竞赛数学 · 四年级 第21讲《排列组合》举一反三练习卷

详细解题思路 + 规范步骤 + 三套填空变式（换数字 / 换场景 / 增加知识点）· 答案见文末附录
1. 【原题 ch21-chaoyue-01】有一些四位数，它们由 4 个互不相同且不为零的数字组成，并且这 4 个数字的和等于 11。将所有这样的四位数从小到大依次排列，第 20 个是多少？
详细思路
是哪类问题：这是「限定数字和的组数与排序定位」类：先确定 4 个互不相同、非零、且和为 11 的数字组，再用全排列分类定位第 20 个。
关键切入点：4 个不同非零数字里最小的一组 $1,2,3,4$ 之和是 10，要和为 11 只能把 4 换成 5，故数字组唯一为 $\{1,2,3,5\}$。用它们组成的四位数共 $A_4^4=24$ 个：千位为 1、2、3 各 $A_3^3=6$ 个共 18 个；第 19、20 个落在千位为 5 的一类，最小的两个是 5123、5132，故第 20 个是 5132。
方法概述：先定出满足数字和的唯一数字组，再全排列分类定位。
规范步骤：
  1. 确定数字组：$1+2+3+4=10$，改 4 为 5 得和 11，数字组唯一 $\{1,2,3,5\}$（数字和限制）
  2. 四位数总数：$A_4^4=4\times 3\times 2\times 1=24$（全排列）
  3. 千位 1、2、3 各 6 个：$A_3^3=6$，共 $3\times 6=18$ 个（分类计数）
  4. 第 19、20 个在千位为 5 中：$5123$ 第 19、$5132$ 第 $18+2=20$（排序定位）
  5. 写出答案：第 20 个是 $5132$
2. 【原题 ch21-chaoyue-02】在身高互不相同的 6 个人中，选出 3 个人站成第一排，另外 3 个人站成第二排。请问：（1）如果可以随便站，那么一共有多少种排法？（2）如果要求第二排最矮的人也比第一排最高的人高，那么一共有多少种不同的排法？
详细思路
是哪类问题：这是「全排列 + 有大小限制分组」类：随便站是 6 人排入两排 6 个位置的全排列 $A_6^6$；要求第二排最矮的也比第一排最高的高，则第一排必是最矮 3 人、第二排是最高 3 人，两排内部各自全排列。
关键切入点：随便站 $A_6^6=720$；有限制时人选唯一确定，$A_3^3\times A_3^3=6\times 6=36$。
方法概述：随便站用 $A_6^6$；有高矮限制时先固定两排人选，再各自 $A_3^3$。
规范步骤：
  1. 随便站是 6 人全排列：$A_6^6=720$（全排列）
  2. 有限制：两排人选唯一：第一排最矮 3 人、第二排最高 3 人（大小限制）
  3. 两排各自全排列：$A_3^3\times A_3^3=6\times 6=36$（乘法原理）
  4. 写出答案：$（1）720；（2）36$
第一套
题目：身高互不相同的 8 个人，4 人站第一排、4 人站第二排。（1）随便站，多少种？（2）要求第二排最矮的也比第一排最高的高，多少种？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（随便站·全排列）：8 人排入两排共 8 个位置，$A_8^8=8\times 7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=\underline{\quad}$（种）。
  2. 第 2 步（有限制）：第一排必是最矮 4 人、第二排最高 4 人，各排内部全排列 $A_4^4=4\times 3\times 2\times 1=\underline{\quad}$（种）。
  3. 第 3 步（乘法原理）：$24\times 24=\underline{\quad}$（种）。
第二套
题目：体重互不相同的 6 名队员，3 人一组分成两组拍照。（1）随便排 6 个位置，多少种？（2）要求第二组最轻的也比第一组最重的重，多少种？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$A_6^6=6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=\underline{\quad}$（种）。
  2. 第 2 步：两组内部各自全排列 $A_3^3=3\times 2\times 1=\underline{\quad}$（种）。
  3. 第 3 步：$6\times 6=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：身高互不相同的 10 个人，5 人第一排、5 人第二排。（1）随便站，多少种？（2）要求第二排最矮的也比第一排最高的高，多少种？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$A_{10}^{10}=10\times 9\times 8\times 7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=\underline{\quad}$（种）。
  2. 第 2 步（有限制）：第一排必是最矮 5 人、第二排最高 5 人，$A_5^5=5\times 4\times 3\times 2\times 1=\underline{\quad}$（种）。
  3. 第 3 步：$120\times 120=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：身高互不相同的 9 个人分成三排，每排 3 人。（1）随便站，多少种？（2）要求第一排全比第二排矮、第二排全比第三排矮，多少种？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（随便站·全排列）：$A_9^9=9\times 8\times 7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=\underline{\quad}$（种）。
  2. 第 2 步（三排递高）：分组唯一（最矮 3、中 3、高 3），每排内部 $A_3^3=3\times 2\times 1=\underline{\quad}$（种）。
  3. 第 3 步（三排相乘）：$6\times 6\times 6=\underline{\quad}$（种）。
3. 【原题 ch21-chaoyue-03】小口袋中有 4 个球，大口袋中有 6 个球，这些球颜色各不相同。请问：（1）任意取出 4 个球，共有多少种不同的结果？（2）取出 4 个球，而且恰好从每个口袋中各取 2 个球，共有多少种不同结果？
详细思路
是哪类问题：这是「分组取球」类：任取 4 个是从 10 个球取 4 的组合 $C_{10}^4$；恰好每袋各取 2 个则分步——先小袋后大袋，用乘法原理 $C_4^2\times C_6^2$。
关键切入点：共 $4+6=10$ 个球，$C_{10}^4=210$；小袋 $C_4^2=6$、大袋 $C_6^2=15$，$6\times 15=90$。
方法概述：任取用 $C_{10}^4$；每袋各取 2 个用 $C_4^2\times C_6^2$。
规范步骤：
  1. 任取 4 个、无序：$C_{10}^4=210$（组合）
  2. 每袋各取 2 个、分步：$C_4^2\times C_6^2=6\times 15=90$（分步计数）
  3. 写出答案：$（1）210；（2）90$
第一套
题目：小口袋有 6 个球、大口袋有 8 个球，颜色各不相同。（1）任取 4 个，多少种？（2）每袋恰好各取 2 个，多少种？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（任取·组合）：共 $6+8=14$ 个球，$C_{14}^4=(14\times 13\times 12\times 11)\div(4\times 3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$（种）。
  2. 第 2 步（各取 2·分步）：小袋 $C_6^2=(6\times 5)\div(2\times 1)=\underline{\quad}$，大袋 $C_8^2=(8\times 7)\div(2\times 1)=\underline{\quad}$，相乘 $15\times 28=\underline{\quad}$（种）。
第二套
题目：甲盒有 4 张不同奖券、乙盒有 6 张不同奖券。（1）任抽 4 张，多少种？（2）每盒恰好各抽 2 张，多少种？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：共 10 张，$C_{10}^4=(10\times 9\times 8\times 7)\div(4\times 3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$（种）。
  2. 第 2 步：$C_4^2=(4\times 3)\div(2\times 1)=\underline{\quad}$，$C_6^2=(6\times 5)\div(2\times 1)=\underline{\quad}$，$6\times 15=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：甲袋 5 个球、乙袋 5 个球，颜色各不相同。（1）任取 4 个，多少种？（2）每袋各取 2 个，多少种？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：共 10 个，$C_{10}^4=(10\times 9\times 8\times 7)\div(4\times 3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$（种）。
  2. 第 2 步：$C_5^2=(5\times 4)\div(2\times 1)=\underline{\quad}$，两袋各取 2 个 $10\times 10=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：小口袋有 4 个球、大口袋有 6 个球，颜色各不相同。任取 4 个球，要求从小口袋取出的个数是偶数（0、2 或 4 个），一共有多少种取法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（小取 0、大取 4）：$C_4^0\times C_6^4=1\times 15=\underline{\quad}$（种）。
  2. 第 2 步（小取 2、大取 2）：$C_4^2\times C_6^2=6\times 15=\underline{\quad}$（种）。
  3. 第 3 步（小取 4、大取 0）：$C_4^4\times C_6^0=1\times 1=\underline{\quad}$（种）。
  4. 第 4 步（相加）：$15+90+1=\underline{\quad}$（种）。
4. 【原题 ch21-chaoyue-04】在 $1\sim 30$ 这 30 个自然数中任意挑选出 2 个不同的数，使得它们的和是偶数，一共有多少种不同的挑选方法？
详细思路
是哪类问题：这是「奇偶分析 + 组合」类：两数之和为偶数，则两数同奇或同偶，按奇偶分两类各取 2 个 $C_{15}^2$，再用加法原理相加。
关键切入点：$1\sim 30$ 中有 15 偶 15 奇；同偶 $C_{15}^2=105$、同奇 $C_{15}^2=105$；共 $105+105=210$。
方法概述：和为偶数即同奇或同偶，各取 2 个后相加。
规范步骤：
  1. 同偶取 2 个：$C_{15}^2=105$（组合）
  2. 同奇取 2 个：$C_{15}^2=105$（组合）
  3. 加法原理：$105+105=210$（分类计数）
  4. 写出答案：$210$ 种
第一套
题目：在 $1\sim 40$ 这 40 个自然数中任选 2 个不同的数，使它们的和是偶数，一共有多少种选法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（奇偶分析）：和为偶数即两数同奇或同偶；$1\sim 40$ 中有 20 偶、20 奇。
  2. 第 2 步（同偶/同奇各取 2）：$C_{20}^2=(20\times 19)\div(2\times 1)=\underline{\quad}$（种）。
  3. 第 3 步（相加）：$190+190=\underline{\quad}$（种）。
第二套
题目：抽奖箱里有编号 $1\sim 30$ 的 30 个球，任取 2 个，要求两个编号之和是偶数，一共有多少种取法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$1\sim 30$ 有 15 偶 15 奇；同偶或同奇 $C_{15}^2=(15\times 14)\div(2\times 1)=\underline{\quad}$（种）。
  2. 第 2 步（相加）：$105+105=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：在 $1\sim 30$ 中任选 2 个不同的数，使它们的和是奇数，一共有多少种选法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（奇偶分析）：和为奇数需一奇一偶；奇数、偶数各 15 个。
  2. 第 2 步（分步·各取一个）：$C_{15}^1=\underline{\quad}$、$C_{15}^1=\underline{\quad}$，相乘 $15\times 15=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：在 $1\sim 30$ 中任选 3 个不同的数，使它们的和是偶数，一共有多少种选法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（三个都偶）：$C_{15}^3=(15\times 14\times 13)\div(3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$（种）。
  2. 第 2 步（一偶两奇）：$C_{15}^1\times C_{15}^2=15\times 105=\underline{\quad}$（种）。
  3. 第 3 步（相加）：$455+1575=\underline{\quad}$（种）。
5. 【原题 ch21-chaoyue-05】如图 21-5 所示，两条直线上分别有 6 个点和 4 个点。以这些点为顶点，可以连出多少个三角形？
详细思路
是哪类问题：这是「含共线点的三角形计数」类：从 10 点任取 3 点本可成 $C_{10}^3$ 个三角形，但要减去 3 点共线的退化情况，用正难则反。
关键切入点：共 $6+4=10$ 点，$C_{10}^3=120$；上线 3 点共线 $C_6^3=20$、下线 $C_4^3=4$；三角形 $120-(20+4)=96$。
方法概述：总数 $C_{10}^3$ 减去三点共线的 $C_6^3+C_4^3$。
规范步骤：
  1. 任取 3 点：$C_{10}^3=120$（组合）
  2. 减去共线三点：$C_6^3+C_4^3=20+4=24$（正难则反）
  3. 作差：$120-24=96$（排除退化）
  4. 写出答案：$96$ 个
第一套
题目：两条直线上分别有 8 个点和 5 个点，以这些点为顶点可以连出多少个三角形？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（总数）：共 $8+5=13$ 点，$C_{13}^3=(13\times 12\times 11)\div(3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$（个）。
  2. 第 2 步（去掉共线三点）：上线 $C_8^3=(8\times 7\times 6)\div(3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$，下线 $C_5^3=(5\times 4\times 3)\div(3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（作差）：$286-(56+10)=\underline{\quad}$（个）。
第二套
题目：操场上有两条跑道线，一条线上插着 6 面小旗、另一条线上插着 4 面小旗，以旗子为顶点能搭出多少个三角形花架？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：共 10 面旗，$C_{10}^3=(10\times 9\times 8)\div(3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$（个）。
  2. 第 2 步：$C_6^3=(6\times 5\times 4)\div(3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$，$C_4^3=(4\times 3\times 2)\div(3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：$120-(20+4)=\underline{\quad}$（个）。
第三套
题目：两条直线上分别有 7 个点和 5 个点，能连出多少个三角形？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：共 12 点，$C_{12}^3=(12\times 11\times 10)\div(3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$（个）。
  2. 第 2 步：$C_7^3=(7\times 6\times 5)\div(3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$，$C_5^3=(5\times 4\times 3)\div(3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：$220-(35+10)=\underline{\quad}$（个）。
第三套
题目：三条直线上各有 4 个点（同一条线上的点共线，不同线的点不共线），以这些点为顶点能连出多少个三角形？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（总数）：共 $3\times 4=12$ 点，$C_{12}^3=(12\times 11\times 10)\div(3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$（个）。
  2. 第 2 步（去掉共线三点）：每条线上 $C_4^3=(4\times 3\times 2)\div(3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$，三条线共 $3\times 4=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（作差）：$220-12=\underline{\quad}$（个）。
6. 【原题 ch21-chaoyue-06】从 15 名同学中选出 5 人，上场参加篮球比赛。请问：（1）如果甲、乙两人必须入选，共有多少种选法？（2）如果甲、乙两人中至少有一人入选，共有多少种选法？（3）如果甲、乙、丙三人中恰好入选一人，共有多少种选法？（4）如果甲、乙、丙不能同时都入选，共有多少种选法？
详细思路
是哪类问题：这是「有限制条件的选人」类：必选则固定后选剩余；「至少一人」「不同时」用正难则反（总数减反面）；「恰好一人」用分步 $C_3^1\times C_{12}^4$。
关键切入点：(1) 甲乙必选，其余 13 人选 3 $C_{13}^3=286$；(2) 至少一人 $C_{15}^5-C_{13}^5=3003-1287=1716$；(3) 恰好一人 $C_3^1\times C_{12}^4=3\times 495=1485$；(4) 不同时 $C_{15}^5-C_{12}^2=3003-66=2937$。
方法概述：必选固定；至少/不同时用正难则反；恰好一人用分步。
规范步骤：
  1. 甲乙必选：$C_{13}^3=286$（固定后选剩余）
  2. 至少一人：$C_{15}^5-C_{13}^5=3003-1287=1716$（正难则反）
  3. 恰好一人：$C_3^1\times C_{12}^4=3\times 495=1485$（分步计数）
  4. 不同时都入选：$C_{15}^5-C_{12}^2=3003-66=2937$（正难则反）
  5. 写出答案：$（1）286；（2）1716；（3）1485；（4）2937$
第一套
题目：从 18 名同学中选 6 人。（1）甲、乙必入选，多少种？（2）甲、乙至少一人入选，多少种？（3）甲、乙、丙恰好一人入选，多少种？（4）甲、乙、丙不同时都入选，多少种？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（甲乙必选）：其余 16 人选 4 人，$C_{16}^4=(16\times 15\times 14\times 13)\div(4\times 3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$（种）。
  2. 第 2 步（至少一人）：$C_{18}^6=(18\times 17\times 16\times 15\times 14\times 13)\div(6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$，甲乙都不选 $C_{16}^6=\underline{\quad}$，相减 $18564-8008=\underline{\quad}$（种）。
  3. 第 3 步（恰好一人）：$C_3^1=\underline{\quad}$，其余 15 人选 5 人 $C_{15}^5=\underline{\quad}$，相乘 $3\times 3003=\underline{\quad}$（种）。
  4. 第 4 步（不同时）：甲乙丙都选则其余 15 人选 3 人 $C_{15}^3=\underline{\quad}$，$18564-455=\underline{\quad}$（种）。
第二套
题目：从 15 名队员中选 5 人上场。（1）队长、副队长必上，多少种？（2）队长、副队长至少一人上，多少种？（3）甲、乙、丙三名新人恰好一人上，多少种？（4）甲、乙、丙不同时都上，多少种？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：其余 13 人选 3 人，$C_{13}^3=(13\times 12\times 11)\div(3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$（种）。
  2. 第 2 步：$C_{15}^5=(15\times 14\times 13\times 12\times 11)\div(5\times 4\times 3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$，两人都不上 $C_{13}^5=\underline{\quad}$，$3003-1287=\underline{\quad}$（种）。
  3. 第 3 步：$C_3^1=\underline{\quad}$，其余 12 人选 4 人 $C_{12}^4=\underline{\quad}$，$3\times 495=\underline{\quad}$（种）。
  4. 第 4 步：三人都上则其余 12 人选 2 人 $C_{12}^2=\underline{\quad}$，$3003-66=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：从 12 名同学中选 4 人。（1）甲、乙必选，多少种？（2）甲、乙至少一人，多少种？（3）甲、乙、丙恰好一人，多少种？（4）甲、乙、丙不同时都选，多少种？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：其余 10 人选 2 人 $C_{10}^2=(10\times 9)\div(2\times 1)=\underline{\quad}$（种）。
  2. 第 2 步：$C_{12}^4=(12\times 11\times 10\times 9)\div(4\times 3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$，甲乙都不选 $C_{10}^4=\underline{\quad}$，$495-210=\underline{\quad}$（种）。
  3. 第 3 步：$C_3^1=\underline{\quad}$，其余 9 人选 3 人 $C_9^3=\underline{\quad}$，$3\times 84=\underline{\quad}$（种）。
  4. 第 4 步：三人都选则其余 9 人选 1 人 $C_9^1=\underline{\quad}$，$495-9=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：从 15 名同学中选 5 人，要求甲、乙、丙三人中恰好有两人入选，一共有多少种选法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（选哪两人）：从甲、乙、丙中选 2 人，$C_3^2=\underline{\quad}$（种）。
  2. 第 2 步（其余 3 人）：从其余 12 人选 3 人，$C_{12}^3=(12\times 11\times 10)\div(3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$（种）。
  3. 第 3 步（分步相乘）：$3\times 220=\underline{\quad}$（种）。
7. 【原题 ch21-chaoyue-07】体育课上，老师将小高、墨莫和另 7 名同学分成 3 组做游戏，每组 3 人。（1）一共有多少种分组方法？（2）如果小高和墨莫要求分到同一组，有多少种分组方法？
详细思路
是哪类问题：这是「均匀分组」类：9 人分 3 组、每组 3 人，三组地位相同（无组间顺序），先依次选出再除以 $A_3^3$ 消除重复；要求两人同组时先配齐该组，再把余下 6 人均匀分 2 组。
关键切入点：分 3 组：$\dfrac{C_9^3 C_6^3 C_3^3}{A_3^3}=\dfrac{84\times 20\times 1}{6}=280$；两人同组：配 1 人 $C_7^1=7$，余 6 人分 2 组 $\dfrac{C_6^3 C_3^3}{A_2^2}=\dfrac{20}{2}=10$，共 $7\times 10=70$。
方法概述：均匀分 3 组要除 $A_3^3$；两人同组先配齐该组再均分余下 6 人。
规范步骤：
  1. 依次选 3 组：$C_9^3\times C_6^3\times C_3^3=84\times 20\times 1$（分步组合）
  2. 消除组间顺序：$\div A_3^3=\div 6$，得 $280$（均匀分组）
  3. 两人同组：$C_7^1\times\dfrac{C_6^3 C_3^3}{A_2^2}=7\times 10=70$（限制条件）
  4. 写出答案：$（1）280；（2）70$
第一套
题目：把 12 个人分成 3 组、每组 4 人。（1）一共多少种分法？（2）如果指定的两人要求分到同一组，多少种？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（依次选 3 组）：$C_{12}^4=(12\times 11\times 10\times 9)\div(4\times 3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$，$C_8^4=(8\times 7\times 6\times 5)\div(4\times 3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$，$C_4^4=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（消除组间顺序）：除以 $A_3^3=3\times 2\times 1=\underline{\quad}$，$\dfrac{495\times 70\times 1}{6}=\underline{\quad}$（种）。
  3. 第 3 步（两人同组·先配该组）：该组再配 2 人 $C_{10}^2=(10\times 9)\div(2\times 1)=\underline{\quad}$（种）。
  4. 第 4 步（余 8 人均分 2 组）：$\dfrac{C_8^4\times C_4^4}{A_2^2}=\dfrac{70\times 1}{2}=\underline{\quad}$（种）。
  5. 第 5 步（乘法原理）：$45\times 35=\underline{\quad}$（种）。
第二套
题目：把 9 名志愿者分成 3 个小队、每队 3 人。（1）一共多少种分法？（2）如果两名队长要求分到同一队，多少种？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$C_9^3=(9\times 8\times 7)\div(3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$，$C_6^3=(6\times 5\times 4)\div(3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$，$C_3^3=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（消序）：除以 $A_3^3=3\times 2\times 1=\underline{\quad}$，$\dfrac{84\times 20\times 1}{6}=\underline{\quad}$（种）。
  3. 第 3 步（同队）：配 1 人 $C_7^1=\underline{\quad}$，余 6 人分 2 队 $\dfrac{C_6^3 C_3^3}{A_2^2}=\dfrac{20\times 1}{2}=\underline{\quad}$，$7\times 10=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：把 6 个人分成 3 组、每组 2 人。（1）一共多少种分法？（2）如果指定的两人分到同一组，多少种？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$C_6^2=(6\times 5)\div(2\times 1)=\underline{\quad}$，$C_4^2=(4\times 3)\div(2\times 1)=\underline{\quad}$，$C_2^2=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（消序）：除以 $A_3^3=3\times 2\times 1=\underline{\quad}$，$\dfrac{15\times 6\times 1}{6}=\underline{\quad}$（种）。
  3. 第 3 步（同组）：两人自成一组，余 4 人分 2 组 $\dfrac{C_4^2 C_2^2}{A_2^2}=\dfrac{6\times 1}{2}=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：把 9 个人分成 2 人、3 人、4 人三个组（各组人数不同）。（1）一共多少种分法？（2）如果指定的甲、乙两人要求都在 4 人组，多少种？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（不等分组·无需消序）：$C_9^2=(9\times 8)\div(2\times 1)=\underline{\quad}$，$C_7^3=(7\times 6\times 5)\div(3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$，$C_4^4=\underline{\quad}$，相乘 $36\times 35\times 1=\underline{\quad}$（种）。
  2. 第 2 步（甲乙在 4 人组·再配 2 人）：$C_7^2=(7\times 6)\div(2\times 1)=\underline{\quad}$（种）。
  3. 第 3 步（余 5 人分 2、3 组）：$C_5^2\times C_3^3=(5\times 4)\div(2\times 1)\times 1=\underline{\quad}$（种）。
  4. 第 4 步（乘法原理）：$21\times 10=\underline{\quad}$（种）。
8. 【原题 ch21-chaoyue-08】大、小两个口袋中，装有一些同样的小球，大口袋里装有 9 个小球，分别编号为 $1\sim 9$；小口袋里装有 6 个小球，分别编号为 $1\sim 6$。从这两个口袋中分别摸出 3 个小球，这 6 个小球的编号一共有多少种可能情况？
详细思路
是哪类问题：这是「按重复个数分类讨论」类：从大袋（编号 $1\sim 9$）和小袋（编号 $1\sim 6$）各摸 3 个，按 6 个编号中「数字相同的对数」分 0、1、2、3 对四类计数，含容斥修正后求和。
关键切入点：①无重复：从 $1\sim 9$ 选 6 个 $C_9^6=84$；②1 对相同：选那一对（必在 $1\sim 6$）$C_6^1=6$，再选剩 4 个 $C_8^4-C_3^3 C_5^1=65$，共 $6\times 65=390$；③2 对相同：$C_6^2=15$，剩 2 个 $C_7^2-C_3^2=18$，共 $15\times 18=270$；④3 对相同：$C_6^3=20$。总计 $84+390+270+20=764$。
方法概述：按两袋取出编号的重复对数（0、1、2、3）分类，含容斥修正后求和。
规范步骤：
  1. 0 对相同：$C_9^6=84$（组合）
  2. 1 对相同：$C_6^1\times(C_8^4-C_3^3 C_5^1)=6\times 65=390$（容斥修正）
  3. 2 对相同：$C_6^2\times(C_7^2-C_3^2)=15\times 18=270$（容斥修正）
  4. 3 对相同：$C_6^3=20$（组合）
  5. 求和：$84+390+270+20=764$（分类计数）
  6. 写出答案：$764$ 种
9. 【原题 ch21-tuozhan-01】计算：（1）$A_5^2$；（2）$A_7^3$；（3）$A_6^4-A_6^2$。
详细思路
是哪类问题：这是「排列数求值」类：按定义从下标起连乘上标个因数；第 3 题先分别把两个排列数算成乘积再作差。
关键切入点：$A_5^2=5\times 4=20$；$A_7^3=7\times 6\times 5=210$；$A_6^4-A_6^2=360-30=330$。
方法概述：上标是几就从下标起连乘几个因数，再按运算顺序合并。
规范步骤：
  1. $A_5^2$：$A_5^2=5\times 4=20$（排列数定义）
  2. $A_7^3$：$A_7^3=7\times 6\times 5=210$（排列数定义）
  3. $A_6^4-A_6^2$：$A_6^4-A_6^2=360-30=330$（先求值后作差）
  4. 写出答案：$（1）20；（2）210；（3）330$
第一套
题目：计算：（1）$A_6^2$；（2）$A_8^3$；（3）$A_7^4-A_7^2$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$A_6^2=6\times 5=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：$A_8^3=8\times 7\times 6=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（作差）：$A_7^4=7\times 6\times 5\times 4=\underline{\quad}$，$A_7^2=7\times 6=\underline{\quad}$，$840-42=\underline{\quad}$。
第二套
题目：（1）5 名选手选 2 人跑两棒，多少种？（2）7 面旗选 3 面排一行，多少种？（3）6 名同学选 4 人排一排的种数，减去选 2 人排一排的种数，是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$A_5^2=5\times 4=\underline{\quad}$（种）。
  2. 第 2 步：$A_7^3=7\times 6\times 5=\underline{\quad}$（种）。
  3. 第 3 步：$A_6^4=6\times 5\times 4\times 3=\underline{\quad}$，$A_6^2=6\times 5=\underline{\quad}$，$360-30=\underline{\quad}$。
第三套
题目：计算：$A_9^3-A_5^2$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$A_9^3=9\times 8\times 7=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：$A_5^2=5\times 4=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（作差）：$504-20=\underline{\quad}$。
第三套
题目：计算：$A_6^4-C_6^2$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（排列）：$A_6^4=6\times 5\times 4\times 3=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（组合）：$C_6^2=(6\times 5)\div(2\times 1)=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（作差）：$360-15=\underline{\quad}$。
10. 【原题 ch21-tuozhan-02】如图 21-2 所示，有 5 面不同颜色的小旗，任取 3 面排成一行表示一种信号，用这 5 面小旗一共可以表示出多少种不同的信号？
详细思路
是哪类问题：这是「选排列计数」类：5 面颜色各不相同的旗子取 3 面排成一行，位置有先后表示不同信号，是从 5 取 3 的排列 $A_5^3$。
关键切入点：第 1 面位置有 5 种旗、第 2 面剩 4 种、第 3 面剩 3 种，逐位相乘即 $A_5^3=60$。
方法概述：取 3 面按顺序排列即 $A_5^3$。
规范步骤：
  1. 取 3 面排一行、有序：$A_5^3$（选排列）
  2. 连乘 3 个因数：$A_5^3=5\times 4\times 3=60$（排列数定义）
  3. 写出答案：$60$ 种
第一套
题目：有 7 面不同颜色的小旗，任取 3 面排成一行表示一种信号，一共可以表示多少种不同的信号？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：从 7 面取 3 面排一行、有序，是选排列 $A_7^3$。
  2. 第 2 步：$A_7^3=7\times 6\times 5=\underline{\quad}$（种）。
第二套
题目：有 5 张颜色不同的卡片，任取 3 张从左到右排成一排组成一个暗号，一共能组成多少个不同的暗号？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：从 5 张取 3 张排一排、有序，是选排列 $A_5^3$。
  2. 第 2 步：$A_5^3=5\times 4\times 3=\underline{\quad}$（个）。
第三套
题目：有 6 面不同颜色的小旗，任取 3 面排成一行表示一种信号，一共可以表示多少种信号？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：从 6 面取 3 面排一行、有序，是选排列 $A_6^3$。
  2. 第 2 步：$A_6^3=6\times 5\times 4=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：有 5 面不同颜色的小旗，任取 3 面排成一行表示信号，要求红旗必须被用上，一共可以表示多少种信号？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（特殊元素·红旗）：红旗必须出现，它可放在 3 个位置之一，有 3 种。
  2. 第 2 步（其余 2 个位置）：从其余 4 面旗中选 2 面排，$A_4^2=4\times 3=\underline{\quad}$（种）。
  3. 第 3 步（乘法原理）：$3\times 12=\underline{\quad}$（种）。
11. 【原题 ch21-tuozhan-03】3 名同学一起去图书馆借科幻小说，发现书架上只剩下 9 本，且各不相同。如果每人只借 1 本，那么共有多少种不同的借法？
详细思路
是哪类问题：这是「选排列计数」类：3 名同学各借 1 本不同的书，相当于从 9 本书中选 3 本依次分给 3 人，位置（人）有区别，是 $A_9^3$。
关键切入点：第 1 名同学有 9 本可借、第 2 名剩 8 本、第 3 名剩 7 本，按乘法原理 $9\times 8\times 7=504$，即 $A_9^3$。
方法概述：每人借 1 本不同的书，等价于 9 本选 3 本排序 $A_9^3$。
规范步骤：
  1. 9 本选 3 本依次分给 3 人：$A_9^3$（乘法原理/选排列）
  2. 连乘 3 个因数：$A_9^3=9\times 8\times 7=504$（排列数定义）
  3. 写出答案：$504$ 种
第一套
题目：4 名同学一起去图书馆借书，书架上只剩 10 本各不相同的书，每人只借 1 本，共有多少种不同的借法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：4 人依次从 10 本不同的书中各借 1 本，第 1 人 10 种、第 2 人 9 种……
  2. 第 2 步（连乘 4 个因数）：$A_{10}^4=10\times 9\times 8\times 7=\underline{\quad}$（种）。
第二套
题目：3 名同学去领奖，奖品架上有 9 份各不相同的奖品，每人只领 1 份，共有多少种不同的领法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：3 人依次从 9 份不同奖品中各领 1 份，相当于 9 选 3 排序。
  2. 第 2 步：$A_9^3=9\times 8\times 7=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：3 名同学一起去借书，书架上剩 8 本各不相同的书，每人只借 1 本，共有多少种借法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：3 人依次从 8 本中各借 1 本，相当于 8 选 3 排序。
  2. 第 2 步：$A_8^3=8\times 7\times 6=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：3 名同学从 9 本各不相同的书中每人借 1 本，之后老师又从剩下的书中挑 1 本作为班级共读书，一共有多少种不同的结果？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（3 人借书）：$A_9^3=9\times 8\times 7=\underline{\quad}$（种）。
  2. 第 2 步（老师再挑 1 本）：借完后还剩 6 本，老师有 6 种挑法，$504\times 6=\underline{\quad}$（种）。
12. 【原题 ch21-tuozhan-04】用 $1\sim 5$ 这 5 个数字组数。（1）可以组成多少个没有重复数字的四位数？（2）将这些四位数从小到大排列起来，4125 是第几个？
详细思路
是哪类问题：这是「组数与排序定位」类：先用 $A_5^4$ 求四位数总数，再按千位数字分类，数出排在 4125 前面的个数来定位。
关键切入点：总数 $A_5^4=120$。千位为 1、2、3 的各有 $A_4^3=24$ 个，共 72 个；千位为 4 时比 4125 小的只有 4123 这 1 个，所以 4125 是第 $72+1+1=74$ 个。
方法概述：总数 $A_5^4$；按千位分类数出更小的个数后定位。
规范步骤：
  1. 四位数总数：$A_5^4=5\times 4\times 3\times 2=120$（选排列）
  2. 千位 1、2、3 各 24 个：$A_4^3=24$，共 $3\times 24=72$ 个（分类计数）
  3. 千位为 4 中比 4125 小的只有 4123：$4125$ 排第 $72+1+1=74$（排序定位）
  4. 写出答案：$120$ 个；第 $74$ 个
第一套
题目：用 $1\sim 6$ 这 6 个数字组数。（1）能组成多少个没有重复数字的四位数？（2）把它们从小到大排列，5123 是第几个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（总数）：从 6 个数字选 4 个排四位数，$A_6^4=6\times 5\times 4\times 3=\underline{\quad}$（个）。
  2. 第 2 步（数更小的）：千位取 1、2、3、4 共 4 种都比 5123 小，每种 $A_5^3=5\times 4\times 3=\underline{\quad}$ 个，合计 $4\times 60=\underline{\quad}$ 个。
  3. 第 3 步（定位）：5123 是千位为 5 的四位数里最小的，排第 $240+1=\underline{\quad}$。
第二套
题目：用数字卡片 $1,2,3,4,5$ 拼四位数（数字不重复）。（1）能拼多少个？（2）把它们从小到大排列，4125 是第几个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（总数）：$A_5^4=5\times 4\times 3\times 2=\underline{\quad}$（个）。
  2. 第 2 步（数更小的）：千位为 1、2、3 各有 $A_4^3=4\times 3\times 2=\underline{\quad}$ 个，共 $3\times 24=\underline{\quad}$ 个比 4125 小。
  3. 第 3 步（定位）：千位为 4 中比 4125 小的只有 4123 这 1 个，故 4125 排第 $72+1+1=\underline{\quad}$。
第三套
题目：用 $1\sim 5$ 组成没有重复数字的四位数，从小到大排列，3124 是第几个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（总数）：$A_5^4=5\times 4\times 3\times 2=\underline{\quad}$（个）。
  2. 第 2 步（数更小的）：千位取 1、2 共 2 种都比 3124 小，每种 $A_4^3=4\times 3\times 2=\underline{\quad}$ 个，合计 $2\times 24=\underline{\quad}$ 个。
  3. 第 3 步（定位）：3124 是千位为 3 的四位数里最小的，排第 $48+1=\underline{\quad}$。
第三套
题目：用 $1\sim 6$ 组成没有重复数字的五位数，一共有多少个？从小到大排列，31245 是第几个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（总数）：从 6 个数字选 5 个排五位数，$A_6^5=6\times 5\times 4\times 3\times 2=\underline{\quad}$（个）。
  2. 第 2 步（数更小的）：万位取 1、2 共 2 种都比 31245 小，每种 $A_5^4=5\times 4\times 3\times 2=\underline{\quad}$ 个，合计 $2\times 120=\underline{\quad}$ 个。
  3. 第 3 步（定位）：31245 是万位为 3 的五位数里最小的，排第 $240+1=\underline{\quad}$。
13. 【原题 ch21-tuozhan-05】计算：（1）$C_9^3$；（2）$C_{10}^3-2\times C_{10}^2$；（3）$C_5^4,\ C_5^1$；（4）$C_{10}^7,\ C_{10}^3$。
详细思路
是哪类问题：这是「组合数求值与对称性」类：用 $C_n^m=A_n^m\div A_m^m$ 求值，并用对称性 $C_n^m=C_n^{n-m}$ 把大上标化小、验证相等。
关键切入点：$C_9^3=84$；$C_{10}^3-2C_{10}^2=120-2\times 45=30$；$C_5^4=C_5^1=5$；$C_{10}^7=C_{10}^3=120$。
方法概述：$C_n^m=A_n^m\div A_m^m$，配合对称性 $C_n^m=C_n^{n-m}$。
规范步骤：
  1. $C_9^3$：$C_9^3=(9\times 8\times 7)\div(3\times 2\times 1)=84$（组合）
  2. $C_{10}^3-2C_{10}^2$：$120-2\times 45=30$（组合）
  3. 对称性 $C_5^4=C_5^1$：$C_5^4=C_5^1=5$（对称性）
  4. 对称性 $C_{10}^7=C_{10}^3$：$C_{10}^7=C_{10}^3=120$（对称性）
  5. 写出答案：$（1）84；（2）30；（3）5,5；（4）120,120$
第一套
题目：计算：（1）$C_{10}^3$；（2）$C_{11}^3-2\times C_{11}^2$；（3）$C_6^5$；（4）$C_{11}^8$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$C_{10}^3=(10\times 9\times 8)\div(3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：$C_{11}^3=(11\times 10\times 9)\div(3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$，$C_{11}^2=(11\times 10)\div(2\times 1)=\underline{\quad}$，$165-2\times 55=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（对称性）：$C_6^5=C_6^1=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（对称性）：$C_{11}^8=C_{11}^3=\underline{\quad}$。
第二套
题目：（1）9 人选 3 人做卫生有多少种？（2）10 人选 3 人的方法数减去 2 倍选 2 人的方法数是多少？（3）5 名候选选 4 名（＝选出落选 1 名）有多少种？（4）10 件展品选 7 件展出（＝选出撤下 3 件）有多少种？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$C_9^3=(9\times 8\times 7)\div(3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$（种）。
  2. 第 2 步：$C_{10}^3=(10\times 9\times 8)\div(3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$，$C_{10}^2=(10\times 9)\div(2\times 1)=\underline{\quad}$，$120-2\times 45=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（对称性）：选 4 名＝选出落选 1 名，$C_5^4=C_5^1=\underline{\quad}$（种）。
  4. 第 4 步（对称性）：选 7 件＝选出撤下 3 件，$C_{10}^7=C_{10}^3=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：计算并验证对称性：（1）$C_8^2$ 与 $C_8^6$；（2）$C_9^4$ 与 $C_9^5$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$C_8^2=(8\times 7)\div(2\times 1)=\underline{\quad}$，由对称性 $C_8^6=C_8^2=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：$C_9^4=(9\times 8\times 7\times 6)\div(4\times 3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$，由对称性 $C_9^5=C_9^4=\underline{\quad}$。
第三套
题目：计算：$C_8^3+A_5^2\times C_4^2$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（组合）：$C_8^3=(8\times 7\times 6)\div(3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（排列）：$A_5^2=5\times 4=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（组合）：$C_4^2=(4\times 3)\div(2\times 1)=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（先乘后加）：$56+20\times 6=\underline{\quad}$。
14. 【原题 ch21-tuozhan-06】如图 21-3 所示，从端点 $O$ 出发的射线共有 7 条，图中一共有多少个锐角？
详细思路
是哪类问题：这是「几何计数（角）」类：从端点 $O$ 引出的每 2 条射线恰好夹出 1 个锐角，取 2 条射线不分先后，是组合 $C_7^2$。
关键切入点：锐角个数 = 从 7 条射线取 2 条 $C_7^2=(7\times 6)\div(2\times 1)=21$。
方法概述：每个锐角由 2 条射线决定，取 2 条射线即 $C_7^2$。
规范步骤：
  1. 取 2 条射线定 1 个角、无序：$C_7^2$（组合）
  2. 用公式求值：$C_7^2=(7\times 6)\div(2\times 1)=21$（组合数定义）
  3. 写出答案：$21$ 个
第一套
题目：从端点 $O$ 出发的射线共有 9 条，图中一共有多少个锐角？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：每个锐角由 2 条射线决定、无序，是组合 $C_9^2$。
  2. 第 2 步：$C_9^2=(9\times 8)\div(2\times 1)=\underline{\quad}$（个）。
第二套
题目：一个路口有 7 条从中心点向外的道路，任意两条道路之间形成一个夹角，一共有多少个这样的夹角？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：每个夹角由 2 条道路决定、无序，是组合 $C_7^2$。
  2. 第 2 步：$C_7^2=(7\times 6)\div(2\times 1)=\underline{\quad}$（个）。
第三套
题目：从端点 $O$ 出发的射线共有 8 条，一共有多少个角？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：每个角由 2 条射线决定、无序，是组合 $C_8^2$。
  2. 第 2 步：$C_8^2=(8\times 7)\div(2\times 1)=\underline{\quad}$（个）。
第三套
题目：从端点 $O$ 出发的射线共有 8 条。（1）一共能数出多少个角？（2）如果每个角都要区分「起始边」和「终止边」，又能得到多少个有向角？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（无向角·组合）：取 2 条射线不分先后，$C_8^2=(8\times 7)\div(2\times 1)=\underline{\quad}$（个）。
  2. 第 2 步（有向角·排列）：区分起始边、终止边后有先后之分，$A_8^2=8\times 7=\underline{\quad}$（个）。
15. 【原题 ch21-tuozhan-07】如图 21-4 所示，在一个圆周上有 8 个点，以这些点为顶点或端点，一共可以画出：（1）多少条线段？（2）多少个三角形？（3）多少个四边形？
详细思路
是哪类问题：这是「几何计数」类：圆周上任意若干点都不共线，取 2 点连线段、取 3 点连三角形、取 4 点连四边形，都与顺序无关，分别是 $C_8^2$、$C_8^3$、$C_8^4$。
关键切入点：线段 $C_8^2=28$、三角形 $C_8^3=56$、四边形 $C_8^4=70$。
方法概述：圆上点两两不共线，取 2/3/4 点分别用 $C_8^2$、$C_8^3$、$C_8^4$。
规范步骤：
  1. 线段取 2 点：$C_8^2=28$（组合）
  2. 三角形取 3 点：$C_8^3=56$（组合）
  3. 四边形取 4 点：$C_8^4=70$（组合）
  4. 写出答案：$（1）28；（2）56；（3）70$
第一套
题目：圆周上有 10 个点。（1）能画多少条线段？（2）多少个三角形？（3）多少个四边形？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（线段）：$C_{10}^2=(10\times 9)\div(2\times 1)=\underline{\quad}$（条）。
  2. 第 2 步（三角形）：$C_{10}^3=(10\times 9\times 8)\div(3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$（个）。
  3. 第 3 步（四边形）：$C_{10}^4=(10\times 9\times 8\times 7)\div(4\times 3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$（个）。
第二套
题目：钟面上均匀分布着 8 个不同的刻度点。（1）任意两点连一条线段，共多少条？（2）任意三点连一个三角形，共多少个？（3）任意四点连一个四边形，共多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$C_8^2=(8\times 7)\div(2\times 1)=\underline{\quad}$（条）。
  2. 第 2 步：$C_8^3=(8\times 7\times 6)\div(3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$（个）。
  3. 第 3 步：$C_8^4=(8\times 7\times 6\times 5)\div(4\times 3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$（个）。
第三套
题目：圆周上有 9 个点。（1）多少条线段？（2）多少个三角形？（3）多少个四边形？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$C_9^2=(9\times 8)\div(2\times 1)=\underline{\quad}$（条）。
  2. 第 2 步：$C_9^3=(9\times 8\times 7)\div(3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$（个）。
  3. 第 3 步：$C_9^4=(9\times 8\times 7\times 6)\div(4\times 3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$（个）。
第三套
题目：圆周上有 9 个点。（1）多少条线段？（2）多少个三角形？（3）多少个四边形？（4）多少个五边形？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$C_9^2=(9\times 8)\div(2\times 1)=\underline{\quad}$（条）。
  2. 第 2 步：$C_9^3=(9\times 8\times 7)\div(3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$（个）。
  3. 第 3 步：$C_9^4=(9\times 8\times 7\times 6)\div(4\times 3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$（个）。
  4. 第 4 步（五边形取 5 点）：$C_9^5=(9\times 8\times 7\times 6\times 5)\div(5\times 4\times 3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$（个）。
16. 【原题 ch21-tuozhan-08】9 支球队进行足球比赛，实行单循环赛制，每两队之间只比赛一场。每场比赛胜方得 3 分、负方得 0 分，平局时各得 1 分。请问：（1）一共要举行多少场比赛？（2）9 支球队的得分总和最多为多少分？
详细思路
是哪类问题：这是「组合数（场次）+ 极值分析」类：单循环每两队打一场，场次 = 从 9 队取 2 队 $C_9^2$；每场分胜负全场得 3 分、平局全场得 2 分，要总分最多就每场都分胜负。
关键切入点：场次 $C_9^2=36$。每场分胜负得 3 分 >平局 2 分，故 36 场都分胜负时总分最多 $36\times 3=108$。
方法概述：场次用 $C_9^2$；每场分胜负得分多，故全分胜负时总分最大。
规范步骤：
  1. 场次取 2 队、无序：$C_9^2=(9\times 8)\div(2\times 1)=36$（组合）
  2. 最多得分：每场都分胜负：$36\times 3=108$（极值分析）
  3. 写出答案：$（1）36$ 场；$（2）108$ 分
第一套
题目：12 支球队进行单循环赛，每两队比赛一场，胜方得 3 分、负方 0 分、平局各得 1 分。（1）一共多少场？（2）得分总和最多多少分？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（场次·组合）：$C_{12}^2=(12\times 11)\div(2\times 1)=\underline{\quad}$（场）。
  2. 第 2 步（最多得分）：每场都分胜负全场得 3 分最多，$66\times 3=\underline{\quad}$（分）。
第二套
题目：9 名棋手进行单循环象棋赛，每两人下一盘，胜者得 3 分、负者 0 分、和棋各得 1 分。（1）共下多少盘？（2）所有人得分总和最多多少分？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$C_9^2=(9\times 8)\div(2\times 1)=\underline{\quad}$（盘）。
  2. 第 2 步：每盘都分胜负得 3 分最多，$36\times 3=\underline{\quad}$（分）。
第三套
题目：10 支球队单循环赛，规则同上。（1）多少场？（2）得分总和最多多少分？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$C_{10}^2=(10\times 9)\div(2\times 1)=\underline{\quad}$（场）。
  2. 第 2 步：$45\times 3=\underline{\quad}$（分）。
第三套
题目：12 支球队进行双循环赛，每两队之间比赛 2 场，规则同上。（1）一共多少场？（2）得分总和最多多少分？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（单循环场次）：$C_{12}^2=(12\times 11)\div(2\times 1)=\underline{\quad}$（场）。
  2. 第 2 步（双循环）：每两队打 2 场，$66\times 2=\underline{\quad}$（场）。
  3. 第 3 步（最多得分）：每场都分胜负，$132\times 3=\underline{\quad}$（分）。
17. 【原题 ch21-tuozhan-09】学校十佳歌手大赛的 10 名获奖选手中，每 3 人都要照一张合影，请问：需要拍多少张照片？
详细思路
是哪类问题：这是「组合数计算」类：每 3 人照一张合影，照片与 3 人的先后顺序无关，是从 10 人取 3 人的组合 $C_{10}^3$。
关键切入点：$C_{10}^3=(10\times 9\times 8)\div(3\times 2\times 1)=120$。
方法概述：每张合影对应一个 3 人组合，用 $C_{10}^3$。
规范步骤：
  1. 取 3 人、无序：$C_{10}^3$（组合）
  2. 用公式求值：$C_{10}^3=(10\times 9\times 8)\div(3\times 2\times 1)=120$（组合数定义）
  3. 写出答案：$120$ 张
第一套
题目：12 名获奖选手中，每 3 人都要照一张合影，需要拍多少张照片？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：每张合影对应一个 3 人组合，$C_{12}^3$。
  2. 第 2 步：$C_{12}^3=(12\times 11\times 10)\div(3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$（张）。
第二套
题目：10 名队员，每 3 人组成一个临时小组去完成一项任务，一共能组成多少个不同的小组？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：每个小组对应一个 3 人组合，$C_{10}^3$。
  2. 第 2 步：$C_{10}^3=(10\times 9\times 8)\div(3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$（个）。
第三套
题目：11 名同学中，每 3 人照一张合影，需要拍多少张？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$C_{11}^3=(11\times 10\times 9)\div(3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$（张）。
第三套
题目：10 名获奖选手中，每 2 人要合一张影，每 3 人也要合一张影，一共要拍多少张照片？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（两人合影·组合）：$C_{10}^2=(10\times 9)\div(2\times 1)=\underline{\quad}$（张）。
  2. 第 2 步（三人合影·组合）：$C_{10}^3=(10\times 9\times 8)\div(3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$（张）。
  3. 第 3 步（相加）：$45+120=\underline{\quad}$（张）。
18. 【原题 ch21-tuozhan-10】卡莉娅把 10 张不同的魔法卡片分给墨莫和小高，每人决定给墨莫 8 张、给小高 2 张，一共有多少种不同的分法？
详细思路
是哪类问题：这是「物品分配组合」类：给小高的 2 张确定后，剩下 8 张自动全给墨莫，所以只要从 10 张中给小高选 2 张，是组合 $C_{10}^2$。
关键切入点：确定给小高的 2 张即确定整个分法，$C_{10}^2=45$。
方法概述：确定给一方的若干张即确定整个分法，用 $C_{10}^2$。
规范步骤：
  1. 只需给小高选 2 张、无序：$C_{10}^2$（组合）
  2. 用公式求值：$C_{10}^2=(10\times 9)\div(2\times 1)=45$（组合数定义）
  3. 写出答案：$45$ 种
第一套
题目：把 12 张不同的卡片分给两人，给一人 9 张、另一人 3 张，一共有多少种不同的分法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：确定拿 3 张那人的卡片即确定整个分法，$C_{12}^3$。
  2. 第 2 步：$C_{12}^3=(12\times 11\times 10)\div(3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$（种）。
第二套
题目：老师把 10 本不同的练习册分给甲、乙两人，甲拿 8 本、乙拿 2 本，一共有多少种分法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：确定乙拿的 2 本即确定整个分法，$C_{10}^2$。
  2. 第 2 步：$C_{10}^2=(10\times 9)\div(2\times 1)=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：把 10 张不同的卡片分给两人，一人 6 张、一人 4 张，一共有多少种分法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：确定拿 4 张那人的卡片即确定整个分法，$C_{10}^4$。
  2. 第 2 步：$C_{10}^4=(10\times 9\times 8\times 7)\div(4\times 3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：把 12 张不同的卡片分给甲、乙、丙三人，甲 6 张、乙 4 张、丙 2 张，一共有多少种分法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（给甲选 6 张）：$C_{12}^6=(12\times 11\times 10\times 9\times 8\times 7)\div(6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$（种）。
  2. 第 2 步（再给乙选 4 张）：从剩 6 张选 4 张，$C_6^4=(6\times 5\times 4\times 3)\div(4\times 3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$（种）。
  3. 第 3 步（剩 2 张给丙）：$C_2^2=\underline{\quad}$（种）。
  4. 第 4 步（乘法原理）：$924\times 15\times 1=\underline{\quad}$（种）。
19. 【原题 ch21-tuozhan-11】在新学期的班会上，大家要从 11 名候选人中选出班干部，请问：（1）选出 3 人组成班委会，一共有多少种选法？（2）从剩下的候选人中，选出 3 人分别担任语文、数学、英语的课代表，一共有多少种选法？
详细思路
是哪类问题：这是「组合 + 排列」类：组班委会 3 人不分先后是组合 $C_{11}^3$；语文、数学、英语课代表有职务之分是排列，从剩下 8 人中取 3 人排 $A_8^3$。
关键切入点：班委会 $C_{11}^3=165$；剩 8 人选 3 人任三科课代表 $A_8^3=8\times 7\times 6=336$。
方法概述：无序组班委用 $C_{11}^3$；有序任课代表用剩余 8 人的 $A_8^3$。
规范步骤：
  1. 组班委会 3 人、无序：$C_{11}^3=165$（组合）
  2. 三科课代表、有序：$A_8^3=8\times 7\times 6=336$（排列）
  3. 写出答案：$（1）165$ 种；$（2）336$ 种
第一套
题目：从 13 名候选人中：（1）选 3 人组成班委会，多少种？（2）从剩下的人中选 3 人分别任语文、数学、英语课代表，多少种？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（组班委·无序）：$C_{13}^3=(13\times 12\times 11)\div(3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$（种）。
  2. 第 2 步（任课代表·有序）：剩 10 人选 3 人排，$A_{10}^3=10\times 9\times 8=\underline{\quad}$（种）。
第二套
题目：从 11 名志愿者中：（1）选 3 人组成后勤组，多少种？（2）再从剩下的人中选 3 人分别担任检票、引导、讲解，多少种？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（后勤组·无序）：$C_{11}^3=(11\times 10\times 9)\div(3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$（种）。
  2. 第 2 步（三项岗位·有序）：剩 8 人选 3 人排，$A_8^3=8\times 7\times 6=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：从 12 名候选人中：（1）选 3 人组成班委会，多少种？（2）从剩下的人中选 3 人任三科课代表，多少种？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$C_{12}^3=(12\times 11\times 10)\div(3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$（种）。
  2. 第 2 步：剩 9 人选 3 人排，$A_9^3=9\times 8\times 7=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：从 11 名候选人中：（1）选 3 人组成班委会；（2）从剩下的人中选 3 人任语文、数学、英语课代表；（3）再从剩下的人中选 2 人任正、副卫生委员。各有多少种？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（班委·无序）：$C_{11}^3=(11\times 10\times 9)\div(3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$（种）。
  2. 第 2 步（课代表·有序）：剩 8 人选 3 人排，$A_8^3=8\times 7\times 6=\underline{\quad}$（种）。
  3. 第 3 步（卫生委员·有序）：再剩 5 人选 2 人排，$A_5^2=5\times 4=\underline{\quad}$（种）。
20. 【原题 ch21-tuozhan-12】萱萱要从 8 门课程中选学 3 门，一共有多少种选法？如果数学课与钢琴课时间冲突，不能同时学，她一共有多少种选法？
详细思路
是哪类问题：这是「组合 + 正难则反」类：8 门选 3 门是 $C_8^3$；数学与钢琴不能同时学，用总数减去「数学、钢琴都选」的情况。
关键切入点：总数 $C_8^3=56$；数学、钢琴都选时再从其余 6 门选 1 门 $C_6^1=6$；满足要求 $56-6=50$。
方法概述：总数 $C_8^3$ 减去「两门同时被选」的 $C_6^1$。
规范步骤：
  1. 总数、无序：$C_8^3=56$（组合）
  2. 减去两门同选：$56-C_6^1=56-6=50$（正难则反）
  3. 写出答案：$（1）56$ 种；$（2）50$ 种
第一套
题目：从 10 门课程中选学 4 门，一共多少种？如果 A、B 两门时间冲突不能同时学，又有多少种？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（总数）：$C_{10}^4=(10\times 9\times 8\times 7)\div(4\times 3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$（种）。
  2. 第 2 步（正难则反）：A、B 都选则再从其余 8 门选 2 门，$C_8^2=(8\times 7)\div(2\times 1)=\underline{\quad}$（种）。
  3. 第 3 步（相减）：$210-28=\underline{\quad}$（种）。
第二套
题目：从 8 个兴趣班中报 3 个，一共多少种？如果舞蹈班与武术班时间冲突不能同报，又有多少种？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$C_8^3=(8\times 7\times 6)\div(3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$（种）。
  2. 第 2 步（正难则反）：两班都报则再从其余 6 个选 1 个，$C_6^1=\underline{\quad}$（种）。
  3. 第 3 步：$56-6=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：从 9 门课程中选 3 门，如果 A、B 两门不能同时选，一共多少种选法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$C_9^3=(9\times 8\times 7)\div(3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$（种）。
  2. 第 2 步（正难则反）：A、B 都选则再选 1 门，$C_7^1=\underline{\quad}$（种）。
  3. 第 3 步：$84-7=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：从 8 门课程中选 3 门，数学与钢琴不能同时学，语文与美术也不能同时学，一共多少种选法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（总数）：$C_8^3=(8\times 7\times 6)\div(3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$（种）。
  2. 第 2 步（去掉数、钢同选）：$C_6^1=\underline{\quad}$（种）。
  3. 第 3 步（去掉语、美同选）：同理 $C_6^1=\underline{\quad}$（种）；两种冲突不会同时发生（选 3 门装不下两对）。
  4. 第 4 步（相减）：$56-6-6=\underline{\quad}$（种）。
21. 【原题 ch21-tuozhan-13】卡莉娅和萱萱、小高、墨莫去参加一次聚会，主持人要求每个人从 12 个颜色不同的彩球中领取一个。请问：（1）萱萱第一个取球，她一共选出了 4 个球，准备分给大家，那么一共有多少种选法？（2）萱萱回到座位后，把这 4 个球分给大家，一共有多少种分法？（3）最后他们 4 人手中拿到的球一共有多少种可能？
详细思路
是哪类问题：这是「选取与分配」类：替大家选 4 个球不分先后是组合 $C_{12}^4$；把 4 个球分给指定 4 人有先后是全排列 $A_4^4$；整体取并分配 $A_{12}^4=C_{12}^4\times A_4^4$。
关键切入点：$C_{12}^4=495$；$A_4^4=24$；$A_{12}^4=12\times 11\times 10\times 9=11880=495\times 24$。
方法概述：选球无序 $C_{12}^4$；分给 4 人有序 $A_4^4$；整体 $A_{12}^4$。
规范步骤：
  1. 选 4 个球、无序：$C_{12}^4=495$（组合）
  2. 分给 4 人、有序：$A_4^4=24$（全排列）
  3. 整体取并分配：$A_{12}^4=11880=495\times 24$（组合×排列）
  4. 写出答案：$（1）495；（2）24；（3）11880$
第一套
题目：从 14 个不同的球中：（1）选出 5 个，多少种？（2）把这 5 个分给 5 人，多少种？（3）从 14 个球取 5 个直接分给 5 人，多少种？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（选球·无序）：$C_{14}^5=(14\times 13\times 12\times 11\times 10)\div(5\times 4\times 3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$（种）。
  2. 第 2 步（分给 5 人·有序）：$A_5^5=5\times 4\times 3\times 2\times 1=\underline{\quad}$（种）。
  3. 第 3 步（整体）：$A_{14}^5=14\times 13\times 12\times 11\times 10=\underline{\quad}$（种），也等于 $2002\times 120=\underline{\quad}$。
第二套
题目：从 12 支不同的笔中：（1）挑出 4 支，多少种？（2）把这 4 支分给 4 名同学，多少种？（3）从 12 支笔取 4 支直接分给 4 名同学，多少种？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$C_{12}^4=(12\times 11\times 10\times 9)\div(4\times 3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$（种）。
  2. 第 2 步：$A_4^4=4\times 3\times 2\times 1=\underline{\quad}$（种）。
  3. 第 3 步：$A_{12}^4=12\times 11\times 10\times 9=\underline{\quad}$（种），即 $495\times 24=\underline{\quad}$。
第三套
题目：从 10 个不同的球中取 4 个分给 4 人：（1）选球多少种？（2）分配多少种？（3）整体多少种？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$C_{10}^4=(10\times 9\times 8\times 7)\div(4\times 3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$（种）。
  2. 第 2 步：$A_4^4=4\times 3\times 2\times 1=\underline{\quad}$（种）。
  3. 第 3 步：$A_{10}^4=10\times 9\times 8\times 7=\underline{\quad}$（种），即 $210\times 24=\underline{\quad}$。
第三套
题目：从 12 个不同的球中取 4 个分给 4 名同学，要求其中的红球必须被取到，一共有多少种不同的结果？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（红球必选·再选 3 个）：红球已定，再从其余 11 球选 3 个，$C_{11}^3=(11\times 10\times 9)\div(3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$（种）。
  2. 第 2 步（分给 4 人·有序）：$A_4^4=4\times 3\times 2\times 1=\underline{\quad}$（种）。
  3. 第 3 步（乘法原理）：$165\times 24=\underline{\quad}$（种）。
22. 【原题 ch21-tuozhan-14】周末，老师要从第一组的 10 名男生和 10 名女生中选出 5 人留下打扫卫生。请问：（1）如果老师随意选择，一共有多少种选择方法？（2）如果老师决定选出 2 名男生和 3 名女生，一共有多少种选择方法？
详细思路
是哪类问题：这是「分类人数限制的选取」类：随意选 5 人是从 20 人取 5 的组合 $C_{20}^5$；指定 2 男 3 女则分步——先男后女，用乘法原理 $C_{10}^2\times C_{10}^3$。
关键切入点：$C_{20}^5=15504$；$C_{10}^2=45$、$C_{10}^3=120$，$45\times 120=5400$。
方法概述：随意选用 $C_{20}^5$；限定男女人数用 $C_{10}^2\times C_{10}^3$。
规范步骤：
  1. 随意选 5 人、无序：$C_{20}^5=15504$（组合）
  2. 2 男 3 女、分步：$C_{10}^2\times C_{10}^3=45\times 120=5400$（分步计数）
  3. 写出答案：$（1）15504；（2）5400$
第一套
题目：从 12 名男生和 12 名女生中选 5 人打扫卫生。（1）随意选，多少种？（2）选 2 男 3 女，多少种？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（随意选·组合）：共 24 人，$C_{24}^5=(24\times 23\times 22\times 21\times 20)\div(5\times 4\times 3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$（种）。
  2. 第 2 步（2 男·组合）：$C_{12}^2=(12\times 11)\div(2\times 1)=\underline{\quad}$（种）。
  3. 第 3 步（3 女·组合）：$C_{12}^3=(12\times 11\times 10)\div(3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$（种）。
  4. 第 4 步（分步相乘）：$66\times 220=\underline{\quad}$（种）。
第二套
题目：合唱团有 10 名高音和 10 名低音，要选 5 人组成小分队。（1）随意选，多少种？（2）选 2 名高音 3 名低音，多少种？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：共 20 人，$C_{20}^5=(20\times 19\times 18\times 17\times 16)\div(5\times 4\times 3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$（种）。
  2. 第 2 步：$C_{10}^2=(10\times 9)\div(2\times 1)=\underline{\quad}$，$C_{10}^3=(10\times 9\times 8)\div(3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$，$45\times 120=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：从 9 名男生和 9 名女生中选 5 人。（1）随意选，多少种？（2）选 2 男 3 女，多少种？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：共 18 人，$C_{18}^5=(18\times 17\times 16\times 15\times 14)\div(5\times 4\times 3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$（种）。
  2. 第 2 步：$C_9^2=(9\times 8)\div(2\times 1)=\underline{\quad}$，$C_9^3=(9\times 8\times 7)\div(3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$，$36\times 84=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：从 10 名男生和 10 名女生中选 5 人，要求至少有 4 名女生，一共有多少种选法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（4 女 1 男）：$C_{10}^4=(10\times 9\times 8\times 7)\div(4\times 3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$，$C_{10}^1=\underline{\quad}$，相乘 $210\times 10=\underline{\quad}$（种）。
  2. 第 2 步（5 女 0 男）：$C_{10}^5=(10\times 9\times 8\times 7\times 6)\div(5\times 4\times 3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$（种）。
  3. 第 3 步（相加）：$2100+252=\underline{\quad}$（种）。
23. 【原题 ch21-xingqu-01】计算：（1）$A_4^2$；（2）$A_{10}^4$；（3）$3\times A_3^3+A_6^3$。
详细思路
是哪类问题：这是「排列数求值」类计算题：按排列数的定义 $A_n^m=n(n-1)\cdots(n-m+1)$，从 $n$ 开始连续写 $m$ 个依次减 1 的因数相乘。
关键切入点：关键是数清「从几开始、乘几个」：$A_4^2$ 从 4 开始乘 2 个因数；$A_{10}^4$ 从 10 开始乘 4 个因数；第 (3) 题里 $A_3^3$ 是全排列要乘满 3 个因数，$A_6^3$ 从 6 开始乘 3 个，最后按先乘后加的顺序合并。
方法概述：上标是几就连乘几个因数，从下标开始逐个减 1。
规范步骤：
  1. $A_4^2$ 从 4 起连乘 2 个因数：$A_4^2=4\times 3=12$（排列数定义）
  2. $A_{10}^4$ 从 10 起连乘 4 个因数：$A_{10}^4=10\times 9\times 8\times 7=5040$（排列数定义）
  3. $A_3^3$ 是 3 个元素的全排列：$A_3^3=3\times 2\times 1=6$（全排列）
  4. $A_6^3$ 从 6 起连乘 3 个因数：$A_6^3=6\times 5\times 4=120$（排列数定义）
  5. 先乘后加合并第 (3) 题：$3\times 6+120=18+120=138$（四则运算顺序）
  6. 写出答案：$（1）12；（2）5040；（3）138$
第一套
题目：计算：（1）$A_6^2$；（2）$A_{12}^4$；（3）$4\times A_4^4+A_7^3$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（认出乘几个）：$A_6^2$ 上标是 2，从 6 起连乘 2 个因数，$A_6^2=6\times 5=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：$A_{12}^4$ 上标是 4，从 12 起连乘 4 个因数，$A_{12}^4=12\times 11\times 10\times 9=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（拆开第 (3) 题）：$A_4^4$ 是全排列，$A_4^4=4\times 3\times 2\times 1=\underline{\quad}$；$A_7^3=7\times 6\times 5=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（先乘后加）：$4\times 24=\underline{\quad}$，再加 $210$，得 $96+210=\underline{\quad}$。
第二套
题目：运动会安排：（1）从 4 名队员中选 2 名跑第一棒、第二棒，有多少种安排？（2）从 10 本不同的书中选 4 本依次摆在书架的 4 个位置上，有多少种摆法？（3）3 名同学排成一队的排法数的 3 倍，再加上从 6 面不同的旗中选 3 面排成一行的排法数，是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：选 2 名分跑两棒，有先后之分，是排列，$A_4^2=4\times 3=\underline{\quad}$（种）。
  2. 第 2 步：10 本选 4 本还要分位置，是排列，$A_{10}^4=10\times 9\times 8\times 7=\underline{\quad}$（种）。
  3. 第 3 步：3 人排队是全排列，$A_3^3=3\times 2\times 1=\underline{\quad}$（种）；6 面旗选 3 面排一行，$A_6^3=6\times 5\times 4=\underline{\quad}$（种）。
  4. 第 4 步：按题意合并，$3\times 6+120=\underline{\quad}$。
第三套
题目：计算：（1）$A_5^3$；（2）$A_8^2$；（3）$2\times A_4^4+A_5^2$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$A_5^3=5\times 4\times 3=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：$A_8^2=8\times 7=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（拆开）：$A_4^4=4\times 3\times 2\times 1=\underline{\quad}$，$A_5^2=5\times 4=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（先乘后加）：$2\times 24+20=\underline{\quad}$。
第三套
题目：计算：$A_7^3\times C_5^2-A_6^2$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（排列数）：$A_7^3=7\times 6\times 5=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（组合数）：组合数要除掉被选元素内部的排列，$C_5^2=A_5^2\div A_2^2=(5\times 4)\div(2\times 1)=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步：$A_6^2=6\times 5=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（先乘后减）：$210\times 10=\underline{\quad}$，再减 $30$，得 $2100-30=\underline{\quad}$。
24. 【原题 ch21-xingqu-02】卡莉娅、萱萱、墨莫和小高 4 个人站队照一排照相，一共有多少种不同的排列方法？
详细思路
是哪类问题：这是「全排列计数」类：若干个互不相同的人（物）站成一排，位置有先后之分，所有元素都要用上，就是全排列 $A_n^n$。
关键切入点：4 个人排一排，第 1 个位置有 4 种选择，选定后第 2 个位置只剩 3 种，接着 2 种、1 种，按乘法原理逐位相乘，正是 $A_4^4$。
方法概述：全部元素排成一列即全排列，$A_n^n=n\times(n-1)\times\cdots\times 1$。
规范步骤：
  1. 认出这是 4 个元素的全排列：$A_4^4$（位置有先后、元素全用上）
  2. 按定义连乘 4 个因数：$A_4^4=4\times 3\times 2\times 1=24$（乘法原理）
  3. 写出答案：$24$ 种
第一套
题目：6 个人站成一排照相，一共有多少种不同的排法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（认出题型）：6 人全部排成一排、位置有先后，是 6 个元素的全排列 $A_6^6$。
  2. 第 2 步（逐位数选择）：第一个位置有 6 种选法，之后依次是 $5,4,3,2,1$ 种。
  3. 第 3 步（连乘）：$A_6^6=6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=\underline{\quad}$（种）。
第二套
题目：书架上要摆放 4 本互不相同的书，从左到右排成一行，一共有多少种不同的摆法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：4 本书全部摆上、左右位置有区别，是 4 个元素的全排列 $A_4^4$。
  2. 第 2 步（连乘）：$A_4^4=4\times 3\times 2\times 1=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：把 $1,2,3,4,5$ 这 5 张数字卡片全部排成一行，组成一个五位数，一共能组成多少个不同的五位数？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：5 张卡片全部用上、位置有先后，是 5 个元素的全排列 $A_5^5$。
  2. 第 2 步（逐位数选择）：万位 5 种、千位 4 种、百位 3 种、十位 2 种、个位 1 种。
  3. 第 3 步（连乘）：$A_5^5=5\times 4\times 3\times 2\times 1=\underline{\quad}$（个）。
第三套
题目：5 个人站成一排照相，其中甲、乙两人必须相邻，一共有多少种不同的排法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（捆绑）：把必须相邻的甲、乙看成一个整体，于是要排的对象变成 $5-1=\underline{\quad}$ 个。
  2. 第 2 步（外部排列）：这 4 个对象全排列，$A_4^4=4\times 3\times 2\times 1=\underline{\quad}$（种）。
  3. 第 3 步（内部排列）：甲、乙在整体内部还能交换，$A_2^2=2\times 1=\underline{\quad}$（种）。
  4. 第 4 步（乘法原理）：$24\times 2=\underline{\quad}$（种）。
25. 【原题 ch21-xingqu-03】体育课上，老师从 10 名男生中挑选出 4 人站成一排，一共有多少种不同的排列方法？
详细思路
是哪类问题：这是「选排列计数」类：从 10 名男生中选出 4 人站成一排，位置有先后之分，是从 10 个元素取 4 个的排列 $A_{10}^4$。
关键切入点：第 1 个位置有 10 种站法，选定后第 2 个位置剩 9 种，依次是 8 种、7 种，按乘法原理逐位相乘正是 $A_{10}^4$。
方法概述：从 $n$ 个中取 $m$ 个排序即 $A_n^m$，从 $n$ 起连乘 $m$ 个因数。
规范步骤：
  1. 认出是 10 选 4 的排列：$A_{10}^4$（位置有先后）
  2. 从 10 起连乘 4 个因数：$A_{10}^4=10\times 9\times 8\times 7=5040$（排列数定义）
  3. 写出答案：$5040$ 种
第一套
题目：体育课上，老师从 12 名男生中挑选出 4 人站成一排，一共有多少种不同的排列方法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（认题型）：从 12 人取 4 人排一排、位置有先后，是选排列 $A_{12}^4$。
  2. 第 2 步（连乘 4 个因数）：$A_{12}^4=12\times 11\times 10\times 9=\underline{\quad}$（种）。
第二套
题目：运动会上，老师从 10 名运动员中挑选 4 人组成 $4\times 100$ 米接力队，依次跑第一、二、三、四棒，一共有多少种不同的安排？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：接力有棒次先后，是从 10 人取 4 人排序，$A_{10}^4$。
  2. 第 2 步：$A_{10}^4=10\times 9\times 8\times 7=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：从 9 本不同的书中选出 4 本，从左到右摆在书架的 4 个位置上，一共有多少种摆法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：9 本选 4 本还要分左右位置，是选排列 $A_9^4$。
  2. 第 2 步：$A_9^4=9\times 8\times 7\times 6=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：从 10 名男生中选 4 人站成一排照相，要求其中的班长必须站在排头或排尾，一共有多少种排法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先定特殊位置）：班长只能站排头或排尾，有 2 种站法。
  2. 第 2 步（其余位置）：剩下 3 个位置从其余 9 人中选 3 人排，$A_9^3=9\times 8\times 7=\underline{\quad}$（种）。
  3. 第 3 步（乘法原理）：$2\times 504=\underline{\quad}$（种）。
26. 【原题 ch21-xingqu-04】卡莉娅、萱萱、墨莫、小高 4 个人一起乘公共汽车去公园，上车后发现有 8 个空座位，他们一共有多少种不同的坐法？
详细思路
是哪类问题：这是「选排列计数」类：把 8 个空座位看作 8 个元素，选出 4 个让 4 人依次就座，位置有先后，是 $A_8^4$。
关键切入点：相当于从 8 个座位中选 4 个排成一列：第 1 人有 8 种坐法，第 2 人剩 7 种，依次 6 种、5 种，逐位相乘即 $A_8^4$。
方法概述：从 8 个座位取 4 个排序，$A_8^4$，从 8 起连乘 4 个因数。
规范步骤：
  1. 把 8 个座位看作 8 个元素、选 4 个排序：$A_8^4$（座位有区别、人有先后）
  2. 从 8 起连乘 4 个因数：$A_8^4=8\times 7\times 6\times 5=1680$（排列数定义）
  3. 写出答案：$1680$ 种
第一套
题目：卡莉娅等 5 个人一起乘公共汽车，上车后发现有 9 个空座位，他们一共有多少种不同的坐法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（认题型）：从 9 个座位选 5 个让 5 人依次就座，是选排列 $A_9^5$。
  2. 第 2 步（连乘 5 个因数）：$A_9^5=9\times 8\times 7\times 6\times 5=\underline{\quad}$（种）。
第二套
题目：4 名同学走进一间有 8 个空座位的电影厅，他们一共有多少种不同的就座方法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：从 8 个座位选 4 个让 4 人依次就座，是选排列 $A_8^4$。
  2. 第 2 步：$A_8^4=8\times 7\times 6\times 5=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：9 个空座位，4 个人依次就座，一共有多少种不同的坐法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：从 9 个座位选 4 个让 4 人依次就座，是选排列 $A_9^4$。
  2. 第 2 步：$A_9^4=9\times 8\times 7\times 6=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：8 个空座位，4 个人就座，其中甲必须坐在这一排的最左端或最右端，一共有多少种坐法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（先定甲）：甲只能坐最左或最右端，有 2 种。
  2. 第 2 步（其余 3 人）：从剩下 7 个座位选 3 个排，$A_7^3=7\times 6\times 5=\underline{\quad}$（种）。
  3. 第 3 步（乘法原理）：$2\times 210=\underline{\quad}$（种）。
27. 【原题 ch21-xingqu-05】用 $1\sim 7$ 这 7 个数字一共能组成多少个没有重复数字的三位数？如果把这些三位数从小到大排起来，312 是其中第几个？
详细思路
是哪类问题：这是「组数与排序定位」类：先用排列数求出三位数的总个数，再按最高位（百位）数字从小到大分类，数出排在目标数前面有多少个来定位。
关键切入点：总数用 $A_7^3$。定位 312：百位为 1 的三位数有 $A_6^2=30$ 个、百位为 2 的也有 30 个，共 60 个排在 312 前面；312 是百位为 3 的三位数里最小的，所以排在第 $60+1$ 个。
方法概述：总数用 $A_7^3$；按百位分类数出更小的个数再加 1 定位。
规范步骤：
  1. 求三位数总数：$A_7^3=7\times 6\times 5=210$（选排列）
  2. 数出百位为 1、2 的个数：$A_6^2=6\times 5=30$，两类共 $2\times 30=60$ 个（分类计数）
  3. 312 是百位为 3 中最小的：排第 $60+1=61$ 个（排序定位）
  4. 写出答案：$210$ 个；312 是第 $61$ 个
第一套
题目：用 $1\sim 9$ 这 9 个数字一共能组成多少个没有重复数字的三位数？如果把这些三位数从小到大排起来，512 是其中第几个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（总数）：从 9 个数字选 3 个排三位数，$A_9^3=9\times 8\times 7=\underline{\quad}$（个）。
  2. 第 2 步（数更小的）：百位取 1、2、3、4 都比 512 小，共 4 种，每种后两位有 $A_8^2=8\times 7=\underline{\quad}$ 个，合计 $4\times 56=\underline{\quad}$ 个。
  3. 第 3 步（定位）：512 是百位为 5 的三位数里最小的，排第 $224+1=\underline{\quad}$ 个。
第二套
题目：用 $1\sim 7$ 这 7 个不同数字设置三位数密码（数字不重复），一共能设多少个？把所有密码从小到大排列，312 排第几？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（总数）：$A_7^3=7\times 6\times 5=\underline{\quad}$（个）。
  2. 第 2 步（数更小的）：百位为 1、2 各有 $A_6^2=6\times 5=\underline{\quad}$ 个，两类共 $2\times 30=\underline{\quad}$ 个比 312 小。
  3. 第 3 步（定位）：312 是百位为 3 中最小的，排第 $60+1=\underline{\quad}$。
第三套
题目：用 $1\sim 7$ 组成没有重复数字的三位数，从小到大排列，512 是第几个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（总数）：$A_7^3=7\times 6\times 5=\underline{\quad}$（个）。
  2. 第 2 步（数更小的）：百位取 1、2、3、4 共 4 种都比 512 小，每种 $A_6^2=6\times 5=\underline{\quad}$ 个，合计 $4\times 30=\underline{\quad}$ 个。
  3. 第 3 步（定位）：512 是百位为 5 中最小的，排第 $120+1=\underline{\quad}$。
第三套
题目：用 $1\sim 7$ 组成没有重复数字的四位数，一共有多少个？从小到大排列，3124 是第几个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（总数）：从 7 个数字选 4 个排四位数，$A_7^4=7\times 6\times 5\times 4=\underline{\quad}$（个）。
  2. 第 2 步（数更小的）：千位取 1、2 共 2 种都比 3124 小，每种 $A_6^3=6\times 5\times 4=\underline{\quad}$ 个，合计 $2\times 120=\underline{\quad}$ 个。
  3. 第 3 步（定位）：3124 是千位为 3 的四位数里最小的，排第 $240+1=\underline{\quad}$。
28. 【原题 ch21-xingqu-06】计算：（1）$C_5^2$；（2）$C_7^4$；（3）$A_6^3\times C_6^3$。
详细思路
是哪类问题：这是「组合数求值」类：用 $C_n^m=A_n^m\div A_m^m$ 计算，先算分子（选出并排序）再除以分母（消掉被选元素内部的排序）；第 3 题排列与组合混合，先各自求值再相乘。
关键切入点：$C_5^2=A_5^2\div A_2^2=(5\times 4)\div(2\times 1)=10$；$C_7^4$ 同理得 35；第 3 题先算 $A_6^3=120$、$C_6^3=120\div 6=20$，再相乘。
方法概述：$C_n^m=A_n^m\div A_m^m$，先算分子分母再相除。
规范步骤：
  1. $C_5^2$ 用公式：$C_5^2=(5\times 4)\div(2\times 1)=10$（组合数定义）
  2. $C_7^4$ 用公式：$C_7^4=(7\times 6\times 5\times 4)\div(4\times 3\times 2\times 1)=35$（组合数定义）
  3. 第 3 题分别求值再相乘：$A_6^3=120,\ C_6^3=120\div 6=20,\ 120\times 20=2400$（排列组合混合）
  4. 写出答案：$（1）10；（2）35；（3）2400$
第一套
题目：计算：（1）$C_6^2$；（2）$C_8^4$；（3）$A_7^3\times C_7^3$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$C_6^2=A_6^2\div A_2^2=(6\times 5)\div(2\times 1)=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：$C_8^4=A_8^4\div A_4^4=(8\times 7\times 6\times 5)\div(4\times 3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（分开算）：$A_7^3=7\times 6\times 5=\underline{\quad}$；$C_7^3=A_7^3\div A_3^3=210\div 6=\underline{\quad}$。
  4. 第 4 步（相乘）：$210\times 35=\underline{\quad}$。
第二套
题目：（1）5 名同学两两握手，一共握多少次？（2）从 7 道题中选做 4 道，有多少种选法？（3）6 种颜色选 3 种依次涂成有序条纹（$A_6^3$）的方法数，乘以从 6 名同学选 3 人合影（$C_6^3$）的方法数，是多少？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（握手·无序）：$C_5^2=(5\times 4)\div(2\times 1)=\underline{\quad}$（次）。
  2. 第 2 步（选题·无序）：$C_7^4=(7\times 6\times 5\times 4)\div(4\times 3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$（种）。
  3. 第 3 步：$A_6^3=6\times 5\times 4=\underline{\quad}$，$C_6^3=120\div 6=\underline{\quad}$，相乘 $120\times 20=\underline{\quad}$。
第三套
题目：计算：$C_{10}^3-C_7^2$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$C_{10}^3=(10\times 9\times 8)\div(3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步：$C_7^2=(7\times 6)\div(2\times 1)=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（作差）：$120-21=\underline{\quad}$。
第三套
题目：计算：$C_8^3\times A_4^2$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（组合）：$C_8^3=(8\times 7\times 6)\div(3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$。
  2. 第 2 步（排列）：$A_4^2=4\times 3=\underline{\quad}$。
  3. 第 3 步（相乘）：$56\times 12=\underline{\quad}$。
29. 【原题 ch21-xingqu-07】如图 21-1 中有 6 个点，任意 3 个点都不在一条直线上。请问：（1）以这些点为端点，一共可以连出多少条线段？（2）以这些点为顶点，一共可以连出多少个三角形？
详细思路
是哪类问题：这是「几何计数」类：连线段只需取 2 个点、连三角形只需取 3 个点，点的选取都不分先后，是组合问题；题目保证任意 3 点不共线，所以取 3 点必成三角形。
关键切入点：线段数 = 从 6 点取 2 点 $C_6^2$；三角形数 = 从 6 点取 3 点 $C_6^3$（因任意 3 点不共线）。
方法概述：取 2 点连线段用 $C_6^2$，取 3 点连三角形用 $C_6^3$。
规范步骤：
  1. 连线段取 2 点、无序：$C_6^2=(6\times 5)\div(2\times 1)=15$（组合）
  2. 连三角形取 3 点、无序（任意 3 点不共线）：$C_6^3=(6\times 5\times 4)\div(3\times 2\times 1)=20$（组合）
  3. 写出答案：$（1）15$ 条；$（2）20$ 个
第一套
题目：平面上有 8 个点，任意 3 个点都不在一条直线上。（1）以这些点为端点能连多少条线段？（2）以这些点为顶点能连多少个三角形？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（线段·取 2 点）：$C_8^2=(8\times 7)\div(2\times 1)=\underline{\quad}$（条）。
  2. 第 2 步（三角形·取 3 点）：$C_8^3=(8\times 7\times 6)\div(3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$（个）。
第二套
题目：广场上有 6 根位置不同的灯柱，任意 3 根都不在一条直线上。（1）在每两根之间拉一条彩带，共需多少条？（2）以任意 3 根为顶点搭一个三角形花架，共能搭多少个？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（彩带·取 2 根）：$C_6^2=(6\times 5)\div(2\times 1)=\underline{\quad}$（条）。
  2. 第 2 步（花架·取 3 根）：$C_6^3=(6\times 5\times 4)\div(3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$（个）。
第三套
题目：平面上有 7 个点，任意 3 点不共线。（1）能连多少条线段？（2）能连多少个三角形？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$C_7^2=(7\times 6)\div(2\times 1)=\underline{\quad}$（条）。
  2. 第 2 步：$C_7^3=(7\times 6\times 5)\div(3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$（个）。
第三套
题目：平面上有 7 个点，其中有 3 个点在同一条直线上，其余任意 3 点不共线。（1）能连多少条线段？（2）能连多少个三角形？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（线段）：任意 2 点都能连线段，$C_7^2=(7\times 6)\div(2\times 1)=\underline{\quad}$（条）。
  2. 第 2 步（三角形·正难则反）：任取 3 点本有 $C_7^3=(7\times 6\times 5)\div(3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$ 种，但共线的 3 点不成三角形要去掉，共线三点只有 $C_3^3=\underline{\quad}$ 种。
  3. 第 3 步（相减）：$35-1=\underline{\quad}$（个）。
30. 【原题 ch21-xingqu-08】卡莉娅有 6 颗不同的魔法宝石。请问：（1）从中选出 2 颗宝石，构成一个初级魔法，有多少种方法？（2）从中选出 4 颗宝石，构成一个高级魔法，有多少种方法？
详细思路
是哪类问题：这是「组合数计算（含对称性）」类：选宝石不计顺序是组合；从 6 颗中选 4 颗相当于选出「不被使用的 2 颗」，所以 $C_6^4=C_6^2$，用对称性可少算。
关键切入点：$C_6^2=(6\times 5)\div(2\times 1)=15$；$C_6^4=C_6^2=15$（对称性 $C_n^m=C_n^{n-m}$）。
方法概述：选取不计顺序用组合数，$C_6^4$ 用对称性化成 $C_6^2$。
规范步骤：
  1. 选 2 颗、无序：$C_6^2=(6\times 5)\div(2\times 1)=15$（组合）
  2. 选 4 颗＝选出不用的 2 颗：$C_6^4=C_6^2=15$（对称性）
  3. 写出答案：$（1）15$ 种；$（2）15$ 种
第一套
题目：卡莉娅有 8 颗不同的魔法宝石。（1）从中选 2 颗，有多少种方法？（2）从中选 5 颗，有多少种方法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$C_8^2=(8\times 7)\div(2\times 1)=\underline{\quad}$（种）。
  2. 第 2 步（对称性）：选 5 颗相当于选出不用的 3 颗，$C_8^5=C_8^3=(8\times 7\times 6)\div(3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$（种）。
第二套
题目：墨莫有 6 张不同的卡片。（1）从中选 2 张送人，有多少种选法？（2）从中选 4 张收藏，有多少种选法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步：$C_6^2=(6\times 5)\div(2\times 1)=\underline{\quad}$（种）。
  2. 第 2 步（对称性）：选 4 张＝选出不留的 2 张，$C_6^4=C_6^2=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：计算：$C_{12}^{10}$。
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（对称性）：选 10 个相当于选出不要的 2 个，$C_{12}^{10}=C_{12}^2$。
  2. 第 2 步：$C_{12}^2=(12\times 11)\div(2\times 1)=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：从 8 颗不同的宝石中选 4 颗，其中有 2 颗「相克」不能同时被选，有多少种选法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（总数）：$C_8^4=(8\times 7\times 6\times 5)\div(4\times 3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$（种）。
  2. 第 2 步（正难则反）：若相克的 2 颗都选，再从其余 6 颗选 2 颗，$C_6^2=(6\times 5)\div(2\times 1)=\underline{\quad}$（种）。
  3. 第 3 步（相减）：$70-15=\underline{\quad}$（种）。
31. 【原题 ch21-xingqu-09】小高要从 5 种武术中选择 3 种来学习，如果拳法和掌法必须都学或者都不学，那么他一共有多少种选法？
详细思路
是哪类问题：这是「有限制条件的选取」类：拳法和掌法「都学」或「都不学」，把它们捆绑成两种情形分别计数，再用加法原理相加。
关键切入点：都学：已定 2 种，再从其余 3 种选 1 种 $C_3^1=3$；都不学：从其余 3 种选满 3 种 $C_3^3=1$；共 $3+1=4$。
方法概述：按「都学」「都不学」两类分别用组合数计数后相加。
规范步骤：
  1. 都学：再选 1 种：$C_3^1=3$（组合）
  2. 都不学：选满 3 种：$C_3^3=1$（组合）
  3. 加法原理相加：$3+1=4$（分类计数）
  4. 写出答案：$4$ 种
第一套
题目：小高要从 7 种武术中选择 4 种来学习，如果拳法和掌法必须都学或者都不学，那么他一共有多少种选法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（都学）：已定 2 种，再从其余 5 种选 2 种，$C_5^2=(5\times 4)\div(2\times 1)=\underline{\quad}$（种）。
  2. 第 2 步（都不学）：从其余 5 种选满 4 种，$C_5^4=C_5^1=\underline{\quad}$（种）。
  3. 第 3 步（相加）：$10+5=\underline{\quad}$（种）。
第二套
题目：萱萱要从 5 个社团中选 3 个参加，如果舞蹈社和合唱社必须都参加或者都不参加，她一共有多少种选法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（都参加）：再从其余 3 个社团选 1 个，$C_3^1=\underline{\quad}$（种）。
  2. 第 2 步（都不参加）：从其余 3 个选满 3 个，$C_3^3=\underline{\quad}$（种）。
  3. 第 3 步（相加）：$3+1=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：从 6 门课程中选 3 门，如果书法课与围棋课必须都选或者都不选，一共有多少种选法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（都选）：再从其余 4 门选 1 门，$C_4^1=\underline{\quad}$（种）。
  2. 第 2 步（都不选）：从其余 4 门选满 3 门，$C_4^3=C_4^1=\underline{\quad}$（种）。
  3. 第 3 步（相加）：$4+4=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：从 7 门课程中选 4 门，如果语文课与数学课不能同时选，一共有多少种选法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（总数）：$C_7^4=(7\times 6\times 5\times 4)\div(4\times 3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$（种）。
  2. 第 2 步（正难则反）：若语、数都选，再从其余 5 门选 2 门，$C_5^2=(5\times 4)\div(2\times 1)=\underline{\quad}$（种）。
  3. 第 3 步（相减）：$35-10=\underline{\quad}$（种）。
32. 【原题 ch21-xingqu-10】象棋兴趣小组一共有 9 名同学。请问：（1）如果从中选 3 名同学在第二天的早上、中午、晚上分别做值日，一共有多少种选法？（2）如果从中选 3 名同学去参加一次全市比赛，一共有多少种选法？
详细思路
是哪类问题：这是「排列与组合辨析」类：早、中、晚分时段值日有先后之分，是排列 $A_9^3$；一起参赛没有顺序之分，是组合 $C_9^3$。关键看「是否讲顺序」。
关键切入点：值日分时段 → 有序 → $A_9^3=504$；参赛一起去 → 无序 → $C_9^3=A_9^3\div A_3^3=504\div 6=84$。
方法概述：有顺序用排列 $A_9^3$，无顺序用组合 $C_9^3$。
规范步骤：
  1. 值日分时段、有序：$A_9^3=9\times 8\times 7=504$（排列）
  2. 参赛一起去、无序：$C_9^3=504\div 6=84$（组合）
  3. 写出答案：$（1）504$ 种；$（2）84$ 种
第一套
题目：象棋兴趣小组有 10 名同学。（1）选 3 名分别在早、中、晚做值日，有多少种选法？（2）选 3 名一起去参加比赛，有多少种选法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（有序·值日）：$A_{10}^3=10\times 9\times 8=\underline{\quad}$（种）。
  2. 第 2 步（无序·参赛）：$C_{10}^3=A_{10}^3\div A_3^3=720\div 6=\underline{\quad}$（种）。
第二套
题目：合唱团有 9 名成员。（1）选 3 人分别担任领唱、伴奏、指挥，有多少种选法？（2）选 3 人一起去外地演出，有多少种选法？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（有职务之分·有序）：$A_9^3=9\times 8\times 7=\underline{\quad}$（种）。
  2. 第 2 步（一起去·无序）：$C_9^3=504\div 6=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：8 名同学中：（1）选 3 人排成前后队形，有多少种？（2）选 3 人组成一个小组，有多少种？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（排队形·有序）：$A_8^3=8\times 7\times 6=\underline{\quad}$（种）。
  2. 第 2 步（组小组·无序）：$C_8^3=336\div 6=\underline{\quad}$（种）。
第三套
题目：从 9 名同学中选 3 人组成一支参赛队（无序），再从选出的 3 人中指定 1 名队长，一共有多少种不同的结果？
引导填空（在横线上填关键结果）：
  1. 第 1 步（选人·无序）：$C_9^3=(9\times 8\times 7)\div(3\times 2\times 1)=\underline{\quad}$（种）。
  2. 第 2 步（选队长·分步）：每种选法里从 3 人中选 1 名队长，有 3 种，$84\times 3=\underline{\quad}$（种）。

附录 · 答案

（原题答案见题库；以下为三套变式的完整填好步骤与最终答案）
  1. 2. ch21-chaoyue-02 · 第一套
    1. 第 1 步（随便站·全排列）：8 人排入两排共 8 个位置，$A_8^8=8\times 7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=\underline{40320}$（种）。
    2. 第 2 步（有限制）：第一排必是最矮 4 人、第二排最高 4 人，各排内部全排列 $A_4^4=4\times 3\times 2\times 1=\underline{24}$（种）。
    3. 第 3 步（乘法原理）：$24\times 24=\underline{576}$（种）。
    最终答案：（1）$40320$ 种；（2）$576$ 种。
  2. 2. ch21-chaoyue-02 · 第二套
    1. 第 1 步：$A_6^6=6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=\underline{720}$（种）。
    2. 第 2 步：两组内部各自全排列 $A_3^3=3\times 2\times 1=\underline{6}$（种）。
    3. 第 3 步：$6\times 6=\underline{36}$（种）。
    最终答案：（1）$720$ 种；（2）$36$ 种。
  3. 2. ch21-chaoyue-02 · 第三套
    1. 第 1 步：$A_{10}^{10}=10\times 9\times 8\times 7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=\underline{3628800}$（种）。
    2. 第 2 步（有限制）：第一排必是最矮 5 人、第二排最高 5 人，$A_5^5=5\times 4\times 3\times 2\times 1=\underline{120}$（种）。
    3. 第 3 步：$120\times 120=\underline{14400}$（种）。
    最终答案：（1）$3628800$ 种；（2）$14400$ 种。
  4. 2. ch21-chaoyue-02 · 第三套
    1. 第 1 步（随便站·全排列）：$A_9^9=9\times 8\times 7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=\underline{362880}$（种）。
    2. 第 2 步（三排递高）：分组唯一（最矮 3、中 3、高 3），每排内部 $A_3^3=3\times 2\times 1=\underline{6}$（种）。
    3. 第 3 步（三排相乘）：$6\times 6\times 6=\underline{216}$（种）。
    最终答案：（1）$362880$ 种；（2）$216$ 种。
  5. 3. ch21-chaoyue-03 · 第一套
    1. 第 1 步（任取·组合）：共 $6+8=14$ 个球，$C_{14}^4=(14\times 13\times 12\times 11)\div(4\times 3\times 2\times 1)=\underline{1001}$（种）。
    2. 第 2 步（各取 2·分步）：小袋 $C_6^2=(6\times 5)\div(2\times 1)=\underline{15}$，大袋 $C_8^2=(8\times 7)\div(2\times 1)=\underline{28}$，相乘 $15\times 28=\underline{420}$（种）。
    最终答案：（1）$1001$ 种；（2）$420$ 种。
  6. 3. ch21-chaoyue-03 · 第二套
    1. 第 1 步：共 10 张，$C_{10}^4=(10\times 9\times 8\times 7)\div(4\times 3\times 2\times 1)=\underline{210}$（种）。
    2. 第 2 步：$C_4^2=(4\times 3)\div(2\times 1)=\underline{6}$，$C_6^2=(6\times 5)\div(2\times 1)=\underline{15}$，$6\times 15=\underline{90}$（种）。
    最终答案：（1）$210$ 种；（2）$90$ 种。
  7. 3. ch21-chaoyue-03 · 第三套
    1. 第 1 步：共 10 个，$C_{10}^4=(10\times 9\times 8\times 7)\div(4\times 3\times 2\times 1)=\underline{210}$（种）。
    2. 第 2 步：$C_5^2=(5\times 4)\div(2\times 1)=\underline{10}$，两袋各取 2 个 $10\times 10=\underline{100}$（种）。
    最终答案：（1）$210$ 种；（2）$100$ 种。
  8. 3. ch21-chaoyue-03 · 第三套
    1. 第 1 步（小取 0、大取 4）：$C_4^0\times C_6^4=1\times 15=\underline{15}$（种）。
    2. 第 2 步（小取 2、大取 2）：$C_4^2\times C_6^2=6\times 15=\underline{90}$（种）。
    3. 第 3 步（小取 4、大取 0）：$C_4^4\times C_6^0=1\times 1=\underline{1}$（种）。
    4. 第 4 步（相加）：$15+90+1=\underline{106}$（种）。
    最终答案：$106$ 种。
  9. 4. ch21-chaoyue-04 · 第一套
    1. 第 1 步（奇偶分析）：和为偶数即两数同奇或同偶；$1\sim 40$ 中有 20 偶、20 奇。
    2. 第 2 步（同偶/同奇各取 2）：$C_{20}^2=(20\times 19)\div(2\times 1)=\underline{190}$（种）。
    3. 第 3 步（相加）：$190+190=\underline{380}$（种）。
    最终答案：$380$ 种。
  10. 4. ch21-chaoyue-04 · 第二套
    1. 第 1 步：$1\sim 30$ 有 15 偶 15 奇；同偶或同奇 $C_{15}^2=(15\times 14)\div(2\times 1)=\underline{105}$（种）。
    2. 第 2 步（相加）：$105+105=\underline{210}$（种）。
    最终答案：$210$ 种。
  11. 4. ch21-chaoyue-04 · 第三套
    1. 第 1 步（奇偶分析）：和为奇数需一奇一偶；奇数、偶数各 15 个。
    2. 第 2 步（分步·各取一个）：$C_{15}^1=\underline{15}$、$C_{15}^1=\underline{15}$，相乘 $15\times 15=\underline{225}$（种）。
    最终答案：$225$ 种。
  12. 4. ch21-chaoyue-04 · 第三套
    1. 第 1 步（三个都偶）：$C_{15}^3=(15\times 14\times 13)\div(3\times 2\times 1)=\underline{455}$（种）。
    2. 第 2 步（一偶两奇）：$C_{15}^1\times C_{15}^2=15\times 105=\underline{1575}$（种）。
    3. 第 3 步（相加）：$455+1575=\underline{2030}$（种）。
    最终答案：$2030$ 种。
  13. 5. ch21-chaoyue-05 · 第一套
    1. 第 1 步（总数）：共 $8+5=13$ 点，$C_{13}^3=(13\times 12\times 11)\div(3\times 2\times 1)=\underline{286}$（个）。
    2. 第 2 步（去掉共线三点）：上线 $C_8^3=(8\times 7\times 6)\div(3\times 2\times 1)=\underline{56}$，下线 $C_5^3=(5\times 4\times 3)\div(3\times 2\times 1)=\underline{10}$。
    3. 第 3 步（作差）：$286-(56+10)=\underline{220}$（个）。
    最终答案：$220$ 个。
  14. 5. ch21-chaoyue-05 · 第二套
    1. 第 1 步：共 10 面旗，$C_{10}^3=(10\times 9\times 8)\div(3\times 2\times 1)=\underline{120}$（个）。
    2. 第 2 步：$C_6^3=(6\times 5\times 4)\div(3\times 2\times 1)=\underline{20}$，$C_4^3=(4\times 3\times 2)\div(3\times 2\times 1)=\underline{4}$。
    3. 第 3 步：$120-(20+4)=\underline{96}$（个）。
    最终答案：$96$ 个。
  15. 5. ch21-chaoyue-05 · 第三套
    1. 第 1 步：共 12 点，$C_{12}^3=(12\times 11\times 10)\div(3\times 2\times 1)=\underline{220}$（个）。
    2. 第 2 步：$C_7^3=(7\times 6\times 5)\div(3\times 2\times 1)=\underline{35}$，$C_5^3=(5\times 4\times 3)\div(3\times 2\times 1)=\underline{10}$。
    3. 第 3 步：$220-(35+10)=\underline{175}$（个）。
    最终答案：$175$ 个。
  16. 5. ch21-chaoyue-05 · 第三套
    1. 第 1 步（总数）：共 $3\times 4=12$ 点，$C_{12}^3=(12\times 11\times 10)\div(3\times 2\times 1)=\underline{220}$（个）。
    2. 第 2 步（去掉共线三点）：每条线上 $C_4^3=(4\times 3\times 2)\div(3\times 2\times 1)=\underline{4}$，三条线共 $3\times 4=\underline{12}$。
    3. 第 3 步（作差）：$220-12=\underline{208}$（个）。
    最终答案：$208$ 个。
  17. 6. ch21-chaoyue-06 · 第一套
    1. 第 1 步（甲乙必选）：其余 16 人选 4 人，$C_{16}^4=(16\times 15\times 14\times 13)\div(4\times 3\times 2\times 1)=\underline{1820}$（种）。
    2. 第 2 步（至少一人）：$C_{18}^6=(18\times 17\times 16\times 15\times 14\times 13)\div(6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1)=\underline{18564}$，甲乙都不选 $C_{16}^6=\underline{8008}$，相减 $18564-8008=\underline{10556}$（种）。
    3. 第 3 步（恰好一人）：$C_3^1=\underline{3}$，其余 15 人选 5 人 $C_{15}^5=\underline{3003}$，相乘 $3\times 3003=\underline{9009}$（种）。
    4. 第 4 步（不同时）：甲乙丙都选则其余 15 人选 3 人 $C_{15}^3=\underline{455}$，$18564-455=\underline{18109}$（种）。
    最终答案：（1）$1820$ 种；（2）$10556$ 种；（3）$9009$ 种；（4）$18109$ 种。
  18. 6. ch21-chaoyue-06 · 第二套
    1. 第 1 步：其余 13 人选 3 人，$C_{13}^3=(13\times 12\times 11)\div(3\times 2\times 1)=\underline{286}$（种）。
    2. 第 2 步：$C_{15}^5=(15\times 14\times 13\times 12\times 11)\div(5\times 4\times 3\times 2\times 1)=\underline{3003}$，两人都不上 $C_{13}^5=\underline{1287}$，$3003-1287=\underline{1716}$（种）。
    3. 第 3 步：$C_3^1=\underline{3}$，其余 12 人选 4 人 $C_{12}^4=\underline{495}$，$3\times 495=\underline{1485}$（种）。
    4. 第 4 步：三人都上则其余 12 人选 2 人 $C_{12}^2=\underline{66}$，$3003-66=\underline{2937}$（种）。
    最终答案：（1）$286$ 种；（2）$1716$ 种；（3）$1485$ 种；（4）$2937$ 种。
  19. 6. ch21-chaoyue-06 · 第三套
    1. 第 1 步：其余 10 人选 2 人 $C_{10}^2=(10\times 9)\div(2\times 1)=\underline{45}$（种）。
    2. 第 2 步：$C_{12}^4=(12\times 11\times 10\times 9)\div(4\times 3\times 2\times 1)=\underline{495}$，甲乙都不选 $C_{10}^4=\underline{210}$，$495-210=\underline{285}$（种）。
    3. 第 3 步：$C_3^1=\underline{3}$，其余 9 人选 3 人 $C_9^3=\underline{84}$，$3\times 84=\underline{252}$（种）。
    4. 第 4 步：三人都选则其余 9 人选 1 人 $C_9^1=\underline{9}$，$495-9=\underline{486}$（种）。
    最终答案：（1）$45$ 种；（2）$285$ 种；（3）$252$ 种；（4）$486$ 种。
  20. 6. ch21-chaoyue-06 · 第三套
    1. 第 1 步（选哪两人）：从甲、乙、丙中选 2 人，$C_3^2=\underline{3}$（种）。
    2. 第 2 步（其余 3 人）：从其余 12 人选 3 人，$C_{12}^3=(12\times 11\times 10)\div(3\times 2\times 1)=\underline{220}$（种）。
    3. 第 3 步（分步相乘）：$3\times 220=\underline{660}$（种）。
    最终答案：$660$ 种。
  21. 7. ch21-chaoyue-07 · 第一套
    1. 第 1 步（依次选 3 组）：$C_{12}^4=(12\times 11\times 10\times 9)\div(4\times 3\times 2\times 1)=\underline{495}$，$C_8^4=(8\times 7\times 6\times 5)\div(4\times 3\times 2\times 1)=\underline{70}$，$C_4^4=\underline{1}$。
    2. 第 2 步（消除组间顺序）：除以 $A_3^3=3\times 2\times 1=\underline{6}$，$\dfrac{495\times 70\times 1}{6}=\underline{5775}$（种）。
    3. 第 3 步（两人同组·先配该组）：该组再配 2 人 $C_{10}^2=(10\times 9)\div(2\times 1)=\underline{45}$（种）。
    4. 第 4 步（余 8 人均分 2 组）：$\dfrac{C_8^4\times C_4^4}{A_2^2}=\dfrac{70\times 1}{2}=\underline{35}$（种）。
    5. 第 5 步（乘法原理）：$45\times 35=\underline{1575}$（种）。
    最终答案：（1）$5775$ 种；（2）$1575$ 种。
  22. 7. ch21-chaoyue-07 · 第二套
    1. 第 1 步：$C_9^3=(9\times 8\times 7)\div(3\times 2\times 1)=\underline{84}$，$C_6^3=(6\times 5\times 4)\div(3\times 2\times 1)=\underline{20}$，$C_3^3=\underline{1}$。
    2. 第 2 步（消序）：除以 $A_3^3=3\times 2\times 1=\underline{6}$，$\dfrac{84\times 20\times 1}{6}=\underline{280}$（种）。
    3. 第 3 步（同队）：配 1 人 $C_7^1=\underline{7}$，余 6 人分 2 队 $\dfrac{C_6^3 C_3^3}{A_2^2}=\dfrac{20\times 1}{2}=\underline{10}$，$7\times 10=\underline{70}$（种）。
    最终答案：（1）$280$ 种；（2）$70$ 种。
  23. 7. ch21-chaoyue-07 · 第三套
    1. 第 1 步：$C_6^2=(6\times 5)\div(2\times 1)=\underline{15}$，$C_4^2=(4\times 3)\div(2\times 1)=\underline{6}$，$C_2^2=\underline{1}$。
    2. 第 2 步（消序）：除以 $A_3^3=3\times 2\times 1=\underline{6}$，$\dfrac{15\times 6\times 1}{6}=\underline{15}$（种）。
    3. 第 3 步（同组）：两人自成一组，余 4 人分 2 组 $\dfrac{C_4^2 C_2^2}{A_2^2}=\dfrac{6\times 1}{2}=\underline{3}$（种）。
    最终答案：（1）$15$ 种；（2）$3$ 种。
  24. 7. ch21-chaoyue-07 · 第三套
    1. 第 1 步（不等分组·无需消序）：$C_9^2=(9\times 8)\div(2\times 1)=\underline{36}$，$C_7^3=(7\times 6\times 5)\div(3\times 2\times 1)=\underline{35}$，$C_4^4=\underline{1}$，相乘 $36\times 35\times 1=\underline{1260}$（种）。
    2. 第 2 步（甲乙在 4 人组·再配 2 人）：$C_7^2=(7\times 6)\div(2\times 1)=\underline{21}$（种）。
    3. 第 3 步（余 5 人分 2、3 组）：$C_5^2\times C_3^3=(5\times 4)\div(2\times 1)\times 1=\underline{10}$（种）。
    4. 第 4 步（乘法原理）：$21\times 10=\underline{210}$（种）。
    最终答案：（1）$1260$ 种；（2）$210$ 种。
  25. 9. ch21-tuozhan-01 · 第一套
    1. 第 1 步：$A_6^2=6\times 5=\underline{30}$。
    2. 第 2 步：$A_8^3=8\times 7\times 6=\underline{336}$。
    3. 第 3 步（作差）：$A_7^4=7\times 6\times 5\times 4=\underline{840}$，$A_7^2=7\times 6=\underline{42}$，$840-42=\underline{798}$。
    最终答案：（1）$30$；（2）$336$；（3）$798$。
  26. 9. ch21-tuozhan-01 · 第二套
    1. 第 1 步：$A_5^2=5\times 4=\underline{20}$（种）。
    2. 第 2 步：$A_7^3=7\times 6\times 5=\underline{210}$（种）。
    3. 第 3 步：$A_6^4=6\times 5\times 4\times 3=\underline{360}$，$A_6^2=6\times 5=\underline{30}$，$360-30=\underline{330}$。
    最终答案：（1）$20$；（2）$210$；（3）$330$。
  27. 9. ch21-tuozhan-01 · 第三套
    1. 第 1 步：$A_9^3=9\times 8\times 7=\underline{504}$。
    2. 第 2 步：$A_5^2=5\times 4=\underline{20}$。
    3. 第 3 步（作差）：$504-20=\underline{484}$。
    最终答案：$484$。
  28. 9. ch21-tuozhan-01 · 第三套
    1. 第 1 步（排列）：$A_6^4=6\times 5\times 4\times 3=\underline{360}$。
    2. 第 2 步（组合）：$C_6^2=(6\times 5)\div(2\times 1)=\underline{15}$。
    3. 第 3 步（作差）：$360-15=\underline{345}$。
    最终答案：$345$。
  29. 10. ch21-tuozhan-02 · 第一套
    1. 第 1 步：从 7 面取 3 面排一行、有序，是选排列 $A_7^3$。
    2. 第 2 步：$A_7^3=7\times 6\times 5=\underline{210}$（种）。
    最终答案：$210$ 种。
  30. 10. ch21-tuozhan-02 · 第二套
    1. 第 1 步：从 5 张取 3 张排一排、有序，是选排列 $A_5^3$。
    2. 第 2 步：$A_5^3=5\times 4\times 3=\underline{60}$（个）。
    最终答案：$60$ 个。
  31. 10. ch21-tuozhan-02 · 第三套
    1. 第 1 步：从 6 面取 3 面排一行、有序，是选排列 $A_6^3$。
    2. 第 2 步：$A_6^3=6\times 5\times 4=\underline{120}$（种）。
    最终答案：$120$ 种。
  32. 10. ch21-tuozhan-02 · 第三套
    1. 第 1 步（特殊元素·红旗）：红旗必须出现，它可放在 3 个位置之一，有 3 种。
    2. 第 2 步（其余 2 个位置）：从其余 4 面旗中选 2 面排，$A_4^2=4\times 3=\underline{12}$（种）。
    3. 第 3 步（乘法原理）：$3\times 12=\underline{36}$（种）。
    最终答案：$36$ 种。
  33. 11. ch21-tuozhan-03 · 第一套
    1. 第 1 步：4 人依次从 10 本不同的书中各借 1 本，第 1 人 10 种、第 2 人 9 种……
    2. 第 2 步（连乘 4 个因数）：$A_{10}^4=10\times 9\times 8\times 7=\underline{5040}$（种）。
    最终答案：$5040$ 种。
  34. 11. ch21-tuozhan-03 · 第二套
    1. 第 1 步：3 人依次从 9 份不同奖品中各领 1 份，相当于 9 选 3 排序。
    2. 第 2 步：$A_9^3=9\times 8\times 7=\underline{504}$（种）。
    最终答案：$504$ 种。
  35. 11. ch21-tuozhan-03 · 第三套
    1. 第 1 步：3 人依次从 8 本中各借 1 本，相当于 8 选 3 排序。
    2. 第 2 步：$A_8^3=8\times 7\times 6=\underline{336}$（种）。
    最终答案：$336$ 种。
  36. 11. ch21-tuozhan-03 · 第三套
    1. 第 1 步（3 人借书）：$A_9^3=9\times 8\times 7=\underline{504}$（种）。
    2. 第 2 步（老师再挑 1 本）：借完后还剩 6 本，老师有 6 种挑法，$504\times 6=\underline{3024}$（种）。
    最终答案：$3024$ 种。
  37. 12. ch21-tuozhan-04 · 第一套
    1. 第 1 步（总数）：从 6 个数字选 4 个排四位数，$A_6^4=6\times 5\times 4\times 3=\underline{360}$（个）。
    2. 第 2 步（数更小的）：千位取 1、2、3、4 共 4 种都比 5123 小，每种 $A_5^3=5\times 4\times 3=\underline{60}$ 个，合计 $4\times 60=\underline{240}$ 个。
    3. 第 3 步（定位）：5123 是千位为 5 的四位数里最小的，排第 $240+1=\underline{241}$。
    最终答案：（1）$360$ 个；（2）第 $241$ 个。
  38. 12. ch21-tuozhan-04 · 第二套
    1. 第 1 步（总数）：$A_5^4=5\times 4\times 3\times 2=\underline{120}$（个）。
    2. 第 2 步（数更小的）：千位为 1、2、3 各有 $A_4^3=4\times 3\times 2=\underline{24}$ 个，共 $3\times 24=\underline{72}$ 个比 4125 小。
    3. 第 3 步（定位）：千位为 4 中比 4125 小的只有 4123 这 1 个，故 4125 排第 $72+1+1=\underline{74}$。
    最终答案：（1）$120$ 个；（2）第 $74$ 个。
  39. 12. ch21-tuozhan-04 · 第三套
    1. 第 1 步（总数）：$A_5^4=5\times 4\times 3\times 2=\underline{120}$（个）。
    2. 第 2 步（数更小的）：千位取 1、2 共 2 种都比 3124 小，每种 $A_4^3=4\times 3\times 2=\underline{24}$ 个，合计 $2\times 24=\underline{48}$ 个。
    3. 第 3 步（定位）：3124 是千位为 3 的四位数里最小的，排第 $48+1=\underline{49}$。
    最终答案：3124 是第 $49$ 个。
  40. 12. ch21-tuozhan-04 · 第三套
    1. 第 1 步（总数）：从 6 个数字选 5 个排五位数，$A_6^5=6\times 5\times 4\times 3\times 2=\underline{720}$（个）。
    2. 第 2 步（数更小的）：万位取 1、2 共 2 种都比 31245 小，每种 $A_5^4=5\times 4\times 3\times 2=\underline{120}$ 个，合计 $2\times 120=\underline{240}$ 个。
    3. 第 3 步（定位）：31245 是万位为 3 的五位数里最小的，排第 $240+1=\underline{241}$。
    最终答案：（1）$720$ 个；（2）第 $241$ 个。
  41. 13. ch21-tuozhan-05 · 第一套
    1. 第 1 步：$C_{10}^3=(10\times 9\times 8)\div(3\times 2\times 1)=\underline{120}$。
    2. 第 2 步：$C_{11}^3=(11\times 10\times 9)\div(3\times 2\times 1)=\underline{165}$，$C_{11}^2=(11\times 10)\div(2\times 1)=\underline{55}$，$165-2\times 55=\underline{55}$。
    3. 第 3 步（对称性）：$C_6^5=C_6^1=\underline{6}$。
    4. 第 4 步（对称性）：$C_{11}^8=C_{11}^3=\underline{165}$。
    最终答案：（1）$120$；（2）$55$；（3）$6$；（4）$165$。
  42. 13. ch21-tuozhan-05 · 第二套
    1. 第 1 步：$C_9^3=(9\times 8\times 7)\div(3\times 2\times 1)=\underline{84}$（种）。
    2. 第 2 步：$C_{10}^3=(10\times 9\times 8)\div(3\times 2\times 1)=\underline{120}$，$C_{10}^2=(10\times 9)\div(2\times 1)=\underline{45}$，$120-2\times 45=\underline{30}$。
    3. 第 3 步（对称性）：选 4 名＝选出落选 1 名，$C_5^4=C_5^1=\underline{5}$（种）。
    4. 第 4 步（对称性）：选 7 件＝选出撤下 3 件，$C_{10}^7=C_{10}^3=\underline{120}$（种）。
    最终答案：（1）$84$；（2）$30$；（3）$5$；（4）$120$。
  43. 13. ch21-tuozhan-05 · 第三套
    1. 第 1 步：$C_8^2=(8\times 7)\div(2\times 1)=\underline{28}$，由对称性 $C_8^6=C_8^2=\underline{28}$。
    2. 第 2 步：$C_9^4=(9\times 8\times 7\times 6)\div(4\times 3\times 2\times 1)=\underline{126}$，由对称性 $C_9^5=C_9^4=\underline{126}$。
    最终答案：（1）$28,\ 28$；（2）$126,\ 126$。
  44. 13. ch21-tuozhan-05 · 第三套
    1. 第 1 步（组合）：$C_8^3=(8\times 7\times 6)\div(3\times 2\times 1)=\underline{56}$。
    2. 第 2 步（排列）：$A_5^2=5\times 4=\underline{20}$。
    3. 第 3 步（组合）：$C_4^2=(4\times 3)\div(2\times 1)=\underline{6}$。
    4. 第 4 步（先乘后加）：$56+20\times 6=\underline{176}$。
    最终答案：$176$。
  45. 14. ch21-tuozhan-06 · 第一套
    1. 第 1 步：每个锐角由 2 条射线决定、无序，是组合 $C_9^2$。
    2. 第 2 步：$C_9^2=(9\times 8)\div(2\times 1)=\underline{36}$（个）。
    最终答案：$36$ 个。
  46. 14. ch21-tuozhan-06 · 第二套
    1. 第 1 步：每个夹角由 2 条道路决定、无序，是组合 $C_7^2$。
    2. 第 2 步：$C_7^2=(7\times 6)\div(2\times 1)=\underline{21}$（个）。
    最终答案：$21$ 个。
  47. 14. ch21-tuozhan-06 · 第三套
    1. 第 1 步：每个角由 2 条射线决定、无序，是组合 $C_8^2$。
    2. 第 2 步：$C_8^2=(8\times 7)\div(2\times 1)=\underline{28}$（个）。
    最终答案：$28$ 个。
  48. 14. ch21-tuozhan-06 · 第三套
    1. 第 1 步（无向角·组合）：取 2 条射线不分先后，$C_8^2=(8\times 7)\div(2\times 1)=\underline{28}$（个）。
    2. 第 2 步（有向角·排列）：区分起始边、终止边后有先后之分，$A_8^2=8\times 7=\underline{56}$（个）。
    最终答案：（1）$28$ 个；（2）$56$ 个。
  49. 15. ch21-tuozhan-07 · 第一套
    1. 第 1 步（线段）：$C_{10}^2=(10\times 9)\div(2\times 1)=\underline{45}$（条）。
    2. 第 2 步（三角形）：$C_{10}^3=(10\times 9\times 8)\div(3\times 2\times 1)=\underline{120}$（个）。
    3. 第 3 步（四边形）：$C_{10}^4=(10\times 9\times 8\times 7)\div(4\times 3\times 2\times 1)=\underline{210}$（个）。
    最终答案：（1）$45$ 条；（2）$120$ 个；（3）$210$ 个。
  50. 15. ch21-tuozhan-07 · 第二套
    1. 第 1 步：$C_8^2=(8\times 7)\div(2\times 1)=\underline{28}$（条）。
    2. 第 2 步：$C_8^3=(8\times 7\times 6)\div(3\times 2\times 1)=\underline{56}$（个）。
    3. 第 3 步：$C_8^4=(8\times 7\times 6\times 5)\div(4\times 3\times 2\times 1)=\underline{70}$（个）。
    最终答案：（1）$28$ 条；（2）$56$ 个；（3）$70$ 个。
  51. 15. ch21-tuozhan-07 · 第三套
    1. 第 1 步：$C_9^2=(9\times 8)\div(2\times 1)=\underline{36}$（条）。
    2. 第 2 步：$C_9^3=(9\times 8\times 7)\div(3\times 2\times 1)=\underline{84}$（个）。
    3. 第 3 步：$C_9^4=(9\times 8\times 7\times 6)\div(4\times 3\times 2\times 1)=\underline{126}$（个）。
    最终答案：（1）$36$ 条；（2）$84$ 个；（3）$126$ 个。
  52. 15. ch21-tuozhan-07 · 第三套
    1. 第 1 步：$C_9^2=(9\times 8)\div(2\times 1)=\underline{36}$（条）。
    2. 第 2 步：$C_9^3=(9\times 8\times 7)\div(3\times 2\times 1)=\underline{84}$（个）。
    3. 第 3 步：$C_9^4=(9\times 8\times 7\times 6)\div(4\times 3\times 2\times 1)=\underline{126}$（个）。
    4. 第 4 步（五边形取 5 点）：$C_9^5=(9\times 8\times 7\times 6\times 5)\div(5\times 4\times 3\times 2\times 1)=\underline{126}$（个）。
    最终答案：（1）$36$ 条；（2）$84$ 个；（3）$126$ 个；（4）$126$ 个。
  53. 16. ch21-tuozhan-08 · 第一套
    1. 第 1 步（场次·组合）：$C_{12}^2=(12\times 11)\div(2\times 1)=\underline{66}$（场）。
    2. 第 2 步（最多得分）：每场都分胜负全场得 3 分最多，$66\times 3=\underline{198}$（分）。
    最终答案：（1）$66$ 场；（2）$198$ 分。
  54. 16. ch21-tuozhan-08 · 第二套
    1. 第 1 步：$C_9^2=(9\times 8)\div(2\times 1)=\underline{36}$（盘）。
    2. 第 2 步：每盘都分胜负得 3 分最多，$36\times 3=\underline{108}$（分）。
    最终答案：（1）$36$ 盘；（2）$108$ 分。
  55. 16. ch21-tuozhan-08 · 第三套
    1. 第 1 步：$C_{10}^2=(10\times 9)\div(2\times 1)=\underline{45}$（场）。
    2. 第 2 步：$45\times 3=\underline{135}$（分）。
    最终答案：（1）$45$ 场；（2）$135$ 分。
  56. 16. ch21-tuozhan-08 · 第三套
    1. 第 1 步（单循环场次）：$C_{12}^2=(12\times 11)\div(2\times 1)=\underline{66}$（场）。
    2. 第 2 步（双循环）：每两队打 2 场，$66\times 2=\underline{132}$（场）。
    3. 第 3 步（最多得分）：每场都分胜负，$132\times 3=\underline{396}$（分）。
    最终答案：（1）$132$ 场；（2）$396$ 分。
  57. 17. ch21-tuozhan-09 · 第一套
    1. 第 1 步：每张合影对应一个 3 人组合，$C_{12}^3$。
    2. 第 2 步：$C_{12}^3=(12\times 11\times 10)\div(3\times 2\times 1)=\underline{220}$（张）。
    最终答案：$220$ 张。
  58. 17. ch21-tuozhan-09 · 第二套
    1. 第 1 步：每个小组对应一个 3 人组合，$C_{10}^3$。
    2. 第 2 步：$C_{10}^3=(10\times 9\times 8)\div(3\times 2\times 1)=\underline{120}$（个）。
    最终答案：$120$ 个。
  59. 17. ch21-tuozhan-09 · 第三套
    1. 第 1 步：$C_{11}^3=(11\times 10\times 9)\div(3\times 2\times 1)=\underline{165}$（张）。
    最终答案：$165$ 张。
  60. 17. ch21-tuozhan-09 · 第三套
    1. 第 1 步（两人合影·组合）：$C_{10}^2=(10\times 9)\div(2\times 1)=\underline{45}$（张）。
    2. 第 2 步（三人合影·组合）：$C_{10}^3=(10\times 9\times 8)\div(3\times 2\times 1)=\underline{120}$（张）。
    3. 第 3 步（相加）：$45+120=\underline{165}$（张）。
    最终答案：$165$ 张。
  61. 18. ch21-tuozhan-10 · 第一套
    1. 第 1 步：确定拿 3 张那人的卡片即确定整个分法，$C_{12}^3$。
    2. 第 2 步：$C_{12}^3=(12\times 11\times 10)\div(3\times 2\times 1)=\underline{220}$（种）。
    最终答案：$220$ 种。
  62. 18. ch21-tuozhan-10 · 第二套
    1. 第 1 步：确定乙拿的 2 本即确定整个分法，$C_{10}^2$。
    2. 第 2 步：$C_{10}^2=(10\times 9)\div(2\times 1)=\underline{45}$（种）。
    最终答案：$45$ 种。
  63. 18. ch21-tuozhan-10 · 第三套
    1. 第 1 步：确定拿 4 张那人的卡片即确定整个分法，$C_{10}^4$。
    2. 第 2 步：$C_{10}^4=(10\times 9\times 8\times 7)\div(4\times 3\times 2\times 1)=\underline{210}$（种）。
    最终答案：$210$ 种。
  64. 18. ch21-tuozhan-10 · 第三套
    1. 第 1 步（给甲选 6 张）：$C_{12}^6=(12\times 11\times 10\times 9\times 8\times 7)\div(6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1)=\underline{924}$（种）。
    2. 第 2 步（再给乙选 4 张）：从剩 6 张选 4 张，$C_6^4=(6\times 5\times 4\times 3)\div(4\times 3\times 2\times 1)=\underline{15}$（种）。
    3. 第 3 步（剩 2 张给丙）：$C_2^2=\underline{1}$（种）。
    4. 第 4 步（乘法原理）：$924\times 15\times 1=\underline{13860}$（种）。
    最终答案：$13860$ 种。
  65. 19. ch21-tuozhan-11 · 第一套
    1. 第 1 步（组班委·无序）：$C_{13}^3=(13\times 12\times 11)\div(3\times 2\times 1)=\underline{286}$（种）。
    2. 第 2 步（任课代表·有序）：剩 10 人选 3 人排，$A_{10}^3=10\times 9\times 8=\underline{720}$（种）。
    最终答案：（1）$286$ 种；（2）$720$ 种。
  66. 19. ch21-tuozhan-11 · 第二套
    1. 第 1 步（后勤组·无序）：$C_{11}^3=(11\times 10\times 9)\div(3\times 2\times 1)=\underline{165}$（种）。
    2. 第 2 步（三项岗位·有序）：剩 8 人选 3 人排，$A_8^3=8\times 7\times 6=\underline{336}$（种）。
    最终答案：（1）$165$ 种；（2）$336$ 种。
  67. 19. ch21-tuozhan-11 · 第三套
    1. 第 1 步：$C_{12}^3=(12\times 11\times 10)\div(3\times 2\times 1)=\underline{220}$（种）。
    2. 第 2 步：剩 9 人选 3 人排，$A_9^3=9\times 8\times 7=\underline{504}$（种）。
    最终答案：（1）$220$ 种；（2）$504$ 种。
  68. 19. ch21-tuozhan-11 · 第三套
    1. 第 1 步（班委·无序）：$C_{11}^3=(11\times 10\times 9)\div(3\times 2\times 1)=\underline{165}$（种）。
    2. 第 2 步（课代表·有序）：剩 8 人选 3 人排，$A_8^3=8\times 7\times 6=\underline{336}$（种）。
    3. 第 3 步（卫生委员·有序）：再剩 5 人选 2 人排，$A_5^2=5\times 4=\underline{20}$（种）。
    最终答案：（1）$165$ 种；（2）$336$ 种；（3）$20$ 种。
  69. 20. ch21-tuozhan-12 · 第一套
    1. 第 1 步（总数）：$C_{10}^4=(10\times 9\times 8\times 7)\div(4\times 3\times 2\times 1)=\underline{210}$（种）。
    2. 第 2 步（正难则反）：A、B 都选则再从其余 8 门选 2 门，$C_8^2=(8\times 7)\div(2\times 1)=\underline{28}$（种）。
    3. 第 3 步（相减）：$210-28=\underline{182}$（种）。
    最终答案：$210$ 种；$182$ 种。
  70. 20. ch21-tuozhan-12 · 第二套
    1. 第 1 步：$C_8^3=(8\times 7\times 6)\div(3\times 2\times 1)=\underline{56}$（种）。
    2. 第 2 步（正难则反）：两班都报则再从其余 6 个选 1 个，$C_6^1=\underline{6}$（种）。
    3. 第 3 步：$56-6=\underline{50}$（种）。
    最终答案：$56$ 种；$50$ 种。
  71. 20. ch21-tuozhan-12 · 第三套
    1. 第 1 步：$C_9^3=(9\times 8\times 7)\div(3\times 2\times 1)=\underline{84}$（种）。
    2. 第 2 步（正难则反）：A、B 都选则再选 1 门，$C_7^1=\underline{7}$（种）。
    3. 第 3 步：$84-7=\underline{77}$（种）。
    最终答案：$77$ 种。
  72. 20. ch21-tuozhan-12 · 第三套
    1. 第 1 步（总数）：$C_8^3=(8\times 7\times 6)\div(3\times 2\times 1)=\underline{56}$（种）。
    2. 第 2 步（去掉数、钢同选）：$C_6^1=\underline{6}$（种）。
    3. 第 3 步（去掉语、美同选）：同理 $C_6^1=\underline{6}$（种）；两种冲突不会同时发生（选 3 门装不下两对）。
    4. 第 4 步（相减）：$56-6-6=\underline{44}$（种）。
    最终答案：$44$ 种。
  73. 21. ch21-tuozhan-13 · 第一套
    1. 第 1 步（选球·无序）：$C_{14}^5=(14\times 13\times 12\times 11\times 10)\div(5\times 4\times 3\times 2\times 1)=\underline{2002}$（种）。
    2. 第 2 步（分给 5 人·有序）：$A_5^5=5\times 4\times 3\times 2\times 1=\underline{120}$（种）。
    3. 第 3 步（整体）：$A_{14}^5=14\times 13\times 12\times 11\times 10=\underline{240240}$（种），也等于 $2002\times 120=\underline{240240}$。
    最终答案：（1）$2002$ 种；（2）$120$ 种；（3）$240240$ 种。
  74. 21. ch21-tuozhan-13 · 第二套
    1. 第 1 步：$C_{12}^4=(12\times 11\times 10\times 9)\div(4\times 3\times 2\times 1)=\underline{495}$（种）。
    2. 第 2 步：$A_4^4=4\times 3\times 2\times 1=\underline{24}$（种）。
    3. 第 3 步：$A_{12}^4=12\times 11\times 10\times 9=\underline{11880}$（种），即 $495\times 24=\underline{11880}$。
    最终答案：（1）$495$ 种；（2）$24$ 种；（3）$11880$ 种。
  75. 21. ch21-tuozhan-13 · 第三套
    1. 第 1 步：$C_{10}^4=(10\times 9\times 8\times 7)\div(4\times 3\times 2\times 1)=\underline{210}$（种）。
    2. 第 2 步：$A_4^4=4\times 3\times 2\times 1=\underline{24}$（种）。
    3. 第 3 步：$A_{10}^4=10\times 9\times 8\times 7=\underline{5040}$（种），即 $210\times 24=\underline{5040}$。
    最终答案：（1）$210$ 种；（2）$24$ 种；（3）$5040$ 种。
  76. 21. ch21-tuozhan-13 · 第三套
    1. 第 1 步（红球必选·再选 3 个）：红球已定，再从其余 11 球选 3 个，$C_{11}^3=(11\times 10\times 9)\div(3\times 2\times 1)=\underline{165}$（种）。
    2. 第 2 步（分给 4 人·有序）：$A_4^4=4\times 3\times 2\times 1=\underline{24}$（种）。
    3. 第 3 步（乘法原理）：$165\times 24=\underline{3960}$（种）。
    最终答案：$3960$ 种。
  77. 22. ch21-tuozhan-14 · 第一套
    1. 第 1 步（随意选·组合）：共 24 人，$C_{24}^5=(24\times 23\times 22\times 21\times 20)\div(5\times 4\times 3\times 2\times 1)=\underline{42504}$（种）。
    2. 第 2 步（2 男·组合）：$C_{12}^2=(12\times 11)\div(2\times 1)=\underline{66}$（种）。
    3. 第 3 步（3 女·组合）：$C_{12}^3=(12\times 11\times 10)\div(3\times 2\times 1)=\underline{220}$（种）。
    4. 第 4 步（分步相乘）：$66\times 220=\underline{14520}$（种）。
    最终答案：（1）$42504$ 种；（2）$14520$ 种。
  78. 22. ch21-tuozhan-14 · 第二套
    1. 第 1 步：共 20 人，$C_{20}^5=(20\times 19\times 18\times 17\times 16)\div(5\times 4\times 3\times 2\times 1)=\underline{15504}$（种）。
    2. 第 2 步：$C_{10}^2=(10\times 9)\div(2\times 1)=\underline{45}$，$C_{10}^3=(10\times 9\times 8)\div(3\times 2\times 1)=\underline{120}$，$45\times 120=\underline{5400}$（种）。
    最终答案：（1）$15504$ 种；（2）$5400$ 种。
  79. 22. ch21-tuozhan-14 · 第三套
    1. 第 1 步：共 18 人，$C_{18}^5=(18\times 17\times 16\times 15\times 14)\div(5\times 4\times 3\times 2\times 1)=\underline{8568}$（种）。
    2. 第 2 步：$C_9^2=(9\times 8)\div(2\times 1)=\underline{36}$，$C_9^3=(9\times 8\times 7)\div(3\times 2\times 1)=\underline{84}$，$36\times 84=\underline{3024}$（种）。
    最终答案：（1）$8568$ 种；（2）$3024$ 种。
  80. 22. ch21-tuozhan-14 · 第三套
    1. 第 1 步（4 女 1 男）：$C_{10}^4=(10\times 9\times 8\times 7)\div(4\times 3\times 2\times 1)=\underline{210}$，$C_{10}^1=\underline{10}$，相乘 $210\times 10=\underline{2100}$（种）。
    2. 第 2 步（5 女 0 男）：$C_{10}^5=(10\times 9\times 8\times 7\times 6)\div(5\times 4\times 3\times 2\times 1)=\underline{252}$（种）。
    3. 第 3 步（相加）：$2100+252=\underline{2352}$（种）。
    最终答案：$2352$ 种。
  81. 23. ch21-xingqu-01 · 第一套
    1. 第 1 步（认出乘几个）：$A_6^2$ 上标是 2，从 6 起连乘 2 个因数，$A_6^2=6\times 5=\underline{30}$。
    2. 第 2 步：$A_{12}^4$ 上标是 4，从 12 起连乘 4 个因数，$A_{12}^4=12\times 11\times 10\times 9=\underline{11880}$。
    3. 第 3 步（拆开第 (3) 题）：$A_4^4$ 是全排列，$A_4^4=4\times 3\times 2\times 1=\underline{24}$；$A_7^3=7\times 6\times 5=\underline{210}$。
    4. 第 4 步（先乘后加）：$4\times 24=\underline{96}$，再加 $210$，得 $96+210=\underline{306}$。
    最终答案：（1）$30$；（2）$11880$；（3）$306$。
  82. 23. ch21-xingqu-01 · 第二套
    1. 第 1 步：选 2 名分跑两棒，有先后之分，是排列，$A_4^2=4\times 3=\underline{12}$（种）。
    2. 第 2 步：10 本选 4 本还要分位置，是排列，$A_{10}^4=10\times 9\times 8\times 7=\underline{5040}$（种）。
    3. 第 3 步：3 人排队是全排列，$A_3^3=3\times 2\times 1=\underline{6}$（种）；6 面旗选 3 面排一行，$A_6^3=6\times 5\times 4=\underline{120}$（种）。
    4. 第 4 步：按题意合并，$3\times 6+120=\underline{138}$。
    最终答案：（1）$12$ 种；（2）$5040$ 种；（3）$138$。
  83. 23. ch21-xingqu-01 · 第三套
    1. 第 1 步：$A_5^3=5\times 4\times 3=\underline{60}$。
    2. 第 2 步：$A_8^2=8\times 7=\underline{56}$。
    3. 第 3 步（拆开）：$A_4^4=4\times 3\times 2\times 1=\underline{24}$，$A_5^2=5\times 4=\underline{20}$。
    4. 第 4 步（先乘后加）：$2\times 24+20=\underline{68}$。
    最终答案：（1）$60$；（2）$56$；（3）$68$。
  84. 23. ch21-xingqu-01 · 第三套
    1. 第 1 步（排列数）：$A_7^3=7\times 6\times 5=\underline{210}$。
    2. 第 2 步（组合数）：组合数要除掉被选元素内部的排列，$C_5^2=A_5^2\div A_2^2=(5\times 4)\div(2\times 1)=\underline{10}$。
    3. 第 3 步：$A_6^2=6\times 5=\underline{30}$。
    4. 第 4 步（先乘后减）：$210\times 10=\underline{2100}$，再减 $30$，得 $2100-30=\underline{2070}$。
    最终答案：$2070$。
  85. 24. ch21-xingqu-02 · 第一套
    1. 第 1 步（认出题型）：6 人全部排成一排、位置有先后，是 6 个元素的全排列 $A_6^6$。
    2. 第 2 步（逐位数选择）：第一个位置有 6 种选法，之后依次是 $5,4,3,2,1$ 种。
    3. 第 3 步（连乘）：$A_6^6=6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=\underline{720}$（种）。
    最终答案：$720$ 种。
  86. 24. ch21-xingqu-02 · 第二套
    1. 第 1 步：4 本书全部摆上、左右位置有区别，是 4 个元素的全排列 $A_4^4$。
    2. 第 2 步（连乘）：$A_4^4=4\times 3\times 2\times 1=\underline{24}$（种）。
    最终答案：$24$ 种。
  87. 24. ch21-xingqu-02 · 第三套
    1. 第 1 步：5 张卡片全部用上、位置有先后，是 5 个元素的全排列 $A_5^5$。
    2. 第 2 步（逐位数选择）：万位 5 种、千位 4 种、百位 3 种、十位 2 种、个位 1 种。
    3. 第 3 步（连乘）：$A_5^5=5\times 4\times 3\times 2\times 1=\underline{120}$（个）。
    最终答案：$120$ 个。
  88. 24. ch21-xingqu-02 · 第三套
    1. 第 1 步（捆绑）：把必须相邻的甲、乙看成一个整体，于是要排的对象变成 $5-1=\underline{4}$ 个。
    2. 第 2 步（外部排列）：这 4 个对象全排列，$A_4^4=4\times 3\times 2\times 1=\underline{24}$（种）。
    3. 第 3 步（内部排列）：甲、乙在整体内部还能交换，$A_2^2=2\times 1=\underline{2}$（种）。
    4. 第 4 步（乘法原理）：$24\times 2=\underline{48}$（种）。
    最终答案：$48$ 种。
  89. 25. ch21-xingqu-03 · 第一套
    1. 第 1 步（认题型）：从 12 人取 4 人排一排、位置有先后，是选排列 $A_{12}^4$。
    2. 第 2 步（连乘 4 个因数）：$A_{12}^4=12\times 11\times 10\times 9=\underline{11880}$（种）。
    最终答案：$11880$ 种。
  90. 25. ch21-xingqu-03 · 第二套
    1. 第 1 步：接力有棒次先后，是从 10 人取 4 人排序，$A_{10}^4$。
    2. 第 2 步：$A_{10}^4=10\times 9\times 8\times 7=\underline{5040}$（种）。
    最终答案：$5040$ 种。
  91. 25. ch21-xingqu-03 · 第三套
    1. 第 1 步：9 本选 4 本还要分左右位置，是选排列 $A_9^4$。
    2. 第 2 步：$A_9^4=9\times 8\times 7\times 6=\underline{3024}$（种）。
    最终答案：$3024$ 种。
  92. 25. ch21-xingqu-03 · 第三套
    1. 第 1 步（先定特殊位置）：班长只能站排头或排尾，有 2 种站法。
    2. 第 2 步（其余位置）：剩下 3 个位置从其余 9 人中选 3 人排，$A_9^3=9\times 8\times 7=\underline{504}$（种）。
    3. 第 3 步（乘法原理）：$2\times 504=\underline{1008}$（种）。
    最终答案：$1008$ 种。
  93. 26. ch21-xingqu-04 · 第一套
    1. 第 1 步（认题型）：从 9 个座位选 5 个让 5 人依次就座，是选排列 $A_9^5$。
    2. 第 2 步（连乘 5 个因数）：$A_9^5=9\times 8\times 7\times 6\times 5=\underline{15120}$（种）。
    最终答案：$15120$ 种。
  94. 26. ch21-xingqu-04 · 第二套
    1. 第 1 步：从 8 个座位选 4 个让 4 人依次就座，是选排列 $A_8^4$。
    2. 第 2 步：$A_8^4=8\times 7\times 6\times 5=\underline{1680}$（种）。
    最终答案：$1680$ 种。
  95. 26. ch21-xingqu-04 · 第三套
    1. 第 1 步：从 9 个座位选 4 个让 4 人依次就座，是选排列 $A_9^4$。
    2. 第 2 步：$A_9^4=9\times 8\times 7\times 6=\underline{3024}$（种）。
    最终答案：$3024$ 种。
  96. 26. ch21-xingqu-04 · 第三套
    1. 第 1 步（先定甲）：甲只能坐最左或最右端，有 2 种。
    2. 第 2 步（其余 3 人）：从剩下 7 个座位选 3 个排，$A_7^3=7\times 6\times 5=\underline{210}$（种）。
    3. 第 3 步（乘法原理）：$2\times 210=\underline{420}$（种）。
    最终答案：$420$ 种。
  97. 27. ch21-xingqu-05 · 第一套
    1. 第 1 步（总数）：从 9 个数字选 3 个排三位数，$A_9^3=9\times 8\times 7=\underline{504}$（个）。
    2. 第 2 步（数更小的）：百位取 1、2、3、4 都比 512 小，共 4 种，每种后两位有 $A_8^2=8\times 7=\underline{56}$ 个，合计 $4\times 56=\underline{224}$ 个。
    3. 第 3 步（定位）：512 是百位为 5 的三位数里最小的，排第 $224+1=\underline{225}$ 个。
    最终答案：$504$ 个；512 是第 $225$ 个。
  98. 27. ch21-xingqu-05 · 第二套
    1. 第 1 步（总数）：$A_7^3=7\times 6\times 5=\underline{210}$（个）。
    2. 第 2 步（数更小的）：百位为 1、2 各有 $A_6^2=6\times 5=\underline{30}$ 个，两类共 $2\times 30=\underline{60}$ 个比 312 小。
    3. 第 3 步（定位）：312 是百位为 3 中最小的，排第 $60+1=\underline{61}$。
    最终答案：$210$ 个；312 排第 $61$。
  99. 27. ch21-xingqu-05 · 第三套
    1. 第 1 步（总数）：$A_7^3=7\times 6\times 5=\underline{210}$（个）。
    2. 第 2 步（数更小的）：百位取 1、2、3、4 共 4 种都比 512 小，每种 $A_6^2=6\times 5=\underline{30}$ 个，合计 $4\times 30=\underline{120}$ 个。
    3. 第 3 步（定位）：512 是百位为 5 中最小的，排第 $120+1=\underline{121}$。
    最终答案：512 是第 $121$ 个。
  100. 27. ch21-xingqu-05 · 第三套
    1. 第 1 步（总数）：从 7 个数字选 4 个排四位数，$A_7^4=7\times 6\times 5\times 4=\underline{840}$（个）。
    2. 第 2 步（数更小的）：千位取 1、2 共 2 种都比 3124 小，每种 $A_6^3=6\times 5\times 4=\underline{120}$ 个，合计 $2\times 120=\underline{240}$ 个。
    3. 第 3 步（定位）：3124 是千位为 3 的四位数里最小的，排第 $240+1=\underline{241}$。
    最终答案：$840$ 个；3124 是第 $241$ 个。
  101. 28. ch21-xingqu-06 · 第一套
    1. 第 1 步：$C_6^2=A_6^2\div A_2^2=(6\times 5)\div(2\times 1)=\underline{15}$。
    2. 第 2 步：$C_8^4=A_8^4\div A_4^4=(8\times 7\times 6\times 5)\div(4\times 3\times 2\times 1)=\underline{70}$。
    3. 第 3 步（分开算）：$A_7^3=7\times 6\times 5=\underline{210}$；$C_7^3=A_7^3\div A_3^3=210\div 6=\underline{35}$。
    4. 第 4 步（相乘）：$210\times 35=\underline{7350}$。
    最终答案：（1）$15$；（2）$70$；（3）$7350$。
  102. 28. ch21-xingqu-06 · 第二套
    1. 第 1 步（握手·无序）：$C_5^2=(5\times 4)\div(2\times 1)=\underline{10}$（次）。
    2. 第 2 步（选题·无序）：$C_7^4=(7\times 6\times 5\times 4)\div(4\times 3\times 2\times 1)=\underline{35}$（种）。
    3. 第 3 步：$A_6^3=6\times 5\times 4=\underline{120}$，$C_6^3=120\div 6=\underline{20}$，相乘 $120\times 20=\underline{2400}$。
    最终答案：（1）$10$ 次；（2）$35$ 种；（3）$2400$。
  103. 28. ch21-xingqu-06 · 第三套
    1. 第 1 步：$C_{10}^3=(10\times 9\times 8)\div(3\times 2\times 1)=\underline{120}$。
    2. 第 2 步：$C_7^2=(7\times 6)\div(2\times 1)=\underline{21}$。
    3. 第 3 步（作差）：$120-21=\underline{99}$。
    最终答案：$99$。
  104. 28. ch21-xingqu-06 · 第三套
    1. 第 1 步（组合）：$C_8^3=(8\times 7\times 6)\div(3\times 2\times 1)=\underline{56}$。
    2. 第 2 步（排列）：$A_4^2=4\times 3=\underline{12}$。
    3. 第 3 步（相乘）：$56\times 12=\underline{672}$。
    最终答案：$672$。
  105. 29. ch21-xingqu-07 · 第一套
    1. 第 1 步（线段·取 2 点）：$C_8^2=(8\times 7)\div(2\times 1)=\underline{28}$（条）。
    2. 第 2 步（三角形·取 3 点）：$C_8^3=(8\times 7\times 6)\div(3\times 2\times 1)=\underline{56}$（个）。
    最终答案：（1）$28$ 条；（2）$56$ 个。
  106. 29. ch21-xingqu-07 · 第二套
    1. 第 1 步（彩带·取 2 根）：$C_6^2=(6\times 5)\div(2\times 1)=\underline{15}$（条）。
    2. 第 2 步（花架·取 3 根）：$C_6^3=(6\times 5\times 4)\div(3\times 2\times 1)=\underline{20}$（个）。
    最终答案：（1）$15$ 条；（2）$20$ 个。
  107. 29. ch21-xingqu-07 · 第三套
    1. 第 1 步：$C_7^2=(7\times 6)\div(2\times 1)=\underline{21}$（条）。
    2. 第 2 步：$C_7^3=(7\times 6\times 5)\div(3\times 2\times 1)=\underline{35}$（个）。
    最终答案：（1）$21$ 条；（2）$35$ 个。
  108. 29. ch21-xingqu-07 · 第三套
    1. 第 1 步（线段）：任意 2 点都能连线段，$C_7^2=(7\times 6)\div(2\times 1)=\underline{21}$（条）。
    2. 第 2 步（三角形·正难则反）：任取 3 点本有 $C_7^3=(7\times 6\times 5)\div(3\times 2\times 1)=\underline{35}$ 种，但共线的 3 点不成三角形要去掉，共线三点只有 $C_3^3=\underline{1}$ 种。
    3. 第 3 步（相减）：$35-1=\underline{34}$（个）。
    最终答案：（1）$21$ 条；（2）$34$ 个。
  109. 30. ch21-xingqu-08 · 第一套
    1. 第 1 步：$C_8^2=(8\times 7)\div(2\times 1)=\underline{28}$（种）。
    2. 第 2 步（对称性）：选 5 颗相当于选出不用的 3 颗，$C_8^5=C_8^3=(8\times 7\times 6)\div(3\times 2\times 1)=\underline{56}$（种）。
    最终答案：（1）$28$ 种；（2）$56$ 种。
  110. 30. ch21-xingqu-08 · 第二套
    1. 第 1 步：$C_6^2=(6\times 5)\div(2\times 1)=\underline{15}$（种）。
    2. 第 2 步（对称性）：选 4 张＝选出不留的 2 张，$C_6^4=C_6^2=\underline{15}$（种）。
    最终答案：（1）$15$ 种；（2）$15$ 种。
  111. 30. ch21-xingqu-08 · 第三套
    1. 第 1 步（对称性）：选 10 个相当于选出不要的 2 个，$C_{12}^{10}=C_{12}^2$。
    2. 第 2 步：$C_{12}^2=(12\times 11)\div(2\times 1)=\underline{66}$（种）。
    最终答案：$66$。
  112. 30. ch21-xingqu-08 · 第三套
    1. 第 1 步（总数）：$C_8^4=(8\times 7\times 6\times 5)\div(4\times 3\times 2\times 1)=\underline{70}$（种）。
    2. 第 2 步（正难则反）：若相克的 2 颗都选，再从其余 6 颗选 2 颗，$C_6^2=(6\times 5)\div(2\times 1)=\underline{15}$（种）。
    3. 第 3 步（相减）：$70-15=\underline{55}$（种）。
    最终答案：$55$ 种。
  113. 31. ch21-xingqu-09 · 第一套
    1. 第 1 步（都学）：已定 2 种，再从其余 5 种选 2 种，$C_5^2=(5\times 4)\div(2\times 1)=\underline{10}$（种）。
    2. 第 2 步（都不学）：从其余 5 种选满 4 种，$C_5^4=C_5^1=\underline{5}$（种）。
    3. 第 3 步（相加）：$10+5=\underline{15}$（种）。
    最终答案：$15$ 种。
  114. 31. ch21-xingqu-09 · 第二套
    1. 第 1 步（都参加）：再从其余 3 个社团选 1 个，$C_3^1=\underline{3}$（种）。
    2. 第 2 步（都不参加）：从其余 3 个选满 3 个，$C_3^3=\underline{1}$（种）。
    3. 第 3 步（相加）：$3+1=\underline{4}$（种）。
    最终答案：$4$ 种。
  115. 31. ch21-xingqu-09 · 第三套
    1. 第 1 步（都选）：再从其余 4 门选 1 门，$C_4^1=\underline{4}$（种）。
    2. 第 2 步（都不选）：从其余 4 门选满 3 门，$C_4^3=C_4^1=\underline{4}$（种）。
    3. 第 3 步（相加）：$4+4=\underline{8}$（种）。
    最终答案：$8$ 种。
  116. 31. ch21-xingqu-09 · 第三套
    1. 第 1 步（总数）：$C_7^4=(7\times 6\times 5\times 4)\div(4\times 3\times 2\times 1)=\underline{35}$（种）。
    2. 第 2 步（正难则反）：若语、数都选，再从其余 5 门选 2 门，$C_5^2=(5\times 4)\div(2\times 1)=\underline{10}$（种）。
    3. 第 3 步（相减）：$35-10=\underline{25}$（种）。
    最终答案：$25$ 种。
  117. 32. ch21-xingqu-10 · 第一套
    1. 第 1 步（有序·值日）：$A_{10}^3=10\times 9\times 8=\underline{720}$（种）。
    2. 第 2 步（无序·参赛）：$C_{10}^3=A_{10}^3\div A_3^3=720\div 6=\underline{120}$（种）。
    最终答案：（1）$720$ 种；（2）$120$ 种。
  118. 32. ch21-xingqu-10 · 第二套
    1. 第 1 步（有职务之分·有序）：$A_9^3=9\times 8\times 7=\underline{504}$（种）。
    2. 第 2 步（一起去·无序）：$C_9^3=504\div 6=\underline{84}$（种）。
    最终答案：（1）$504$ 种；（2）$84$ 种。
  119. 32. ch21-xingqu-10 · 第三套
    1. 第 1 步（排队形·有序）：$A_8^3=8\times 7\times 6=\underline{336}$（种）。
    2. 第 2 步（组小组·无序）：$C_8^3=336\div 6=\underline{56}$（种）。
    最终答案：（1）$336$ 种；（2）$56$ 种。
  120. 32. ch21-xingqu-10 · 第三套
    1. 第 1 步（选人·无序）：$C_9^3=(9\times 8\times 7)\div(3\times 2\times 1)=\underline{84}$（种）。
    2. 第 2 步（选队长·分步）：每种选法里从 3 人中选 1 名队长，有 3 种，$84\times 3=\underline{252}$（种）。
    最终答案：$252$ 种。