竞赛数学 · 四年级 第15讲《复杂竖式》举一反三练习卷

详细解题思路 + 规范步骤 + 三套填空变式（换数字 / 换场景 / 增加知识点）· 答案见文末附录
1. 【原题 ch15-chaoyue-01】在图15-26的加法竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字。这个算式的结果是多少？竖式为 $\overline{ABCDE}+\overline{FGHI}=\overline{CJGBGA}$（见图15-26）。
详细思路
是哪类问题：加法字母竖式还原
关键切入点：五位数+四位数=六位数，和首位 $C=1$；从个位带进位逐位还原，和 $\overline{CJGBGA}$ 唯一确定。
方法概述：由位数定首位 $C=1$，再从个位逐位带进位还原。
规范步骤：
  1. 位数定 $C=1$：首位分析（位数分析）
  2. 逐位带进位还原：$94153+8276=102429$（进位分析）
  3. 写出和：$\overline{CJGBGA}=102429$（验算）
2. 【原题 ch15-chaoyue-02】在图15-27的加法竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字。请问：“$MONEY$”所代表的五位数最大是多少？竖式为 $\overline{SHOW}+\overline{ME}+\overline{THE}=\overline{MONEY}$（见图15-27）。
详细思路
是哪类问题：加法字母竖式（最值）
关键切入点：四位数+两位数+三位数=五位数，首位 $M=1$ 只能由进位得到故 $O=0$；为使和最大，从高位向低位贪心取大并验证。
方法概述：由位数定 $M=1,O=0$，再从高位向低位贪心取大并验证。
规范步骤：
  1. 定 $M=1,O=0$：位数分析（位数分析）
  2. 从高位贪心取大：逐位验证进位（贪心+进位）
  3. 求最大：$\overline{MONEY}=10376$（最值）
3. 【原题 ch15-chaoyue-03】在图15-28的乘法竖式中，$A,B,C,D,E$ 分别代表不同的数字，且 $A+B+C=E$。请问：“$\overline{ADDE}$”所代表的四位数是多少？竖式为 $\overline{ABC}\times E=\overline{ADDE}$（见图15-28）。
详细思路
是哪类问题：乘法字母竖式还原（带条件）
关键切入点：三位数×一位数=四位数，被乘数与积首位同为 $A$；由 $C\times E$ 末位为 $E$、$A+B+C=E$ 及各字母互不相同唯一还原。
方法概述：由位数与末位分析，结合条件 $A+B+C=E$ 逐位还原。
规范步骤：
  1. 首位同为 $A$、末位 $C\times E$ 得 $E$：末位分析（末位分析）
  2. 用 $A+B+C=E$ 定 $A=2,B=5,C=1,D=0,E=8$：$2+5+1=8$（条件方程）
  3. 写出：$251\times8=2008$（验算）
4. 【原题 ch15-chaoyue-04】请把图15-29中的除法竖式补充完整。竖式为 $\overline{\square\square}\,)\,\overline{\square 0\square\square\square\square}$，商为 $\overline{\square 7\square\square 3}$（含已知数字 $7,3$），中间各行含 $\square 4\square$、$\square\square 4$ 等，余数为 $0$。
详细思路
是哪类问题：除法竖式填数（多锚点逐位倒推）
关键切入点：有三处锚点：商里已知的 $7$ 和 $3$、被除数里出现的 $0$、以及某减法行里的 $4$。用商已知位乘两位除数得到位数与末位都确定的部分积，反推除数范围；再用被除数的 $0$ 位与减法行的 $4$ 卡住相邻列的借位，从高位往低位把除数与其余商位挤出来。
方法概述：以商中 7、3 与被除数的 0、减法行的 4 为多个锚点，用部分积位数/末位与借位从高位逐位倒推。
规范步骤：
  1. 商已知位 $7,3$ 乘两位除数，部分积位数与末位反推除数范围：缩小除数与相邻商位（部分积分析）
  2. 被除数的 $0$ 位与减法行的 $4$ 卡住借位，联立相邻两列：逐位倒推其余各位（借位分析）
  3. 落数相减到余数为 0 校验：余数 $0$（试商分析）
5. 【原题 ch15-chaoyue-05】在图15-30的竖式中，“奇”代表奇数，“偶”代表偶数，请把竖式补充完整。竖式为除法 $\overline{奇奇 6}\,)\,\overline{偶偶奇奇偶}$，商为 $\overline{奇奇偶}$，中间各行为 $\overline{偶奇偶}$、$\overline{奇奇奇}$、$\overline{奇偶偶}$、$\overline{偶奇偶}$、$\overline{偶奇偶}$，余数为 $0$（见图15-30）。
详细思路
是哪类问题：除法竖式（奇偶还原）
关键切入点：把奇偶模式落到关键一行：一个“奇十位、偶个位”的两位数乘商的某个奇数位，要得到形如 $\overline{9偶}$ 的两位积，满足奇偶限制的只有 $12\times8=96,\ 14\times7=98,\ 16\times6=96$ 三种候选；再用整张竖式其余各行的奇偶模式把候选逐一排除，锁定每一位。
方法概述：先在关键一行用奇偶限制把两位×一位的候选缩到 12×8、14×7、16×6，再用全局奇偶模式排除、逐位补全。
规范步骤：
  1. 某行“奇偶”两位数 $\times$ 商奇数位 $=\overline{9偶}$，满足奇偶的候选：$12\times8=96,\ 14\times7=98,\ 16\times6=96$（奇偶分析）
  2. 用其余各行的奇偶模式逐一排除候选、确定各位：逐位锁定（分类讨论）
6. 【原题 ch15-chaoyue-06】在图15-31中的 $\square$ 内填入适当的数字，使下面的小数除法竖式成立。竖式为 $\overline{\square\square}\,)\,\overline{\square\square\square}$ 形式的小数除法，商为 $\square.\square\square\square$，中间多行含 $\square$，余数为 $0$（见图15-31）。
详细思路
是哪类问题：小数除法竖式填数
关键切入点：从最高位试商，结合每步余数小于除数、商的小数位等约束逐位还原，得除数 $16$、商 $6.375$。
方法概述：逐位试商并验证余数约束，定出除数 16、商 6.375。
规范步骤：
  1. 逐位试商并验证余数：除数 $=16$（试商分析）
  2. 求被除数：$16\times6.375=102$（小数点处理）
7. 【原题 ch15-chaoyue-07】电子数字 $0\sim 9$ 如图15-32所示，图15-33是由电子数字组成的乘法算式，但有一些已经模糊不清，请将图15-33中的电子数字恢复，并将它写成横式。
详细思路
是哪类问题：电子数字（七段码）乘法还原
关键切入点：先由七段显示的形状确定每个模糊格的候选数字，再用乘法竖式的部分积、进位与位数约束排除得唯一解。
方法概述：先由七段形状定候选数字，再用乘法关系排除得唯一解。
规范步骤：
  1. 由七段形状列候选：逐格候选（七段码识别）
  2. 用乘法关系排除：$122\times25=3050$（枚举排除）
8. 【原题 ch15-chaoyue-08】请将图15-34中的除法竖式补充完整。竖式为 $\overline{\square\square\square\square 7\square}\,)\,\overline{\square\square 7\square\square\square\square\square\square}$，商为 $\overline{\square\square 7\square\square}$（多处已知数字为 $7$），中间多行含 $\square$ 与若干 $7$，余数为 $0$（见图15-34）。
详细思路
是哪类问题：多位数除法竖式填数（以多处 7 为锚）
关键切入点：整张竖式里多处出现 $7$（除数、被除数、商、以及若干减法行）。每个已知的 $7$ 都给出一条硬约束：作为商位时，$7\times$ 除数的部分积位数与末位被钉死；作为减法行数字时，它连同借位卡住被减数对应位。以这些 $7$ 为锚点，从最高位起把相邻的未知位一格格挤出来。
方法概述：把每个已知的 7 当锚点：作商位定部分积、作减法行数字定借位，从最高位逐位向下挤出各数位。
规范步骤：
  1. 已知 $7$ 作商位：$7\times$ 除数的部分积位数与末位被钉死：缩小除数与相邻位（末位分析）
  2. 已知 $7$ 作减法行数字：连同借位卡住被减数对应位：逐列联立（借位分析）
  3. 从最高位逐位向下补全，落数相减到余数为 0：余数 $0$（试商分析）
9. 【原题 ch15-tuozhan-01】在图15-12中的字母竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字。已知个位向十位的进位为 $2$，且 $E$ 是奇数，$A,B,C,D$ 分别代表什么数字？竖式为 $\overline{ADBA}+\overline{DCA}+\overline{EBA}=\overline{CECE}$（见图15-12）。
详细思路
是哪类问题：加法字母竖式还原（进位+奇偶）
关键切入点：个位三个 $A$ 相加向十位进 $2$，则 $3A\in[20,29]$；又 $E$（末位）为奇数，故 $3A=21$，$A=7,E=1$。
方法概述：由给定进位与奇偶条件逐位约束求字母。
规范步骤：
  1. $3A$ 进 $2$ 且末位奇：$3A=21,\ A=7,\ E=1$（进位+奇偶分析）
  2. 逐位定 $B=9,D=4,C=8$：逐位还原（进位分析）
  3. 写出：$7497+487+197=8181$（验算）
10. 【原题 ch15-tuozhan-02】在图15-13中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，请给出两种使竖式成立的填法。竖式为 $\overline{FORTY}+\overline{FIFTEEN}+\overline{FIFTEEN}=\overline{SEVENTY}$（见图15-13）。
详细思路
是哪类问题：加法字母竖式还原（多解）
关键切入点：个位 $T+N+N$ 末位为 $T$ 得 $2N$ 末位 $0$，配合十位定 $N=0,E=5$，再分 $F=3,4$ 两种情况。
方法概述：由个位、十位末位定 $N,E$，再按进位分两种情况求其余字母。
规范步骤：
  1. $2N$ 末位 0、十位定 $N=0,E=5$：末位分析（末位分析）
  2. 分 $F=3$：$37984+3238550+3238550=6515084$（分类讨论）
  3. 分 $F=4$：$41967+4246550+4246550=8535067$（分类讨论）
11. 【原题 ch15-tuozhan-03】在图15-14所示的乘法竖式中，每个 $\square$ 和字母都代表一个数字，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字。请问：$A,B,C,D$ 各代表什么数字？竖式为 $\overline{AB}\times\overline{CD}$，部分积为 $1\square\square$ 与 $1\square D$，最终积为 $\overline{\square\square D8}$（见图15-14）。
详细思路
是哪类问题：乘法字母竖式还原（多解）
关键切入点：两行部分积都是三位数（首位 $1$），加上积个位为 $8$、十位含 $D$，枚举得两组解。
方法概述：由两部分积均为三位数缩小范围，再按末位枚举两组解。
规范步骤：
  1. 两部分积均为三位数：缩小范围（部分积位数分析）
  2. 枚举得两解：$54\times32=1728$ 或 $18\times76=1368$（枚举）
12. 【原题 ch15-tuozhan-04】在图15-15中的 $\square$ 内填入恰当的数字，可以得到一个正确的乘法竖式，已知这样的填法有两种，请问这两种填法所得到的两个不同的乘积相差多少？竖式为 $\overline{\square\square 5}\times\overline{4\square}$，部分积为 $3\square\square$ 与 $\square 2\square\square$，最终积为 $1\square\square\square\square$（见图15-15）。
详细思路
是哪类问题：乘法竖式填数（多解求差）
关键切入点：积首位 $1$、乘数十位 $4$ 与第一乘数之积首位只能是 $1$，故四位部分积为 $12\square\square$，第一乘数 $=12\square\square\div4$ 首位为 $3$。
方法概述：由部分积首位定第一乘数范围，讨论两组解再求差。
规范步骤：
  1. 定第一乘数首位为 3：$305$ 或 $315$（部分积首位分析）
  2. 两解：$305\times41=12505,\ 315\times41=12915$（分类讨论）
  3. 求差：$12915-12505=410$（求差）
第一套
题目：乘法竖式 $4\square5\times61$：个位部分积为 $4\square5$，十位部分积为 $24\square0$，积为五位数 $2\square\square\square\square$。这样的填法有两种，两个乘积相差多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第一种填法，十位填 0）：$405\times61=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（第二种填法，十位填 1）：$415\times61=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求差）：$25315-24705=\underline{\quad}$。
第二套
题目：工人核对一张乘法竖式底稿 $\square\square5\times41$：个位部分积为 $3\square\square$，十位部分积为 $\square2\square\square$，积为 $1\square\square\square\square$。底稿有两种可能的填法，两个乘积相差多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第一种填法）：$305\times41=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（第二种填法）：$315\times41=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求差）：$12915-12505=\underline{\quad}$。
第三套
题目：乘法竖式 $6\square5\times41$：个位部分积为 $6\square5$，十位部分积为 $24\square0$，积为五位数 $2\square\square\square\square$。这样的填法有两种，两个乘积相差多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第一种填法）：$605\times41=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（第二种填法）：$615\times41=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求差）：$25215-24805=\underline{\quad}$。
第三套
题目：乘法竖式 $8\square5\times61$：个位部分积为 $8\square5$，十位部分积为 $48\square0$，积为五位数 $4\square\square\square\square$。这样的填法有两种，求两个乘积的和。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（第一种填法）：$805\times61=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（第二种填法）：$815\times61=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求和）：$49105+49715=\underline{\quad}$。
13. 【原题 ch15-tuozhan-05】在图15-16所示的乘法竖式中，每个 $\square$ 和汉字都代表一个数字，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。请问：这个乘法竖式最后的乘积是多少？竖式为 $\overline{\square恭\square}\times\overline{1贺\square}$，部分积含“$9$新$\square$”“$\square\square 9$年”“$\square\square 8$”，积为“$\square\square$年$\square\square$”（见图15-16，“恭贺新年”各代表数字）。
详细思路
是哪类问题：乘法汉字竖式还原（末位+奇偶）
关键切入点：由部分积“$\square\square8$”推第一乘数个位为 $8$，“年”是 $8$ 与“贺”之积末位故为偶数，逐位还原。
方法概述：由部分积末位 8 推第一乘数个位，再逐位确定各汉字。
规范步骤：
  1. 部分积末位 8 定第一乘数个位为 8：末位分析（末位分析）
  2. “年”为偶数等逐位还原：逐位确定各汉字（奇偶分析）
14. 【原题 ch15-tuozhan-06】在图15-17所示的乘法竖式中，其中的每个 $\square$ 和汉字都代表一个数字，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。试问：当算式成立时，“巴西法国争夺冠军”所代表的八位数是多少？竖式为 $\overline{巴西法国}\times\overline{巴西法国}$，部分积含“$\square\square\square\square$国”“争夺$\square\square$”“$\square\square\square$法”，积为“$\square$冠军$\square\square\square\square$”（见图15-17）。
详细思路
是哪类问题：乘法汉字竖式还原
关键切入点：第一乘数与“法”相乘部分积为 $0$（被省略）立即得“法”$=0$，再由各位乘积与进位逐位还原八位数。
方法概述：先由“法”相乘得 0 定“法=0”，再逐位还原。
规范步骤：
  1. “法”相乘部分积为 0：“法”$=0$（末位分析）
  2. 逐位还原（$\overline{巴西法国}=2405$）：$2405\times2405=5784025$（进位分析）
  3. 拼出八位数：$24059678$（验算）
15. 【原题 ch15-tuozhan-07】如图15-18，请把这个乘法竖式补充完整。竖式为 $\overline{\square\square\square}\times\overline{3\square 2}$，部分积含“$\square 9\square$”“$4\square 5\square$”“$\square\square\square 5$”，最终积为 $\overline{\square\square\square\square\square\square}$。
详细思路
是哪类问题：乘法竖式填数
关键切入点：由三部分积已知位（$\square9\square,4\square5\square,\square\square\square5$）与位数关系逐步还原两因数。
方法概述：由部分积已知位与位数关系逐位补全竖式。
规范步骤：
  1. 由部分积已知位还原：$495\times392$（部分积分析）
  2. 三部分积：$495\times2=990,\ 495\times9=4455,\ 495\times3=1485$（验算部分积）
  3. 积：$495\times392=194040$（验算）
第一套
题目：乘法竖式 $6\square7\times3\square4$：个位部分积为 $26\square8$，十位部分积为 $5\square56$，百位部分积为 $1\square71$，积为 $2\square2\square88$。求乘积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（个位 $4$ 乘 $657$）：$657\times4=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（十位 $8$ 乘 $657$）：$657\times8=\underline{\quad}$，写在十位相当于 $52560$。
  3. 第 3 步（百位 $3$ 乘 $657$）：$657\times3=\underline{\quad}$，写在百位相当于 $197100$。
  4. 第 4 步（三部分积相加）：$2628+52560+197100=\underline{\quad}$。
第二套
题目：工程师验算图纸上的乘法 $4\square5\times3\square2$：个位部分积为 $\square9\square$，十位部分积为 $4\square5\square$，百位部分积为 $\square\square\square5$。请把积算出来。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（个位 $2$ 乘 $495$）：$495\times2=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（十位 $9$ 乘 $495$）：$495\times9=\underline{\quad}$，写在十位相当于 $44550$。
  3. 第 3 步（百位 $3$ 乘 $495$）：$495\times3=\underline{\quad}$，写在百位相当于 $148500$。
  4. 第 4 步（三部分积相加）：$990+44550+148500=\underline{\quad}$。
第三套
题目：乘法竖式 $5\square6\times3\square4$：个位部分积为 $2064$，百位部分积为 $1548$（乘数十位为 $0$、该行省略），积为 $15\square86\square$。求乘积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（个位 $4$ 乘 $516$）：$516\times4=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（百位 $3$ 乘 $516$）：$516\times3=\underline{\quad}$，写在百位相当于 $154800$。
  3. 第 3 步（相加得积）：$2064+154800=\underline{\quad}$。
第三套
题目：乘法竖式 $8\square7\times2\square3$：个位部分积为 $254\square$，十位部分积为 $847$，百位部分积为 $169\square$，积为 $1\square0411$。求乘积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（个位 $3$ 乘 $847$）：$847\times3=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（十位 $1$ 乘 $847$）：$847\times1=\underline{\quad}$，写在十位相当于 $8470$。
  3. 第 3 步（百位 $2$ 乘 $847$）：$847\times2=\underline{\quad}$，写在百位相当于 $169400$。
  4. 第 4 步（三部分积相加）：$2541+8470+169400=\underline{\quad}$。
16. 【原题 ch15-tuozhan-08】如图15-19，请把这个乘法竖式补充完整。竖式为 $\overline{\square\square\square\square}\times\overline{\square\square}$，四个部分积末位依次为 $1,9,9,9$，最终积为 $\overline{\square\square\square\square 9991}$。
详细思路
是哪类问题：乘法竖式填数（末位逐位倒推）
关键切入点：突破口是积的末位 $1$：它等于被乘数个位与乘数个位之积的末位，末位为 $1$ 的一位数配对只有 $1\times1,\ 3\times7,\ 7\times3,\ 9\times9$；再用四个部分积各自的末位 $1,9,9,9$ 分别锁定被乘数个位与乘数每一位相乘的末位，配合进位从个位往高位逐位定数。
方法概述：由积个位 1 的一位数配对定被乘数与乘数个位，再用各部分积末位 1,9,9,9 结合进位从个位逐位倒推。
规范步骤：
  1. 积个位 $1$：被乘数个位 $\times$ 乘数个位 末位为 $1$：配对只有 $1\times1,3\times7,7\times3,9\times9$（末位分析）
  2. 四个部分积末位 $1,9,9,9$ 各定一位相乘的末位：逐位锁定被乘数个位与乘数各位（末位分析）
  3. 配合进位从个位往高位补全，校验积末四位：积末四位 $=9991$（进位分析）
17. 【原题 ch15-tuozhan-09】请把图15-20中的除法竖式补充完整。竖式为 $\overline{\square 2}\,)\,\overline{\square\square\square\square}$，商为 $\overline{\square\square\square}$，中间各行含 $\square 2$、$\square 4\square$、$\square\square 2$、$\square 9\square$，余数为 $0$。
详细思路
是哪类问题：除法竖式填数（末位+借位逐位还原）
关键切入点：除数末位是 $2$，所以每一位商与除数的乘积末位只能是“商该位 $\times2$”的末位（必为偶数），这把每一行部分积的个位钉死；再用减法行里已知的 $2,4,9$ 反推被减数对应位，借位关系又把相邻两列串联起来。
方法概述：先用除数末位 2 定各部分积个位（必为偶），再用减法行已知的 2,4,9 反推被减数各位，借位串联从高位到低位补全。
规范步骤：
  1. 除数末位 $2$：每步部分积个位 $=$ 商该位 $\times2$ 的末位（偶数）：钉死每行部分积个位（末位分析）
  2. 减法行已知 $2,4,9$ 反推被减数对应位，用借位联立相邻列：逐列确定商与被除数各位（借位分析）
  3. 各行落数、相减到余数为 0 自洽：余数 $0$（试商分析）
18. 【原题 ch15-tuozhan-10】请把图15-21中的除法竖式补充完整，其中被除数是多少？（注意其中有小数点。）竖式为小数除法 $\overline{\square\square\square}\,)\,\overline{\square\square\square.\square\square}$，商为 $\square.\square 1$，中间各行含 $234$、$351$，余数为 $0$。
详细思路
是哪类问题：小数除法竖式填数
关键切入点：由减法行 $234,351$ 与商形式 $\square.\square1$，利用每步部分积末位相符逐位还原，注意小数点定位。
方法概述：由各减法行已知数字逐步还原，注意小数点定位。
规范步骤：
  1. 由减法行与商形式还原：逐位还原（试商分析）
  2. 定小数点：被除数 $=270.27$（小数点处理）
19. 【原题 ch15-tuozhan-11】在图15-22所示的除法竖式中，在各个 $\square$ 里填入适当的数字后可使竖式成立。那么这 $15$ 个 $\square$ 中填入的数字最多能有多少个是偶数？竖式为 $6\,)\,\overline{4\square\square\square}$ 一类（除数为 $6$，被除数首位为 $4$），中间各行含若干 $\square$，余数为 $0$。
详细思路
是哪类问题：除法竖式奇偶计数
关键切入点：除数为 $6$、被除数首位 $4$，逐位分析每个 $\square$ 处能否填偶数，构造偶数最多的填法。
方法概述：逐位分析每个方格可否取偶数，构造偶数最多的方案。
规范步骤：
  1. 逐位判断可否填偶数：构造最优填法（奇偶分析）
  2. 计数：最多 $12$ 个偶数（最值计数）
20. 【原题 ch15-tuozhan-12】在图15-23的除法竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，请问：被除数 $\overline{DEFGF}$ 是多少？竖式为 $\overline{AB}\,)\,\overline{DEFGF}$，中间各行含 $\overline{BH}$、$\overline{AAG}$、$\overline{AAH}$、$\overline{IF}$、$\overline{IF}$，余数为 $0$（见图15-23）。
详细思路
是哪类问题：除法字母竖式还原
关键切入点：两位除数除五位数、商三位数，由各次乘积 $C\times\overline{AB}=\overline{BH}$ 等的位数与首位逐字母确定。
方法概述：由各次乘积的位数与首位逐字母定数字。
规范步骤：
  1. 由乘积位数与首位定字母：$\overline{AB}=28,\ \overline{CBA}=382$（部分积首位分析）
  2. 被除数：$28\times382=10696$（验算）
21. 【原题 ch15-tuozhan-13】请把图15-24中的除法竖式补充完整。竖式为 $\overline{\square\square}\,)\,\overline{\square\square\square\square\square}$，商为 $\overline{4\square 5\square\square\square}$ 一类（含已知数字 $4,5$ 及 $5\square 1$ 等），中间多行含 $\square$，余数为 $0$。
详细思路
是哪类问题：除法竖式填数（已知商位驱动）
关键切入点：抓手是商里已知的 $4$ 和 $5$：这两位与除数相乘得到的部分积，其位数与末位可直接推断，从而反推除数的取值范围；再用各减法行已知数字与借位关系，把未知的商位、除数、被除数逐位夹逼出来。
方法概述：以商中已知的 4、5 乘除数得两行确定部分积、反推除数范围，再用减法行与借位逐位夹逼其余各位。
规范步骤：
  1. 商中已知位 $4,5$ 乘除数，部分积的位数与末位反推除数范围：缩小除数取值（部分积分析）
  2. 用各减法行已知数字与借位联立，逐位确定其余商位与被除数：逐位夹逼（借位分析）
  3. 落数相减到余数为 0 校验自洽：余数 $0$（试商分析）
22. 【原题 ch15-tuozhan-14】请在图15-25中的每个 $\square$ 内填入恰当的数字，使得除法竖式成立。竖式为 $\overline{\square\square\square}\,)\,\overline{\square\square\square\square\square\square\square\square}$，商为 $\overline{\square 7\square\square\square}$（商的第二位为 $7$），中间多行含 $\square$，余数为 $0$。
详细思路
是哪类问题：除法竖式填数（位数分析定商位）
关键切入点：三位数除数与商的每一位相乘，积要么是三位数、要么是四位数：观察每次部分积占几位（是否向前多占一格），就能判断对应商位是大还是小；再以已知的商第二位 $7$ 作锚点，从高位到低位把各商位与被除数逐位定出。
方法概述：用每次部分积的位数（三位/四位）判断对应商位大小，以商第二位 7 为锚点从高位逐位还原。
规范步骤：
  1. 三位除数 $\times$ 商某位：部分积是三位还是四位，判断该商位大小：由位数缩小每个商位范围（部分积位数分析）
  2. 以已知商第二位 $7$ 为锚点，配合减法行逐位确定其余商位与被除数：逐位还原（试商分析）
  3. 各行相减到余数为 0 自洽：余数 $0$（借位分析）
23. 【原题 ch15-xingqu-01】图15-1是一个字母竖式，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，请把竖式用数字表示出来。竖式为 $ACE+CDBC+CABE=DEECC$（见图15-1）。
详细思路
是哪类问题：加法字母竖式还原
关键切入点：个位 $E+C+E$ 的末位仍是 $C$，说明 $2E$ 的末位为 $0$，故 $E=0$ 或 $5$；结合逐位进位与“同数进位”定 $E=0$。
方法概述：从个位入手用“相同字母相加的末位”定 $E$，再逐位推进位还原全式。
规范步骤：
  1. 个位 $E+C+E$ 末位为 $C$，即 $2E$ 末位为 $0$：$E=0$ 或 $5$（末位分析）
  2. 逐位分析进位，定 $E=0,\ C=4,\ B=5$：$A=9,\ D=1$（进位分析）
  3. 写出竖式：$940+4154+4950=10044$（验算）
24. 【原题 ch15-xingqu-02】图15-2算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，这个算式的和是多少？算式为 $HORSE+HORSE=RABBIT$（见图15-2）。
详细思路
是哪类问题：加法字母竖式还原
关键切入点：两个相同五位数相加得六位数，进位最多为 $1$，故和的首位 $R=1$；再由百位 $B$ 为偶等条件逐位试算。
方法概述：由“五位数+五位数=六位数”定 $R=1$，再从个位逐位试算各字母。
规范步骤：
  1. 五位数+五位数=六位数，进位至多 $1$：$R=1$（位数分析）
  2. 由百位偶性等定 $B=2,\ O=6$：逐位试算（进位分析）
  3. 得竖式：$86145+86145=172290$（验算）
25. 【原题 ch15-xingqu-03】在图15-3中的各个 $\square$ 内填入恰当的数字后，可使算式成立，并且个位上的 $5$ 个数字从上向下看，恰好是图15-4中顺时针次序的连续 $5$ 个数字，十位上的 $5$ 个数字也有这样的性质。请问：竖式中计算的结果是多少？（图15-3 为两个四位数相加得一个三位数和的竖式，图15-4 为数字 $0\sim 9$ 按顺时针排列的圆环。）
详细思路
是哪类问题：条件约束加法竖式（连续数字之和）
关键切入点：关键性质：$0\sim9$ 顺时针圆环上任取连续 $5$ 个数字，其和只有 $10,15,20,25,30,35$ 六种（如 $6+7+8+9+0=30$、$3+4+5+6+7=25$），因此每一列 $5$ 个数字之和的末位只能是 $0$ 或 $5$，这个“末位受限”就是定位各列连续块的抓手。
方法概述：先算个位列 5 个数之和，用其末位定和的个位与向十位的进位；十位列同理；两列连续块连同进位合成结果。
规范步骤：
  1. 圆环连续 5 数之和只有六种取值：$\{10,15,20,25,30,35\}$，末位恒为 $0$ 或 $5$（连续数字之和）
  2. 个位列 5 数之和的末位定和的个位、并决定向十位进位：由末位 $0/5$ 逐列锁定连续块起点（末位分析）
  3. 十位列同理，连同进位合成：和 $=290$（进位分析）
26. 【原题 ch15-xingqu-04】请把 $1\sim 9$ 这 $9$ 个数字填在图15-5的 $\square$ 内（其中有 $3$ 个数字已填好），使得加法和乘法这两个算式都成立。图15-5 为乘法竖式 $\square 7\times\square$，部分积与最后的和均含 $\square$。
详细思路
是哪类问题：乘法竖式填数（$1\sim9$ 各一次）
关键切入点：两位数 $\square7\times\square$ 的末位由 $7\times\square$ 决定，枚举得十位只能填 $1$、$17\times4=68$。
方法概述：先由乘法末位与位数枚举定 $17\times4=68$，再把余下数字补全加法。
规范步骤：
  1. 乘法末位由 $7\times\square$ 定，枚举：$17\times4=68$（末位分析+枚举）
  2. 余下 $2,3,5,9$ 补加法：$68+25=93$（补全）
  3. 写出：$17\times4=68,\ 68+25=93$（验算）
27. 【原题 ch15-xingqu-05】图15-6是一个乘法竖式，请在其中的 $10$ 个 $\square$ 内分别填入 $0\sim 9$ 这 $10$ 个数字，使竖式成立。竖式为三位数乘三位数，部分积分别为 $3\square 08$、$\square 504$、$7\square 2$，最终积为 $\square 3248$。
详细思路
是哪类问题：乘法竖式填数（$0\sim9$ 各一次）
关键切入点：三个部分积 $3\square08,\square504,7\square2$ 与最终积 $\square3248$ 的首末位互相约束，且 $0\sim9$ 恰用一次。
方法概述：由三行部分积的首位与末位关系逐步约束，定出两因数。
规范步骤：
  1. 由部分积末位与首位约束：$\overline{abc}=376,\ \overline{xyz}=248$（部分积分析）
  2. 三部分积：$376\times8=3008,\ 376\times4=1504,\ 376\times2=752$（验算部分积）
  3. 最终积：$376\times248=93248$（$0\sim9$ 各一次）（验算）
28. 【原题 ch15-xingqu-06】如图15-7，在乘法竖式的每个 $\square$ 中填入一个数字，使其成为正确的竖式，那么所得的乘积应该是多少？竖式为 $\square 1\square\times\square\square$，部分积与积均含 $\square$，积的形式为 $\square\square 6\square$。
详细思路
是哪类问题：乘法竖式填数（位数分析+枚举缩范围）
关键切入点：第二个部分积（乘数十位 $\times$ 被乘数）只有三位且首位为 $1$，逼出乘数十位与被乘数首位都是 $1$，即被乘数为 $\overline{11\square}$；再由第一个部分积是四位数逼出乘数个位为 $9$（只有 $\overline{11\square}\times9\ge1000$）；最后被乘数只剩 $112\sim119$ 八种，由积的已知数位锁定为 $116$。
方法概述：先用“第二部分积三位、首位 1”定乘数十位=被乘数首位=1，再用“第一部分积四位”定乘数个位=9，最后用积的已知位在 112~119 中锁定被乘数。
规范步骤：
  1. 第二部分积 $=$ 被乘数 $\times$ 乘数十位，是三位数且首位 $1$：乘数十位 $=1$，被乘数 $=\overline{11\square}$（部分积位数分析）
  2. 第一部分积 $=$ 被乘数 $\times$ 乘数个位 是四位数，$\overline{11\square}\times$ 个位 $\ge1000$：个位 $=9$（$116\times9=1044$）（部分积位数分析）
  3. 被乘数只剩 $112\sim119$，由积的已知数位锁定：被乘数 $=116$，乘数 $=19$（枚举+已知位）
  4. 两部分积相加得积：$1044+1160=2204$（验算）
29. 【原题 ch15-xingqu-07】如图15-8，在乘法竖式的每个 $\square$ 中填入一个数字，使其成为正确的竖式，那么所得的乘积应该是多少？竖式为 $\square\square 5\times\square\square$，第一部分积为 $1\square\square\square$，最终积为 $1\square\square 05$。
详细思路
是哪类问题：乘法竖式填数
关键切入点：第二乘数十位为 $0$（该行部分积省略），第一部分积为四位数使两乘数首位都不大，故第二乘数只能是 $109$。
方法概述：由部分积位数定第二乘数 $109$，再还原第一乘数 $145$。
规范步骤：
  1. 十位 0、部分积为四位数：第二乘数 $=109$（部分积位数分析）
  2. 还原第一乘数：第一乘数 $=145$（末位分析）
  3. 部分积与积：$145\times9=1305,\ 145\times1=145,\ 145\times109=15805$（验算）
第一套
题目：图中乘法竖式为 $2\square5\times\square0\square$：个位部分积为 $1\square95$，百位部分积为 $855$（乘数十位是 $0$、该行省略），最终积为 $\square74\square5$。求这个乘积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（乘数十位为 0、该行省略）：先算个位 $7$ 乘 $285$，$285\times7=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（百位 $3$ 乘 $285$）：$285\times3=\underline{\quad}$，它写在百位，相当于 $85500$。
  3. 第 3 步（两部分积相加得积）：$1995+85500=\underline{\quad}$。
第二套
题目：小高在验算一张乘法竖式底稿 $1\square5\times10\square$：乘数十位是 $0$，个位部分积为 $1\square05$，百位部分积为 $145$，积为 $1\square\square05$。请把积算出来。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（个位 $9$ 乘 $145$）：$145\times9=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（百位 $1$ 乘 $145$）：$145\times1=\underline{\quad}$，写在百位相当于 $14500$。
  3. 第 3 步（相加得积）：$1305+14500=\underline{\quad}$。
第三套
题目：乘法竖式 $4\square3\times2\square6$：个位部分积为 $2898$，百位部分积为 $966$（乘数十位为 $0$、该行省略），积为 $9\square4\square8$。求乘积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（个位 $6$ 乘 $483$）：$483\times6=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（百位 $2$ 乘 $483$）：$483\times2=\underline{\quad}$，写在百位相当于 $96600$。
  3. 第 3 步（相加得积）：$2898+96600=\underline{\quad}$。
第三套
题目：乘法竖式 $7\square\square\times3\square6$：个位部分积为 $43\square8$，百位部分积为 $218\square$（乘数十位为 $0$、该行省略），积为 $2227\square8$。求乘积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（估位数）：两因数首位 $7\times3=\underline{\quad}$，估积约 $21$ 万，故积为六位数。
  2. 第 2 步（个位 $6$ 乘 $728$）：$728\times6=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（百位 $3$ 乘 $728$）：$728\times3=\underline{\quad}$，写在百位相当于 $218400$。
  4. 第 4 步（相加得积）：$4368+218400=\underline{\quad}$。
30. 【原题 ch15-xingqu-08】将图15-9中的竖式补充完整。竖式为乘法 $\square 7\square\times\square\square$，部分积分别为 $\square\square 5$ 与 $\square\square 93$，最终积为 $1\square\square\square\square$。
详细思路
是哪类问题：乘法竖式填数
关键切入点：两部分积 $\square\square5$ 与 $\square\square93$，其末位 $5,3$ 分别由乘数个位与 $7$、$5$ 的积的末位定，配合五位积首位 $1$ 还原。
方法概述：用部分积末位 $3,5$ 与积首位 $1$ 逐步定各位。
规范步骤：
  1. 由部分积末位定乘数各位：$177\times95$（末位分析）
  2. 部分积：$177\times5=885,\ 177\times9=1593$（验算部分积）
  3. 积：$177\times95=16815$（验算）
第一套
题目：乘法竖式 $2\square5\times7\square$：个位部分积为 $1710$，十位部分积为 $1995$，积为 $2\square660$。求乘积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（个位 $6$ 乘 $285$）：$285\times6=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（十位 $7$ 乘 $285$）：$285\times7=\underline{\quad}$，写在十位相当于 $19950$。
  3. 第 3 步（相加得积）：$1710+19950=\underline{\quad}$。
第二套
题目：仓管员核对一张乘法底稿 $1\square7\times9\square$：个位部分积为 $8\square5$，十位部分积为 $1\square93$，五位积首位为 $1$。请把积算出来。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（个位 $5$ 乘 $177$）：$177\times5=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（十位 $9$ 乘 $177$）：$177\times9=\underline{\quad}$，写在十位相当于 $15930$。
  3. 第 3 步（相加得积）：$885+15930=\underline{\quad}$。
第三套
题目：乘法竖式 $3\square5\times4\square$：个位部分积为 $3000$，十位部分积为 $1500$，积为 $1\square000$。求乘积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（个位 $8$ 乘 $375$）：$375\times8=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（十位 $4$ 乘 $375$）：$375\times4=\underline{\quad}$，写在十位相当于 $15000$。
  3. 第 3 步（相加得积）：$3000+15000=\underline{\quad}$。
第三套
题目：乘法竖式 $8\square5\times7\square$：个位部分积为 $34\square0$，十位部分积为 $6055$，积为 $6\square010$。求乘积。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（末位分析）：积的个位由 $5\times4=\underline{\quad}$ 的末位 $0$ 决定。
  2. 第 2 步（个位 $4$ 乘 $865$）：$865\times4=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（十位 $7$ 乘 $865$）：$865\times7=\underline{\quad}$，写在十位相当于 $60550$。
  4. 第 4 步（相加得积）：$3460+60550=\underline{\quad}$。
31. 【原题 ch15-xingqu-09】在图15-10中的 $\square$ 内填上适当的数字，使得竖式成立，请写出所有的答案。竖式为除法 $\overline{\square\square}\,)\,\overline{7\square 2}$，商为 $2\square$，余数为 $0$，中间有 $6\square$、$1\square 2$、$1\square 2$ 等行。
详细思路
是哪类问题：除法竖式填数（多解）
关键切入点：商十位 $2$ 与除数之积是“六十几”，故除数十位为 $3$；再讨论个位，除数为 $33$ 或 $34$ 各得一解。
方法概述：由商十位与除数之积定除数十位，再讨论个位写出全部解。
规范步骤：
  1. 商十位 2 乘除数是六十几：除数十位 $=3$（试商分析）
  2. 讨论个位：$792\div33=24$ 或 $782\div34=23$（分类讨论）
  3. 验算：$33\times24=792,\ 34\times23=782$（验算）
第一套
题目：除法竖式：被除数为 $9\square6$，除数是两位数，商为 $2\square$，且“商十位 $\times$ 除数”是一个八十几的两位数（$8\square$），除得尽（余数 $0$）。请写出所有可能的填法，并求商。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（商十位为 2，$2\times$ 除数是八十几）：故除数在 $42\sim43$ 之间，得两组解。
  2. 第 2 步（第一组）：$966\div42=\underline{\quad}$，验算 $42\times23=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（第二组）：$946\div43=\underline{\quad}$，验算 $43\times22=\underline{\quad}$。
第二套
题目：老师把一道除法竖式的部分数字擦掉了：被除数为 $7\square2$，除数是两位数，商为 $2\square$，“商十位 $\times$ 除数”是六十几（$6\square$），余数为 $0$。请写出所有可能的填法，并求商。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（商十位为 2，$2\times$ 除数是六十几）：除数十位为 $3$，得两组解。
  2. 第 2 步（第一组）：$792\div33=\underline{\quad}$，验算 $33\times24=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（第二组）：$782\div34=\underline{\quad}$，验算 $34\times23=\underline{\quad}$。
第三套
题目：除法竖式：被除数为 $8\square4$，除数是两位数，商为 $3\square$，“商十位 $\times$ 除数”是八十几（$8\square$）、“商个位 $\times$ 除数”是五十几（$5\square$），余数为 $0$。求商。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（商十位 3，$3\times$ 除数是八十几）：除数只能是 $27$。
  2. 第 2 步（求商个位并验算）：$864\div27=\underline{\quad}$，验算 $27\times32=\underline{\quad}$。
第三套
题目：除法竖式：被除数为 $9\square8$，除数是两位数，商为 $2\square$，“商十位 $\times$ 除数”是七十几（$7\square$）、“商个位 $\times$ 除数”是二百二十几（$22\square$），余数为 $0$。求被除数、除数与商的总和。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（还原）：$988\div38=\underline{\quad}$，验算 $38\times26=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（求三者之和）：$988+38+26=\underline{\quad}$。
32. 【原题 ch15-xingqu-10】请把图15-11中的除法竖式补充完整，这个算式的被除数、除数以及商的总和是多少？竖式为 $\overline{\square\square 2}\,)\,\overline{\square 9\square\square}$，商为 $\square\square$，中间有 $5\square 8$、$\square 6\square$、$6\square\square$ 等行，余数为 $0$。
详细思路
是哪类问题：除法竖式填数（求和）
关键切入点：由第一次减法行还原被除数各位与除数末位，再由乘法末位定商，逐位还原后求三者之和。
方法概述：从减法行还原被除数，由乘法末位定商，最后求被除数、除数、商之和。
规范步骤：
  1. 还原竖式：$5940\div132=45$（减法/末位分析）
  2. 两次部分积：$132\times4=528,\ 132\times5=660$（验算部分积）
  3. 求三者之和：$132+45+5940=6117$（求和）
第一套
题目：除法竖式：被除数为 $7\square44$，除数为 $2\square6$，商为 $3\square$，“商十位 $\times$ 除数”是 $6\square8$、“商个位 $\times$ 除数”是 $8\square4$，余数为 $0$。求被除数、除数与商的总和。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（还原两次部分积）：$216\times3=\underline{\quad}$、$216\times4=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（被除数）：$216\times34=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求三者之和）：$7344+216+34=\underline{\quad}$。
第二套
题目：会计核对一张除法底稿：被除数为 $5\square4\square$，除数为 $1\square2$，商为 $4\square$，“商十位 $\times$ 除数”是 $5\square8$、“商个位 $\times$ 除数”是 $6\square\square$，余数为 $0$。求被除数、除数与商三者之和。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（还原两次部分积）：$132\times4=\underline{\quad}$、$132\times5=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（被除数）：$132\times45=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求三者之和）：$132+45+5940=\underline{\quad}$。
第三套
题目：除法竖式：被除数为 $6\square48$，除数为 $2\square8$，商为 $2\square$，“商十位 $\times$ 除数”是 $49\square$、“商个位 $\times$ 除数”是 $1\square88$，余数为 $0$。求被除数、除数与商三者之和。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（还原两次部分积）：$248\times2=\underline{\quad}$、$248\times6=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（被除数）：$248\times26=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求三者之和）：$6448+248+26=\underline{\quad}$。
第三套
题目：除法竖式：被除数为 $90\square8$，除数为 $3\square2$，商为 $2\square$，“商十位 $\times$ 除数”是 $6\square4$、“商个位 $\times$ 除数”是 $2\square08$，余数为 $0$。求被除数、除数与商三者之和。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（还原两次部分积，$9\times312$ 有连续进位）：$312\times2=\underline{\quad}$、$312\times9=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（被除数）：$312\times29=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（求三者之和）：$312+29+9048=\underline{\quad}$。

附录 · 答案

（原题答案见题库；以下为三套变式的完整填好步骤与最终答案）
  1. 12. ch15-tuozhan-04 · 第一套
    1. 第 1 步（第一种填法，十位填 0）：$405\times61=\underline{24705}$。
    2. 第 2 步（第二种填法，十位填 1）：$415\times61=\underline{25315}$。
    3. 第 3 步（求差）：$25315-24705=\underline{610}$。
    最终答案：两积为 $24705$ 与 $25315$，相差 $610$。
  2. 12. ch15-tuozhan-04 · 第二套
    1. 第 1 步（第一种填法）：$305\times41=\underline{12505}$。
    2. 第 2 步（第二种填法）：$315\times41=\underline{12915}$。
    3. 第 3 步（求差）：$12915-12505=\underline{410}$。
    最终答案：两积为 $12505$ 与 $12915$，相差 $410$。
  3. 12. ch15-tuozhan-04 · 第三套
    1. 第 1 步（第一种填法）：$605\times41=\underline{24805}$。
    2. 第 2 步（第二种填法）：$615\times41=\underline{25215}$。
    3. 第 3 步（求差）：$25215-24805=\underline{410}$。
    最终答案：两积为 $24805$ 与 $25215$，相差 $410$。
  4. 12. ch15-tuozhan-04 · 第三套
    1. 第 1 步（第一种填法）：$805\times61=\underline{49105}$。
    2. 第 2 步（第二种填法）：$815\times61=\underline{49715}$。
    3. 第 3 步（求和）：$49105+49715=\underline{98820}$。
    最终答案：两积为 $49105$ 与 $49715$，和为 $98820$。
  5. 15. ch15-tuozhan-07 · 第一套
    1. 第 1 步（个位 $4$ 乘 $657$）：$657\times4=\underline{2628}$。
    2. 第 2 步（十位 $8$ 乘 $657$）：$657\times8=\underline{5256}$，写在十位相当于 $52560$。
    3. 第 3 步（百位 $3$ 乘 $657$）：$657\times3=\underline{1971}$，写在百位相当于 $197100$。
    4. 第 4 步（三部分积相加）：$2628+52560+197100=\underline{252288}$。
    最终答案：乘积为 $252288$（$657\times384$）。
  6. 15. ch15-tuozhan-07 · 第二套
    1. 第 1 步（个位 $2$ 乘 $495$）：$495\times2=\underline{990}$。
    2. 第 2 步（十位 $9$ 乘 $495$）：$495\times9=\underline{4455}$，写在十位相当于 $44550$。
    3. 第 3 步（百位 $3$ 乘 $495$）：$495\times3=\underline{1485}$，写在百位相当于 $148500$。
    4. 第 4 步（三部分积相加）：$990+44550+148500=\underline{194040}$。
    最终答案：乘积为 $194040$（$495\times392$）。
  7. 15. ch15-tuozhan-07 · 第三套
    1. 第 1 步（个位 $4$ 乘 $516$）：$516\times4=\underline{2064}$。
    2. 第 2 步（百位 $3$ 乘 $516$）：$516\times3=\underline{1548}$，写在百位相当于 $154800$。
    3. 第 3 步（相加得积）：$2064+154800=\underline{156864}$。
    最终答案：乘积为 $156864$（$516\times304$）。
  8. 15. ch15-tuozhan-07 · 第三套
    1. 第 1 步（个位 $3$ 乘 $847$）：$847\times3=\underline{2541}$。
    2. 第 2 步（十位 $1$ 乘 $847$）：$847\times1=\underline{847}$，写在十位相当于 $8470$。
    3. 第 3 步（百位 $2$ 乘 $847$）：$847\times2=\underline{1694}$，写在百位相当于 $169400$。
    4. 第 4 步（三部分积相加）：$2541+8470+169400=\underline{180411}$。
    最终答案：乘积为 $180411$（$847\times213$）。
  9. 29. ch15-xingqu-07 · 第一套
    1. 第 1 步（乘数十位为 0、该行省略）：先算个位 $7$ 乘 $285$，$285\times7=\underline{1995}$。
    2. 第 2 步（百位 $3$ 乘 $285$）：$285\times3=\underline{855}$，它写在百位，相当于 $85500$。
    3. 第 3 步（两部分积相加得积）：$1995+85500=\underline{87495}$。
    最终答案：乘积为 $87495$（$285\times307$）。
  10. 29. ch15-xingqu-07 · 第二套
    1. 第 1 步（个位 $9$ 乘 $145$）：$145\times9=\underline{1305}$。
    2. 第 2 步（百位 $1$ 乘 $145$）：$145\times1=\underline{145}$，写在百位相当于 $14500$。
    3. 第 3 步（相加得积）：$1305+14500=\underline{15805}$。
    最终答案：乘积为 $15805$（$145\times109$）。
  11. 29. ch15-xingqu-07 · 第三套
    1. 第 1 步（个位 $6$ 乘 $483$）：$483\times6=\underline{2898}$。
    2. 第 2 步（百位 $2$ 乘 $483$）：$483\times2=\underline{966}$，写在百位相当于 $96600$。
    3. 第 3 步（相加得积）：$2898+96600=\underline{99498}$。
    最终答案：乘积为 $99498$（$483\times206$）。
  12. 29. ch15-xingqu-07 · 第三套
    1. 第 1 步（估位数）：两因数首位 $7\times3=\underline{21}$，估积约 $21$ 万，故积为六位数。
    2. 第 2 步（个位 $6$ 乘 $728$）：$728\times6=\underline{4368}$。
    3. 第 3 步（百位 $3$ 乘 $728$）：$728\times3=\underline{2184}$，写在百位相当于 $218400$。
    4. 第 4 步（相加得积）：$4368+218400=\underline{222768}$。
    最终答案：乘积为 $222768$（$728\times306$）。
  13. 30. ch15-xingqu-08 · 第一套
    1. 第 1 步（个位 $6$ 乘 $285$）：$285\times6=\underline{1710}$。
    2. 第 2 步（十位 $7$ 乘 $285$）：$285\times7=\underline{1995}$，写在十位相当于 $19950$。
    3. 第 3 步（相加得积）：$1710+19950=\underline{21660}$。
    最终答案：乘积为 $21660$（$285\times76$）。
  14. 30. ch15-xingqu-08 · 第二套
    1. 第 1 步（个位 $5$ 乘 $177$）：$177\times5=\underline{885}$。
    2. 第 2 步（十位 $9$ 乘 $177$）：$177\times9=\underline{1593}$，写在十位相当于 $15930$。
    3. 第 3 步（相加得积）：$885+15930=\underline{16815}$。
    最终答案：乘积为 $16815$（$177\times95$）。
  15. 30. ch15-xingqu-08 · 第三套
    1. 第 1 步（个位 $8$ 乘 $375$）：$375\times8=\underline{3000}$。
    2. 第 2 步（十位 $4$ 乘 $375$）：$375\times4=\underline{1500}$，写在十位相当于 $15000$。
    3. 第 3 步（相加得积）：$3000+15000=\underline{18000}$。
    最终答案：乘积为 $18000$（$375\times48$）。
  16. 30. ch15-xingqu-08 · 第三套
    1. 第 1 步（末位分析）：积的个位由 $5\times4=\underline{20}$ 的末位 $0$ 决定。
    2. 第 2 步（个位 $4$ 乘 $865$）：$865\times4=\underline{3460}$。
    3. 第 3 步（十位 $7$ 乘 $865$）：$865\times7=\underline{6055}$，写在十位相当于 $60550$。
    4. 第 4 步（相加得积）：$3460+60550=\underline{64010}$。
    最终答案：乘积为 $64010$（$865\times74$）。
  17. 31. ch15-xingqu-09 · 第一套
    1. 第 1 步（商十位为 2，$2\times$ 除数是八十几）：故除数在 $42\sim43$ 之间，得两组解。
    2. 第 2 步（第一组）：$966\div42=\underline{23}$，验算 $42\times23=\underline{966}$。
    3. 第 3 步（第二组）：$946\div43=\underline{22}$，验算 $43\times22=\underline{946}$。
    最终答案：两个答案：$966\div42=23$ 与 $946\div43=22$。
  18. 31. ch15-xingqu-09 · 第二套
    1. 第 1 步（商十位为 2，$2\times$ 除数是六十几）：除数十位为 $3$，得两组解。
    2. 第 2 步（第一组）：$792\div33=\underline{24}$，验算 $33\times24=\underline{792}$。
    3. 第 3 步（第二组）：$782\div34=\underline{23}$，验算 $34\times23=\underline{782}$。
    最终答案：两个答案：$792\div33=24$ 与 $782\div34=23$。
  19. 31. ch15-xingqu-09 · 第三套
    1. 第 1 步（商十位 3，$3\times$ 除数是八十几）：除数只能是 $27$。
    2. 第 2 步（求商个位并验算）：$864\div27=\underline{32}$，验算 $27\times32=\underline{864}$。
    最终答案：$864\div27=32$。
  20. 31. ch15-xingqu-09 · 第三套
    1. 第 1 步（还原）：$988\div38=\underline{26}$，验算 $38\times26=\underline{988}$。
    2. 第 2 步（求三者之和）：$988+38+26=\underline{1052}$。
    最终答案：$988\div38=26$，被除数、除数、商之和为 $1052$。
  21. 32. ch15-xingqu-10 · 第一套
    1. 第 1 步（还原两次部分积）：$216\times3=\underline{648}$、$216\times4=\underline{864}$。
    2. 第 2 步（被除数）：$216\times34=\underline{7344}$。
    3. 第 3 步（求三者之和）：$7344+216+34=\underline{7594}$。
    最终答案：$7344\div216=34$，三者之和为 $7594$。
  22. 32. ch15-xingqu-10 · 第二套
    1. 第 1 步（还原两次部分积）：$132\times4=\underline{528}$、$132\times5=\underline{660}$。
    2. 第 2 步（被除数）：$132\times45=\underline{5940}$。
    3. 第 3 步（求三者之和）：$132+45+5940=\underline{6117}$。
    最终答案：$5940\div132=45$，三者之和为 $6117$。
  23. 32. ch15-xingqu-10 · 第三套
    1. 第 1 步（还原两次部分积）：$248\times2=\underline{496}$、$248\times6=\underline{1488}$。
    2. 第 2 步（被除数）：$248\times26=\underline{6448}$。
    3. 第 3 步（求三者之和）：$6448+248+26=\underline{6722}$。
    最终答案：$6448\div248=26$，三者之和为 $6722$。
  24. 32. ch15-xingqu-10 · 第三套
    1. 第 1 步（还原两次部分积，$9\times312$ 有连续进位）：$312\times2=\underline{624}$、$312\times9=\underline{2808}$。
    2. 第 2 步（被除数）：$312\times29=\underline{9048}$。
    3. 第 3 步（求三者之和）：$312+29+9048=\underline{9389}$。
    最终答案：$9048\div312=29$，三者之和为 $9389$。