竞赛数学 · 四年级 第20讲《幻方与数阵图扩展》举一反三练习卷

详细解题思路 + 规范步骤 + 三套填空变式（换数字 / 换场景 / 增加知识点）· 答案见文末附录
1. 【原题 ch20-chaoyue-01】请在图 20-27 的每个空格内填入一个合适的数，使得每行、每列及两条对角线上的各数之和都相等。
详细思路
是哪类问题：补全三阶幻方
关键切入点：已填 6 数之和等于幻和的 2 倍
方法概述：去公共格补两格后，由已填 6 数 = 2×幻和求幻和
规范步骤：
  1. 去公共格补格：$E=7+21-11=17,\ C=21+15-11=25$（两直线去公共格）
  2. 求幻和：$(7+21+15+17+11+25)\div2=48$（未填对角线之和 = 幻和）
  3. 定中心：$48\div3=16$（中心 = 幻和 ÷ 3）
第一套
题目：三阶方格表中，除一条对角线外的 6 个格已填出，它们是 $32$、$4$、$12$、$28$、$36$、$8$，使每行、每列、两条对角线之和都相等。求幻和与中心数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 已填出的 6 个数（除一条对角线外）之和 $=32+4+12+28+36+8=\underline{\quad}$。
  2. 全部 9 数之和 $=$ 幻和 $\times3$；未填对角线之和 $=$ 幻和，故已填 6 数之和 $=$ 幻和 $\times2$，于是幻和 $=120\div2=\underline{\quad}$。
  3. 中心数 $=$ 幻和 $\div3=60\div3=\underline{\quad}$。
第二套
题目：一张三阶方阵除一条对角线外已填 6 个数：$7$、$21$、$15$、$17$、$11$、$25$，要求每行、每列、两条对角线之和都相等。求幻和与中心数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 已填 6 数之和 $=7+21+15+17+11+25=\underline{\quad}$。
  2. 已填 6 数之和 $=$ 幻和 $\times2$，故幻和 $=96\div2=\underline{\quad}$。
  3. 中心数 $=48\div3=\underline{\quad}$。
第三套
题目：三阶方阵除一条对角线外已填 6 个数：$21$、$14$、$16$、$20$、$22$、$15$，要求每行、每列、两条对角线之和都相等。求幻和与中心数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 已填 6 数之和 $=21+14+16+20+22+15=\underline{\quad}$。
  2. 幻和 $=108\div2=\underline{\quad}$。
  3. 中心数 $=54\div3=\underline{\quad}$。
第三套
题目：三阶方阵除一条对角线外已填 6 个数：$27$、$20$、$22$、$26$、$28$、$21$（其中 $27$、$20$ 同在第一行，$28$、$21$ 同在第三行），要求每行、每列、两条对角线之和都相等。求幻和，并补出那条对角线上的三个数（右上、中心、左下）。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 已填 6 数之和 $=27+20+22+26+28+21=\underline{\quad}$，故幻和 $=144\div2=\underline{\quad}$。
  2. 第一行已知 $27$、$20$，右上格 $=72-27-20=\underline{\quad}$。
  3. 第三行已知 $28$、$21$，左下格 $=72-28-21=\underline{\quad}$。
  4. 中心 $=$ 幻和 $-$ 右上 $-$ 左下 $=72-25-23=\underline{\quad}$。
2. 【原题 ch20-chaoyue-02】图 20-28 是有名的"六角幻方"，将 $1\sim19$ 这 19 个自然数分别填入图中的○内，使得每一条直线上○内的各数之和都相等。美国的数学爱好者阿当斯从 $1910$ 年开始，到 $1962$ 年，用了 $52$ 年的时间才找到了解答。现在已经填入了 6 个自然数，请你完成这个"六角幻方"。
详细思路
是哪类问题：六角幻方
关键切入点：每条直线和 = 全部数之和 ÷ 5
方法概述：先求直线和 38，设顶点为未知数沿直线逐步推出全部
规范步骤：
  1. 求直线和：$(1+2+\cdots+19)\div5=190\div5=38$（总和的五分之一）
  2. 验证若干直线：$15+13+10=38,\ 14+8+4+12=38$（各线和均 38）
  3. 验证中排：$9+6+5+2+16=38$（五数之和）
3. 【原题 ch20-chaoyue-03】在图 20-29 中有 6 个正方形，请你将 $1\sim9$ 这 9 个数分别填入图中 9 个○内，使得每个正方形 4 个顶点上的数字之和都相等。
详细思路
是哪类问题：多正方形顶点和数阵
关键切入点：9 个正方形把每个○各算 4 次
方法概述：由 幻和×9 = 总和×4 求幻和，再由 45-2×幻和 定中心
规范步骤：
  1. 求总和：$1+2+\cdots+9=45$（9 数之和）
  2. 求幻和：$45\times4\div9=20$（重数分析）
  3. 定中心：$45-20\times2=5$（大、斜正方形都为 20）
  4. 验证正方形：$9+7+3+1=20,\ 2+6+8+4=20$（四角、斜正方形均 20）
第一套
题目：图中有 6 个正方形，将 $2\sim10$ 这 9 个数分别填入 9 个○内，使每个正方形 4 个顶点之和都相等（每个○恰被 6 个正方形共算 4 次）。求这个相等的和与中心数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 9 个数之和 $=2+3+\cdots+10=\underline{\quad}$。
  2. 每个○被算 4 次，故 幻和 $\times9=4\times54=\underline{\quad}$。
  3. 幻和 $=216\div9=\underline{\quad}$。
  4. 中心数 $=54-24\times2=\underline{\quad}$（大、斜正方形都为 24）。
第二套
题目：一块木板上刻着 6 个正方形共用 9 个钉○，把 $1\sim9$ 号挂牌挂到钉上，使每个正方形 4 顶点号码之和都相等（每钉被算 4 次）。求这个和与中心钉的号码。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 9 个号码之和 $=1+2+\cdots+9=\underline{\quad}$。
  2. 每钉被算 4 次，故 幻和 $\times9=4\times45=\underline{\quad}$。
  3. 幻和 $=180\div9=\underline{\quad}$。
  4. 中心号码 $=45-20\times2=\underline{\quad}$。
第三套
题目：图中 6 个正方形，将 $3\sim11$ 这 9 个数填入 9 个○（每○被算 4 次），使每个正方形 4 顶点之和都相等。求这个和与中心数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 9 个数之和 $=3+4+\cdots+11=\underline{\quad}$。
  2. 幻和 $\times9=4\times63=\underline{\quad}$。
  3. 幻和 $=252\div9=\underline{\quad}$。
  4. 中心数 $=63-28\times2=\underline{\quad}$。
第三套
题目：图中 6 个正方形，将 $1\sim9$ 填入 9 个○（每○被算 4 次），使每个正方形 4 顶点之和都相等。求这个和、中心数，以及每个角上小三角形 3 个顶点之和。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 9 个数之和 $=(1+9)\times9\div2=\underline{\quad}$。
  2. 幻和 $\times9=4\times45=\underline{\quad}$。
  3. 幻和 $=180\div9=\underline{\quad}$。
  4. 中心数 $=45-20\times2=\underline{\quad}$。
  5. 每个角上小三角形 3 顶点之和 $=$ 幻和 $-$ 中心 $=20-5=\underline{\quad}$。
4. 【原题 ch20-chaoyue-04】在图 20-30 中的 7 个○内填入一些自然数，要求所填的自然数中最小的一个数是 $1$，并且相邻两个○内的数字之差（大数减小数）恰好等于这两个○之间标出的数字。
详细思路
是哪类问题：环形差数阵
关键切入点：设一○为未知数沿环用差表示，再令最小数为 1
方法概述：沿环用相邻差写出各数，令最小值为 1 解出
规范步骤：
  1. 验证各相邻差：$15-14=1,\ 15-13=2,\ 13-10=3,\ 10-6=4$（相邻两数之差）
  2. 继续：$6-1=5,\ 7-1=6,\ 14-7=7$（恰为 1~7）
5. 【原题 ch20-chaoyue-05】将 $1\sim9$ 这 9 个数分别填入图 20-31 中的 9 个○内，使图中每条直线（图中有 7 条直线）上的○内所填数之和都相等，那么这个和是多少？
详细思路
是哪类问题：多直线相等数阵
关键切入点：3 条横线相加，直线和×3 = 总和 - 唯一不在横线上的数
方法概述：用整除性筛选并结合斜线验证确定直线和
规范步骤：
  1. 求总和：$1+2+\cdots+9=45$（9 数之和）
  2. 整除筛选：$(45-9)\div3=12$（A=9 时横线和为 12（候选））
  3. 结合斜线验证得：$14$（唯一使 7 条直线都成立的和）
6. 【原题 ch20-chaoyue-06】将 $0\sim9$ 这 10 个数分别填入图 20-32 中的各个○内，使得各阴影三角形的 3 个顶点上的数之和相等。这个和最大是多少？最小是多少？请分别给出使得和最大、最小的填法。
详细思路
是哪类问题：阴影三角形顶点和最值
关键切入点：除中心外每数算 1 次，和×3 = 总和 - 中心数
方法概述：调中心数取值，验证可行填法取最值
规范步骤：
  1. 求总和：$0+1+\cdots+9=45$（10 数之和）
  2. 最大(中心 3)：$(45-3)\div3=14$（中心尽量小）
  3. 最小(中心 6)：$(45-6)\div3=13$（中心尽量大）
7. 【原题 ch20-chaoyue-07】在图 20-33 中有 11 个空的○，要求把 $1\sim13$ 这 13 个数分别填入各○内（其中 $3$、$4$ 已经填好），使得上面 2 个○内数的和，等于与它相连的下面的○内的数（例如，虚线框中上面 2 个○内的数相加，它们的和应等于相连的下面 1 个○内的数），并且最下面空着的 4 个○内的数之和等于 $43$。
详细思路
是哪类问题：求和金字塔数阵
关键切入点：底层 4 数和为 43，拆数试填
方法概述：由相邻两数之和等于下方数，结合底层 4 数和 43 拆数试填
规范步骤：
  1. 拆 43：$43=13+12+11+7$（拆成 4 个不同数之和）
  2. 其他拆法：$43=13+12+10+8=13+11+10+9$（多种拆分）
  3. 试填验证：$43$（满足相邻和关系）
8. 【原题 ch20-chaoyue-08】图 20-34 中共有 10 个○，6 条直线。请问：（1）能否将 $1\sim10$ 这 10 个数分别填入图中，使得每条直线上的各数之和都相等？（2）能否将 $0\sim9$ 这 10 个数分别填入图中，使得每条直线上的各数之和都相等？（3）请从 $1\sim11$ 这 11 个数中去掉一个数后，将剩下的 10 个数分别填入图中，使得每条直线上的各数之和都相等。
详细思路
是哪类问题：存在性数阵图
关键切入点：6 条直线和×3 = 所填 10 数之和，须为 3 的倍数
方法概述：用整除性判断可行的直线和并构造
规范步骤：
  1. 第(1)问：$(1+10)\times10\div2=55$（1~10 之和）
  2. 判不能：$55\div3$ 不是整数（直线和非整数）
  3. 第(3)问总和：$(1+11)\times11\div2=66$（1~11 之和）
  4. 去数得和：$(66-3)\div3=21,\ (66-6)\div3=20,\ (66-9)\div3=19$（去 3、6、9）
第一套
题目：某图有 10 个○、6 条直线，每条直线上有 3 个○，每条直线的和等于所填 10 数之和除以 3。请从 $2\sim12$ 这 11 个数中去掉一个，把剩下 10 个填入，使每条直线之和都相等。分别求去掉 $2$、$5$、$8$、$11$ 时每条直线的和。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. $2\sim12$ 共 11 个数，和 $=2+3+\cdots+12=(2+12)\times11\div2=\underline{\quad}$。
  2. 每条直线和的 3 倍等于剩下 10 数之和，故去掉的数使 $77-x$ 是 3 的倍数。$77\div3$ 的余数是 $\underline{\quad}$，故去掉的数除以 3 也余这个数（只能是 $2$、$5$、$8$、$11$）。
  3. 去掉 $2$：直线和 $=(77-2)\div3=\underline{\quad}$。
  4. 去掉 $5$：直线和 $=(77-5)\div3=\underline{\quad}$。
  5. 去掉 $8$：$(77-8)\div3=\underline{\quad}$；去掉 $11$：$(77-11)\div3=\underline{\quad}$。
第二套
题目：游乐场有 10 个灯座、6 条灯线，每条灯线串 3 个灯座，每条灯线亮度和等于所用 10 个号之和除以 3。请从 $1\sim11$ 号中去掉一个，其余装到 10 个灯座上，使各灯线之和都相等。分别求去掉 $3$、$6$、$9$ 时每条灯线的和。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. $1\sim11$ 共 11 个号，和 $=(1+11)\times11\div2=\underline{\quad}$。
  2. $66$ 能被 3 整除，故去掉的号也要能被 3 整除，只能是 $3$、$6$、$9$。去掉 $3$：$(66-3)\div3=\underline{\quad}$。
  3. 去掉 $6$：$(66-6)\div3=\underline{\quad}$。
  4. 去掉 $9$：$(66-9)\div3=\underline{\quad}$。
第三套
题目：某图有 10 个○、6 条直线，每条直线和等于所填 10 数之和除以 3。判断：能否把 $1\sim10$ 分别填入使各线之和相等？能否把 $2\sim11$ 分别填入使各线之和相等？（用整除性说明）
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. $1\sim10$ 之和 $=(1+10)\times10\div2=\underline{\quad}$。
  2. 每条直线和 $=55\div3$ 不是整数（$55-54=\underline{\quad}\ne0$），故不能。
  3. $2\sim11$ 之和 $=(2+11)\times10\div2=\underline{\quad}$。
  4. 每条直线和 $=65\div3$ 也不是整数（$65-63=\underline{\quad}\ne0$），故也不能。
第三套
题目：某图有 10 个○、6 条直线，每条直线和等于所填 10 数之和除以 3。请从 $1\sim13$ 这 13 个数中去掉 3 个，把剩下 10 个填入使各线之和相等。求每条直线的和最大可能是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. $1\sim13$ 之和 $=(1+13)\times13\div2=\underline{\quad}$。
  2. 剩下 10 数之和要是 3 的倍数。$91\div3$ 的余数是 $\underline{\quad}$，故去掉的 3 数之和除以 3 也余这个数。
  3. 要直线和最大就让去掉的 3 数之和最小；最小且合乎余数的三数和是 $1+2+4=\underline{\quad}$。
  4. 最大直线和 $=(91-7)\div3=\underline{\quad}$。
9. 【原题 ch20-tuozhan-01】将 $1\sim25$ 这 25 个数分别填入图 20-12 中的各个方格中（有些数已填好），使得每行、每列及两条对角线上的各数之和都相等。那么标有符号"$*$"的方格内所填的数是多少？
详细思路
是哪类问题：补全五阶幻方
关键切入点：全部数之和等于 5 倍幻和
方法概述：由 1~25 之和定幻和 65，再逐列倒推 * 格
规范步骤：
  1. 求全部数之和：$(1+25)\times25\div2=325$（等差数列求和）
  2. 求幻和：$325\div5=65$（5 倍幻和）
  3. 补第一列：$65-20-9-23-12=1$（该列缺格）
  4. 求 *：$65-18-7-21-15=4$（第三列倒推）
第一套
题目：将 $1\sim25$ 这 25 个数填入 $5\times5$ 方格，使每行、每列及两条对角线之和都相等。已知某列自上而下是 $22$、$9$、$16$、$10$（缺一格）；$*$ 所在列已知四格是 $11$、$8$、$20$、$19$。求缺格与 $*$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 全部数之和 $1+2+\cdots+25=(1+25)\times25\div2=\underline{\quad}$。
  2. 共 5 行（列），幻和 $=325\div5=\underline{\quad}$。
  3. 某列已知 $22$、$9$、$16$、$10$，缺格 $=65-22-9-16-10=\underline{\quad}$。
  4. $*$ 所在列已知 $11$、$8$、$20$、$19$，则 $*=65-11-8-20-19=\underline{\quad}$。
第二套
题目：把 $1\sim25$ 号 25 个储物柜排成 $5\times5$，使每行、每列及两条对角线的编号之和都相等。已知第一列自上而下是 $20$、$9$、$23$、$12$（缺一格）；$*$ 所在列已知四格是 $18$、$7$、$21$、$15$。求缺格与 $*$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 全部编号之和 $1+2+\cdots+25=(1+25)\times25\div2=\underline{\quad}$。
  2. 共 5 行，幻和 $=325\div5=\underline{\quad}$。
  3. 第一列已知 $20$、$9$、$23$、$12$，缺格 $=65-20-9-23-12=\underline{\quad}$。
  4. $*$ 所在列已知 $18$、$7$、$21$、$15$，则 $*=65-18-7-21-15=\underline{\quad}$。
第三套
题目：将 $1\sim16$ 这 16 个数填入 $4\times4$ 方格，使每行、每列及两条对角线之和都相等。已知某列自上而下是 $3$、$12$、$6$（缺一格）；$*$ 所在列已知三格是 $5$、$16$、$4$。求缺格与 $*$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 全部数之和 $1+2+\cdots+16=(1+16)\times16\div2=\underline{\quad}$。
  2. 共 4 行，幻和 $=136\div4=\underline{\quad}$。
  3. 某列已知 $3$、$12$、$6$，缺格 $=34-3-12-6=\underline{\quad}$。
  4. $*$ 所在列已知 $5$、$16$、$4$，则 $*=34-5-16-4=\underline{\quad}$。
第三套
题目：将 $1\sim36$ 这 36 个数填入 $6\times6$ 方格，使每行、每列及两条对角线之和都相等。已知某列自上而下是 $6$、$14$、$20$、$31$、$9$（缺一格）；$*$ 所在列已知五格是 $10$、$25$、$3$、$30$、$18$。求缺格与 $*$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 全部数之和 $1+2+\cdots+36=(1+36)\times36\div2=\underline{\quad}$。
  2. 共 6 行，幻和 $=666\div6=\underline{\quad}$。
  3. 某列已知 $6$、$14$、$20$、$31$、$9$，缺格 $=111-6-14-20-31-9=\underline{\quad}$。
  4. $*$ 所在列已知 $10$、$25$、$3$、$30$、$18$，则 $*=111-10-25-3-30-18=\underline{\quad}$。
10. 【原题 ch20-tuozhan-02】请在图 20-13 的每个空格内填入一个合适的数，使得每行、每列及两条对角线上的各数之和都相等。
详细思路
是哪类问题：补全三阶幻方
关键切入点：去公共格后两直线剩余和相等
方法概述：用去公共格性质求出关键格，再逐格补出
规范步骤：
  1. 求左图首格：$100+19-95=24$（第一列与第二行去公共格）
  2. 求左图末格：$100+95-19=176$（第三列与对角线去公共格）
  3. 右图验证：$5+12+7=10+8+6=9+4+11=24$（幻和 24）
11. 【原题 ch20-tuozhan-03】（1）请在图 20-14 的每个空格内填入一个合适的数，使得每行、每列及两条对角线上的各数之和都等于 $19.95$。那么，标有"$*$"的方格内所填的数是多少？（2）请在图 20-15 的每个空格内填入一个合适的数，使得每行、每列及两条对角线上的各数之和都相等。
详细思路
是哪类问题：三阶幻方求指定格
关键切入点：幻和等于中心数的 3 倍
方法概述：由幻和定中心数，再逐格推到目标格
规范步骤：
  1. 定中心：$19.95\div3=6.65$（中心 = 幻和 ÷ 3）
  2. 补第二列顶：$19.95-6.65-8.80=4.50$（该列倒推）
  3. 求 *：$19.95-4.33-4.50=11.12$（第一行倒推）
  4. 第(2)问：$75\div3=25,\ 29+19-17=31$（中心 25，去公共格得 31）
第一套
题目：在三阶方格表中填数，使每行、每列及两条对角线之和都等于 $29.94$。已知第二列底部是 $13.50$，第一行有一格是 $7.21$。求标有 $*$ 的格（在第一行、与刚求出的第二列顶格同行）。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 三阶幻方幻和等于中心数的 3 倍，故中心数 $=29.94\div3=\underline{\quad}$。
  2. 第二列已知中心 $9.98$ 与底部 $13.50$，顶格 $=29.94-9.98-13.50=\underline{\quad}$。
  3. 第一行已知 $7.21$ 与刚求的 $6.46$，$*=29.94-7.21-6.46=\underline{\quad}$。
第二套
题目：某三天气温记录排成三阶表，使每行、每列及两条对角线的读数之和都等于 $19.95$。已知第二列底部是 $8.80$，第一行有一格是 $4.33$。求标有 $*$ 的格。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 幻和等于中心数的 3 倍，中心数 $=19.95\div3=\underline{\quad}$。
  2. 第二列已知中心 $6.65$ 与底部 $8.80$，顶格 $=19.95-6.65-8.80=\underline{\quad}$。
  3. 第一行已知 $4.33$ 与刚求的 $4.50$，$*=19.95-4.33-4.50=\underline{\quad}$。
第三套
题目：在三阶方格表中填数，使每行、每列及两条对角线之和都等于 $75$。已知第一行有 $17$，第一列有 $29$、$19$。求中心数，以及第一行第三格。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 中心数 $=75\div3=\underline{\quad}$。
  2. 比较第一行与第一列（公共为第一格），第一行第三格 $=29+19-17=\underline{\quad}$。
第三套
题目：在三阶方格表中填数，使每行、每列及两条对角线之和都等于 $45.6$。已知第二列底部是 $18.9$，第一行有一格是 $20.1$，一条对角线上除中心外有一格是 $9.4$。求 $*$（第一行，与第二列顶格同行）以及该对角线另一端的数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 中心数 $=45.6\div3=\underline{\quad}$。
  2. 第二列已知中心 $15.2$ 与底部 $18.9$，顶格 $=45.6-15.2-18.9=\underline{\quad}$。
  3. 第一行已知 $20.1$ 与刚求的 $11.5$，$*=45.6-20.1-11.5=\underline{\quad}$。
  4. 该对角线已知中心 $15.2$ 与 $9.4$，另一端 $=45.6-15.2-9.4=\underline{\quad}$。
12. 【原题 ch20-tuozhan-04】如图 20-16，大正方形的 4 个角上已填入 4 个数，4 个数之和是 $264$。奇妙的是，把这个图倒过来看，大正方形 4 个角上的数之和仍然是 $264$。请你在中间的小正方形的 4 个角的○里，填入另外 4 个数，使得每条对角线上的 4 个数正看和倒看时，其和都是 $264$；而且小正方形角上的 4 个数正看和倒看时，其和也都是 $264$。
详细思路
是哪类问题：倒置和不变数阵
关键切入点：1、6、8、9 倒过来仍是数字且 6、9 互换
方法概述：用 1、6、8、9 组成两位数、个位十位各用一次，使和恒为 264
规范步骤：
  1. 四角和：$(1+6+8+9)\times10+(1+6+8+9)=264$（十位、个位各出现一次）
  2. 分解验证：$24\times10+24=264$（数字和为 24）
  3. 内四角一种填法：$81+69+18+96=264$（同样满足）
13. 【原题 ch20-tuozhan-05】将 $1$、$2$、$3$、$5$、$6$、$7$、$9$、$10$、$11$ 这 9 个数分别填入图 20-17 中的○内（$1$、$3$、$9$ 已填好），使得每条直线上各数之和都相等。
详细思路
是哪类问题：菱形圆周数阵图
关键切入点：去公共圆圈后两直线剩余之和相等
方法概述：由两直线去公共部分得数之差，再据已填数定位
规范步骤：
  1. 定右左之差：$7-5=2$（去公共圆圈后右比左大 2）
  2. 另一对差：$11-9=2$（同样相差 2）
  3. 定中心：$6$（结合已填 1、3、9 逐步确定）
14. 【原题 ch20-tuozhan-06】请将 $1\sim9$ 这 9 个数分别填入图 20-18 中的□内，使得所有不等号都成立。那么所有满足要求的填法共有多少种？
详细思路
是哪类问题：不等号数阵计数
关键切入点：从最大、最小处逐层定位，剩余可交换处计数
方法概述：依不等关系逐层确定极值，剩余两格可交换得填法数
规范步骤：
  1. 定最大最小：$A=9,\ H=1$（行内不等关系）
  2. 逐层剥离：$B=8,\ G=2,\ C=7,\ F=3,\ E=4$（剩余数继续定位）
  3. 计数：$1+1=2$（D、M 可交换，共 2 种）
15. 【原题 ch20-tuozhan-07】请将 $1\sim10$ 这 10 个数分别填入图 20-19 中的○内（$9$ 已经填好），使得除了第一行外每个○内的数都等于与它相连的上方两个○内的两数之差。
详细思路
是哪类问题：差数金字塔
关键切入点：从给定的 9 出发倒推
方法概述：由每格等于上方两数之差，从已知 9 逐层试填
规范步骤：
  1. 验证第一行差：$10-8=2,\ 10-1=9,\ 6-1=5$（相邻两数之差）
  2. 验证第二行差：$9-2=7,\ 9-5=4$（继续向下）
  3. 验证底格：$7-4=3$（最底）
16. 【原题 ch20-tuozhan-08】在图 20-20 中的 7 个○内各填一个数（两个数已填好），要求每一条直线上的 3 个数，居中的数是旁边两个数的平均数。
详细思路
是哪类问题：平均数数阵图
关键切入点：居中数为两端数的平均数
方法概述：逐条直线用居中数等于两端平均建立关系求解
规范步骤：
  1. 定底线中间：$(13+17)\div2=15$（居中数为两端平均）
  2. 另一线中间：$(15+17)\div2=16$（同理）
17. 【原题 ch20-tuozhan-09】请在图 20-21 中的六块区域内分别填入 $1\sim6$ 这 6 个数，使得对每一个○来说，与它相邻的区域内的数之和都相等。
详细思路
是哪类问题：区域相邻和数阵
关键切入点：相邻和的 3 倍等于总和的 2 倍
方法概述：由 S×3=2×总和求每组相邻和，再凑数确定填法
规范步骤：
  1. 求总和：$1+2+3+4+5+6=21$（6 个数之和）
  2. 列重数关系：$S\times3=21\times2=42$（每区域被算 2 次）
  3. 求 S：$42\div3=14$（三个○）
  4. 定内圈：$3+5+6=14$（内圈三块之和为 14）
第一套
题目：在某图的六块区域内分别填入 $2\sim7$ 这 6 个数，使对每一个○来说，与它相邻的 3 块区域内的数之和都相等。求这个相等的和，并指出内圈三块应填哪三个数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 6 个区域数之和 $2+3+4+5+6+7=\underline{\quad}$。
  2. 把 3 个○的相邻和加起来，每个区域被算 2 次，故 $S\times3=2\times27=\underline{\quad}$。
  3. 每个○的相邻和 $S=54\div3=\underline{\quad}$。
  4. 内圈 3 块之和须为 $18$，只能是最大的三个 $5+6+7=\underline{\quad}$。
第二套
题目：把 $1\sim6$ 分别写在拼图的六块木片上，使围绕每个连接点○的 3 块木片上的数之和都相等。求这个相等的和，并指出中间三块应填哪三个数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 6 块木片数之和 $1+2+3+4+5+6=\underline{\quad}$。
  2. 3 个○的相邻和相加，每块被算 2 次，故 $S\times3=2\times21=\underline{\quad}$。
  3. 每个○的相邻和 $S=42\div3=\underline{\quad}$。
  4. 中间 3 块之和须为 $14$，只能是 $3+5+6=\underline{\quad}$。
第三套
题目：在六块区域内分别填入 $2$、$4$、$6$、$8$、$10$、$12$ 这 6 个偶数，使与每个○相邻的 3 块区域之数和都相等。求这个和，并指出内圈三块应填哪三个数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 6 个数之和 $2+4+6+8+10+12=\underline{\quad}$。
  2. 每个区域被算 2 次，故 $S\times3=2\times42=\underline{\quad}$。
  3. 每个○的相邻和 $S=84\div3=\underline{\quad}$。
  4. 内圈 3 块之和须为 $28$，可取 $6+10+12=\underline{\quad}$。
第三套
题目：在六块区域内分别填入 $2$、$4$、$6$、$8$、$10$、$12$，使与每个○相邻的 3 块之数和都相等。求相邻和 $S$、内圈三块之数，并用两种方法验证外圈三块之和。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 6 个数之和 $2+4+6+8+10+12=\underline{\quad}$。
  2. 每块被算 2 次，$S\times3=2\times42=\underline{\quad}$，故 $S=84\div3=\underline{\quad}$。
  3. 内圈 3 块之和须为 $28$，取 $6+10+12=\underline{\quad}$。
  4. 外圈三块之和 $=$ 总和 $-$ 内圈 $=42-28=\underline{\quad}$；另一种算法 $2+4+8=\underline{\quad}$，两者一致。
18. 【原题 ch20-tuozhan-10】请将 $1$ 个 $1$，$2$ 个 $2$，$3$ 个 $3$，$\cdots$，$8$ 个 $8$，$9$ 个 $9$ 分别填入图 20-22 中，使得相同的数所在的方格都连在一起（相连的两个方格必须有公共边），现在已经给出了其中 8 个方格中的数，并且知道 $A$、$B$、$C$、$D$、$E$、$F$、$G$ 各不相同，那么，七位数 $\overline{ABCDEFG}$ 是多少？
详细思路
是哪类问题：连通区域数字谜
关键切入点：按各数出现次数与连通要求逐格确定
方法概述：由数字个数限制与连通性、对称性逐格排除
规范步骤：
  1. 定 D、C：$D=2,\ C=3$（2 个 2 与 3 个 3 的连通限制）
  2. 排除 5：$A,B,E,F,G\in\{4,6,7,8,9\}$（5 无法到达）
  3. 定结果：$6+7+3+2+4+8+9=39$（试填得七位数各位）
19. 【原题 ch20-tuozhan-11】将数字 $1\sim7$ 这 7 个数分别填入图 20-23 中的小○内，使得每个圆周上的 3 个数之和与每条直线上的 3 个数之和都相等。
详细思路
是哪类问题：圆周与直线综合数阵
关键切入点：幻和×5 = 中心数 + 2×总和，用整除性定中心
方法概述：由 幻和×5 = 中心数 + 2×总和 及 5 的倍数限制定中心与幻和
规范步骤：
  1. 求总和：$1+2+3+4+5+6+7=28$（7 数之和）
  2. 列关系：$\text{幻和}\times5=\text{中心}+2\times28=\text{中心}+56$（重数分析）
  3. 整除定中心：$4+56=60$（只有中心 4 使其为 5 的倍数）
  4. 求幻和：$(4+56)\div5=12$（幻和）
  5. 定线上另两数和：$12-4=8$（每直线另两数之和）
第一套
题目：将 $2\sim8$ 这 7 个数分别填入某图（2 个圆周 + 3 条直线，共 5 条线；中心○被算 3 次，其余○各算 2 次），使每个圆周、每条直线上 3 数之和（幻和）都相等。求中心数与幻和。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 所有数之和 $2+3+4+5+6+7+8=\underline{\quad}$。
  2. 幻和 $\times5=$ 中心数 $+2\times35=$ 中心数 $+\underline{\quad}$。
  3. 幻和 $\times5$ 是 5 的倍数，故中心数 $+70$ 是 5 的倍数；在 $2\sim8$ 中只有中心数 $=\underline{\quad}$ 满足。
  4. 幻和 $=(5+70)\div5=\underline{\quad}$。
  5. 每条直线另外两数之和 $=15-5=\underline{\quad}$。
第二套
题目：把七种颜色对应的 $1\sim7$ 号分别填入同样的图（中心算 3 次、其余各算 2 次，共 5 条线），使每条线上 3 号之和都相等。求中心号与这个相等的和。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 所有号之和 $1+2+3+4+5+6+7=\underline{\quad}$。
  2. 和 $\times5=$ 中心 $+2\times28=$ 中心 $+\underline{\quad}$。
  3. 和 $\times5$ 是 5 的倍数，$1\sim7$ 中只有中心 $=\underline{\quad}$ 使 中心 $+56$ 为 5 的倍数。
  4. 这个相等的和 $=(4+56)\div5=\underline{\quad}$。
  5. 每条线另外两号之和 $=12-4=\underline{\quad}$。
第三套
题目：将 $3\sim9$ 这 7 个数分别填入同样的图（中心算 3 次、其余各算 2 次，共 5 条线），使每条线上 3 数之和都相等。求中心数与幻和。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 所有数之和 $3+4+5+6+7+8+9=\underline{\quad}$。
  2. 幻和 $\times5=$ 中心 $+2\times42=$ 中心 $+\underline{\quad}$。
  3. 中心 $+84$ 要是 5 的倍数，$3\sim9$ 中只有中心 $=\underline{\quad}$ 满足。
  4. 幻和 $=(6+84)\div5=\underline{\quad}$。
  5. 每条直线另外两数之和 $=18-6=\underline{\quad}$。
第三套
题目：将 $1\sim9$ 这 9 个数分别填入一个中心被算 3 次、其余各算 2 次、共 5 条线的数阵，使每条线上的数之和都相等。求中心数与幻和，并显式排除一个错误的中心候选。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 所有数之和 $1+2+\cdots+9=(1+9)\times9\div2=\underline{\quad}$。
  2. 幻和 $\times5=$ 中心 $+2\times45=$ 中心 $+\underline{\quad}$。
  3. 中心 $+90$ 要是 5 的倍数，$1\sim9$ 中只有中心 $=\underline{\quad}$ 满足。
  4. 幻和 $=(5+90)\div5=\underline{\quad}$。
  5. 验证排除：若中心取 $4$，则 $4+90=\underline{\quad}$，末位 $4$ 不能被 5 整除，排除。
20. 【原题 ch20-tuozhan-12】将 $1\sim9$ 这 9 个数分别填入图 20-24 中的 9 个○内，使 4 个大圆周上的 4 个数之和都等于 $16$。
详细思路
是哪类问题：多圆周重叠数阵
关键切入点：按圆圈被覆盖次数列重数关系
方法概述：由 幻和×4 = 中心×3 + 总和 + 相交处之和，先定中心可能取值再凑配
规范步骤：
  1. 求全部数之和：$1+2+3+4+5+6+7+8+9=45$（9 数之和，后面要减去它）
  2. 算 4 个圆周之和：$16\times4=64$（4 个大圆周各自和为 16）
  3. 列重数关系：$3A+(B+C+D+E)=64-45=19$（中心 $A$ 算 4 次、相交处 $B,C,D,E$ 各算 2 次、外 4 格各算 1 次；4 圆周和 = 总和 + $3A$ + 相交处之和）
  4. 定中心第一种取值：$A=1\Rightarrow B+C+D+E=16$（验证 $3\times1+16=19$）
  5. 定中心第二种取值：$A=2\Rightarrow B+C+D+E=13$（验证 $3\times2+13=19$；若 $A\ge3$ 则相交四数之和 $\le10$，而四个不同数之和至少 $1+2+4+5=12$，矛盾，故中心只能是 $1$ 或 $2$）
  6. 按相交处和凑配：取 $A=2$：相交四点填 $\{1,3,4,5\}$（和 $13$），外四点填 $\{6,7,8,9\}$（结合图中各圆周相交位置试填，即得 4 圆周和都为 16 的一种填法）
21. 【原题 ch20-tuozhan-13】图 20-25 中一共有 10 个方格，现在把 $2\sim11$ 这 10 个自然数分别填到里面，每个方格各填一个。如果要求图中的 3 个 $2\times2$ 的正方形中的 4 个数之和都相等，那么这个和最小可能是多少？请给出一种填法。
详细思路
是哪类问题：2×2 方块和数阵最值
关键切入点：两公共格重数为 2，幻和×3 = 总和 + 公共格之和
方法概述：由 3 的倍数限制取最小幻和
规范步骤：
  1. 求总和：$2+3+\cdots+11=65$（10 数之和）
  2. 试最小公共和：$65+2+3=70$（公共两格取 2、3）
  3. 取 3 的倍数：$72\div3=24$（大于 70 的最小 3 倍数是 72）
  4. 定公共和：$72-65=7$（公共两格之和为 7）
第一套
题目：把 $3\sim12$ 这 10 个数填入含 3 个 $2\times2$ 正方形的图（有 2 个公共小格重数为 2，其余重数为 1），使 3 个正方形的 4 数之和都相等。求这个和最小可能是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 全部数之和 $3+4+\cdots+12=(3+12)\times10\div2=\underline{\quad}$。
  2. 幻和 $\times3=$ 总和 $+$ 两公共格之和。两公共格最小 $3+4=\underline{\quad}$，此时 $75+7=\underline{\quad}$。
  3. $82$ 不是 3 的倍数，大于 $82$ 的最小 3 倍数是 $\underline{\quad}$。
  4. 最小幻和 $=84\div3=\underline{\quad}$，公共格之和 $=84-75=\underline{\quad}$。
第二套
题目：把 $2\sim11$ 号 10 张卡片放进图中 10 个格，图上有 3 个 $2\times2$ 窗口（2 个格被两个窗口共用、重数 2，其余重数 1），要求 3 个窗口内 4 张卡片号码之和都相等。求这个和最小可能是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 全部号码之和 $2+3+\cdots+11=(2+11)\times10\div2=\underline{\quad}$。
  2. 和 $\times3=$ 总和 $+$ 两公共格之和。两公共格最小 $2+3=\underline{\quad}$，此时 $65+5=\underline{\quad}$。
  3. $70$ 不是 3 的倍数，大于 $70$ 的最小 3 倍数是 $\underline{\quad}$。
  4. 最小和 $=72\div3=\underline{\quad}$，公共格之和 $=72-65=\underline{\quad}$。
第三套
题目：把 $1\sim10$ 这 10 个数填入含 3 个 $2\times2$ 正方形的图（2 个公共格重数 2，其余重数 1），使 3 个正方形 4 数之和都相等。求这个和最小可能是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 全部数之和 $1+2+\cdots+10=(1+10)\times10\div2=\underline{\quad}$。
  2. 幻和 $\times3=$ 总和 $+$ 两公共格之和。两公共格最小 $1+2=\underline{\quad}$，此时 $55+3=\underline{\quad}$。
  3. $58$ 不是 3 的倍数，大于 $58$ 的最小 3 倍数是 $\underline{\quad}$。
  4. 最小幻和 $=60\div3=\underline{\quad}$，公共格之和 $=60-55=\underline{\quad}$。
第三套
题目：把 $4\sim13$ 这 10 个数填入含 3 个 $2\times2$ 正方形的图（2 个公共格重数 2，其余重数 1），使 3 个正方形 4 数之和都相等。求这个和最大可能是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 全部数之和 $4+5+\cdots+13=(4+13)\times10\div2=\underline{\quad}$。
  2. 要幻和最大就让两公共格之和最大；它们最大是 $12+13=\underline{\quad}$。
  3. 但 $85+25=\underline{\quad}$ 不是 3 的倍数；小于它且使总数为 3 倍数的最大公共和是 $23$，此时 $85+23=\underline{\quad}$。
  4. 最大幻和 $=108\div3=\underline{\quad}$。
22. 【原题 ch20-tuozhan-14】如图 20-26，大三角形被分成了 9 个小三角形。试将 $1\sim9$ 这 9 个数分别填入这 9 个小三角形内，每个小三角形内填一个数，要求靠近大三角形三条边的每 5 个数相加的和相等。这 5 个数的和最大可能是多少？请给出一种填法。
详细思路
是哪类问题：三角形分块和数阵最值
关键切入点：边中格算 1 次、其余 6 格算 2 次
方法概述：把每边中间格取最小，使被算 2 次的 6 格取最大，得最大边和
规范步骤：
  1. 求总和：$1+2+\cdots+9=45$（9 数之和）
  2. 取被算 2 次的 6 数最大：$4+5+6+7+8+9=39$（边中格放最小的 1、2、3）
  3. 求最大边和：$(45+39)\div3=28$（边和×3 = 总和 + 双算之和）
  4. 验证中间格：$1+2+3=6$（三个边中格之和）
23. 【原题 ch20-xingqu-01】把 $1\sim9$ 这 9 个数分别填入图 20-1 中的 9 个○内，使得三个圆周及三条线段上 3 个数之和都相等。
详细思路
是哪类问题：圆周线段数阵图
关键切入点：9 个○各在 2 条线上，6 条部分之和把每个数各算 2 次
方法概述：用总和的 2 倍除以部分数求每部分的和，再借三阶幻方结构试填
规范步骤：
  1. 求全部数之和：$1+2+\cdots+9=45$（9 个数总和）
  2. 算 6 条部分之和：$45\times2=90$（每个○被算 2 次）
  3. 求每部分的和：$90\div6=15$（6 个部分平均分）
  4. 按三阶幻方结构填出一种解：$1+5+9=4+5+6=8+1+6=15$（各线之和均为 15）
第一套
题目：把 $2\sim10$ 这 9 个数分别填入某数阵图的 9 个○内，图中共有 3 个圆周和 3 条线段，每个○都恰好在其中 2 条上，使每个圆周、每条线段上 3 个数之和都相等。求这个相等的和。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 先把要填的 9 个数加起来：总和 $2+3+\cdots+10=\underline{\quad}$。
  2. 每个○都在 2 条线上，把 6 条部分的和加起来时每个数被算 2 次，所以总计 $=54\times2=\underline{\quad}$。
  3. 一共 6 个部分，每部分的和 $=108\div6=\underline{\quad}$。
第二套
题目：把 $1\sim9$ 分别写在 9 盏灯笼上，挂成 3 个圆环和 3 条灯带，每盏灯笼恰好属于其中 2 条，使每个圆环、每条灯带上 3 盏灯笼的数字之和都相等。求这个相等的和。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 先求全部灯笼数字之和 $1+2+\cdots+9=\underline{\quad}$。
  2. 每盏灯笼在 2 条上，6 条部分之和把每个数算 2 次，总计 $=45\times2=\underline{\quad}$。
  3. 共 6 个部分，每部分的和 $=90\div6=\underline{\quad}$。
第三套
题目：把 $1\sim10$ 这 10 个数分别填入五角星的 10 个交点○内，每个○都在 2 条边上，使每条边（直线，每边 4 个数）上的和都相等。求每条边上的和。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 先求 10 个数之和 $1+2+\cdots+10=\underline{\quad}$。
  2. 每个○在 2 条边上，5 条边之和把每个数算 2 次，总计 $=55\times2=\underline{\quad}$。
  3. 共 5 条边，每条边的和 $=110\div5=\underline{\quad}$。
第三套
题目：把 $3\sim14$ 这 12 个数分别填入某数阵图的 12 个○内，图中共有 6 条直线，每条直线上有 4 个○，且每个○恰好在 2 条直线上。求每条直线上的和，并验证图中位置数目的一致性。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 先求 12 个数之和 $3+4+\cdots+14=\underline{\quad}$。
  2. 每个○在 2 条直线上，6 条直线之和把每个数算 2 次，总计 $=102\times2=\underline{\quad}$。
  3. 共 6 条直线，每条直线的和 $=204\div6=\underline{\quad}$。
  4. 再验证：6 条直线共 $6\times4=\underline{\quad}$ 个位置；12 个○各算 2 次共 $12\times2=\underline{\quad}$ 个位置，两者相等。
24. 【原题 ch20-xingqu-02】（1）如图 20-2，在 $3\times3$ 的方格表的每个空格中填入恰当的数，使得每行、每列、每条对角线上的各数之和都相等。（2）如图 20-3，在 $4\times4$ 的方格表的每个空格中填入恰当的数，使得每行、每列、每条对角线上的各数之和都相等。
详细思路
是哪类问题：补全幻方
关键切入点：先由已知格定出幻和，再逐格补出
方法概述：由一行(列)已知三数求幻和，再用行、列、对角线之和相等逐格补出
规范步骤：
  1. 定三阶幻和：$16+11+12=39$（第一列三数之和）
  2. 补第二行中间：$39-11-15=13$（中心数）
  3. 补对角线：$39-12-13=14,\ 39-16-13=10$（两条对角线）
  4. 定四阶幻和：$8+5+9+12=34$（一列四数之和）
  5. 补格：$34-4-5-11=14,\ 34-7-9-16=2$（逐格补出）
25. 【原题 ch20-xingqu-03】在图 20-4 所示的 $3\times4$ 方格表的每个空格中填入恰当的数后，可以使各行、各列的各数之和都相等，那么标有符号"$*$"的方格内所填的数是多少？
详细思路
是哪类问题：方格表行列和相等
关键切入点：由一列求出每列和(总和的一份)，再用每行和倒推目标格
方法概述：先求列和得总和，除以行数得每行和，再倒推出 * 格
规范步骤：
  1. 求每列的和：$2+3+7=12$（第一列三数之和）
  2. 求全部数之和：$12\times4=48$（共 4 列）
  3. 求每行的和：$48\div3=16$（共 3 行）
  4. 补第一行末格：$16-2-4-5=5$（每行和倒推）
  5. 求 *：$12-5-6=1$（该列和减去两已知）
第一套
题目：在 $3\times4$ 方格表中填数，使各行的和都相等、各列的和都相等。已知第一列自上而下是 $4$、$5$、$9$；某一行已知三格是 $4$、$6$、$8$；标有 $*$ 的格所在列已知两格是 $6$、$5$。求 $*$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 先求每列的和：第一列 $4+5+9=\underline{\quad}$，这就是每一列的和。
  2. 共 4 列，全部数之和 $=18\times4=\underline{\quad}$。
  3. 共 3 行，每行的和 $=72\div3=\underline{\quad}$。
  4. 某行已知 $4$、$6$、$8$，第四格 $=24-4-6-8=\underline{\quad}$。
  5. $*$ 所在列已知 $6$、$5$，则 $*=18-6-5=\underline{\quad}$。
第二套
题目：某果园把苹果装进 $3\times4$ 的货架，使每一行三层的箱数之和都相等、每一列的箱数之和都相等。已知第一列自上而下是 $2$、$3$、$7$；某行已知三格是 $2$、$4$、$5$；$*$ 所在列已知两格是 $5$、$6$。求 $*$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 先求每列的和：第一列 $2+3+7=\underline{\quad}$。
  2. 共 4 列，全部数之和 $=12\times4=\underline{\quad}$。
  3. 共 3 行，每行的和 $=48\div3=\underline{\quad}$。
  4. 某行已知 $2$、$4$、$5$，第四格 $=16-2-4-5=\underline{\quad}$。
  5. $*$ 所在列已知 $5$、$6$，则 $*=12-5-6=\underline{\quad}$。
第三套
题目：在 $3\times4$ 方格表中填数，使各行和相等、各列和相等。已知第一列自上而下是 $5$、$6$、$7$；某行已知三格是 $5$、$8$、$4$；$*$ 所在列已知两格是 $7$、$9$。求 $*$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 先求列和：第一列 $5+6+7=\underline{\quad}$。
  2. 共 4 列，全部数之和 $=18\times4=\underline{\quad}$。
  3. 共 3 行，每行和 $=72\div3=\underline{\quad}$。
  4. 某行已知 $5$、$8$、$4$，第四格 $=24-5-8-4=\underline{\quad}$。
  5. $*$ 所在列已知 $7$、$9$，则 $*=18-7-9=\underline{\quad}$。
第三套
题目：在 $3\times5$ 方格表中填数，使各行和相等、各列和相等。已知第一列自上而下是 $6$、$7$、$11$；某行已知四格是 $6$、$9$、$8$、$10$；$*$ 所在列已知两格是 $7$、$12$。求 $*$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 先求列和：第一列 $6+7+11=\underline{\quad}$。
  2. 共 5 列，全部数之和 $=24\times5=\underline{\quad}$。
  3. 共 3 行，每行和 $=120\div3=\underline{\quad}$。
  4. 某行已知四格 $6$、$9$、$8$、$10$，第五格 $=40-6-9-8-10=\underline{\quad}$。
  5. $*$ 所在列已知 $7$、$12$，则 $*=24-7-12=\underline{\quad}$。
26. 【原题 ch20-xingqu-04】如图 20-5，请在空格中填入适当的数，组成一个三阶幻方。
详细思路
是哪类问题：补全三阶幻方
关键切入点：去掉两直线公共格后剩余之和相等
方法概述：利用去公共格后两直线剩余和相等的性质逐格推出
规范步骤：
  1. 求 E：$E=16+15-11=20$（对角线与第三列去公共格）
  2. 求 B：$B=15+20-16=19$（第二行与第三列去公共格）
  3. 定幻和：$19+15+11=45$（第三列之和）
27. 【原题 ch20-xingqu-05】请将 $1\sim16$ 这 16 个数分别填入图 20-6 的方格中（有些数已填好），使得每行、每列及两条对角线上的各数之和都相等。
详细思路
是哪类问题：补全四阶幻方
关键切入点：全部数之和等于 4 倍幻和
方法概述：由 1~16 之和等于 4 倍幻和求幻和，再逐格补出
规范步骤：
  1. 求全部数之和：$(1+16)\times16\div2=136$（等差数列求和）
  2. 求幻和：$136\div4=34$（4 倍幻和）
  3. 补格：$C=34-3-12-13=6,\ B=34-4-7-13=10,\ A=34-3-16-10=5$（逐格补出）
28. 【原题 ch20-xingqu-06】请将图 20-7 所示的 $5\times5$ 方格表补充完整，使得每个方格内都有一个数字，并且具有如下的性质：方格表中每行、每列和每条对角线的 5 个方格内所填的 5 个数中，$1$、$2$、$3$、$4$、$5$ 恰各出现一次。请问：标有符号"$\triangle$"、"$\bigtriangledown$"和"$\bigcirc$"的方格中所填的数分别是什么？
详细思路
是哪类问题：拉丁方唯一性推理
关键切入点：按行、列、对角线不重复逐格排除
方法概述：利用行、列、对角线中 1~5 各出现一次的限制逐格推理
规范步骤：
  1. 定 A：$A=4$（所在行有 5、2，列有 1、3，只能填 4）
  2. 定三角格：$\triangle=5$（第三列已有 1、4、3，且对角线限制）
  3. 推出其余：$1+2+3+4+5=15$（每行(列)5 数之和恒为 15）
29. 【原题 ch20-xingqu-07】将 $4$、$6$、$8$、$9$、$10$、$12$、$13$、$14$、$17$ 这 9 个数分别填入图 20-8 中的○内（有些数已填好），使得每条直线上的数之和都相等。
详细思路
是哪类问题：方阵数阵图
关键切入点：去公共格后两直线剩余和相等 + 每行和等于总和的三分之一
方法概述：由 9 数之和除以 3 得每直线和，再用去公共格性质定位
规范步骤：
  1. 求 B：$B=4+14-6=12$（第二行与第二列去掉公共中心格 13，剩余和相等）
  2. 求全部数之和：$4+6+8+9+10+12+13+14+17=93$（9 数之和）
  3. 求每直线和：$93\div3=31$（3 行平均，每条直线和为 31）
  4. 列去公共格关系：$A+4=6+F\ \Rightarrow\ A-F=2$（第三行与第一列去掉公共角格 17，剩余和相等）
  5. 定 A、F：$A=10,\ F=8$（余下 8、9、10、13、17 中只有 $10-8=2$）
30. 【原题 ch20-xingqu-08】请在图 20-9 所示的 8 个○内，分别填入 $1\sim8$ 这 8 个数，使得图中用线段连结的两个○内所填的数之差（大减小）恰好是 $1$、$2$、$3$、$4$、$5$、$6$、$7$。
详细思路
是哪类问题：差为定值数阵
关键切入点：差为 7 的两数只有 1 和 8，从极端值入手
方法概述：先确定差 7 只能是 1、8，再由对称性分类试填
规范步骤：
  1. 定端点：$8-1=7$（只有 1、8 之差为 7）
  2. 验证一种填法的各差：$8-1,7-1,6-1,5-1,5-2,5-3,5-4$（恰为 1~7）
31. 【原题 ch20-xingqu-09】将 $1\sim5$ 这 5 个数分别填入图 20-10 中的○内，使得横线、竖线、大圆周上所填数之和都相等。
详细思路
是哪类问题：十字圆周数阵图
关键切入点：横线、竖线共用中心，中心被算两次
方法概述：用总和 2 倍除以 3 得每部分和，再由 15-10 定中心
规范步骤：
  1. 求全部数之和：$1+2+3+4+5=15$（5 数之和）
  2. 算三部分之和：$15\times2=30$（每个○被算 2 次）
  3. 求每部分和：$30\div3=10$（横、竖、圆周三部分）
  4. 定中心：$15-10=5$（中心 = 总和 - 每部分和）
  5. 配对两端：$1+5+4=3+5+2=3+1+2+4=10$（各部分均为 10）
第一套
题目：将 $4\sim8$ 这 5 个数分别填入十字圆周图的 5 个○内（中心 + 上下左右），使横线（左、中心、右）、竖线（上、中心、下）、大圆周（上下左右四点）上所填数之和都相等。求这个相等的和与中心数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 先求全部数之和 $4+5+6+7+8=\underline{\quad}$。
  2. 横、竖、圆周三部分之和把每个○各算 2 次，总计 $=30\times2=\underline{\quad}$。
  3. 共 3 个部分，每部分的和 $=60\div3=\underline{\quad}$。
  4. 中心在横、竖中各算一次，中心数 $=30-20=\underline{\quad}$。
第二套
题目：把 $1\sim5$ 号五枚棋子摆成一个十字（中心 + 上下左右），使横排三子、竖排三子、外圈四子的号码之和都相等。求这个相等的和与中心棋子的号码。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 先求全部号码之和 $1+2+3+4+5=\underline{\quad}$。
  2. 三部分之和把每枚棋子各算 2 次，总计 $=15\times2=\underline{\quad}$。
  3. 共 3 个部分，每部分的和 $=30\div3=\underline{\quad}$。
  4. 中心棋子 $=15-10=\underline{\quad}$。
第三套
题目：将 $2$、$4$、$6$、$8$、$10$ 这 5 个数分别填入十字圆周图的 5 个○内，使横线、竖线、大圆周上所填数之和都相等。求这个相等的和与中心数。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 先求全部数之和 $2+4+6+8+10=\underline{\quad}$。
  2. 三部分之和把每个○各算 2 次，总计 $=30\times2=\underline{\quad}$。
  3. 每部分的和 $=60\div3=\underline{\quad}$。
  4. 中心数 $=30-20=\underline{\quad}$。
第三套
题目：将 $3$、$6$、$9$、$12$、$15$ 这 5 个数分别填入十字圆周图的 5 个○内，使横线、竖线、大圆周上所填数之和都相等。求这个相等的和、中心数，以及横线两端（或竖线两端）两数之和。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 先求全部数之和 $3+6+9+12+15=\underline{\quad}$。
  2. 三部分之和把每个○各算 2 次，总计 $=45\times2=\underline{\quad}$。
  3. 每部分的和 $=90\div3=\underline{\quad}$。
  4. 中心数 $=45-30=\underline{\quad}$。
  5. 横线两端之和 $=$ 每部分和 $-$ 中心 $=30-15=\underline{\quad}$。
32. 【原题 ch20-xingqu-10】将 $0\sim9$ 这 10 个数分别填入图 20-11 的 10 块区域中（阴影区域除外），使得每个圆内的 3 个数之和都相等。请问：这个和最小是多少？最大是多少？
详细思路
是哪类问题：重叠圆区域数阵最值
关键切入点：外层 5 块算 1 次、重叠 5 块算 2 次
方法概述：控制被算 2 次的区域取最小(最大)数，得到和的最小(最大)值
规范步骤：
  1. 求最小和：$(5+6+7+8+9)+(0+1+2+3+4)\times2=55$（重叠层放最小数）
  2. 每圆和(最小)：$55\div5=11$（5 个圆平均）
  3. 求最大和：$(0+1+2+3+4)+(5+6+7+8+9)\times2=80$（重叠层放最大数）
  4. 每圆和(最大)：$80\div5=16$（5 个圆平均）
第一套
题目：将 $1\sim10$ 这 10 个数分别填入某图的 10 块区域，图中有 5 个圆，外层 5 块各被 1 个圆覆盖（算 1 次），重叠的 5 块各被 2 个圆覆盖（算 2 次），使每个圆内 3 数之和都相等。求这个和的最小值与最大值。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 求最小和：让最小的 5 个数放重叠层。外层 5 数之和 $6+7+8+9+10=\underline{\quad}$。
  2. 重叠层 5 数之和 $1+2+3+4+5=\underline{\quad}$。
  3. 5 个圆的总和 $=40+15\times2=\underline{\quad}$，最小时每个圆的和 $=70\div5=\underline{\quad}$。
  4. 求最大和：改让最大的 5 个数放重叠层，每个圆的和 $=(15+40\times2)\div5=\underline{\quad}$。
第二套
题目：把 $0\sim9$ 这 10 个数分别写进花坛的 10 块地砖上，5 个花环各覆盖 3 块，其中外圈 5 块各只属于一个花环（算 1 次），相邻处 5 块各属于两个花环（算 2 次），使每个花环内 3 数之和都相等。求这个和的最小值与最大值。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 求最小和：让最小的 5 个数放相邻处。外圈 5 数之和 $5+6+7+8+9=\underline{\quad}$。
  2. 相邻处 5 数之和 $0+1+2+3+4=\underline{\quad}$。
  3. 5 个花环的总和 $=35+10\times2=\underline{\quad}$，最小时每个花环的和 $=55\div5=\underline{\quad}$。
  4. 求最大和：改让最大的 5 个数放相邻处，每个花环的和 $=(10+35\times2)\div5=\underline{\quad}$。
第三套
题目：将 $1$、$3$、$5$、$7$、$9$、$11$、$13$、$15$、$17$、$19$ 这 10 个奇数分别填入同样结构的 10 块区域（外层 5 块算 1 次、重叠 5 块算 2 次），使每个圆内 3 数之和都相等。求这个和的最小值与最大值。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 求最小和：最小的 5 个奇数放重叠层。外层 5 数之和 $11+13+15+17+19=\underline{\quad}$。
  2. 重叠层 5 数之和 $1+3+5+7+9=\underline{\quad}$。
  3. 5 个圆的总和 $=75+25\times2=\underline{\quad}$，最小时每个圆的和 $=125\div5=\underline{\quad}$。
  4. 求最大和：改让最大的 5 个奇数放重叠层，每个圆的和 $=(25+75\times2)\div5=\underline{\quad}$。
第三套
题目：将 $0$、$2$、$4$、$6$、$8$、$10$、$12$、$14$、$16$、$18$ 这 10 个偶数分别填入同样结构的 10 块区域（外层 5 块算 1 次、重叠 5 块算 2 次），使每个圆内 3 数之和都相等。求这个和的最小值、最大值，以及两者之差。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 求最小和：最小的 5 个偶数放重叠层。外层 5 数之和 $10+12+14+16+18=\underline{\quad}$。
  2. 重叠层 5 数之和 $0+2+4+6+8=\underline{\quad}$。
  3. 5 个圆的总和 $=70+20\times2=\underline{\quad}$，最小时每个圆的和 $=110\div5=\underline{\quad}$。
  4. 求最大和：改让最大的 5 个偶数放重叠层，每个圆的和 $=(20+70\times2)\div5=\underline{\quad}$。
  5. 最大与最小之差 $=32-22=\underline{\quad}$。

附录 · 答案

（原题答案见题库；以下为三套变式的完整填好步骤与最终答案）
  1. 1. ch20-chaoyue-01 · 第一套
    1. 已填出的 6 个数（除一条对角线外）之和 $=32+4+12+28+36+8=\underline{120}$。
    2. 全部 9 数之和 $=$ 幻和 $\times3$；未填对角线之和 $=$ 幻和，故已填 6 数之和 $=$ 幻和 $\times2$，于是幻和 $=120\div2=\underline{60}$。
    3. 中心数 $=$ 幻和 $\div3=60\div3=\underline{20}$。
    最终答案：幻和 $60$，中心 $20$。
  2. 1. ch20-chaoyue-01 · 第二套
    1. 已填 6 数之和 $=7+21+15+17+11+25=\underline{96}$。
    2. 已填 6 数之和 $=$ 幻和 $\times2$，故幻和 $=96\div2=\underline{48}$。
    3. 中心数 $=48\div3=\underline{16}$。
    最终答案：幻和 $48$，中心 $16$。
  3. 1. ch20-chaoyue-01 · 第三套
    1. 已填 6 数之和 $=21+14+16+20+22+15=\underline{108}$。
    2. 幻和 $=108\div2=\underline{54}$。
    3. 中心数 $=54\div3=\underline{18}$。
    最终答案：幻和 $54$，中心 $18$。
  4. 1. ch20-chaoyue-01 · 第三套
    1. 已填 6 数之和 $=27+20+22+26+28+21=\underline{144}$，故幻和 $=144\div2=\underline{72}$。
    2. 第一行已知 $27$、$20$，右上格 $=72-27-20=\underline{25}$。
    3. 第三行已知 $28$、$21$，左下格 $=72-28-21=\underline{23}$。
    4. 中心 $=$ 幻和 $-$ 右上 $-$ 左下 $=72-25-23=\underline{24}$。
    最终答案：幻和 $72$，对角线三数为 $25$、$24$、$23$。
  5. 3. ch20-chaoyue-03 · 第一套
    1. 9 个数之和 $=2+3+\cdots+10=\underline{54}$。
    2. 每个○被算 4 次，故 幻和 $\times9=4\times54=\underline{216}$。
    3. 幻和 $=216\div9=\underline{24}$。
    4. 中心数 $=54-24\times2=\underline{6}$（大、斜正方形都为 24）。
    最终答案：顶点和 $24$，中心 $6$。
  6. 3. ch20-chaoyue-03 · 第二套
    1. 9 个号码之和 $=1+2+\cdots+9=\underline{45}$。
    2. 每钉被算 4 次，故 幻和 $\times9=4\times45=\underline{180}$。
    3. 幻和 $=180\div9=\underline{20}$。
    4. 中心号码 $=45-20\times2=\underline{5}$。
    最终答案：顶点和 $20$，中心 $5$。
  7. 3. ch20-chaoyue-03 · 第三套
    1. 9 个数之和 $=3+4+\cdots+11=\underline{63}$。
    2. 幻和 $\times9=4\times63=\underline{252}$。
    3. 幻和 $=252\div9=\underline{28}$。
    4. 中心数 $=63-28\times2=\underline{7}$。
    最终答案：顶点和 $28$，中心 $7$。
  8. 3. ch20-chaoyue-03 · 第三套
    1. 9 个数之和 $=(1+9)\times9\div2=\underline{45}$。
    2. 幻和 $\times9=4\times45=\underline{180}$。
    3. 幻和 $=180\div9=\underline{20}$。
    4. 中心数 $=45-20\times2=\underline{5}$。
    5. 每个角上小三角形 3 顶点之和 $=$ 幻和 $-$ 中心 $=20-5=\underline{15}$。
    最终答案：顶点和 $20$，中心 $5$，角三角形三顶点和 $15$。
  9. 8. ch20-chaoyue-08 · 第一套
    1. $2\sim12$ 共 11 个数，和 $=2+3+\cdots+12=(2+12)\times11\div2=\underline{77}$。
    2. 每条直线和的 3 倍等于剩下 10 数之和，故去掉的数使 $77-x$ 是 3 的倍数。$77\div3$ 的余数是 $\underline{2}$，故去掉的数除以 3 也余这个数（只能是 $2$、$5$、$8$、$11$）。
    3. 去掉 $2$：直线和 $=(77-2)\div3=\underline{25}$。
    4. 去掉 $5$：直线和 $=(77-5)\div3=\underline{24}$。
    5. 去掉 $8$：$(77-8)\div3=\underline{23}$；去掉 $11$：$(77-11)\div3=\underline{22}$。
    最终答案：和分别为 $25$、$24$、$23$、$22$。
  10. 8. ch20-chaoyue-08 · 第二套
    1. $1\sim11$ 共 11 个号，和 $=(1+11)\times11\div2=\underline{66}$。
    2. $66$ 能被 3 整除，故去掉的号也要能被 3 整除，只能是 $3$、$6$、$9$。去掉 $3$：$(66-3)\div3=\underline{21}$。
    3. 去掉 $6$：$(66-6)\div3=\underline{20}$。
    4. 去掉 $9$：$(66-9)\div3=\underline{19}$。
    最终答案：和分别为 $21$、$20$、$19$。
  11. 8. ch20-chaoyue-08 · 第三套
    1. $1\sim10$ 之和 $=(1+10)\times10\div2=\underline{55}$。
    2. 每条直线和 $=55\div3$ 不是整数（$55-54=\underline{1}\ne0$），故不能。
    3. $2\sim11$ 之和 $=(2+11)\times10\div2=\underline{65}$。
    4. 每条直线和 $=65\div3$ 也不是整数（$65-63=\underline{2}\ne0$），故也不能。
    最终答案：两种都不能（和不被 3 整除）。
  12. 8. ch20-chaoyue-08 · 第三套
    1. $1\sim13$ 之和 $=(1+13)\times13\div2=\underline{91}$。
    2. 剩下 10 数之和要是 3 的倍数。$91\div3$ 的余数是 $\underline{1}$，故去掉的 3 数之和除以 3 也余这个数。
    3. 要直线和最大就让去掉的 3 数之和最小；最小且合乎余数的三数和是 $1+2+4=\underline{7}$。
    4. 最大直线和 $=(91-7)\div3=\underline{28}$。
    最终答案：最大直线和为 $28$。
  13. 9. ch20-tuozhan-01 · 第一套
    1. 全部数之和 $1+2+\cdots+25=(1+25)\times25\div2=\underline{325}$。
    2. 共 5 行（列），幻和 $=325\div5=\underline{65}$。
    3. 某列已知 $22$、$9$、$16$、$10$，缺格 $=65-22-9-16-10=\underline{8}$。
    4. $*$ 所在列已知 $11$、$8$、$20$、$19$，则 $*=65-11-8-20-19=\underline{7}$。
    最终答案：缺格 $8$，$*=7$。
  14. 9. ch20-tuozhan-01 · 第二套
    1. 全部编号之和 $1+2+\cdots+25=(1+25)\times25\div2=\underline{325}$。
    2. 共 5 行，幻和 $=325\div5=\underline{65}$。
    3. 第一列已知 $20$、$9$、$23$、$12$，缺格 $=65-20-9-23-12=\underline{1}$。
    4. $*$ 所在列已知 $18$、$7$、$21$、$15$，则 $*=65-18-7-21-15=\underline{4}$。
    最终答案：缺格 $1$，$*=4$。
  15. 9. ch20-tuozhan-01 · 第三套
    1. 全部数之和 $1+2+\cdots+16=(1+16)\times16\div2=\underline{136}$。
    2. 共 4 行，幻和 $=136\div4=\underline{34}$。
    3. 某列已知 $3$、$12$、$6$，缺格 $=34-3-12-6=\underline{13}$。
    4. $*$ 所在列已知 $5$、$16$、$4$，则 $*=34-5-16-4=\underline{9}$。
    最终答案：缺格 $13$，$*=9$。
  16. 9. ch20-tuozhan-01 · 第三套
    1. 全部数之和 $1+2+\cdots+36=(1+36)\times36\div2=\underline{666}$。
    2. 共 6 行，幻和 $=666\div6=\underline{111}$。
    3. 某列已知 $6$、$14$、$20$、$31$、$9$，缺格 $=111-6-14-20-31-9=\underline{31}$。
    4. $*$ 所在列已知 $10$、$25$、$3$、$30$、$18$，则 $*=111-10-25-3-30-18=\underline{25}$。
    最终答案：缺格 $31$，$*=25$。
  17. 11. ch20-tuozhan-03 · 第一套
    1. 三阶幻方幻和等于中心数的 3 倍，故中心数 $=29.94\div3=\underline{9.98}$。
    2. 第二列已知中心 $9.98$ 与底部 $13.50$，顶格 $=29.94-9.98-13.50=\underline{6.46}$。
    3. 第一行已知 $7.21$ 与刚求的 $6.46$，$*=29.94-7.21-6.46=\underline{16.27}$。
    最终答案：$*=16.27$。
  18. 11. ch20-tuozhan-03 · 第二套
    1. 幻和等于中心数的 3 倍，中心数 $=19.95\div3=\underline{6.65}$。
    2. 第二列已知中心 $6.65$ 与底部 $8.80$，顶格 $=19.95-6.65-8.80=\underline{4.5}$。
    3. 第一行已知 $4.33$ 与刚求的 $4.50$，$*=19.95-4.33-4.50=\underline{11.12}$。
    最终答案：$*=11.12$。
  19. 11. ch20-tuozhan-03 · 第三套
    1. 中心数 $=75\div3=\underline{25}$。
    2. 比较第一行与第一列（公共为第一格），第一行第三格 $=29+19-17=\underline{31}$。
    最终答案：中心 $25$，第一行第三格 $31$。
  20. 11. ch20-tuozhan-03 · 第三套
    1. 中心数 $=45.6\div3=\underline{15.2}$。
    2. 第二列已知中心 $15.2$ 与底部 $18.9$，顶格 $=45.6-15.2-18.9=\underline{11.5}$。
    3. 第一行已知 $20.1$ 与刚求的 $11.5$，$*=45.6-20.1-11.5=\underline{14}$。
    4. 该对角线已知中心 $15.2$ 与 $9.4$，另一端 $=45.6-15.2-9.4=\underline{21}$。
    最终答案：$*=14$，对角线另一端 $21$。
  21. 17. ch20-tuozhan-09 · 第一套
    1. 6 个区域数之和 $2+3+4+5+6+7=\underline{27}$。
    2. 把 3 个○的相邻和加起来，每个区域被算 2 次，故 $S\times3=2\times27=\underline{54}$。
    3. 每个○的相邻和 $S=54\div3=\underline{18}$。
    4. 内圈 3 块之和须为 $18$，只能是最大的三个 $5+6+7=\underline{18}$。
    最终答案：相邻和为 $18$，内圈填 $5$、$6$、$7$。
  22. 17. ch20-tuozhan-09 · 第二套
    1. 6 块木片数之和 $1+2+3+4+5+6=\underline{21}$。
    2. 3 个○的相邻和相加，每块被算 2 次，故 $S\times3=2\times21=\underline{42}$。
    3. 每个○的相邻和 $S=42\div3=\underline{14}$。
    4. 中间 3 块之和须为 $14$，只能是 $3+5+6=\underline{14}$。
    最终答案：相邻和为 $14$，中间填 $3$、$5$、$6$。
  23. 17. ch20-tuozhan-09 · 第三套
    1. 6 个数之和 $2+4+6+8+10+12=\underline{42}$。
    2. 每个区域被算 2 次，故 $S\times3=2\times42=\underline{84}$。
    3. 每个○的相邻和 $S=84\div3=\underline{28}$。
    4. 内圈 3 块之和须为 $28$，可取 $6+10+12=\underline{28}$。
    最终答案：相邻和为 $28$，内圈填 $6$、$10$、$12$。
  24. 17. ch20-tuozhan-09 · 第三套
    1. 6 个数之和 $2+4+6+8+10+12=\underline{42}$。
    2. 每块被算 2 次，$S\times3=2\times42=\underline{84}$，故 $S=84\div3=\underline{28}$。
    3. 内圈 3 块之和须为 $28$，取 $6+10+12=\underline{28}$。
    4. 外圈三块之和 $=$ 总和 $-$ 内圈 $=42-28=\underline{14}$；另一种算法 $2+4+8=\underline{14}$，两者一致。
    最终答案：$S=28$，内圈 $6$、$10$、$12$，外圈三块之和 $14$。
  25. 19. ch20-tuozhan-11 · 第一套
    1. 所有数之和 $2+3+4+5+6+7+8=\underline{35}$。
    2. 幻和 $\times5=$ 中心数 $+2\times35=$ 中心数 $+\underline{70}$。
    3. 幻和 $\times5$ 是 5 的倍数，故中心数 $+70$ 是 5 的倍数；在 $2\sim8$ 中只有中心数 $=\underline{5}$ 满足。
    4. 幻和 $=(5+70)\div5=\underline{15}$。
    5. 每条直线另外两数之和 $=15-5=\underline{10}$。
    最终答案：中心 $5$，幻和 $15$。
  26. 19. ch20-tuozhan-11 · 第二套
    1. 所有号之和 $1+2+3+4+5+6+7=\underline{28}$。
    2. 和 $\times5=$ 中心 $+2\times28=$ 中心 $+\underline{56}$。
    3. 和 $\times5$ 是 5 的倍数，$1\sim7$ 中只有中心 $=\underline{4}$ 使 中心 $+56$ 为 5 的倍数。
    4. 这个相等的和 $=(4+56)\div5=\underline{12}$。
    5. 每条线另外两号之和 $=12-4=\underline{8}$。
    最终答案：中心 $4$，和 $12$。
  27. 19. ch20-tuozhan-11 · 第三套
    1. 所有数之和 $3+4+5+6+7+8+9=\underline{42}$。
    2. 幻和 $\times5=$ 中心 $+2\times42=$ 中心 $+\underline{84}$。
    3. 中心 $+84$ 要是 5 的倍数，$3\sim9$ 中只有中心 $=\underline{6}$ 满足。
    4. 幻和 $=(6+84)\div5=\underline{18}$。
    5. 每条直线另外两数之和 $=18-6=\underline{12}$。
    最终答案：中心 $6$，幻和 $18$。
  28. 19. ch20-tuozhan-11 · 第三套
    1. 所有数之和 $1+2+\cdots+9=(1+9)\times9\div2=\underline{45}$。
    2. 幻和 $\times5=$ 中心 $+2\times45=$ 中心 $+\underline{90}$。
    3. 中心 $+90$ 要是 5 的倍数，$1\sim9$ 中只有中心 $=\underline{5}$ 满足。
    4. 幻和 $=(5+90)\div5=\underline{19}$。
    5. 验证排除：若中心取 $4$，则 $4+90=\underline{94}$，末位 $4$ 不能被 5 整除，排除。
    最终答案：中心 $5$，幻和 $19$。
  29. 21. ch20-tuozhan-13 · 第一套
    1. 全部数之和 $3+4+\cdots+12=(3+12)\times10\div2=\underline{75}$。
    2. 幻和 $\times3=$ 总和 $+$ 两公共格之和。两公共格最小 $3+4=\underline{7}$，此时 $75+7=\underline{82}$。
    3. $82$ 不是 3 的倍数，大于 $82$ 的最小 3 倍数是 $\underline{84}$。
    4. 最小幻和 $=84\div3=\underline{28}$，公共格之和 $=84-75=\underline{9}$。
    最终答案：最小和为 $28$。
  30. 21. ch20-tuozhan-13 · 第二套
    1. 全部号码之和 $2+3+\cdots+11=(2+11)\times10\div2=\underline{65}$。
    2. 和 $\times3=$ 总和 $+$ 两公共格之和。两公共格最小 $2+3=\underline{5}$，此时 $65+5=\underline{70}$。
    3. $70$ 不是 3 的倍数，大于 $70$ 的最小 3 倍数是 $\underline{72}$。
    4. 最小和 $=72\div3=\underline{24}$，公共格之和 $=72-65=\underline{7}$。
    最终答案：最小和为 $24$。
  31. 21. ch20-tuozhan-13 · 第三套
    1. 全部数之和 $1+2+\cdots+10=(1+10)\times10\div2=\underline{55}$。
    2. 幻和 $\times3=$ 总和 $+$ 两公共格之和。两公共格最小 $1+2=\underline{3}$，此时 $55+3=\underline{58}$。
    3. $58$ 不是 3 的倍数，大于 $58$ 的最小 3 倍数是 $\underline{60}$。
    4. 最小幻和 $=60\div3=\underline{20}$，公共格之和 $=60-55=\underline{5}$。
    最终答案：最小和为 $20$。
  32. 21. ch20-tuozhan-13 · 第三套
    1. 全部数之和 $4+5+\cdots+13=(4+13)\times10\div2=\underline{85}$。
    2. 要幻和最大就让两公共格之和最大；它们最大是 $12+13=\underline{25}$。
    3. 但 $85+25=\underline{110}$ 不是 3 的倍数；小于它且使总数为 3 倍数的最大公共和是 $23$，此时 $85+23=\underline{108}$。
    4. 最大幻和 $=108\div3=\underline{36}$。
    最终答案：最大和为 $36$。
  33. 23. ch20-xingqu-01 · 第一套
    1. 先把要填的 9 个数加起来：总和 $2+3+\cdots+10=\underline{54}$。
    2. 每个○都在 2 条线上，把 6 条部分的和加起来时每个数被算 2 次，所以总计 $=54\times2=\underline{108}$。
    3. 一共 6 个部分，每部分的和 $=108\div6=\underline{18}$。
    最终答案：每部分的和为 $18$。
  34. 23. ch20-xingqu-01 · 第二套
    1. 先求全部灯笼数字之和 $1+2+\cdots+9=\underline{45}$。
    2. 每盏灯笼在 2 条上，6 条部分之和把每个数算 2 次，总计 $=45\times2=\underline{90}$。
    3. 共 6 个部分，每部分的和 $=90\div6=\underline{15}$。
    最终答案：每部分的和为 $15$。
  35. 23. ch20-xingqu-01 · 第三套
    1. 先求 10 个数之和 $1+2+\cdots+10=\underline{55}$。
    2. 每个○在 2 条边上，5 条边之和把每个数算 2 次，总计 $=55\times2=\underline{110}$。
    3. 共 5 条边，每条边的和 $=110\div5=\underline{22}$。
    最终答案：每条边上的和为 $22$。
  36. 23. ch20-xingqu-01 · 第三套
    1. 先求 12 个数之和 $3+4+\cdots+14=\underline{102}$。
    2. 每个○在 2 条直线上，6 条直线之和把每个数算 2 次，总计 $=102\times2=\underline{204}$。
    3. 共 6 条直线，每条直线的和 $=204\div6=\underline{34}$。
    4. 再验证：6 条直线共 $6\times4=\underline{24}$ 个位置；12 个○各算 2 次共 $12\times2=\underline{24}$ 个位置，两者相等。
    最终答案：每条直线上的和为 $34$。
  37. 25. ch20-xingqu-03 · 第一套
    1. 先求每列的和：第一列 $4+5+9=\underline{18}$，这就是每一列的和。
    2. 共 4 列，全部数之和 $=18\times4=\underline{72}$。
    3. 共 3 行，每行的和 $=72\div3=\underline{24}$。
    4. 某行已知 $4$、$6$、$8$，第四格 $=24-4-6-8=\underline{6}$。
    5. $*$ 所在列已知 $6$、$5$，则 $*=18-6-5=\underline{7}$。
    最终答案：$*=7$。
  38. 25. ch20-xingqu-03 · 第二套
    1. 先求每列的和：第一列 $2+3+7=\underline{12}$。
    2. 共 4 列，全部数之和 $=12\times4=\underline{48}$。
    3. 共 3 行，每行的和 $=48\div3=\underline{16}$。
    4. 某行已知 $2$、$4$、$5$，第四格 $=16-2-4-5=\underline{5}$。
    5. $*$ 所在列已知 $5$、$6$，则 $*=12-5-6=\underline{1}$。
    最终答案：$*=1$。
  39. 25. ch20-xingqu-03 · 第三套
    1. 先求列和：第一列 $5+6+7=\underline{18}$。
    2. 共 4 列，全部数之和 $=18\times4=\underline{72}$。
    3. 共 3 行，每行和 $=72\div3=\underline{24}$。
    4. 某行已知 $5$、$8$、$4$，第四格 $=24-5-8-4=\underline{7}$。
    5. $*$ 所在列已知 $7$、$9$，则 $*=18-7-9=\underline{2}$。
    最终答案：$*=2$。
  40. 25. ch20-xingqu-03 · 第三套
    1. 先求列和：第一列 $6+7+11=\underline{24}$。
    2. 共 5 列，全部数之和 $=24\times5=\underline{120}$。
    3. 共 3 行，每行和 $=120\div3=\underline{40}$。
    4. 某行已知四格 $6$、$9$、$8$、$10$，第五格 $=40-6-9-8-10=\underline{7}$。
    5. $*$ 所在列已知 $7$、$12$，则 $*=24-7-12=\underline{5}$。
    最终答案：$*=5$。
  41. 31. ch20-xingqu-09 · 第一套
    1. 先求全部数之和 $4+5+6+7+8=\underline{30}$。
    2. 横、竖、圆周三部分之和把每个○各算 2 次，总计 $=30\times2=\underline{60}$。
    3. 共 3 个部分，每部分的和 $=60\div3=\underline{20}$。
    4. 中心在横、竖中各算一次，中心数 $=30-20=\underline{10}$。
    最终答案：每部分的和为 $20$，中心填 $10$。
  42. 31. ch20-xingqu-09 · 第二套
    1. 先求全部号码之和 $1+2+3+4+5=\underline{15}$。
    2. 三部分之和把每枚棋子各算 2 次，总计 $=15\times2=\underline{30}$。
    3. 共 3 个部分，每部分的和 $=30\div3=\underline{10}$。
    4. 中心棋子 $=15-10=\underline{5}$。
    最终答案：每部分的和为 $10$，中心填 $5$。
  43. 31. ch20-xingqu-09 · 第三套
    1. 先求全部数之和 $2+4+6+8+10=\underline{30}$。
    2. 三部分之和把每个○各算 2 次，总计 $=30\times2=\underline{60}$。
    3. 每部分的和 $=60\div3=\underline{20}$。
    4. 中心数 $=30-20=\underline{10}$。
    最终答案：每部分的和为 $20$，中心填 $10$。
  44. 31. ch20-xingqu-09 · 第三套
    1. 先求全部数之和 $3+6+9+12+15=\underline{45}$。
    2. 三部分之和把每个○各算 2 次，总计 $=45\times2=\underline{90}$。
    3. 每部分的和 $=90\div3=\underline{30}$。
    4. 中心数 $=45-30=\underline{15}$。
    5. 横线两端之和 $=$ 每部分和 $-$ 中心 $=30-15=\underline{15}$。
    最终答案：每部分的和为 $30$，中心 $15$，两端之和为 $15$。
  45. 32. ch20-xingqu-10 · 第一套
    1. 求最小和：让最小的 5 个数放重叠层。外层 5 数之和 $6+7+8+9+10=\underline{40}$。
    2. 重叠层 5 数之和 $1+2+3+4+5=\underline{15}$。
    3. 5 个圆的总和 $=40+15\times2=\underline{70}$，最小时每个圆的和 $=70\div5=\underline{14}$。
    4. 求最大和：改让最大的 5 个数放重叠层，每个圆的和 $=(15+40\times2)\div5=\underline{19}$。
    最终答案：最小 $14$，最大 $19$。
  46. 32. ch20-xingqu-10 · 第二套
    1. 求最小和：让最小的 5 个数放相邻处。外圈 5 数之和 $5+6+7+8+9=\underline{35}$。
    2. 相邻处 5 数之和 $0+1+2+3+4=\underline{10}$。
    3. 5 个花环的总和 $=35+10\times2=\underline{55}$，最小时每个花环的和 $=55\div5=\underline{11}$。
    4. 求最大和：改让最大的 5 个数放相邻处，每个花环的和 $=(10+35\times2)\div5=\underline{16}$。
    最终答案：最小 $11$，最大 $16$。
  47. 32. ch20-xingqu-10 · 第三套
    1. 求最小和：最小的 5 个奇数放重叠层。外层 5 数之和 $11+13+15+17+19=\underline{75}$。
    2. 重叠层 5 数之和 $1+3+5+7+9=\underline{25}$。
    3. 5 个圆的总和 $=75+25\times2=\underline{125}$，最小时每个圆的和 $=125\div5=\underline{25}$。
    4. 求最大和：改让最大的 5 个奇数放重叠层，每个圆的和 $=(25+75\times2)\div5=\underline{35}$。
    最终答案：最小 $25$，最大 $35$。
  48. 32. ch20-xingqu-10 · 第三套
    1. 求最小和：最小的 5 个偶数放重叠层。外层 5 数之和 $10+12+14+16+18=\underline{70}$。
    2. 重叠层 5 数之和 $0+2+4+6+8=\underline{20}$。
    3. 5 个圆的总和 $=70+20\times2=\underline{110}$，最小时每个圆的和 $=110\div5=\underline{22}$。
    4. 求最大和：改让最大的 5 个偶数放重叠层，每个圆的和 $=(20+70\times2)\div5=\underline{32}$。
    5. 最大与最小之差 $=32-22=\underline{10}$。
    最终答案：最小 $22$，最大 $32$，差 $10$。