和）：$1+2+\cdots+50=\frac{50\times 51}{2}=\underline{\quad}$。
第 3 步（前 50 组和）：$6\times 1275=\underline{\quad}$。

11. 【原题 ch10-tuozhan-03】一列由两个数组成的数组：$(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),\cdots$，请问：（1）第 $100$ 组内的两数之和是多少？（2）前 $55$ 组中“$5$”这个数出现了多少次？

详细思路

是哪类问题：「二元数组按和分组·三角形数」：把两数之和相同的括号归为一大组，用三角形数确定位置。

关键切入点：把两数之和相同的括号分为一大组：和为 2 的有 1 组、和为 3 的有 2 组……和为 $s$ 的有 $s-1$ 组。前若干大组的括号总数用三角形数累加，从而定位第几个括号在哪一大组。（注：题库标注第 100 组两数之和为 23 有误，正解为 15——第 100 个括号落在和为 15 的大组，两数之和即 15。）

方法概述：按两数之和分大组，用三角形数确定位置并计数。

规范步骤：

按两数之和分大组：两数之和为 $s$ 的括号有 $s-1$ 个：和 2 有 1 个、和 3 有 2 个、$\cdots$、和 $s$ 有 $s-1$ 个（分组规律）
累计括号数（三角形数）：到“和为 $s$”为止括号总数 $=1+2+\cdots+(s-1)=\frac{(s-1)s}{2}$；到和 14 为止 $\frac{13\times 14}{2}=91$，到和 15 为止 $\frac{14\times 15}{2}=105$（三角形数累计）
定位第 100 个括号：$91<100\le 105$，故第 100 个括号落在“和为 15”的大组内，其两数之和 $=15$（定位）
写出答案：$（1）$ 两数之和为 $15$；$（2）11$ 次

12. 【原题 ch10-tuozhan-04】有一列数，第一个数是 $3$，第二个数是 $4$，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的和的个位数。从这列数中取出连续的 $50$ 个数，并求出它们的和，所得的和最大是多少？如果从中取出连续的 $500$ 个数，这 $500$ 个数的和最大又是多少？

详细思路

是哪类问题：「递推个位数列的周期与最大连续和」：找出周期，连续取数时使包含的高值数最多。

关键切入点：从 $3,4$ 起，每项是前两项和的个位数：$3,4,7,1,8,9,7,6,3,9,2,1,3,4,\cdots$。代码核算这列数以 12 个为周期循环（$3,4,7,1,8,9,7,6,3,9,2,1$）。求连续若干项的最大和，应让所取区间尽量多包含高值数。

方法概述：找出周期，连续取数时使高值数最多，从而和最大。

规范步骤：

写出数列并观察循环：$3,4,7,1,8,9,7,6,3,9,2,1,3,4,\cdots$（递推个位数）
前 8 项之和：$3+4+7+1+8+9+7+6=45$（分段求和）

13. 【原题 ch10-tuozhan-05】如图 $10\text{-}8$，把从 $1$ 开始的自然数填在图上：$1$ 在射线 $OA$ 上，$2$ 在射线 $OB$ 上，$3$ 在射线 $OC$ 上，$4$ 在射线 $OD$ 上，$5$ 在射线 $OE$ 上，$6$ 在射线 $OF$ 上，$7$ 在射线 $OG$ 上，$8$ 在射线 $OH$ 上，$9$ 又回到射线 $OA$ 上……如此循环下去。问：$78$ 在哪条射线上？射线 $OA$ 上的第 $30$ 个数是多少？

详细思路

是哪类问题：「循环排列·余数定位」：把每条射线上的数看成等差数列，用余数确定数落在哪条射线。

关键切入点：自然数沿 8 条射线循环排列，每条射线上的数构成公差为 8 的等差数列。用 $78\div 8$ 的余数判断 $78$ 落在从起点数第几条射线上。OA 上依次为 $1,9,17,25,\cdots$（首项 1、公差 8），第 30 个数 $=1+(30-1)\times 8=233$。（注：题库标注 OA 上第 30 个数为 237 有误——OA 上的数均 $\equiv 1\pmod 8$，而 $237\equiv 5\pmod 8$ 根本不落在 OA 上，正解为 233。）

方法概述：每条射线上的数是公差 8 的等差数列，用余数定位。

规范步骤：

78÷8 定射线：$78\div 8=9\cdots 6$，落在第 6 条射线 $OF$（余数定位）
OA 上第 30 个数：OA 上 $1,9,17,\cdots$ 公差 8，第 30 个 $=1+(30-1)\times 8=233$（等差通项）

14. 【原题 ch10-tuozhan-06】如图 $10\text{-}9$，将从 $5$ 开始的连续自然数按规律填入数阵中。请问：（1）$123$ 应该排在第几列？（2）第 $2$ 行第 $20$ 列的数是多少？

详细思路

是哪类问题：「数阵竖排定位」：把每列看作周期，用项数与余数确定列号及具体数值。

关键切入点：从 5 开始的自然数竖着排，每列从上到下 5 个。数 $x$ 是数列的第 $x-4$ 项；用 $(项数-1)\div 5$ 的商定列、余数定行；反过来第 $r$ 行第 $c$ 列是第 $(c-1)\times 5+r$ 项，值为 $4+项数$。

方法概述：数 x 是第 (x-4) 项，(项-1)÷5 定列、余定行。

规范步骤：

123 是第 119 项，定列行：$123-4=119,\ 119\div 5=23\cdots 4$，第 24 列第 4 行（项数定位）
第 2 行第 20 列是第 97 项，求值：$19\times 5+2=97,\ 4+97=101$（反查求值）
写出答案：$（1）第 24 列；（2）101$

第一套

题目：从 $5$ 开始的自然数竖着排入数阵，每列从上到下 $5$ 个。求：（1）$258$ 排在第几列？（2）第 $3$ 行第 $30$ 列的数是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（258 的项数与列）：$258$ 是第 $258-4=\underline{\quad}$ 项，$254\div 5=50$ 余 $4$，在第 51 列第 $\underline{\quad}$ 行。
第 2 步（第 3 行第 30 列的项数）：前 29 列共 $29\times 5=\underline{\quad}$ 个数，第 30 列第 3 个是第 $145+3=\underline{\quad}$ 项。
第 3 步（求值）：第 148 项的值 $=148+4=\underline{\quad}$。

第二套

题目：图书馆把编号从 $5$ 开始的书竖着上架，每列从上到下放 $5$ 本。求：（1）$123$ 号书在第几列？（2）第 $2$ 行第 $20$ 列是几号书？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（123 的项数与列）：$123$ 是第 $123-4=\underline{\quad}$ 项，$119\div 5=23$ 余 $4$，在第 24 列第 $\underline{\quad}$ 行。
第 2 步（第 2 行第 20 列的项数）：$19\times 5+2=\underline{\quad}$ 项。
第 3 步（求值）：第 97 项的值 $=97+4=\underline{\quad}$。

第三套

题目：从 $10$ 开始的自然数竖着排，每列从上到下 $6$ 个。求：（1）$100$ 在第几列？（2）第 $2$ 行第 $10$ 列的数是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（100 的项数与列）：数 $x$ 是第 $x-9$ 项，$100$ 是第 $100-9=\underline{\quad}$ 项，$91\div 6=15$ 余 $1$，在第 16 列第 $\underline{\quad}$ 行。
第 2 步（第 2 行第 10 列的项数）：前 9 列共 $9\times 6=\underline{\quad}$ 个，第 10 列第 2 个是第 $54+2=\underline{\quad}$ 项。
第 3 步（求值）：第 56 项的值 $=9+56=\underline{\quad}$。

第三套

题目：从 $5$ 开始的自然数竖着排，每列 $5$ 个。求第 $10$ 列这 $5$ 个数之和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（第 10 列的项范围）：前 9 列共 $9\times 5=\underline{\quad}$ 个，第 10 列是第 46 到 50 项。
第 2 步（首末数值）：第 46 项 $=46+4=\underline{\quad}$，第 50 项 $=50+4=\underline{\quad}$。
第 3 步（整列求和）：$(50+54)\times 5\div 2=\underline{\quad}$。

15. 【原题 ch10-tuozhan-07】如图 $10\text{-}10$ 所示，将自然数有规律地填入方格表中。请问：（1）$500$ 在第几行第几列？（2）第 $100$ 行第 $2$ 列是多少？

详细思路

是哪类问题：「奇偶行错位方格表的定位」：以每两行 9 个数为周期，用除法定行，再按偶数行规律定列。

关键切入点：奇数行有 6 个数（占第 1~6 列），偶数行有 3 个数（占第 2、4、6 列），每两行共 $6+3=9$ 个数。用 $n\div 9$ 的商与余定位第几个“两行周期”，再按奇偶行确定列。

方法概述：每两行 9 个数为周期，除法定行、按奇偶行定列。

规范步骤：

500÷9=55 余 5，55 周期占 110 行：$500\div 9=55\cdots 5$，$55\times 2=110$（周期定行）
余 5 在第 111 行（奇数行）第 5 个，占第 5 列：$500$ 在第 111 行第 5 列（行内定列）
第 100 行（偶）第 2 列：前 98 行 49 周期 $=441$，第 99 行到 447，第 100 行第 1 个 $=448$（定列）
写出答案：$（1）第 111 行第 5 列；（2）448$

第一套

题目：方格表中奇数行有 $6$ 个数（占第 $1$~$6$ 列），偶数行有 $3$ 个数（占第 $2,4,6$ 列），自然数从 $1$ 开始按行依次填。求：（1）$800$ 在第几行第几列？（2）第 $150$ 行第 $4$ 列的数是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（800 的周期）：$800\div 9=88$ 余 $8$，$88$ 个周期占 $88\times 2=\underline{\quad}$ 行。
第 2 步（定位 800）：第 177 行（奇）放前 6 个，余 $8-6=\underline{\quad}$ 个进入第 178 行（偶），第 178 行第 2 个是 $800$，偶数行第 2 个数占第 4 列。
第 3 步（第 150 行）：前 148 行 $=74$ 周期共 $74\times 9=\underline{\quad}$ 个数，第 149 行到 672，第 150 行第 1 个 $=666+7=\underline{\quad}$。
第 4 步（第 4 列）：偶数行占第 $2,4,6$ 列，第 4 列是该行第 2 个 $=673+1=\underline{\quad}$。

第二套

题目：剧院座位错落排列：奇数排有 $6$ 个座位（第 $1$~$6$ 列），偶数排有 $3$ 个（第 $2,4,6$ 列），座号从 $1$ 开始按排依次编。求：（1）$500$ 号在第几排第几列？（2）第 $100$ 排第 $2$ 列是几号？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（500 的周期）：$500\div 9=55$ 余 $5$，$55$ 周期占 $55\times 2=\underline{\quad}$ 排。
第 2 步（定列）：第 111 排（奇）第 5 个座位，奇数排第 $k$ 个占第 $k$ 列，即第 $\underline{\quad}$ 列。
第 3 步（第 100 排）：前 98 排 $49$ 周期共 $49\times 9=\underline{\quad}$ 个，第 99 排到 447，第 100 排第 1 个 $=447+1=\underline{\quad}$，它占第 2 列。

第三套

题目：方格表中奇数行有 $5$ 个数（第 $1$~$5$ 列），偶数行有 $2$ 个数（第 $2,4$ 列），自然数从 $1$ 开始按行填。求 $300$ 在第几行第几列？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（每两行个数）：奇数行 5 个 + 偶数行 2 个 $=\underline{\quad}$ 个。
第 2 步（定周期）：$300\div 7=42$ 余 $6$，$42$ 周期占 $42\times 2=\underline{\quad}$ 行。
第 3 步（定位）：第 85 行（奇）放 5 个到 299，余 $6-5=\underline{\quad}$ 进入第 86 行（偶）第 1 个 $=300$，偶数行第 1 个占第 2 列。

第三套

题目：方格表奇数行 $6$ 个、偶数行 $3$ 个，每两行 $9$ 个，自然数从 $1$ 起按行填。求第 $100$ 行三个数之和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（第 100 行首数）：前 98 行 $49$ 周期共 $49\times 9=441$，第 99 行到 447，第 100 行第 1 个 $=447+1=\underline{\quad}$。
第 2 步（三数求和）：第 100 行是 $448,449,450$，$448+449+450=\underline{\quad}$。

16. 【原题 ch10-tuozhan-08】如图 $10\text{-}11$ 所示，数阵中的数字是按一定规律排列的。这个数阵中第 $60$ 行左起第 $4$ 个数字是多少？

详细思路

是哪类问题：「自然数数字串的第几位」：把自然数逐位写成数字串，按位数分段确定第几个数字。

关键切入点：每行 8 个数字，第 $r$ 行第 $c$ 个数字是整串第 $(r-1)\times 8+c$ 个数字。按位数分段：$1$~$9$ 共 9 个数字、$10$~$99$ 共 180 个数字（累计 189），据此判断目标落在哪个数、是它的第几位。

方法概述：算总位序，按位数分段定位。

规范步骤：

第 60 行第 4 个数字的总位序：$(60-1)\times 8+4=476$（位序换算）
减去一、二位数字：$476-189=287$，落在三位数段（分段）
定位到具体的数：$287\div 3=95\cdots 2$，第 96 个三位数 $=100+95=195$，余 2 → 第 2 位（定位）
读出数字：$195$ 的第 2 位是 $9$（读数字）

第一套

题目：把自然数 $1,2,3,\cdots$ 逐位写成一个数字串，每行 $8$ 个数字。求第 $80$ 行第 $5$ 个数字是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（总位序）：第 80 行第 5 个 $=(80-1)\times 8+5=\underline{\quad}$。
第 2 步（减去一、二位数字）：$1$~$9$ 共 9 个、$10$~$99$ 共 180 个（累计 189），$637-189=\underline{\quad}$ 落在三位数段。
第 3 步（定位到具体的数）：$448\div 3=149$ 余 $1$，第 150 个三位数 $=100+149=\underline{\quad}$。
第 4 步（读出数字）：余 1 对应 $249$ 的第 1 位 $=\underline{\quad}$。

第二套

题目：打字机把自然数 $1,2,3,\cdots$ 一位一位连续打出，每行 $8$ 个字符。求第 $60$ 行第 $4$ 个字符是哪个数字？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（总位序）：第 60 行第 4 个 $=(60-1)\times 8+4=\underline{\quad}$。
第 2 步（减去一、二位数字）：累计 189 个后，$476-189=\underline{\quad}$ 落在三位数段。
第 3 步（定位到具体的数）：$287\div 3=95$ 余 $2$，第 96 个三位数 $=100+95=\underline{\quad}$。
第 4 步（读出数字）：余 2 对应 $195$ 的第 2 位 $=\underline{\quad}$。

第三套

题目：把自然数 $1,2,3,\cdots$ 逐位写成数字串，每行 $10$ 个数字。求第 $50$ 行第 $7$ 个数字是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（总位序）：第 50 行第 7 个 $=(50-1)\times 10+7=\underline{\quad}$。
第 2 步（减去一、二位数字）：$497-189=\underline{\quad}$ 落在三位数段。
第 3 步（定位到具体的数）：$308\div 3=102$ 余 $2$，第 103 个三位数 $=100+102=\underline{\quad}$。
第 4 步（读出数字）：余 2 对应 $202$ 的第 2 位 $=\underline{\quad}$。

第三套

题目：把自然数 $1,2,3,\cdots$ 逐位写成数字串，每行 $8$ 个数字。第 $476$ 个数字属于哪个自然数？是它的第几位？这个数字是几？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（三位数段位序）：减去前 189 个后，第 476 个数字在三位数段第 $476-189=\underline{\quad}$ 个位置。
第 2 步（第几个三位数）：$287\div 3=95$ 余 $2$，前 95 个三位数用满，落在第 96 个三位数 $=100+95=\underline{\quad}$。
第 3 步（第几位与数字）：余 2 表示落在 $195$ 的第 2 位，该数字 $=\underline{\quad}$。

17. 【原题 ch10-tuozhan-09】中国古代的纪年方法叫“干支纪年”，是在“十天干”和“十二地支”的基础上建立起来的。天干共十个，其排列顺序为：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支共十二个，其排列顺序为：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥。以一个天干和一个地支相配，天干在前，地支在后，每对干支表示一年。在干支纪年中，每六十年纪年方式循环一次。公元纪年则是国际通行的纪年方式。图 $10\text{-}12$ 是 $1911$ 年到 $1926$ 年的公元纪年与干支纪年的对照表。请问：（1）中国近代史上的“辛亥革命”发生在公元 $1911$ 年，是干支纪年的辛亥年，公元 $2049$ 年是干支纪年的什么年？（2）$21$ 世纪的甲子年是公元纪年的哪一年？（3）“戊戌变法”发生在 $19$ 世纪末的戊戌年，这一年是公元纪年的哪一年？

详细思路

是哪类问题：「干支纪年·周期与余数」：利用天干周期 10、地支周期 12、干支周期 60，结合对照表用余数推算。

关键切入点：天干每 10 年循环、地支每 12 年循环、整套干支每 60 年循环。两个年份天干相同当且仅当年份差是 10 的倍数；地支相同当且仅当差是 12 的倍数；干支完全相同当且仅当差是 60 的倍数。

方法概述：用周期 10、12、60 与余数，结合已知对照年推算。

规范步骤：

2049 与 1919 天干相同：$2049-1919=130=10\times 13$，天干同为“己”（天干周期 10）
21 世纪的甲子年：$1924+60\times 2=2044$（干支周期 60）
19 世纪末的戊戌年：由 60 年周期推得 $1898$ 年（周期回推）

18. 【原题 ch10-tuozhan-10】如图 $10\text{-}13$，将 $1\sim 400$ 这 $400$ 个自然数依次填入 $20\times 20$ 的方格表中。请问：（1）$246$ 在第几行第几列？（2）第 $14$ 行第 $13$ 列的数是多少？（3）所有阴影方格中数的总和是多少？

详细思路

是哪类问题：「行优先填数定位·对角线求和」：用行优先编号定位；对角线上下两端配对求和（每对和为 401）。

关键切入点：$1$~$400$ 按从左到右、从上到下填入 $20\times 20$，第 $r$ 行第 $c$ 列的数 $=(r-1)\times 20+c$。两条对角线各 20 个数，把主、副对角线上下两端配对，每对和都是 $1+400=401$，共 40 个数配成 20 对。

方法概述：行优先编号定位；对角线首尾配对求和。

规范步骤：

246 定位：$246\div 20=12\cdots 6$，第 13 行第 6 列（行优先编号）
第 14 行第 13 列：$(14-1)\times 20+13=273$（行优先求值）
两对角线和：$401\times 40\div 2=8020$（配对求和）
写出答案：$（1）第 13 行第 6 列；（2）273；（3）8020$

第一套

题目：将 $1\sim 900$ 依次填入 $30\times 30$ 的方格表（从左到右、从上到下）。求：（1）$500$ 在第几行第几列？（2）第 $20$ 行第 $15$ 列的数是多少？（3）两条对角线上所有数之和是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（500 定位）：$500\div 30=16$ 余 $20$，在第 $16+1=\underline{\quad}$ 行第 $20$ 列。
第 2 步（第 20 行第 15 列）：$(20-1)\times 30+15=\underline{\quad}$。
第 3 步（对角线配对）：每对首尾和 $=1+900=\underline{\quad}$，两条对角线共 60 个数配成 30 对，和 $=901\times 60\div 2=\underline{\quad}$。

第二套

题目：礼堂 $20\times 20$ 的座位从左到右、从上到下编号 $1\sim 400$，两条对角线的座位铺了红毯。求：（1）$246$ 号在第几行第几列？（2）第 $14$ 行第 $13$ 列是几号？（3）红毯座位号之和是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（246 定位）：$246\div 20=12$ 余 $6$，第 13 行第 $\underline{\quad}$ 列。
第 2 步（第 14 行第 13 列）：$(14-1)\times 20+13=\underline{\quad}$。
第 3 步（对角线配对）：每对首尾和 $=1+400=\underline{\quad}$，$40$ 个数配对，和 $=401\times 40\div 2=\underline{\quad}$。

第三套

题目：将 $1\sim 256$ 依次填入 $16\times 16$ 的方格表（从左到右、从上到下）。求主对角线（左上到右下）上 $16$ 个数之和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（对角线首末）：主对角线第 1 个 $=1$，第 16 个 $=(16-1)\times 16+16=\underline{\quad}$。
第 2 步（求和）：$(1+256)\times 16\div 2=\underline{\quad}$。

第三套

题目：将 $1\sim 400$ 依次填入 $20\times 20$ 的方格表。求：（1）两条对角线上所有数之和；（2）第 $10$ 行所有数之和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（对角线和）：每对首尾和 401，$40$ 个数配对，$401\times 40\div 2=\underline{\quad}$。
第 2 步（第 10 行首末）：第 10 行第 1 个 $=(10-1)\times 20+1=\underline{\quad}$，第 20 个 $=(10-1)\times 20+20=\underline{\quad}$。
第 3 步（第 10 行求和）：$(181+200)\times 20\div 2=\underline{\quad}$。

19. 【原题 ch10-tuozhan-11】如图 $10\text{-}14$ 所示，将 $1\sim 400$ 这 $400$ 个自然数填入图中的小三角形中，每个小三角形内均填有一个数。“$1$”所处的位置为第 $1$ 行；“$2$、$3$、$4$”所处的位置为第 $2$ 行……请问：（1）第 $15$ 行正中间的数是多少？（2）第 $12$ 行中所有白三角形内的数之和是多少？（3）前 $8$ 行中阴影三角形内的各数之和比白三角形内的各数之和大多少？

详细思路

是哪类问题：「三角形数阵定位·对称配对求和」：用前 n 行共 n² 个小三角形确定每行首末数，再用对称性求和。

关键切入点：第 $n$ 行有 $2n-1$ 个小三角形，前 $n$ 行共 $n^2$ 个。第 14 行末数为 $14^2=196$，第 15 行正中间的数为 $196+15=211$。白/阴影三角形交错分布，需借助每行对称结构分别求和。

方法概述：前 n 行共 n² 个小三角形，定行首末，再按对称求和。

规范步骤：

前 14 行末数：$14^2=196$（平方数定位）
第 15 行正中间的数：$196+15=211$（行内定位）

20. 【原题 ch10-tuozhan-12】如图 $10\text{-}15$，把从 $1$ 开始的自然数按某种方式排列起来。请问：（1）$150$ 在第几行第几列？（2）第 $5$ 行第 $10$ 列的数是多少？

详细思路

是哪类问题：「回形（L 形）排数·完全平方数」：利用每条 L 形拐角的首数是完全平方数，确定层次后再定位。

关键切入点：第一列的数都是完全平方数 $1,4,9,16,25,\cdots$，数阵沿“L”形拐角逐层扩展。由 $12^2=144<150<13^2=169$ 确定 $150$ 所在的 L 层，再按该层往返方向定位。

方法概述：用 L 形拐角首数是完全平方数确定层次后再定位。

规范步骤：

确定 150 所在的 L 层：$12^2=144<150<13^2=169$（完全平方数分层）
按层定位：$150$ 在第 6 行第 13 列（往返定位）

21. 【原题 ch10-tuozhan-13】如图 $10\text{-}16$，把从 $1$ 开始的自然数按某种方式排列起来。请问：（1）$200$ 排在第几行第几列？（2）第 $18$ 行第 $22$ 列的数是多少？

详细思路

是哪类问题：「对角线排数·三角形数」：把每条对角线看作一组，用三角形数确定斜线序号再定位。

关键切入点：自然数沿自左上向右下的斜线排列，同一条斜线上从右上到左下依次增大。用三角形数累计每条斜线上的数的个数，从而确定某数所在斜线与行列。

方法概述：每条对角线一组，用三角形数定斜线序号再定位。

规范步骤：

按对角线规律定位 200：$200$ 在第 10 行第 11 列（对角线定位）
读第 18 行第 22 列：$759$（对角线定位）

22. 【原题 ch10-tuozhan-14】如图 $10\text{-}17$ 所示，把自然数按规律排列起来，如果用“土”字形阴影覆盖出 $8$ 个数并求和，则和为 $798$，那么这 $8$ 个数中最大的数是多少？（“土”字不能旋转或翻转）

详细思路

是哪类问题：「方格表覆盖求和·用中心数表示各数」：用中心数表示阴影各数之和，令其等于 798 解出，再求最大数。

关键切入点：数表每行 9 个数。“土”字形覆盖的 8 个格子相对中心数有固定的行列偏移，8 个数之和可用中心数 $a$ 线性表示。令和等于 798 解出中心数，再加最大格的偏移得最大数 $112$。

方法概述：用中心数表示阴影和，令其为 798 解出后求最大数。

规范步骤：

设中心数为 a，用偏移写出 8 数之和：$8$ 数之和 $=$ 关于 $a$ 的式子 $=798$（中心数表示）
解出并求最大数：最大数 $=112$（求最大数）

23. 【原题 ch10-xingqu-01】观察数组 $(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),\cdots$ 的规律，求：（1）第 $10$ 组中三个数的和；（2）前 $10$ 组中所有数的和。

详细思路

是哪类问题：「数组规律与求和」：三个连续自然数一组，第 n 组中间数为 n+1，三数之和等于中间数的 3 倍。

关键切入点：每组三个数是连续自然数，中间那个数决定整组：第 n 组中间数是 n+1，三数和 = 中间数×3。求前若干组总和时，把各组和写成 3×(中间数)，中间数本身是一列等差数，再求和即可。

方法概述：抓中间数：组和 = 中间数×3，总和 = 3×(各组中间数之和)。

规范步骤：

第 n 组中间数为 n+1，第 10 组中间数是 11：$11$（中间数规律）
第 10 组三数和 = 中间数×3：$11\times 3=33$（组和=中间数×3）
前 10 组中间数为 2,3,\cdots,11，其和 65，总和 = 3×65：$3\times(2+3+\cdots+11)=3\times 65=195$（整体求和）
写出答案：$（1）33；（2）195$

第一套

题目：观察数组 $(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),\cdots$，求：（1）第 $20$ 组中三个数的和；（2）前 $20$ 组中所有数的和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（第 20 组中间数）：第 $n$ 组中间数是 $n+1$，第 20 组中间数 $=20+1=\underline{\quad}$。
第 2 步（组和）：三数和 = 中间数×3，$21\times 3=\underline{\quad}$。
第 3 步（中间数求和）：前 20 组中间数为 $2,3,\cdots,21$，其和 $=\underline{\quad}$。
第 4 步（总和）：$3\times 230=\underline{\quad}$。

第二套

题目：幼儿园按盒发糖，每盒装 $3$ 颗号码连续的糖：第 $1$ 盒 $(1,2,3)$、第 $2$ 盒 $(2,3,4)$、第 $3$ 盒 $(3,4,5)\cdots$。求：（1）第 $20$ 盒三颗糖号码之和；（2）前 $20$ 盒所有号码之和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（第 20 盒中间号码）：第 $n$ 盒中间号码是 $n+1$，第 20 盒中间号码 $=20+1=\underline{\quad}$。
第 2 步（每盒之和）：三颗号码和 = 中间号码×3，$21\times 3=\underline{\quad}$。
第 3 步（中间号码求和）：前 20 盒中间号码为 $2,3,\cdots,21$，其和 $=\underline{\quad}$。
第 4 步（总和）：$3\times 230=\underline{\quad}$。

第三套

题目：数组 $(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),\cdots$ 中，已知某一组三个数之和是 $96$。请问这是第几组？并求前这一组的所有数之和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（逆推中间数）：组和 = 中间数×3，故中间数 $=96\div 3=\underline{\quad}$。
第 2 步（逆推组号）：中间数 = 组号 +1，组号 $=32-1=\underline{\quad}$。
第 3 步（中间数求和）：前 31 组中间数为 $2,3,\cdots,32$，其和 $=\underline{\quad}$。
第 4 步（总和）：$3\times 527=\underline{\quad}$。

第三套

题目：数组 $(2,4,6),(4,6,8),(6,8,10),\cdots$，每组是三个连续偶数。求：（1）第 $25$ 组三数之和；（2）前 $25$ 组所有数之和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出偶数组中间数）：每组三个连续偶数，第 $n$ 组中间数 $=2\times(n+1)$，第 25 组中间数 $=2\times 26=\underline{\quad}$。
第 2 步（组和）：三数和 = 中间数×3，$52\times 3=\underline{\quad}$。
第 3 步（中间数求和）：各组中间数为 $4,6,\cdots,52$，其和 $=2\times(2+3+\cdots+26)=2\times 350=\underline{\quad}$。
第 4 步（总和）：$3\times 700=\underline{\quad}$。

24. 【原题 ch10-xingqu-02】请观察下列数列的规律：$1,1,4,2,7,3,10,1,13,2,16,3,19,1,22,2,25,3,\cdots,100$。问：（1）这个数列一共有多少项？（2）这个数列所有数的总和是多少？

详细思路

是哪类问题：「交替（合成）数列的拆分与求和」：奇数位、偶数位各自成规律。

关键切入点：把奇数位与偶数位拆开看：奇位是首项 1、公差 3 的等差数列 $1,4,7,\cdots$，偶位是周期 $1,2,3$。先由等差数列的末项定出项数，再分别对等差、周期求和。

方法概述：奇偶位拆分：等差数列定项数并求和，周期数列分组求和。

规范步骤：

奇位等差 1,4,7,\cdots 末项 100，定项数：$1+(n-1)\times 3=100\Rightarrow n=34$（等差通项）
总项数 = 34×2-1：$34\times 2-1=67$（交替计数）
奇位 34 项之和：$(1+100)\times 34\div 2=1717$（等差求和）
偶位 33 项 = 11 周期，每周期和 6：$11\times 6=66$（周期求和）
总和 1717+66：$1717+66=1783$（合并）

第一套

题目：观察数列 $1,1,4,2,7,3,10,1,13,2,\cdots$（奇数位是 $1,4,7,\cdots$，偶数位循环 $1,2,3$），已知奇数位的最后一项是 $148$。求：（1）这个数列一共有多少项？（2）所有数之和是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（奇位定项数）：奇位 $1,4,7,\cdots,148$，由 $1+(n-1)\times 3=148$ 解得 $n=\underline{\quad}$。
第 2 步（总项数）：偶位比奇位少 1 项，总项数 $=50\times 2-1=\underline{\quad}$。
第 3 步（奇位求和）：$(1+148)\times 50\div 2=\underline{\quad}$。
第 4 步（偶位求和）：偶位 49 项，$49\div 3=16$ 余 $1$，和 $=16\times 6+1=\underline{\quad}$。
第 5 步（总和）：$3725+97=\underline{\quad}$。

第二套

题目：阅兵方阵报数，报出的数排成 $1,1,4,2,7,3,10,1,\cdots,100$：奇数位置的人报 $1,4,7,\cdots$，偶数位置的人循环报 $1,2,3$，奇数位置最后报的是 $100$。求：（1）方阵一共有多少人？（2）所有人报的数之和是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（奇位定人数）：奇位 $1,4,7,\cdots,100$，由 $1+(n-1)\times 3=100$ 解得 $n=\underline{\quad}$。
第 2 步（总人数）：总项数 $=34\times 2-1=\underline{\quad}$。
第 3 步（奇位求和）：$(1+100)\times 34\div 2=\underline{\quad}$。
第 4 步（偶位求和）：偶位 33 项 $=11$ 周期，$11\times 6=\underline{\quad}$。
第 5 步（总和）：$1717+66=\underline{\quad}$。

第三套

题目：数列 $1,1,5,2,9,1,13,2,\cdots$：奇数位是 $1,5,9,\cdots$（公差 $4$），偶数位循环 $1,2$，奇数位最后一项是 $97$。求：（1）项数；（2）所有数之和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（奇位定项数）：奇位 $1,5,9,\cdots,97$，公差 4，项数 $=(97-1)\div 4+1=\underline{\quad}$。
第 2 步（总项数）：$25\times 2-1=\underline{\quad}$。
第 3 步（奇位求和）：$(1+97)\times 25\div 2=\underline{\quad}$。
第 4 步（偶位求和）：偶位 24 项，周期 $(1,2)$ 和为 3，$24\div 2=12$ 周期，$12\times 3=\underline{\quad}$。
第 5 步（总和）：$1225+36=\underline{\quad}$。

第三套

题目：数列 $1,1,4,2,7,3,10,1,\cdots,100$（奇位 $1,4,7,\cdots$ 到 100，偶位循环 $1,2,3$）。求：（1）第 $40$ 项是多少？（2）所有数之和是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（第 40 项属偶位）：第 40 项是偶数位，它是偶位数列的第 $40\div 2=\underline{\quad}$ 项。
第 2 步（周期定位）：偶位循环 $1,2,3$，第 20 项 $20\div 3=6$ 余 $2$，取周期中第 2 个 $=\underline{\quad}$。
第 3 步（奇位求和）：奇位 $1,4,\cdots,100$ 共 34 项，$(1+100)\times 34\div 2=\underline{\quad}$。
第 4 步（偶位求和）：偶位 33 项 $=11$ 周期，$11\times 6=\underline{\quad}$。
第 5 步（总和）：$1717+66=\underline{\quad}$。

25. 【原题 ch10-xingqu-03】一个数列的第一项是 $1$，之后的每一项是这样得到的：如果前一项是一位数，接着的一项就等于前一项的两倍；如果前一项是两位数，接着的一项就等于前一项个位数字的两倍。请问：（1）第 $100$ 项是多少？（2）前 $100$ 项的和是多少？

详细思路

是哪类问题：「递推数列的周期性与求和」：按递推规则写出前几项，发现循环周期后用余数定位、用周期求和。

关键切入点：依规则写出 $1,2,4,8,16,12,4,8,16,12,\cdots$，从第 3 项 $4$ 起以 $4,8,16,12$ 为周期（长 4）循环。定位第 100 项用 $(100-2)\div 4$ 的余数；求和 = 前两项 + 若干完整周期 + 余项。

方法概述：写项找周期，(位置-2)÷4 的余数定位，周期求和。

规范步骤：

写出数列并发现周期：$1,2,4,8,16,12,4,8,16,12,\cdots$（第 3 项起周期 4,8,16,12）
第 100 项定位：$(100-2)\div 4=24\cdots 2$，取周期第 2 个 $=8$（余数定位）
前两项和：$1+2=3$
其余 98 项 = 24 周期 + 余 2 项：$40\times 24+(4+8)=972$（周期求和）
总和：$3+972=975$（合并）

第一套

题目：数列第一项是 $1$，若前一项是一位数则下一项是它的两倍，若前一项是两位数则下一项是它个位数字的两倍。求：（1）第 $200$ 项；（2）前 $200$ 项的和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（周期定位）：从第 3 项起以 $4,8,16,12$（周期 4）循环。第 200 项 $(200-2)\div 4=49$ 余 $2$，取周期第 2 个 $=\underline{\quad}$。
第 2 步（前两项和）：$1+2=\underline{\quad}$。
第 3 步（周期求和）：其余 198 项 $=49\times 40+(4+8)=\underline{\quad}$。
第 4 步（总和）：$3+1972=\underline{\quad}$。

第二套

题目：一台机器的读数从 $1$ 开始变化：读数是一位数时下一秒变为它的两倍，是两位数时下一秒变为它个位数字的两倍。求：（1）第 $100$ 秒的读数；（2）前 $100$ 秒读数之和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（周期定位）：读数从第 3 项起以 $4,8,16,12$（周期 4）循环。第 100 项 $(100-2)\div 4=24$ 余 $2$，取周期第 2 个 $=\underline{\quad}$。
第 2 步（前两项和）：$1+2=\underline{\quad}$。
第 3 步（周期求和）：其余 98 项 $=24\times 40+(4+8)=\underline{\quad}$。
第 4 步（总和）：$3+972=\underline{\quad}$。

第三套

题目：数列第一项是 $2$，若前一项是一位数则下一项是它的两倍，若前一项是两位数则下一项是它个位数字的两倍。求：（1）第 $100$ 项；（2）前 $100$ 项的和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（写项找周期）：$2,4,8,16,12,4,\cdots$，从第 3 项起以 $8,16,12,4$ 为周期，周期和 $=8+16+12+4=\underline{\quad}$。
第 2 步（定位第 100 项）：$(100-2)\div 4=24$ 余 $2$，取周期第 2 个 $=\underline{\quad}$。
第 3 步（前两项和）：$2+4=\underline{\quad}$。
第 4 步（周期求和）：其余 98 项 $=24\times 40+(8+16)=\underline{\quad}$。
第 5 步（总和）：$6+984=\underline{\quad}$。

第三套

题目：数列第一项是 $1$，规则同原题。求第 $10$ 项到第 $100$ 项（含两端）所有项之和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（前 100 项和）：由周期法，前 100 项和 $=975$。
第 2 步（前 9 项和）：写出前 9 项 $1,2,4,8,16,12,4,8,16$，求和 $=\underline{\quad}$。
第 3 步（区间求和）：第 10 到 100 项和 = 前 100 项和 − 前 9 项和 $=975-71=\underline{\quad}$。

26. 【原题 ch10-xingqu-04】如图 $10\text{-}1$，方格表中的数是按照一定规律填入的，请观察方格表，并填出“?”处的数。

详细思路

是哪类问题：「数表规律观察·三角形数」：从表中数据发现三角形数列，再按位置补出缺数。

关键切入点：把表中出现的数从小到大排：$1,3,6,10,15,21,\cdots$，正是三角形数 $1,1+2,1+2+3,\cdots$。“?”处的数是 $91$ 之后、$120$ 之前的那个三角形数，即 $1+2+\cdots+14$。

方法概述：认出三角形数列，按位置定第几个三角形数。

规范步骤：

认出三角形数列：$1,3,6,10,15,21,\cdots$（第 k 个三角形数 = 1+2+\cdots+k）
“?”处是第 14 个三角形数：$1+2+\cdots+14=105$（位置定阶数）
写出答案：$105$

27. 【原题 ch10-xingqu-05】如图 $10\text{-}2$，数阵中的数是按一定规律排列的。请问：（1）$100$ 在第几行第几列？（2）第 $20$ 行第 $3$ 列的数是多少？

详细思路

是哪类问题：「数阵行列定位·蛇形排列」：按斜行（蛇形）规律逐行推算数的位置。

关键切入点：数阵按斜行排列，相邻斜行的数个数依次增加。要定位某数或读某位置的数，需沿斜行往返方向逐行推算。

方法概述：按斜行往返规律逐行推算行列。

规范步骤：

按斜行规律推算 100 的位置：$100$ 在第 25 行第 6 列（蛇形定位）
按规律读第 20 行第 3 列：$79$（蛇形定位）
写出答案：$（1）第 25 行第 6 列；（2）79$

28. 【原题 ch10-xingqu-06】如图 $10\text{-}3$，从 $4$ 开始的自然数是按某种规律排列的。请问：（1）$100$ 在第几行第几列？（2）第 $5$ 行第 $20$ 列的数是多少？

详细思路

是哪类问题：「数阵行列定位·蛇形排列」：奇数行、偶数行往返排列，逐项推算行列。

关键切入点：从 4 开始的自然数按斜行方式排列，奇数行从右到左、偶数行从左到右。定位需按往返方向逐项推算。

方法概述：按斜行往返排列的规律确定行列。

规范步骤：

推算 100 的位置：$100$ 在第 1 行第 25 列（蛇形定位）
读第 5 行第 20 列：$81$（蛇形定位）
写出答案：$（1）第 1 行第 25 列；（2）81$

29. 【原题 ch10-xingqu-07】如图 $10\text{-}4$ 所示，把偶数 $2,4,6,8,\cdots$ 排成 $5$ 列，各列从左到右依次为第 $1$ 列、第 $2$ 列、第 $3$ 列、第 $4$ 列和第 $5$ 列。请问：（1）$100$ 在第几行第几列？（2）第 $20$ 行第 $2$ 列的数是多少？

详细思路

是哪类问题：「数阵行列定位·偶数列排列」：奇数行 4 个偶数（第 2~5 列，左→右），偶数行 3 个（第 1~3 列，右→左），每两行 7 个数一周期。

关键切入点：把相邻一奇一偶两行看作一个周期，每周期 $4+3=7$ 个数。$100$ 是从 2 起第 $50$ 个偶数，$50\div 7=7$ 余 $1$，前 7 周期占 14 行，余 1 个落在第 15 行第 1 个（第 2 列）；第 20 行前有 10 个周期共 70 个数，第 20 行第 2 列是第 69 个数 $=69\times 2$。

方法概述：每两行 7 个数为周期，用余数与行内方向定位。

规范步骤：

100 是第 50 个偶数：$100\div 2=50$（偶数计数）
50÷7=7 余 1，前 7 周期占 14 行：$7\times 2=14$（周期定行）
第 15 行第 1 个 = 第 2 列：$100$ 在第 15 行第 2 列（行内定列）
前 20 行 = 10 周期 = 70 个数，第 20 行第 2 列是第 69 个：$69\times 2=138$（偶数求值）
写出答案：$（1）第 15 行第 2 列；（2）138$

30. 【原题 ch10-xingqu-08】如图 $10\text{-}5$，从 $1$ 开始的连续奇数按某种方式排列起来。请问：（1）第 $10$ 行左起第 $3$ 个数是多少？（2）$99$ 在第几行左起第几个数？

详细思路

是哪类问题：「奇数三角形数阵的定位」：利用前 n 行共 n² 个奇数确定行，再按 2k-1 换算数值。

关键切入点：连续奇数排成三角形，第 n 行有 $2n-1$ 个奇数，前 n 行共 $1+3+\cdots+(2n-1)=n^2$ 个奇数。第 k 个奇数是 $2k-1$。先用平方数定位“第几个奇数”，再换算数值或反过来定行列。

方法概述：前 n 行共 n² 个：定“第几个奇数”，再用 2k-1 求值。

规范步骤：

前 9 行共 81 个奇数，第 10 行第 3 个是第 84 个奇数：$9^2+3=84$（平方数定位）
第 84 个奇数：$84\times 2-1=167$（奇数通项）
99 是第 50 个奇数：$(99+1)\div 2=50$（反查序号）
前 7 行 49 个，第 50 个在第 8 行第 1 个：$99$ 在第 8 行左起第 1 个（定行列）
写出答案：$（1）167；（2）第 8 行左起第 1 个$

第一套

题目：从 $1$ 开始的连续奇数排成三角形，第 $1$ 行 $1$ 个、第 $2$ 行 $3$ 个……第 $n$ 行 $2n-1$ 个，每行从左到右填。求：（1）第 $15$ 行左起第 $4$ 个数；（2）$199$ 在第几行左起第几个数？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（平方数定位）：前 14 行共 $14^2=\underline{\quad}$ 个奇数，第 15 行第 4 个是第 $196+4=\underline{\quad}$ 个奇数。
第 2 步（求值）：第 200 个奇数 $=200\times 2-1=\underline{\quad}$。
第 3 步（199 是第几个奇数）：$(199+1)\div 2=\underline{\quad}$。
第 4 步（定行列）：前 9 行 81 个、前 10 行 $10^2=100$ 个，第 100 个落在第 10 行，左起第 $100-81=\underline{\quad}$ 个。

第二套

题目：剧场看台呈三角形，第 $n$ 排有 $2n-1$ 个座位，座位号从舞台一侧起按连续奇数 $1,3,5,\cdots$ 编号，每排从左到右。求：（1）第 $10$ 排左起第 $3$ 个座位号；（2）$99$ 号座位在第几排左起第几个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（平方数定位）：前 9 排共 $9^2=\underline{\quad}$ 个座位，第 10 排第 3 个是第 $81+3=\underline{\quad}$ 个。
第 2 步（求座位号）：第 84 个奇数 $=84\times 2-1=\underline{\quad}$。
第 3 步（99 号是第几个）：$(99+1)\div 2=\underline{\quad}$ 个奇数。
第 4 步（定排列）：前 7 排 49 个，第 50 个在第 8 排左起第 $50-49=\underline{\quad}$ 个。

第三套

题目：从 $2$ 开始的连续偶数排成三角形，第 $n$ 行 $2n-1$ 个，每行从左到右。求第 $12$ 行左起第 $5$ 个数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（平方数定位）：前 11 行共 $11^2=\underline{\quad}$ 个偶数，第 12 行第 5 个是第 $121+5=\underline{\quad}$ 个偶数。
第 2 步（求值）：第 $k$ 个偶数 $=2k$，第 126 个偶数 $=2\times 126=\underline{\quad}$。

第三套

题目：从 $1$ 开始的连续奇数排成三角形，第 $n$ 行 $2n-1$ 个。求第 $10$ 行所有数之和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（行首行末是第几个奇数）：前 9 行 81 个，第 10 行从第 $81+1=82$ 个到第 $10^2=100$ 个奇数，共 19 个。
第 2 步（行首行末数值）：第 82 个奇数 $=82\times 2-1=\underline{\quad}$，第 100 个奇数 $=100\times 2-1=\underline{\quad}$。
第 3 步（整行求和）：$(163+199)\times 19\div 2=\underline{\quad}$。

31. 【原题 ch10-xingqu-09】如图 $10\text{-}6$，从 $1$ 开始的自然数按某种方式排列起来。请问：（1）$100$ 在第几行？$100$ 是这一行左起第几个数？（2）第 $25$ 行左起第 $5$ 个数是多少？

详细思路

是哪类问题：「三角形蛇形数阵的定位」：用前 n 行共 n(n+1)/2 个数确定行，再按往返方向定列。

关键切入点：自然数蛇形排三角形，第 n 行 n 个，前 n 行共 $\frac{n(n+1)}{2}$ 个。奇数行从右向左、偶数行从左向右。先用三角形数定行，再按该行方向定列。

方法概述：三角形数定行，按奇偶行方向定列。

规范步骤：

前 13 行 91、前 14 行 105，100 在第 14 行：$\frac{13\times 14}{2}=91,\ \frac{14\times 15}{2}=105$（三角形数定行）
第 14 行偶数行左→右，100 是左起第 100-91 个：$100-91=9$（行内定列）
第 25 行左起第 1（最大）：$\frac{25\times 26}{2}=325$（行末数）
第 25 行奇数行左端最大、左起递减，左起第 5：$325-4=321$（行内定列）
写出答案：$（1）第 14 行左起第 9 个；（2）321$

第一套

题目：自然数蛇形排成三角形，第 $n$ 行 $n$ 个，奇数行从右向左、偶数行从左向右。求：（1）$200$ 在第几行左起第几个？（2）第 $30$ 行左起第 $7$ 个数是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（定位 200 的行）：前 19 行共 $\frac{19\times 20}{2}=190$，前 20 行共 $\frac{20\times 21}{2}=210$，$200$ 在第 20 行（偶数行左→右），左起第 $200-190=\underline{\quad}$ 个。
第 2 步（第 30 行前有多少个数）：前 29 行共 $\frac{29\times 30}{2}=\underline{\quad}$ 个。
第 3 步（第 30 行首数）：第 30 行左起第 1 个 $=435+1=\underline{\quad}$。
第 4 步（左起第 7）：偶数行递增，左起第 7 $=436+6=\underline{\quad}$。

第二套

题目：保龄球瓶按三角形蛇形摆放，第 $n$ 排 $n$ 个瓶，奇数排从右向左、偶数排从左向右依次编号。求：（1）$100$ 号瓶在第几排左起第几个？（2）第 $25$ 排左起第 $5$ 个瓶的编号？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（定位 100 的排）：前 13 排 91、前 14 排 105，$100$ 在第 14 排（偶数排左→右），左起第 $100-91=\underline{\quad}$ 个。
第 2 步（第 25 排首数）：第 25 排左端（最大）$=\frac{25\times 26}{2}=\underline{\quad}$。
第 3 步（左起第 5）：奇数排左端最大、左起递减，左起第 5 $=325-4=\underline{\quad}$。

第三套

题目：自然数蛇形排三角形（奇数行右→左、偶数行左→右），求第 $21$ 行左起第 $6$ 个数。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（第 21 行末数）：前 21 行共 $\frac{21\times 22}{2}=\underline{\quad}$，第 21 行是奇数行，从右向左，左端是最大数 $231$。
第 2 步（左起第 6）：奇数行左起递减，左起第 6 $=231-5=\underline{\quad}$。

第三套

题目：自然数蛇形排三角形，第 $n$ 行 $n$ 个。求第 $20$ 行所有数之和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（行首行末）：前 19 行共 190 个，第 20 行从 $191$ 到 $\frac{20\times 21}{2}=\underline{\quad}$。
第 2 步（整行求和）：$(191+210)\times 20\div 2=\underline{\quad}$。

32. 【原题 ch10-xingqu-10】如图 $10\text{-}7$，从 $1$ 开始的自然数排成数阵。试问：能否在数阵中放入一个 $3\times 3$ 的方框，使框它圈住的九个数之和等于：（1）$1997$；（2）$2520$；（3）$2349$。如果可以，请写出方框中最大的数。

详细思路

是哪类问题：「方阵框数·中心数与九数和关系」：九数之和 = 中心数×9，结合整除性与边界限制判断。

关键切入点：数阵每行 7 个数，$3\times 3$ 方框九数之和恰为中心数的 9 倍（上下相差 7、左右相差 1，绕中心两两对称抵消）。要使九数和为某值，该值须是 9 的倍数（中心数为整数），且中心数不能落在边行边列（否则方框越界）。$1997$ 不是 9 的倍数；$2520\div 9=280$，而 $280=40\times 7$ 恰在第 40 行第 7 列（最右列，方框向右越界）不可；$2349\div 9=261$，$261=37\times 7+2$ 在第 38 行第 2 列（非边行边列）位置合适，最大数（右下角）$=261+8=269$。

方法概述：九数和 = 中心数×9，用整除性与边界（含定位到行列）逐一判断。

规范步骤：

建立九数和与中心数的关系：$3\times 3$ 方框内，上下相差 7、左右相差 1，九个数绕中心对称，故九数和 $=$ 中心数 $\times 9$（对称抵消）
写出可行条件：要使九数和 $=N$：须 $N$ 是 9 的倍数（中心数 $=N\div 9$ 为整数），且中心数不落在边行边列（否则 $3\times 3$ 框越界）（整除+边界）
判 1997：$1997\div 9=221\cdots 8$（$221\times 9+8=1997$）不整除，故 1997 不可（整除判断）
判 2520：$2520\div 9=280$ 整除，但 $280=40\times 7$ 是第 40 行第 7 列（最右列），方框向右越界，故 2520 不可（边界限制）
判 2349：$2349\div 9=261$ 整除，$261=37\times 7+2$ 在第 38 行第 2 列（非边行边列），位置合适（整除+定位）
求框内最大数：框内最大数在中心右下角 $=$ 中心数 $+7+1=261+8=269$（框内最大数）
写出答案：只有 $2349$ 可以，最大数 $269$

竞赛数学 · 四年级第10讲《数列与数表》举一反三练习卷

附录 · 答案

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