四年级第12讲统筹与对策

1. 【原题 ch12-chaoyue-01】甲、乙、丙三名车工准备在同样效率的三台车床上车出七个零件，加工各零件所需要的时间分别是 $4$、$5$、$6$、$6$、$8$、$9$、$9$ 分钟。三人同时开始工作，问：经过合理分工，最少经过多少分钟可以车完全部零件？

详细思路

是哪类问题：并行机调度·瓶颈分析

关键切入点：三台车床同时开工，最少的“最长机床用时”既不能小于总时间的三分之一，也不能小于最大单件时间。$16$ 分钟做不到（凑成 $16$ 的组只有 $4+6+6$ 一种，无法让两台都恰好 $16$），$17$ 分钟能分成三组达到。

方法概述：先估下界，验证 $16$ 不可行，再构造 $17$ 的三组分配。

规范步骤：

总时间：$4+5+6+6+8+9+9=47$（求和）
16 不可行：恰为 16 的组只有 $4+6+6$ 一种，两台无法都 16（反证）
17 可行的三组：$8+9=17,\ 9+6=15,\ 6+5+4=15$（构造）
写出答案：$17$ 分钟

第一套

题目：三台同效车床加工七个零件，用时 $5,6,7,7,9,10,11$ 分钟，三人同时开工。合理分工，最少多少分钟完工？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（总时间）：$5+6+7+7+9+10+11=\underline{\quad}$。
第 2 步（三台理想平分）：$55\div3\approx18.3$，故至少 $19$ 分钟。
第 3 步（构造 $19$ 的三组）：$10+9=\underline{\quad}$，$11+7=\underline{\quad}$，$7+6+5=\underline{\quad}$，最长恰为 $19$。

第二套

题目：三名工人在三台同效机器上加工七个零件，用时 $4,5,6,6,8,9,9$ 分钟，同时开工。合理分工，最少多少分钟完工？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（总时间）：$4+5+6+6+8+9+9=\underline{\quad}$。
第 2 步（构造 $17$ 的三组）：$8+9=\underline{\quad}$，$9+6=\underline{\quad}$，$6+5+4=\underline{\quad}$，最长 $17$。

第三套

题目：仅用两台同效车床加工七个零件，用时 $4,5,6,6,8,9,9$ 分钟。合理分工，最少多少分钟完工？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（总时间）：$47$，两台理想平分 $47\div2=23.5$，故至少 $24$ 分钟。
第 2 步（构造 $24$ 的两组）：一台 $9+9+6=\underline{\quad}$，另一台 $8+6+5+4=\underline{\quad}$，最长 $24$。

第三套

题目：用四台同效车床加工七个零件，用时 $4,5,6,6,8,9,9$ 分钟。合理分工，最少多少分钟完工？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（下界）：总时间 $47$，$47\div4\approx11.8$，但最大单件 $9$，故完工时间至少 $12$；再看能否更紧。
第 2 步（构造）：$9+4=\underline{\quad}$，$8+5=\underline{\quad}$，$6+6=\underline{\quad}$，$9$（单独一台），最长为 $13$。

2. 【原题 ch12-chaoyue-02】如图 $12-10$ 是某县的道路分布图，小唐驾车从县城出发，要经过甲、乙、丙、丁、戊这些乡镇中的每个至少一次，并且最后回到县城。已知道路旁边的数值表示汽车通过此段公路所需的时间分钟数，那么小唐完成计划的行程最少需要多少分钟？

详细思路

是哪类问题：图上遍历·最短回路

关键切入点：删去必然不走的公路（甲乙间 $80$ 分钟比绕县城 $70$ 分钟长等），再比较走法：县城→甲→戊→丁→县城→乙→丙→县城，用时 $20+60+50+40+20+60+50=300$ 分钟。（图 $12\text{-}10$。）

方法概述：删去必然不经过的边，比较不同遍历回路的总用时取最短。

规范步骤：

删边：删甲乙、丙丁、县城戊等（删冗余边）
最优路线：县城→甲→戊→丁→县城→乙→丙→县城（遍历）
用时：$20+60+50+40+20+60+50=300$（求和）
写出答案：$300$ 分钟

3. 【原题 ch12-chaoyue-03】如图 $12-11$，有 $10$ 个村坐落在从县城出发的一条公路上。图中的数字表示各段公路的长度，单位是千米。现在要安装水管，从县城送自来水供给各村。粗管足够供应所有各村用水，细管只能供一个村用水。粗管每千米要用 $8000$ 元，细管每千米要用 $2000$ 元。把粗管和细管适当搭配，互相连接，可以降低工程的总费用。按你认为最节约的办法，费用应是多少元？

详细思路

是哪类问题：管线铺设·粗细搭配

关键切入点：某段要供几个村用水就比较粗、细管费用：负担 $\ge4$ 个村的主干用粗管，末端只供一两村的支线用细管。粗管段 $8000\times48$，细管段 $2000\times15$。（图 $12\text{-}11$。）

方法概述：按各段负担的村数决定用粗管还是细管，使总费用最低。

规范步骤：

粗管段：$8000\times48=384000$（粗管）
细管段：$2000\times15=30000$（细管）
总费用：$384000+30000=414000$（求和）
写出答案：$414000$ 元

4. 【原题 ch12-chaoyue-04】甲和乙两人做数字游戏：在黑板上写一个自然数，轮到谁走时，谁就从该自然数中减去它的某个非零数字，两人轮流减，谁所得到的数是零，就算谁赢。如果开始时黑板上写的数是 $1994$，并且甲先走，谁有必胜策略？

详细思路

是哪类问题：减数字博弈·必败位分析

关键切入点：每次从当前数减去它的某个非零数字，减到 $0$ 者胜。个位为 $0$ 的数是“必败位”：轮到的人无论减哪一位，都会让个位变成非 $0$，对手总能再把个位减回 $0$。所以先手把 $1994$ 减去个位 $4$ 得 $1990$（个位 $0$）交给对手并一直保持。

方法概述：先手把数减到个位为 $0$ 交给对手，之后每次再减对手留下数的个位，使个位重回 $0$。

规范步骤：

识别必败位：个位为 $0$ 的数是必败位（必败位）
先手减个位交出必败位：$1994-4=1990$（制造必败位）
保持策略：始终把个位减成 $0$，甲先到 $0$（保持）
写出答案：甲必胜

第一套

题目：黑板上写 $2994$，两人轮流从当前数减去它的某个非零数字，谁减得 $0$ 谁胜。甲先减，谁必胜？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（识别必败位）：个位为 $0$ 的数是必败位。
第 2 步（先手减个位）：$2994-4=\underline{\quad}$，个位变 $0$，交给乙。
第 3 步（保持）：之后甲每次把个位再减成 $0$，甲先到 $0$，甲胜。

第二套

题目：计数器显示 $1994$，两人轮流按一次，每次减去当前数的某个非零数字，谁把它减到 $0$ 谁赢。甲先按，谁必胜？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（识别必败位）：个位为 $0$ 的数是必败位。
第 2 步（先手减个位）：$1994-4=\underline{\quad}$，交给乙。
第 3 步（保持）：甲一直把个位减成 $0$，甲先到 $0$，甲胜。

第三套

题目：黑板上写 $1995$，两人轮流减去当前数的某个非零数字，减到 $0$ 者胜。甲先减，谁必胜？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（识别必败位）：个位为 $0$ 的数是必败位。
第 2 步（先手减个位）：$1995-5=\underline{\quad}$，个位变 $0$ 交给乙。
第 3 步（保持）：甲一直保持对手面对个位为 $0$，甲胜。

第三套

题目：黑板上写 $2000$，两人轮流减去当前数的某个非零数字，减到 $0$ 者胜。甲先减，谁必胜？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（识别必败位）：个位为 $0$ 的数（如 $2000$）本身就是必败位。
第 2 步（先手被迫破坏）：甲只能减某个非零位，例如 $2000-2=\underline{\quad}$，个位变成非 $0$。
第 3 步（后手掌控）：乙立刻把个位减回 $0$，如 $1998-8=\underline{\quad}$，之后乙一直保持，乙胜。

5. 【原题 ch12-chaoyue-05】如图 $12-12$，五角星上共有 $10$ 个交点和 $15$ 条小线段。甲首先将一枚棋子放在 $A$ 点上，并由此出发沿某条小线段将棋子移到相邻的一个交点上，之后乙再将棋子沿某条小线段移到下一个相邻的交点上，之后甲再走……如此下去。如果要求每条小线段都不能重复经过，并且轮到某人无路可走时便判他失败。那么甲是否有必胜策略？

详细思路

是哪类问题：图上路径博弈·配对

关键切入点：棋子在角(尖点)上时先走者只能进中心；在中心时可去角或其他中心。乙用策略：甲一进中心，乙就走回相邻的角。$5$ 个角、$5$ 个中心配对，最终连成封闭图形，轮到甲无路可走。（图 $12\text{-}12$。）

方法概述：把交点按线段配对，后手按配对边应对，使先手先无路可走。

规范步骤：

角与中心的走法：角→中心；中心→角/中心（分析）
乙的配对策略：甲进中心，乙回相邻角（配对）
结论：甲先无路可走（必胜）
写出答案：乙必胜

6. 【原题 ch12-chaoyue-06】把一枚棋子放在如图 $12-13$ 所示的左下角的方格内，甲、乙两人玩这样一个游戏：双方轮流移动棋子，只能向上、向右或者向右上方沿 $45^\circ$ 角移动，一次可以移动任意多步，谁把棋子移到了右上角的方格中谁为输。试问：如果甲先走，是否有必胜的策略？为什么？

详细思路

是哪类问题：棋盘移动博弈·到终点者输

关键切入点：棋子从左下角出发，移到右上角者输。从右上角(必败终点)倒推标必胜(√)/必败(×)点：甲第一步只能落在 √，而乙每步都能把棋子落到 × 后交给甲，最终逼甲走到右上角。（图 $12\text{-}13$。）

方法概述：从右上角倒推标必胜/必败点，后手把终点留给先手。

规范步骤：

定终点：右上角为必败终点（倒推）
标点：逐格标 √/×（倒推）
结论：乙每步落 ×，逼甲到右上角（必胜）
写出答案：乙必胜

7. 【原题 ch12-chaoyue-07】小高中午要炒一个菜、煮一锅饭、烧一壶水。用煤气炉炒菜每道工序的时间如下：切菜 $4$ 分钟，准备佐料 $4$ 分钟，烧热锅 $2$ 分钟，烧热油 $2$ 分钟，炒菜 $4$ 分钟。用电饭锅煮饭每道工序的时间如下：淘米 $4$ 分钟、煮饭 $18$ 分钟。用煤气炉烧水每道工序的时间如下：洗水壶 $2$ 分钟、烧水 $15$ 分钟、把开水灌到热水瓶中需要 $2$ 分钟。小高家的煤气炉只有一个煤气灶。请问：小高做完这三件事情最少需要多少分钟？

详细思路

是哪类问题：单资源约束·统筹做饭

关键切入点：只有一个煤气灶，凡是要用灶的工序（烧水、热锅、热油、炒菜）只能一件接一件排队；而电饭锅煮饭、淘米以及切菜、灌水等可以与灶上工序同时进行。总时间由“灶上一条线”决定（它比煮饭那条线长）。

方法概述：把灶上工序串成一条线求和，其余可并行的线只要不超过它即不占额外时间。

规范步骤：

灶上一条线(串行)：$2+15+2+2+4=25$（单资源串行）
电饭锅线(并行)：$4+18=22\le25$（并行）
取较长的灶上线：总时间 $=25$（关键路径）
写出答案：$25$ 分钟

第一套

题目：一个煤气灶上依次要洗壶 $3$、烧水 $18$、热锅 $3$、热油 $2$、炒菜 $5$ 分钟；电饭锅淘米 $5$、煮饭 $20$ 分钟可并行。做完最少几分钟？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（灶上一条线）：$3+18+3+2+5=\underline{\quad}$（分钟）。
第 2 步（电饭锅线并行）：$5+20=\underline{\quad}$ 分钟，不超过灶上时间。
第 3 步（取较长者）：总时间 $=\underline{\quad}$ 分钟。

第二套

题目：一个灶上依次洗壶 $2$、烧水 $15$、热锅 $2$、热油 $2$、炒菜 $4$ 分钟；电饭锅淘米 $4$、煮饭 $18$ 分钟可并行。做完最少几分钟？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（灶上一条线）：$2+15+2+2+4=\underline{\quad}$（分钟）。
第 2 步（电饭锅线并行）：$4+18=\underline{\quad}$ 分钟 $\le$ 灶上时间。
第 3 步（取较长者）：总时间 $=\underline{\quad}$ 分钟。

第三套

题目：一个灶上依次洗壶 $2$、烧水 $10$、热锅 $2$、热油 $2$、炒菜 $3$ 分钟；电饭锅淘米 $5$、煮饭 $18$ 分钟可并行。做完最少几分钟？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（灶上一条线）：$2+10+2+2+3=\underline{\quad}$（分钟）。
第 2 步（电饭锅线）：$5+18=\underline{\quad}$ 分钟（这次比灶上更久）。
第 3 步（取较长者）：总时间 $=\underline{\quad}$ 分钟。

第三套

题目：一个灶上依次洗壶 $2$、烧水 $15$、热锅 $2$、热油 $2$、炒第一道 $4$、炒第二道 $4$ 分钟；电饭锅淘米 $4$、煮饭 $18$ 分钟可并行。做完最少几分钟？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（灶上一条线，多一道炒菜）：$2+15+2+2+4+4=\underline{\quad}$（分钟）。
第 2 步（电饭锅线并行）：$4+18=\underline{\quad}$ 分钟 $\le$ 灶上时间。
第 3 步（取较长者）：总时间 $=\underline{\quad}$ 分钟。

8. 【原题 ch12-chaoyue-08】甲、乙两人轮流报数，每人都只能报 $2$、$3$、$5$、$7$ 中的一个，把两人报的数累加，如果某个人报完数后，累加的和第一次为三位数时，这个人就获胜。请问：谁有必胜策略？

详细思路

是哪类问题：报数博弈·倒推临界(模 9)

关键切入点：每次报 $2,3,5,7$（都不超过 $9$），累加和首次成三位数（$\ge100$）者胜。从 $99$ 往下倒推可知：让对手面对“和除以 $9$ 余 $1$ 或余 $2$”就必输。先手先报 $2$ 使和为 $2$（余 $2$）把必败位交给对手，之后一直保持。

方法概述：把“除以 9 余 1 或 2 的和”丢给对手；先手报 2 抢占，末段对手无法一步到 100，先手首达取胜。

规范步骤：

每次报数上限：$2,3,5,7\le9$（周期 9）
先手报 2 交出必败和：和 $=2$，除以 $9$ 余 $2$（必败位）
最大必败和：$9\times10+2=92$，乙从 92 报后 $\le99$（临界）
写出答案：甲(先报者)必胜

第一套

题目：两人轮流报 $2,3,5,7$ 中的一个并累加，谁报完后和首次 $\ge190$ 谁胜。甲先报，谁必胜？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（先手交出必败和）：让对手面对“和除以 $9$ 余 $1$ 或余 $2$”就必输；甲先报 $2$，和 $=2$，除以 $9$ 余 $\underline{\quad}$。
第 2 步（必败和成等差数列）：$2,11,20,\dots$，公差 $11-2=\underline{\quad}$。
第 3 步（最大必败和）：不超过 $190$ 的最大必败和 $9\times20+2=\underline{\quad}$。
第 4 步（收官）：乙面对 $182$ 最多报到 $182+7=\underline{\quad}$（$<190$），甲随后报数使和 $\ge190$ 而胜。

第二套

题目：两人抢报“累计得分”，每次报 $2,3,5,7$ 分并累加，谁先使总分 $\ge100$ 谁胜。甲先报，谁必胜？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（先手交出必败和）：让对手面对“和除以 $9$ 余 $1$ 或余 $2$”必输；甲先报 $2$，和除以 $9$ 余 $\underline{\quad}$。
第 2 步（必败和公差）：$2,11,20,\dots$，公差 $11-2=\underline{\quad}$。
第 3 步（最大必败和）：$9\times10+2=\underline{\quad}$。
第 4 步（收官）：乙面对 $92$ 最多报到 $92+7=\underline{\quad}$（$<100$），甲随后首达 $100$ 取胜。

第三套

题目：两人轮流报 $1\sim9$ 中的一个数并累加，谁报完后和达到或超过 $100$ 谁输。甲先报，谁必胜？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（合报凑整）：想让对方越过 $100$，就让每轮两人合报 $1+9=\underline{\quad}$。
第 2 步（先手抢位并保持）：甲先报 $9$，之后乙报 $a$、甲报 $10-a$，把和保持在 $9,19,\dots$，最大到 $9+10\times9=\underline{\quad}$。
第 3 步（收官）：乙面对 $99$ 至少报 $1$ 使和 $99+1=\underline{\quad}$（$\ge100$）而输，故甲胜。

第三套

题目：两人轮流报 $2,3,5,7$ 并累加。规则一：和首次 $\ge100$ 者胜；规则二：和首次 $\ge100$ 者输。甲先报，两种规则各是谁必胜？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（规则一·首达者胜）：让对手面对“和除以 $9$ 余 $1$ 或余 $2$”必输；甲先报 $2$（余 $\underline{\quad}$），最大必败和 $9\times10+2=\underline{\quad}$，甲胜。
第 2 步（规则二·首达者输）：出发点“和为 $0$”本身就是必败位（$0$ 除以 $9$ 余 $\underline{\quad}$），轮到的甲被迫最终先越过 $100$，故乙胜。

9. 【原题 ch12-tuozhan-01】萱萱中午做的菜是烧豆腐，共需要七道工序，每道工序的时间如下：切豆腐 $2$ 分钟，切肉片 $2$ 分钟，准备葱姜蒜 $3$ 分钟，准备佐料 $1$ 分钟，烧热锅 $2$ 分钟，烧热油 $2$ 分钟，炒菜 $4$ 分钟。那么萱萱烧好这道菜最少需要几分钟？

详细思路

是哪类问题：统筹安排·工序并行

关键切入点：切豆腐、切肉、备葱姜蒜、备佐料这些准备工作不占炉子，可与烧锅、烧油同时进行；炒菜必须等锅热油热且备料完成后才能开始。所以“炒菜前”那段用时取“炉上烧锅烧油”和“并行准备”两者中的较大值。

方法概述：把可并行的准备工作与烧锅烧油同时做，炒菜前取两条线的较大值再串接炒菜。

规范步骤：

并行准备总时长：$2+2+3+1=8$（工序并行）
炉上烧锅烧油：$2+2=4$（串接）
炒菜前取较大值，再加炒菜：$\max(8,4)+4=8+4=12$（关键路径）
写出答案：$12$ 分钟

第一套

题目：烧一道菜七道工序：切豆腐 $3$、切肉 $3$、备葱姜蒜 $4$、备佐料 $2$、烧热锅 $3$、烧热油 $3$、炒菜 $5$ 分钟。最少需要几分钟？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（并行准备）：切豆腐、切肉、备葱姜蒜、备佐料共 $3+3+4+2=\underline{\quad}$ 分钟。
第 2 步（炉上烧锅烧油）：$3+3=\underline{\quad}$ 分钟。
第 3 步（炒菜前取较大者 $12$，再加炒菜）：$12+5=\underline{\quad}$（分钟）。

第二套

题目：做西红柿炒蛋七道工序：打蛋 $2$、切西红柿 $2$、切葱 $3$、备盐 $1$、烧热锅 $2$、烧热油 $2$、翻炒 $4$ 分钟。最少需要几分钟？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（并行准备）：打蛋、切西红柿、切葱、备盐共 $2+2+3+1=\underline{\quad}$ 分钟。
第 2 步（炉上烧锅烧油）：$2+2=\underline{\quad}$ 分钟。
第 3 步（炒菜前取较大者 $8$，再加翻炒）：$8+4=\underline{\quad}$（分钟）。

第三套

题目：某菜：备料四项各 $1$ 分钟，烧热锅 $3$、烧热油 $3$、炒菜 $5$ 分钟。最少需要几分钟？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（并行准备）：四项备料共 $1+1+1+1=\underline{\quad}$ 分钟。
第 2 步（炉上烧锅烧油）：$3+3=\underline{\quad}$ 分钟（这次比备料久）。
第 3 步（炒菜前取较大者 $6$，再加炒菜）：$6+5=\underline{\quad}$（分钟）。

第三套

题目：同一个炉子上要依次烧热锅 $3$、烧热油 $3$、炒第一道 $5$、炒第二道 $5$ 分钟；同时可并行做两道菜的备料，共 $3+3+4+2+2=14$ 分钟。最少需要几分钟？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（炉上一条线依次进行）：$3+3+5+5=\underline{\quad}$（分钟）。
第 2 步（并行备料）：$3+3+4+2+2=\underline{\quad}$ 分钟，不超过炉上时间，可完全并行。

10. 【原题 ch12-tuozhan-02】小杂货店里有一位售货员卖货，同时来了 $A$、$B$、$C$、$D$、$E$ 五位顾客。$A$ 买糖果需要 $2$ 分钟，$B$ 买大米需要 $6$ 分钟，$C$ 买香烟和啤酒需要 $4$ 分钟，$D$ 买水果需要 $3$ 分钟，$E$ 买蔬菜需要 $5$ 分钟。请问：售货员应当如何安排这五位顾客的顺序，才能使五位顾客等待购物时间总和最短？这个最短的时间总和是多少？（只计算每人排队的时间，不计算买东西的时间。）

详细思路

是哪类问题：排队等待·短作业优先

关键切入点：只算“排队等待前面人”的时间总和，用时短的先买，后面每个人都少等。按用时升序排，第 k 个人等待前面所有人的服务时间之和。

方法概述：按服务时间升序排队，累加各人所等前面人的时间求总和。

规范步骤：

升序排队：$A2,D3,C4,E5,B6$（短作业优先）
各人等待时间：$0,2,2{+}3{=}5,2{+}3{+}4{=}9,2{+}3{+}4{+}5{=}14$（累加）
求总和：$0+2+5+9+14=30$（求和）
写出答案：$30$ 分钟

第一套

题目：五位顾客购物各需 $3,8,5,4,7$ 分钟。怎样排队使等待时间总和最短？最短是多少？（只算排队等待，不算购物）

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（升序排队）：$3,4,5,7,8$。
第 2 步（各人等待时间）：$0$；$3$；$3+4=\underline{\quad}$；$3+4+5=\underline{\quad}$；$3+4+5+7=\underline{\quad}$。
第 3 步（求总和）：$0+3+7+12+19=\underline{\quad}$。

第二套

题目：银行一个窗口，五人办业务各需 $2,6,4,3,5$ 分钟。怎样排队使等待时间总和最短？最短是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（升序排队）：$2,3,4,5,6$。
第 2 步（各人等待时间）：$0$；$2$；$2+3=\underline{\quad}$；$2+3+4=\underline{\quad}$；$2+3+4+5=\underline{\quad}$。
第 3 步（求总和）：$0+2+5+9+14=\underline{\quad}$。

第三套

题目：六人办业务各需 $2,3,4,5,6,7$ 分钟。求等待时间总和的最小值。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（升序排队）：$2,3,4,5,6,7$。
第 2 步（各人等待时间）：$0,2,5,9,14$，第六人 $2+3+4+5+6=\underline{\quad}$。
第 3 步（求总和）：$0+2+5+9+14+20=\underline{\quad}$。

第三套

题目：五人服务各需 $2,3,4,5,6$ 分钟，升序排队。求五人“在店总逗留时间”（等待 + 自己被服务）之和最少是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（各人完成时刻，含自己被服务）：$2$；$2+3=\underline{\quad}$；$2+3+4=\underline{\quad}$；$2+3+4+5=\underline{\quad}$；$2+3+4+5+6=\underline{\quad}$。
第 2 步（求总逗留时间）：$2+5+9+14+20=\underline{\quad}$。

11. 【原题 ch12-tuozhan-03】有 $47$ 位小朋友，老师要给他们每人发 $1$ 支红笔和 $1$ 支蓝笔。商店中每种笔都是 $5$ 支一包或 $3$ 支一包，不能打开零售。$5$ 支一包的红笔 $61$ 元，蓝笔 $70$ 元；$3$ 支一包的红笔 $40$ 元，蓝笔 $47$ 元。请问：老师买所需要的笔最少要花多少元？

详细思路

是哪类问题：整数搭配·分别求最省

关键切入点：红笔、蓝笔互不相干，分别求各自最省。每种笔里 $5$ 支大包比 $3$ 支小包更划算（买 $15$ 支时 $3$ 大包省于 $5$ 小包），故各色最多用 $4$ 个小包，比较几种搭配取最省。

方法概述：两色分别处理，优先用大包、凑足 $47$ 支后比较各方案取最省，再相加。

规范步骤：

红笔最省(4 小包+7 大包)：$61\times7+40\times4=587$（方案比较）
蓝笔最省(1 小包+9 大包，共 48 支)：$70\times9+47\times1=677$（方案比较）
合计：$587+677=1264$（求和）
写出答案：$1264$ 元

第一套

题目：给 $94$ 位小朋友每人 $1$ 支红笔和 $1$ 支蓝笔。$5$ 支大包红笔 $61$ 元、蓝笔 $70$ 元；$3$ 支小包红笔 $40$ 元、蓝笔 $47$ 元。最少要花多少元？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（红笔最省：$17$ 大包 $+3$ 小包，共 $94$ 支）：$61\times17+40\times3=\underline{\quad}$（元）。
第 2 步（蓝笔最省：$19$ 大包，共 $95$ 支 $\ge94$）：$70\times19=\underline{\quad}$（元）。
第 3 步（合计）：$1157+1330=\underline{\quad}$（元）。

第二套

题目：老师给 $47$ 名学生每人发 $1$ 支钢笔和 $1$ 支铅笔。$5$ 支大包钢笔 $61$ 元、铅笔 $70$ 元；$3$ 支小包钢笔 $40$ 元、铅笔 $47$ 元。最少花多少元？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（钢笔最省）：$61\times7+40\times4=\underline{\quad}$（元）。
第 2 步（铅笔最省，$9$ 大包 $+1$ 小包共 $48$ 支）：$70\times9+47\times1=\underline{\quad}$（元）。
第 3 步（合计）：$587+677=\underline{\quad}$（元）。

第三套

题目：给 $47$ 人每人 $1$ 支笔。$5$ 支大包 $63$ 元、$3$ 支小包 $40$ 元。最少花多少元？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（比较均价）：$63\div5=12.6$ 元 $<40\div3\approx13.3$ 元，优先大包。
第 2 步（凑足 $47$ 支：$7$ 大包 $+4$ 小包）：$7\times5+4\times3=\underline{\quad}$。
第 3 步（算总价）：$63\times7+40\times4=\underline{\quad}$（元）。

第三套

题目：给 $47$ 人每人红、蓝、绿笔各 $1$ 支。$5$ 支大包：红 $61$、蓝 $70$、绿 $55$ 元；$3$ 支小包：红 $40$、蓝 $47$、绿 $36$ 元。最少花多少元？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（红笔最省）：$61\times7+40\times4=\underline{\quad}$（元）。
第 2 步（蓝笔最省，共 $48$ 支）：$70\times9+47\times1=\underline{\quad}$（元）。
第 3 步（绿笔最省，$7$ 大包 $+4$ 小包）：$55\times7+36\times4=\underline{\quad}$（元）。
第 4 步（三色合计）：$587+677+529=\underline{\quad}$（元）。

12. 【原题 ch12-tuozhan-04】如图 $12-3$ 的方格屏幕上，每个小方格的边长是 $1$ 厘米，一条贪吃的蛇从左下角出发，沿着格线爬行，如果它想吃掉图中的 $3$ 个“★”，最少要爬多少？请画出路线。

详细思路

是哪类问题：格线最短路径·枚举比较

关键切入点：把三个“★”按相对位置分类，蛇从左下角沿格线出发，比较不同访问顺序的折线总长，取最短。（具体格点见图 $12\text{-}3$。）

方法概述：把目标点分类，比较不同访问顺序的折线总长取最短。

规范步骤：

分类目标点：三个 ★ 记作左、下、右（分类）
比较各走法：逐一算折线总长（枚举）
写出答案：最少 $8$ 厘米

13. 【原题 ch12-tuozhan-05】如图 $12-4$ 是一张道路图，图中数字表示通过这段道路所需的分钟数。问：卡莉娅从 $A$ 走到 $B$ 最快需要多少分钟？

详细思路

是哪类问题：图上最短路线·逐点最短

关键切入点：把 $5$ 个岔口标 $1\sim5$，从 $A$ 出发逐个求到各岔口的最短时间，再推进到 $B$，比较经过不同岔口的路线取最短。（图 $12\text{-}4$ 中数字为各段时间。）

方法概述：从起点逐个岔口求最短时间，再推进到终点取最短。

规范步骤：

标岔口：$1\sim5$（标点）
逐点累计最短：由 $A$ 向各岔口推进（动态推进）
写出答案：最快 $18$ 分钟

14. 【原题 ch12-tuozhan-06】如图 $12-5$，一条路上从西到东有 $A$、$B$、$C$、$D$、$E$ 五所学校，分别有 $200$ 人、$300$ 人、$400$ 人、$500$ 人、$600$ 人。任意相邻的两所学校之间的距离都是 $100$ 米。现在要在某所学校的门口修建一个公共汽车站，要使所有人到达车站的距离之和最小，那么车站应该建在什么地方？距离的总和最少是多少？

详细思路

是哪类问题：线段选址·带权中位数

关键切入点：车站建在某校门口，要使“人数×到站距离”的总和最小。从中间往人多的一端移动，每移一段，人多一侧减少的距离大于人少一侧增加的距离，直到累计人数过半的那所学校，即带权中位数。

方法概述：按人数从一端累计，过半处即最优站址，再算加权距离和。

规范步骤：

总人数与过半界：$200+300+400+500+600=2000,\ 半=1000$（带权中位数）
按人数累计定站址：到 $D$ 处累计超过一半，站建在 $D$（累计过半）
加权距离和(米)：$200\times300+300\times200+400\times100+500\times0+600\times100=220000$（求和）
写出答案：建在 $D$，$220000$ 米（$220$ 千米）

第一套

题目：一条路上从西到东六所学校 $A\sim F$ 相邻各隔 $100$ 米，人数依次 $100,200,300,400,500,900$。在某校门口建车站使总距离最小，建在哪？最少总距离是多少米？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（总人数）：$100+200+300+400+500+900=\underline{\quad}$。
第 2 步（过半界）：$2400\div2=\underline{\quad}$；按人数累计，超过一半落在末校 $E$ 处（$E$ 在 $F$ 前一所），车站建在 $E$。
第 3 步（加权距离和，米）：$100\times400+200\times300+300\times200+400\times100+500\times0+900\times100=\underline{\quad}$。

第二套

题目：沿一条街从西到东有 $A\sim E$ 五个车间相邻各隔 $100$ 米，人数 $200,300,400,500,600$。在某车间门口建食堂使总距离最小，建在哪？最少总距离多少米？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（总人数）：$200+300+400+500+600=\underline{\quad}$。
第 2 步（过半界）：$2000\div2=\underline{\quad}$；按人数累计过半落在 $D$，食堂建在 $D$。
第 3 步（加权距离和，米）：$200\times300+300\times200+400\times100+500\times0+600\times100=\underline{\quad}$。

第三套

题目：五所学校 $A\sim E$ 相邻各隔 $100$ 米，人数 $100,100,100,100,600$。在某校建车站使总距离最小，建在哪？最少总距离多少米？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（总人数）：$100+100+100+100+600=\underline{\quad}$。
第 2 步（过半界）：$1000\div2=\underline{\quad}$；末校 $E$ 人数最多、超过一半，车站建在 $E$。
第 3 步（加权距离和，米）：$100\times400+100\times300+100\times200+100\times100+600\times0=\underline{\quad}$。

第三套

题目：五所学校在一条路上，从西到东坐标为 $0,100,300,400,600$ 米，人数依次 $200,300,400,500,600$。在某校建车站使总距离最小，建在哪？最少总距离多少米？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（总人数）：$200+300+400+500+600=\underline{\quad}$，一半为 $1000$；按人数累计过半仍落在第 $4$ 所（坐标 $400$）。
第 2 步（各校到坐标 $400$ 的距离依次 $400,300,100,0,200$ 米，加权求和）：$400\times200+300\times300+100\times400+0\times500+200\times600=\underline{\quad}$。

15. 【原题 ch12-tuozhan-07】北京和上海分别制成同样型号的车床 $10$ 台和 $6$ 台，这些车床准备分配给武汉 $11$ 台、西安 $5$ 台，每台车床的运费如图 $12-6$ 所示。那么总运费最少是多少元？

详细思路

是哪类问题：运输问题·比较调整

关键切入点：运费表（图 $12\text{-}6$，元/台）：北京→武汉 $500$、北京→西安 $600$；上海→武汉 $700$、上海→西安为四条路线中最贵（原印“$100$”系笔误——若真为 $100$，最优应是让上海全走西安、总费 $6200$ 元，与本题答案不符；使答案 $9700$ 成立须上海→西安高于 $800$ 元）。用比较调整法：西安要 $5$ 台，比较由谁供更省——从北京供比它改运武汉每台只多花 $600-500=100$ 元，从上海供却要多花很多，所以西安的 $5$ 台全由北京提供。

方法概述：对每台“改运西安”算出相对“运武汉”的差额，让差额小的产地优先供西安，再把余下运到武汉。

规范步骤：

供需：产地：北京 $10$、上海 $6$；销地：武汉 $11$、西安 $5$（供需）
比较“改供西安”的每台差额：北京 $600-500=100$；上海上海→西安$-700$（图中该路线最贵，差额远大于 $100$）（差额比较）
差额小者优先：西安 5 台全由北京供：北京→西安 $5$、北京→武汉 $10-5=5$；上海→武汉 $6$，恰补足武汉 $5+6=11$（分配）
求总运费：$500\times5+600\times5+700\times6=9700$（求和）
写出答案：$9700$ 元

16. 【原题 ch12-tuozhan-08】甲拿若干枚黑棋子，乙拿若干枚白棋子，他们轮流向如图 $12-7$ 所示的 $3\times 3$ 的方格中放棋子，每次放 $1$ 枚，谁的棋子中有 $3$ 枚连成一条线（横、竖、斜均可），谁就获胜。如果甲首先占据了中间位置，乙要想不败，第 $1$ 枚棋子应该放在哪里？

详细思路

是哪类问题：井字棋·防守(角位)

关键切入点：甲占中心后，乙若放在边中点会被甲做出双威胁而失守；乙放在角上，逐一分析甲的各种进攻乙都能防住，故乙第一枚应放在四角之一。（棋盘见图 $12\text{-}7$。）

方法概述：比较各位置参与的连线数，选受威胁最少的角位防守。

规范步骤：

甲占中心：分析乙落点（对称分析）
边中点会失守：甲可双威胁（反证）
角位可守：逐一验证乙不败（枚举）
写出答案：放四角之一

17. 【原题 ch12-tuozhan-09】有 $12$ 枚棋子，甲、乙两人轮流取，规定每次至少取 $1$ 枚，最多取 $3$ 枚，以取走最后一枚棋子者为胜者。如果甲先取，谁有必胜策略？如果取走最后一枚棋子者为败者，并且仍然是甲先取，那么谁有必胜策略？

详细思路

是哪类问题：巴什博弈·两种胜负规则

关键切入点：每次取 $1\sim3$ 枚，两人每轮合取最多 $1+3=4$ 枚。取末枚为胜时，谁面对 $4$ 的倍数谁必败；取末枚为败时，要把“除以 $4$ 余 $1$”的局面丢给对手。$12$ 恰是 $4$ 的倍数。

方法概述：取末枚胜：$12$ 是 $4$ 的倍数，后手补齐 $4$，乙胜；取末枚败：甲先取 $3$ 使剩 $9$，再每轮补 $4$，把最后 $1$ 枚留给乙。

规范步骤：

每轮合取上限：$1+3=4$（凑整数）
规则一(取末枚胜)：$12=4\times3$，后手乙胜（余数控制）
规则二(取末枚败)：$12-3=9$，剩 $9,5,1$，甲胜（留 1 给对手）
写出答案：胜:乙；败:甲

第一套

题目：有 $20$ 枚棋子，每次取 $1\sim3$ 枚。（规则一）取末枚者胜；（规则二）取末枚者败。甲先取，各是谁必胜？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（每轮合取上限）：$1+3=\underline{\quad}$。
第 2 步（规则一）：$20\div4=\underline{\quad}$ 余 $0$，$20$ 是 $4$ 的倍数，后手乙胜。
第 3 步（规则二）：甲先取 $3$ 枚剩 $20-3=\underline{\quad}$，之后每轮补 $4$，把最后 $1$ 枚留给乙，甲胜。

第二套

题目：棋盒里有 $12$ 颗围棋子，两人轮流取，每次取 $1\sim3$ 颗。（规则一）取末颗者胜；（规则二）取末颗者败。甲先取，各是谁必胜？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（每轮合取上限）：$1+3=\underline{\quad}$。
第 2 步（规则一）：$12\div4=\underline{\quad}$ 余 $0$，后手乙胜。
第 3 步（规则二）：甲先取 $3$ 颗剩 $12-3=\underline{\quad}$，之后每轮补 $4$，最后 $1$ 颗留给乙，甲胜。

第三套

题目：有 $12$ 枚棋子，每次取 $1\sim2$ 枚。（规则一）取末枚者胜；（规则二）取末枚者败。甲先取，各是谁必胜？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（每轮合取上限）：$1+2=\underline{\quad}$。
第 2 步（规则一）：$12\div3=\underline{\quad}$ 余 $0$，$12$ 是 $3$ 的倍数，后手乙胜。
第 3 步（规则二）：甲先取 $2$ 枚剩 $12-2=\underline{\quad}$，之后每轮补 $3$，最后 $1$ 枚留给乙，甲胜。

第三套

题目：有 $40$ 枚棋子，每次取 $1\sim4$ 枚。（规则一）取末枚者胜；（规则二）取末枚者败。甲先取，各是谁必胜？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（每轮合取上限）：$1+4=\underline{\quad}$。
第 2 步（规则一）：$40\div5=\underline{\quad}$ 余 $0$，$40$ 是 $5$ 的倍数，后手乙胜。
第 3 步（规则二）：甲先取 $4$ 枚剩 $40-4=\underline{\quad}$，之后每轮补 $5$，最后 $1$ 枚留给乙，甲胜。

18. 【原题 ch12-tuozhan-10】现有 $2008$ 根火柴，甲、乙两个人轮流从中取出火柴，每次最少从中取出 $2$ 根，最多取出 $4$ 根，谁无法再次取出火柴就赢。如果甲先取，请问谁有必胜的策略？

详细思路

是哪类问题：取火柴·逆向(无法取者赢)

关键切入点：每次取 $2\sim4$ 根，剩 $0$ 或 $1$ 根时无法再取——而无法取者赢。所以要把“恰好剩 $2$ 根”留给对手：他取走后轮到你已无法取，你就赢。每轮两人合取最多 $2+4=6$，把剩余压到“除以 $6$ 余 $2$”。

方法概述：先手先取 $2$ 根变 $2006$，再每轮与对手合取 $6$，使剩余最终为 $2$ 交给对手。

规范步骤：

每轮合取上限：$2+4=6$（凑整数）
先手先取 2 根：$2008-2=2006$（制造余 2）
余数控制：$2006=6\times334+2$，最后剩 2 根给乙（凑 6 控制剩余）
写出答案：甲必胜

第一套

题目：有 $3000$ 根火柴，每次取 $2\sim4$ 根，谁无法再取谁赢。甲先取，谁必胜？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（每轮合取上限）：$2+4=\underline{\quad}$。
第 2 步（先手制造余数）：甲先取 $4$ 根，剩 $3000-4=\underline{\quad}$。
第 3 步（余数控制）：$2996=6\times499+\underline{\quad}$，最后剩 $2$ 根给乙，乙取后甲无法再取而赢。

第二套

题目：沙滩上有 $2008$ 枚贝壳，两人轮流捡，每次捡 $2\sim4$ 枚，谁无法再捡谁赢。甲先捡，谁必胜？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（每轮合捡上限）：$2+4=\underline{\quad}$。
第 2 步（先手制造余数）：甲先捡 $2$ 枚，剩 $2008-2=\underline{\quad}$。
第 3 步（余数控制）：$2006=6\times334+\underline{\quad}$，最后剩 $2$ 枚给乙，甲赢。

第三套

题目：有 $100$ 根火柴，每次取 $2\sim4$ 根，谁无法再取谁赢。甲先取，谁必胜？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（每轮合取上限）：$2+4=\underline{\quad}$。
第 2 步（先手制造余数）：甲先取 $2$ 根，剩 $100-2=\underline{\quad}$。
第 3 步（余数控制）：$98=6\times16+\underline{\quad}$，最后剩 $2$ 根给乙，甲赢。

第三套

题目：有 $2008$ 根火柴，每次取 $2\sim5$ 根，谁无法再取谁赢。甲先取，谁必胜？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（每轮合取上限）：$2+5=\underline{\quad}$。
第 2 步（先手制造余数）：甲先取 $4$ 根，剩 $2008-4=\underline{\quad}$。
第 3 步（余数控制）：$2004=7\times286+\underline{\quad}$，最后剩 $2$ 根给乙，甲赢。

19. 【原题 ch12-tuozhan-11】甲、乙两人玩游戏：有两堆小球，甲、乙两人轮流从中取球，每次只能从同一堆中取球。规定取到最后一个球的人获胜。（1）如果开始时两堆球数分别是 $2$ 个和 $2$ 个，那么谁有必胜策略？请说明理由。（2）如果开始时两堆球数分别是 $4$ 个和 $3$ 个，那么谁有必胜策略？请说明理由。（3）如果开始时两堆球数分别是 $5$ 个和 $8$ 个，那么谁有必胜策略？请说明理由。

详细思路

是哪类问题：对称模仿策略·两堆取球

关键切入点：只能从一堆里取，取到最后一个者胜。两堆相等时，后手一味模仿先手（先手在这堆取几个，后手就在另一堆取几个），永远保持相等，最后一个球必由后手取到；两堆不等时，先手先取齐使两堆相等，再当“模仿者”。

方法概述：相等→后手模仿必胜；不等→先手先取齐再模仿必胜。

规范步骤：

(1) 两堆相等 2,2：后手乙模仿，乙胜（对称模仿）
(2) 先取齐 4,3：$4-1=3$，化为 3,3，甲胜（先取齐）
(3) 先取齐 5,8：$8-3=5$，化为 5,5，甲胜（先取齐）
写出答案：(1)乙 (2)甲 (3)甲

第一套

题目：两堆球，取到最后一个者胜。（1）$7$ 和 $7$；（2）$9$ 和 $6$；（3）$11$ 和 $6$。甲先取，各是谁必胜？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（相等局面）：$7$ 与 $7$ 相等，后手乙模仿保持相等，乙胜。
第 2 步（$9,6$ 先取齐）：先手从 $9$ 堆取 $9-6=\underline{\quad}$，化为 $6,6$，甲胜。
第 3 步（$11,6$ 先取齐）：先手从 $11$ 堆取 $11-6=\underline{\quad}$，化为 $6,6$，甲胜。

第二套

题目：两盘糖果，取到最后一颗者胜。（1）$2$ 颗和 $2$ 颗；（2）$4$ 颗和 $3$ 颗；（3）$5$ 颗和 $8$ 颗。甲先取，各是谁必胜？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（相等）：$2$ 与 $2$ 相等，后手乙模仿，乙胜。
第 2 步（$4,3$ 先取齐）：先手从 $4$ 盘取 $4-3=\underline{\quad}$，化为 $3,3$，甲胜。
第 3 步（$5,8$ 先取齐）：先手从 $8$ 盘取 $8-5=\underline{\quad}$，化为 $5,5$，甲胜。

第三套

题目：两堆球，取到最后一个者胜。（1）$10$ 和 $10$；（2）$12$ 和 $7$；（3）$15$ 和 $9$。甲先取，各是谁必胜？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（相等）：$10$ 与 $10$，后手乙模仿，乙胜。
第 2 步（$12,7$ 先取齐）：先手取 $12-7=\underline{\quad}$，化为 $7,7$，甲胜。
第 3 步（$15,9$ 先取齐）：先手取 $15-9=\underline{\quad}$，化为 $9,9$，甲胜。

第三套

题目：两堆球，规则改为取到最后一个者输。（1）$8$ 和 $8$；（2）$5$ 和 $9$；（3）$7$ 和 $12$。甲先取，各是谁必胜？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（相等）：$8$ 与 $8$ 相等，后手乙一路模仿保持两堆相等；到收官时乙不留 $(1,1)$，而是把某堆取空、只留单独 $1$ 个（即 $(1,0)$）给甲，甲被迫取走这最后一个而输，乙胜。
第 2 步（$5,9$ 先取齐）：先手从 $9$ 堆取 $9-5=\underline{\quad}$ 化为 $5,5$，之后甲改当模仿者保持相等；收官时留下单独 $1$ 个（$(1,0)$）给乙，乙被迫取走最后一个而输，甲胜。
第 3 步（$7,12$ 先取齐）：先手从 $12$ 堆取 $12-7=\underline{\quad}$ 化为 $7,7$，同法（末尾留单堆 $(1,0)$ 给对方）甲胜。

20. 【原题 ch12-tuozhan-12】黑板上写有 $1\sim 2009$ 这些自然数，甲先乙后，两人轮流擦去一个自然数。如果最后剩下的两个自然数奇偶性不同，那么甲就胜，否则乙胜。请问：谁有必胜的策略，具体的策略是怎样的？

详细思路

是哪类问题：奇偶配对博弈

关键切入点：$1\sim2009$ 中奇数 $1005$ 个、偶数 $1004$ 个。甲先擦一个奇数，余奇 $1004$、偶 $1004$；此后乙擦一个，甲就擦与之不同奇偶的一个，使奇、偶个数始终相等地减少，最后剩一奇一偶，甲胜。

方法概述：先擦一奇使奇偶相等，再对乙每次擦除以相反奇偶配对应对。

规范步骤：

统计奇偶：奇 $1005$、偶 $1004$，共 $1005+1004=2009$（计数）
先擦一奇：余奇 $1004$、偶 $1004$ 相等（配平）
配对擦除：始终保持奇偶相等，末剩一奇一偶（配对）
写出答案：甲必胜

21. 【原题 ch12-tuozhan-13】如图 $12-8$，方格 $A$ 中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或向右上方沿 $45^\circ$ 角走 $1$ 步，最终将棋子走到方格 $B$ 的人获胜。请问：谁有必胜策略，策略是什么？如果每次允许往同一方向（上、右或右上）走任意步，结果又如何呢？

详细思路

是哪类问题：棋盘博弈·倒推控制点

关键切入点：从终点 $B$ 倒推标必胜/必败点，$A$ 为必胜点，甲先手抢控制点必胜；若每次可沿同一方向走任意步，仍用倒推法可知 $A$ 仍为必胜点，甲依旧必胜。（图 $12\text{-}8$。）

方法概述：从终点倒推标必胜/必败点，先手占控制点并保持。

规范步骤：

走 1 步版：倒推标点，$A$ 为必胜点（倒推）
走任意步版：同法倒推，$A$ 仍必胜点（倒推）
写出答案：两种都甲必胜

22. 【原题 ch12-tuozhan-14】桌上有一块巧克力，它被直线划分成了 $3$ 行 $7$ 列的 $21$ 个小方块，如图 $12-9$ 所示。现在让你和别人轮流切巧克力做这样的游戏，规则如下：①每次只沿着一条直线把巧克力切下来；②拿走其中一块，把另一块留给对方；③谁能留给对手的是一个小方块，谁就取胜。如果请你首先切巧克力，那么你第一次应该切去多少个小方块，才能使你最后获胜？

详细思路

是哪类问题：切巧克力博弈·保持正方形

关键切入点：留给对手 $3\times3$ 正方形是必胜局面。$21$ 块先切去 $21-9=12$ 块，留下 $3\times3=9$ 块正方形；此后无论对手怎么切，先手都切回正方形，最终把单块留给对手。（图 $12\text{-}9$。）

方法概述：先手切出正方形必胜局面，之后每次把对手切剩的图形再切回正方形。

规范步骤：

必胜局面：$3\times3$ 正方形（必胜局面）
第一刀：$21-9=12$ 块，留 $3\times3=9$ 块（切出正方形）
保持策略：每次切回正方形（保持）
写出答案：先切 $12$ 块

23. 【原题 ch12-xingqu-01】妈妈让小高给客人烧水泡茶。洗开水壶要用 $1$ 分钟，烧开水要用 $15$ 分钟，洗茶壶要用 $1$ 分钟，洗茶杯要用 $1$ 分钟，拿茶叶要用 $2$ 分钟。小高估算了一下，完成这些工作要花 $20$ 分钟。为了尽快给客人泡茶，你认为最合理的安排，最少需要多少分钟？

详细思路

是哪类问题：统筹安排·工序并行

关键切入点：洗开水壶、烧开水必须在主线上先后进行；洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶这些不占人手的准备工作可以塞进烧水的 15 分钟里同时做，不额外占用时间。

方法概述：把可与烧水并行的准备工作放进烧水时间内，主线只算“洗壶+烧水”。

规范步骤：

并行准备总时长（须 ≤ 烧水时间）：$1+1+2=4\le 15$（工序并行）
主线：洗开水壶 + 烧开水：$1+15=16$（关键路径）
写出答案：$16$ 分钟

第一套

题目：小高烧水泡茶：洗开水壶 $2$ 分钟，烧开水 $20$ 分钟，洗茶壶 $1$ 分钟，洗茶杯 $2$ 分钟，拿茶叶 $3$ 分钟。合理安排，最少需要几分钟？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（找可并行的准备工作）：洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶可在烧水时同时做，共 $1+2+3=\underline{\quad}$ 分钟，不超过烧水的 $20$ 分钟。
第 2 步（主线求和）：只需算洗壶加烧水，$2+20=\underline{\quad}$（分钟）。

第二套

题目：萱萱冲一杯手冲咖啡：洗手冲壶 $1$ 分钟，烧开水 $15$ 分钟，洗咖啡杯 $1$ 分钟，取滤纸 $1$ 分钟，磨咖啡粉 $2$ 分钟。合理安排，最少需要几分钟？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（找可并行的准备工作）：洗杯、取滤纸、磨粉可在烧水时同时做，共 $1+1+2=\underline{\quad}$ 分钟，不超过 $15$ 分钟。
第 2 步（主线求和）：洗壶加烧水，$1+15=\underline{\quad}$（分钟）。

第三套

题目：泡茶：洗壶 $1$ 分钟，烧水 $15$ 分钟，泡好后还要静置出味 $2$ 分钟（必须在烧水后进行）；另需洗茶壶 $1$、洗茶杯 $1$、拿茶叶 $2$ 分钟（可并行）。最少需要几分钟？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（主线三段串接）：洗壶、烧水、静置依次进行，$1+15+2=\underline{\quad}$（分钟）。
第 2 步（并行准备）：洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶共 $1+1+2=\underline{\quad}$ 分钟，可塞进烧水的 $15$ 分钟内。

第三套

题目：用一个灶做饭：灶上依次要洗壶 $1$、烧水 $15$、热锅 $2$、炒菜 $4$ 分钟（同一炉子只能一件接一件）；同时可并行切菜 $2$、切肉 $2$、备葱姜 $3$、备佐料 $1$ 分钟。最少需要几分钟？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（炉上主线串接）：一个灶只能依次做，洗壶+烧水+热锅+炒菜 $=1+15+2+4=\underline{\quad}$（分钟）。
第 2 步（并行准备）：切菜、切肉、备葱姜、备佐料共 $2+2+3+1=\underline{\quad}$ 分钟，可塞进烧水的 $15$ 分钟内。

24. 【原题 ch12-xingqu-02】理发店里同时来了 $A$、$B$、$C$ 三位顾客，$A$ 理发只需要 $7$ 分钟，$B$ 理光头需要 $10$ 分钟，$C$ 烫发需要 $40$ 分钟。请问：如何安排这三人的理发顺序才能使得他们三人所花的时间总和最短？这个最短的时间总和是多少？

详细思路

是哪类问题：排队等待·短作业优先

关键切入点：要让三人“在店里的时间总和”最短。用时短的人先理，他占用后面人等待的时间就少；用时长的排最后，只让它自己等一次。

方法概述：按服务时间从小到大排队，累加每人从开始到理完的时刻再求和。

规范步骤：

从小到大排队：$A(7),B(10),C(40)$（短作业优先）
各人完成时刻：$7,\ 7+10=17,\ 7+10+40=57$（累加）
求时间总和：$7+17+57=81$（求和）
写出答案：按 $A,B,C$，$81$ 分钟

第一套

题目：理发店同时来了三人：$A$ 修面 $9$ 分钟，$B$ 剪发 $12$ 分钟，$C$ 烫发 $45$ 分钟。如何排序使三人在店时间总和最短？最短是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（短作业优先排序）：$9,12,45$。
第 2 步（各人完成时刻）：$9$；$9+12=\underline{\quad}$；$9+12+45=\underline{\quad}$。
第 3 步（求总和）：$9+21+66=\underline{\quad}$。

第二套

题目：打印店同时来了三位顾客，打印各需 $7$、$10$、$40$ 分钟。怎样安排先后使三人排队总时间最短？最短是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（短作业优先）：按 $7,10,40$ 排。
第 2 步（各人完成时刻）：$7$；$7+10=\underline{\quad}$；$7+10+40=\underline{\quad}$。
第 3 步（求总和）：$7+17+57=\underline{\quad}$。

第三套

题目：四人同时来办理，用时分别 $3,5,8,10$ 分钟。求使在店时间总和最短的排法与最短总和。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（短作业优先）：$3,5,8,10$。
第 2 步（各人完成时刻）：$3$；$3+5=\underline{\quad}$；$3+5+8=\underline{\quad}$；$3+5+8+10=\underline{\quad}$。
第 3 步（求总和）：$3+8+16+26=\underline{\quad}$。

第三套

题目：三人用时 $7,10,40$ 分钟。求“在店时间总和”的最小值与最大值，并求两者相差多少。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（最短：短作业优先 $7,10,40$）：$7+17+57=\underline{\quad}$。
第 2 步（最长：长作业优先 $40,10,7$）：完成时刻 $40,50,57$，总和 $40+50+57=\underline{\quad}$。
第 3 步（相差）：$147-81=\underline{\quad}$。

25. 【原题 ch12-xingqu-03】一个水房有两个水龙头，一天早晨 $6:00$，有五个人同时需要用水龙头：甲刷牙，用 $5$ 分钟；乙洗脸，用 $2$ 分钟；丙洗头，用 $10$ 分钟；丁浇花，用 $1$ 分钟；戊洗衣服，用 $15$ 分钟。请问：如何合理安排，最快在早晨几点几分，这五个人都能用完水？

详细思路

是哪类问题：多服务台·最短完成时刻

关键切入点：两个龙头同时服务，最迟完成的时刻至少是“总时间的一半向上取整”；再构造一种把长活短活搭配开的分配，恰好达到这个下界即最优。

方法概述：先算总时间除以龙头数的下界，再构造可行分配验证下界能达到。

规范步骤：

总时间：$5+2+10+1+15=33$（求和）
两龙头理想平分，下界：$33\div2=16.5\Rightarrow\ge17$（下界）
构造达到 17 的分配：$5+10+1=16,\ 2+15=17$（搭配构造）
写出答案：最迟 $17$ 分，即 $6{:}17$

第一套

题目：两个水龙头，六人用水分别 $7,4,12,3,18,6$ 分钟。合理安排，最快多少分钟六人全部用完？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（总时间）：$7+4+12+3+18+6=\underline{\quad}$。
第 2 步（两龙头平分下界）：$50\div2=\underline{\quad}$。
第 3 步（构造达到下界的分配）：一个龙头 $18+7=\underline{\quad}$，另一个 $12+6+4+3=\underline{\quad}$。

第二套

题目：复印室有两台复印机，五份材料复印分别需 $5,2,10,1,15$ 分钟。合理安排，最快多少分钟全部印完？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（总时间）：$5+2+10+1+15=\underline{\quad}$。
第 2 步（两台平分下界）：$33\div2=16.5$，向上取整，最少 $\underline{\quad}$ 分钟。
第 3 步（构造）：一台 $5+10+1=\underline{\quad}$，另一台 $2+15=\underline{\quad}$。

第三套

题目：两个龙头，六人用水 $8,3,9,4,11,5$ 分钟。合理安排，最快多少分钟全部用完？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（总时间）：$8+3+9+4+11+5=\underline{\quad}$。
第 2 步（平分下界）：$40\div2=\underline{\quad}$。
第 3 步（构造达到下界）：一个龙头 $11+9=\underline{\quad}$，另一个 $8+5+4+3=\underline{\quad}$。

第三套

题目：改为三个水龙头，五人用水 $5,2,10,1,15$ 分钟。合理安排，最快多少分钟全部用完？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（总时间）：$5+2+10+1+15=\underline{\quad}$。
第 2 步（三龙头理想平分）：$33\div3=\underline{\quad}$。
第 3 步（单件瓶颈）：最长一项 $15$ 分，比平分值还大，故完成时刻至少 $15$ 分；构造 $\{15\}$、$10+1=\underline{\quad}$、$5+2=\underline{\quad}$，最长恰为 $15$。

26. 【原题 ch12-xingqu-04】西点店里卖的面包都是 $5$ 个一袋或者 $3$ 个一袋，不拆开零售。已知 $5$ 个一袋的售价是 $8$ 元，$3$ 个的售价是 $5$ 元。要给 $47$ 位同学每人发 $1$ 个面包最少要花多少钱？

详细思路

是哪类问题：整数搭配·最优购买

关键切入点：先比较两种包装“每个面包”的均价，谁便宜就多买谁；再调整两种包装的数量，凑到恰好 47 个且总价最低。

方法概述：比较单个均价、优先均价低的包装，再凑足所需个数取最省方案。

规范步骤：

比较单个均价：$8\div5=1.6<5\div3\approx1.67$（单价比较）
凑足 47 个的最省搭配：$7\times5+4\times3=47$（整数凑数）
算总价：$7\times8+4\times5=76$（求和）
写出答案：$76$ 元

第一套

题目：面包 $5$ 个一袋售 $8$ 元、$3$ 个一袋售 $5$ 元，不拆零。要给 $94$ 位同学每人 $1$ 个，最少花多少钱？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（优先均价低的 $5$ 个袋）：用 $17$ 个 $5$ 袋 $+3$ 个 $3$ 袋凑数，$17\times5+3\times3=\underline{\quad}$（恰好 $94$ 个）。
第 2 步（算总价）：$17\times8+3\times5=\underline{\quad}$（元）。

第二套

题目：礼盒装糖果 $5$ 颗一盒 $8$ 元、$3$ 颗一盒 $5$ 元，不拆卖。给 $47$ 个小朋友每人 $1$ 颗，最少花多少钱？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（优先均价低的 $5$ 颗盒）：$7\times5+4\times3=\underline{\quad}$（恰好 $47$ 颗）。
第 2 步（算总价）：$7\times8+4\times5=\underline{\quad}$（元）。

第三套

题目：面包 $5$ 个一袋售 $9$ 元、$3$ 个一袋售 $5$ 元。要给 $47$ 位同学每人 $1$ 个，最少花多少钱？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（比较均价）：$9\div5=1.8$ 元 $>5\div3\approx1.67$ 元，这回应优先买 $3$ 个袋。
第 2 步（凑数）：$14$ 个 $3$ 袋 $+1$ 个 $5$ 袋，$14\times3+1\times5=\underline{\quad}$（恰好 $47$ 个）。
第 3 步（算总价）：$14\times5+1\times9=\underline{\quad}$（元）。

第三套

题目：面包 $5$ 个一袋 $8$ 元、$3$ 个一袋 $5$ 元。给 $94$ 位同学每人 $1$ 个：求最省花费，并求它比“全买 $3$ 个袋”省了多少元。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（最省方案）：$17$ 个 $5$ 袋 $+3$ 个 $3$ 袋，$17\times8+3\times5=\underline{\quad}$（元）。
第 2 步（全买 $3$ 个袋需 $32$ 袋才够 $94$ 个）：$32\times5=\underline{\quad}$（元）。
第 3 步（节省）：$160-151=\underline{\quad}$（元）。

27. 【原题 ch12-xingqu-05】如图 $12-1$ 所示，一条环形公路上有 $A$、$B$、$C$、$D$ 四个仓库。$A$ 仓库存盐 $40$ 吨，$B$ 仓库存盐 $5$ 吨，$C$ 仓库存盐 $35$ 吨，$D$ 仓库没有盐。现在要调整存放数量，计划 $A$、$B$、$C$、$D$ 每个仓库各存盐 $20$ 吨。已知每吨盐运 $1$ 千米需要运费 $2$ 元。试问：为完成上述调运计划，最少需要多少元运费？（图 $12-1$ 中公路旁的数字表示相邻仓库间的里程数，单位为千米）

详细思路

是哪类问题：环形调运·就近运输

关键切入点：先算各仓库相对目标 $20$ 吨的盈亏：$A$ 多 $20$ 吨、$C$ 多 $15$ 吨、$B$ 缺 $15$、$D$ 缺 $20$。沿环线把多余的盐就近运给最近的缺口，使“吨·千米”最小。

方法概述：算盈亏后沿环线就近调运，运费 = 吨数 × 千米 × 单价之和。

规范步骤：

各仓盈亏：$A:40-20=20,\ C:35-20=15$（盈亏）
就近运输(各 10 千米)：$A\to D$ 运 20 吨，$C\to B$ 运 15 吨（就近）
运费：$20\times10\times2+15\times10\times2=700$（吨·千米·单价）
写出答案：$700$ 元

28. 【原题 ch12-xingqu-06】$2008$ 个小方格被排成一行，甲、乙两人轮流在空格内放棋子，每人每次放一枚。规定：每个空格只能放一枚棋子，当甲放好一枚棋子后，乙必须在与甲所放棋子相邻的空格内放一枚棋子，否则乙就要被罚。如果乙一开始在左边第一个方格内放了一枚棋子，那么谁有必胜策略？

详细思路

是哪类问题：博弈·配对(格子两两配对)

关键切入点：乙在最左格放子后，甲放子使局面成“乙甲甲乙…”。之后乙被迫贴着甲放，形成“乙乙甲甲”的重复块；把 $2008$ 格去掉最左 $4$ 格后按 $4$ 格一组配对，甲总能应对，最终乙先无处可放。

方法概述：把格子分块配对，先手按配对位置应对，使后手先无路可走。

规范步骤：

开局造型：乙甲甲乙…（配对开局）
分块：去掉最左 4 格，余 $2008-4=2004$ 格按 4 格配对（配对）
结论：最后剩 4 格，甲放后乙无法再放（必胜）
写出答案：甲必胜

29. 【原题 ch12-xingqu-07】有 $9$ 根火柴，甲、乙两人轮流取，规定每次可取 $1$ 根或者 $2$ 根，以取走最后一根火柴者为胜者。试问：如果甲先取，有必胜的策略吗？

详细思路

是哪类问题：巴什博弈·凑整控制剩余

关键切入点：每轮两人合起来最多能取 1+2=3 根，所以谁能让对方面对“3 的倍数”根，谁就掌控局面；把剩余不断压到 3 的倍数即可。

方法概述：让对手总面对 3 的倍数根：$9=3\times3$ 已是 3 的倍数，故先取的甲反而必败、后手乙必胜。

规范步骤：

每轮两人合取上限：$1+2=3$（凑整数）
判断 9 是否 3 的倍数：$9=3\times3$（余数判断）
后手补成 3 的策略：剩余 $9\to6\to3\to0$，乙取末根（对称补齐）
写出答案：乙必胜

第一套

题目：有 $21$ 根火柴，甲、乙轮流取，每次取 $1$ 或 $2$ 根，取走最后一根者胜。甲先取，谁有必胜策略？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（每轮合取上限）：$1+2=\underline{\quad}$。
第 2 步（判断余数）：$21\div3=\underline{\quad}$ 余 $0$，$21$ 是 $3$ 的倍数。
第 3 步（结论）：谁面对 $3$ 的倍数谁必败，故先取的甲必败、后手乙必胜。

第二套

题目：桌上有 $9$ 块巧克力，甲、乙轮流拿，每次拿 $1$ 或 $2$ 块，拿到最后一块者胜。甲先拿，谁有必胜策略？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（每轮合取上限）：$1+2=\underline{\quad}$。
第 2 步（判断余数）：$9=3\times\underline{\quad}$，是 $3$ 的倍数。
第 3 步（结论）：先拿的甲面对 $3$ 的倍数必败，后手乙必胜。

第三套

题目：有 $10$ 根火柴，每次取 $1$ 或 $2$ 根，取走最后一根者胜。甲先取，谁必胜？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（每轮合取上限）：$1+2=\underline{\quad}$。
第 2 步（求余数）：$10-3\times3=\underline{\quad}$，即 $10$ 除以 $3$ 余 $1$。
第 3 步（先手策略）：甲先取这 $1$ 根，使剩 $10-1=\underline{\quad}$ 为 $3$ 的倍数丢给乙，之后每轮把合取补成 $3$，甲必胜。

第三套

题目：有 $24$ 根火柴，甲、乙轮流取，每次取 $1$、$2$ 或 $3$ 根，取走最后一根者胜。甲先取，谁必胜？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（每轮合取上限）：$1+3=\underline{\quad}$。
第 2 步（判断余数）：$24\div4=\underline{\quad}$ 余 $0$，$24$ 是 $4$ 的倍数。
第 3 步（结论）：关键改为 $4$ 的倍数；先取的甲面对 $4$ 的倍数必败，后手乙必胜。

30. 【原题 ch12-xingqu-08】有 $100$ 根火柴，甲、乙两人轮流取，规定每次可取 $1$ 根、$2$ 根、$3$ 根或 $4$ 根火柴，谁取到最后一根火柴谁就输。若甲先取，谁有必胜的策略？

详细思路

是哪类问题：巴什博弈·取末者输

关键切入点：取到最后一根者输，等于说想取到第 99 根、把第 100 根让给对方。每轮两人合取最多 1+4=5，故要把剩余压到“除以 5 余 1”交给对手，最后剩 1 根给对手取。

方法概述：先手先取 4 根变 96，再每轮与对手合取 5，使剩余 96→…→1，把最后一根留给乙。

规范步骤：

每轮两人合取上限：$1+4=5$（凑整数）
先手先取 4 根：$100-4=96$（制造余数）
余数控制：$96=5\times19+1$，最后剩 1 根给乙（凑 5 控制剩余）
写出答案：甲必胜

第一套

题目：有 $200$ 根火柴，甲、乙轮流取，每次取 $1\sim4$ 根，取到最后一根者输。甲先取，谁必胜？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（每轮合取上限）：$1+4=\underline{\quad}$。
第 2 步（先手制造余数）：甲先取 $4$ 根，剩 $200-4=\underline{\quad}$。
第 3 步（余数控制）：$196=5\times39+\underline{\quad}$，最后剩 $1$ 根给乙取，甲必胜。

第二套

题目：一摞 $100$ 张卡片，甲、乙轮流抽，每次抽 $1\sim4$ 张，抽到最后一张者输。甲先抽，谁必胜？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（每轮合抽上限）：$1+4=\underline{\quad}$。
第 2 步（先手制造余数）：甲先抽 $4$ 张，剩 $100-4=\underline{\quad}$。
第 3 步（余数控制）：$96=5\times19+\underline{\quad}$，最后剩 $1$ 张给乙，甲必胜。

第三套

题目：有 $100$ 根火柴，每次取 $1\sim3$ 根，取到最后一根者输。甲先取，谁必胜？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（每轮合取上限）：$1+3=\underline{\quad}$。
第 2 步（先手制造余数）：甲先取 $3$ 根，剩 $100-3=\underline{\quad}$。
第 3 步（余数控制）：$97=4\times24+\underline{\quad}$，最后剩 $1$ 根给乙，甲必胜。

第三套

题目：有 $100$ 根火柴，每次取 $1\sim4$ 根。规则一：取到最后一根者胜；规则二：取到最后一根者输。甲先取，两种规则各是谁必胜？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（每轮合取上限）：$1+4=\underline{\quad}$。
第 2 步（规则一·取末者胜）：$100\div5=\underline{\quad}$ 余 $0$，$100$ 是 $5$ 的倍数，先取的甲必败，后手乙胜。
第 3 步（规则二·取末者输）：甲先取 $4$ 根剩 $100-4=\underline{\quad}$，$96=5\times19+1$，最后剩 $1$ 根给乙，甲胜。

31. 【原题 ch12-xingqu-09】如图 $12-2$ 方格 $A$ 中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或向右上方沿 $45^\circ$ 角走 $1$ 步，最终将棋子走到方格 $B$ 的人获胜。请问：谁有必胜策略，策略是什么？

详细思路

是哪类问题：棋盘博弈·倒推控制点

关键切入点：从终点 $B$ 倒推：能一步到 $B$ 的格子是必败点（谁站这里对方就赢），由必败点反推可达它们的格子为必胜点。逐格标注后 $A$ 恰是必胜点。

方法概述：从终点倒推标必胜/必败点，先手抢占控制点并保持。

规范步骤：

定必败点：能一步到 $B$ 的格子标 ×（倒推）
定必胜点：能走到 × 的格子标 √（倒推）
结论：$A$ 为必胜点，甲先手抢控制点（必胜）
写出答案：甲必胜

32. 【原题 ch12-xingqu-10】甲、乙两人轮流往一个圆桌面上放同样大小的硬币，规则是：每人每次放一枚，硬币不许叠重，谁放完后使得对方无处再放，谁就获胜。请问：先放者有必胜策略吗？

详细思路

是哪类问题：博弈·中心对称策略

关键切入点：甲先把硬币放在圆桌正中心，之后乙放哪里，甲就放在关于圆心对称的位置。圆桌中心对称，乙能放的对称位置一定也空且放得下，故甲总能跟放，乙先无处可放。

方法概述：先手占中心，之后对后手每步取中心对称位置应对。

规范步骤：

占中心：甲第一枚放圆心（对称中心）
对称应对：乙放某处，甲放其中心对称处（中心对称）
结论：乙先无处可放（必胜）
写出答案：先放者(甲)必胜

竞赛数学 · 四年级第12讲《统筹与对策》举一反三练习卷

附录 · 答案

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