竞赛数学 · 四年级 第11讲《加法原理与乘法原理》举一反三练习卷

详细解题思路 + 规范步骤 + 三套填空变式（换数字 / 换场景 / 增加知识点）· 答案见文末附录
1. 【原题 ch11-chaoyue-01】爸爸、妈妈带小高去吃西餐，餐厅里有米饭和面条 $2$ 种主食，烤牛排、烤羊排和烤鸡排 $3$ 种主菜，奶油蘑菇汤 $1$ 种汤，以及蛋糕和布丁 $2$ 种甜点。如果小高想要点 $1$ 种主食和 $1$ 种主菜，汤和甜点可点可不点，而且种类不限。请问：小高一共有多少种点菜方法？
详细思路
是哪类问题：这是「分步计数 + 可选可不选」题：几类菜搭配成一餐，其中有的必点、有的可点可不点。
关键切入点：四类菜是四步搭配，用乘法原理。难点在“可点可不点”：**把“不点”也算作一种选择**。汤只有 $1$ 种，加上“不点”共 $1+1=2$ 种；甜点有 $2$ 种且种类不限，即每种甜点都独立地“点或不点”，共 $2\times 2=4$ 种。
方法概述：分主食、主菜、汤、甜点四步，对可点可不点的项计入“不点”这一额外选择后相乘。
规范步骤：
  1. 主食必点：$2$ 种（分步计数）
  2. 主菜必点：$3$ 种（分步计数）
  3. 汤可点可不点：$1+1=2$ 种（把“不点”算作一种）
  4. 甜点每种各自点或不点：$2\times 2=4$ 种（可选可不选）
  5. 四步相乘：$2\times 3\times 2\times 4=48$（种）（乘法原理）
第一套
题目：餐厅里有 $3$ 种主食、$4$ 种主菜、$2$ 种汤、$3$ 种甜点。小高要点 $1$ 种主食和 $1$ 种主菜；汤最多点 $1$ 种，也可以不点；甜点可点可不点，种类不限（可以同时点几种）。一共有多少种点菜方法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（必点的两项）：主食有 $\underline{\quad}$ 种，主菜有 $\underline{\quad}$ 种。
  2. 第 2 步（汤：把“不点”也算一种）：汤最多点 $1$ 种，所以选择数是“$2$ 种汤”再加上“不点”，共 $2+1=\underline{\quad}$ 种。
  3. 第 3 步（甜点：每种各自决定）：$3$ 种甜点各自“点或不点”，共 $2\times 2\times 2=\underline{\quad}$ 种。
  4. 第 4 步：四步相乘，$3\times 4=\underline{\quad}$，$12\times 3\times 8=\underline{\quad}$（种）。
第二套
题目：配电脑时，机箱有 $3$ 款、显示器有 $4$ 款必须各选 $1$ 件；音箱有 $2$ 款，最多买 $1$ 款也可以不买；装饰灯有 $3$ 款，可买可不买、款数不限。一共有多少种不同的配置方案？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（必选的两项）：机箱有 $\underline{\quad}$ 款，显示器有 $\underline{\quad}$ 款。
  2. 第 2 步（音箱：把“不买”也算一种）：$2+1=\underline{\quad}$ 种。
  3. 第 3 步（装饰灯：每款各自决定买或不买）：$2\times 2\times 2=\underline{\quad}$ 种。
  4. 第 4 步：四步相乘，$3\times 4=\underline{\quad}$，$12\times 3\times 8=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：餐厅有 $2$ 种主食、$3$ 种主菜必点各 $1$ 种；汤有 $2$ 种，最多点 $1$ 种也可不点；甜点有 $4$ 种，可点可不点、种类不限。一共有多少种点菜方法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：主食 $2$ 种、主菜 $3$ 种，都必点。
  2. 第 2 步（汤）：加上“不点”，共 $2+1=\underline{\quad}$ 种。
  3. 第 3 步（甜点）：$4$ 种各自“点或不点”，共 $2\times 2\times 2\times 2=\underline{\quad}$ 种。
  4. 第 4 步：四步相乘，$2\times 3=\underline{\quad}$，$6\times 3\times 16=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：餐厅里有 $3$ 种主食、$4$ 种主菜、$2$ 种汤、$3$ 种甜点。小高要点 $1$ 种主食、$1$ 种主菜；汤最多点 $1$ 种也可不点；甜点种类不限，但**至少要点 $1$ 种**。一共有多少种点菜方法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：主食 $3$ 种、主菜 $4$ 种，汤（含“不点”）$2+1=\underline{\quad}$ 种。
  2. 第 2 步（甜点先不管限制）：$3$ 种甜点各自“点或不点”，共 $2\times 2\times 2=\underline{\quad}$ 种。
  3. 第 3 步（去掉不合要求的）：其中“一种都不点”只有 $1$ 种，要减掉，所以甜点有 $8-1=\underline{\quad}$ 种。
  4. 第 4 步：四步相乘，$3\times 4=\underline{\quad}$，$12\times 3\times 7=\underline{\quad}$（种）。
2. 【原题 ch11-chaoyue-02】如图 $11\text{-}15$，在一个 $3\times 4$ 的方格表内放入 $4$ 枚相同的棋子，要求每列至多有 $1$ 枚棋子，一共有多少种不同的放法？如果放入 $4$ 枚互不相同的棋子，要求每列至多有 $1$ 枚棋子，一共有多少种不同的放法？
详细思路
是哪类问题：这是「棋子放置（每列至多一枚）+ 排列计数」题，还要区分棋子相同与不同。
关键切入点：棋子相同时按**列**分步最省事：$4$ 枚棋子放进 $4$ 列、每列至多 $1$ 枚，说明每列恰好 $1$ 枚，每列只需决定放在哪一行，各 $3$ 种，$3^4=81$。棋子不同时，可以先按相同棋子定好 $4$ 个位置（$81$ 种），再把 $4$ 枚不同棋子排到这 $4$ 个位置上（$4\times 3\times 2\times 1=24$ 种），相乘得 $1944$。
方法概述：相同棋子按列分步各 $3$ 种相乘；不同棋子在此基础上再乘 $4$ 枚的全排列。
规范步骤：
  1. 每列恰放 $1$ 枚，每列 $3$ 种：$3\times 3\times 3\times 3=81$（种）（乘法原理）
  2. 不同棋子：先定位置：$81$（种）（相同棋子的结论）
  3. 再把 $4$ 枚不同棋子排入：$4\times 3\times 2\times 1=24$（种）（全排列）
  4. 两步相乘：$81\times 24=1944$（种）（乘法原理）
第一套
题目：在一个 $4$ 行 $5$ 列的方格表内放入 $5$ 枚棋子，要求每列至多有 $1$ 枚棋子。请问：（1）棋子相同时有多少种放法？（2）棋子互不相同时有多少种放法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先推关键结论）：$5$ 枚棋子、$5$ 列、每列至多 $1$ 枚，所以每列**恰好** $\underline{\quad}$ 枚，只需逐列决定放在哪一行。
  2. 第 2 步（第 (1) 问）：每列都有 $\underline{\quad}$ 行可选，五列相乘，$4\times 4=\underline{\quad}$，$16\times 16\times 4=\underline{\quad}$（种）。
  3. 第 3 步（第 (2) 问的思路）：先按相同棋子定好 $5$ 个位置（$1024$ 种），再把 $5$ 枚不同棋子排到这 $5$ 个位置上。
  4. 第 4 步：$5$ 枚不同棋子的全排列有 $5\times 4\times 3\times 2\times 1=\underline{\quad}$（种）。
  5. 第 5 步：两步相乘，$1024\times 120=\underline{\quad}$（种）。
第二套
题目：一排 $5$ 个书架，每个书架有 $4$ 层。要把 $5$ 个花瓶摆上去，每个书架至多摆 $1$ 个花瓶。请问：（1）花瓶完全相同时有多少种摆法？（2）花瓶互不相同时有多少种摆法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$5$ 个花瓶、$5$ 个书架、每架至多 $1$ 个，所以每架**恰好** $\underline{\quad}$ 个，只需逐架决定摆在第几层。
  2. 第 2 步（第 (1) 问）：每架有 $\underline{\quad}$ 层可选，$4\times 4=\underline{\quad}$，$16\times 16\times 4=\underline{\quad}$（种）。
  3. 第 3 步（第 (2) 问）：先定好 $5$ 个位置（$1024$ 种），再把 $5$ 个不同花瓶排进去。
  4. 第 4 步：全排列有 $5\times 4\times 3\times 2\times 1=\underline{\quad}$（种）。
  5. 第 5 步：$1024\times 120=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：在一个 $3$ 行 $5$ 列的方格表内放入 $5$ 枚棋子，每列至多 $1$ 枚。请问：（1）棋子相同时有多少种放法？（2）棋子互不相同时有多少种放法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：每列恰好 $1$ 枚，逐列决定行；每列有 $\underline{\quad}$ 种选择。
  2. 第 2 步（第 (1) 问）：$3\times 3\times 3=\underline{\quad}$，$27\times 3\times 3=\underline{\quad}$（种）。
  3. 第 3 步（第 (2) 问）：再把 $5$ 枚不同棋子排入选好的 $5$ 个位置，有 $5\times 4\times 3\times 2\times 1=\underline{\quad}$ 种。
  4. 第 4 步：两步相乘，$243\times 120=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：在一个 $3$ 行 $4$ 列的方格表内放入 $4$ 枚**相同**的棋子，要求每列至多有 $1$ 枚，**并且每行至多有 $2$ 枚**。一共有多少种不同的放法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先不管新限制）：每列恰放 $1$ 枚、每列 $3$ 种，共 $3\times 3\times 3\times 3=\underline{\quad}$（种）。
  2. 第 2 步（哪些不合要求）：不合要求就是某一行放了 $3$ 枚或 $4$ 枚，要分两类减掉。
  3. 第 3 步（某行恰好 $3$ 枚）：先选是哪一行，有 $\underline{\quad}$ 种；再选这 $3$ 枚在哪 $3$ 列，有 $(4\times 3\times 2)/(3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$ 种；剩下那一列的棋子只能放在另外两行，有 $\underline{\quad}$ 种。本类共 $3\times 4\times 2=\underline{\quad}$ 种。
  4. 第 4 步（某行恰好 $4$ 枚）：$4$ 枚全在同一行，只要选是哪一行，有 $\underline{\quad}$ 种。
  5. 第 5 步（排除法）：$81-24-3=\underline{\quad}$（种）。
3. 【原题 ch11-chaoyue-03】如图 $11\text{-}16$，将图中的八个部分用红、黄、绿、蓝这 $4$ 种不同的颜色染色，而且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色。请问：这幅图共有多少种不同的染色方法？
详细思路
是哪类问题：这是「区域染色计数」题：八个部分相邻不同色，关键在选一个好的染色顺序。
关键切入点：按 $D,B,E,G,A,C,F,H$ 的顺序染，是为了让**每一块新染的区域都恰好只与已染好的两块相邻**（第一块无限制、第二块只与一块相邻），这样每步的可选数才固定：$4$、$3$，其余各步都是 $4-2=2$。若顺序选得不好，就会出现某步可选数不定、必须分类讨论的麻烦。
方法概述：选好染色顺序，逐区域计与已染相邻区域不同色的选择数相乘。
规范步骤：
  1. 染 $D$，无限制：$4$ 种（分步计数）
  2. 染 $B$，与 $D$ 相邻：$4-1=3$ 种（相邻不同色）
  3. 染 $E,G,A,C,F,H$，各与已染的两块相邻：$2$ 种（各）（相邻不同色）
  4. 八步相乘：$4\times 3\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2=768$（种）（乘法原理）
第一套
题目：把图中的八个部分用 $5$ 种不同的颜色染色，相邻的部分不能同色。已知按恰当顺序染色时，第 $1$ 块无相邻限制，第 $2$ 块与已染的 $1$ 块相邻，其余 $6$ 块各与已染的 $2$ 块相邻。共有多少种不同的染色方法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（顺序为什么重要）：按“每块新染的都只与已染好的固定几块相邻”的顺序染，每步可选数才固定。
  2. 第 2 步：第 $1$ 块无限制有 $\underline{\quad}$ 种；第 $2$ 块与 $1$ 块相邻，有 $5-1=\underline{\quad}$ 种。
  3. 第 3 步：其余 $6$ 块各与已染的 $2$ 块相邻，要避开 $2$ 种颜色，各有 $5-2=\underline{\quad}$ 种。
  4. 第 4 步：先算 $5\times 4=\underline{\quad}$，再算 $3\times 3\times 3=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步：合起来，$20\times 27\times 27=\underline{\quad}$（种）。
第二套
题目：一幅地图上有八个省份，用 $5$ 种颜色涂色，接壤的省份不能同色。按恰当顺序涂色时，第 $1$ 个省无限制，第 $2$ 个省与已涂的 $1$ 个省接壤，其余 $6$ 个省各与已涂的 $2$ 个省接壤。共有多少种涂法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：选好顺序，让每个新涂的省只与已涂好的固定几个接壤。
  2. 第 2 步：第 $1$ 个省有 $\underline{\quad}$ 种；第 $2$ 个省有 $5-1=\underline{\quad}$ 种。
  3. 第 3 步：其余 $6$ 个省各要避开 $2$ 种颜色，各有 $5-2=\underline{\quad}$ 种。
  4. 第 4 步：$5\times 4=\underline{\quad}$，$3\times 3\times 3=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步：$20\times 27\times 27=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：把九个部分用 $4$ 种颜色染色，相邻部分不能同色。按恰当顺序染色时，第 $1$ 块无相邻限制，第 $2$ 块与已染的 $1$ 块相邻，其余 $7$ 块各与已染的 $2$ 块相邻。共有多少种染色方法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：第 $1$ 块有 $\underline{\quad}$ 种；第 $2$ 块有 $4-1=\underline{\quad}$ 种。
  2. 第 2 步：其余 $7$ 块各避开 $2$ 色，各有 $4-2=\underline{\quad}$ 种。
  3. 第 3 步：先算 $4\times 3=\underline{\quad}$，再算 $2\times 2\times 2=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：合起来，$12\times 8\times 8\times 2=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：七个区域**首尾相接围成一圈**（每个区域只与它两侧的区域相邻）。用 $4$ 种颜色染色，相邻区域不能同色。共有多少种不同的染色方法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（为什么不能直接连乘）：围成圈后最后一块同时与两块相邻，可选数不定，改用“**排成一排 $-$ 首尾同色**”，而“首尾同色”的情形恰好相当于少一块的环。
  2. 第 2 步（先建立最小的环）：$3$ 块成圈就是两两相邻，有 $4\times 3\times 2=\underline{\quad}$（种）。
  3. 第 3 步（逐级往上推）：$4$ 块排一排有 $4\times 3\times 3\times 3=\underline{\quad}$ 种，所以 $4$ 块成圈有 $108-24=\underline{\quad}$（种）。
  4. 第 4 步：$5$ 块排一排有 $4\times 3\times 3\times 3\times 3=\underline{\quad}$ 种，所以 $5$ 块成圈有 $324-84=\underline{\quad}$（种）。
  5. 第 5 步：$6$ 块排一排有 $324\times 3=\underline{\quad}$ 种，所以 $6$ 块成圈有 $972-240=\underline{\quad}$（种）。
  6. 第 6 步：$7$ 块排一排有 $972\times 3=\underline{\quad}$ 种，所以 $7$ 块成圈有 $2916-732=\underline{\quad}$（种）。
4. 【原题 ch11-chaoyue-04】用 $4$ 种不同的颜色给图 $11\text{-}17$ 中的圆圈染色，有线段相连的两个圆圈不能同色。一共有多少种不同的染色方法？
详细思路
是哪类问题：这是「环形染色计数」题：四个圆圈首尾相连成环，相邻不同色。
关键切入点：按 $A,B,C,D$ 顺序染时，$C$ 只与 $B$ 相邻、与 $A$ **不相邻**，所以 $C$ 可能与 $A$ 同色也可能不同色，而这会改变 $D$ 的可选数——这正是环形结构必须**分类讨论**的原因。第一类 $C$ 与 $A$ 同色：$C$ 有 $1$ 种，$D$ 只需避开一种颜色，有 $3$ 种；第二类 $C$ 与 $A$ 不同色：$C$ 有 $2$ 种，$D$ 要避开两种，有 $2$ 种。
方法概述：对成环结构按顺序染色，在最后一点处按是否与对角同色分类讨论后相加。
规范步骤：
  1. 染 $A$、$B$：$4\times 3$（相邻不同色）
  2. 第一类：$C$ 与 $A$ 同色：$1\times 3=3$（分类讨论）
  3. 第二类：$C$ 与 $A$ 不同色：$2\times 2=4$（分类讨论）
  4. 两类相加再与前两步相乘：$4\times 3\times (3+4)=84$（种）（加法原理）
第一套
题目：四个圆圈 $A$、$B$、$C$、$D$ 首尾相连成一个环（$A\!-\!B$、$B\!-\!C$、$C\!-\!D$、$D\!-\!A$ 有线相连）。用 $5$ 种颜色染色，有线相连的两个圆圈不能同色。一共有多少种不同的染色方法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：先染 $A$ 有 $\underline{\quad}$ 种，再染 $B$（与 $A$ 相邻）有 $5-1=\underline{\quad}$ 种。
  2. 第 2 步（为什么要分类）：$C$ 只与 $B$ 相邻、与 $A$ 不相邻，所以 $C$ 与 $A$ 可能同色也可能不同色，这会影响 $D$ 的可选数。
  3. 第 3 步（第一类：$C$ 与 $A$ 同色）：$C$ 只有 $1$ 种；$D$ 只需避开 $A$、$C$ 这同一种颜色，有 $5-1=\underline{\quad}$ 种，本类 $1\times 4=\underline{\quad}$ 种。
  4. 第 4 步（第二类：$C$ 与 $A$ 不同色）：$C$ 要避开 $A$、$B$ 两色，有 $5-2=\underline{\quad}$ 种；$D$ 要避开 $A$、$C$ 两色，有 $5-2=\underline{\quad}$ 种，本类 $3\times 3=\underline{\quad}$ 种。
  5. 第 5 步：两类相加后与前两步相乘，$5\times 4\times (4+9)=\underline{\quad}$（种）。
第二套
题目：圆桌旁围坐四个位置 $A$、$B$、$C$、$D$，每个位置要摆一块桌布，相邻两个位置的桌布颜色不能相同。现有 $5$ 种颜色的桌布，共有多少种不同的摆法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：先摆 $A$ 有 $\underline{\quad}$ 种，$B$ 与 $A$ 相邻有 $5-1=\underline{\quad}$ 种。
  2. 第 2 步：$C$ 与 $A$ 不相邻，故要按 $C$ 与 $A$ 是否同色分两类。
  3. 第 3 步（同色）：$C$ 有 $1$ 种，$D$ 有 $5-1=\underline{\quad}$ 种，本类 $1\times 4=\underline{\quad}$ 种。
  4. 第 4 步（不同色）：$C$ 有 $5-2=\underline{\quad}$ 种，$D$ 有 $5-2=\underline{\quad}$ 种，本类 $3\times 3=\underline{\quad}$ 种。
  5. 第 5 步：$5\times 4\times (4+9)=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：五个圆圈首尾相连成一个环，用 $4$ 种颜色染色，相邻的两个圆圈不能同色。一共有多少种不同的染色方法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（换个好办法）：环 $=$ 排成一排 $-$ 首尾同色，而“首尾同色”把首尾看成一个后恰好是少一块的环。
  2. 第 2 步：$5$ 个圆圈排成一排、相邻不同色，共 $4\times 3\times 3\times 3\times 3=\underline{\quad}$（种）。
  3. 第 3 步：$4$ 个圆圈成环的种数由原题已知是 $\underline{\quad}$ 种。
  4. 第 4 步：所以 $5$ 个圆圈成环有 $324-84=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：六个圆圈首尾相连成一个环，用 $4$ 种颜色染色，相邻的两个圆圈不能同色。一共有多少种不同的染色方法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：仍用“环 $=$ 排一排 $-$ 首尾同色”，且首尾同色的情形相当于少一块的环，需要一级一级往上推。
  2. 第 2 步：$4$ 个成环有 $84$ 种；$5$ 个排一排有 $4\times 3\times 3\times 3\times 3=\underline{\quad}$ 种，故 $5$ 个成环有 $324-84=\underline{\quad}$（种）。
  3. 第 3 步：$6$ 个排一排有 $324\times 3=\underline{\quad}$（种）。
  4. 第 4 步：故 $6$ 个成环有 $972-240=\underline{\quad}$（种）。
5. 【原题 ch11-chaoyue-05】一只甲虫沿着图 $11\text{-}18$ 中的方格线从 $A$ 爬到 $B$，每次只能向右爬一格或向上爬一格，图中画着黑点的地方不能通过。请问：这只甲虫可以选择多少条不同的路线？
详细思路
是哪类问题：这是「带障碍的格点路径计数」题：只能向右或向上走，图中黑点不能通过。
关键切入点：标数法的核心是“到某点的走法数 $=$ 左邻 $+$ 下邻”。遇到不能通过的黑点，只要把该点标 $0$，表示到它的走法为 $0$ 条，后面的点照常相加即可——被堵住的路自然就不会被算进去。最下一行、最左一列的点仍标 $1$（只有一条直路），最后 $B$ 处的数即为答案 $66$。
方法概述：用标数法，每点走法数等于其左、下相邻点之和，遇黑点标 $0$。
规范步骤：
  1. 只能向右或向上走：$右 \;/\; 上$（方向单一）
  2. 最下一行、最左一列标 $1$：$1$（只有一条直路）
  3. 黑点标 $0$：$0$（障碍处理）
  4. 其余点 = 左邻 + 下邻：$该点 = 左 + 下$（加法原理）
  5. 标到 $B$：$B=66$（条）（标数法）
第一套
题目：甲虫沿方格线从左下角 $A$ 爬到右上角 $B$，方格网横向 $5$ 段、纵向 $5$ 段，每次只能向右或向上爬一格。已知从 $A$ 向右 $2$ 格、向上 $2$ 格的交点，以及向右 $3$ 格、向上 $3$ 格的交点**都不能通过**。这只甲虫可以选择多少条不同的路线？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（障碍怎么办）：不能通过的点直接标 $\underline{\quad}$，其余点仍是“左邻 $+$ 下邻”；最下一行、最左一列标 $1$。
  2. 第 2 步（第二行）：$1,2,3,4,5,\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（第三行，第 $3$ 个是障碍）：$1$、$1+2=\underline{\quad}$、$0$、$0+4=\underline{\quad}$、$4+5=\underline{\quad}$、$9+6=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（第四行，第 $4$ 个是障碍）：$1$、$1+3=\underline{\quad}$、$4+0=\underline{\quad}$、$0$、$0+9=\underline{\quad}$、$9+15=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（第五行）：$1$、$1+4=\underline{\quad}$、$5+4=\underline{\quad}$、$9+0=\underline{\quad}$、$9+9=\underline{\quad}$、$18+24=\underline{\quad}$。
  6. 第 6 步（第六行，末位即 $B$）：$1$、$1+5=\underline{\quad}$、$6+9=\underline{\quad}$、$15+9=\underline{\quad}$、$24+18=\underline{\quad}$、$42+42=\underline{\quad}$。
第二套
题目：快递员在横向 $5$ 段、纵向 $5$ 段的街道网中从西南角 $A$ 送到东北角 $B$，只能向东或向北走。从 $A$ 向东 $2$ 段、向北 $2$ 段的路口，以及向东 $3$ 段、向北 $3$ 段的路口正在施工，**不能通过**。共有多少条不同的路线？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：施工路口标 $\underline{\quad}$，其余点仍是“西邻 $+$ 南邻”；最南一行、最西一列标 $1$。
  2. 第 2 步（第二行）：$1,2,3,4,5,\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（第三行）：$1$、$1+2=\underline{\quad}$、$0$、$0+4=\underline{\quad}$、$4+5=\underline{\quad}$、$9+6=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（第四行）：$1$、$1+3=\underline{\quad}$、$4+0=\underline{\quad}$、$0$、$0+9=\underline{\quad}$、$9+15=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（第五行）：$1$、$1+4=\underline{\quad}$、$5+4=\underline{\quad}$、$9+0=\underline{\quad}$、$9+9=\underline{\quad}$、$18+24=\underline{\quad}$。
  6. 第 6 步（第六行，末位即 $B$）：$1$、$1+5=\underline{\quad}$、$6+9=\underline{\quad}$、$15+9=\underline{\quad}$、$24+18=\underline{\quad}$、$42+42=\underline{\quad}$。
第三套
题目：甲虫从横向 $4$ 段、纵向 $4$ 段方格网的左下角 $A$ 爬到右上角 $B$，只能向右或向上爬。已知从 $A$ 向右 $2$ 格、向上 $2$ 格的交点不能通过。共有多少条不同的路线？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：障碍点标 $\underline{\quad}$，其余点为“左邻 $+$ 下邻”，最下一行与最左一列标 $1$。
  2. 第 2 步（第二行）：$1,2,3,4,\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（第三行，第 $3$ 个是障碍）：$1$、$1+2=\underline{\quad}$、$0$、$0+4=\underline{\quad}$、$4+5=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（第四行）：$1$、$1+3=\underline{\quad}$、$4+0=\underline{\quad}$、$4+4=\underline{\quad}$、$8+9=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（第五行，末位即 $B$）：$1$、$1+4=\underline{\quad}$、$5+4=\underline{\quad}$、$9+8=\underline{\quad}$、$17+17=\underline{\quad}$。
第三套
题目：甲虫从横向 $5$ 段、纵向 $5$ 段方格网的左下角 $A$ 爬到右上角 $B$，只能向右或向上爬。从 $A$ 出发“右 $2$ 上 $2$”“右 $3$ 上 $3$”“右 $1$ 上 $4$”这三个交点**都不能通过**。共有多少条不同的路线？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：三个障碍点都标 $\underline{\quad}$，其余点为“左邻 $+$ 下邻”。
  2. 第 2 步（第二行）：$1,2,3,4,5,\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（第三行，第 $3$ 个是障碍）：$1$、$1+2=\underline{\quad}$、$0$、$0+4=\underline{\quad}$、$4+5=\underline{\quad}$、$9+6=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（第四行，第 $4$ 个是障碍）：$1$、$1+3=\underline{\quad}$、$4+0=\underline{\quad}$、$0$、$0+9=\underline{\quad}$、$9+15=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（第五行，第 $2$ 个是障碍）：$1$、$0$、$0+4=\underline{\quad}$、$4+0=\underline{\quad}$、$4+9=\underline{\quad}$、$13+24=\underline{\quad}$。
  6. 第 6 步（第六行，末位即 $B$）：$1$、$1+0=\underline{\quad}$、$1+4=\underline{\quad}$、$5+4=\underline{\quad}$、$9+13=\underline{\quad}$、$22+37=\underline{\quad}$。
6. 【原题 ch11-chaoyue-06】王老师家装修新房，需要 $2$ 个木匠和 $2$ 个电工。现有木匠 $3$ 人、电工 $3$ 人，另有 $1$ 人既能做木匠也能做电工。要从这 $7$ 人中挑选出 $4$ 人完成这项工作，共有多少种不同的选法？
详细思路
是哪类问题：这是「分类讨论 + 组合选取」题：有人身兼两职，要按他的去向分类。
关键切入点：全部麻烦都出在那位“既能做木匠也能做电工”的人身上——他的身份不定，所以**按他做什么分三类**：做木匠、做电工、什么都不做。分完类后每一类里剩下的人各司其职，用乘法原理分步选出人数即可。注意“从 $3$ 人中选 $2$ 人”与“从 $3$ 人中选 $1$ 人”都是 $3$ 种。
方法概述：按那位“两栖”工人做木匠、做电工、不做分三类，每类内分步选人相乘后相加。
规范步骤：
  1. ①他做木匠：再选 $1$ 木匠、$2$ 电工：$3\times 3=9$（种）（乘法原理）
  2. ②他做电工：再选 $2$ 木匠、$1$ 电工：$3\times 3=9$（种）（乘法原理）
  3. ③他不做：再选 $2$ 木匠、$2$ 电工：$3\times 3=9$（种）（乘法原理）
  4. 三类相加：$9+9+9=27$（种）（加法原理）
第一套
题目：装修需要 $3$ 个木匠和 $3$ 个电工。现有木匠 $4$ 人、电工 $4$ 人，另有 $1$ 人既能做木匠也能做电工。要从这 $9$ 人中挑出 $6$ 人完成工作，共有多少种不同的选法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（按谁分类）：那位**两栖**工人的身份不定，按他“做木匠 / 做电工 / 什么都不做”分三类。
  2. 第 2 步（第一类：他做木匠）：还需从 $4$ 个木匠中选 $2$ 人，有 $(4\times 3)/(2\times 1)=\underline{\quad}$ 种；从 $4$ 个电工中选 $3$ 人，有 $(4\times 3\times 2)/(3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$ 种；本类 $6\times 4=\underline{\quad}$ 种。
  3. 第 3 步（第二类：他做电工）：还需选 $3$ 个木匠、$2$ 个电工，同理为 $4\times 6=\underline{\quad}$ 种。
  4. 第 4 步（第三类：他什么都不做）：还需选 $3$ 个木匠、$3$ 个电工，$4\times 4=\underline{\quad}$ 种。
  5. 第 5 步：三类相加，$24+24+16=\underline{\quad}$（种）。
第二套
题目：演出需要 $3$ 名鼓手和 $3$ 名吉他手。现有鼓手 $4$ 人、吉他手 $4$ 人，另有 $1$ 人两样都会。要从这 $9$ 人中挑出 $6$ 人，共有多少种不同的选法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：按那位两样都会的人“当鼓手 / 当吉他手 / 不上场”分三类。
  2. 第 2 步（当鼓手）：再选 $2$ 名鼓手 $(4\times 3)/(2\times 1)=\underline{\quad}$ 种、$3$ 名吉他手 $(4\times 3\times 2)/(3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$ 种，本类 $6\times 4=\underline{\quad}$ 种。
  3. 第 3 步（当吉他手）：同理 $4\times 6=\underline{\quad}$ 种。
  4. 第 4 步（不上场）：$4\times 4=\underline{\quad}$ 种。
  5. 第 5 步：三类相加，$24+24+16=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：装修需要 $2$ 个木匠和 $2$ 个电工。现有木匠 $4$ 人、电工 $4$ 人，另有 $1$ 人两样都能做。要从这 $9$ 人中挑出 $4$ 人，共有多少种不同的选法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：仍按那位两栖工人的去向分三类。
  2. 第 2 步（他做木匠）：再选 $1$ 个木匠有 $\underline{\quad}$ 种、$2$ 个电工有 $(4\times 3)/(2\times 1)=\underline{\quad}$ 种，本类 $4\times 6=\underline{\quad}$ 种。
  3. 第 3 步（他做电工）：同理 $6\times 4=\underline{\quad}$ 种。
  4. 第 4 步（他什么都不做）：再选 $2$ 木匠、$2$ 电工，$6\times 6=\underline{\quad}$ 种。
  5. 第 5 步：三类相加，$24+24+36=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：装修需要 $2$ 个木匠和 $2$ 个电工。现有只会木匠的 $3$ 人、只会电工的 $3$ 人，另有 $2$ 人既能做木匠也能做电工。要从这 $8$ 人中挑出 $4$ 人完成工作，共有多少种不同的选法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（换个分类标准）：这次有 **$2$ 名两栖工人**，若仍按各人去向分类，会把同一组 $4$ 人重复计数（例如两栖甲做木匠、两栖乙做电工，与两人对调是同一组人）。题目问的是**不同的人选组合**，所以改按“选出的 $4$ 人里含**几名两栖工人**”分三类：含 $0$、$1$、$2$ 名，每类只要能凑成 $2$ 木 $2$ 电即可。
  2. 第 2 步（含 $0$ 名两栖）：$4$ 人全部来自 $3$ 名纯木匠、$3$ 名纯电工，须选 $2$ 木 $2$ 电。选 $2$ 木有 $(3\times 2)/(2\times 1)=\underline{\quad}$ 种，选 $2$ 电同样 $3$ 种，本类 $3\times 3=\underline{\quad}$ 种。
  3. 第 3 步（含 $1$ 名两栖，先选哪名两栖有 $2$ 种）：这名两栖必须亲自顶一个岗，故其余 $3$ 人只能是“$1$ 木 $2$ 电”（两栖做木匠）或“$2$ 木 $1$ 电”（两栖做电工）。前者 $C(3,1)\times C(3,2)=3\times 3=\underline{\quad}$ 种，后者 $C(3,2)\times C(3,1)$ 同样 $9$ 种，两种相加 $9+9=\underline{\quad}$ 种；再乘两名两栖的 $2$ 种选择，$18\times 2=\underline{\quad}$ 种。
  4. 第 4 步（含 $2$ 名两栖）：两名两栖全选入，再从 $6$ 名纯工人中任选 $2$ 人补齐；无论补进的是 $2$ 木、$1$ 木 $1$ 电还是 $2$ 电，两名两栖都能灵活补位凑成 $2$ 木 $2$ 电，故都可行，$(6\times 5)/(2\times 1)=\underline{\quad}$ 种。
  5. 第 5 步（三类相加）：$9+36+15=\underline{\quad}$（种）。
7. 【原题 ch11-chaoyue-07】如图 $11\text{-}19$ 所示，一只小甲虫要从 $A$ 点出发沿着线段爬到 $B$ 点，不能重复经过任何点。请问：这只甲虫有多少种不同的走法？
详细思路
是哪类问题：这是「不重复经过顶点的路径计数」题：图形复杂、又不许重复经过任何点，不能直接套标数法。
关键切入点：标数法要求方向单一（只能往一个大方向走），而本题允许在图中绕行、只是不能重复经过点，所以必须**分块 + 分类**。先找到把图分隔成左右两部分的关键点 $E$、$F$，分别算出各小块内部从 $E$（或 $F$）到 $B$ 的路线数 $M=9$、$m=4$、$N=8$、$n=3$；再按“从 $A$ 迈出的第一步走哪条边”分类，把每类的路线数相加。
方法概述：用分隔点把图分块，分别求各块路线数，再按第一步走向分类相加。
规范步骤：
  1. 求各块内部的路线数：$M=3+3+3=9,\;m=4,\;N=1+3+4=8,\;n=3$（分块）
  2. ①第一步走 $AE$：$M+n+n=9+3+3=15$（条）（分类讨论）
  3. ②第一步走 $AP$：$M+N+N=9+8+8=25$（条）（分类讨论）
  4. ③第一步走 $AD$ 再走 $DF$：$N+m=8+4=12$（条）（分类讨论）
  5. ④第一步走 $AD$ 再走 $DP$：$M+N=9+8=17$（条）（分类讨论）
  6. 四类相加：$15+25+12+17=69$（条）（加法原理）
8. 【原题 ch11-chaoyue-08】如图 $11\text{-}20$ 所示，国际象棋中的棋子“皇后”从左下角走到右上角，每步只能向右、向上或者向右上移动任意多格。一共有多少种不同的走法？
详细思路
是哪类问题：这是「标数法路径计数」的加强版：皇后每步可以向右、向上或向右上走**任意多格**。
关键切入点：仍用标数法，但“来路”变多了：因为每步可以走任意多格，所以到某格的走法数 $=$ **它正左方所有格 $+$ 正下方所有格 $+$ 左下斜线上所有格**的走法数之和（加法原理），而不只是相邻的三个。从“始”格标 $1$ 开始，按从左到右、从下到上的顺序逐格标数，右上角标的数即为答案 $188$。
方法概述：用标数法，每格走法数等于其正左、正下、左下方向全部已标格之和。
规范步骤：
  1. 起点格标 $1$：$1$（标数法）
  2. 第一行依次为 $1,1,2,4$：$1,\;1,\;1+1=2,\;1+1+2=4$（累加左方所有格）
  3. 第二行依次为 $1,3,7,17$：$1,\;1+1+1=3,\;(1+3)+2+1=7,\;(1+3+7)+4+2=17$（左+下+左下）
  4. 第三行依次为 $2,7,22,60$：$2,\;7,\;22,\;60$（左+下+左下）
  5. 第四行末格即答案：$(4+17+60)+(4+17+60)+(22+3+1)=188$（左+下+左下）
第一套
题目：国际象棋中的“皇后”在一个 $5\times 5$ 的棋盘上，从左下角格走到右上角格，每步只能向右、向上或者向右上移动任意多格。一共有多少种不同的走法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（来路为什么变多）：因为每步可以走任意多格，所以到某一格的走法数 $=$ 它**正左方所有格** $+$ **正下方所有格** $+$ **左下斜线上所有格**的走法数之和。
  2. 第 2 步（第一行，从左到右）：起点标 $1$；其余各格是左方所有格之和，依次为 $1$、$1+1=\underline{\quad}$、$1+1+2=\underline{\quad}$、$1+1+2+4=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（第二行）：依次为 $1$、$1+1+1=\underline{\quad}$、$(1+3)+2+1=\underline{\quad}$、$(1+3+7)+4+2=\underline{\quad}$、$(1+3+7+17)+8+4=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（第三行）：依次为 $1+1=\underline{\quad}$、$7$、$22$、$60$、$158$。
  5. 第 5 步（第四行）：依次为 $1+1+2=\underline{\quad}$、$17$、$60$、$188$、$543$。
  6. 第 6 步（第五行，末格即答案）：依次为 $1+1+2+4=\underline{\quad}$、$40$、$158$、$543$、$(8+40+158+543)+(8+40+158+543)+(188+22+3+1)=\underline{\quad}$。
第二套
题目：机器人在 $5\times 5$ 的仓储货架上从左下角格移动到右上角格，每步只能向右、向上或向右上移动任意多格。一共有多少种不同的移动方案？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：每步可移动任意多格，故到某格的方案数 $=$ 正左方所有格 $+$ 正下方所有格 $+$ 左下斜线上所有格之和。
  2. 第 2 步（第一行）：起点标 $1$，其余依次为 $1$、$1+1=\underline{\quad}$、$1+1+2=\underline{\quad}$、$1+1+2+4=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（第二行）：$1$、$1+1+1=\underline{\quad}$、$(1+3)+2+1=\underline{\quad}$、$(1+3+7)+4+2=\underline{\quad}$、$(1+3+7+17)+8+4=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（第三行）：$1+1=\underline{\quad}$、$7$、$22$、$60$、$158$。
  5. 第 5 步（第四行）：$1+1+2=\underline{\quad}$、$17$、$60$、$188$、$543$。
  6. 第 6 步（第五行，末格即答案）：$1+1+2+4=\underline{\quad}$、$40$、$158$、$543$、$(8+40+158+543)+(8+40+158+543)+(188+22+3+1)=\underline{\quad}$。
第三套
题目：“皇后”在一个 $4$ 行 $5$ 列的棋盘上，从左下角格走到右上角格，每步只能向右、向上或向右上移动任意多格。一共有多少种不同的走法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：仍按“正左方所有格 $+$ 正下方所有格 $+$ 左下斜线所有格”标数。
  2. 第 2 步（第一行）：$1$、$1$、$1+1=\underline{\quad}$、$1+1+2=\underline{\quad}$、$1+1+2+4=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（第二行）：$1$、$1+1+1=\underline{\quad}$、$(1+3)+2+1=\underline{\quad}$、$(1+3+7)+4+2=\underline{\quad}$、$(1+3+7+17)+8+4=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（第三行）：$1+1=\underline{\quad}$、$7$、$22$、$60$、$158$。
  5. 第 5 步（第四行，末格即答案）：$1+1+2=\underline{\quad}$、$17$、$60$、$188$、$(4+17+60+188)+(8+40+158)+(60+7+1)=\underline{\quad}$。
第三套
题目：“皇后”在 $4\times 4$ 的棋盘上从左下角格走到右上角格，每步只能向右、向上或向右上移动任意多格。现在**从左下角起向右 $1$ 格、向上 $1$ 格的那个格子被禁止停留和经过**。一共有多少种不同的走法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（禁止格怎么处理）：走不到也不能停的格子标 $\underline{\quad}$，它在后面的累加中自然贡献 $0$。
  2. 第 2 步（第一行）：$1$、$1$、$1+1=\underline{\quad}$、$1+1+2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（第二行，第 $2$ 格被禁止）：$1$、$0$、$(1+0)+2+1=\underline{\quad}$、$(1+0+4)+4+2=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（第三行）：$1+1=\underline{\quad}$、$(2)+(1+0)+1=\underline{\quad}$、$(2+4)+(2+4)+(0+1)=\underline{\quad}$、$(2+4+13)+(4+11)+(4+1)=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（第四行，末格即答案）：$1+1+2=\underline{\quad}$、$(4)+(1+0+4)+2=\underline{\quad}$、$(4+11)+(2+4+13)+(4+1)=\underline{\quad}$、$(4+11+39)+(4+11+39)+(13+0+1)=\underline{\quad}$。
9. 【原题 ch11-tuozhan-01】小高一家人外出旅游，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以坐飞机。经过网上查询，出发的那一天中火车有 $4$ 班，汽车有 $3$ 班，飞机有 $2$ 班。他们乘坐这些交通工具，一共可以有多少种不同的选择？
详细思路
是哪类问题：这是「加法原理（分类计数）」题：几种互斥的交通方式，每种有若干班次，求总选择数。
关键切入点：一家人出门只坐一种交通工具，坐了火车就不会同时坐汽车、飞机，三种方式互相排斥，属于**分类**，所以把各类班次相加而不是相乘。
方法概述：三种交通工具互斥，用加法原理把各类班次相加。
规范步骤：
  1. 确认三类互斥：$火车 \;或\; 汽车 \;或\; 飞机$（分类关系）
  2. 先合并火车与汽车：$4+3=7$（加法原理）
  3. 再加飞机：$7+2=9$（加法原理）
  4. 写出答案：$4+3+2=9$（种）
第一套
题目：小高一家人外出旅游，出发那天火车有 $12$ 班，汽车有 $9$ 班，飞机有 $7$ 班。他们只乘一种交通工具的一个班次，一共有多少种不同的选择？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（分类还是分步）：只坐一种交通工具的一个班次，三种方式**互相排斥**，是分类，用加法原理。
  2. 第 2 步：先合并火车与汽车，$12+9=\underline{\quad}$（班）。
  3. 第 3 步：再加上飞机，$21+7=\underline{\quad}$（种）。
第二套
题目：社区活动中心今天开设手工课 $12$ 节、绘画课 $9$ 节、音乐课 $7$ 节。萱萱只报其中一节课，一共有多少种不同的选择？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：只报一节课，三类课程互相排斥，是分类，用加法原理。
  2. 第 2 步：先合并手工与绘画，$12+9=\underline{\quad}$（节）。
  3. 第 3 步：再加音乐课，$21+7=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：出发那天火车有 $12$ 班，汽车有 $9$ 班，飞机有 $7$ 班，轮船有 $5$ 班。只乘其中一种交通工具的一个班次，一共有多少种不同的选择？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：四种方式仍然互相排斥，是分类，用加法原理把四类相加。
  2. 第 2 步：$12+9=\underline{\quad}$，$21+7=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：再加轮船，$28+5=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：出发那天火车有 $12$ 班，汽车有 $9$ 班，飞机有 $7$ 班。小高一家先选定一个班次，上车（机）后还要在**经济、舒适、豪华** $3$ 种座位等级中选 $1$ 种。一共有多少种不同的出行方案？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（选班次——分类）：三种交通方式互斥，可选班次共 $12+9+7=\underline{\quad}$（个）。
  2. 第 2 步（判断第二件事）：选班次与选座位等级是**都要做**的两件事，是分步，用乘法原理。
  3. 第 3 步：座位等级有 $3$ 种，两步相乘，$28\times 3=\underline{\quad}$（种）。
10. 【原题 ch11-tuozhan-02】“IMO”是“国际数学奥林匹克”的缩写，要求把这 $3$ 个字母涂上 $3$ 种不同的颜色，且每个字母只能涂一种颜色。现有 $5$ 种不同颜色的笔，按上述要求，有多少种不同颜色搭配的“IMO”？
详细思路
是哪类问题：这是「染色计数 + 排列计数」题：给几个不同的字母涂上互不相同的颜色。
关键切入点：“$3$ 个字母涂 $3$ 种不同颜色”意味着任意两个字母都不能同色。按 I、M、O 的顺序分三步涂：第一步 $5$ 种随便选，第二步要避开已用的 $1$ 种（$5-1=4$），第三步要避开已用的 $2$ 种（$5-2=3$），可选数每步减一，再相乘。
方法概述：三个字母依次涂色，可选颜色数 $5,4,3$ 依次减一后相乘。
规范步骤：
  1. 涂 I：$5$ 种（分步计数）
  2. 涂 M，避开 I 的颜色：$5-1=4$ 种（颜色互不相同）
  3. 涂 O，避开 I、M 两色：$5-2=3$ 种（颜色互不相同）
  4. 三步相乘：$5\times 4\times 3=60$（种）（乘法原理）
第一套
题目：要把 “MATH” 这 $4$ 个字母涂上 $4$ 种互不相同的颜色，每个字母只涂一种颜色。现有 $7$ 种不同颜色的笔，一共有多少种不同的涂法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（限制是什么）：$4$ 个字母颜色**互不相同**，所以每涂一个，可用颜色就少一种。
  2. 第 2 步：四步的选择数依次为 $7$、$7-1=\underline{\quad}$、$7-2=\underline{\quad}$、$7-3=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：先算前两步，$7\times 6=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：再乘后两步，$42\times 5\times 4=\underline{\quad}$（种）。
第二套
题目：运动会要给 $4$ 面并排的旗帜染上 $4$ 种互不相同的颜色，现有 $7$ 种颜色的染料。一共有多少种不同的染法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$4$ 面旗帜颜色互不相同，每染一面可用颜色就少一种。
  2. 第 2 步：四步选择数依次为 $7$、$7-1=\underline{\quad}$、$7-2=\underline{\quad}$、$7-3=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：$7\times 6=\underline{\quad}$，$42\times 5\times 4=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：把 “IMO” 这 $3$ 个字母涂上 $3$ 种互不相同的颜色，现有 $6$ 种不同颜色的笔，一共有多少种不同的涂法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：三个字母颜色互不相同，可用颜色每步减一。
  2. 第 2 步：三步选择数依次为 $6$、$6-1=\underline{\quad}$、$6-2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：三步相乘，$6\times 5\times 4=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：把 “MATH” 这 $4$ 个字母涂上 $4$ 种互不相同的颜色，现有 $7$ 种颜色的笔，但要求第一个字母 “M” **必须涂红色**。一共有多少种不同的涂法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（受限的先涂）：“M” 只能涂红色，有 $\underline{\quad}$ 种选择。
  2. 第 2 步：红色被用掉后，剩下 $7-1=\underline{\quad}$ 种颜色供其余三个字母使用，且它们仍互不相同。
  3. 第 3 步：后三步选择数依次为 $6$、$6-1=\underline{\quad}$、$6-2=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：四步相乘，$1\times 6\times 5\times 4=\underline{\quad}$（种）。
11. 【原题 ch11-tuozhan-03】老师要求小高在黑板上写出一个减法算式，而且被减数必须是两位数，减数必须是一位数，小高有多少种不同的写法？
详细思路
是哪类问题：这是「分步计数 + 数的位数计数」题：写一个算式，被减数与减数各有位数要求，求算式个数。
关键切入点：写算式分两步：先定被减数、再定减数。难点在于**先数清每一步有多少个数可用**：两位数是 $10\sim 99$，共 $99-10+1=90$ 个；一位数是 $0\sim 9$，共 $10$ 个。两步都要完成才写出一个算式，故相乘。
方法概述：分两步确定被减数与减数，$90$ 种与 $10$ 种相乘。
规范步骤：
  1. 数两位数的个数：$99-10+1=90$（个）（位数计数）
  2. 数一位数的个数：$9-0+1=10$（个）（位数计数）
  3. 两步相乘：$90\times 10=900$（种）（乘法原理）
第一套
题目：老师要求小高在黑板上写出一个减法算式，被减数必须是**三位数**，减数必须是**两位数**。小高有多少种不同的写法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先数清每步有多少个数）：三位数是 $100\sim 999$，共 $999-100+1=\underline{\quad}$（个）。
  2. 第 2 步：两位数是 $10\sim 99$，共 $99-10+1=\underline{\quad}$（个）。
  3. 第 3 步（关系判断）：被减数和减数都要定下来算式才写成，是分步，用乘法原理，$900\times 90=\underline{\quad}$（种）。
第二套
题目：仓库要给货物打印编号标签，标签上先印一个**三位数**的货号，再印一个**两位数**的批次号。一共可以印出多少种不同的标签？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：三位数货号是 $100\sim 999$，共 $999-100+1=\underline{\quad}$（个）。
  2. 第 2 步：两位数批次号是 $10\sim 99$，共 $99-10+1=\underline{\quad}$（个）。
  3. 第 3 步：两部分都要印，是分步，用乘法原理，$900\times 90=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：写出一个减法算式，被减数必须是**四位数**，减数必须是**两位数**。一共有多少种不同的写法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：四位数是 $1000\sim 9999$，共 $9999-1000+1=\underline{\quad}$（个）。
  2. 第 2 步：两位数共 $99-10+1=\underline{\quad}$（个）。
  3. 第 3 步：两步相乘，$9000\times 90=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：写出一个减法算式，被减数必须是**三位偶数**，减数必须是**一位奇数**。一共有多少种不同的写法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（三位偶数有几个）：三位数共 $999-100+1=\underline{\quad}$ 个，其中偶数恰占一半，$900\div 2=\underline{\quad}$（个）。
  2. 第 2 步（一位奇数有几个）：一位奇数是 $1,3,5,7,9$，共 $\underline{\quad}$（个）。
  3. 第 3 步：两步相乘，$450\times 5=\underline{\quad}$（种）。
12. 【原题 ch11-tuozhan-04】有一个三层书架，第一层放了 $15$ 本小说，第二层放了 $10$ 本漫画，第三层放了 $5$ 本科普书，并且这些书各不相同。请问：（1）如果从所有的书中任取 $1$ 本，共有多少种不同的取法？（2）如果从每一层中各取 $1$ 本，共有多少种不同的取法？（3）如果从中取出 $2$ 本不同类别的书，共有多少种不同的取法？
详细思路
是哪类问题：这是「分类与分步综合」题：同一个书架，三种问法分别对应加法原理、乘法原理，以及“先分类再分步”。
关键切入点：（1）只取 $1$ 本 → 三层互斥 → 分类相加；（2）每层各取 $1$ 本 → 三本都要取 → 分步相乘；（3）取 $2$ 本不同类别 → 先看是哪两类的搭配（三种搭配互斥，分类），每种搭配内部要各取一本（分步），所以是“类间相加、类内相乘”。
方法概述：（1）分类相加；（2）分步相乘；（3）按两类搭配分三类，每类分步相乘后相加。
规范步骤：
  1. （1）任取一本，三类互斥：$15+10+5=30$（种）（加法原理）
  2. （2）每层各取一本：$15\times 10\times 5=750$（种）（乘法原理）
  3. （3）小说+漫画：$15\times 10=150$（类内分步）
  4. （3）小说+科普、漫画+科普：$15\times 5=75,\;10\times 5=50$（类内分步）
  5. （3）三类相加：$150+75+50=275$（种）（加法原理）
第一套
题目：三层书架上第一层放 $20$ 本小说，第二层放 $12$ 本漫画，第三层放 $8$ 本科普书，这些书各不相同。请问：（1）任取 $1$ 本有多少种取法？（2）每层各取 $1$ 本有多少种取法？（3）取出 $2$ 本不同类别的书有多少种取法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第 (1) 问）：只取 $1$ 本，三类互斥，用加法原理，$20+12+8=\underline{\quad}$（种）。
  2. 第 2 步（第 (2) 问）：三本都要取，是分步，用乘法原理，$20\times 12=\underline{\quad}$，再乘科普，$240\times 8=\underline{\quad}$（种）。
  3. 第 3 步（第 (3) 问先分类）：两本书的搭配只能是“小说+漫画”“小说+科普”“漫画+科普”，三类互斥。
  4. 第 4 步（类内分步）：$20\times 12=\underline{\quad}$，$20\times 8=\underline{\quad}$，$12\times 8=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步：三类相加，$240+160+96=\underline{\quad}$（种）。
第二套
题目：礼品柜有三格：第一格 $20$ 个不同的玩偶，第二格 $12$ 个不同的模型，第三格 $8$ 个不同的拼图。请问：（1）任取 $1$ 件有多少种取法？（2）每格各取 $1$ 件有多少种取法？（3）取出 $2$ 件不同类别的礼品有多少种取法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第 (1) 问）：只取 $1$ 件，三类互斥，$20+12+8=\underline{\quad}$（种）。
  2. 第 2 步（第 (2) 问）：三件都要取，是分步，$20\times 12=\underline{\quad}$，$240\times 8=\underline{\quad}$（种）。
  3. 第 3 步（第 (3) 问）：先按搭配分三类，类内再分步：$20\times 12=\underline{\quad}$，$20\times 8=\underline{\quad}$，$12\times 8=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：三类相加，$240+160+96=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：四层书架上依次放 $12$ 本小说、$10$ 本漫画、$8$ 本科普书、$5$ 本诗集，各不相同。请问：（1）任取 $1$ 本有多少种取法？（2）每层各取 $1$ 本有多少种取法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第 (1) 问）：只取 $1$ 本，四类互斥，用加法原理，$12+10+8+5=\underline{\quad}$（种）。
  2. 第 2 步（第 (2) 问）：四本都要取，是分步，用乘法原理，先算 $12\times 10=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：再乘后两层，$120\times 8\times 5=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：三层书架上有 $20$ 本小说、$12$ 本漫画、$8$ 本科普书，各不相同。取出 $2$ 本**不同类别**的书，且其中**必须有一本是小说**。一共有多少种不同的取法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（多了一个条件怎么分类）：既然必须含小说，另一本只能是漫画或科普，只剩 $\underline{\quad}$ 类搭配（比原来少了“漫画+科普”这一类）。
  2. 第 2 步（类内分步）：小说 + 漫画，$20\times 12=\underline{\quad}$（种）。
  3. 第 3 步：小说 + 科普，$20\times 8=\underline{\quad}$（种）。
  4. 第 4 步：两类相加，$240+160=\underline{\quad}$（种）。
13. 【原题 ch11-tuozhan-05】如图 $11\text{-}5$，从甲地到乙地有 $3$ 条路，从乙地到丙地有 $3$ 条路，从甲地到丁地有 $2$ 条路，从丁地到丙地有 $4$ 条路。如果要求所走路线不能重复，那么从甲地到丙地共有多少条不同的路线？
详细思路
是哪类问题：这是「路径计数」题：从起点到终点有两条大走法，每条走法内部要连走两段。
关键切入点：“甲→乙→丙”和“甲→丁→丙”只能二选一，是**分类**，最后相加；而每一类内部，两段路都必须走完才能到丙，是**分步**，两段的条数相乘。牢记：类间相加、类内相乘。
方法概述：先按经乙或经丁分两类，每类内部分步相乘，再两类相加。
规范步骤：
  1. 第一类：甲$\to$乙$\to$丙：$3\times 3=9$（条）（乘法原理）
  2. 第二类：甲$\to$丁$\to$丙：$2\times 4=8$（条）（乘法原理）
  3. 两类相加：$9+8=17$（条）（加法原理）
第一套
题目：从甲地到乙地有 $5$ 条路，从乙地到丙地有 $4$ 条路；从甲地到丁地有 $3$ 条路，从丁地到丙地有 $6$ 条路。从甲地到丙地共有多少条不同的路线？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先分类）：只能走“甲$\to$乙$\to$丙”或“甲$\to$丁$\to$丙”，两类互斥，最后相加。
  2. 第 2 步（类内分步）：经乙一类两段都要走，$5\times 4=\underline{\quad}$（条）。
  3. 第 3 步：经丁一类，$3\times 6=\underline{\quad}$（条）。
  4. 第 4 步：两类相加，$20+18=\underline{\quad}$（条）。
第二套
题目：从学校到体育馆：若经过书店，学校到书店有 $5$ 条路、书店到体育馆有 $4$ 条路；若经过公园，学校到公园有 $3$ 条路、公园到体育馆有 $6$ 条路。从学校到体育馆共有多少条不同的路线？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先分类）：经书店或经公园，两类互斥，最后相加。
  2. 第 2 步（类内分步）：经书店一类，$5\times 4=\underline{\quad}$（条）。
  3. 第 3 步：经公园一类，$3\times 6=\underline{\quad}$（条）；两类相加，$20+18=\underline{\quad}$（条）。
第三套
题目：从甲地到丙地：经乙地时，甲到乙有 $4$ 条路、乙到丙有 $3$ 条路；经丁地时，甲到丁有 $3$ 条路、丁到丙有 $5$ 条路；另有甲到丙的直达路 $2$ 条。一共有多少条不同的路线？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先分类）：经乙、经丁、直达共三类，互斥，最后相加。
  2. 第 2 步（类内分步）：经乙一类 $4\times 3=\underline{\quad}$（条）。
  3. 第 3 步：经丁一类 $3\times 5=\underline{\quad}$（条）；直达一类 $2$ 条。
  4. 第 4 步：三类相加，$12+15+2=\underline{\quad}$（条）。
第三套
题目：从甲地到乙地有 $5$ 条路，乙地到丙地有 $4$ 条路；甲地到丁地有 $3$ 条路，丁地到丙地有 $6$ 条路。小高从甲地到丙地再返回甲地，要求**返回时的整条路线与去时不完全相同**。一共有多少种不同的往返方案？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先求单程）：分类再类内分步，单程路线数为 $5\times 4+3\times 6=\underline{\quad}$（条）。
  2. 第 2 步（往返的关系）：去和回都要走，是分步，用乘法原理。
  3. 第 3 步（回程可选数减少）：回程不能与去程完全相同，只剩 $38-1=\underline{\quad}$（条）。
  4. 第 4 步：两步相乘，$38\times 37=\underline{\quad}$（种）。
14. 【原题 ch11-tuozhan-06】如图 $11\text{-}6$，四张卡片上写有数字 $2,4,7,8$，从中任取三张卡片，排成一行，就可以组成一个三位数。一共可以组成多少个不同的三位数？其中有多少个不同的三位奇数？
详细思路
是哪类问题：这是「数字排列计数」题：用几张不同数字卡片排出三位数，并进一步数其中的奇数。
关键切入点：第一问逐位确定：百位 $4$ 选 $1$，十位从剩 $3$ 张里选，个位从剩 $2$ 张里选，相乘。第二问的关键是**有限制的位先定**：三位奇数由个位决定，$2,4,7,8$ 中只有 $7$ 是奇数，个位只有 $1$ 种；个位定死后，百位从剩下 $3$ 张选、十位从剩 $2$ 张选。
方法概述：逐位确定数字相乘；求奇数时先固定个位为奇数，再排其余位。
规范步骤：
  1. （1）百位、十位、个位依次可选：$4\times 3\times 2=24$（个）（乘法原理）
  2. （2）先定个位：只有 $7$ 是奇数：$1$ 种（特殊位优先）
  3. （2）再定百位、十位：$3\times 2=6$（乘法原理）
  4. 写出答案：$1\times 3\times 2=6$（个）
第一套
题目：五张卡片上写有数字 $1,2,4,7,8$，从中任取三张排成一行组成三位数。一共可以组成多少个不同的三位数？其中有多少个三位奇数？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第一问逐位确定）：百位从 $5$ 张里选，十位从剩下的选，个位再从剩下的选，三步的选择数为 $5$、$5-1=\underline{\quad}$、$5-2=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：三步相乘，$5\times 4\times 3=\underline{\quad}$（个）。
  3. 第 3 步（第二问：受限的位先定）：三位奇数由**个位**决定，$1,2,4,7,8$ 中奇数是 $1$ 和 $7$，个位有 $\underline{\quad}$ 种选择。
  4. 第 4 步：个位定好后，百位从剩下的 $5-1=\underline{\quad}$ 张里选，十位从剩下的 $3$ 张里选。
  5. 第 5 步：三步相乘，$2\times 4\times 3=\underline{\quad}$（个）。
第二套
题目：密码盘上有五枚号码牌，分别刻着 $1,2,4,7,8$。任取三枚依次装上，就组成一个三位密码。一共可以组成多少个不同的密码？其中有多少个是奇数密码？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：三位依次装牌，三步的选择数为 $5$、$5-1=\underline{\quad}$、$5-2=\underline{\quad}$，相乘得 $5\times 4\times 3=\underline{\quad}$（个）。
  2. 第 2 步（奇数密码：受限位先定）：奇偶由**个位**决定，奇数牌是 $1$ 和 $7$，个位有 $\underline{\quad}$ 种。
  3. 第 3 步：个位定后，百位有 $5-1=\underline{\quad}$ 种，十位有 $3$ 种，相乘 $2\times 4\times 3=\underline{\quad}$（个）。
第三套
题目：四张卡片上写有数字 $2,4,7,8$，从中任取三张排成一行组成三位数。其中有多少个不同的三位**偶数**？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（受限位先定）：偶数由**个位**决定，$2,4,7,8$ 中的偶数有 $2,4,8$，个位有 $\underline{\quad}$ 种选择。
  2. 第 2 步：个位定好后，百位从剩下的 $4-1=\underline{\quad}$ 张里选，十位从剩下的 $4-2=\underline{\quad}$ 张里选。
  3. 第 3 步：三步相乘，$3\times 3\times 2=\underline{\quad}$（个）。
第三套
题目：五张卡片上写有数字 $0,1,2,5,8$，从中任取三张排成一行组成三位数（最高位不能是 $0$）。请问：（1）可以组成多少个不同的三位数？（2）其中有多少个三位偶数？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第 (1) 问的新限制）：最高位不能是 $0$，所以百位只能从 $5-1=\underline{\quad}$ 张里选；十位可以用 $0$，从剩下的 $4$ 张里选；个位从剩下的 $3$ 张里选。
  2. 第 2 步：三步相乘，$4\times 4\times 3=\underline{\quad}$（个）。
  3. 第 3 步（第 (2) 问要分类）：偶数的个位是 $0,2,8$；但个位取 $0$ 与取 $2$ 或 $8$ 时，百位的可选数不一样，必须分两类。
  4. 第 4 步（第一类：个位是 $0$）：百位从剩下 $4$ 张任选，十位从剩下 $3$ 张任选，$4\times 3=\underline{\quad}$（个）。
  5. 第 5 步（第二类：个位是 $2$ 或 $8$）：个位 $2$ 种；百位不能是 $0$ 也不能与个位重复，有 $5-2=\underline{\quad}$ 种；十位从剩下 $3$ 张任选，$2\times 3\times 3=\underline{\quad}$（个）。
  6. 第 6 步：两类相加，$12+18=\underline{\quad}$（个）。
15. 【原题 ch11-tuozhan-07】奥运场馆实行垃圾分类处理，每个地方放置五个垃圾桶，从左向右依次标明：电池、塑料、废纸、易拉罐、不可再造，如图 $11\text{-}7$。现在准备把这五个垃圾桶染成红、绿、蓝这 $3$ 种颜色之一，要求相邻两个垃圾桶颜色不同，且回收废纸的垃圾桶不能染成红色。那么一共有多少种染色方法？
详细思路
是哪类问题：这是「链状染色计数」题：一排物体相邻不同色，且其中某一个还有额外的颜色限制。
关键切入点：诀窍是**从限制最强的地方开始染**。“废纸”桶不能染红，只有 $2$ 种；从它出发向左染“塑料”“电池”，向右染“易拉罐”“不可再造”，每个桶都只与已染好的一个邻居相邻，所以都是 $3-1=2$ 种。若从最左端开始染，反而会在废纸桶处出现要分类的麻烦。
方法概述：从受限的“废纸”桶起向两侧依次染色，每步与相邻已染色不同，各 $2$ 种相乘。
规范步骤：
  1. 先染受限的“废纸”桶（不能红）：$3-1=2$ 种（特殊位置优先）
  2. 向左染“塑料”，与废纸不同色：$3-1=2$ 种（相邻不同色）
  3. 再向左染“电池”，与塑料不同色：$3-1=2$ 种（相邻不同色）
  4. 向右染“易拉罐”“不可再造”：$2\times 2$（相邻不同色）
  5. 五步相乘：$2\times 2\times 2\times 2\times 2=32$（种）（乘法原理）
第一套
题目：一排 $6$ 个垃圾桶从左到右编号 $1\sim 6$，要染成红、绿、蓝 $3$ 种颜色之一，相邻两个桶颜色不同，且 $3$ 号桶不能染红色。一共有多少种染色方法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（从哪儿开始染）：**先染限制最强的 $3$ 号桶**，它不能染红，有 $3-1=\underline{\quad}$ 种。
  2. 第 2 步（向左染）：$2$ 号只与已染的 $3$ 号相邻，避开 $1$ 种颜色，有 $3-1=\underline{\quad}$ 种；$1$ 号同理有 $\underline{\quad}$ 种。
  3. 第 3 步（向右染）：$4$、$5$、$6$ 号也各只与已染的左邻相邻，各有 $\underline{\quad}$ 种。
  4. 第 4 步：六步相乘，$2\times 2\times 2=\underline{\quad}$，$8\times 2\times 2\times 2=\underline{\quad}$（种）。
第二套
题目：走廊里一排 $6$ 盏壁灯从左到右编号 $1\sim 6$，每盏可调成红、绿、蓝 $3$ 色之一，相邻两盏颜色不同，且 $3$ 号灯不能是红色。一共有多少种不同的灯光方案？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：先调限制最强的 $3$ 号灯，不能红，有 $3-1=\underline{\quad}$ 种。
  2. 第 2 步（向左）：$2$ 号只与 $3$ 号相邻，有 $3-1=\underline{\quad}$ 种；$1$ 号有 $\underline{\quad}$ 种。
  3. 第 3 步（向右）：$4$、$5$、$6$ 号各有 $\underline{\quad}$ 种。
  4. 第 4 步：六步相乘，$2\times 2\times 2=\underline{\quad}$，$8\times 2\times 2\times 2=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：一排 $5$ 个垃圾桶要染成红、绿、蓝、黄 $4$ 种颜色之一，只要求相邻两个桶颜色不同，没有其他限制。一共有多少种染色方法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：没有特殊限制，直接从左到右依次染。最左边一个无限制，有 $\underline{\quad}$ 种。
  2. 第 2 步：其余每个桶只需与它左边那个不同色，各有 $4-1=\underline{\quad}$ 种。
  3. 第 3 步：五步相乘，$4\times 3\times 3=\underline{\quad}$，$36\times 3\times 3=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：$5$ 个垃圾桶**围成一圈**，要染成红、绿、蓝 $3$ 种颜色之一，要求相邻两个桶颜色不同。一共有多少种染色方法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（为什么不能直接乘）：围成圈后，最后一个桶既与它前面的相邻，又与第一个相邻，可选数说不准，要用“**排成一排减去首尾同色**”的办法。
  2. 第 2 步（先算排成一排）：$5$ 个桶排一排、相邻不同色，共 $3\times 2\times 2\times 2\times 2=\underline{\quad}$（种）。
  3. 第 3 步（首尾同色的有多少）：把首尾两个同色的桶看成一个，就相当于 $4$ 个桶围成一圈；同样地，$4$ 个桶排一排有 $3\times 2\times 2\times 2=\underline{\quad}$ 种，$3$ 个桶围成一圈（两两相邻）有 $3\times 2\times 1=\underline{\quad}$ 种，所以 $4$ 个桶围成一圈有 $24-6=\underline{\quad}$（种）。
  4. 第 4 步：$5$ 个桶围成一圈 $=$ 排一排 $-$ 首尾同色 $=48-18=\underline{\quad}$（种）。
16. 【原题 ch11-tuozhan-08】如图 $11\text{-}8$，把 $A$、$B$、$C$、$D$、$E$ 这五部分用 $4$ 种不同的颜色染色，且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色。请问：这幅图共有多少种不同的染色方法？
详细思路
是哪类问题：这是「区域染色计数」题：相邻区域不能同色，不相邻的可以同色。
关键切入点：关键是**挑一个好顺序**，让每个新染的区域都只与已染好的固定几块相邻，这样每步可选数才是确定的。按 $A,B,C,D,E$ 依次染：$A$ 无限制 $4$ 种；$B$ 避开 $A$ 得 $3$ 种；$C$ 与 $A$、$B$ 都相邻，避开 $2$ 色得 $2$ 种；$D$、$E$ 也各与已染的 $2$ 块相邻，各 $2$ 种。
方法概述：按相邻顺序依次染色，每步数与已染相邻部分不同色的选择数相乘。
规范步骤：
  1. 染 $A$：$4$ 种（分步计数）
  2. 染 $B$（与 $A$ 相邻）：$4-1=3$ 种（相邻不同色）
  3. 染 $C$（与 $A$、$B$ 都相邻）：$4-2=2$ 种（相邻不同色）
  4. 染 $D$、$E$（各与已染的两块相邻）：$2\times 2$（相邻不同色）
  5. 五步相乘：$4\times 3\times 2\times 2\times 2=96$（种）（乘法原理）
第一套
题目：把 $A$、$B$、$C$、$D$、$E$ 五部分用 $5$ 种不同的颜色染色（$A$、$B$、$C$ 两两相邻，$D$ 与 $B$、$C$ 相邻，$E$ 与 $C$、$D$ 相邻），相邻部分不能同色。共有多少种染色方法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（顺序很关键）：按 $A\to B\to C\to D\to E$ 染，保证每一步只与已染好的区域相邻。
  2. 第 2 步：$A$ 无限制，有 $\underline{\quad}$ 种；$B$ 与 $A$ 相邻，有 $5-1=\underline{\quad}$ 种。
  3. 第 3 步：$C$ 与 $A$、$B$ 都相邻，要避开 $2$ 种颜色，有 $5-2=\underline{\quad}$ 种。
  4. 第 4 步：$D$ 与已染的 $B$、$C$ 相邻，$E$ 与已染的 $C$、$D$ 相邻，各有 $\underline{\quad}$ 种。
  5. 第 5 步：五步相乘，$5\times 4\times 3=\underline{\quad}$，$60\times 3\times 3=\underline{\quad}$（种）。
第二套
题目：一幅地图上有五个国家 $A$、$B$、$C$、$D$、$E$（$A$、$B$、$C$ 两两接壤，$D$ 与 $B$、$C$ 接壤，$E$ 与 $C$、$D$ 接壤），用 $5$ 种颜色涂色，接壤的国家不能同色。共有多少种涂法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：按 $A\to B\to C\to D\to E$ 涂，每步只与已涂好的国家接壤。
  2. 第 2 步：$A$ 无限制有 $\underline{\quad}$ 种；$B$ 与 $A$ 接壤有 $5-1=\underline{\quad}$ 种。
  3. 第 3 步：$C$ 与 $A$、$B$ 都接壤，有 $5-2=\underline{\quad}$ 种。
  4. 第 4 步：$D$、$E$ 各与已涂的两国接壤，各有 $\underline{\quad}$ 种。
  5. 第 5 步：五步相乘，$5\times 4\times 3=\underline{\quad}$，$60\times 3\times 3=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：把 $A\sim F$ 六部分用 $4$ 种颜色染色：$A$、$B$、$C$ 两两相邻，$D$ 与 $B$、$C$ 相邻，$E$ 与 $C$、$D$ 相邻，$F$ 与 $D$、$E$ 相邻。相邻部分不能同色，共有多少种染色方法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：按 $A\to B\to C\to D\to E\to F$ 染，每步只与已染好的相邻。
  2. 第 2 步：$A$ 有 $\underline{\quad}$ 种；$B$ 有 $4-1=\underline{\quad}$ 种；$C$ 与 $A$、$B$ 都相邻，有 $4-2=\underline{\quad}$ 种。
  3. 第 3 步：$D$、$E$、$F$ 各与已染的两块相邻，各有 $\underline{\quad}$ 种。
  4. 第 4 步：六步相乘，$4\times 3\times 2=\underline{\quad}$，$24\times 2\times 2\times 2=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：$A$、$B$、$C$、$D$、$E$ 五部分**首尾相接围成一圈**（即 $A\!-\!B$、$B\!-\!C$、$C\!-\!D$、$D\!-\!E$、$E\!-\!A$ 相邻，其余不相邻）。用 $4$ 种颜色染色，相邻部分不能同色。共有多少种染色方法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（为什么不能直接乘）：围成一圈后最后一块同时与两块相邻，可选数不固定，用“**排成一排减去首尾同色**”的办法。
  2. 第 2 步（排成一排）：$5$ 块排一排、相邻不同色，共 $4\times 3\times 3\times 3\times 3=\underline{\quad}$（种）。
  3. 第 3 步（首尾同色相当于 $4$ 块成圈）：$4$ 块排一排有 $4\times 3\times 3\times 3=\underline{\quad}$ 种，$3$ 块成圈（两两相邻）有 $4\times 3\times 2=\underline{\quad}$ 种，故 $4$ 块成圈有 $108-24=\underline{\quad}$（种）。
  4. 第 4 步：$5$ 块成圈 $=324-84=\underline{\quad}$（种）。
17. 【原题 ch11-tuozhan-09】在图 $11\text{-}9$ 中，从“北”字开始，每次向下移动到一个相邻的字可以读出“北京奥运会”。那么一共有多少种不同的读法？
详细思路
是哪类问题：这是「数阵读法计数」题：从顶端出发，每次向下走到相邻的字，读出一句话，求读法数。
关键切入点：读 $5$ 个字恰好是 $5$ 步：第 $1$ 步只能选唯一的“北”（$1$ 种）；此后每读一个字，都可以走到它下方左右相邻的两个字之一，各有 $2$ 种。这是标准的分步，把每步的选择数连乘即可。
方法概述：把读出五个字看作分步，每一步向下相邻的可选数相乘。
规范步骤：
  1. 第 $1$ 步选“北”：$1$ 种（分步计数）
  2. 第 $2\sim 5$ 步每步向下左右两选一：$2$ 种（向下相邻）
  3. 五步相乘：$1\times 2\times 2\times 2\times 2=16$（种）（乘法原理）
第一套
题目：有一个字塔：第 $1$ 行 $1$ 个字、第 $2$ 行 $2$ 个字、……、第 $6$ 行 $6$ 个字。从第 $1$ 行的字出发，每次向左下或右下走到相邻的一个字，一直走到第 $6$ 行，一共可以读出多少种不同的字序？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（一共几步）：从第 $1$ 行走到第 $6$ 行要走 $6-1=\underline{\quad}$ 步，是分步，用乘法原理。
  2. 第 2 步：起点唯一，有 $\underline{\quad}$ 种；此后每一步都可以“向左下”或“向右下”，各有 $\underline{\quad}$ 种。
  3. 第 3 步：五步相乘，$2\times 2\times 2=\underline{\quad}$，$8\times 2\times 2=\underline{\quad}$（种）。
第二套
题目：一座梯形滑道共 $6$ 层，第 $1$ 层有 $1$ 个落点、第 $2$ 层有 $2$ 个落点、……、第 $6$ 层有 $6$ 个落点。小球从第 $1$ 层的落点出发，每次落到下一层左下或右下相邻的落点。小球从顶层落到底层一共有多少条不同的路径？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：从第 $1$ 层落到第 $6$ 层要经过 $6-1=\underline{\quad}$ 次下落，是分步。
  2. 第 2 步：起点唯一有 $\underline{\quad}$ 种；每次下落有“左下、右下”共 $\underline{\quad}$ 种。
  3. 第 3 步：五步相乘，$2\times 2\times 2=\underline{\quad}$，$8\times 2\times 2=\underline{\quad}$（条）。
第三套
题目：一个字塔共 $7$ 行，第 $k$ 行有 $k$ 个字。从第 $1$ 行出发，每次向左下或右下走到相邻的字，走到第 $7$ 行。一共有多少种不同的读法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：共走 $7-1=\underline{\quad}$ 步，每步两选一。
  2. 第 2 步：先算前三步，$2\times 2\times 2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：再乘后三步，$8\times 2\times 2\times 2=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：一个字塔共 $6$ 行，第 $k$ 行有 $k$ 个字。从第 $1$ 行出发，每次向左下或右下走到相邻的字。现在**第 $4$ 行从左数第 $2$ 个字被墨水弄脏，不能经过**。这时一共有多少种不同的读法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（为什么改用标数法）：有字不能经过后，各步的选择数不再都是 $2$，改成逐行标数：每个字的读法数 $=$ 它左上方与右上方两个字的读法数之和，脏字标 $\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（第 $1\sim 3$ 行）：第 $1$ 行标 $1$；第 $2$ 行标 $1,1$；第 $3$ 行标 $1$、$1+1=\underline{\quad}$、$1$。
  3. 第 3 步（第 $4$ 行，第 $2$ 个是脏字）：依次为 $1$、$0$（脏字）、$1+2=\underline{\quad}$、$1$。
  4. 第 4 步（第 $5$ 行）：依次为 $1$、$1+0=\underline{\quad}$、$0+3=\underline{\quad}$、$3+1=\underline{\quad}$、$1$。
  5. 第 5 步（第 $6$ 行）：依次为 $1$、$1+1=\underline{\quad}$、$1+3=\underline{\quad}$、$3+4=\underline{\quad}$、$4+1=\underline{\quad}$、$1$。
  6. 第 6 步（把第 $6$ 行全部加起来）：$1+2+4+7+5+1=\underline{\quad}$（种）。
18. 【原题 ch11-tuozhan-10】如图 $11\text{-}10$，用红、蓝两种颜色来给图中的小圆圈染色，每个小圆圈只能染一种颜色。请问：（1）如果每个小圆圈可以随意染色，一共有多少种不同的染法？（2）如果要求关于中间那条竖线左右对称，一共有多少种不同的染法？
详细思路
是哪类问题：这是「独立染色 + 对称性」题：每个小圆圈自由染两色，第二问加上左右对称的要求。
关键切入点：（1）$9$ 个圆圈互不影响，各有 $2$ 种，连乘 $2^9=512$。（2）对称的关键是：**左右两侧成对的圆圈颜色被绑在一起**，只要定下一侧就自动定下另一侧。中间竖线上的 $5$ 个圆圈自己对称，可自由染；两侧各 $2$ 个圆圈中只有一侧的 $2$ 个是自由的。所以真正自由的只有 $5+2=7$ 个，共 $2^7=128$ 种。
方法概述：（1）$9$ 个圆圈独立 $2$ 选 $1$ 相乘；（2）利用左右对称，只需独立确定 $7$ 个圆圈。
规范步骤：
  1. （1）九个圆圈各 $2$ 种：$2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2=512$（乘法原理）
  2. （2）对称使左右成对绑定：$自由的 = 5+2 = 7$（个）（对称性）
  3. （2）七个自由圆圈各 $2$ 种：$2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2=128$（乘法原理）
第一套
题目：一个图案由 $11$ 个小圆圈组成，其中中间竖线上有 $5$ 个，竖线左边有 $3$ 个、右边有 $3$ 个（左右位置一一对应）。用红、蓝两色给每个小圆圈染色。请问：（1）随意染色有多少种染法？（2）要求关于中间竖线左右对称，有多少种染法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第 (1) 问）：各圆圈互不影响，每个都有 $\underline{\quad}$ 种颜色，共 $11$ 步相乘。
  2. 第 2 步：先算 $2\times 2\times 2\times 2\times 2=\underline{\quad}$，再算 $32\times 32=\underline{\quad}$，最后 $1024\times 2=\underline{\quad}$（种）。
  3. 第 3 步（第 (2) 问的关键）：左右对称时，右边每个圆圈的颜色由左边对应的圆圈**自动确定**，不能自由选。
  4. 第 4 步：真正自由的圆圈是中间竖线上的 $5$ 个与左边的 $3$ 个，共 $5+3=\underline{\quad}$（个）。
  5. 第 5 步：这 $8$ 个各有 $2$ 种，$2\times 2\times 2\times 2=\underline{\quad}$，$16\times 16=\underline{\quad}$（种）。
第二套
题目：一面装饰墙上镶了 $11$ 块方形瓷砖：中间竖列 $5$ 块，左侧 $3$ 块、右侧 $3$ 块（左右位置一一对应）。每块瓷砖可贴红色或蓝色。请问：（1）随意贴有多少种方案？（2）要求关于中间竖线左右对称，有多少种方案？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第 (1) 问）：各瓷砖互不影响，每块都有 $\underline{\quad}$ 种，共 $11$ 步相乘。
  2. 第 2 步：$2\times 2\times 2\times 2\times 2=\underline{\quad}$，$32\times 32=\underline{\quad}$，$1024\times 2=\underline{\quad}$（种）。
  3. 第 3 步（第 (2) 问）：对称时右侧瓷砖的颜色由左侧对应位置自动确定。
  4. 第 4 步：自由的是中间 $5$ 块加左侧 $3$ 块，共 $5+3=\underline{\quad}$（块）。
  5. 第 5 步：$2\times 2\times 2\times 2=\underline{\quad}$，$16\times 16=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：一个图案由 $9$ 个小圆圈组成：中间竖线上 $5$ 个，左边 $2$ 个、右边 $2$ 个（左右一一对应）。用红、蓝、黄 $3$ 色给每个圆圈染色。请问：（1）随意染色有多少种？（2）要求左右对称有多少种？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第 (1) 问）：每个圆圈都有 $\underline{\quad}$ 种颜色，$9$ 步相乘；先算 $3\times 3\times 3=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：$27\times 27\times 27=\underline{\quad}$（种）。
  3. 第 3 步（第 (2) 问）：对称时右边由左边确定，自由的是 $5+2=\underline{\quad}$（个）。
  4. 第 4 步：$3\times 3\times 3=27$，$27\times 27\times 3=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：一个图案由 $9$ 个小圆圈组成：中间竖线上 $5$ 个，左边 $2$ 个、右边 $2$ 个（左右一一对应）。用红、蓝两色染色，要求关于中间竖线**左右对称**，并且中间竖线上的 $5$ 个圆圈中**恰好有 $1$ 个是红色**。一共有多少种染法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先处理中间竖线）：$5$ 个圆圈中恰有 $1$ 个红色，就是从这 $5$ 个位置中挑 $1$ 个当红色，其余都是蓝色，有 $\underline{\quad}$ 种。
  2. 第 2 步（再处理两侧）：对称使右边由左边确定，只有左边 $2$ 个自由，每个 $2$ 种，共 $2\times 2=\underline{\quad}$（种）。
  3. 第 3 步：两部分是分步关系，相乘，$5\times 4=\underline{\quad}$（种）。
19. 【原题 ch11-tuozhan-11】甲、乙、丙、丁、戊五人要驾驶 $A$、$B$、$C$、$D$、$E$ 这五辆不同型号的汽车，会驾驶汽车 $A$ 的只有甲和乙，汽车 $E$ 必须由甲、乙、丙三人中的某一人驾驶。则一共有多少种不同的安排方案？
详细思路
是哪类问题：这是「受限排列」题：几个人开几辆车，某些车只能由指定的人驾驶。
关键切入点：有限制的地方必须**先安排或倒着安排**，否则每步可选数说不清。会开 $A$ 的只有甲、乙，能开 $E$ 的只有甲、乙、丙，说明丁、戊只能开 $B$、$C$、$D$。于是按戊、丁、丙、乙、甲的顺序：戊从 $B,C,D$ 中选（$3$ 种），丁再从余下两辆选（$2$ 种），丙从剩下可开的车中选（$2$ 种），乙再选（$2$ 种），甲只剩 $1$ 种。
方法概述：从限制最强的车（$A$、$E$）入手分步安排，逐人计可选数相乘。
规范步骤：
  1. 戊只能开 $B,C,D$：$3$ 种（受限排列）
  2. 丁只能开 $B,C,D$ 中余下的：$2$ 种（可选数减一）
  3. 丙不能开 $A$，有 $2$ 种：$2$ 种（受限排列）
  4. 乙有 $2$ 种，甲只剩 $1$ 种：$2\times 1$（受限排列）
  5. 五步相乘：$3\times 2\times 2\times 2\times 1=24$（种）（乘法原理）
第一套
题目：甲、乙、丙、丁、戊、己六人要驾驶 $A$、$B$、$C$、$D$、$E$、$F$ 六辆不同型号的汽车，会驾驶汽车 $A$ 的只有甲和乙，汽车 $F$ 必须由甲、乙、丙三人中的某一人驾驶。一共有多少种不同的安排方案？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（谁的限制最强）：$A$ 与 $F$ 都只能由甲、乙、丙中的人开，所以**丁、戊、己只能开 $B$、$C$、$D$、$E$**，先安排他们。
  2. 第 2 步：己从 $B,C,D,E$ 中选，有 $\underline{\quad}$ 种；戊从余下的选，有 $4-1=\underline{\quad}$ 种；丁再选，有 $4-2=\underline{\quad}$ 种。
  3. 第 3 步（再安排受限的三人）：$B\sim E$ 还剩 $1$ 辆没人开，加上 $A$、$F$ 共 $3$ 辆给甲、乙、丙。丙不能开 $A$，有 $\underline{\quad}$ 种；乙有 $\underline{\quad}$ 种；甲只剩 $\underline{\quad}$ 种。
  4. 第 4 步：六步相乘，$4\times 3\times 2=\underline{\quad}$，$24\times 2\times 2\times 1=\underline{\quad}$（种）。
第二套
题目：六名操作员甲、乙、丙、丁、戊、己要分别操作 $A\sim F$ 六台不同的机器，会操作机器 $A$ 的只有甲和乙，机器 $F$ 必须由甲、乙、丙中的某一人操作。一共有多少种不同的安排方案？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$A$、$F$ 只能由甲、乙、丙操作，所以丁、戊、己只能操作 $B$、$C$、$D$、$E$，先安排他们。
  2. 第 2 步：己有 $\underline{\quad}$ 种；戊有 $4-1=\underline{\quad}$ 种；丁有 $4-2=\underline{\quad}$ 种。
  3. 第 3 步：余下 $3$ 台机器给甲、乙、丙，丙不能操作 $A$，有 $\underline{\quad}$ 种；乙有 $\underline{\quad}$ 种；甲只剩 $\underline{\quad}$ 种。
  4. 第 4 步：$4\times 3\times 2=\underline{\quad}$，$24\times 2\times 2\times 1=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：甲、乙、丙、丁、戊五人要驾驶 $A\sim E$ 五辆车，汽车 $A$ 必须由甲、乙、丙中的某一人驾驶，会驾驶汽车 $E$ 的只有甲和乙。一共有多少种不同的安排方案？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$A$、$E$ 都只能由甲、乙、丙开，所以丁、戊只能开 $B$、$C$、$D$，先安排他们。
  2. 第 2 步：戊从 $B,C,D$ 中选有 $\underline{\quad}$ 种；丁从余下的选有 $3-1=\underline{\quad}$ 种。
  3. 第 3 步：剩下 $3$ 辆（$A$、$E$ 与 $B\sim D$ 中余下的 $1$ 辆）给甲、乙、丙。丙不能开 $E$，有 $\underline{\quad}$ 种；乙有 $\underline{\quad}$ 种；甲只剩 $\underline{\quad}$ 种。
  4. 第 4 步：五步相乘，$3\times 2\times 2\times 2\times 1=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：甲、乙、丙、丁、戊、己六人驾驶 $A\sim F$ 六辆车，会驾驶 $A$ 的只有甲和乙，$F$ 必须由甲、乙、丙中的某一人驾驶，此外**丁不会驾驶 $B$**。一共有多少种不同的安排方案？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先算没有丁的限制时）：由前面的做法可知共有 $4\times 3\times 2\times 2\times 2\times 1=\underline{\quad}$（种）。
  2. 第 2 步（再算“丁恰好开 $B$”的坏情况）：把丁固定在 $B$ 上（$1$ 种），剩下戊、己只能从 $C$、$D$、$E$ 中选，有 $3\times 2=\underline{\quad}$ 种。
  3. 第 3 步：其余 $3$ 辆给甲、乙、丙，丙不能开 $A$ 有 $2$ 种，乙有 $2$ 种，甲有 $1$ 种，共 $2\times 2\times 1=\underline{\quad}$ 种；所以坏情况有 $6\times 4=\underline{\quad}$（种）。
  4. 第 4 步（排除法）：$96-24=\underline{\quad}$（种）。
20. 【原题 ch11-tuozhan-12】如图 $11\text{-}11$，$4$ 枚相同的棋子放入 $4\times 4$ 的方格内，每个方格只能放 $1$ 枚，且要求每行每列最多只能放 $1$ 枚。一共有多少种不同的放法？
详细思路
是哪类问题：这是「棋子放置（每行每列至多一枚）」题，也叫“非攻击车”问题。
关键切入点：先由“$4$ 枚棋子、$4$ 行、每行至多 $1$ 枚”推出**每行恰好放 $1$ 枚**，于是可以逐行安排、只需决定每行放在哪一列。第一行 $4$ 列任选；第二行不能与第一行同列，剩 $3$ 列；第三行剩 $2$ 列；第四行只剩 $1$ 列。棋子相同，不必再考虑棋子间的顺序。
方法概述：每行恰放一枚，逐行确定列位置，可选数 $4,3,2,1$ 相乘。
规范步骤：
  1. 推出每行恰好一枚：$4 枚 \div 4 行$（抽屉思想）
  2. 第一行 $4$ 列任选：$4$ 种（分步计数）
  3. 第二、三、四行依次少一列：$3,2,1$ 种（每列至多一枚）
  4. 四步相乘：$4\times 3\times 2\times 1=24$（种）（乘法原理）
第一套
题目：$5$ 枚相同的棋子放入 $5\times 5$ 的方格内，每个方格只能放 $1$ 枚，且每行每列最多只能放 $1$ 枚。一共有多少种不同的放法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先推出关键结论）：$5$ 枚棋子放在 $5$ 行里、每行最多 $1$ 枚，所以每行**恰好**有 $\underline{\quad}$ 枚，只需逐行决定放在哪一列。
  2. 第 2 步：第一行有 $\underline{\quad}$ 列可选；第二行不能与第一行同列，有 $5-1=\underline{\quad}$ 列。
  3. 第 3 步：第三、四、五行依次有 $5-2=\underline{\quad}$、$5-3=\underline{\quad}$、$5-4=\underline{\quad}$ 列。
  4. 第 4 步：五步相乘，$5\times 4\times 3=\underline{\quad}$，$60\times 2\times 1=\underline{\quad}$（种）。
第二套
题目：某公司要在 $5$ 层楼、每层 $5$ 个房间的办公楼里安排 $5$ 台完全相同的打印机，每个房间最多放 $1$ 台，且每层楼、每一列位置都最多放 $1$ 台。一共有多少种不同的安排方法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$5$ 台放在 $5$ 层、每层最多 $1$ 台，所以每层**恰好** $\underline{\quad}$ 台，只需逐层决定放在哪一列位置。
  2. 第 2 步：第一层有 $\underline{\quad}$ 个位置可选；第二层不能与第一层同列，有 $5-1=\underline{\quad}$ 个。
  3. 第 3 步：第三、四、五层依次有 $5-2=\underline{\quad}$、$5-3=\underline{\quad}$、$5-4=\underline{\quad}$ 个。
  4. 第 4 步：$5\times 4\times 3=\underline{\quad}$，$60\times 2\times 1=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：$4$ 枚相同的棋子放入 $5\times 5$ 的方格内，每个方格最多放 $1$ 枚，且每行每列最多只能放 $1$ 枚。一共有多少种不同的放法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（棋子比行少，先选行）：$5$ 行里恰有 $4$ 行放棋子，就是从 $5$ 行中挑出 $1$ 行**不放**，有 $\underline{\quad}$ 种挑法。
  2. 第 2 步（再逐行定列）：选中的 $4$ 行依次定列，可选数为 $5$、$5-1=\underline{\quad}$、$5-2=\underline{\quad}$、$5-3=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：四步相乘，$5\times 4\times 3\times 2=\underline{\quad}$（种）。
  4. 第 4 步：选行与定列是分步关系，$5\times 120=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：$6$ 枚相同的棋子放入 $6\times 6$ 的方格内，每行每列恰好放 $1$ 枚，但**左上角那个方格不能放棋子**。一共有多少种不同的放法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先算没有限制时）：每行恰放 $1$ 枚，逐行定列，$6\times 5\times 4=\underline{\quad}$，$120\times 3\times 2\times 1=\underline{\quad}$（种）。
  2. 第 2 步（再算坏情况）：若第一行的棋子恰好放在左上角那个方格（$1$ 种），其余 $5$ 行逐行定列有 $5\times 4\times 3\times 2\times 1=\underline{\quad}$（种）。
  3. 第 3 步（排除法）：$720-120=\underline{\quad}$（种）。
21. 【原题 ch11-tuozhan-13】图 $11\text{-}12$ 是一个阶梯形方格表，在方格中放入 $5$ 枚相同的棋子，使得每行、每列中都只有 $1$ 枚棋子。这样的放法共有多少种？
详细思路
是哪类问题：这是「阶梯形棋盘上的棋子放置」题：每行、每列都恰好放 $1$ 枚。
关键切入点：阶梯形每行的格子数不同，所以要**从格子最少的那一行开始**逐行安排，这样每往下一行虽然格子多了，但已被占用的列也多了，可选数恰好稳定为 $2$。第一行 $2$ 个位置，往后每行都是“本行格子数 $-$ 已占列数”$=2$，最后一行只剩 $1$ 个位置。
方法概述：按行分步放棋，每行去掉已占行列后可选位置数相乘。
规范步骤：
  1. 第一行 $2$ 个位置可放：$2$ 种（从限制最强处入手）
  2. 第二、三、四行各余 $2$ 个位置：$2,2,2$ 种（去掉已占的列）
  3. 最后一行只剩 $1$ 个位置：$1$ 种（每列一枚）
  4. 五步相乘：$2\times 2\times 2\times 2\times 1=16$（种）（乘法原理）
第一套
题目：一个阶梯形方格表共 $6$ 行，从上到下每行的格子数依次是 $2,3,4,5,6,6$（每行的格子都从最左边一列开始连续排列）。在方格中放入 $6$ 枚相同的棋子，使每行、每列都恰好有 $1$ 枚棋子。这样的放法共有多少种？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（从哪行入手）：**从格子最少的第一行开始**逐行放，这样每步的可选数才好数。第一行有 $\underline{\quad}$ 个位置。
  2. 第 2 步（关键：本行格子数减去已占列数）：第二行有 $3$ 格、已被占 $1$ 列，可放 $3-1=\underline{\quad}$ 个位置；第三行 $4-2=\underline{\quad}$ 个。
  3. 第 3 步：第四行 $5-3=\underline{\quad}$ 个；第五行 $6-4=\underline{\quad}$ 个；第六行 $6-5=\underline{\quad}$ 个。
  4. 第 4 步：六步相乘，$2\times 2\times 2=\underline{\quad}$，$8\times 2\times 2\times 1=\underline{\quad}$（种）。
第二套
题目：一个阶梯形花坛共 $6$ 排，从上到下每排的花池数依次是 $2,3,4,5,6,6$（每排的花池都从最左边一列开始连续排列）。要在花池中摆 $6$ 盆相同的花，使每排、每列都恰好有 $1$ 盆。共有多少种不同的摆法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：从花池最少的第一排开始摆，第一排有 $\underline{\quad}$ 个位置。
  2. 第 2 步：第二排 $3-1=\underline{\quad}$ 个；第三排 $4-2=\underline{\quad}$ 个。
  3. 第 3 步：第四排 $5-3=\underline{\quad}$ 个；第五排 $6-4=\underline{\quad}$ 个；第六排 $6-5=\underline{\quad}$ 个。
  4. 第 4 步：$2\times 2\times 2=\underline{\quad}$，$8\times 2\times 2\times 1=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：一个阶梯形方格表共 $5$ 行，从上到下每行的格子数依次是 $3,4,5,6,6$（每行都从最左一列开始连续排列，故整个表共有 $6$ 列）。放入 $5$ 枚相同的棋子，使每行恰好有 $1$ 枚，且任意两枚棋子都不在同一列（即每列至多 $1$ 枚）。共有多少种放法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：从格子最少的第一行开始，有 $\underline{\quad}$ 个位置。
  2. 第 2 步：第二行 $4-1=\underline{\quad}$ 个；第三行 $5-2=\underline{\quad}$ 个；第四行 $6-3=\underline{\quad}$ 个。
  3. 第 3 步：第五行 $6-4=\underline{\quad}$ 个。
  4. 第 4 步：五步相乘，$3\times 3\times 3=\underline{\quad}$，$27\times 3\times 2=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：一个阶梯形方格表共 $6$ 行，从上到下每行的格子数依次是 $2,3,4,5,6,6$。放入 $6$ 枚相同的棋子，使每行、每列都恰好有 $1$ 枚，但**第一行最左边那个格子不能放**。共有多少种放法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（受限行先安排）：第一行本有 $2$ 个位置，去掉禁止的那个，只剩 $2-1=\underline{\quad}$ 个。
  2. 第 2 步：其余各行仍是“本行格子数 $-$ 已占列数”，第二行 $3-1=\underline{\quad}$ 个，第三行 $4-2=\underline{\quad}$ 个，第四行 $5-3=\underline{\quad}$ 个。
  3. 第 3 步：第五行 $6-4=\underline{\quad}$ 个，第六行 $6-5=\underline{\quad}$ 个。
  4. 第 4 步：六步相乘，$1\times 2\times 2=\underline{\quad}$，$4\times 2\times 2\times 1=\underline{\quad}$（种）。
22. 【原题 ch11-tuozhan-14】如图 $11\text{-}13$ 和图 $11\text{-}14$，蚂蚁在线段上爬行，只能按照箭头的方向行走。请问：（1）如图 $11\text{-}13$ 所示，从 $A$ 点走到 $B$ 点的不同路线有多少条？（2）如图 $11\text{-}14$ 所示，从 $A$ 点走到 $B$ 点的不同路线有多少条？
详细思路
是哪类问题：这是「标数法路径计数」题：只能沿箭头方向走，求从 $A$ 到 $B$ 的路线数。
关键切入点：只要方向单一（只能向上或向右），到某一点的走法数就等于**所有能一步到达它的相邻点**的走法数之和（加法原理）。因此从 $A$ 出发逐点标数：只有一条路可到的点标 $1$，其余点标“各来路点之和”，$B$ 处的数即为答案。第 (1) 问的图较小，标到 $B$ 得 $5$；第 (2) 问的图较大，同样逐点相加，$B$ 处得 $108$。
方法概述：用标数法，每个顶点的走法数等于通往它的各相邻顶点走法数之和。
规范步骤：
  1. 只能按箭头方向走，不会走回头路：$上 \;/\; 右$（方向单一）
  2. 只有一条路可到的点标 $1$：$1$（起始标数）
  3. 其余点 = 各来路点之和：$该点 = \sum 来路$（加法原理）
  4. （1）标到 $B$：$B=5$（条）（标数法）
  5. （2）标到 $B$：$B=108$（条）（标数法）
第一套
题目：蚂蚁在方格线上爬行，只能向右或向上走。请问：（1）在横向 $4$ 段、纵向 $3$ 段的方格网中，从左下角 $A$ 到右上角 $B$ 有多少条不同路线？（2）在横向 $6$ 段、纵向 $4$ 段的方格网中，从 $A$ 到 $B$ 有多少条不同路线？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（为什么可以标数）：只能向右或向上，所以到任一点只能从它的左邻或下邻过来，该点数 $=$ 左邻 $+$ 下邻。最下一行、最左一列全标 $1$。
  2. 第 2 步（第 (1) 问，第二行）：$1+1=\underline{\quad}$，$2+1=\underline{\quad}$，$3+1=\underline{\quad}$，$4+1=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（第三行）：$1+2=3$，$3+3=\underline{\quad}$，$6+4=\underline{\quad}$，$10+5=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（第四行，末位即 $B$）：$1+3=4$，$4+6=\underline{\quad}$，$10+10=\underline{\quad}$，$20+15=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（第 (2) 问同法逐行标数）：第二行为 $1,2,3,4,5,6,7$；第三行为 $1,3,6,10,15,21,\underline{\quad}$。
  6. 第 6 步（第四行）：$1,4,10,20,35,56,\underline{\quad}$。
  7. 第 7 步（第五行，末位即 $B$）：$1,5,15,35,70,126,\underline{\quad}$。
第二套
题目：送水员在小区的道路网上送水，只能向东或向北走。请问：（1）在东西 $4$ 段、南北 $3$ 段的道路网中，从西南角 $A$ 到东北角 $B$ 有多少条不同路线？（2）在东西 $6$ 段、南北 $4$ 段的道路网中，从 $A$ 到 $B$ 有多少条不同路线？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：只能向东或向北，到任一路口只能从西邻或南邻过来，该点数 $=$ 西邻 $+$ 南邻；最南一行、最西一列全标 $1$。
  2. 第 2 步（第 (1) 问，第二行）：$1+1=\underline{\quad}$，$2+1=\underline{\quad}$，$3+1=\underline{\quad}$，$4+1=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（第三行）：$1+2=3$，$3+3=\underline{\quad}$，$6+4=\underline{\quad}$，$10+5=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（第四行，末位即 $B$）：$1+3=4$，$4+6=\underline{\quad}$，$10+10=\underline{\quad}$，$20+15=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（第 (2) 问）：第三行末位 $21+7=\underline{\quad}$。
  6. 第 6 步（第四行末位）：$56+28=\underline{\quad}$。
  7. 第 7 步（第五行末位即 $B$）：$126+84=\underline{\quad}$。
第三套
题目：蚂蚁只能向右或向上爬。在横向 $5$ 段、纵向 $5$ 段的方格网中，从左下角 $A$ 爬到右上角 $B$ 有多少条不同路线？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：仍用标数法，每点 $=$ 左邻 $+$ 下邻；最下一行、最左一列全标 $1$。
  2. 第 2 步（第二行）：$1,2,3,4,5,\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（第三行）：$1,3,6,10,15,\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（第四行）：$1,4,10,20,35,\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（第五行）：$1,5,15,35,70,\underline{\quad}$。
  6. 第 6 步（第六行，末位即 $B$）：$1,6,21,56,126,\underline{\quad}$。
第三套
题目：蚂蚁只能向右或向上爬。在横向 $6$ 段、纵向 $4$ 段的方格网中，从左下角 $A$ 爬到右上角 $B$。已知从 $A$ 向右 $2$ 格、向上 $1$ 格的那个交点，以及从 $A$ 向右 $3$ 格、向上 $2$ 格的那个交点**都被堵住不能通过**。这时有多少条不同路线？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（障碍如何处理）：被堵的交点一条路也走不通，直接标 $\underline{\quad}$，其余各点照旧“左邻 $+$ 下邻”。
  2. 第 2 步：最下一行全标 $1$；第二行（有一个障碍）为 $1$、$1+1=\underline{\quad}$、$0$（障碍）、$0+1=\underline{\quad}$、$1+1=\underline{\quad}$、$2+1=\underline{\quad}$、$3+1=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（第三行，第 $4$ 个是障碍）：$1$、$1+2=\underline{\quad}$、$3+0=\underline{\quad}$、$0$（障碍）、$0+2=\underline{\quad}$、$2+3=\underline{\quad}$、$5+4=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（第四行）：$1$、$1+3=\underline{\quad}$、$4+3=\underline{\quad}$、$7+0=\underline{\quad}$、$7+2=\underline{\quad}$、$9+5=\underline{\quad}$、$14+9=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（第五行，末位即 $B$）：$1$、$1+4=\underline{\quad}$、$5+7=\underline{\quad}$、$12+7=\underline{\quad}$、$19+9=\underline{\quad}$、$28+14=\underline{\quad}$、$42+23=\underline{\quad}$。
23. 【原题 ch11-xingqu-01】墨莫去吃午饭，发现附近的中餐厅有 $9$ 个，西餐厅有 $3$ 个，日式餐厅有 $2$ 个。他准备找一家餐厅吃饭，一共有多少种不同的选择？
详细思路
是哪类问题：这是「加法原理（分类计数）」题：一件事有几大类互不相同的做法，每一类里又有若干种具体做法，求总方法数。
关键切入点：关键是判断“分类”还是“分步”。墨莫只吃一顿饭，中餐、西餐、日餐三选一，选了中餐就不可能同时选西餐，三类之间互相排斥、谁也不与谁搭配，所以是**分类**关系，要相加而不是相乘。
方法概述：三类餐厅互斥，用加法原理把各类的数量直接相加。
规范步骤：
  1. 确认三类互斥：只吃一家，选了一类就排除其他类：$中餐 \;或\; 西餐 \;或\; 日餐$（分类关系）
  2. 先合并中餐与西餐两类：$9+3=12$（加法原理）
  3. 再加上日式餐厅这一类：$12+2=14$（加法原理）
  4. 写出答案：$9+3+2=14$（种）
第一套
题目：墨莫去吃午饭，发现附近的中餐厅有 $24$ 个，西餐厅有 $13$ 个，日式餐厅有 $9$ 个。他准备找一家餐厅吃饭，一共有多少种不同的选择？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先判断分类还是分步）：只吃一家餐厅，选了中餐就不会再选西餐、日餐，三类**互相排斥**，所以是分类，用加法原理，把各类的家数相加。
  2. 第 2 步：先把中餐厅与西餐厅两类合起来，$24+13=\underline{\quad}$（个）。
  3. 第 3 步：再加上日式餐厅这一类，$37+9=\underline{\quad}$（种）。
第二套
题目：小高去书店买一本课外书，书架上有科普书 $24$ 本、童话书 $13$ 本、漫画书 $9$ 本。他只买其中一本，一共有多少种不同的买法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：只买一本书，科普、童话、漫画三类**只能选一类**，是分类关系，用加法原理。
  2. 第 2 步：先合并科普与童话两类，$24+13=\underline{\quad}$（本）。
  3. 第 3 步：再加上漫画这一类，$37+9=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：电影院今天上映动作片 $18$ 部、动画片 $24$ 部、纪录片 $13$ 部、科幻片 $9$ 部。萱萱只看其中一部，一共有多少种不同的选择？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：只看一部片子，四类影片之间仍然是**互相排斥**的分类关系，用加法原理，把四类的部数相加。
  2. 第 2 步：先把前两类合起来，$18+24=\underline{\quad}$（部）。
  3. 第 3 步：再加第三类，$42+13=\underline{\quad}$（部）。
  4. 第 4 步：最后加第四类，$55+9=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：墨莫附近有中餐厅 $24$ 个、西餐厅 $13$ 个、日式餐厅 $9$ 个。他先挑一家餐厅，进店后每家餐厅都提供 $5$ 种套餐，他再点其中 $1$ 种套餐。请问：他挑餐厅并点套餐一共有多少种不同的方案？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（挑餐厅——分类）：三类餐厅互斥，用加法原理，可选的餐厅共有 $24+13+9=\underline{\quad}$（家）。
  2. 第 2 步（判断第二件事的关系）：挑餐厅和点套餐是**先后两件事**，必须都做完方案才确定，所以两者之间是分步关系，用乘法原理。
  3. 第 3 步：点套餐有 $5$ 种选择，两步相乘，$46\times 5=\underline{\quad}$（种）。
24. 【原题 ch11-xingqu-02】墨莫进入一家中餐厅后，发现主食有 $3$ 种，热菜有 $20$ 种。他打算主食和热菜各买 $1$ 种，一共有多少种不同的买法？
详细思路
是哪类问题：这是「乘法原理（分步计数）」题：完成一件事必须依次完成几个步骤，每步各有若干种做法，求总方法数。
关键切入点：买主食和买热菜**不是二选一，而是都要买**：只买了主食这顿饭还没配好，必须再买热菜。既然要连着做完两件事才算完成，两步之间就是分步关系，用乘法原理，把每步的选择数相乘。
方法概述：先选主食再选热菜，两步的选择数相乘。
规范步骤：
  1. 确认分步：主食和热菜都要买，缺一不可：$第一步:主食 \to 第二步:热菜$（分步关系）
  2. 第一步买主食有 $3$ 种选择：$3$（分步计数）
  3. 第二步买热菜有 $20$ 种选择：$20$（分步计数）
  4. 两步相乘：$3\times 20=60$（种）（乘法原理）
第一套
题目：墨莫进入一家中餐厅后，发现主食有 $8$ 种，热菜有 $25$ 种。他打算主食和热菜各买 $1$ 种，一共有多少种不同的买法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先判断分类还是分步）：主食和热菜**都要买**，两件事必须都完成，是分步关系，用乘法原理。
  2. 第 2 步：第一步买主食有 $8$ 种选择，第二步买热菜有 $25$ 种选择，两步相乘就是 $8\times 25$。
  3. 第 3 步（把 $8\times 25$ 拆开算）：$8\times 20=\underline{\quad}$，$8\times 5=\underline{\quad}$，两部分相加 $160+40=\underline{\quad}$（种）。
第二套
题目：卡莉娅去服装店，看中的上衣有 $8$ 款，裤子有 $25$ 款。她要买上衣和裤子各 $1$ 件配成一套，一共有多少种不同的搭配？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：上衣和裤子**都要买**才配成一套，是分步关系，用乘法原理。
  2. 第 2 步：第一步选上衣有 $8$ 种，第二步选裤子有 $25$ 种，两步相乘就是 $8\times 25$。
  3. 第 3 步（把 $8\times 25$ 拆开算）：$8\times 20=\underline{\quad}$，$8\times 5=\underline{\quad}$，两部分相加 $160+40=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：餐厅里主食有 $8$ 种，热菜有 $25$ 种，饮料有 $4$ 种。墨莫打算主食、热菜、饮料各买 $1$ 种，一共有多少种不同的买法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：三样都要买，是三步依次完成，仍用乘法原理，把三步的选择数相乘。
  2. 第 2 步：先算前两步，$8\times 25=\underline{\quad}$（种）。
  3. 第 3 步：再乘上第三步的饮料，$200\times 4=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：餐厅里主食有 $8$ 种，热菜有 $25$ 种，另外还有 $12$ 种现成的套餐。墨莫要么主食和热菜各买 $1$ 种，要么直接买 $1$ 份套餐，一共有多少种不同的买法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先分类）：“各买 $1$ 种”与“买套餐”只能二选一，是两大类，最后要相加。
  2. 第 2 步（第一类内部分步）：主食和热菜都要买，用乘法原理，$8\times 25=\underline{\quad}$（种）。
  3. 第 3 步（第二类）：买套餐只需一步，有 $12$ 种。
  4. 第 4 步：两类相加，$200+12=\underline{\quad}$（种）。
25. 【原题 ch11-xingqu-03】传说地球上有 $7$ 颗不同的龙珠，如果找齐这 $7$ 颗龙珠，并且按照特定顺序排成一行就会神龙出现。邪恶的沙鲁找齐了这 $7$ 颗龙珠，但是他不知道排列的特定顺序。请问：运气不好的沙鲁最多要试几次才能遇见神龙？
详细思路
是哪类问题：这是「全排列」题：把 $n$ 个互不相同的东西排成一行，问有多少种不同的排法。
关键切入点：把“排成一行”拆成 $7$ 个位置逐个放龙珠：位置 $1$ 从 $7$ 颗里任选，位置 $2$ 只能从**剩下的** $6$ 颗里选……每放一颗，后面可选的就少一颗。这是典型的分步，故用乘法原理把 $7,6,5,\dots ,1$ 连乘。最坏情况要把所有排法都试一遍，故答案就是排法总数。
方法概述：逐个位置放龙珠，每步可选数依次减一，连乘求全排列。
规范步骤：
  1. 位置 $1$ 从 $7$ 颗中任取一颗：$7$ 种（分步计数）
  2. 位置 $2$ 只能从剩下 $6$ 颗中取：$6$ 种（每步可选数减一）
  3. 同理位置 $3\sim 7$ 依次有 $5,4,3,2,1$ 种：$5,4,3,2,1$（每步可选数减一）
  4. 七步相乘：$7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=5040$（乘法原理）
  5. 运气最差要把所有排法试遍：$5040$（次）
第一套
题目：传说有 $8$ 颗不同的星石，找齐并按特定顺序排成一行才会开启宝库。沙鲁找齐了这 $8$ 颗星石，但不知道排列顺序。请问：运气最差时他最多要试几次？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（怎样分步）：排成一行就是给 $8$ 个位置逐个放星石，每放一颗，后面能选的就少一颗，是分步，用乘法原理。
  2. 第 2 步：各位置的选择数依次是 $8,7,6,5,4,3,2,1$，一共 $8$ 个数连乘。
  3. 第 3 步：先算前四步，$8\times 7\times 6\times 5=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：再算后四步，$4\times 3\times 2\times 1=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步：两部分相乘，$1680\times 24=\underline{\quad}$（次）。
第二套
题目：密码锁上有 $8$ 个不同的字母牌，只有把它们按特定顺序排成一行才能开锁。小高不知道正确顺序，最多要试几次才能打开锁？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：排成一行就是给 $8$ 个位置逐个放字母牌，每放一个后面就少一个，是分步，用乘法原理。
  2. 第 2 步：各位置的选择数依次是 $8,7,6,5,4,3,2,1$，一共 $8$ 个数连乘。
  3. 第 3 步：前四步之积 $8\times 7\times 6\times 5=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：后四步之积 $4\times 3\times 2\times 1=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步：两部分相乘，$1680\times 24=\underline{\quad}$（次）。
第三套
题目：$9$ 名同学排成一行照相，一共有多少种不同的排法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：把 $9$ 个位置从左到右逐个安排人，每安排一人后面就少一人可选，是分步，用乘法原理。
  2. 第 2 步：各位置选择数依次为 $9,8,7,6,5,4,3,2,1$；先算前三步，$9\times 8\times 7=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：再算中间三步，$6\times 5\times 4=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：最后三步 $3\times 2\times 1=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步：三部分相乘，$504\times 120\times 6=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：$8$ 颗不同的星石排成一行，要求编号为“一星”的那颗必须排在最左端或最右端。一共有多少种不同的排法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先安排受限制的元素）：有限制的要先排。“一星”只能放最左端或最右端，有 $\underline{\quad}$ 种选择。
  2. 第 2 步（再排其余）：“一星”放好后，剩下 $7$ 颗星石在剩下的 $7$ 个位置上全排列，$7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=\underline{\quad}$（种）。
  3. 第 3 步：两步相乘，$2\times 5040=\underline{\quad}$（种）。
26. 【原题 ch11-xingqu-04】电影院里有 $10$ 个空座位，萱萱和卡莉娅去看电影，每个人坐一个座位，一共有多少种不同的坐法？
详细思路
是哪类问题：这是「分步计数（部分排列）」题：若干人依次从若干座位中各选一个，求坐法总数。
关键切入点：两人坐座位要分两步：萱萱先坐，$10$ 个座位随便挑；轮到卡莉娅时**萱萱已经占了一个**，所以只剩 $9$ 个。注意两人是不同的人，谁坐哪个座位算不同坐法，所以按分步相乘即可。
方法概述：两人依次选座，第二人可选数减一，两步相乘。
规范步骤：
  1. 第一步萱萱选座：$10$ 种（分步计数）
  2. 第二步卡莉娅选座，已被占去一个：$10-1=9$ 种（可选数减一）
  3. 两步相乘：$10\times 9=90$（种）（乘法原理）
第一套
题目：电影院里有 $15$ 个空座位，萱萱和卡莉娅去看电影，每个人坐一个座位，一共有多少种不同的坐法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（怎样分步）：两人依次入座，是分步，用乘法原理。第一步萱萱在 $15$ 个座位里任选。
  2. 第 2 步（关键：可选数会减少）：卡莉娅入座时已被萱萱占去 $1$ 个座位，只剩 $15-1=\underline{\quad}$ 种选择。
  3. 第 3 步：两步相乘，$15\times 14=\underline{\quad}$（种）。
第二套
题目：展览馆有 $15$ 个空展位，两家公司各租用一个展位，一共有多少种不同的租法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：两家公司依次挑展位，是分步，用乘法原理。第一家在 $15$ 个展位里任选。
  2. 第 2 步：第二家挑时已被占去 $1$ 个，只剩 $15-1=\underline{\quad}$ 种选择。
  3. 第 3 步：两步相乘，$15\times 14=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：电影院里有 $15$ 个空座位，萱萱、卡莉娅、墨莫三人去看电影，每人坐一个座位，一共有多少种不同的坐法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：三人依次入座是三步，用乘法原理；每坐一人，后面可选的座位就少一个。
  2. 第 2 步：三步的选择数依次是 $15$、$15-1=\underline{\quad}$、$15-2=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：先算前两步，$15\times 14=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：再乘第三步，$210\times 13=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：电影院里有 $15$ 个空座位（编号 $1\sim 15$），萱萱和卡莉娅每人坐一个座位，但萱萱不愿意坐 $1$ 号座位。一共有多少种不同的坐法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（受限的人先安排）：萱萱不能坐 $1$ 号，可选座位为 $15-1=\underline{\quad}$（个）。
  2. 第 2 步（再安排另一人）：卡莉娅 $1$ 号也能坐，但萱萱已占去 $1$ 个座位，所以她也是 $15-1=14$（个）。
  3. 第 3 步：两步相乘，$14\times 14=\underline{\quad}$（种）。
27. 【原题 ch11-xingqu-05】用红、黄、蓝三种颜色给图 $11\text{-}1$ 的三个圆圈染色，一个圆圈只能染一种颜色，并且相连的两个圆圈不能同色。一共有多少种不同的染色方法？
详细思路
是哪类问题：这是「染色计数（相邻不同色）」题：给若干区域染色，有连线（相邻）的区域颜色必须不同。
关键切入点：三个圆圈两两相连，说明**任意两个都不能同色**。把染色拆成三步：先染 $A$（无限制，$3$ 种），再染 $B$（要避开 $A$ 的颜色，$3-1=2$ 种），最后染 $C$（要同时避开 $A$、$B$ 两种颜色，$3-2=1$ 种）。每步只需数“还剩几种颜色可用”。
方法概述：按一个顺序依次染色，每步只数与已染相邻部分不同色的选择数，再相乘。
规范步骤：
  1. 先染 $A$，无限制：$3$ 种（分步计数）
  2. 染 $B$，避开 $A$ 的颜色：$3-1=2$ 种（相邻不同色）
  3. 染 $C$，避开 $A$、$B$ 两色：$3-2=1$ 种（相邻不同色）
  4. 三步相乘：$3\times 2\times 1=6$（种）（乘法原理）
第一套
题目：用红、黄、蓝、绿 $4$ 种颜色给三个两两相连的圆圈 $A$、$B$、$C$ 染色，一个圆圈只染一种颜色，相连的两个圆圈不能同色。一共有多少种不同的染色方法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先定染色顺序）：三个圆圈两两相连，任意两个都不能同色；先染 $A$ 没有限制，$4$ 色随便挑。
  2. 第 2 步：染 $B$ 要避开 $A$ 用掉的 $1$ 种颜色，还剩 $4-1=\underline{\quad}$ 种。
  3. 第 3 步：染 $C$ 要避开 $A$、$B$ 用掉的 $2$ 种颜色，还剩 $4-2=\underline{\quad}$ 种。
  4. 第 4 步：三步相乘，$4\times 3\times 2=\underline{\quad}$（种）。
第二套
题目：一块地图上有三个两两接壤的国家甲、乙、丙，用红、黄、蓝、绿 $4$ 种颜色涂色，每个国家只涂一种颜色，接壤的两国不能同色。一共有多少种不同的涂法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：三国两两接壤，任意两国都不能同色；先涂甲没有限制，$4$ 色随便挑。
  2. 第 2 步：涂乙要避开甲的颜色，还剩 $4-1=\underline{\quad}$ 种。
  3. 第 3 步：涂丙要避开甲、乙两色，还剩 $4-2=\underline{\quad}$ 种。
  4. 第 4 步：三步相乘，$4\times 3\times 2=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：有四个圆圈 $A$、$B$、$C$、$D$，任意两个圆圈之间都有线相连。用 $5$ 种颜色给它们染色，相连的两个圆圈不能同色。一共有多少种不同的染色方法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：任意两圆圈都相连，说明四个圆圈的颜色**两两不同**；依次染色，每染一个就少一种可用颜色。
  2. 第 2 步：四步的选择数依次为 $5$、$5-1=\underline{\quad}$、$5-2=\underline{\quad}$、$5-3=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：四步相乘，$5\times 4\times 3\times 2=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：四个圆圈 $A$、$B$、$C$、$D$ 首尾相连排成一个圈（即 $A\!-\!B$、$B\!-\!C$、$C\!-\!D$、$D\!-\!A$ 相连，而 $A$ 与 $C$、$B$ 与 $D$ 不相连）。用 $4$ 种颜色染色，相连的两个圆圈不能同色。一共有多少种不同的染色方法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：先染 $A$ 有 $4$ 种，再染 $B$（与 $A$ 不同）有 $4-1=\underline{\quad}$ 种。
  2. 第 2 步（为什么要分类）：染 $C$ 时它只与 $B$ 相邻、与 $A$ 不相邻，所以 $C$ **可能与 $A$ 同色也可能不同色**，这会影响 $D$ 的选择数，必须分两类讨论。
  3. 第 3 步（第一类：$C$ 与 $A$ 同色）：$C$ 只有 $1$ 种染法；此时 $D$ 只需避开 $A$、$C$ 这**同一种**颜色，有 $4-1=\underline{\quad}$ 种。本类共 $1\times 3=3$ 种。
  4. 第 4 步（第二类：$C$ 与 $A$ 不同色）：$C$ 要避开 $A$、$B$ 两色，有 $4-2=\underline{\quad}$ 种；此时 $D$ 要避开 $A$、$C$ 两种不同颜色，同样有 $2$ 种。本类共 $2\times 2=\underline{\quad}$ 种。
  5. 第 5 步：两类相加再乘前两步，$4\times 3\times (3+4)=\underline{\quad}$（种）。
28. 【原题 ch11-xingqu-06】用红、黄两种颜色给图 $11\text{-}2$ 中小丑的眼睛、鼻子、嘴巴染色，如果每种器官必须染相同的颜色，一共有多少种不同的染色方法？
详细思路
是哪类问题：这是「独立分步染色」题：几个部件各自独立染色，互相之间没有任何限制。
关键切入点：眼睛、鼻子、嘴巴之间**没有“不能同色”的限制**，所以每个器官都可以在 $2$ 种颜色里自由选，三个器官是三步依次完成，用乘法原理连乘 $2\times 2\times 2$。要点是认清“无限制”，每步的选择数都保持 $2$ 不减少。
方法概述：三个器官独立染色，每个都有 $2$ 种选择，三步相乘。
规范步骤：
  1. 眼睛染色：$2$ 种（分步计数）
  2. 鼻子染色，与眼睛无限制：$2$ 种（各部分独立）
  3. 嘴巴染色：$2$ 种（各部分独立）
  4. 三步相乘：$2\times 2\times 2=8$（种）（乘法原理）
第一套
题目：用红、黄、蓝 $3$ 种颜色给小丑的眼睛、鼻子、嘴巴、帽子染色，每个器官只染一种颜色，各器官之间没有颜色限制。一共有多少种不同的染色方法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（关键：有没有限制）：各器官之间**没有“不能同色”的要求**，所以每个器官都能在 $3$ 种颜色里自由选，每步都是 $3$ 种、不会减少。
  2. 第 2 步：四个器官是四步，先算前两步，$3\times 3=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：再乘第三步，$9\times 3=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：再乘第四步，$27\times 3=\underline{\quad}$（种）。
第二套
题目：舞台上有 $4$ 盏射灯，每盏灯可以调成红、黄、蓝 $3$ 种颜色中的一种，各灯之间互不影响。一共有多少种不同的灯光效果？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：各灯之间没有限制，每盏灯都能在 $3$ 种颜色里自由选，每步都是 $3$ 种、不会减少。
  2. 第 2 步：四盏灯是四步，先算前两步，$3\times 3=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：再乘第三步，$9\times 3=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步：再乘第四步，$27\times 3=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：用红、黄、蓝、绿 $4$ 种颜色给小丑的眼睛、鼻子、嘴巴染色，各器官之间没有颜色限制。一共有多少种不同的染色方法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：仍然没有限制，每个器官都能在 $4$ 种颜色里自由选，每步都是 $4$ 种。
  2. 第 2 步：三个器官是三步，先算前两步，$4\times 4=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：再乘第三步，$16\times 4=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：用红、黄、蓝 $3$ 种颜色给排成一行的 $4$ 个灯泡染色，要求**相邻的两个灯泡颜色不同**（不相邻的可以同色）。一共有多少种不同的染色方法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（限制变了）：现在相邻两个不能同色，就不能每步都是 $3$ 种了，要从左往右依次染。
  2. 第 2 步：第 $1$ 个灯泡无限制，$3$ 色随便挑。
  3. 第 3 步：第 $2$ 个灯泡只需避开左邻的颜色，有 $3-1=\underline{\quad}$ 种；第 $3$、第 $4$ 个也只与左邻相邻，各有同样多种。
  4. 第 4 步：四步逐次累乘，$3\times 2=\underline{\quad}$，$6\times 2=\underline{\quad}$，$12\times 2=\underline{\quad}$（种）。
29. 【原题 ch11-xingqu-07】运动会中有 $4$ 个跑步比赛项目，分别为 $50$ 米、$100$ 米、$200$ 米、$400$ 米，规定每个参赛者只能参加其中的一项，甲、乙、丙、丁四名同学报名参加这 $4$ 个项目。请问：（1）如果每名同学都可以任意报这 $4$ 个项目，一共有多少种报名方法？（2）如果这四名同学所报的项目各不相同，一共有多少种报名方法？
详细思路
是哪类问题：这是「分步计数 + 排列计数」题：几个人各选一个项目，分“可以重复选”和“不能重复选”两种情形。
关键切入点：无论哪一问，都按“甲、乙、丙、丁依次报名”分四步。区别在于**后面的人可选数会不会减少**：（1）项目可重复，前面的人报了不影响后面，每人都是 $4$ 种；（2）项目不能重复，每报掉一个项目后面就少一个，可选数依次是 $4,3,2,1$。
方法概述：（1）每人独立 $4$ 选 $1$ 相乘；（2）项目互不相同，逐人可选数依次减一。
规范步骤：
  1. （1）四人依次报名，互不影响：$4\times 4\times 4\times 4=256$（乘法原理）
  2. （2）项目不重复，可选数依次减一：$4\times 3\times 2\times 1=24$（排列计数）
  3. 写出答案：$（1）256；（2）24$
第一套
题目：运动会有 $5$ 个跑步项目，每个参赛者只能报其中一项，甲、乙、丙、丁、戊五名同学都要报名。请问：（1）每人可任意报这 $5$ 项，一共有多少种报名方法？（2）如果五人所报项目各不相同，一共有多少种报名方法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第 (1) 问：可选数会不会减少）：项目可以重复报，前面的人不影响后面，每人都有 $5$ 种选择、一直不减。
  2. 第 2 步：五人是五步，$5\times 5\times 5=\underline{\quad}$，再乘剩下两步，$125\times 5\times 5=\underline{\quad}$（种）。
  3. 第 3 步（第 (2) 问）：项目各不相同，每报掉一项后面就少一项，五步的选择数依次是 $5,4,3,2,1$。
  4. 第 4 步：五步相乘，$5\times 4\times 3\times 2\times 1=\underline{\quad}$（种）。
第二套
题目：学校有 $5$ 个社团，每人只能加入一个社团，甲、乙、丙、丁、戊五名同学都要报名。请问：（1）每人可任选一个社团，一共有多少种报名方法？（2）如果五人加入的社团各不相同，一共有多少种报名方法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第 (1) 问）：社团可以重复，每人都有 $5$ 种选择、一直不减。
  2. 第 2 步：$5\times 5\times 5=\underline{\quad}$，再乘剩下两步，$125\times 5\times 5=\underline{\quad}$（种）。
  3. 第 3 步（第 (2) 问）：社团各不相同，五步选择数依次是 $5,4,3,2,1$。
  4. 第 4 步：五步相乘，$5\times 4\times 3\times 2\times 1=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：运动会有 $6$ 个项目，甲、乙、丙、丁四名同学各报一项。请问：（1）可以任意报，一共有多少种报名方法？（2）如果四人所报项目各不相同，一共有多少种报名方法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第 (1) 问）：可重复，每人都有 $6$ 种选择，四人相乘，$6\times 6=\underline{\quad}$，$36\times 6\times 6=\underline{\quad}$（种）。
  2. 第 2 步（第 (2) 问）：项目各不相同，每报掉一项后面就少一项，四步选择数依次为 $6,5,4,\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：四步相乘，$6\times 5\times 4\times 3=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：运动会有 $50$ 米、$100$ 米、$200$ 米、$400$ 米共 $4$ 个项目，甲、乙、丙、丁四名同学所报项目各不相同，但甲不能报 $50$ 米。一共有多少种报名方法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（受限的人优先）：甲不能报 $50$ 米，可报的项目有 $4-1=\underline{\quad}$ 个。
  2. 第 2 步：甲报完后，乙从剩下的项目里选，有 $4-1=\underline{\quad}$ 种；丙有 $\underline{\quad}$ 种；丁只剩 $1$ 种。
  3. 第 3 步：四步相乘，$3\times 3\times 2\times 1=\underline{\quad}$（种）。
30. 【原题 ch11-xingqu-08】萱萱的书包里有 $5$ 本不同的语文书、$6$ 本不同的数学书、$3$ 本不同的英语书。请问：（1）如果从中任取 $1$ 本书，共有多少种不同的取法？（2）如果从中取出语文书、数学书、英语书各 $1$ 本，共有多少种不同的取法？
详细思路
是哪类问题：这是「分类与分步的区分」题：同一批书，问法不同，一个用加法原理、一个用乘法原理。
关键切入点：分辨的诀窍是看“一次事件里拿了几本”。（1）**只取 $1$ 本**，这本书要么是语文、要么是数学、要么是英语，三种情况互相排斥 → 分类 → 相加；（2）**三本都要取**，缺一本就没完成 → 分步 → 相乘。
方法概述：（1）任取一本是分类用加法；（2）每类各取一本是分步用乘法。
规范步骤：
  1. （1）只取一本，三类互斥：$5+6+3=14$（加法原理）
  2. （2）三类各取一本，缺一不可：$5\times 6\times 3=90$（乘法原理）
  3. 写出答案：$（1）14；（2）90$
第一套
题目：萱萱的书包里有 $8$ 本不同的语文书、$9$ 本不同的数学书、$7$ 本不同的英语书。请问：（1）从中任取 $1$ 本，共有多少种取法？（2）语文、数学、英语书各取 $1$ 本，共有多少种取法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第 (1) 问：分类还是分步）：只取 $1$ 本，这本书**只能属于一类**，三类互斥，用加法原理。
  2. 第 2 步：先合并前两类，$8+9=\underline{\quad}$，再加英语，$17+7=\underline{\quad}$（种）。
  3. 第 3 步（第 (2) 问）：三本都要取，缺一本就没完成，是分步，用乘法原理。
  4. 第 4 步：先算前两步，$8\times 9=\underline{\quad}$，再乘英语，$72\times 7=\underline{\quad}$（种）。
第二套
题目：文具盒里有 $8$ 支不同的红笔、$9$ 支不同的蓝笔、$7$ 支不同的黑笔。请问：（1）任取 $1$ 支笔，共有多少种取法？（2）红、蓝、黑笔各取 $1$ 支，共有多少种取法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第 (1) 问）：只取 $1$ 支，三类互斥，用加法原理。
  2. 第 2 步：$8+9=\underline{\quad}$，$17+7=\underline{\quad}$（种）。
  3. 第 3 步（第 (2) 问）：三支都要取，是分步，用乘法原理。
  4. 第 4 步：$8\times 9=\underline{\quad}$，$72\times 7=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：书包里有 $8$ 本语文书、$9$ 本数学书、$7$ 本英语书、$6$ 本科学书，各不相同。请问：（1）任取 $1$ 本，共有多少种取法？（2）四类各取 $1$ 本，共有多少种取法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第 (1) 问）：只取 $1$ 本，四类互斥，用加法原理，$8+9+7+6=\underline{\quad}$（种）。
  2. 第 2 步（第 (2) 问）：四本都要取，是分步，用乘法原理；先算 $8\times 9=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：再乘后两类，$72\times 7\times 6=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：书包里有 $8$ 本不同的语文书、$9$ 本不同的数学书、$7$ 本不同的英语书。从中取出 $2$ 本**不同类别**的书，共有多少种不同的取法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先分类）：取出的两本可能是“语数”“语英”“数英”三种搭配之一，三种互斥，最后相加。
  2. 第 2 步（每类内部分步）：语文 + 数学，$8\times 9=\underline{\quad}$（种）。
  3. 第 3 步：语文 + 英语，$8\times 7=\underline{\quad}$（种）；数学 + 英语，$9\times 7=\underline{\quad}$（种）。
  4. 第 4 步：三类相加，$72+56+63=\underline{\quad}$（种）。
31. 【原题 ch11-xingqu-09】如图 $11\text{-}3$，甲、乙两地之间有 $4$ 条路，乙、丙两地之间有 $2$ 条路，甲、丙两地之间有 $3$ 条路。那么从甲地去丙地一共有多少条不同的路线？
详细思路
是哪类问题：这是「路径计数」题：从起点到终点有几条大路线，每条大路线内部又要连着走几段。
关键切入点：先看**大类**：从甲到丙要么绕经乙，要么直达，两者不可能同时发生 → 分类，最后相加；再看**每一类内部**：走“甲→乙→丙”必须先走完甲到乙、再走乙到丙，缺一段到不了 → 分步，选择数相乘。这就是“类间相加、类内相乘”。
方法概述：先分类（经乙或直达），经乙的一类内部再分步相乘，最后两类相加。
规范步骤：
  1. 第一类：甲$\to$乙$\to$丙，两段都要走：$4\times 2=8$（条）（乘法原理）
  2. 第二类：甲$\to$丙直达：$3$（条）（分类）
  3. 两类相加：$8+3=11$（条）（加法原理）
第一套
题目：甲、乙两地之间有 $6$ 条路，乙、丙两地之间有 $5$ 条路，甲、丙两地之间有 $7$ 条路。那么从甲地去丙地一共有多少条不同的路线？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先分类）：从甲到丙要么**经过乙**、要么**直达**，两类互斥，最后相加。
  2. 第 2 步（类内分步）：走“甲$\to$乙$\to$丙”两段都要走，用乘法原理，$6\times 5=\underline{\quad}$（条）。
  3. 第 3 步：直达一类有 $7$ 条。
  4. 第 4 步：两类相加，$30+7=\underline{\quad}$（条）。
第二套
题目：从家到学校，若先经过公园：家到公园有 $6$ 条小路，公园到学校有 $5$ 条小路；也可以从家直接到学校，有 $7$ 条小路。从家到学校一共有多少条不同的路线？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先分类）：要么**经过公园**、要么**直达**，两类互斥，最后相加。
  2. 第 2 步（类内分步）：经过公园的两段都要走，$6\times 5=\underline{\quad}$（条）。
  3. 第 3 步：直达一类有 $7$ 条；两类相加，$30+7=\underline{\quad}$（条）。
第三套
题目：从甲地到丙地：经过乙地时，甲到乙有 $5$ 条路、乙到丙有 $4$ 条路；经过丁地时，甲到丁有 $3$ 条路、丁到丙有 $5$ 条路；此外甲到丙还有 $2$ 条直达路。一共有多少条不同的路线？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先分类）：经乙、经丁、直达共三大类，互斥，最后相加。
  2. 第 2 步（类内分步）：经乙一类 $5\times 4=\underline{\quad}$（条）。
  3. 第 3 步：经丁一类 $3\times 5=\underline{\quad}$（条）；直达一类 $2$ 条。
  4. 第 4 步：三类相加，$20+15+2=\underline{\quad}$（条）。
第三套
题目：甲、乙两地之间有 $6$ 条路，乙、丙两地之间有 $5$ 条路，甲、丙两地之间有 $7$ 条路。小高从甲地去丙地再返回甲地，要求**回来时走的整条路线与去时不完全相同**。一共有多少种不同的往返方案？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先求单程）：先分类再类内分步，去时的路线数为 $6\times 5+7=\underline{\quad}$（条）。
  2. 第 2 步（再看往返的关系）：去和回是两件都要做的事，是分步，用乘法原理。
  3. 第 3 步（回程的可选数会减少）：回来不能走与去时完全相同的那一条，所以只剩 $37-1=\underline{\quad}$ 条。
  4. 第 4 步：两步相乘，$37\times 36=\underline{\quad}$（种）。
32. 【原题 ch11-xingqu-10】图 $11\text{-}4$ 中有一个从 $A$ 到 $B$ 的公路网络，一辆汽车从 $A$ 行驶到 $B$，可以选择的最短路线一共有多少条？
详细思路
是哪类问题：这是「格点路径计数（标数法）」题：在公路网格上只能向右或向上走，求从 $A$ 到 $B$ 的最短路线数。
关键切入点：要走最短，就只能一直向右或向上，绝不回头。每个路口只可能**从它左边或下边**过来，所以到这个路口的走法数 $=$ 到左邻路口的走法数 $+$ 到下邻路口的走法数（加法原理）。最左一列与最下一行的路口只有一条直路可到，都标 $1$，然后逐行往上把每个路口的数标出来，$B$ 处的数就是答案。
方法概述：用标数法，每个顶点的走法数等于其左、下相邻顶点走法数之和。
规范步骤：
  1. 最短路线只能向右或向上走：$右 \;/\; 上$（最短路条件）
  2. 最下一行与最左一列的点各标 $1$：$1$（只有一条直路）
  3. 其余各点 = 左邻 + 下邻：$该点 = 左 + 下$（加法原理）
  4. 逐行标数到 $B$：$B=56$（标数法）
  5. 写出答案：$56$（条）
第一套
题目：一个长方形公路网由横向 $5$ 段、纵向 $4$ 段的方格线组成（即 $6$ 列 $\times$ $5$ 行个路口），汽车从左下角 $A$ 行驶到右上角 $B$，只能向右或向上走。可以选择的最短路线一共有多少条？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（为什么能标数）：最短路线只能向右或向上，所以到任何一个路口只能**从它左边或下边**过来，该点的走法数 $=$ 左邻 $+$ 下邻（加法原理）。
  2. 第 2 步：最下一行的 $6$ 个路口与最左一列的 $5$ 个路口都只有一条直路可到，全标 $1$。
  3. 第 3 步（第二行，从左到右）：$1+1=\underline{\quad}$，$2+1=\underline{\quad}$，$3+1=\underline{\quad}$，$4+1=\underline{\quad}$，$5+1=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（第三行）：$1+2=3$，$3+3=6$，$6+4=\underline{\quad}$，$10+5=\underline{\quad}$，$15+6=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（第四行）：$1+3=4$，$4+6=10$，$10+10=\underline{\quad}$，$20+15=\underline{\quad}$，$35+21=\underline{\quad}$。
  6. 第 6 步（第五行，最后一个数就是 $B$）：$1+4=5$，$5+10=15$，$15+20=35$，$35+35=\underline{\quad}$，$70+56=\underline{\quad}$。
第二套
题目：棋盘街区由横向 $5$ 段、纵向 $4$ 段的街道组成，快递员从左下角的营业点 $A$ 送货到右上角的客户 $B$，为走最短路只向右或向上走。一共有多少条不同的最短路线？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：只向右或向上走，到任一路口只能从左邻或下邻过来，该点走法数 $=$ 左邻 $+$ 下邻。
  2. 第 2 步：最下一行与最左一列的路口都只有一条直路可到，全标 $1$。
  3. 第 3 步（第二行）：$1+1=\underline{\quad}$，$2+1=\underline{\quad}$，$3+1=\underline{\quad}$，$4+1=\underline{\quad}$，$5+1=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（第三行）：$1+2=3$，$3+3=6$，$6+4=\underline{\quad}$，$10+5=\underline{\quad}$，$15+6=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（第四行）：$1+3=4$，$4+6=10$，$10+10=\underline{\quad}$，$20+15=\underline{\quad}$，$35+21=\underline{\quad}$。
  6. 第 6 步（第五行）：$1+4=5$，$5+10=15$，$15+20=35$，$35+35=\underline{\quad}$，$70+56=\underline{\quad}$。
第三套
题目：一个正方形公路网由横向 $4$ 段、纵向 $4$ 段的方格线组成，汽车从左下角 $A$ 到右上角 $B$，只能向右或向上走。最短路线一共有多少条？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：仍用标数法，每点的走法数 $=$ 左邻 $+$ 下邻；最下一行、最左一列全标 $1$。
  2. 第 2 步（第二行）：$1+1=\underline{\quad}$，$2+1=\underline{\quad}$，$3+1=\underline{\quad}$，$4+1=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（第三行）：$1+2=3$，$3+3=\underline{\quad}$，$6+4=\underline{\quad}$，$10+5=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（第四行）：$1+3=4$，$4+6=\underline{\quad}$，$10+10=\underline{\quad}$，$20+15=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（第五行，末位即 $B$）：$1+4=5$，$5+10=15$，$15+20=\underline{\quad}$，$35+35=\underline{\quad}$。
第三套
题目：公路网由横向 $5$ 段、纵向 $4$ 段的方格线组成，汽车从左下角 $A$ 到右上角 $B$，只能向右或向上走。现在从 $A$ 向右数第 $2$ 个、向上数第 $2$ 个的那个路口正在施工，**不能通过**。这时最短路线还有多少条？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（障碍怎么处理）：施工路口一条路也走不通，直接在它上面标 $\underline{\quad}$，后面的点照常“左邻 $+$ 下邻”。
  2. 第 2 步：最下一行、最左一列仍全标 $1$；第二行为 $1,2,3,4,5,6$。
  3. 第 3 步（第三行，第 $3$ 个点是障碍）：$1+2=3$，障碍点标 $0$，接着 $0+4=\underline{\quad}$，$4+5=\underline{\quad}$，$9+6=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（第四行）：$1+3=4$，$4+0=\underline{\quad}$，$4+4=\underline{\quad}$，$8+9=\underline{\quad}$，$17+15=\underline{\quad}$。
  5. 第 5 步（第五行，末位即 $B$）：$1+4=5$，$5+4=\underline{\quad}$，$9+8=\underline{\quad}$，$17+17=\underline{\quad}$，$34+32=\underline{\quad}$。

附录 · 答案

（原题答案见题库；以下为三套变式的完整填好步骤与最终答案）
  1. 1. ch11-chaoyue-01 · 第一套
    1. 第 1 步（必点的两项）：主食有 $\underline{3}$ 种，主菜有 $\underline{4}$ 种。
    2. 第 2 步（汤：把“不点”也算一种）：汤最多点 $1$ 种，所以选择数是“$2$ 种汤”再加上“不点”，共 $2+1=\underline{3}$ 种。
    3. 第 3 步（甜点：每种各自决定）：$3$ 种甜点各自“点或不点”，共 $2\times 2\times 2=\underline{8}$ 种。
    4. 第 4 步：四步相乘，$3\times 4=\underline{12}$，$12\times 3\times 8=\underline{288}$（种）。
    最终答案：$288$ 种。
  2. 1. ch11-chaoyue-01 · 第二套
    1. 第 1 步（必选的两项）：机箱有 $\underline{3}$ 款，显示器有 $\underline{4}$ 款。
    2. 第 2 步（音箱：把“不买”也算一种）：$2+1=\underline{3}$ 种。
    3. 第 3 步（装饰灯：每款各自决定买或不买）：$2\times 2\times 2=\underline{8}$ 种。
    4. 第 4 步：四步相乘，$3\times 4=\underline{12}$，$12\times 3\times 8=\underline{288}$（种）。
    最终答案：$288$ 种。
  3. 1. ch11-chaoyue-01 · 第三套
    1. 第 1 步：主食 $2$ 种、主菜 $3$ 种，都必点。
    2. 第 2 步（汤）：加上“不点”，共 $2+1=\underline{3}$ 种。
    3. 第 3 步（甜点）：$4$ 种各自“点或不点”，共 $2\times 2\times 2\times 2=\underline{16}$ 种。
    4. 第 4 步：四步相乘，$2\times 3=\underline{6}$，$6\times 3\times 16=\underline{288}$（种）。
    最终答案：$288$ 种。
  4. 1. ch11-chaoyue-01 · 第三套
    1. 第 1 步：主食 $3$ 种、主菜 $4$ 种，汤（含“不点”）$2+1=\underline{3}$ 种。
    2. 第 2 步（甜点先不管限制）：$3$ 种甜点各自“点或不点”，共 $2\times 2\times 2=\underline{8}$ 种。
    3. 第 3 步（去掉不合要求的）：其中“一种都不点”只有 $1$ 种，要减掉，所以甜点有 $8-1=\underline{7}$ 种。
    4. 第 4 步：四步相乘，$3\times 4=\underline{12}$，$12\times 3\times 7=\underline{252}$（种）。
    最终答案：$252$ 种。
  5. 2. ch11-chaoyue-02 · 第一套
    1. 第 1 步（先推关键结论）：$5$ 枚棋子、$5$ 列、每列至多 $1$ 枚，所以每列**恰好** $\underline{1}$ 枚，只需逐列决定放在哪一行。
    2. 第 2 步（第 (1) 问）：每列都有 $\underline{4}$ 行可选，五列相乘，$4\times 4=\underline{16}$，$16\times 16\times 4=\underline{1024}$（种）。
    3. 第 3 步（第 (2) 问的思路）：先按相同棋子定好 $5$ 个位置（$1024$ 种），再把 $5$ 枚不同棋子排到这 $5$ 个位置上。
    4. 第 4 步：$5$ 枚不同棋子的全排列有 $5\times 4\times 3\times 2\times 1=\underline{120}$（种）。
    5. 第 5 步：两步相乘，$1024\times 120=\underline{122880}$（种）。
    最终答案：（1）$1024$ 种；（2）$122880$ 种。
  6. 2. ch11-chaoyue-02 · 第二套
    1. 第 1 步：$5$ 个花瓶、$5$ 个书架、每架至多 $1$ 个，所以每架**恰好** $\underline{1}$ 个，只需逐架决定摆在第几层。
    2. 第 2 步（第 (1) 问）：每架有 $\underline{4}$ 层可选，$4\times 4=\underline{16}$，$16\times 16\times 4=\underline{1024}$（种）。
    3. 第 3 步（第 (2) 问）：先定好 $5$ 个位置（$1024$ 种），再把 $5$ 个不同花瓶排进去。
    4. 第 4 步：全排列有 $5\times 4\times 3\times 2\times 1=\underline{120}$（种）。
    5. 第 5 步：$1024\times 120=\underline{122880}$（种）。
    最终答案：（1）$1024$ 种；（2）$122880$ 种。
  7. 2. ch11-chaoyue-02 · 第三套
    1. 第 1 步：每列恰好 $1$ 枚，逐列决定行；每列有 $\underline{3}$ 种选择。
    2. 第 2 步（第 (1) 问）：$3\times 3\times 3=\underline{27}$，$27\times 3\times 3=\underline{243}$（种）。
    3. 第 3 步（第 (2) 问）：再把 $5$ 枚不同棋子排入选好的 $5$ 个位置，有 $5\times 4\times 3\times 2\times 1=\underline{120}$ 种。
    4. 第 4 步：两步相乘，$243\times 120=\underline{29160}$（种）。
    最终答案：（1）$243$ 种；（2）$29160$ 种。
  8. 2. ch11-chaoyue-02 · 第三套
    1. 第 1 步（先不管新限制）：每列恰放 $1$ 枚、每列 $3$ 种，共 $3\times 3\times 3\times 3=\underline{81}$（种）。
    2. 第 2 步（哪些不合要求）：不合要求就是某一行放了 $3$ 枚或 $4$ 枚，要分两类减掉。
    3. 第 3 步（某行恰好 $3$ 枚）：先选是哪一行，有 $\underline{3}$ 种；再选这 $3$ 枚在哪 $3$ 列，有 $(4\times 3\times 2)/(3\times 2\times 1)=\underline{4}$ 种；剩下那一列的棋子只能放在另外两行，有 $\underline{2}$ 种。本类共 $3\times 4\times 2=\underline{24}$ 种。
    4. 第 4 步（某行恰好 $4$ 枚）：$4$ 枚全在同一行，只要选是哪一行，有 $\underline{3}$ 种。
    5. 第 5 步（排除法）：$81-24-3=\underline{54}$（种）。
    最终答案：$54$ 种。
  9. 3. ch11-chaoyue-03 · 第一套
    1. 第 1 步（顺序为什么重要）：按“每块新染的都只与已染好的固定几块相邻”的顺序染，每步可选数才固定。
    2. 第 2 步：第 $1$ 块无限制有 $\underline{5}$ 种；第 $2$ 块与 $1$ 块相邻，有 $5-1=\underline{4}$ 种。
    3. 第 3 步：其余 $6$ 块各与已染的 $2$ 块相邻，要避开 $2$ 种颜色，各有 $5-2=\underline{3}$ 种。
    4. 第 4 步：先算 $5\times 4=\underline{20}$，再算 $3\times 3\times 3=\underline{27}$。
    5. 第 5 步：合起来，$20\times 27\times 27=\underline{14580}$（种）。
    最终答案：$14580$ 种。
  10. 3. ch11-chaoyue-03 · 第二套
    1. 第 1 步：选好顺序，让每个新涂的省只与已涂好的固定几个接壤。
    2. 第 2 步：第 $1$ 个省有 $\underline{5}$ 种；第 $2$ 个省有 $5-1=\underline{4}$ 种。
    3. 第 3 步：其余 $6$ 个省各要避开 $2$ 种颜色，各有 $5-2=\underline{3}$ 种。
    4. 第 4 步：$5\times 4=\underline{20}$，$3\times 3\times 3=\underline{27}$。
    5. 第 5 步：$20\times 27\times 27=\underline{14580}$（种）。
    最终答案：$14580$ 种。
  11. 3. ch11-chaoyue-03 · 第三套
    1. 第 1 步：第 $1$ 块有 $\underline{4}$ 种；第 $2$ 块有 $4-1=\underline{3}$ 种。
    2. 第 2 步：其余 $7$ 块各避开 $2$ 色，各有 $4-2=\underline{2}$ 种。
    3. 第 3 步：先算 $4\times 3=\underline{12}$，再算 $2\times 2\times 2=\underline{8}$。
    4. 第 4 步：合起来，$12\times 8\times 8\times 2=\underline{1536}$（种）。
    最终答案：$1536$ 种。
  12. 3. ch11-chaoyue-03 · 第三套
    1. 第 1 步（为什么不能直接连乘）：围成圈后最后一块同时与两块相邻，可选数不定，改用“**排成一排 $-$ 首尾同色**”，而“首尾同色”的情形恰好相当于少一块的环。
    2. 第 2 步（先建立最小的环）：$3$ 块成圈就是两两相邻，有 $4\times 3\times 2=\underline{24}$（种）。
    3. 第 3 步（逐级往上推）：$4$ 块排一排有 $4\times 3\times 3\times 3=\underline{108}$ 种，所以 $4$ 块成圈有 $108-24=\underline{84}$（种）。
    4. 第 4 步：$5$ 块排一排有 $4\times 3\times 3\times 3\times 3=\underline{324}$ 种，所以 $5$ 块成圈有 $324-84=\underline{240}$（种）。
    5. 第 5 步：$6$ 块排一排有 $324\times 3=\underline{972}$ 种，所以 $6$ 块成圈有 $972-240=\underline{732}$（种）。
    6. 第 6 步：$7$ 块排一排有 $972\times 3=\underline{2916}$ 种，所以 $7$ 块成圈有 $2916-732=\underline{2184}$（种）。
    最终答案：$2184$ 种。
  13. 4. ch11-chaoyue-04 · 第一套
    1. 第 1 步：先染 $A$ 有 $\underline{5}$ 种，再染 $B$（与 $A$ 相邻）有 $5-1=\underline{4}$ 种。
    2. 第 2 步（为什么要分类）：$C$ 只与 $B$ 相邻、与 $A$ 不相邻，所以 $C$ 与 $A$ 可能同色也可能不同色，这会影响 $D$ 的可选数。
    3. 第 3 步（第一类：$C$ 与 $A$ 同色）：$C$ 只有 $1$ 种；$D$ 只需避开 $A$、$C$ 这同一种颜色，有 $5-1=\underline{4}$ 种，本类 $1\times 4=\underline{4}$ 种。
    4. 第 4 步（第二类：$C$ 与 $A$ 不同色）：$C$ 要避开 $A$、$B$ 两色，有 $5-2=\underline{3}$ 种；$D$ 要避开 $A$、$C$ 两色，有 $5-2=\underline{3}$ 种，本类 $3\times 3=\underline{9}$ 种。
    5. 第 5 步：两类相加后与前两步相乘，$5\times 4\times (4+9)=\underline{260}$（种）。
    最终答案：$260$ 种。
  14. 4. ch11-chaoyue-04 · 第二套
    1. 第 1 步：先摆 $A$ 有 $\underline{5}$ 种，$B$ 与 $A$ 相邻有 $5-1=\underline{4}$ 种。
    2. 第 2 步：$C$ 与 $A$ 不相邻，故要按 $C$ 与 $A$ 是否同色分两类。
    3. 第 3 步（同色）：$C$ 有 $1$ 种，$D$ 有 $5-1=\underline{4}$ 种，本类 $1\times 4=\underline{4}$ 种。
    4. 第 4 步（不同色）：$C$ 有 $5-2=\underline{3}$ 种，$D$ 有 $5-2=\underline{3}$ 种，本类 $3\times 3=\underline{9}$ 种。
    5. 第 5 步：$5\times 4\times (4+9)=\underline{260}$（种）。
    最终答案：$260$ 种。
  15. 4. ch11-chaoyue-04 · 第三套
    1. 第 1 步（换个好办法）：环 $=$ 排成一排 $-$ 首尾同色，而“首尾同色”把首尾看成一个后恰好是少一块的环。
    2. 第 2 步：$5$ 个圆圈排成一排、相邻不同色，共 $4\times 3\times 3\times 3\times 3=\underline{324}$（种）。
    3. 第 3 步：$4$ 个圆圈成环的种数由原题已知是 $\underline{84}$ 种。
    4. 第 4 步：所以 $5$ 个圆圈成环有 $324-84=\underline{240}$（种）。
    最终答案：$240$ 种。
  16. 4. ch11-chaoyue-04 · 第三套
    1. 第 1 步：仍用“环 $=$ 排一排 $-$ 首尾同色”，且首尾同色的情形相当于少一块的环，需要一级一级往上推。
    2. 第 2 步：$4$ 个成环有 $84$ 种；$5$ 个排一排有 $4\times 3\times 3\times 3\times 3=\underline{324}$ 种，故 $5$ 个成环有 $324-84=\underline{240}$（种）。
    3. 第 3 步：$6$ 个排一排有 $324\times 3=\underline{972}$（种）。
    4. 第 4 步：故 $6$ 个成环有 $972-240=\underline{732}$（种）。
    最终答案：$732$ 种。
  17. 5. ch11-chaoyue-05 · 第一套
    1. 第 1 步（障碍怎么办）：不能通过的点直接标 $\underline{0}$，其余点仍是“左邻 $+$ 下邻”；最下一行、最左一列标 $1$。
    2. 第 2 步（第二行）：$1,2,3,4,5,\underline{6}$。
    3. 第 3 步（第三行，第 $3$ 个是障碍）：$1$、$1+2=\underline{3}$、$0$、$0+4=\underline{4}$、$4+5=\underline{9}$、$9+6=\underline{15}$。
    4. 第 4 步（第四行，第 $4$ 个是障碍）：$1$、$1+3=\underline{4}$、$4+0=\underline{4}$、$0$、$0+9=\underline{9}$、$9+15=\underline{24}$。
    5. 第 5 步（第五行）：$1$、$1+4=\underline{5}$、$5+4=\underline{9}$、$9+0=\underline{9}$、$9+9=\underline{18}$、$18+24=\underline{42}$。
    6. 第 6 步（第六行，末位即 $B$）：$1$、$1+5=\underline{6}$、$6+9=\underline{15}$、$15+9=\underline{24}$、$24+18=\underline{42}$、$42+42=\underline{84}$。
    最终答案：$84$ 条。
  18. 5. ch11-chaoyue-05 · 第二套
    1. 第 1 步：施工路口标 $\underline{0}$，其余点仍是“西邻 $+$ 南邻”；最南一行、最西一列标 $1$。
    2. 第 2 步（第二行）：$1,2,3,4,5,\underline{6}$。
    3. 第 3 步（第三行）：$1$、$1+2=\underline{3}$、$0$、$0+4=\underline{4}$、$4+5=\underline{9}$、$9+6=\underline{15}$。
    4. 第 4 步（第四行）：$1$、$1+3=\underline{4}$、$4+0=\underline{4}$、$0$、$0+9=\underline{9}$、$9+15=\underline{24}$。
    5. 第 5 步（第五行）：$1$、$1+4=\underline{5}$、$5+4=\underline{9}$、$9+0=\underline{9}$、$9+9=\underline{18}$、$18+24=\underline{42}$。
    6. 第 6 步（第六行，末位即 $B$）：$1$、$1+5=\underline{6}$、$6+9=\underline{15}$、$15+9=\underline{24}$、$24+18=\underline{42}$、$42+42=\underline{84}$。
    最终答案：$84$ 条。
  19. 5. ch11-chaoyue-05 · 第三套
    1. 第 1 步：障碍点标 $\underline{0}$，其余点为“左邻 $+$ 下邻”，最下一行与最左一列标 $1$。
    2. 第 2 步（第二行）：$1,2,3,4,\underline{5}$。
    3. 第 3 步（第三行，第 $3$ 个是障碍）：$1$、$1+2=\underline{3}$、$0$、$0+4=\underline{4}$、$4+5=\underline{9}$。
    4. 第 4 步（第四行）：$1$、$1+3=\underline{4}$、$4+0=\underline{4}$、$4+4=\underline{8}$、$8+9=\underline{17}$。
    5. 第 5 步（第五行，末位即 $B$）：$1$、$1+4=\underline{5}$、$5+4=\underline{9}$、$9+8=\underline{17}$、$17+17=\underline{34}$。
    最终答案：$34$ 条。
  20. 5. ch11-chaoyue-05 · 第三套
    1. 第 1 步：三个障碍点都标 $\underline{0}$，其余点为“左邻 $+$ 下邻”。
    2. 第 2 步（第二行）：$1,2,3,4,5,\underline{6}$。
    3. 第 3 步（第三行，第 $3$ 个是障碍）：$1$、$1+2=\underline{3}$、$0$、$0+4=\underline{4}$、$4+5=\underline{9}$、$9+6=\underline{15}$。
    4. 第 4 步（第四行，第 $4$ 个是障碍）：$1$、$1+3=\underline{4}$、$4+0=\underline{4}$、$0$、$0+9=\underline{9}$、$9+15=\underline{24}$。
    5. 第 5 步（第五行，第 $2$ 个是障碍）：$1$、$0$、$0+4=\underline{4}$、$4+0=\underline{4}$、$4+9=\underline{13}$、$13+24=\underline{37}$。
    6. 第 6 步（第六行，末位即 $B$）：$1$、$1+0=\underline{1}$、$1+4=\underline{5}$、$5+4=\underline{9}$、$9+13=\underline{22}$、$22+37=\underline{59}$。
    最终答案：$59$ 条。
  21. 6. ch11-chaoyue-06 · 第一套
    1. 第 1 步（按谁分类）：那位**两栖**工人的身份不定，按他“做木匠 / 做电工 / 什么都不做”分三类。
    2. 第 2 步（第一类：他做木匠）：还需从 $4$ 个木匠中选 $2$ 人，有 $(4\times 3)/(2\times 1)=\underline{6}$ 种；从 $4$ 个电工中选 $3$ 人，有 $(4\times 3\times 2)/(3\times 2\times 1)=\underline{4}$ 种；本类 $6\times 4=\underline{24}$ 种。
    3. 第 3 步（第二类：他做电工）：还需选 $3$ 个木匠、$2$ 个电工，同理为 $4\times 6=\underline{24}$ 种。
    4. 第 4 步（第三类：他什么都不做）：还需选 $3$ 个木匠、$3$ 个电工，$4\times 4=\underline{16}$ 种。
    5. 第 5 步：三类相加，$24+24+16=\underline{64}$（种）。
    最终答案：$64$ 种。
  22. 6. ch11-chaoyue-06 · 第二套
    1. 第 1 步：按那位两样都会的人“当鼓手 / 当吉他手 / 不上场”分三类。
    2. 第 2 步（当鼓手）：再选 $2$ 名鼓手 $(4\times 3)/(2\times 1)=\underline{6}$ 种、$3$ 名吉他手 $(4\times 3\times 2)/(3\times 2\times 1)=\underline{4}$ 种，本类 $6\times 4=\underline{24}$ 种。
    3. 第 3 步（当吉他手）：同理 $4\times 6=\underline{24}$ 种。
    4. 第 4 步（不上场）：$4\times 4=\underline{16}$ 种。
    5. 第 5 步：三类相加，$24+24+16=\underline{64}$（种）。
    最终答案：$64$ 种。
  23. 6. ch11-chaoyue-06 · 第三套
    1. 第 1 步：仍按那位两栖工人的去向分三类。
    2. 第 2 步（他做木匠）：再选 $1$ 个木匠有 $\underline{4}$ 种、$2$ 个电工有 $(4\times 3)/(2\times 1)=\underline{6}$ 种，本类 $4\times 6=\underline{24}$ 种。
    3. 第 3 步（他做电工）：同理 $6\times 4=\underline{24}$ 种。
    4. 第 4 步（他什么都不做）：再选 $2$ 木匠、$2$ 电工，$6\times 6=\underline{36}$ 种。
    5. 第 5 步：三类相加，$24+24+36=\underline{84}$（种）。
    最终答案：$84$ 种。
  24. 6. ch11-chaoyue-06 · 第三套
    1. 第 1 步（换个分类标准）：这次有 **$2$ 名两栖工人**，若仍按各人去向分类，会把同一组 $4$ 人重复计数（例如两栖甲做木匠、两栖乙做电工，与两人对调是同一组人）。题目问的是**不同的人选组合**，所以改按“选出的 $4$ 人里含**几名两栖工人**”分三类：含 $0$、$1$、$2$ 名，每类只要能凑成 $2$ 木 $2$ 电即可。
    2. 第 2 步（含 $0$ 名两栖）：$4$ 人全部来自 $3$ 名纯木匠、$3$ 名纯电工，须选 $2$ 木 $2$ 电。选 $2$ 木有 $(3\times 2)/(2\times 1)=\underline{3}$ 种，选 $2$ 电同样 $3$ 种，本类 $3\times 3=\underline{9}$ 种。
    3. 第 3 步（含 $1$ 名两栖，先选哪名两栖有 $2$ 种）：这名两栖必须亲自顶一个岗，故其余 $3$ 人只能是“$1$ 木 $2$ 电”（两栖做木匠）或“$2$ 木 $1$ 电”（两栖做电工）。前者 $C(3,1)\times C(3,2)=3\times 3=\underline{9}$ 种，后者 $C(3,2)\times C(3,1)$ 同样 $9$ 种，两种相加 $9+9=\underline{18}$ 种；再乘两名两栖的 $2$ 种选择，$18\times 2=\underline{36}$ 种。
    4. 第 4 步（含 $2$ 名两栖）：两名两栖全选入，再从 $6$ 名纯工人中任选 $2$ 人补齐；无论补进的是 $2$ 木、$1$ 木 $1$ 电还是 $2$ 电，两名两栖都能灵活补位凑成 $2$ 木 $2$ 电，故都可行，$(6\times 5)/(2\times 1)=\underline{15}$ 种。
    5. 第 5 步（三类相加）：$9+36+15=\underline{60}$（种）。
    最终答案：$60$ 种。
  25. 8. ch11-chaoyue-08 · 第一套
    1. 第 1 步（来路为什么变多）：因为每步可以走任意多格，所以到某一格的走法数 $=$ 它**正左方所有格** $+$ **正下方所有格** $+$ **左下斜线上所有格**的走法数之和。
    2. 第 2 步（第一行，从左到右）：起点标 $1$；其余各格是左方所有格之和，依次为 $1$、$1+1=\underline{2}$、$1+1+2=\underline{4}$、$1+1+2+4=\underline{8}$。
    3. 第 3 步（第二行）：依次为 $1$、$1+1+1=\underline{3}$、$(1+3)+2+1=\underline{7}$、$(1+3+7)+4+2=\underline{17}$、$(1+3+7+17)+8+4=\underline{40}$。
    4. 第 4 步（第三行）：依次为 $1+1=\underline{2}$、$7$、$22$、$60$、$158$。
    5. 第 5 步（第四行）：依次为 $1+1+2=\underline{4}$、$17$、$60$、$188$、$543$。
    6. 第 6 步（第五行，末格即答案）：依次为 $1+1+2+4=\underline{8}$、$40$、$158$、$543$、$(8+40+158+543)+(8+40+158+543)+(188+22+3+1)=\underline{1712}$。
    最终答案：$1712$ 种。
  26. 8. ch11-chaoyue-08 · 第二套
    1. 第 1 步：每步可移动任意多格，故到某格的方案数 $=$ 正左方所有格 $+$ 正下方所有格 $+$ 左下斜线上所有格之和。
    2. 第 2 步（第一行）：起点标 $1$，其余依次为 $1$、$1+1=\underline{2}$、$1+1+2=\underline{4}$、$1+1+2+4=\underline{8}$。
    3. 第 3 步（第二行）：$1$、$1+1+1=\underline{3}$、$(1+3)+2+1=\underline{7}$、$(1+3+7)+4+2=\underline{17}$、$(1+3+7+17)+8+4=\underline{40}$。
    4. 第 4 步（第三行）：$1+1=\underline{2}$、$7$、$22$、$60$、$158$。
    5. 第 5 步（第四行）：$1+1+2=\underline{4}$、$17$、$60$、$188$、$543$。
    6. 第 6 步（第五行，末格即答案）：$1+1+2+4=\underline{8}$、$40$、$158$、$543$、$(8+40+158+543)+(8+40+158+543)+(188+22+3+1)=\underline{1712}$。
    最终答案：$1712$ 种。
  27. 8. ch11-chaoyue-08 · 第三套
    1. 第 1 步：仍按“正左方所有格 $+$ 正下方所有格 $+$ 左下斜线所有格”标数。
    2. 第 2 步（第一行）：$1$、$1$、$1+1=\underline{2}$、$1+1+2=\underline{4}$、$1+1+2+4=\underline{8}$。
    3. 第 3 步（第二行）：$1$、$1+1+1=\underline{3}$、$(1+3)+2+1=\underline{7}$、$(1+3+7)+4+2=\underline{17}$、$(1+3+7+17)+8+4=\underline{40}$。
    4. 第 4 步（第三行）：$1+1=\underline{2}$、$7$、$22$、$60$、$158$。
    5. 第 5 步（第四行，末格即答案）：$1+1+2=\underline{4}$、$17$、$60$、$188$、$(4+17+60+188)+(8+40+158)+(60+7+1)=\underline{543}$。
    最终答案：$543$ 种。
  28. 8. ch11-chaoyue-08 · 第三套
    1. 第 1 步（禁止格怎么处理）：走不到也不能停的格子标 $\underline{0}$，它在后面的累加中自然贡献 $0$。
    2. 第 2 步（第一行）：$1$、$1$、$1+1=\underline{2}$、$1+1+2=\underline{4}$。
    3. 第 3 步（第二行，第 $2$ 格被禁止）：$1$、$0$、$(1+0)+2+1=\underline{4}$、$(1+0+4)+4+2=\underline{11}$。
    4. 第 4 步（第三行）：$1+1=\underline{2}$、$(2)+(1+0)+1=\underline{4}$、$(2+4)+(2+4)+(0+1)=\underline{13}$、$(2+4+13)+(4+11)+(4+1)=\underline{39}$。
    5. 第 5 步（第四行，末格即答案）：$1+1+2=\underline{4}$、$(4)+(1+0+4)+2=\underline{11}$、$(4+11)+(2+4+13)+(4+1)=\underline{39}$、$(4+11+39)+(4+11+39)+(13+0+1)=\underline{122}$。
    最终答案：$122$ 种。
  29. 9. ch11-tuozhan-01 · 第一套
    1. 第 1 步（分类还是分步）：只坐一种交通工具的一个班次，三种方式**互相排斥**，是分类，用加法原理。
    2. 第 2 步：先合并火车与汽车，$12+9=\underline{21}$（班）。
    3. 第 3 步：再加上飞机，$21+7=\underline{28}$（种）。
    最终答案：$28$ 种。
  30. 9. ch11-tuozhan-01 · 第二套
    1. 第 1 步：只报一节课，三类课程互相排斥，是分类，用加法原理。
    2. 第 2 步：先合并手工与绘画，$12+9=\underline{21}$（节）。
    3. 第 3 步：再加音乐课，$21+7=\underline{28}$（种）。
    最终答案：$28$ 种。
  31. 9. ch11-tuozhan-01 · 第三套
    1. 第 1 步：四种方式仍然互相排斥，是分类，用加法原理把四类相加。
    2. 第 2 步：$12+9=\underline{21}$，$21+7=\underline{28}$。
    3. 第 3 步：再加轮船，$28+5=\underline{33}$（种）。
    最终答案：$33$ 种。
  32. 9. ch11-tuozhan-01 · 第三套
    1. 第 1 步（选班次——分类）：三种交通方式互斥，可选班次共 $12+9+7=\underline{28}$（个）。
    2. 第 2 步（判断第二件事）：选班次与选座位等级是**都要做**的两件事，是分步，用乘法原理。
    3. 第 3 步：座位等级有 $3$ 种，两步相乘，$28\times 3=\underline{84}$（种）。
    最终答案：$84$ 种。
  33. 10. ch11-tuozhan-02 · 第一套
    1. 第 1 步（限制是什么）：$4$ 个字母颜色**互不相同**，所以每涂一个，可用颜色就少一种。
    2. 第 2 步：四步的选择数依次为 $7$、$7-1=\underline{6}$、$7-2=\underline{5}$、$7-3=\underline{4}$。
    3. 第 3 步：先算前两步，$7\times 6=\underline{42}$。
    4. 第 4 步：再乘后两步，$42\times 5\times 4=\underline{840}$（种）。
    最终答案：$840$ 种。
  34. 10. ch11-tuozhan-02 · 第二套
    1. 第 1 步：$4$ 面旗帜颜色互不相同，每染一面可用颜色就少一种。
    2. 第 2 步：四步选择数依次为 $7$、$7-1=\underline{6}$、$7-2=\underline{5}$、$7-3=\underline{4}$。
    3. 第 3 步：$7\times 6=\underline{42}$，$42\times 5\times 4=\underline{840}$（种）。
    最终答案：$840$ 种。
  35. 10. ch11-tuozhan-02 · 第三套
    1. 第 1 步：三个字母颜色互不相同，可用颜色每步减一。
    2. 第 2 步：三步选择数依次为 $6$、$6-1=\underline{5}$、$6-2=\underline{4}$。
    3. 第 3 步：三步相乘，$6\times 5\times 4=\underline{120}$（种）。
    最终答案：$120$ 种。
  36. 10. ch11-tuozhan-02 · 第三套
    1. 第 1 步（受限的先涂）：“M” 只能涂红色，有 $\underline{1}$ 种选择。
    2. 第 2 步：红色被用掉后，剩下 $7-1=\underline{6}$ 种颜色供其余三个字母使用，且它们仍互不相同。
    3. 第 3 步：后三步选择数依次为 $6$、$6-1=\underline{5}$、$6-2=\underline{4}$。
    4. 第 4 步：四步相乘，$1\times 6\times 5\times 4=\underline{120}$（种）。
    最终答案：$120$ 种。
  37. 11. ch11-tuozhan-03 · 第一套
    1. 第 1 步（先数清每步有多少个数）：三位数是 $100\sim 999$，共 $999-100+1=\underline{900}$（个）。
    2. 第 2 步：两位数是 $10\sim 99$，共 $99-10+1=\underline{90}$（个）。
    3. 第 3 步（关系判断）：被减数和减数都要定下来算式才写成，是分步，用乘法原理，$900\times 90=\underline{81000}$（种）。
    最终答案：$81000$ 种。
  38. 11. ch11-tuozhan-03 · 第二套
    1. 第 1 步：三位数货号是 $100\sim 999$，共 $999-100+1=\underline{900}$（个）。
    2. 第 2 步：两位数批次号是 $10\sim 99$，共 $99-10+1=\underline{90}$（个）。
    3. 第 3 步：两部分都要印，是分步，用乘法原理，$900\times 90=\underline{81000}$（种）。
    最终答案：$81000$ 种。
  39. 11. ch11-tuozhan-03 · 第三套
    1. 第 1 步：四位数是 $1000\sim 9999$，共 $9999-1000+1=\underline{9000}$（个）。
    2. 第 2 步：两位数共 $99-10+1=\underline{90}$（个）。
    3. 第 3 步：两步相乘，$9000\times 90=\underline{810000}$（种）。
    最终答案：$810000$ 种。
  40. 11. ch11-tuozhan-03 · 第三套
    1. 第 1 步（三位偶数有几个）：三位数共 $999-100+1=\underline{900}$ 个，其中偶数恰占一半，$900\div 2=\underline{450}$（个）。
    2. 第 2 步（一位奇数有几个）：一位奇数是 $1,3,5,7,9$，共 $\underline{5}$（个）。
    3. 第 3 步：两步相乘，$450\times 5=\underline{2250}$（种）。
    最终答案：$2250$ 种。
  41. 12. ch11-tuozhan-04 · 第一套
    1. 第 1 步（第 (1) 问）：只取 $1$ 本，三类互斥，用加法原理，$20+12+8=\underline{40}$（种）。
    2. 第 2 步（第 (2) 问）：三本都要取，是分步，用乘法原理，$20\times 12=\underline{240}$，再乘科普，$240\times 8=\underline{1920}$（种）。
    3. 第 3 步（第 (3) 问先分类）：两本书的搭配只能是“小说+漫画”“小说+科普”“漫画+科普”，三类互斥。
    4. 第 4 步（类内分步）：$20\times 12=\underline{240}$，$20\times 8=\underline{160}$，$12\times 8=\underline{96}$。
    5. 第 5 步：三类相加，$240+160+96=\underline{496}$（种）。
    最终答案：（1）$40$ 种；（2）$1920$ 种；（3）$496$ 种。
  42. 12. ch11-tuozhan-04 · 第二套
    1. 第 1 步（第 (1) 问）：只取 $1$ 件，三类互斥，$20+12+8=\underline{40}$（种）。
    2. 第 2 步（第 (2) 问）：三件都要取，是分步，$20\times 12=\underline{240}$，$240\times 8=\underline{1920}$（种）。
    3. 第 3 步（第 (3) 问）：先按搭配分三类，类内再分步：$20\times 12=\underline{240}$，$20\times 8=\underline{160}$，$12\times 8=\underline{96}$。
    4. 第 4 步：三类相加，$240+160+96=\underline{496}$（种）。
    最终答案：（1）$40$ 种；（2）$1920$ 种；（3）$496$ 种。
  43. 12. ch11-tuozhan-04 · 第三套
    1. 第 1 步（第 (1) 问）：只取 $1$ 本，四类互斥，用加法原理，$12+10+8+5=\underline{35}$（种）。
    2. 第 2 步（第 (2) 问）：四本都要取，是分步，用乘法原理，先算 $12\times 10=\underline{120}$。
    3. 第 3 步：再乘后两层，$120\times 8\times 5=\underline{4800}$（种）。
    最终答案：（1）$35$ 种；（2）$4800$ 种。
  44. 12. ch11-tuozhan-04 · 第三套
    1. 第 1 步（多了一个条件怎么分类）：既然必须含小说，另一本只能是漫画或科普，只剩 $\underline{2}$ 类搭配（比原来少了“漫画+科普”这一类）。
    2. 第 2 步（类内分步）：小说 + 漫画，$20\times 12=\underline{240}$（种）。
    3. 第 3 步：小说 + 科普，$20\times 8=\underline{160}$（种）。
    4. 第 4 步：两类相加，$240+160=\underline{400}$（种）。
    最终答案：$400$ 种。
  45. 13. ch11-tuozhan-05 · 第一套
    1. 第 1 步（先分类）：只能走“甲$\to$乙$\to$丙”或“甲$\to$丁$\to$丙”，两类互斥，最后相加。
    2. 第 2 步（类内分步）：经乙一类两段都要走，$5\times 4=\underline{20}$（条）。
    3. 第 3 步：经丁一类，$3\times 6=\underline{18}$（条）。
    4. 第 4 步：两类相加，$20+18=\underline{38}$（条）。
    最终答案：$38$ 条。
  46. 13. ch11-tuozhan-05 · 第二套
    1. 第 1 步（先分类）：经书店或经公园，两类互斥，最后相加。
    2. 第 2 步（类内分步）：经书店一类，$5\times 4=\underline{20}$（条）。
    3. 第 3 步：经公园一类，$3\times 6=\underline{18}$（条）；两类相加，$20+18=\underline{38}$（条）。
    最终答案：$38$ 条。
  47. 13. ch11-tuozhan-05 · 第三套
    1. 第 1 步（先分类）：经乙、经丁、直达共三类，互斥，最后相加。
    2. 第 2 步（类内分步）：经乙一类 $4\times 3=\underline{12}$（条）。
    3. 第 3 步：经丁一类 $3\times 5=\underline{15}$（条）；直达一类 $2$ 条。
    4. 第 4 步：三类相加，$12+15+2=\underline{29}$（条）。
    最终答案：$29$ 条。
  48. 13. ch11-tuozhan-05 · 第三套
    1. 第 1 步（先求单程）：分类再类内分步，单程路线数为 $5\times 4+3\times 6=\underline{38}$（条）。
    2. 第 2 步（往返的关系）：去和回都要走，是分步，用乘法原理。
    3. 第 3 步（回程可选数减少）：回程不能与去程完全相同，只剩 $38-1=\underline{37}$（条）。
    4. 第 4 步：两步相乘，$38\times 37=\underline{1406}$（种）。
    最终答案：$1406$ 种。
  49. 14. ch11-tuozhan-06 · 第一套
    1. 第 1 步（第一问逐位确定）：百位从 $5$ 张里选，十位从剩下的选，个位再从剩下的选，三步的选择数为 $5$、$5-1=\underline{4}$、$5-2=\underline{3}$。
    2. 第 2 步：三步相乘，$5\times 4\times 3=\underline{60}$（个）。
    3. 第 3 步（第二问：受限的位先定）：三位奇数由**个位**决定，$1,2,4,7,8$ 中奇数是 $1$ 和 $7$，个位有 $\underline{2}$ 种选择。
    4. 第 4 步：个位定好后，百位从剩下的 $5-1=\underline{4}$ 张里选，十位从剩下的 $3$ 张里选。
    5. 第 5 步：三步相乘，$2\times 4\times 3=\underline{24}$（个）。
    最终答案：$60$ 个三位数；$24$ 个三位奇数。
  50. 14. ch11-tuozhan-06 · 第二套
    1. 第 1 步：三位依次装牌，三步的选择数为 $5$、$5-1=\underline{4}$、$5-2=\underline{3}$，相乘得 $5\times 4\times 3=\underline{60}$（个）。
    2. 第 2 步（奇数密码：受限位先定）：奇偶由**个位**决定，奇数牌是 $1$ 和 $7$，个位有 $\underline{2}$ 种。
    3. 第 3 步：个位定后，百位有 $5-1=\underline{4}$ 种，十位有 $3$ 种，相乘 $2\times 4\times 3=\underline{24}$（个）。
    最终答案：$60$ 个密码；$24$ 个奇数密码。
  51. 14. ch11-tuozhan-06 · 第三套
    1. 第 1 步（受限位先定）：偶数由**个位**决定，$2,4,7,8$ 中的偶数有 $2,4,8$，个位有 $\underline{3}$ 种选择。
    2. 第 2 步：个位定好后，百位从剩下的 $4-1=\underline{3}$ 张里选，十位从剩下的 $4-2=\underline{2}$ 张里选。
    3. 第 3 步：三步相乘，$3\times 3\times 2=\underline{18}$（个）。
    最终答案：$18$ 个。
  52. 14. ch11-tuozhan-06 · 第三套
    1. 第 1 步（第 (1) 问的新限制）：最高位不能是 $0$，所以百位只能从 $5-1=\underline{4}$ 张里选；十位可以用 $0$，从剩下的 $4$ 张里选；个位从剩下的 $3$ 张里选。
    2. 第 2 步：三步相乘，$4\times 4\times 3=\underline{48}$（个）。
    3. 第 3 步（第 (2) 问要分类）：偶数的个位是 $0,2,8$；但个位取 $0$ 与取 $2$ 或 $8$ 时，百位的可选数不一样，必须分两类。
    4. 第 4 步（第一类：个位是 $0$）：百位从剩下 $4$ 张任选，十位从剩下 $3$ 张任选，$4\times 3=\underline{12}$（个）。
    5. 第 5 步（第二类：个位是 $2$ 或 $8$）：个位 $2$ 种；百位不能是 $0$ 也不能与个位重复，有 $5-2=\underline{3}$ 种；十位从剩下 $3$ 张任选，$2\times 3\times 3=\underline{18}$（个）。
    6. 第 6 步：两类相加，$12+18=\underline{30}$（个）。
    最终答案：（1）$48$ 个；（2）$30$ 个。
  53. 15. ch11-tuozhan-07 · 第一套
    1. 第 1 步（从哪儿开始染）：**先染限制最强的 $3$ 号桶**，它不能染红，有 $3-1=\underline{2}$ 种。
    2. 第 2 步（向左染）：$2$ 号只与已染的 $3$ 号相邻，避开 $1$ 种颜色，有 $3-1=\underline{2}$ 种；$1$ 号同理有 $\underline{2}$ 种。
    3. 第 3 步（向右染）：$4$、$5$、$6$ 号也各只与已染的左邻相邻，各有 $\underline{2}$ 种。
    4. 第 4 步：六步相乘，$2\times 2\times 2=\underline{8}$，$8\times 2\times 2\times 2=\underline{64}$（种）。
    最终答案：$64$ 种。
  54. 15. ch11-tuozhan-07 · 第二套
    1. 第 1 步：先调限制最强的 $3$ 号灯，不能红，有 $3-1=\underline{2}$ 种。
    2. 第 2 步（向左）：$2$ 号只与 $3$ 号相邻，有 $3-1=\underline{2}$ 种；$1$ 号有 $\underline{2}$ 种。
    3. 第 3 步（向右）：$4$、$5$、$6$ 号各有 $\underline{2}$ 种。
    4. 第 4 步：六步相乘，$2\times 2\times 2=\underline{8}$，$8\times 2\times 2\times 2=\underline{64}$（种）。
    最终答案：$64$ 种。
  55. 15. ch11-tuozhan-07 · 第三套
    1. 第 1 步：没有特殊限制，直接从左到右依次染。最左边一个无限制，有 $\underline{4}$ 种。
    2. 第 2 步：其余每个桶只需与它左边那个不同色，各有 $4-1=\underline{3}$ 种。
    3. 第 3 步：五步相乘，$4\times 3\times 3=\underline{36}$，$36\times 3\times 3=\underline{324}$（种）。
    最终答案：$324$ 种。
  56. 15. ch11-tuozhan-07 · 第三套
    1. 第 1 步（为什么不能直接乘）：围成圈后，最后一个桶既与它前面的相邻，又与第一个相邻，可选数说不准，要用“**排成一排减去首尾同色**”的办法。
    2. 第 2 步（先算排成一排）：$5$ 个桶排一排、相邻不同色，共 $3\times 2\times 2\times 2\times 2=\underline{48}$（种）。
    3. 第 3 步（首尾同色的有多少）：把首尾两个同色的桶看成一个，就相当于 $4$ 个桶围成一圈；同样地，$4$ 个桶排一排有 $3\times 2\times 2\times 2=\underline{24}$ 种，$3$ 个桶围成一圈（两两相邻）有 $3\times 2\times 1=\underline{6}$ 种，所以 $4$ 个桶围成一圈有 $24-6=\underline{18}$（种）。
    4. 第 4 步：$5$ 个桶围成一圈 $=$ 排一排 $-$ 首尾同色 $=48-18=\underline{30}$（种）。
    最终答案：$30$ 种。
  57. 16. ch11-tuozhan-08 · 第一套
    1. 第 1 步（顺序很关键）：按 $A\to B\to C\to D\to E$ 染，保证每一步只与已染好的区域相邻。
    2. 第 2 步：$A$ 无限制，有 $\underline{5}$ 种；$B$ 与 $A$ 相邻，有 $5-1=\underline{4}$ 种。
    3. 第 3 步：$C$ 与 $A$、$B$ 都相邻，要避开 $2$ 种颜色，有 $5-2=\underline{3}$ 种。
    4. 第 4 步：$D$ 与已染的 $B$、$C$ 相邻，$E$ 与已染的 $C$、$D$ 相邻，各有 $\underline{3}$ 种。
    5. 第 5 步：五步相乘，$5\times 4\times 3=\underline{60}$，$60\times 3\times 3=\underline{540}$（种）。
    最终答案：$540$ 种。
  58. 16. ch11-tuozhan-08 · 第二套
    1. 第 1 步：按 $A\to B\to C\to D\to E$ 涂，每步只与已涂好的国家接壤。
    2. 第 2 步：$A$ 无限制有 $\underline{5}$ 种；$B$ 与 $A$ 接壤有 $5-1=\underline{4}$ 种。
    3. 第 3 步：$C$ 与 $A$、$B$ 都接壤，有 $5-2=\underline{3}$ 种。
    4. 第 4 步：$D$、$E$ 各与已涂的两国接壤，各有 $\underline{3}$ 种。
    5. 第 5 步：五步相乘，$5\times 4\times 3=\underline{60}$，$60\times 3\times 3=\underline{540}$（种）。
    最终答案：$540$ 种。
  59. 16. ch11-tuozhan-08 · 第三套
    1. 第 1 步：按 $A\to B\to C\to D\to E\to F$ 染，每步只与已染好的相邻。
    2. 第 2 步：$A$ 有 $\underline{4}$ 种；$B$ 有 $4-1=\underline{3}$ 种；$C$ 与 $A$、$B$ 都相邻，有 $4-2=\underline{2}$ 种。
    3. 第 3 步：$D$、$E$、$F$ 各与已染的两块相邻，各有 $\underline{2}$ 种。
    4. 第 4 步：六步相乘，$4\times 3\times 2=\underline{24}$，$24\times 2\times 2\times 2=\underline{192}$（种）。
    最终答案：$192$ 种。
  60. 16. ch11-tuozhan-08 · 第三套
    1. 第 1 步（为什么不能直接乘）：围成一圈后最后一块同时与两块相邻，可选数不固定，用“**排成一排减去首尾同色**”的办法。
    2. 第 2 步（排成一排）：$5$ 块排一排、相邻不同色，共 $4\times 3\times 3\times 3\times 3=\underline{324}$（种）。
    3. 第 3 步（首尾同色相当于 $4$ 块成圈）：$4$ 块排一排有 $4\times 3\times 3\times 3=\underline{108}$ 种，$3$ 块成圈（两两相邻）有 $4\times 3\times 2=\underline{24}$ 种，故 $4$ 块成圈有 $108-24=\underline{84}$（种）。
    4. 第 4 步：$5$ 块成圈 $=324-84=\underline{240}$（种）。
    最终答案：$240$ 种。
  61. 17. ch11-tuozhan-09 · 第一套
    1. 第 1 步（一共几步）：从第 $1$ 行走到第 $6$ 行要走 $6-1=\underline{5}$ 步，是分步，用乘法原理。
    2. 第 2 步：起点唯一，有 $\underline{1}$ 种；此后每一步都可以“向左下”或“向右下”，各有 $\underline{2}$ 种。
    3. 第 3 步：五步相乘，$2\times 2\times 2=\underline{8}$，$8\times 2\times 2=\underline{32}$（种）。
    最终答案：$32$ 种。
  62. 17. ch11-tuozhan-09 · 第二套
    1. 第 1 步：从第 $1$ 层落到第 $6$ 层要经过 $6-1=\underline{5}$ 次下落，是分步。
    2. 第 2 步：起点唯一有 $\underline{1}$ 种；每次下落有“左下、右下”共 $\underline{2}$ 种。
    3. 第 3 步：五步相乘，$2\times 2\times 2=\underline{8}$，$8\times 2\times 2=\underline{32}$（条）。
    最终答案：$32$ 条。
  63. 17. ch11-tuozhan-09 · 第三套
    1. 第 1 步：共走 $7-1=\underline{6}$ 步，每步两选一。
    2. 第 2 步：先算前三步，$2\times 2\times 2=\underline{8}$。
    3. 第 3 步：再乘后三步，$8\times 2\times 2\times 2=\underline{64}$（种）。
    最终答案：$64$ 种。
  64. 17. ch11-tuozhan-09 · 第三套
    1. 第 1 步（为什么改用标数法）：有字不能经过后，各步的选择数不再都是 $2$，改成逐行标数：每个字的读法数 $=$ 它左上方与右上方两个字的读法数之和，脏字标 $\underline{0}$。
    2. 第 2 步（第 $1\sim 3$ 行）：第 $1$ 行标 $1$；第 $2$ 行标 $1,1$；第 $3$ 行标 $1$、$1+1=\underline{2}$、$1$。
    3. 第 3 步（第 $4$ 行，第 $2$ 个是脏字）：依次为 $1$、$0$（脏字）、$1+2=\underline{3}$、$1$。
    4. 第 4 步（第 $5$ 行）：依次为 $1$、$1+0=\underline{1}$、$0+3=\underline{3}$、$3+1=\underline{4}$、$1$。
    5. 第 5 步（第 $6$ 行）：依次为 $1$、$1+1=\underline{2}$、$1+3=\underline{4}$、$3+4=\underline{7}$、$4+1=\underline{5}$、$1$。
    6. 第 6 步（把第 $6$ 行全部加起来）：$1+2+4+7+5+1=\underline{20}$（种）。
    最终答案：$20$ 种。
  65. 18. ch11-tuozhan-10 · 第一套
    1. 第 1 步（第 (1) 问）：各圆圈互不影响，每个都有 $\underline{2}$ 种颜色，共 $11$ 步相乘。
    2. 第 2 步：先算 $2\times 2\times 2\times 2\times 2=\underline{32}$，再算 $32\times 32=\underline{1024}$，最后 $1024\times 2=\underline{2048}$（种）。
    3. 第 3 步（第 (2) 问的关键）：左右对称时，右边每个圆圈的颜色由左边对应的圆圈**自动确定**，不能自由选。
    4. 第 4 步：真正自由的圆圈是中间竖线上的 $5$ 个与左边的 $3$ 个，共 $5+3=\underline{8}$（个）。
    5. 第 5 步：这 $8$ 个各有 $2$ 种，$2\times 2\times 2\times 2=\underline{16}$，$16\times 16=\underline{256}$（种）。
    最终答案：（1）$2048$ 种；（2）$256$ 种。
  66. 18. ch11-tuozhan-10 · 第二套
    1. 第 1 步（第 (1) 问）：各瓷砖互不影响，每块都有 $\underline{2}$ 种，共 $11$ 步相乘。
    2. 第 2 步：$2\times 2\times 2\times 2\times 2=\underline{32}$，$32\times 32=\underline{1024}$，$1024\times 2=\underline{2048}$（种）。
    3. 第 3 步（第 (2) 问）：对称时右侧瓷砖的颜色由左侧对应位置自动确定。
    4. 第 4 步：自由的是中间 $5$ 块加左侧 $3$ 块，共 $5+3=\underline{8}$（块）。
    5. 第 5 步：$2\times 2\times 2\times 2=\underline{16}$，$16\times 16=\underline{256}$（种）。
    最终答案：（1）$2048$ 种；（2）$256$ 种。
  67. 18. ch11-tuozhan-10 · 第三套
    1. 第 1 步（第 (1) 问）：每个圆圈都有 $\underline{3}$ 种颜色，$9$ 步相乘；先算 $3\times 3\times 3=\underline{27}$。
    2. 第 2 步：$27\times 27\times 27=\underline{19683}$（种）。
    3. 第 3 步（第 (2) 问）：对称时右边由左边确定，自由的是 $5+2=\underline{7}$（个）。
    4. 第 4 步：$3\times 3\times 3=27$，$27\times 27\times 3=\underline{2187}$（种）。
    最终答案：（1）$19683$ 种；（2）$2187$ 种。
  68. 18. ch11-tuozhan-10 · 第三套
    1. 第 1 步（先处理中间竖线）：$5$ 个圆圈中恰有 $1$ 个红色，就是从这 $5$ 个位置中挑 $1$ 个当红色，其余都是蓝色，有 $\underline{5}$ 种。
    2. 第 2 步（再处理两侧）：对称使右边由左边确定，只有左边 $2$ 个自由，每个 $2$ 种，共 $2\times 2=\underline{4}$（种）。
    3. 第 3 步：两部分是分步关系，相乘，$5\times 4=\underline{20}$（种）。
    最终答案：$20$ 种。
  69. 19. ch11-tuozhan-11 · 第一套
    1. 第 1 步（谁的限制最强）：$A$ 与 $F$ 都只能由甲、乙、丙中的人开，所以**丁、戊、己只能开 $B$、$C$、$D$、$E$**，先安排他们。
    2. 第 2 步：己从 $B,C,D,E$ 中选，有 $\underline{4}$ 种；戊从余下的选，有 $4-1=\underline{3}$ 种；丁再选，有 $4-2=\underline{2}$ 种。
    3. 第 3 步（再安排受限的三人）：$B\sim E$ 还剩 $1$ 辆没人开，加上 $A$、$F$ 共 $3$ 辆给甲、乙、丙。丙不能开 $A$，有 $\underline{2}$ 种；乙有 $\underline{2}$ 种；甲只剩 $\underline{1}$ 种。
    4. 第 4 步：六步相乘，$4\times 3\times 2=\underline{24}$，$24\times 2\times 2\times 1=\underline{96}$（种）。
    最终答案：$96$ 种。
  70. 19. ch11-tuozhan-11 · 第二套
    1. 第 1 步：$A$、$F$ 只能由甲、乙、丙操作，所以丁、戊、己只能操作 $B$、$C$、$D$、$E$，先安排他们。
    2. 第 2 步：己有 $\underline{4}$ 种；戊有 $4-1=\underline{3}$ 种；丁有 $4-2=\underline{2}$ 种。
    3. 第 3 步：余下 $3$ 台机器给甲、乙、丙，丙不能操作 $A$，有 $\underline{2}$ 种；乙有 $\underline{2}$ 种；甲只剩 $\underline{1}$ 种。
    4. 第 4 步：$4\times 3\times 2=\underline{24}$，$24\times 2\times 2\times 1=\underline{96}$（种）。
    最终答案：$96$ 种。
  71. 19. ch11-tuozhan-11 · 第三套
    1. 第 1 步：$A$、$E$ 都只能由甲、乙、丙开，所以丁、戊只能开 $B$、$C$、$D$，先安排他们。
    2. 第 2 步：戊从 $B,C,D$ 中选有 $\underline{3}$ 种；丁从余下的选有 $3-1=\underline{2}$ 种。
    3. 第 3 步：剩下 $3$ 辆（$A$、$E$ 与 $B\sim D$ 中余下的 $1$ 辆）给甲、乙、丙。丙不能开 $E$，有 $\underline{2}$ 种；乙有 $\underline{2}$ 种；甲只剩 $\underline{1}$ 种。
    4. 第 4 步：五步相乘，$3\times 2\times 2\times 2\times 1=\underline{24}$（种）。
    最终答案：$24$ 种。
  72. 19. ch11-tuozhan-11 · 第三套
    1. 第 1 步（先算没有丁的限制时）：由前面的做法可知共有 $4\times 3\times 2\times 2\times 2\times 1=\underline{96}$（种）。
    2. 第 2 步（再算“丁恰好开 $B$”的坏情况）：把丁固定在 $B$ 上（$1$ 种），剩下戊、己只能从 $C$、$D$、$E$ 中选，有 $3\times 2=\underline{6}$ 种。
    3. 第 3 步：其余 $3$ 辆给甲、乙、丙，丙不能开 $A$ 有 $2$ 种，乙有 $2$ 种，甲有 $1$ 种，共 $2\times 2\times 1=\underline{4}$ 种；所以坏情况有 $6\times 4=\underline{24}$（种）。
    4. 第 4 步（排除法）：$96-24=\underline{72}$（种）。
    最终答案：$72$ 种。
  73. 20. ch11-tuozhan-12 · 第一套
    1. 第 1 步（先推出关键结论）：$5$ 枚棋子放在 $5$ 行里、每行最多 $1$ 枚，所以每行**恰好**有 $\underline{1}$ 枚，只需逐行决定放在哪一列。
    2. 第 2 步：第一行有 $\underline{5}$ 列可选；第二行不能与第一行同列，有 $5-1=\underline{4}$ 列。
    3. 第 3 步：第三、四、五行依次有 $5-2=\underline{3}$、$5-3=\underline{2}$、$5-4=\underline{1}$ 列。
    4. 第 4 步：五步相乘，$5\times 4\times 3=\underline{60}$，$60\times 2\times 1=\underline{120}$（种）。
    最终答案：$120$ 种。
  74. 20. ch11-tuozhan-12 · 第二套
    1. 第 1 步：$5$ 台放在 $5$ 层、每层最多 $1$ 台，所以每层**恰好** $\underline{1}$ 台，只需逐层决定放在哪一列位置。
    2. 第 2 步：第一层有 $\underline{5}$ 个位置可选；第二层不能与第一层同列，有 $5-1=\underline{4}$ 个。
    3. 第 3 步：第三、四、五层依次有 $5-2=\underline{3}$、$5-3=\underline{2}$、$5-4=\underline{1}$ 个。
    4. 第 4 步：$5\times 4\times 3=\underline{60}$，$60\times 2\times 1=\underline{120}$（种）。
    最终答案：$120$ 种。
  75. 20. ch11-tuozhan-12 · 第三套
    1. 第 1 步（棋子比行少，先选行）：$5$ 行里恰有 $4$ 行放棋子，就是从 $5$ 行中挑出 $1$ 行**不放**，有 $\underline{5}$ 种挑法。
    2. 第 2 步（再逐行定列）：选中的 $4$ 行依次定列，可选数为 $5$、$5-1=\underline{4}$、$5-2=\underline{3}$、$5-3=\underline{2}$。
    3. 第 3 步：四步相乘，$5\times 4\times 3\times 2=\underline{120}$（种）。
    4. 第 4 步：选行与定列是分步关系，$5\times 120=\underline{600}$（种）。
    最终答案：$600$ 种。
  76. 20. ch11-tuozhan-12 · 第三套
    1. 第 1 步（先算没有限制时）：每行恰放 $1$ 枚，逐行定列，$6\times 5\times 4=\underline{120}$，$120\times 3\times 2\times 1=\underline{720}$（种）。
    2. 第 2 步（再算坏情况）：若第一行的棋子恰好放在左上角那个方格（$1$ 种），其余 $5$ 行逐行定列有 $5\times 4\times 3\times 2\times 1=\underline{120}$（种）。
    3. 第 3 步（排除法）：$720-120=\underline{600}$（种）。
    最终答案：$600$ 种。
  77. 21. ch11-tuozhan-13 · 第一套
    1. 第 1 步（从哪行入手）：**从格子最少的第一行开始**逐行放，这样每步的可选数才好数。第一行有 $\underline{2}$ 个位置。
    2. 第 2 步（关键：本行格子数减去已占列数）：第二行有 $3$ 格、已被占 $1$ 列，可放 $3-1=\underline{2}$ 个位置；第三行 $4-2=\underline{2}$ 个。
    3. 第 3 步：第四行 $5-3=\underline{2}$ 个；第五行 $6-4=\underline{2}$ 个；第六行 $6-5=\underline{1}$ 个。
    4. 第 4 步：六步相乘，$2\times 2\times 2=\underline{8}$，$8\times 2\times 2\times 1=\underline{32}$（种）。
    最终答案：$32$ 种。
  78. 21. ch11-tuozhan-13 · 第二套
    1. 第 1 步：从花池最少的第一排开始摆，第一排有 $\underline{2}$ 个位置。
    2. 第 2 步：第二排 $3-1=\underline{2}$ 个；第三排 $4-2=\underline{2}$ 个。
    3. 第 3 步：第四排 $5-3=\underline{2}$ 个；第五排 $6-4=\underline{2}$ 个；第六排 $6-5=\underline{1}$ 个。
    4. 第 4 步：$2\times 2\times 2=\underline{8}$，$8\times 2\times 2\times 1=\underline{32}$（种）。
    最终答案：$32$ 种。
  79. 21. ch11-tuozhan-13 · 第三套
    1. 第 1 步：从格子最少的第一行开始，有 $\underline{3}$ 个位置。
    2. 第 2 步：第二行 $4-1=\underline{3}$ 个；第三行 $5-2=\underline{3}$ 个；第四行 $6-3=\underline{3}$ 个。
    3. 第 3 步：第五行 $6-4=\underline{2}$ 个。
    4. 第 4 步：五步相乘，$3\times 3\times 3=\underline{27}$，$27\times 3\times 2=\underline{162}$（种）。
    最终答案：$162$ 种。
  80. 21. ch11-tuozhan-13 · 第三套
    1. 第 1 步（受限行先安排）：第一行本有 $2$ 个位置，去掉禁止的那个，只剩 $2-1=\underline{1}$ 个。
    2. 第 2 步：其余各行仍是“本行格子数 $-$ 已占列数”，第二行 $3-1=\underline{2}$ 个，第三行 $4-2=\underline{2}$ 个，第四行 $5-3=\underline{2}$ 个。
    3. 第 3 步：第五行 $6-4=\underline{2}$ 个，第六行 $6-5=\underline{1}$ 个。
    4. 第 4 步：六步相乘，$1\times 2\times 2=\underline{4}$，$4\times 2\times 2\times 1=\underline{16}$（种）。
    最终答案：$16$ 种。
  81. 22. ch11-tuozhan-14 · 第一套
    1. 第 1 步（为什么可以标数）：只能向右或向上，所以到任一点只能从它的左邻或下邻过来，该点数 $=$ 左邻 $+$ 下邻。最下一行、最左一列全标 $1$。
    2. 第 2 步（第 (1) 问，第二行）：$1+1=\underline{2}$，$2+1=\underline{3}$，$3+1=\underline{4}$，$4+1=\underline{5}$。
    3. 第 3 步（第三行）：$1+2=3$，$3+3=\underline{6}$，$6+4=\underline{10}$，$10+5=\underline{15}$。
    4. 第 4 步（第四行，末位即 $B$）：$1+3=4$，$4+6=\underline{10}$，$10+10=\underline{20}$，$20+15=\underline{35}$。
    5. 第 5 步（第 (2) 问同法逐行标数）：第二行为 $1,2,3,4,5,6,7$；第三行为 $1,3,6,10,15,21,\underline{28}$。
    6. 第 6 步（第四行）：$1,4,10,20,35,56,\underline{84}$。
    7. 第 7 步（第五行，末位即 $B$）：$1,5,15,35,70,126,\underline{210}$。
    最终答案：（1）$35$ 条；（2）$210$ 条。
  82. 22. ch11-tuozhan-14 · 第二套
    1. 第 1 步：只能向东或向北，到任一路口只能从西邻或南邻过来，该点数 $=$ 西邻 $+$ 南邻；最南一行、最西一列全标 $1$。
    2. 第 2 步（第 (1) 问，第二行）：$1+1=\underline{2}$，$2+1=\underline{3}$，$3+1=\underline{4}$，$4+1=\underline{5}$。
    3. 第 3 步（第三行）：$1+2=3$，$3+3=\underline{6}$，$6+4=\underline{10}$，$10+5=\underline{15}$。
    4. 第 4 步（第四行，末位即 $B$）：$1+3=4$，$4+6=\underline{10}$，$10+10=\underline{20}$，$20+15=\underline{35}$。
    5. 第 5 步（第 (2) 问）：第三行末位 $21+7=\underline{28}$。
    6. 第 6 步（第四行末位）：$56+28=\underline{84}$。
    7. 第 7 步（第五行末位即 $B$）：$126+84=\underline{210}$。
    最终答案：（1）$35$ 条；（2）$210$ 条。
  83. 22. ch11-tuozhan-14 · 第三套
    1. 第 1 步：仍用标数法，每点 $=$ 左邻 $+$ 下邻；最下一行、最左一列全标 $1$。
    2. 第 2 步（第二行）：$1,2,3,4,5,\underline{6}$。
    3. 第 3 步（第三行）：$1,3,6,10,15,\underline{21}$。
    4. 第 4 步（第四行）：$1,4,10,20,35,\underline{56}$。
    5. 第 5 步（第五行）：$1,5,15,35,70,\underline{126}$。
    6. 第 6 步（第六行，末位即 $B$）：$1,6,21,56,126,\underline{252}$。
    最终答案：$252$ 条。
  84. 22. ch11-tuozhan-14 · 第三套
    1. 第 1 步（障碍如何处理）：被堵的交点一条路也走不通，直接标 $\underline{0}$，其余各点照旧“左邻 $+$ 下邻”。
    2. 第 2 步：最下一行全标 $1$；第二行（有一个障碍）为 $1$、$1+1=\underline{2}$、$0$（障碍）、$0+1=\underline{1}$、$1+1=\underline{2}$、$2+1=\underline{3}$、$3+1=\underline{4}$。
    3. 第 3 步（第三行，第 $4$ 个是障碍）：$1$、$1+2=\underline{3}$、$3+0=\underline{3}$、$0$（障碍）、$0+2=\underline{2}$、$2+3=\underline{5}$、$5+4=\underline{9}$。
    4. 第 4 步（第四行）：$1$、$1+3=\underline{4}$、$4+3=\underline{7}$、$7+0=\underline{7}$、$7+2=\underline{9}$、$9+5=\underline{14}$、$14+9=\underline{23}$。
    5. 第 5 步（第五行，末位即 $B$）：$1$、$1+4=\underline{5}$、$5+7=\underline{12}$、$12+7=\underline{19}$、$19+9=\underline{28}$、$28+14=\underline{42}$、$42+23=\underline{65}$。
    最终答案：$65$ 条。
  85. 23. ch11-xingqu-01 · 第一套
    1. 第 1 步（先判断分类还是分步）：只吃一家餐厅，选了中餐就不会再选西餐、日餐，三类**互相排斥**，所以是分类，用加法原理，把各类的家数相加。
    2. 第 2 步：先把中餐厅与西餐厅两类合起来，$24+13=\underline{37}$（个）。
    3. 第 3 步：再加上日式餐厅这一类，$37+9=\underline{46}$（种）。
    最终答案：$46$ 种。
  86. 23. ch11-xingqu-01 · 第二套
    1. 第 1 步：只买一本书，科普、童话、漫画三类**只能选一类**，是分类关系，用加法原理。
    2. 第 2 步：先合并科普与童话两类，$24+13=\underline{37}$（本）。
    3. 第 3 步：再加上漫画这一类，$37+9=\underline{46}$（种）。
    最终答案：$46$ 种。
  87. 23. ch11-xingqu-01 · 第三套
    1. 第 1 步：只看一部片子，四类影片之间仍然是**互相排斥**的分类关系，用加法原理，把四类的部数相加。
    2. 第 2 步：先把前两类合起来，$18+24=\underline{42}$（部）。
    3. 第 3 步：再加第三类，$42+13=\underline{55}$（部）。
    4. 第 4 步：最后加第四类，$55+9=\underline{64}$（种）。
    最终答案：$64$ 种。
  88. 23. ch11-xingqu-01 · 第三套
    1. 第 1 步（挑餐厅——分类）：三类餐厅互斥，用加法原理，可选的餐厅共有 $24+13+9=\underline{46}$（家）。
    2. 第 2 步（判断第二件事的关系）：挑餐厅和点套餐是**先后两件事**，必须都做完方案才确定，所以两者之间是分步关系，用乘法原理。
    3. 第 3 步：点套餐有 $5$ 种选择，两步相乘，$46\times 5=\underline{230}$（种）。
    最终答案：$230$ 种。
  89. 24. ch11-xingqu-02 · 第一套
    1. 第 1 步（先判断分类还是分步）：主食和热菜**都要买**，两件事必须都完成，是分步关系，用乘法原理。
    2. 第 2 步：第一步买主食有 $8$ 种选择，第二步买热菜有 $25$ 种选择，两步相乘就是 $8\times 25$。
    3. 第 3 步（把 $8\times 25$ 拆开算）：$8\times 20=\underline{160}$，$8\times 5=\underline{40}$，两部分相加 $160+40=\underline{200}$（种）。
    最终答案：$200$ 种。
  90. 24. ch11-xingqu-02 · 第二套
    1. 第 1 步：上衣和裤子**都要买**才配成一套，是分步关系，用乘法原理。
    2. 第 2 步：第一步选上衣有 $8$ 种，第二步选裤子有 $25$ 种，两步相乘就是 $8\times 25$。
    3. 第 3 步（把 $8\times 25$ 拆开算）：$8\times 20=\underline{160}$，$8\times 5=\underline{40}$，两部分相加 $160+40=\underline{200}$（种）。
    最终答案：$200$ 种。
  91. 24. ch11-xingqu-02 · 第三套
    1. 第 1 步：三样都要买，是三步依次完成，仍用乘法原理，把三步的选择数相乘。
    2. 第 2 步：先算前两步，$8\times 25=\underline{200}$（种）。
    3. 第 3 步：再乘上第三步的饮料，$200\times 4=\underline{800}$（种）。
    最终答案：$800$ 种。
  92. 24. ch11-xingqu-02 · 第三套
    1. 第 1 步（先分类）：“各买 $1$ 种”与“买套餐”只能二选一，是两大类，最后要相加。
    2. 第 2 步（第一类内部分步）：主食和热菜都要买，用乘法原理，$8\times 25=\underline{200}$（种）。
    3. 第 3 步（第二类）：买套餐只需一步，有 $12$ 种。
    4. 第 4 步：两类相加，$200+12=\underline{212}$（种）。
    最终答案：$212$ 种。
  93. 25. ch11-xingqu-03 · 第一套
    1. 第 1 步（怎样分步）：排成一行就是给 $8$ 个位置逐个放星石，每放一颗，后面能选的就少一颗，是分步，用乘法原理。
    2. 第 2 步：各位置的选择数依次是 $8,7,6,5,4,3,2,1$，一共 $8$ 个数连乘。
    3. 第 3 步：先算前四步，$8\times 7\times 6\times 5=\underline{1680}$。
    4. 第 4 步：再算后四步，$4\times 3\times 2\times 1=\underline{24}$。
    5. 第 5 步：两部分相乘，$1680\times 24=\underline{40320}$（次）。
    最终答案：$40320$ 次。
  94. 25. ch11-xingqu-03 · 第二套
    1. 第 1 步：排成一行就是给 $8$ 个位置逐个放字母牌，每放一个后面就少一个，是分步，用乘法原理。
    2. 第 2 步：各位置的选择数依次是 $8,7,6,5,4,3,2,1$，一共 $8$ 个数连乘。
    3. 第 3 步：前四步之积 $8\times 7\times 6\times 5=\underline{1680}$。
    4. 第 4 步：后四步之积 $4\times 3\times 2\times 1=\underline{24}$。
    5. 第 5 步：两部分相乘，$1680\times 24=\underline{40320}$（次）。
    最终答案：$40320$ 次。
  95. 25. ch11-xingqu-03 · 第三套
    1. 第 1 步：把 $9$ 个位置从左到右逐个安排人，每安排一人后面就少一人可选，是分步，用乘法原理。
    2. 第 2 步：各位置选择数依次为 $9,8,7,6,5,4,3,2,1$；先算前三步，$9\times 8\times 7=\underline{504}$。
    3. 第 3 步：再算中间三步，$6\times 5\times 4=\underline{120}$。
    4. 第 4 步：最后三步 $3\times 2\times 1=\underline{6}$。
    5. 第 5 步：三部分相乘，$504\times 120\times 6=\underline{362880}$（种）。
    最终答案：$362880$ 种。
  96. 25. ch11-xingqu-03 · 第三套
    1. 第 1 步（先安排受限制的元素）：有限制的要先排。“一星”只能放最左端或最右端，有 $\underline{2}$ 种选择。
    2. 第 2 步（再排其余）：“一星”放好后，剩下 $7$ 颗星石在剩下的 $7$ 个位置上全排列，$7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=\underline{5040}$（种）。
    3. 第 3 步：两步相乘，$2\times 5040=\underline{10080}$（种）。
    最终答案：$10080$ 种。
  97. 26. ch11-xingqu-04 · 第一套
    1. 第 1 步（怎样分步）：两人依次入座，是分步，用乘法原理。第一步萱萱在 $15$ 个座位里任选。
    2. 第 2 步（关键：可选数会减少）：卡莉娅入座时已被萱萱占去 $1$ 个座位，只剩 $15-1=\underline{14}$ 种选择。
    3. 第 3 步：两步相乘，$15\times 14=\underline{210}$（种）。
    最终答案：$210$ 种。
  98. 26. ch11-xingqu-04 · 第二套
    1. 第 1 步：两家公司依次挑展位，是分步，用乘法原理。第一家在 $15$ 个展位里任选。
    2. 第 2 步：第二家挑时已被占去 $1$ 个，只剩 $15-1=\underline{14}$ 种选择。
    3. 第 3 步：两步相乘，$15\times 14=\underline{210}$（种）。
    最终答案：$210$ 种。
  99. 26. ch11-xingqu-04 · 第三套
    1. 第 1 步：三人依次入座是三步，用乘法原理；每坐一人，后面可选的座位就少一个。
    2. 第 2 步：三步的选择数依次是 $15$、$15-1=\underline{14}$、$15-2=\underline{13}$。
    3. 第 3 步：先算前两步，$15\times 14=\underline{210}$。
    4. 第 4 步：再乘第三步，$210\times 13=\underline{2730}$（种）。
    最终答案：$2730$ 种。
  100. 26. ch11-xingqu-04 · 第三套
    1. 第 1 步（受限的人先安排）：萱萱不能坐 $1$ 号，可选座位为 $15-1=\underline{14}$（个）。
    2. 第 2 步（再安排另一人）：卡莉娅 $1$ 号也能坐，但萱萱已占去 $1$ 个座位，所以她也是 $15-1=14$（个）。
    3. 第 3 步：两步相乘，$14\times 14=\underline{196}$（种）。
    最终答案：$196$ 种。
  101. 27. ch11-xingqu-05 · 第一套
    1. 第 1 步（先定染色顺序）：三个圆圈两两相连，任意两个都不能同色；先染 $A$ 没有限制，$4$ 色随便挑。
    2. 第 2 步：染 $B$ 要避开 $A$ 用掉的 $1$ 种颜色，还剩 $4-1=\underline{3}$ 种。
    3. 第 3 步：染 $C$ 要避开 $A$、$B$ 用掉的 $2$ 种颜色，还剩 $4-2=\underline{2}$ 种。
    4. 第 4 步：三步相乘，$4\times 3\times 2=\underline{24}$（种）。
    最终答案：$24$ 种。
  102. 27. ch11-xingqu-05 · 第二套
    1. 第 1 步：三国两两接壤，任意两国都不能同色；先涂甲没有限制，$4$ 色随便挑。
    2. 第 2 步：涂乙要避开甲的颜色，还剩 $4-1=\underline{3}$ 种。
    3. 第 3 步：涂丙要避开甲、乙两色，还剩 $4-2=\underline{2}$ 种。
    4. 第 4 步：三步相乘，$4\times 3\times 2=\underline{24}$（种）。
    最终答案：$24$ 种。
  103. 27. ch11-xingqu-05 · 第三套
    1. 第 1 步：任意两圆圈都相连，说明四个圆圈的颜色**两两不同**；依次染色，每染一个就少一种可用颜色。
    2. 第 2 步：四步的选择数依次为 $5$、$5-1=\underline{4}$、$5-2=\underline{3}$、$5-3=\underline{2}$。
    3. 第 3 步：四步相乘，$5\times 4\times 3\times 2=\underline{120}$（种）。
    最终答案：$120$ 种。
  104. 27. ch11-xingqu-05 · 第三套
    1. 第 1 步：先染 $A$ 有 $4$ 种，再染 $B$（与 $A$ 不同）有 $4-1=\underline{3}$ 种。
    2. 第 2 步（为什么要分类）：染 $C$ 时它只与 $B$ 相邻、与 $A$ 不相邻，所以 $C$ **可能与 $A$ 同色也可能不同色**，这会影响 $D$ 的选择数，必须分两类讨论。
    3. 第 3 步（第一类：$C$ 与 $A$ 同色）：$C$ 只有 $1$ 种染法；此时 $D$ 只需避开 $A$、$C$ 这**同一种**颜色，有 $4-1=\underline{3}$ 种。本类共 $1\times 3=3$ 种。
    4. 第 4 步（第二类：$C$ 与 $A$ 不同色）：$C$ 要避开 $A$、$B$ 两色，有 $4-2=\underline{2}$ 种；此时 $D$ 要避开 $A$、$C$ 两种不同颜色，同样有 $2$ 种。本类共 $2\times 2=\underline{4}$ 种。
    5. 第 5 步：两类相加再乘前两步，$4\times 3\times (3+4)=\underline{84}$（种）。
    最终答案：$84$ 种。
  105. 28. ch11-xingqu-06 · 第一套
    1. 第 1 步（关键：有没有限制）：各器官之间**没有“不能同色”的要求**，所以每个器官都能在 $3$ 种颜色里自由选，每步都是 $3$ 种、不会减少。
    2. 第 2 步：四个器官是四步，先算前两步，$3\times 3=\underline{9}$。
    3. 第 3 步：再乘第三步，$9\times 3=\underline{27}$。
    4. 第 4 步：再乘第四步，$27\times 3=\underline{81}$（种）。
    最终答案：$81$ 种。
  106. 28. ch11-xingqu-06 · 第二套
    1. 第 1 步：各灯之间没有限制，每盏灯都能在 $3$ 种颜色里自由选，每步都是 $3$ 种、不会减少。
    2. 第 2 步：四盏灯是四步，先算前两步，$3\times 3=\underline{9}$。
    3. 第 3 步：再乘第三步，$9\times 3=\underline{27}$。
    4. 第 4 步：再乘第四步，$27\times 3=\underline{81}$（种）。
    最终答案：$81$ 种。
  107. 28. ch11-xingqu-06 · 第三套
    1. 第 1 步：仍然没有限制，每个器官都能在 $4$ 种颜色里自由选，每步都是 $4$ 种。
    2. 第 2 步：三个器官是三步，先算前两步，$4\times 4=\underline{16}$。
    3. 第 3 步：再乘第三步，$16\times 4=\underline{64}$（种）。
    最终答案：$64$ 种。
  108. 28. ch11-xingqu-06 · 第三套
    1. 第 1 步（限制变了）：现在相邻两个不能同色，就不能每步都是 $3$ 种了，要从左往右依次染。
    2. 第 2 步：第 $1$ 个灯泡无限制，$3$ 色随便挑。
    3. 第 3 步：第 $2$ 个灯泡只需避开左邻的颜色，有 $3-1=\underline{2}$ 种；第 $3$、第 $4$ 个也只与左邻相邻，各有同样多种。
    4. 第 4 步：四步逐次累乘，$3\times 2=\underline{6}$，$6\times 2=\underline{12}$，$12\times 2=\underline{24}$（种）。
    最终答案：$24$ 种。
  109. 29. ch11-xingqu-07 · 第一套
    1. 第 1 步（第 (1) 问：可选数会不会减少）：项目可以重复报，前面的人不影响后面，每人都有 $5$ 种选择、一直不减。
    2. 第 2 步：五人是五步，$5\times 5\times 5=\underline{125}$，再乘剩下两步，$125\times 5\times 5=\underline{3125}$（种）。
    3. 第 3 步（第 (2) 问）：项目各不相同，每报掉一项后面就少一项，五步的选择数依次是 $5,4,3,2,1$。
    4. 第 4 步：五步相乘，$5\times 4\times 3\times 2\times 1=\underline{120}$（种）。
    最终答案：（1）$3125$ 种；（2）$120$ 种。
  110. 29. ch11-xingqu-07 · 第二套
    1. 第 1 步（第 (1) 问）：社团可以重复，每人都有 $5$ 种选择、一直不减。
    2. 第 2 步：$5\times 5\times 5=\underline{125}$，再乘剩下两步，$125\times 5\times 5=\underline{3125}$（种）。
    3. 第 3 步（第 (2) 问）：社团各不相同，五步选择数依次是 $5,4,3,2,1$。
    4. 第 4 步：五步相乘，$5\times 4\times 3\times 2\times 1=\underline{120}$（种）。
    最终答案：（1）$3125$ 种；（2）$120$ 种。
  111. 29. ch11-xingqu-07 · 第三套
    1. 第 1 步（第 (1) 问）：可重复，每人都有 $6$ 种选择，四人相乘，$6\times 6=\underline{36}$，$36\times 6\times 6=\underline{1296}$（种）。
    2. 第 2 步（第 (2) 问）：项目各不相同，每报掉一项后面就少一项，四步选择数依次为 $6,5,4,\underline{3}$。
    3. 第 3 步：四步相乘，$6\times 5\times 4\times 3=\underline{360}$（种）。
    最终答案：（1）$1296$ 种；（2）$360$ 种。
  112. 29. ch11-xingqu-07 · 第三套
    1. 第 1 步（受限的人优先）：甲不能报 $50$ 米，可报的项目有 $4-1=\underline{3}$ 个。
    2. 第 2 步：甲报完后，乙从剩下的项目里选，有 $4-1=\underline{3}$ 种；丙有 $\underline{2}$ 种；丁只剩 $1$ 种。
    3. 第 3 步：四步相乘，$3\times 3\times 2\times 1=\underline{18}$（种）。
    最终答案：$18$ 种。
  113. 30. ch11-xingqu-08 · 第一套
    1. 第 1 步（第 (1) 问：分类还是分步）：只取 $1$ 本，这本书**只能属于一类**，三类互斥，用加法原理。
    2. 第 2 步：先合并前两类，$8+9=\underline{17}$，再加英语，$17+7=\underline{24}$（种）。
    3. 第 3 步（第 (2) 问）：三本都要取，缺一本就没完成，是分步，用乘法原理。
    4. 第 4 步：先算前两步，$8\times 9=\underline{72}$，再乘英语，$72\times 7=\underline{504}$（种）。
    最终答案：（1）$24$ 种；（2）$504$ 种。
  114. 30. ch11-xingqu-08 · 第二套
    1. 第 1 步（第 (1) 问）：只取 $1$ 支，三类互斥，用加法原理。
    2. 第 2 步：$8+9=\underline{17}$，$17+7=\underline{24}$（种）。
    3. 第 3 步（第 (2) 问）：三支都要取，是分步，用乘法原理。
    4. 第 4 步：$8\times 9=\underline{72}$，$72\times 7=\underline{504}$（种）。
    最终答案：（1）$24$ 种；（2）$504$ 种。
  115. 30. ch11-xingqu-08 · 第三套
    1. 第 1 步（第 (1) 问）：只取 $1$ 本，四类互斥，用加法原理，$8+9+7+6=\underline{30}$（种）。
    2. 第 2 步（第 (2) 问）：四本都要取，是分步，用乘法原理；先算 $8\times 9=\underline{72}$。
    3. 第 3 步：再乘后两类，$72\times 7\times 6=\underline{3024}$（种）。
    最终答案：（1）$30$ 种；（2）$3024$ 种。
  116. 30. ch11-xingqu-08 · 第三套
    1. 第 1 步（先分类）：取出的两本可能是“语数”“语英”“数英”三种搭配之一，三种互斥，最后相加。
    2. 第 2 步（每类内部分步）：语文 + 数学，$8\times 9=\underline{72}$（种）。
    3. 第 3 步：语文 + 英语，$8\times 7=\underline{56}$（种）；数学 + 英语，$9\times 7=\underline{63}$（种）。
    4. 第 4 步：三类相加，$72+56+63=\underline{191}$（种）。
    最终答案：$191$ 种。
  117. 31. ch11-xingqu-09 · 第一套
    1. 第 1 步（先分类）：从甲到丙要么**经过乙**、要么**直达**，两类互斥，最后相加。
    2. 第 2 步（类内分步）：走“甲$\to$乙$\to$丙”两段都要走，用乘法原理，$6\times 5=\underline{30}$（条）。
    3. 第 3 步：直达一类有 $7$ 条。
    4. 第 4 步：两类相加，$30+7=\underline{37}$（条）。
    最终答案：$37$ 条。
  118. 31. ch11-xingqu-09 · 第二套
    1. 第 1 步（先分类）：要么**经过公园**、要么**直达**，两类互斥，最后相加。
    2. 第 2 步（类内分步）：经过公园的两段都要走，$6\times 5=\underline{30}$（条）。
    3. 第 3 步：直达一类有 $7$ 条；两类相加，$30+7=\underline{37}$（条）。
    最终答案：$37$ 条。
  119. 31. ch11-xingqu-09 · 第三套
    1. 第 1 步（先分类）：经乙、经丁、直达共三大类，互斥，最后相加。
    2. 第 2 步（类内分步）：经乙一类 $5\times 4=\underline{20}$（条）。
    3. 第 3 步：经丁一类 $3\times 5=\underline{15}$（条）；直达一类 $2$ 条。
    4. 第 4 步：三类相加，$20+15+2=\underline{37}$（条）。
    最终答案：$37$ 条。
  120. 31. ch11-xingqu-09 · 第三套
    1. 第 1 步（先求单程）：先分类再类内分步，去时的路线数为 $6\times 5+7=\underline{37}$（条）。
    2. 第 2 步（再看往返的关系）：去和回是两件都要做的事，是分步，用乘法原理。
    3. 第 3 步（回程的可选数会减少）：回来不能走与去时完全相同的那一条，所以只剩 $37-1=\underline{36}$ 条。
    4. 第 4 步：两步相乘，$37\times 36=\underline{1332}$（种）。
    最终答案：$1332$ 种。
  121. 32. ch11-xingqu-10 · 第一套
    1. 第 1 步（为什么能标数）：最短路线只能向右或向上，所以到任何一个路口只能**从它左边或下边**过来，该点的走法数 $=$ 左邻 $+$ 下邻（加法原理）。
    2. 第 2 步：最下一行的 $6$ 个路口与最左一列的 $5$ 个路口都只有一条直路可到，全标 $1$。
    3. 第 3 步（第二行，从左到右）：$1+1=\underline{2}$，$2+1=\underline{3}$，$3+1=\underline{4}$，$4+1=\underline{5}$，$5+1=\underline{6}$。
    4. 第 4 步（第三行）：$1+2=3$，$3+3=6$，$6+4=\underline{10}$，$10+5=\underline{15}$，$15+6=\underline{21}$。
    5. 第 5 步（第四行）：$1+3=4$，$4+6=10$，$10+10=\underline{20}$，$20+15=\underline{35}$，$35+21=\underline{56}$。
    6. 第 6 步（第五行，最后一个数就是 $B$）：$1+4=5$，$5+10=15$，$15+20=35$，$35+35=\underline{70}$，$70+56=\underline{126}$。
    最终答案：$126$ 条。
  122. 32. ch11-xingqu-10 · 第二套
    1. 第 1 步：只向右或向上走，到任一路口只能从左邻或下邻过来，该点走法数 $=$ 左邻 $+$ 下邻。
    2. 第 2 步：最下一行与最左一列的路口都只有一条直路可到，全标 $1$。
    3. 第 3 步（第二行）：$1+1=\underline{2}$，$2+1=\underline{3}$，$3+1=\underline{4}$，$4+1=\underline{5}$，$5+1=\underline{6}$。
    4. 第 4 步（第三行）：$1+2=3$，$3+3=6$，$6+4=\underline{10}$，$10+5=\underline{15}$，$15+6=\underline{21}$。
    5. 第 5 步（第四行）：$1+3=4$，$4+6=10$，$10+10=\underline{20}$，$20+15=\underline{35}$，$35+21=\underline{56}$。
    6. 第 6 步（第五行）：$1+4=5$，$5+10=15$，$15+20=35$，$35+35=\underline{70}$，$70+56=\underline{126}$。
    最终答案：$126$ 条。
  123. 32. ch11-xingqu-10 · 第三套
    1. 第 1 步：仍用标数法，每点的走法数 $=$ 左邻 $+$ 下邻；最下一行、最左一列全标 $1$。
    2. 第 2 步（第二行）：$1+1=\underline{2}$，$2+1=\underline{3}$，$3+1=\underline{4}$，$4+1=\underline{5}$。
    3. 第 3 步（第三行）：$1+2=3$，$3+3=\underline{6}$，$6+4=\underline{10}$，$10+5=\underline{15}$。
    4. 第 4 步（第四行）：$1+3=4$，$4+6=\underline{10}$，$10+10=\underline{20}$，$20+15=\underline{35}$。
    5. 第 5 步（第五行，末位即 $B$）：$1+4=5$，$5+10=15$，$15+20=\underline{35}$，$35+35=\underline{70}$。
    最终答案：$70$ 条。
  124. 32. ch11-xingqu-10 · 第三套
    1. 第 1 步（障碍怎么处理）：施工路口一条路也走不通，直接在它上面标 $\underline{0}$，后面的点照常“左邻 $+$ 下邻”。
    2. 第 2 步：最下一行、最左一列仍全标 $1$；第二行为 $1,2,3,4,5,6$。
    3. 第 3 步（第三行，第 $3$ 个点是障碍）：$1+2=3$，障碍点标 $0$，接着 $0+4=\underline{4}$，$4+5=\underline{9}$，$9+6=\underline{15}$。
    4. 第 4 步（第四行）：$1+3=4$，$4+0=\underline{4}$，$4+4=\underline{8}$，$8+9=\underline{17}$，$17+15=\underline{32}$。
    5. 第 5 步（第五行，末位即 $B$）：$1+4=5$，$5+4=\underline{9}$，$9+8=\underline{17}$，$17+17=\underline{34}$，$34+32=\underline{66}$。
    最终答案：$66$ 条。