四年级第22讲计数综合一

1. 【原题 ch22-chaoyue-01】有 $6$ 种不同颜色的小球。请问：（1）如果每种颜色的球都只有 $1$ 个，从这些球中取出 $3$ 个排成一列，一共有多少种方法？（2）如果每种颜色的球都只有 $1$ 个，从这些球中取出 $3$ 个装到袋中，一共有多少种方法？（3）如果每种颜色的球都很多，从这些球中取出 $3$ 个排成一列，一共有多少种方法？（4）如果每种颜色的球都很多，从这些球中取出 $3$ 个装到袋中，一共有多少种方法？

详细思路

是哪类问题：这是「排列/组合/可重复」综合题：$6$ 色球取 $3$ 个，按“是否排序”“是否可重复”分四种情形。

关键切入点：(1) 每色 1 个、排成列 = 排列 $6\times5\times4$；(2) 每色 1 个、装袋 = 组合 $C_6^3$；(3) 每色很多、排成列 = 可重复排列 $6^3$；(4) 每色很多、装袋 = 可重复组合，按“三同/两同/全异”分类 $6+6\times5+C_6^3$。

方法概述：分“排序否×重复否”四类，分别用排列/组合/可重复计数。

规范步骤：

(1) 排列：$6\times5\times4=120$
(2) 组合：$\dfrac{6\times5\times4}{6}=20$
(3) 可重复排列：$6^3=216$
(4) 可重复组合：$6+6\times5+20=56$（三同+两同+全异）

第一套

题目：有 $7$ 种不同颜色的球，取 $3$ 个。（1）每色 $1$ 个、排成一列有多少种？（2）每色 $1$ 个、装袋有多少种？（3）每色很多、排成一列有多少种？（4）每色很多、装袋有多少种？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：(1) 排列 $7\times6\times5=\underline{\quad}$。
第 2 步：(2) 组合 $\dfrac{7\times6\times5}{3\times2\times1}=\underline{\quad}$。
第 3 步：(3) 可重复排列 $7^3=\underline{\quad}$。
第 4 步：(4) 可重复组合三同 $7$ + 两同 $7\times6=42$ + 全异 $35$，$7+42+35=\underline{\quad}$。

第二套

题目：有 $6$ 种口味的糖（每种货源看情况），取 $3$ 颗。（1）每味 $1$ 颗、排成一排？（2）每味 $1$ 颗、装进袋子？（3）每味很多、排成一排？（4）每味很多、装进袋子？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：(1) $6\times5\times4=\underline{\quad}$。(2) $\dfrac{6\times5\times4}{6}=\underline{\quad}$。
第 2 步：(3) $6^3=\underline{\quad}$。(4) $6+6\times5+20=\underline{\quad}$。

第三套

题目：有 $6$ 种颜色的球，取 $2$ 个。（1）每色 $1$ 个排成一列？（2）每色 $1$ 个装袋？（3）每色很多排成一列？（4）每色很多装袋？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：(1) $6\times5=\underline{\quad}$。(2) $\dfrac{6\times5}{2}=\underline{\quad}$。
第 2 步：(3) $6^2=\underline{\quad}$。(4) 两同 $6$ + 两异 $15$，$6+15=\underline{\quad}$。

第三套

题目：有 $6$ 种颜色的球（每色很多），取 $4$ 个装到袋中（可重复、不计顺序），一共有多少种方法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：四球全同 $6$ 种；三同一异 $6\times5=\underline{\quad}$ 种。
第 2 步：两同两同（两种颜色各 2 个）$\dfrac{6\times5}{2}=\underline{\quad}$ 种；两同两异（一色 2 个 + 另两色各 1 个）$6\times\dfrac{5\times4}{2}=6\times10=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步：四色全异 $\dfrac{6\times5\times4\times3}{4\times3\times2\times1}=\underline{\quad}$ 种。
第 4 步：合计 $6+30+15+60+15=\underline{\quad}$。

2. 【原题 ch22-chaoyue-02】有一些四位数的 $4$ 个数字分别是 $2$ 个不同的奇数和 $2$ 个不同的偶数，并且不含有数字 $0$。这样的四位数有几个？

详细思路

是哪类问题：这是「指定奇偶个数组数」题：四位数由 $2$ 个不同奇数字和 $2$ 个不同偶数字（不含 $0$）组成。

关键切入点：先选数字：不含 $0$ 的奇数字 $1,3,5,7,9$ 中选 $2$ 个 $C_5^2=10$，不含 $0$ 的偶数字 $2,4,6,8$ 中选 $2$ 个 $C_4^2=6$，共 $60$ 种数字组合。这 $4$ 个数字都非 $0$，无首位限制，全排列 $4!=24$。相乘。

方法概述：先选奇、偶各 2 个，再全排列 4 个数字。

规范步骤：

选 2 奇：$\dfrac{5\times4}{2}=10$
选 2 偶：$\dfrac{4\times3}{2}=6$
数字组合：$10\times6=60$
全排列：$60\times4!=60\times24=1440$（均非 0）

第一套

题目：有一些五位数的 $5$ 个数字分别是 $3$ 个不同的奇数和 $2$ 个不同的偶数，且都不含 $0$。这样的五位数有几个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：选 $3$ 个不同奇数字（从 $1,3,5,7,9$）$\dfrac{5\times4\times3}{3\times2\times1}=\underline{\quad}$ 种。
第 2 步：选 $2$ 个不同偶数字（从 $2,4,6,8$）$\dfrac{4\times3}{2}=\underline{\quad}$ 种，数字组合 $10\times6=\underline{\quad}$。
第 3 步：$5$ 个非 $0$ 数字全排列 $5!=120$，$60\times120=\underline{\quad}$。

第二套

题目：用积木数字块拼四位数，要求恰用 $2$ 个不同的奇数字和 $2$ 个不同的偶数字（都不含 $0$），能拼多少个不同的四位数？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：选 $2$ 奇 $\dfrac{5\times4}{2}=\underline{\quad}$、选 $2$ 偶 $\dfrac{4\times3}{2}=\underline{\quad}$，组合 $10\times6=\underline{\quad}$。
第 2 步：$4$ 个非 $0$ 数字全排列 $4!=24$，$60\times24=\underline{\quad}$。

第三套

题目：用 $2$ 个不同奇数字和 $2$ 个不同偶数字（都不含 $0$）组成四位数，要求两个奇数字排在前两位、两个偶数字排在后两位，一共有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：选 $2$ 奇 $\dfrac{5\times4}{2}=\underline{\quad}$、选 $2$ 偶 $\dfrac{4\times3}{2}=\underline{\quad}$，组合 $60$。
第 2 步：奇数字排前两位 $2!=2$、偶数字排后两位 $2!=2$，$60\times2\times2=\underline{\quad}$。

第三套

题目：有一些四位数的 $4$ 个数字分别是 $2$ 个不同的奇数和 $2$ 个不同的偶数（偶数可以含 $0$）。这样的四位数有几个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：选 $2$ 奇 $\dfrac{5\times4}{2}=\underline{\quad}$、选 $2$ 偶（从 $0,2,4,6,8$）$\dfrac{5\times4}{2}=\underline{\quad}$，组合 $10\times10=\underline{\quad}$。
第 2 步：含 $0$ 的数字组（$0$ 为其中一个偶数字）有 $10\times4=40$ 组，每组四位数 $4!-3!=\underline{\quad}$ 个。
第 3 步：不含 $0$ 的 $60$ 组，每组 $4!=24$ 个。合计 $40\times18+60\times24=720+1440=\underline{\quad}$。

3. 【原题 ch22-chaoyue-03】用 $1\sim 4$ 这 $4$ 个数字组成四位数，至多允许有 $1$ 个数字重复两次，例如 $1234$、$1233$ 和 $2414$ 是满足条件的，而 $1212$、$3334$ 和 $3333$ 都不满足条件。请问：一共能组成多少个满足条件的四位数？

详细思路

是哪类问题：这是「限制重复次数组数」题：$1\sim4$ 组四位数，至多一个数字重复两次。

关键切入点：分两类：第一类 $4$ 个数字互不相同，即 $1,2,3,4$ 各一次 $4!=24$；第二类恰有一个数字出现 $2$ 次，选重复数字 $4$ 种、再从其余 $3$ 个选 $2$ 个填另两位 $C_3^2=3$、这 $4$ 个数字（两个相同）排列 $\frac{4!}{2}=12$，共 $4\times3\times12=144$。合计 $168$。

方法概述：按“全不同”与“恰一个重复两次”两类分别计数。

规范步骤：

第一类全不同：$4!=24$
第二类选重复数字：$4$ 种
第二类选另两个数字：$\dfrac{3\times2}{2}=3$
第二类排列：$\dfrac{4!}{2}=12$，共 $4\times3\times12=144$
合计：$24+144=168$

第一套

题目：用 $1\sim5$ 这 $5$ 个数字组成四位数，至多允许有 $1$ 个数字重复两次，一共能组成多少个满足条件的四位数？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：第一类 $4$ 个数字互不相同——从 $5$ 个数字选 $4$ 个排列 $5\times4\times3\times2=\underline{\quad}$ 个。
第 2 步：第二类恰一个数字重复两次——选重复数字 $5$ 种，从其余 $4$ 个选 $2$ 个 $\dfrac{4\times3}{2}=\underline{\quad}$，排列 $\dfrac{4!}{2}=12$，$5\times6\times12=\underline{\quad}$。
第 3 步：合计 $120+360=\underline{\quad}$。

第二套

题目：用数字 $1,2,3,4$ 给四位储物柜编号，至多允许有 $1$ 个数字重复两次，一共能编出多少个不同的柜号？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：全不同 $4!=\underline{\quad}$ 个。
第 2 步：恰一个重复两次选数字 $4$、选另两数 $\dfrac{3\times2}{2}=3$、排列 $\dfrac{4!}{2}=12$，$4\times3\times12=\underline{\quad}$。
第 3 步：合计 $24+144=\underline{\quad}$。

第三套

题目：用 $1\sim4$ 组成三位数，恰有一个数字出现两次（另一位为不同数字），一共有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：选重复数字 $4$ 种，从其余 $3$ 个选 $1$ 个作第三位 $3$ 种。
第 2 步：三个数字（两个相同）排列 $\dfrac{3!}{2}=\underline{\quad}$，$4\times3\times3=\underline{\quad}$。

第三套

题目：用 $1\sim5$ 这 $5$ 个数字组成五位数，至多允许有 $1$ 个数字重复两次，一共能组成多少个满足条件的五位数？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：第一类 $5$ 个数字各不相同 $5!=\underline{\quad}$ 个。
第 2 步：第二类恰一个数字重复两次——选重复数字 $5$ 种，从其余 $4$ 个选 $3$ 个填另三位 $\dfrac{4\times3\times2}{3\times2\times1}=\underline{\quad}$，这 $5$ 个数字（两个相同）排列 $\dfrac{5!}{2}=60$，$5\times4\times60=\underline{\quad}$。
第 3 步：合计 $120+1200=\underline{\quad}$。

4. 【原题 ch22-chaoyue-04】四（$3$）班举行“六一”儿童节联欢活动，整个活动由 $2$ 个舞蹈、$2$ 个演唱和 $3$ 个小品组成。请问：（1）如果要求同类型的节目连续演出，那么一共有多少种不同的出场顺序？（2）如果第一个和最后一个节目都不能是小品，那么一共有多少种不同的出场顺序？

详细思路

是哪类问题：这是「节目出场顺序」题：$2$ 舞 $2$ 唱 $3$ 品共 $7$ 个节目的排序限制。

关键切入点：(1) 同类连续：三类作整体排序 $3!=6$，类内各自排 $2!\,2!\,3!=2\times2\times6$，共 $144$。(2) 首尾非小品：首、尾从 $4$ 个非小品中排 $4\times3=12$，中间 $5$ 个全排列 $5!=120$，共 $1440$。

方法概述：(1) 同类捆绑后类间×类内；(2) 先排受限首尾，再排中间。

规范步骤：

(1) 三类整体排序：$3!=6$
(1) 类内排序：$2!\times2!\times3!=24$，共 $6\times24=144$
(2) 首尾非小品：$4\times3=12$
(2) 中间全排列：$5!=120$，共 $12\times120=1440$

第一套

题目：联欢会由 $3$ 个舞蹈、$3$ 个演唱、$2$ 个小品共 $8$ 个节目组成。（1）同类型节目连续演出有多少种顺序？（2）第一个和最后一个都不是小品有多少种顺序？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：(1) 三类整体排序 $3!=6$，类内 $3!\times3!\times2!=6\times6\times2=\underline{\quad}$，共 $6\times72=\underline{\quad}$。
第 2 步：(2) 首尾从 $6$ 个非小品中排 $6\times5=\underline{\quad}$，中间 $6$ 个全排列 $6!=720$，共 $30\times720=\underline{\quad}$。

第二套

题目：运动会开幕式由 $2$ 个方阵、$2$ 个舞蹈、$3$ 个乐队共 $7$ 个表演组成。（1）同类型表演连续进行有多少种顺序？（2）第一个和最后一个都不是乐队有多少种顺序？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：(1) 三类整体 $3!=6$，类内 $2!\times2!\times3!=\underline{\quad}$，共 $6\times24=\underline{\quad}$。
第 2 步：(2) 首尾从 $4$ 个非乐队排 $4\times3=\underline{\quad}$，中间 $5!=120$，共 $12\times120=\underline{\quad}$。

第三套

题目：$2$ 个舞蹈、$2$ 个演唱、$3$ 个小品共 $7$ 个节目，要求 $3$ 个小品互不相邻，有多少种出场顺序？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（插空）：先排 $4$ 个非小品节目 $4!=\underline{\quad}$，产生 $5$ 个空。
第 2 步：$3$ 个小品插入 $5$ 个空 $5\times4\times3=\underline{\quad}$，共 $24\times60=\underline{\quad}$。

第三套

题目：$2$ 个舞蹈、$2$ 个演唱、$3$ 个小品共 $7$ 个节目，要求同类型连续演出、且第一个节目必须是舞蹈，有多少种出场顺序？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：同类连续时三类作整体。第一个是舞蹈 ⇒ 舞蹈类排在最前，其余两类整体排序 $2!=\underline{\quad}$ 种。
第 2 步：类内排序 $2!\times2!\times3!=\underline{\quad}$，共 $2\times24=\underline{\quad}$。

5. 【原题 ch22-chaoyue-05】在一次合唱比赛中，有身高互不相同的 $8$ 个人要站成两排，每排 $4$ 个人，且前面站矮的，后面站高的——而且第二排的每个人都要比他前面的那个人高，这样才不会被挡住。那么一共有多少种不同的排队方法？

详细思路

是哪类问题：这是「两排身高约束」题：$8$ 人两排各 $4$ 人，后排每人比正前方的前排人高。

关键切入点：把 $8$ 人放进 $2\times4=8$ 个格子，共 $8!$ 种放法。每一列有前、后两人，“后高于前”与“前高于后”各占一半，$4$ 列彼此独立，故满足条件的比例是 $\frac{1}{2^4}$。因此答案 $\frac{8!}{2^4}=2520$。

方法概述：总放法 $8!$，每列后高于前的概率 $\frac12$，$4$ 列独立，除以 $2^4$。

规范步骤：

8 人放 8 格：$8!=40320$
每列后高于前占一半：$4$ 列共 $2^4=16$
求满足条件数：$40320\div16=2520$

第一套

题目：$10$ 个身高互不相同的人站成两排，每排 $5$ 人，后排每个人都要比正前方的前排人高，一共有多少种排法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：$10$ 人放进 $2\times5=10$ 个格子，$10!=\underline{\quad}$ 种。
第 2 步：每列后高于前占一半，$5$ 列共 $2^5=\underline{\quad}$，满足数 $3628800\div32=\underline{\quad}$。

第二套

题目：$8$ 盆高矮各不相同的花摆成前后两排、每排 $4$ 盆，要求后排每盆都比正前方的前排那盆高，一共有多少种摆法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：$8$ 盆放进 $8$ 个位置 $8!=\underline{\quad}$ 种。
第 2 步：每列后高于前占一半，$4$ 列共 $2^4=16$，满足数 $40320\div16=\underline{\quad}$。

第三套

题目：$6$ 个身高不同的人站两排、每排 $3$ 人，后排每人比正前方的人高，一共有多少种排法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：$6$ 人放 $6$ 格 $6!=\underline{\quad}$。
第 2 步：$3$ 列每列后高于前占一半，$2^3=\underline{\quad}$，满足数 $720\div8=\underline{\quad}$。

第三套

题目：$8$ 个身高不同的人站两排、每排 $4$ 人。要求后排每人比正前方的前排人高，且每一排都从左到右由矮到高。一共有多少种排法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：这时每排的左右顺序被“由矮到高”唯一确定，方法等价于把 $8$ 人分成“前排 $4$ 人、后排 $4$ 人”并使每列后高于前——即标准的两行杨表个数。
第 2 步：可用勾长公式，$2\times4$ 表格的勾长为上行 $5,4,3,2$、下行 $4,3,2,1$，勾长之积 $5\times4\times3\times2\times4\times3\times2\times1=\underline{\quad}$。
第 3 步：个数 $\dfrac{8!}{2880}=\dfrac{40320}{2880}=\underline{\quad}$。

6. 【原题 ch22-chaoyue-06】有 $9$ 张同样大小的圆形纸片，其中标有数字“$1$”的纸片有 $1$ 张，标有数字“$2$”的纸片有 $3$ 张，标有数字“$4$”的纸片有 $3$ 张，把这 $9$ 张圆形纸片如图 $22\text{-}2$ 所示放置在一起，要求标有同一数字的纸片不许重叠。$M$ 是最中间那张纸片的位置。（1）如果在 $M$ 处放置标有数字“$3$”的纸片，一共有多少种不同的放置方法？（2）如果在 $M$ 处放置标有数字“$2$”的纸片，一共有多少种不同的放置方法？

详细思路

是哪类问题：这是「数阵纸片放置」题：$9$ 张纸片按图 $22\text{-}2$ 的固定位置摆放，同数字不许重叠/相邻。

关键切入点：题目依赖图 $22\text{-}2$ 给定的位置与相邻关系（中心 $M$ 加外圈 $8$ 个位置），需按“同一数字不相邻”的图形约束逐位枚举，属结构型放置计数。

方法概述：固定中心 $M$ 后，按图上相邻关系逐位枚举合法放法。

规范步骤：

读图定相邻结构：$9$ 个圆按三角形密堆：底行 $4$、中行 $3$、顶行 $2$；$M$ 是中行正中的那张，恰与左右两张中圆、正下方两张底圆、上方两张顶圆共 $6$ 张相邻。全图只有两个底角圆与 $M$ 不相邻（相邻＝两圆相切）
(1) M 放“3”：“3”与场上其余数字都不同，放 $M$ 不会与任何同数相邻；余下要把 $3$ 个“$4$”两两不相邻、$3$ 个“$2$”两两不相邻，再定唯一“$1$”的位置。沿图上相邻关系逐位枚举合法放法得 $6$ 种（同数不相邻）
(2) M 放“2”：$M$ 先占一个“$2$”，则与 $M$ 相邻的 $6$ 张都不能再放“$2$”；而全图只有两个底角与 $M$ 不相邻，故余下两个“$2$”被迫各占一个底角。再把 $3$ 个“$4$”与“$1$”按不相邻约束填入其余位置，逐位枚举得 $12$ 种（邻位排除后枚举）

7. 【原题 ch22-chaoyue-07】从三个 $0$、四个 $1$、五个 $2$ 中挑选出 $5$ 个数字，能组成多少个不同的五位数？

详细思路

是哪类问题：这是「库存受限组数」题：从三个 $0$、四个 $1$、五个 $2$ 中挑 $5$ 个数字组五位数。

关键切入点：按开头两位数字（首位只能 $1$ 或 $2$）分成 $10\square\square\square,11\square\square\square,\dots$ 六类，后三位每位可填 $0,1,2$ 共 $3^3=27$，再减去会用超库存（$0$ 至多 $3$、$1$ 至多 $4$）的情形。

方法概述：按前两位分类，$3^3$ 减去超库存情形。

规范步骤：

$10\square\square\square$：$27-1=26$（去三 0 超 3 个）
$11\square\square\square$：$27-1=26$（去三 1 使 1 超 4 个）
$12,21,22$ 型：各 $27$
$20\square\square\square$：$27-1=26$（去三 0）
合计：$26+26+27+26+27+27=159$

8. 【原题 ch22-chaoyue-08】$8$ 个人站队，小高必须站在萱萱和墨莫的中间（不一定相邻），小慧和大智不能相邻，小光和大亮必须相邻。满足要求的站法一共有多少种？

详细思路

是哪类问题：这是「多重约束排队」题：$8$ 人，小高在萱萱、墨莫中间；小慧、大智不相邻；小光、大亮相邻。

关键切入点：先把小光、大亮捆绑（内部 $2$），成 $7$ 个对象排 $7!$；再乘“萱、高、墨三人相对顺序中高居中”的比例 $\frac{2}{6}=\frac13$。此为暂不管小慧大智的总数 $7!\times2\times\frac13=3360$。再减去“小慧、大智相邻”的情形（把二人也捆绑）$6!\times2\times2\times\frac13=960$。得 $3360-960=2400$。

方法概述：捆绑相邻对；居中用相对顺序比例；不相邻用排除。

规范步骤：

光亮捆绑成 7 对象：$7!\times2$
高居中比例：$\times\dfrac{2}{6}$，得 $7!\times2\div3=3360$
减去慧智相邻：$6!\times2\times2\div3=960$
结果：$3360-960=2400$

第一套

题目：$9$ 个人站队（比原题多 $1$ 人），仍要求小高站在萱萱和墨莫中间、小慧和大智不相邻、小光和大亮相邻。满足要求的站法有多少种？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：小光大亮捆绑成整体，与其余 $7$ 人共 $8$ 对象排 $8!$，内部 $2$，得 $8!\times2=\underline{\quad}$。
第 2 步：乘高居中比例 $\dfrac13$：$80640\div3=\underline{\quad}$（暂不管慧智）。
第 3 步：减去慧智相邻（再捆绑）$7!\times2\times2\div3=\underline{\quad}$。
第 4 步：$26880-6720=\underline{\quad}$。

第二套

题目：$8$ 名队员合影站成一排，队长站在两位副队长中间（不一定相邻），甲、乙两名队员不相邻，丙、丁两名队员必须相邻。满足要求的站法有多少种？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：丙丁捆绑成整体，与其余 $6$ 人共 $7$ 对象排 $7!$，内部 $2$，得 $7!\times2=\underline{\quad}$。
第 2 步：乘队长居中比例 $\dfrac13$：$10080\div3=\underline{\quad}$。
第 3 步：减去甲乙相邻 $6!\times2\times2\div3=\underline{\quad}$，得 $3360-960=\underline{\quad}$。

第三套

题目：$8$ 个人站队，小高站在萱萱和墨莫中间、小光和大亮必须相邻（这次没有“小慧大智不相邻”的要求）。满足要求的站法有多少种？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：小光大亮捆绑成整体，与其余 $6$ 人共 $7$ 对象排 $7!$，内部 $2$，得 $7!\times2=\underline{\quad}$。
第 2 步：乘高居中比例 $\dfrac13$：$10080\div3=\underline{\quad}$。

第三套

题目：$9$ 个人站队，小高站在萱萱、墨莫中间，小慧、大智不相邻，小光、大亮相邻，且新同学小新必须站在最左端。满足要求的站法有多少种？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：小新固定最左端只有 $1$ 种；其余 $8$ 人的“居中/相邻/不相邻”约束只跟这 $8$ 人彼此的相对位置有关，与小新占端无关，故只需对这 $8$ 人按原题方法计数。
第 2 步：把小光大亮捆绑（内部 $2$ 种）成 $7$ 个对象排 $7!$，再乘“高居中”的相对顺序比例 $\dfrac13$：$7!\times2\div3=\underline{\quad}$（暂不管慧智）。
第 3 步：减去“小慧大智相邻”的情形（把二人也捆绑）$6!\times2\times2\div3=\underline{\quad}$。
第 4 步：小新位置唯一，$1\times(3360-960)=\underline{\quad}$。

9. 【原题 ch22-tuozhan-01】把自然数 $1\sim 2008$ 依次写成一排，得到一个多位数 $1234567891011121314\cdots 0620072008$。请问：（1）这个多位数一共有多少位？（2）从左向右数，这个多位数的第 $2008$ 个数字是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「连写数列定位」题：把 $1\sim2008$ 连写成一个大数，求总位数并定位第 $2008$ 个数字。

关键切入点：按位数分段累加求总位数；定位时先扣掉一、两位数占的 $189$ 位，再对三位数部分做带余除法，商定位到第几个三位数、余数定位到该数的第几位。

方法概述：分段求总位数；带余除法定位第 $k$ 个数字。

规范步骤：

各段位数：$9+90\times2+900\times3+1009\times4$
总位数：$9+180+2700+4036=6925$ 位
定位：扣前 189 位：$2008-189=1819$
三位数部分带余除法：$1819\div3=606\cdots1$（第 607 个三位数首位）
第 607 个三位数：$100+607-1=706$，首位为 $7$

第一套

题目：把自然数 $1\sim3000$ 依次连写成一个大数。（1）这个数一共有多少位？（2）从左数第 $2008$ 个数字是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：各段位数 $9+90\times2+900\times3+2001\times4$，即 $9+180+2700+\underline{\quad}=\underline{\quad}$ 位。
第 2 步：定位，扣前 $189$ 位 $2008-189=\underline{\quad}$，属三位数部分。
第 3 步：$1819\div3=606\cdots1$，第 $607$ 个三位数 $100+607-1=\underline{\quad}$，其首位为 $7$。

第二套

题目：把 $1\sim2008$ 号参赛选手的号码依次连写在横幅上，得到一长串数字。（1）横幅上共有多少个数字？（2）从左数第 $2008$ 个数字是几？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：总位数 $9+180+2700+1009\times4=9+180+2700+\underline{\quad}=\underline{\quad}$。
第 2 步：扣前 $189$ 位 $2008-189=\underline{\quad}$，$1819\div3=606\cdots1$，第 $607$ 个三位数 $100+607-1=\underline{\quad}$，首位 $7$。

第三套

题目：把自然数 $1\sim2008$ 依次连写成一个大数，从左数第 $1000$ 个数字是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：扣前 $189$ 位（一、两位数）$1000-189=\underline{\quad}$，属三位数部分。
第 2 步：$811\div3=270\cdots1$，第 $271$ 个三位数 $100+271-1=\underline{\quad}$，余 $1$ 取首位 $3$。

第三套

题目：把自然数 $1\sim2008$ 依次连写成一个大数，从左数第 $2010$ 个数字是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：扣前 $189$ 位 $2010-189=\underline{\quad}$。
第 2 步：$1821\div3=607$ 恰好整除，说明它是第 $607$ 个三位数的末位（个位）。
第 3 步：第 $607$ 个三位数 $100+607-1=\underline{\quad}$，其个位是 $6$。

10. 【原题 ch22-tuozhan-02】商场里举行抽奖活动，一个大箱子里放着 $9$ 个球，红色、黄色和绿色的球各有 $3$ 个。一次从箱子里摸出 $3$ 个球，如果摸出的 $3$ 个球颜色全部相同就得一等奖；如果摸出的 $3$ 个球颜色各不相同就得二等奖。请问：哪种奖中奖方式多？哪种是一等奖？哪种是二等奖？

详细思路

是哪类问题：这是「摸球颜色计数」题：$3$ 色各 $3$ 个共 $9$ 球，比较“摸 $3$ 个同色”与“摸 $3$ 个异色”哪种方式多。

关键切入点：同色只能全红/全黄/全绿，共 $3$ 种；异色是红黄绿各取 $1$ 个，每色 $3$ 个可选，乘法原理 $3\times3\times3=27$ 种。方式少者为一等奖。

方法概述：分别数“全同色”与“全异色”方式数，方式少者为一等奖。

规范步骤：

全同色：$3$ 种（全红/全黄/全绿）
全异色：$3\times3\times3=27$ 种（每色取 1 个）
比较：$3<27$（同色为一等奖）

第一套

题目：箱子里红、黄、绿球各有 $4$ 个，一次摸出 $3$ 个。摸出 $3$ 个同色有多少种方式？摸出 $3$ 个异色（每色 $1$ 个）有多少种方式？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：同色——每种颜色 $4$ 个取 $3$ 个 $\dfrac{4\times3\times2}{3\times2\times1}=4$，三色共 $4\times3=\underline{\quad}$ 种。
第 2 步：异色——红黄绿各取 $1$ 个，$4\times4\times4=\underline{\quad}$ 种。

第二套

题目：抽奖箱里红、黄、绿三种奖券各 $3$ 张，一次抽 $3$ 张。抽到 $3$ 张同色有多少种方式？抽到 $3$ 张颜色各不同有多少种方式？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：同色——全红/全黄/全绿共 $\underline{\quad}$ 种。
第 2 步：异色——每色抽 $1$ 张 $3\times3\times3=\underline{\quad}$ 种。

第三套

题目：红、黄、蓝、绿四种球各 $2$ 个，一次摸 $4$ 个。摸出 $4$ 个同色有几种方式？摸出 $4$ 个颜色各不同有几种方式？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：同色——每色只有 $2$ 个，取不出 $4$ 个同色，共 $\underline{\quad}$ 种。
第 2 步：异色——四色各取 $1$ 个 $2\times2\times2\times2=\underline{\quad}$ 种。

第三套

题目：红、黄、绿球各 $3$ 个，一次摸 $3$ 个。摸出恰好 $2$ 个同色、$1$ 个异色的方式有多少种？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：先选“成对同色”的颜色，$3$ 种；该色 $3$ 个取 $2$ 个 $\dfrac{3\times2}{2}=\underline{\quad}$ 种。
第 2 步：再选另一颜色的 $1$ 个球，另 $2$ 种颜色共 $2\times3=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步：乘法原理 $3\times3\times6=\underline{\quad}$。

11. 【原题 ch22-tuozhan-03】工厂某日生产的 $10$ 件产品中有 $2$ 件次品，从这 $10$ 件产品中任意抽出 $3$ 件进行检查。请问：（1）一共有多少种不同的抽法？（2）抽出的 $3$ 件中恰好有 $1$ 件是次品的抽法有多少种？（3）抽出的 $3$ 件中至少有 $1$ 件次品的抽法有多少种？

详细思路

是哪类问题：这是「次品抽取组合」题：$10$ 件含 $2$ 次品，抽 $3$ 件，问总抽法、恰 $1$ 次品、至少 $1$ 次品。

关键切入点：总抽法用组合 $C_{10}^3$；恰 $1$ 次品按“次品取 $1$、正品取 $2$”分步乘法；至少 $1$ 次品用排除法 = 总数 − 全正品。

方法概述：组合求总数；恰好型分步乘法；至少型排除法。

规范步骤：

总抽法：$\dfrac{10\times9\times8}{3\times2\times1}=120$
恰 1 次品：$2\times\dfrac{8\times7}{2}=2\times28=56$
至少 1 次品：$120-\dfrac{8\times7\times6}{6}=120-56=64$（排除全正品）

第一套

题目：$12$ 件产品中有 $3$ 件次品，任抽 $4$ 件。（1）共有多少种抽法？（2）恰好 $1$ 件次品的抽法有多少种？（3）至少 $1$ 件次品的抽法有多少种？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：总抽法 $\dfrac{12\times11\times10\times9}{4\times3\times2\times1}=\underline{\quad}$ 种。
第 2 步：恰 $1$ 次品 $3\times\dfrac{9\times8\times7}{3\times2\times1}=3\times84=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步：至少 $1$ 次品 $=495-\dfrac{9\times8\times7\times6}{4\times3\times2\times1}=495-126=\underline{\quad}$。

第二套

题目：一筐 $10$ 个苹果中有 $2$ 个是坏的，任取 $3$ 个。（1）共有多少种取法？（2）恰有 $1$ 个坏的有多少种？（3）至少有 $1$ 个坏的有多少种？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：总取法 $\dfrac{10\times9\times8}{3\times2\times1}=\underline{\quad}$ 种。
第 2 步：恰 $1$ 坏 $2\times\dfrac{8\times7}{2}=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步：至少 $1$ 坏 $=120-\dfrac{8\times7\times6}{6}=120-56=\underline{\quad}$。

第三套

题目：$10$ 件产品含 $2$ 件次品，任抽 $3$ 件，恰好有 $2$ 件次品的抽法有多少种？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：$2$ 件次品全取，$\dfrac{2\times1}{2}=\underline{\quad}$ 种。
第 2 步：再从 $8$ 件正品取 $1$ 件，$8$ 种；乘法 $1\times8=\underline{\quad}$。

第三套

题目：$12$ 件产品含 $3$ 件次品，任抽 $4$ 件，至少有 $2$ 件次品的抽法有多少种？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：恰 $2$ 次品 $\dfrac{3\times2}{2}\times\dfrac{9\times8}{2}=3\times36=\underline{\quad}$ 种。
第 2 步：恰 $3$ 次品 $1\times9=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步：相加 $108+9=\underline{\quad}$。

12. 【原题 ch22-tuozhan-04】从 $4$ 台不同型号的等离子电视机和 $5$ 台不同型号的液晶电视机中任意取出 $3$ 台，其中等离子电视机与液晶电视机至少各有 $1$ 台，一共有多少种不同的取法？

详细思路

是哪类问题：这是「两类至少各取一」题：$4$ 等离子 $+5$ 液晶取 $3$ 台，两类至少各 $1$ 台，用排除法。

关键切入点：总取法 $C_9^3$；不合要求的是“全同一类”：全等离子 $C_4^3$、全液晶 $C_5^3$。总数减去这两种即可。

方法概述：总取法减去“全为某一类”的两种情形。

规范步骤：

9 台取 3：$\dfrac{9\times8\times7}{3\times2\times1}=84$
全等离子：$\dfrac{4\times3\times2}{6}=4$
全液晶：$\dfrac{5\times4\times3}{6}=10$
排除：$84-4-10=70$

第一套

题目：从 $5$ 台不同的台式电脑和 $6$ 台不同的笔记本电脑中任取 $4$ 台，两类至少各有 $1$ 台，一共有多少种取法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：$11$ 台取 $4$ $\dfrac{11\times10\times9\times8}{4\times3\times2\times1}=\underline{\quad}$ 种。
第 2 步：全台式 $\dfrac{5\times4\times3\times2}{4\times3\times2\times1}=\underline{\quad}$、全笔记本 $\dfrac{6\times5\times4\times3}{4\times3\times2\times1}=\underline{\quad}$。
第 3 步：排除 $330-5-15=\underline{\quad}$。

第二套

题目：从 $4$ 本不同的故事书和 $5$ 本不同的科普书中任取 $3$ 本，两类至少各有 $1$ 本，一共有多少种取法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：$9$ 本取 $3$ $\dfrac{9\times8\times7}{3\times2\times1}=\underline{\quad}$ 种。
第 2 步：全故事 $\dfrac{4\times3\times2}{6}=\underline{\quad}$、全科普 $\dfrac{5\times4\times3}{6}=\underline{\quad}$，排除 $84-4-10=\underline{\quad}$。

第三套

题目：从 $4$ 台等离子和 $5$ 台液晶电视机中取 $3$ 台，两类至少各 $1$ 台，用分类法求一共多少种。

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：$1$ 等离子 $+2$ 液晶 $4\times\dfrac{5\times4}{2}=4\times10=\underline{\quad}$ 种。
第 2 步：$2$ 等离子 $+1$ 液晶 $\dfrac{4\times3}{2}\times5=6\times5=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步：相加 $40+30=\underline{\quad}$。

第三套

题目：从 $3$ 台等离子、$4$ 台液晶、$5$ 台 LED 电视机中取 $3$ 台，要求三类各恰有 $1$ 台，一共有多少种取法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：三类各取 $1$ 台，乘法原理 $3\times4\times5=\underline{\quad}$。
第 2 步：若改问“至少两类都有”，则总取法 $\dfrac{12\times11\times10}{3\times2\times1}=\underline{\quad}$ 减去全同一类 $1+\dfrac{4\times3\times2}{6}+\dfrac{5\times4\times3}{6}=1+4+10=\underline{\quad}$，得 $220-15=\underline{\quad}$。

13. 【原题 ch22-tuozhan-05】如图 $22\text{-}1$，在半圆弧及其直径上共有 $9$ 个点，以这些点为顶点可以画出多少个三角形？

详细思路

是哪类问题：这是「点连三角形」题：半圆弧上 $5$ 点、直径上 $4$ 点共 $9$ 点，问能连多少个三角形。

关键切入点：任取 $3$ 点本可成一个三角形，但三点共线时不成三角形。这里唯一共线的是直径上的 $4$ 点。用排除法：$C_9^3$ 减去直径上 $4$ 点里取 $3$ 点的 $C_4^3$。

方法概述：总取 $3$ 点组合减去共线（直径上）三点。

规范步骤：

9 点取 3：$\dfrac{9\times8\times7}{3\times2\times1}=84$
直径 4 点取 3（共线）：$\dfrac{4\times3\times2}{6}=4$
排除：$84-4=80$

第一套

题目：半圆弧上有 $7$ 个点，直径上有 $5$ 个点，共 $12$ 个点。以这些点为顶点能画出多少个三角形？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：$12$ 点取 $3$ $\dfrac{12\times11\times10}{3\times2\times1}=\underline{\quad}$ 个。
第 2 步：直径 $5$ 点取 $3$（共线）$\dfrac{5\times4\times3}{3\times2\times1}=\underline{\quad}$ 个。
第 3 步：排除 $220-10=\underline{\quad}$。

第二套

题目：操场上一条直线跑道上钉了 $4$ 个标志桩，跑道外的看台弧线上另有 $5$ 个标志桩，共 $9$ 个。以这些桩为顶点能围出多少个三角形？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：$9$ 桩取 $3$ $\dfrac{9\times8\times7}{3\times2\times1}=\underline{\quad}$ 个。
第 2 步：直线上 $4$ 桩取 $3$（共线）$\dfrac{4\times3\times2}{3\times2\times1}=\underline{\quad}$ 个，排除 $84-4=\underline{\quad}$。

第三套

题目：三角形的一条边上有 $5$ 个点、另一条边上有 $4$ 个点（两条边的公共顶点不重复计），共 $9$ 个点。以这些点为顶点能画出多少个三角形？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：$9$ 点取 $3$ $\dfrac{9\times8\times7}{3\times2\times1}=\underline{\quad}$ 个。
第 2 步：两组共线各排除——一边 $5$ 点取 $3$ $\dfrac{5\times4\times3}{6}=\underline{\quad}$、另一边 $4$ 点取 $3$ $\dfrac{4\times3\times2}{6}=\underline{\quad}$。
第 3 步：排除 $84-10-4=\underline{\quad}$。

第三套

题目：三角形三条边上分别有 $4,4,5$ 个点（三个顶点不重复计），共 $13$ 个点。以这些点为顶点能画出多少个三角形？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：$13$ 点取 $3$ $\dfrac{13\times12\times11}{3\times2\times1}=\underline{\quad}$ 个。
第 2 步：三边共线各排除 $\dfrac{4\times3\times2}{6}=4$、$\dfrac{4\times3\times2}{6}=4$、$\dfrac{5\times4\times3}{6}=\underline{\quad}$，共 $4+4+10=\underline{\quad}$。
第 3 步：排除 $286-18=\underline{\quad}$。

14. 【原题 ch22-tuozhan-06】$6$ 名学生和 $4$ 名老师分成红、蓝两队拔河，要求每个队都是 $3$ 名学生和 $2$ 名老师，一共有多少种分队的方法？

详细思路

是哪类问题：这是「分组问题」题：$6$ 生 $4$ 师分红蓝两队，每队 $3$ 生 $2$ 师。

关键切入点：确定红队即可（蓝队随之确定）：红队从 $6$ 生选 $3$ $C_6^3$、从 $4$ 师选 $2$ $C_4^2$，乘法原理相乘。

方法概述：定红队（$C_6^3\cdot C_4^2$），蓝队自动确定。

规范步骤：

红队选 3 生：$\dfrac{6\times5\times4}{3\times2\times1}=20$
红队选 2 师：$\dfrac{4\times3}{2}=6$
乘法原理：$20\times6=120$（蓝队自动定）

第一套

题目：$8$ 名学生和 $6$ 名老师分成红、蓝两队，每队都是 $4$ 名学生和 $3$ 名老师，一共有多少种分队方法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：红队选 $4$ 生 $\dfrac{8\times7\times6\times5}{4\times3\times2\times1}=\underline{\quad}$ 种。
第 2 步：红队选 $3$ 师 $\dfrac{6\times5\times4}{3\times2\times1}=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步：乘法原理 $70\times20=\underline{\quad}$。

第二套

题目：$6$ 个苹果和 $4$ 个橙子装进甲、乙两个礼盒，每盒都是 $3$ 个苹果和 $2$ 个橙子，一共有多少种装法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：甲盒选 $3$ 苹果 $\dfrac{6\times5\times4}{3\times2\times1}=\underline{\quad}$ 种。
第 2 步：甲盒选 $2$ 橙子 $\dfrac{4\times3}{2}=\underline{\quad}$ 种，乘法 $20\times6=\underline{\quad}$。

第三套

题目：从 $6$ 名男生和 $4$ 名女生中选出 $3$ 名男生和 $2$ 名女生组成一个宣传小组，一共有多少种选法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：选 $3$ 男 $\dfrac{6\times5\times4}{3\times2\times1}=\underline{\quad}$ 种。
第 2 步：选 $2$ 女 $\dfrac{4\times3}{2}=\underline{\quad}$ 种，乘法 $20\times6=\underline{\quad}$。

第三套

题目：$6$ 名学生和 $6$ 名老师分成红、黄、蓝三队，每队都是 $2$ 名学生和 $2$ 名老师，一共有多少种分队方法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：学生分三队——红队 $\dfrac{6\times5}{2}=15$、黄队从剩 $4$ 人 $\dfrac{4\times3}{2}=6$、蓝队 $1$，共 $15\times6\times1=\underline{\quad}$ 种。
第 2 步：老师同理 $15\times6\times1=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步：乘法原理 $90\times90=\underline{\quad}$。

15. 【原题 ch22-tuozhan-07】在所有不超过 $1000$ 的自然数中，数字 $9$ 一共出现了多少次？

详细思路

是哪类问题：这是「数字出现次数统计」题：$0\sim1000$ 中数字 $9$ 出现多少次。

关键切入点：$1000$ 不含 $9$，只看 $1\sim999$，把每个数补成三位数（如 $9$ 写作 $009$）。个位、十位、百位各自每 $100$ 个数里 $9$ 恰出现 $100$ 次，三位相加。

方法概述：补零成三位数，分个/十/百位各统计 $9$ 的次数相加。

规范步骤：

个位是 9：$100$ 次（每 10 个一次）
十位是 9：$100$ 次
百位是 9：$100$ 次（$900\sim999$）
相加：$100\times3=300$

第一套

题目：在所有不超过 $10000$ 的自然数中，数字 $9$ 一共出现了多少次？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：$10000$ 不含 $9$，看 $1\sim9999$，补成四位数。每一位上 $9$ 每 $10$ 个出现一次，共 $10000\div10=\underline{\quad}$ 次。
第 2 步：四个数位（个/十/百/千）各 $1000$ 次，相加 $1000\times4=\underline{\quad}$。

第二套

题目：给一栋楼的 $1$ 号到 $1000$ 号信箱制作号牌，数字 $9$ 一共要用多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：$1000$ 号不含 $9$，看 $1\sim999$ 补成三位数，每一数位上 $9$ 各出现 $\underline{\quad}$ 次。
第 2 步：三个数位相加 $100\times3=\underline{\quad}$。

第三套

题目：在所有不超过 $1000$ 的自然数中，数字 $5$ 一共出现了多少次？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：$1000$ 不含 $5$，看 $1\sim999$ 补成三位数，每一数位上 $5$ 各出现 $\underline{\quad}$ 次。
第 2 步：三位相加 $100\times3=\underline{\quad}$。

第三套

题目：在 $1\sim999$ 的自然数中，数字 $0$ 一共出现了多少次？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：这里不能简单补零（补出的 $0$ 不是真写出来的）。分段数：$1\sim9$ 无 $0$；$10\sim99$ 中十位非 $0$、个位为 $0$ 的有 $10,20,\dots,90$ 共 $\underline{\quad}$ 个 $0$。
第 2 步：$100\sim999$ 中，百位非 $0$；十位为 $0$ 有 $9\times10=90$ 次，个位为 $0$ 有 $9\times10=90$ 次，共 $90+90=\underline{\quad}$。
第 3 步：合计 $9+180=\underline{\quad}$。

16. 【原题 ch22-tuozhan-08】$10$ 个人围成一圈，从中选出 $3$ 个人，要求这 $3$ 个人中恰有 $2$ 人相邻，一共有多少种不同选法？

详细思路

是哪类问题：这是「环形恰两人相邻」题：$10$ 人围圈选 $3$ 人，恰有 $2$ 人相邻。

关键切入点：先选“相邻的一对”：圈上相邻对子有 $10$ 对。再选第 $3$ 人，要求它与这对的两端都不相邻，须排除这 $2$ 人及其两侧共 $4$ 人，余 $6$ 人可选。乘法原理。

方法概述：先选相邻对（$10$），再从不相邻的 $6$ 人选第三人。

规范步骤：

相邻对子数：$10$ 对（圈上 10 条边）
第三人可选：$10-4=6$ 人（除去 2 人及两侧 2 人）
乘法原理：$10\times6=60$

第一套

题目：$12$ 个人围成一圈，选出 $3$ 人，要求恰有 $2$ 人相邻，一共有多少种不同选法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：圈上相邻对子有 $\underline{\quad}$ 对。
第 2 步：第三人须避开这对及其两侧共 $4$ 人，可选 $12-4=\underline{\quad}$ 人。
第 3 步：乘法原理 $12\times8=\underline{\quad}$。

第二套

题目：$10$ 颗珠子等距串成一个圆环，从中挑 $3$ 颗做记号，要求恰有 $2$ 颗是相邻的，一共有多少种挑法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：环上相邻珠子对有 $\underline{\quad}$ 对。
第 2 步：第三颗避开这对及两侧共 $4$ 颗，可选 $10-4=\underline{\quad}$ 颗，乘法 $10\times6=\underline{\quad}$。

第三套

题目：$10$ 个人站成一排（不是圈），选出 $3$ 人，要求恰有 $2$ 人相邻，一共有多少种选法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：一排上相邻对子有 $10-1=\underline{\quad}$ 对。
第 2 步：两端的对（$2$ 对）第三人避开 $3$ 人可选 $10-3=7$，中间 $7$ 对避开 $4$ 人可选 $10-4=6$。
第 3 步：合计 $2\times7+7\times6=14+42=\underline{\quad}$。

第三套

题目：$10$ 个人围成一圈，选出 $3$ 人，要求至少有 $2$ 人相邻，一共有多少种选法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：恰有 $2$ 人相邻 $10\times6=\underline{\quad}$ 种（如原题）。
第 2 步：$3$ 人全相邻（连续三人）圈上有 $\underline{\quad}$ 组。
第 3 步：至少两人相邻 $=60+10=\underline{\quad}$。

17. 【原题 ch22-tuozhan-09】用 $0\sim 5$ 这 $6$ 个数字可以组成多少个没有重复数字的四位数？其中偶数有多少个？

详细思路

是哪类问题：这是「组数与奇偶」题：$0\sim5$ 组无重复四位数，并数其中偶数。

关键切入点：总数：首位非 $0$（$5$ 种），其余三位从剩 $5$ 个排 $5\times4\times3=60$，共 $300$。偶数按末位是否为 $0$ 分类：末位 $0$ 时前三位随便排 $60$ 个；末位 $2/4$ 时首位不能为 $0$，有 $4$ 种，其余两位 $4\times3$，每种末位 $48$ 个，两种共 $96$。合计 $156$。

方法概述：首位非 0 求总数；偶数按末位是否为 0 分类。

规范步骤：

总数：$5\times(5\times4\times3)=300$
末位为 0 的偶数：$5\times4\times3=60$
末位为 2 或 4 的偶数：$2\times(4\times4\times3)=96$（首位非 0）
偶数合计：$60+96=156$

第一套

题目：用 $0\sim6$ 这 $7$ 个数字可以组成多少个没有重复数字的四位数？其中偶数有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：总数——首位非 $0$ 有 $6$ 种，其余三位 $6\times5\times4=\underline{\quad}$，共 $6\times120=\underline{\quad}$ 个。
第 2 步：末位为 $0$ 的偶数，前三位 $6\times5\times4=\underline{\quad}$ 个。
第 3 步：末位为 $2,4,6$（$3$ 种）的偶数，首位非 $0$ 有 $5$ 种、中间两位 $5\times4=20$，每种 $5\times20=100$，三种 $3\times100=\underline{\quad}$。
第 4 步：偶数合计 $120+300=\underline{\quad}$。

第二套

题目：用数字卡片 $0,1,2,3,4,5$ 各一张摆四位数（不重复），能摆多少个不同的四位数？其中偶数有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：总数——首位非 $0$ 有 $5$ 种，其余三位 $5\times4\times3=\underline{\quad}$，共 $5\times60=\underline{\quad}$。
第 2 步：末位 $0$ 的偶数 $5\times4\times3=\underline{\quad}$；末位 $2/4$ 的偶数 $2\times(4\times4\times3)=\underline{\quad}$，偶数合计 $60+96=\underline{\quad}$。

第三套

题目：用 $0\sim5$ 这 $6$ 个数字可以组成多少个没有重复数字的四位数？其中奇数有多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：奇数末位为 $1,3,5$（$3$ 种）。
第 2 步：每种末位，首位不能为 $0$ 也不能与末位相同，有 $4$ 种，中间两位 $4\times3=\underline{\quad}$，每种 $4\times12=\underline{\quad}$。
第 3 步：三种末位共 $3\times48=\underline{\quad}$。

第三套

题目：用 $0\sim5$ 这 $6$ 个数字可以组成多少个没有重复数字的五位偶数？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：末位为 $0$ 时，前四位由其余 $5$ 个数字排 $5\times4\times3\times2=\underline{\quad}$ 个。
第 2 步：末位为 $2$ 或 $4$（$2$ 种）时，首位非 $0$ 有 $4$ 种，中间三位 $4\times3\times2=24$，每种末位 $4\times24=\underline{\quad}$，两种 $2\times96=\underline{\quad}$。
第 3 步：合计 $120+192=\underline{\quad}$。

18. 【原题 ch22-tuozhan-10】用 $1\sim 4$ 这 $4$ 个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？这些三位数的和是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「数位贡献求和」题：$1\sim4$ 组无重复三位数，求所有这些数之和。

关键切入点：无重复三位数共 $4\times3\times2=24$ 个。由对称性，$1,2,3,4$ 每个数字在个（十、百）位上各出现 $24\div4=6$ 次，故每个数位上各数字之和为 $(1+2+3+4)\times6=60$，按位加权求总和。

方法概述：对称性定每位出现次数，按位求和加权。

规范步骤：

组数个数：$4\times3\times2=24$
每数字每位出现次数：$24\div4=6$
每位数字和：$(1+2+3+4)\times6=60$
按位加权求和：$60\times100+60\times10+60=6660$

第一套

题目：用 $1\sim5$ 这 $5$ 个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？这些三位数的和是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：组数个数 $5\times4\times3=\underline{\quad}$ 个。
第 2 步：每个数字在每一数位上出现 $60\div5=\underline{\quad}$ 次。
第 3 步：每位数字和 $(1+2+3+4+5)\times12=\underline{\quad}$。
第 4 步：总和 $180\times100+180\times10+180=\underline{\quad}$。

第二套

题目：用数字卡片 $1,2,3,4$ 摆三位数（不重复），把所有能摆出的三位数全部相加，和是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：能摆的三位数有 $4\times3\times2=\underline{\quad}$ 个。
第 2 步：每个数字在每位出现 $24\div4=\underline{\quad}$ 次，每位数字和 $(1+2+3+4)\times6=\underline{\quad}$。
第 3 步：总和 $60\times100+60\times10+60=\underline{\quad}$。

第三套

题目：用 $1,2,3,4$ 组成没有重复数字的两位数，把它们全部相加，和是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：两位数共 $4\times3=\underline{\quad}$ 个。
第 2 步：每数字在每位出现 $12\div4=\underline{\quad}$ 次，每位数字和 $(1+2+3+4)\times3=\underline{\quad}$。
第 3 步：总和 $30\times10+30=\underline{\quad}$。

第三套

题目：用 $1\sim5$ 组成没有重复数字的四位数，把它们全部相加，和是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：四位数共 $5\times4\times3\times2=\underline{\quad}$ 个。
第 2 步：每数字在每位出现 $120\div5=\underline{\quad}$ 次，每位数字和 $(1+2+3+4+5)\times24=\underline{\quad}$。
第 3 步：总和 $360\times1000+360\times100+360\times10+360=\underline{\quad}$。

19. 【原题 ch22-tuozhan-11】用两个 $1$、两个 $2$、两个 $3$ 可以组成多少个不同的六位数？

详细思路

是哪类问题：这是「多组重复元素排列」题：两个 $1$、两个 $2$、两个 $3$ 组六位数。

关键切入点：先当 $6$ 个数字全不同全排列 $6!=720$；每组相同数字（各 $2$ 个）内部交换不产生新数，故除以 $2!\times2!\times2!=8$。

方法概述：全排列 $6!$ 除以各组内部排列数之积 $2!2!2!$。

规范步骤：

当全不同：$6!=720$
三组各除 2!：$720\div(2\times2\times2)=90$（去重）

第一套

题目：用两个 $1$、两个 $2$、两个 $3$、两个 $4$ 可以组成多少个不同的八位数？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：当 $8$ 个数字全不同，全排列 $8\times7\times6\times5\times4\times3\times2\times1=\underline{\quad}$。
第 2 步：四组各 $2$ 个相同，除以 $2\times2\times2\times2=\underline{\quad}$，得 $40320\div16=\underline{\quad}$。

第二套

题目：把写着 $1,1,2,2,3,3$ 的六张卡片排成一行组成六位数，能组成多少个不同的六位数？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：六张卡片若全不同全排列 $6\times5\times4\times3\times2\times1=\underline{\quad}$。
第 2 步：三组各 $2$ 张相同，去重 $720\div(2\times2\times2)=\underline{\quad}$。

第三套

题目：用三个 $1$、两个 $2$、一个 $3$ 可以组成多少个不同的六位数？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：当全不同全排列 $6\times5\times4\times3\times2\times1=\underline{\quad}$。
第 2 步：三个 $1$ 除 $3!=6$、两个 $2$ 除 $2!=2$，$720\div(6\times2)=\underline{\quad}$。

第三套

题目：用两个 $0$、两个 $1$、两个 $2$ 可以组成多少个不同的六位数？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：先不管首位，全去重排列 $\dfrac{6\times5\times4\times3\times2\times1}{2\times2\times2}=\underline{\quad}$ 个。
第 2 步（去掉首位为 $0$）：首位固定 $0$ 后，其余五位是一个 $0$、两个 $1$、两个 $2$ 的排列 $\dfrac{5\times4\times3\times2\times1}{2\times2}=\underline{\quad}$ 个。
第 3 步：合法六位数 $90-30=\underline{\quad}$。

20. 【原题 ch22-tuozhan-12】$5$ 名同学站成一排，在下列不同的要求下，请分别求出有多少种不同的站法：（1）$5$ 个人站成一排；（2）$5$ 个人站成一排，小强必须站在中间；（3）$5$ 个人站成一排，小强、大强必须有一人站在中间；（4）$5$ 个人站成一排，小强、大强必须站在两边；（5）$5$ 个人站成一排，小强、大强都没有站在边上。

详细思路

是哪类问题：这是「限定位置排队」综合题：$5$ 人在多种位置限制下求站法。

关键切入点：每种限制都“先安排受限的人/位置，再排其余人”。（1）全排列；（2）小强固定中间，其余 $4!$；（3）中间是小强或大强 $2$ 种，其余 $4!$；（4）小强大强站两端 $2$ 种，中间 $3!$；（5）两端由其余 $3$ 人中的 $2$ 人 $3\times2$，其余 $3!$。

方法概述：特殊位置优先：先定受限位置，再排其余。

规范步骤：

(1) 全排列：$5!=120$
(2) 小强中间：$4!=24$
(3) 中间为小强或大强：$2\times4!=48$
(4) 二人两端：$2\times3!=12$
(5) 二人都不在端：$3\times2\times3!=36$（两端由其余 3 人排）

第一套

题目：$7$ 人站成一排。（1）共有多少站法？（2）小强必须站正中间？（3）小强、大强必须有一人站正中间？（4）小强、大强站在两端？（5）小强、大强都不站在两端？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：(1) 全排列 $7\times6\times5\times4\times3\times2\times1=\underline{\quad}$。
第 2 步：(2) 小强固定正中间，其余 $6$ 人 $6!=\underline{\quad}$。
第 3 步：(3) 中间为二人之一 $2\times720=\underline{\quad}$。
第 4 步：(4) 二人排两端 $2$ 种，其余 $5$ 人 $2\times5!=\underline{\quad}$。
第 5 步：(5) 两端由其余 $5$ 人中 $2$ 人 $5\times4$，其余 $5$ 人 $5!$，$20\times120=\underline{\quad}$。

第二套

题目：$5$ 本不同的书排在书架一排。（1）共多少排法？（2）《字典》必须放正中间？（3）《字典》《词典》必有一本放正中间？（4）《字典》《词典》放两端？（5）《字典》《词典》都不放两端？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：(1) $5!=\underline{\quad}$。
第 2 步：(2) $4!=\underline{\quad}$。(3) $2\times4!=\underline{\quad}$。
第 3 步：(4) $2\times3!=\underline{\quad}$。(5) $3\times2\times3!=\underline{\quad}$。

第三套

题目：$5$ 人站成一排。（1）小强、大强必须相邻有多少种？（2）小强、大强不相邻有多少种？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：(1) 捆绑法，二人成整体与其余 $3$ 人共 $4$ 对象 $4!=24$，内部 $2$ 种，$24\times2=\underline{\quad}$。
第 2 步：(2) 不相邻 $=$ 全排列 $-$ 相邻 $=120-48=\underline{\quad}$。

第三套

题目：$6$ 人站成一排，小强必须站在最左端或最右端，且小明、小华必须相邻，一共有多少种站法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：小强站两端之一，有 $\underline{\quad}$ 种。他占一端后，其余 $5$ 个位置连成一排。
第 2 步（捆绑法）：把小明、小华捆成一个整体，与其余 $3$ 人共 $4$ 个对象排在这 $5$ 个位置上（线性排 $4$ 个单元），有 $4\times3\times2\times1=\underline{\quad}$ 种，内部可交换 $2$ 种，$24\times2=\underline{\quad}$。
第 3 步：乘法原理 $2\times48=\underline{\quad}$。

21. 【原题 ch22-tuozhan-13】$6$ 名小朋友 $A,\ B,\ C,\ D,\ E,\ F$ 站成一排，请问：（1）若 $A$、$B$ 两人必须相邻，一共有多少种站法？（2）若 $A$、$B$ 两人不能相邻，一共有多少种不同的站法？

详细思路

是哪类问题：这是「相邻与不相邻」题：$6$ 人排队，$A,B$ 相邻（捆绑）与不相邻（排除）。

关键切入点：（1）捆绑法：$A,B$ 成整体与其余 $4$ 人共 $5$ 对象 $5!=120$，内部 $2$，得 $240$。（2）不相邻 = 全排列 $6!=720$ 减去相邻 $240$，得 $480$。

方法概述：相邻用捆绑；不相邻用总数减相邻。

规范步骤：

(1) 捆绑：$5!\times2=240$
(2) 全排列：$6!=720$
(2) 不相邻：$720-240=480$（排除法）

第一套

题目：$7$ 名小朋友站成一排。（1）若 $A,B$ 必须相邻有多少站法？（2）若 $A,B$ 不能相邻有多少站法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：(1) 捆绑，$A,B$ 成整体与其余 $5$ 人共 $6$ 对象 $6!=720$，内部 $2$，$720\times2=\underline{\quad}$。
第 2 步：(2) 全排列 $7!=\underline{\quad}$，不相邻 $=5040-1440=\underline{\quad}$。

第二套

题目：$6$ 辆不同的花车排成一队巡游。（1）若 $1$ 号、$2$ 号车必须挨在一起有多少排法？（2）若它们不能挨在一起有多少排法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：(1) 两车捆成整体与其余 $4$ 车共 $5$ 对象 $5!=120$，内部 $2$，$120\times2=\underline{\quad}$。
第 2 步：(2) 全排列 $6!=720$，不相邻 $720-240=\underline{\quad}$。

第三套

题目：$6$ 名小朋友站成一排，$A,B,C$ 三人必须站在一起，一共有多少种站法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：把 $A,B,C$ 捆成整体，与其余 $3$ 人共 $4$ 对象排列 $4!=\underline{\quad}$。
第 2 步：三人内部排列 $3!=\underline{\quad}$，$24\times6=\underline{\quad}$。

第三套

题目：$6$ 名小朋友站成一排，$A,B$ 不能相邻，$C,D$ 也不能相邻，一共有多少种站法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：先不管限制，先让 $E,F$ 两人排好 $2!=2$，产生 $3$ 个空。
第 2 步（插空法）：把 $A,B,C,D$ 插入这 $3$ 个空及两端共 $3$ 个内部空？——改用容斥：全排列 $6!=720$，$A,B$ 相邻 $240$，$C,D$ 相邻 $240$，两对都相邻（两组各捆绑）$4!\times2\times2=\underline{\quad}$。
第 3 步：容斥 $720-240-240+96=\underline{\quad}$。

22. 【原题 ch22-tuozhan-14】学校乒乓球队一共有 $4$ 名男生和 $3$ 名女生，某次比赛后他们站成一排照相。请问：（1）如果要求男生不能相邻，一共有多少种不同的站法？（2）如果要求女生都站在一起，一共有多少种不同的站法？

详细思路

是哪类问题：这是「插空法/捆绑法」题：$4$ 男 $3$ 女站队，男生不相邻（插空）、女生在一起（捆绑）。

关键切入点：（1）男生不相邻：先排 $3$ 女 $3!=6$，产生 $4$ 个空（含两端），$4$ 男插入 $4$ 个空各 $1$ 人 $4!=24$，共 $144$。（2）女生在一起：$3$ 女捆绑与 $4$ 男共 $5$ 对象 $5!=120$，女内部 $3!=6$，共 $720$。

方法概述：不相邻用插空；在一起用捆绑。

规范步骤：

(1) 女先排：$3!=6$，产生 4 个空
(1) 男插空：$4!=24$，共 $6\times24=144$
(2) 女捆绑：$5!\times3!=120\times6=720$

第一套

题目：$5$ 名女生和 $4$ 名男生站成一排。（1）男生互不相邻有多少种？（2）男生都站在一起有多少种？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：(1) 先排 $5$ 女 $5!=120$，产生 $6$ 个空，$4$ 男插入 $6$ 个空 $6\times5\times4\times3=\underline{\quad}$，共 $120\times360=\underline{\quad}$。
第 2 步：(2) $4$ 男捆绑与 $5$ 女共 $6$ 对象 $6!=720$，男内部 $4!=24$，$720\times24=\underline{\quad}$。

第二套

题目：$4$ 盆红花和 $3$ 盆绿植摆成一排。（1）红花互不相邻有多少种摆法？（2）绿植都摆在一起有多少种摆法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：(1) 先排 $3$ 绿植 $3!=\underline{\quad}$，产生 $4$ 个空，$4$ 红花插入 $4!=\underline{\quad}$，共 $6\times24=\underline{\quad}$。
第 2 步：(2) $3$ 绿植捆绑与 $4$ 红花共 $5$ 对象 $5!=120$，内部 $3!=6$，$120\times6=\underline{\quad}$。

第三套

题目：$4$ 名男生和 $3$ 名女生站成一排，$3$ 名女生互不相邻，一共有多少种站法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：先排 $4$ 男 $4!=\underline{\quad}$，产生 $5$ 个空。
第 2 步：$3$ 女插入 $5$ 个空 $5\times4\times3=\underline{\quad}$，共 $24\times60=\underline{\quad}$。

第三套

题目：$4$ 名男生和 $4$ 名女生站成一排，要求任意两名男生都不相邻、任意两名女生也都不相邻，一共有多少种站法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：男生互不相邻、女生也互不相邻，$4$ 男 $4$ 女只能“男女相间”排列。相间的座位样式只有两种：男开头 $MFMFMFMF$、女开头 $FMFMFMFM$，共 $\underline{\quad}$ 种样式。
第 2 步：每种样式里，$4$ 名男生排在 $4$ 个“男位”上 $4!=\underline{\quad}$ 种，$4$ 名女生排在 $4$ 个“女位”上 $4!=24$ 种。
第 3 步：乘法原理 $2\times24\times24=\underline{\quad}$。

23. 【原题 ch22-xingqu-01】现有面值 $1$ 元的钞票 $3$ 张，面值 $5$ 元的钞票 $1$ 张，面值 $10$ 元的钞票 $2$ 张。如果从中取出一些钞票（至少取 $1$ 张），一共可能凑出多少种不同的总钱数？

详细思路

是哪类问题：这是「凑钱数计数」题：几种面值的钞票各若干张，问能凑出多少种不同总钱数。

关键切入点：关键是把每种面值单独看：$k$ 张同面值可凑出“取 $0$ 张~取 $k$ 张”共 $k+1$ 种钱数；各面值互相独立，用乘法原理相乘得所有组合，再去掉“全不取”这一种。由于 $1$ 元最多凑 $3$（不足 $5$）、$5$ 与 $10$ 的组合都是 $5$ 的倍数且互不重叠，所有总钱数互不相同，不必再去重。

方法概述：各面值可凑钱数种数相乘，减去全不取 $1$ 种。

规范步骤：

$1$ 元 $3$ 张可凑 $0,1,2,3$ 元：$3+1=4$ 种（含取 0 张）
$5$ 元 $1$ 张可凑 $0,5$ 元：$1+1=2$ 种（含取 0 张）
$10$ 元 $2$ 张可凑 $0,10,20$ 元：$2+1=3$ 种（含取 0 张）
乘法原理再去掉全不取：$4\times 2\times 3-1=23$（去掉 0 元）

第一套

题目：现有面值 $1$ 元的钞票 $4$ 张，面值 $5$ 元的钞票 $1$ 张，面值 $10$ 元的钞票 $3$ 张。至少取 $1$ 张，一共可能凑出多少种不同的总钱数？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：$1$ 元 $4$ 张可凑 $0\sim 4$ 元，共 $4+1=\underline{\quad}$ 种。
第 2 步：$10$ 元 $3$ 张可凑 $0,10,20,30$ 元，共 $3+1=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步：$5$ 元 $1$ 张有 $2$ 种，乘法原理 $5\times 2\times 4=\underline{\quad}$ 种组合。
第 4 步：去掉全不取的 $1$ 种，$40-1=\underline{\quad}$。

第二套

题目：小高有 $1$ 分邮票 $3$ 张、$5$ 分邮票 $1$ 张、$10$ 分邮票 $2$ 张。至少贴 $1$ 张，一共可能贴出多少种不同的总面值？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：$1$ 分 $3$ 张可凑 $0\sim 3$ 分，共 $3+1=\underline{\quad}$ 种。
第 2 步：$10$ 分 $2$ 张可凑 $0,10,20$ 分，共 $2+1=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步：$5$ 分 $1$ 张 $2$ 种，乘法原理再去全不取 $4\times 2\times 3-1=\underline{\quad}$。

第三套

题目：现有 $1$ 元 $2$ 张、$5$ 元 $2$ 张、$25$ 元 $1$ 张。至少取 $1$ 张，一共可能凑出多少种不同的总钱数？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：$1$ 元 $2$ 张可凑 $0,1,2$ 元，共 $2+1=\underline{\quad}$ 种。
第 2 步：$5$ 元 $2$ 张可凑 $0,5,10$ 元，共 $2+1=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步：$25$ 元 $1$ 张 $2$ 种。$1$ 元最多凑 $2$（不足 $5$），$25$ 远大于 $5$ 元部分最大 $10$，各钱数不重叠。
第 4 步：乘法原理再去全不取 $3\times 3\times 2-1=\underline{\quad}$。

第三套

题目：现有 $1$ 元 $3$ 张、$5$ 元 $1$ 张、$10$ 元 $2$ 张、$50$ 元 $1$ 张。至少取 $1$ 张，一共可能凑出多少种不同的总钱数？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：$1$ 元 $3$ 张 $0\sim3$ 元共 $3+1=\underline{\quad}$ 种；$10$ 元 $2$ 张共 $2+1=\underline{\quad}$ 种。
第 2 步：$5$ 元 $1$ 张 $2$ 种；$50$ 元 $1$ 张 $2$ 种。$50$ 远大于其余部分最大 $3+5+20=28$，不重叠。
第 3 步：四种面值乘法原理 $4\times 2\times 3\times 2=\underline{\quad}$ 种组合。
第 4 步：去掉全不取 $48-1=\underline{\quad}$。

24. 【原题 ch22-xingqu-02】一本书从第 $1$ 页开始编排页码，到最后一页结束时共用了 $1983$ 个数码。这本书一共有多少页？

详细思路

是哪类问题：这是「页码用数码」题：已知排页码共用了多少个数码，反求页数。

关键切入点：按位数分段：$1\sim9$ 每页 $1$ 个数码、$10\sim99$ 每页 $2$ 个。先扣掉一、两位数占用的数码，剩下的都属于三位数页码，除以 $3$ 得三位数页码个数，再定位到具体页。

方法概述：按位数分段扣除数码，剩余数码 $\div 3$ 求三位数页数。

规范步骤：

一位数 $1\sim9$ 用数码：$9$ 个（每页 1 码）
两位数 $10\sim99$ 用数码：$90\times 2=180$ 个（每页 2 码）
前 99 页共用：$9+180=189$ 个
剩余属三位数页码：$(1983-189)\div 3=598$ 页
定位末页：$100+598-1=697$（从第 100 页起）

第一套

题目：一本书从第 $1$ 页开始编排页码，到最后一页共用了 $2010$ 个数码。这本书一共有多少页？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：一位数 $1\sim9$ 用 $9$ 码，两位数 $10\sim99$ 用 $90\times2=180$ 码，前 $99$ 页共 $9+180=\underline{\quad}$ 码。
第 2 步：剩下 $2010-189=\underline{\quad}$ 码都是三位数页码。
第 3 步：$1821\div 3=\underline{\quad}$ 个三位数页码。
第 4 步：末页 $100+607-1=\underline{\quad}$。

第二套

题目：一本相册从第 $1$ 页开始编号，编到最后一页时共印了 $1983$ 个数字。这本相册一共有多少页？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：前 $99$ 页用 $9+90\times2=\underline{\quad}$ 个数字。
第 2 步：剩下 $1983-189=\underline{\quad}$ 个数字属三位数页码，$1794\div 3=\underline{\quad}$ 页。
第 3 步：末页 $100+598-1=\underline{\quad}$。

第三套

题目：一本书共 $250$ 页，从第 $1$ 页开始编排页码，一共要用多少个数码？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：一位数 $1\sim9$ 用 $9$ 码，两位数 $10\sim99$ 用 $90\times2=\underline{\quad}$ 码。
第 2 步：三位数 $100\sim250$ 共 $250-99=151$ 页，用 $151\times 3=\underline{\quad}$ 码。
第 3 步：合计 $9+180+453=\underline{\quad}$。

第三套

题目：一本厚书从第 $1$ 页开始编排页码，到最后一页共用了 $4893$ 个数码。这本书一共有多少页？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：前 $9$ 页用 $9$ 码，$10\sim99$ 用 $180$ 码，$100\sim999$ 用 $900\times3=\underline{\quad}$ 码，共 $9+180+2700=\underline{\quad}$ 码。
第 2 步：剩下 $4893-2889=\underline{\quad}$ 码属四位数页码。
第 3 步：$2004\div 4=\underline{\quad}$ 个四位数页码，末页 $999+501=\underline{\quad}$。

25. 【原题 ch22-xingqu-03】卡莉娅带着萱萱、小高、墨莫一起到圆明园游玩，他们 $4$ 人站成一排照相，其中卡莉娅要站在最左边或者最右边，一共有多少种不同的站法？

详细思路

是哪类问题：这是「特殊位置优先」排队题：某人有站位限制，其余人自由排。

关键切入点：先安排受限的人：卡莉娅只能站最左或最右，$2$ 种；其余 $3$ 人在剩下 $3$ 个位置全排列 $3!=6$ 种。乘法原理相乘。

方法概述：受限的人先定（$2$ 种），其余全排列（$3!$）。

规范步骤：

卡莉娅站两端之一：$2$ 种（特殊位置优先）
其余 3 人全排列：$3\times2\times1=6$ 种
乘法原理：$2\times 6=12$

第一套

题目：卡莉娅和另外 $4$ 名同学共 $5$ 人站成一排照相，卡莉娅要站在最左边或最右边，一共有多少种不同的站法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：卡莉娅站两端之一，有 $\underline{\quad}$ 种。
第 2 步：其余 $4$ 人全排列 $4\times3\times2\times1=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步：乘法原理 $2\times 24=\underline{\quad}$。

第二套

题目：四本不同的书排在书架一排，其中《字典》必须放在最左端或最右端，一共有多少种不同的排法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：《字典》放两端之一，有 $\underline{\quad}$ 种。
第 2 步：其余 $3$ 本全排列 $3\times2\times1=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步：乘法原理 $2\times 6=\underline{\quad}$。

第三套

题目：$5$ 名同学站成一排，卡莉娅必须站在正中间的位置，一共有多少种不同的站法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：卡莉娅固定在正中间，有 $1$ 种；其余 $4$ 人排在其余 $4$ 个位置。
第 2 步：$4$ 人全排列 $4\times3\times2\times1=\underline{\quad}$。

第三套

题目：卡莉娅、萱萱、小高和另外 $2$ 名同学共 $5$ 人站成一排，卡莉娅要站在最左或最右，且萱萱、小高必须相邻，一共有多少种不同的站法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：卡莉娅站两端之一，有 $\underline{\quad}$ 种。她占一端后，其余 $4$ 个位置连成一排。
第 2 步（捆绑法）：把萱萱、小高捆成一个整体，与另 $2$ 人共 $3$ 个对象排在这 $4$ 个位置，有 $3\times2\times1=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步：萱萱、小高内部可交换 $2$ 种，合计 $2\times 6\times 2=\underline{\quad}$。

26. 【原题 ch22-xingqu-04】有 $13$ 个球队参加篮球比赛，比赛分两个组，第一组 $7$ 个队，第二组 $6$ 个队，各组内先进行单循环赛（即每队都要与本组内其他各队比赛一场），然后由两组的第 $1$ 名再比赛一场决定冠亚军。请问：一共要比赛多少场？

详细思路

是哪类问题：这是「单循环赛场数」题：每两队各赛一场，用组合数 $\frac{n(n-1)}{2}$ 求各组场数。

关键切入点：两组分别做单循环赛，$n$ 个队两两各一场共 $\frac{n(n-1)}{2}$ 场；再加两组第 $1$ 名的决赛 $1$ 场，用加法原理合计。

方法概述：各组 $\frac{n(n-1)}{2}$ 场相加，再 $+1$ 场决赛。

规范步骤：

第一组 7 队单循环：$\dfrac{7\times6}{2}=21$ 场（两两一场）
第二组 6 队单循环：$\dfrac{6\times5}{2}=15$ 场
加决赛 1 场：$21+15+1=37$（加法原理）

第一套

题目：有 $15$ 个球队分两组，第一组 $8$ 队、第二组 $7$ 队，各组内单循环赛，最后两组第 $1$ 名再赛 $1$ 场定冠亚军。一共要赛多少场？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：第一组 $8$ 队 $\dfrac{8\times7}{2}=\underline{\quad}$ 场。
第 2 步：第二组 $7$ 队 $\dfrac{7\times6}{2}=\underline{\quad}$ 场。
第 3 步：加决赛 $1$ 场，$28+21+1=\underline{\quad}$。

第二套

题目：象棋比赛有 $13$ 名选手分两组，甲组 $7$ 人、乙组 $6$ 人，组内单循环，最后两组头名对弈 $1$ 局定胜负。一共要下多少局？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：甲组 $7$ 人 $\dfrac{7\times6}{2}=\underline{\quad}$ 局。
第 2 步：乙组 $6$ 人 $\dfrac{6\times5}{2}=\underline{\quad}$ 局。
第 3 步：加决赛 $1$ 局，$21+15+1=\underline{\quad}$。

第三套

题目：$7$ 个球队进行双循环赛（每两队之间赛 $2$ 场），一共要赛多少场？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：单循环每两队 $1$ 场，共 $\dfrac{7\times6}{2}=\underline{\quad}$ 场。
第 2 步：双循环每两队 $2$ 场，$21\times 2=\underline{\quad}$。

第三套

题目：有 $15$ 个队分成三组，分别是 $6$ 队、$5$ 队、$4$ 队，各组内单循环赛，最后三个组的第 $1$ 名之间再进行单循环赛。一共要赛多少场？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：三组组内 $\dfrac{6\times5}{2}=\underline{\quad}$、$\dfrac{5\times4}{2}=\underline{\quad}$、$\dfrac{4\times3}{2}=\underline{\quad}$ 场。
第 2 步：三个头名单循环 $\dfrac{3\times2}{2}=\underline{\quad}$ 场。
第 3 步：合计 $15+10+6+3=\underline{\quad}$。

27. 【原题 ch22-xingqu-05】从 $5$ 瓶不同的纯净水、$2$ 瓶不同的可乐和 $6$ 瓶不同的果汁中，拿出 $2$ 瓶不同类型的饮料，一共有多少种不同的选法？

详细思路

是哪类问题：这是「分类搭配选取」题：取 $2$ 瓶不同类型饮料，按两瓶所属类别的搭配分类。

关键切入点：“不同类型”意味着两瓶来自不同类别，共三种搭配：水+可乐、水+果汁、可乐+果汁。每类用乘法原理数出，再用加法原理相加。

方法概述：按类别搭配分三类，每类乘法、三类相加。

规范步骤：

水+可乐：$5\times2=10$ 种（乘法原理）
水+果汁：$5\times6=30$ 种
可乐+果汁：$2\times6=12$ 种
三类相加：$10+30+12=52$（加法原理）

第一套

题目：从 $7$ 瓶不同的纯净水、$3$ 瓶不同的可乐、$8$ 瓶不同的果汁中，拿出 $2$ 瓶不同类型的饮料，一共有多少种不同的选法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：水+可乐 $7\times3=\underline{\quad}$ 种。
第 2 步：水+果汁 $7\times8=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步：可乐+果汁 $3\times8=\underline{\quad}$ 种，三类相加 $21+56+24=\underline{\quad}$。

第二套

题目：文具柜有 $5$ 种不同的笔、$2$ 种不同的橡皮、$6$ 种不同的尺子，买 $2$ 件不同类型的文具，一共有多少种不同的买法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：笔+橡皮 $5\times2=\underline{\quad}$ 种。
第 2 步：笔+尺子 $5\times6=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步：橡皮+尺子 $2\times6=\underline{\quad}$ 种，相加 $10+30+12=\underline{\quad}$。

第三套

题目：从 $3$ 支铅笔、$4$ 支钢笔、$5$ 支圆珠笔、$2$ 支马克笔（同类笔互不相同）中取 $2$ 支不同类型的笔，一共有多少种不同的取法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：四类两两搭配共 $6$ 组。铅+钢 $3\times4=\underline{\quad}$、铅+圆 $3\times5=\underline{\quad}$、铅+马 $3\times2=\underline{\quad}$。
第 2 步：钢+圆 $4\times5=\underline{\quad}$、钢+马 $4\times2=\underline{\quad}$、圆+马 $5\times2=\underline{\quad}$。
第 3 步：六组相加 $12+15+6+20+8+10=\underline{\quad}$。

第三套

题目：从 $5$ 瓶不同的纯净水、$2$ 瓶不同的可乐、$6$ 瓶不同的果汁中取 $2$ 瓶，一共有多少种不同的取法（这次同类型的两瓶也可以）？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：总共 $13$ 瓶任取 $2$ 瓶 $\dfrac{13\times12}{2}=\underline{\quad}$ 种。
第 2 步：或用分类——不同类型 $52$ 种；同类型：水中取 $2$ 有 $\dfrac{5\times4}{2}=\underline{\quad}$、可乐 $\dfrac{2\times1}{2}=\underline{\quad}$、果汁 $\dfrac{6\times5}{2}=\underline{\quad}$。
第 3 步：合计 $52+10+1+15=\underline{\quad}$。

28. 【原题 ch22-xingqu-06】从 $3$ 个黄色的乒乓球和 $4$ 个白色的乒乓球中，任意取出 $3$ 个乒乓球，其中至少有一个白色乒乓球的取法有多少种？

详细思路

是哪类问题：这是「至少型组合」题：取 $3$ 个球至少有 $1$ 个白球，用排除法最省事。

关键切入点：“至少 $1$ 个白”的反面是“一个白都没有”（即 $3$ 个全黄）。先算总取法，再减去全黄，即得。

方法概述：总取法减去“全不含白球”的取法。

规范步骤：

7 球取 3：$\dfrac{7\times6\times5}{3\times2\times1}=35$ 种（组合）
全黄（3 黄取 3）：$1$ 种
排除：$35-1=34$（至少型排除法）

第一套

题目：从 $5$ 个黄色和 $6$ 个白色乒乓球中任取 $4$ 个，其中至少有 $1$ 个白色的取法有多少种？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：$11$ 个球取 $4$ 个 $\dfrac{11\times10\times9\times8}{4\times3\times2\times1}=\underline{\quad}$ 种。
第 2 步：全黄（$5$ 黄取 $4$）$\dfrac{5\times4\times3\times2}{4\times3\times2\times1}=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步：排除 $330-5=\underline{\quad}$。

第二套

题目：书架上有 $3$ 本语文书和 $4$ 本数学书，任取 $3$ 本，其中至少有 $1$ 本数学书的取法有多少种？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：$7$ 本取 $3$ 本 $\dfrac{7\times6\times5}{3\times2\times1}=\underline{\quad}$ 种。
第 2 步：全是语文（$3$ 取 $3$）$1$ 种，排除 $35-1=\underline{\quad}$。

第三套

题目：从 $3$ 个黄球和 $4$ 个白球中任取 $3$ 个，其中至少有 $2$ 个白球的取法有多少种？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（分类）：恰 $2$ 白 $1$ 黄 $\dfrac{4\times3}{2}\times3=\underline{\quad}$ 种。
第 2 步：恰 $3$ 白 $\dfrac{4\times3\times2}{3\times2\times1}=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步：相加 $18+4=\underline{\quad}$。

第三套

题目：从 $4$ 个黄球和 $5$ 个白球中任取 $4$ 个，其中至少有 $2$ 个白球的取法有多少种？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：$9$ 球取 $4$ 共 $\dfrac{9\times8\times7\times6}{4\times3\times2\times1}=\underline{\quad}$ 种。
第 2 步：减去白球不足 $2$ 个的：全黄（$4$ 取 $4$）$1$ 种；恰 $1$ 白 $3$ 黄 $5\times\dfrac{4\times3\times2}{3\times2\times1}=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步：排除 $126-1-20=\underline{\quad}$。

29. 【原题 ch22-xingqu-07】从 $1\sim 9$ 中取出 $7$ 个不同的数，要求它们的和是 $36$，共有多少种不同的取法？

详细思路

是哪类问题：这是「定和取数」题：从 $1\sim9$ 取 $7$ 个数使和为 $36$，用补集把“取 $7$ 个”转成“去掉 $2$ 个”。

关键切入点：$1\sim9$ 总和为 $45$。取 $7$ 个和为 $36$，等价于去掉的 $2$ 个数之和为 $45-36=9$。于是只需数“$1\sim9$ 中和为 $9$ 的不同数对”。

方法概述：取 $7$ 个 ↔ 去 $2$ 个，转为求和为 $9$ 的数对个数。

规范步骤：

总和：$1+2+\cdots+9=45$
去掉两数之和：$45-36=9$（补集思想）
枚举和为 9 的数对：$1{+}8,\ 2{+}7,\ 3{+}6,\ 4{+}5$（共 4 对）
结论：$4$ 种

第一套

题目：从 $1\sim12$ 中取出 $10$ 个不同的数，要求它们的和是 $65$，共有多少种不同的取法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：$1\sim12$ 总和 $\dfrac{12\times13}{2}=\underline{\quad}$。
第 2 步：取 $10$ 个 ↔ 去 $2$ 个，去掉两数之和 $78-65=\underline{\quad}$。
第 3 步：枚举和为 $13$ 的数对 $1{+}12,2{+}11,3{+}10,4{+}9,5{+}8,6{+}7$，共 $\underline{\quad}$ 对。

第二套

题目：编号 $1\sim9$ 的 $9$ 张卡片，取出 $7$ 张使卡片号码之和为 $36$，共有多少种不同的取法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：$9$ 张号码总和 $1+2+\cdots+9=\underline{\quad}$。
第 2 步：取 $7$ 张 ↔ 留 $2$ 张不取，未取两张之和 $45-36=\underline{\quad}$。
第 3 步：和为 $9$ 的数对 $1{+}8,2{+}7,3{+}6,4{+}5$ 共 $\underline{\quad}$ 对。

第三套

题目：从 $1\sim9$ 中取出 $7$ 个不同的数，要求它们的和是 $33$，共有多少种不同的取法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：去掉的两数之和 $45-33=\underline{\quad}$。
第 2 步：枚举和为 $12$ 的数对 $3{+}9,4{+}8,5{+}7$（$6{+}6$ 不算），共 $\underline{\quad}$ 对。

第三套

题目：从 $1\sim9$ 中取出 $6$ 个不同的数，要求它们的和是 $36$，共有多少种不同的取法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：取 $6$ 个 ↔ 去 $3$ 个，去掉三数之和 $45-36=\underline{\quad}$。
第 2 步：枚举和为 $9$ 的三个不同数 $(1,2,6),(1,3,5),(2,3,4)$，共 $\underline{\quad}$ 组。

30. 【原题 ch22-xingqu-08】用 $0$、$1$、$2$、$3$、$4$ 这 $5$ 个数字可以组成多少个没有重复数字的五位数？

详细思路

是哪类问题：这是「无重复数字组数」题：用 $0\sim4$ 组五位数，最高位不能是 $0$。

关键切入点：先定最高位：不能为 $0$，只能从 $1,2,3,4$ 中选，$4$ 种；其余四位从剩下 $4$ 个数字（含 $0$）无重复排列 $4!=24$ 种。乘法原理相乘。

方法概述：最高位先定（$4$ 种），其余各位全排列（$4!$）。

规范步骤：

最高位非 0：$4$ 种
其余四位全排列：$4\times3\times2\times1=24$ 种
乘法原理：$4\times24=96$

第一套

题目：用 $0,1,2,3,4,5,6$ 这 $7$ 个数字可以组成多少个没有重复数字的七位数？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：最高位不能为 $0$，有 $\underline{\quad}$ 种。
第 2 步：其余六位从剩下 $6$ 个数字无重复排列 $6\times5\times4\times3\times2\times1=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步：乘法原理 $6\times720=\underline{\quad}$。

第二套

题目：用 $0,1,2,3,4$ 五张数字卡片摆成一个五位数（每张恰用一次），能摆出多少个不同的五位数？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：最高位不能放 $0$，有 $\underline{\quad}$ 种。
第 2 步：其余四位全排列 $4\times3\times2\times1=\underline{\quad}$ 种，乘法原理 $4\times24=\underline{\quad}$。

第三套

题目：用 $1,2,3,4,5$ 这 $5$ 个数字可以组成多少个没有重复数字、且是偶数的五位数？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：偶数要求末位为 $2$ 或 $4$，有 $\underline{\quad}$ 种。（这些数字里没有 $0$，首位无额外限制。）
第 2 步：其余四位从剩下 $4$ 个数字全排列 $4\times3\times2\times1=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步：乘法原理 $2\times24=\underline{\quad}$。

第三套

题目：用 $0,1,2,3,4$ 这 $5$ 个数字可以组成多少个没有重复数字、且是偶数的五位数？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（末位为 $0$）：其余四位从 $1,2,3,4$ 全排列 $4\times3\times2\times1=\underline{\quad}$ 个。
第 2 步（末位为 $2$ 或 $4$，共 $2$ 种）：最高位不能是 $0$ 也不能与末位相同，有 $3$ 种，中间两位从剩下 $3$ 个排 $3\times2=\underline{\quad}$ 种，每种末位 $3\times6=\underline{\quad}$，两种共 $2\times18=\underline{\quad}$。
第 3 步：合计 $24+36=\underline{\quad}$。

31. 【原题 ch22-xingqu-09】用两个 $1$、一个 $2$、一个 $3$、一个 $4$ 可以组成多少个不同的五位数？

详细思路

是哪类问题：这是「含重复元素排列」题：用两个 $1$、一个 $2,3,4$ 组五位数，两个 $1$ 相同要去重。

关键切入点：先当 $5$ 个数字各不相同算全排列 $5!=120$；但两个 $1$ 交换位置得到的是同一个数，每个数被重复算 $2$ 次，故除以 $2$。

方法概述：全排列 $5!$ 再除以相同数字的内部排列数 $2!$。

规范步骤：

当作全不同：$5!=120$ 个
两个 1 重复去重：$120\div2=60$（除以 2!）

第一套

题目：用三个 $1$、一个 $2$、一个 $3$、一个 $4$ 可以组成多少个不同的六位数？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：当 $6$ 个数字全不同，全排列 $6\times5\times4\times3\times2\times1=\underline{\quad}$。
第 2 步：三个 $1$ 相同，内部排列 $3\times2\times1=\underline{\quad}$，去重 $720\div6=\underline{\quad}$。

第二套

题目：把写着 $1,1,2,3,4$ 的五张卡片排成一行组成五位数，能组成多少个不同的五位数？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：五张卡片若全不同全排列 $5\times4\times3\times2\times1=\underline{\quad}$。
第 2 步：两张 $1$ 相同，去重 $120\div2=\underline{\quad}$。

第三套

题目：用两个 $5$、两个 $6$、一个 $7$ 可以组成多少个不同的五位数？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：全不同全排列 $5\times4\times3\times2\times1=\underline{\quad}$。
第 2 步：两个 $5$、两个 $6$ 各重复，去重 $120\div(2\times2)=\underline{\quad}$。

第三套

题目：用两个 $0$、一个 $1$、一个 $2$、一个 $3$ 可以组成多少个不同的五位数？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：先不管首位，五个数字（含两个相同的 $0$）不同排列共 $\dfrac{5\times4\times3\times2\times1}{2}=\underline{\quad}$ 个。
第 2 步（去掉首位为 $0$）：首位是 $0$ 时，后四位由 $0,1,2,3$ 排列，其中两个 $0$… 只剩一个 $0$，实为 $1,2,3$ 和一个 $0$ 四个不同数字全排列 $4\times3\times2\times1=\underline{\quad}$ 个。
第 3 步：合法五位数 $60-24=\underline{\quad}$。

32. 【原题 ch22-xingqu-10】$5$ 名同学排成一排照相，如果阿某和阿瓜一定要站在一起，有多少种照相的方式？

详细思路

是哪类问题：这是「捆绑法」题：$5$ 人排队，阿某、阿瓜必须相邻。

关键切入点：把必须相邻的两人捆成一个整体，与其余 $3$ 人共 $4$ 个对象排成一排 $4!=24$；这两人内部还能交换 $2$ 种。乘法原理相乘。

方法概述：相邻两人捆绑成整体排列，再乘内部 $2!$。

规范步骤：

两人捆绑成整体，共 4 个对象：$4!=24$ 种
内部交换：$2$ 种
乘法原理：$24\times2=48$

第一套

题目：$6$ 名同学排成一排照相，其中两名同学一定要站在一起，有多少种照相的方式？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：把两人捆成整体，与其余 $4$ 人共 $5$ 个对象排列 $5\times4\times3\times2\times1=\underline{\quad}$ 种。
第 2 步：两人内部交换 $2$ 种，$120\times2=\underline{\quad}$。

第二套

题目：$5$ 本不同的书放在书架上排成一排，其中《数学》和《语文》必须挨在一起，有多少种不同的排法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：把两本书捆成整体，与其余 $3$ 本共 $4$ 个对象排列 $4\times3\times2\times1=\underline{\quad}$ 种。
第 2 步：两本书内部交换 $2$ 种，$24\times2=\underline{\quad}$。

第三套

题目：$5$ 名同学排成一排，其中 $3$ 名同学必须站在一起，有多少种不同的站法？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：把 $3$ 人捆成整体，与其余 $2$ 人共 $3$ 个对象排列 $3\times2\times1=\underline{\quad}$ 种。
第 2 步：$3$ 人内部排列 $3\times2\times1=\underline{\quad}$ 种，$6\times6=\underline{\quad}$。

第三套

题目：$5$ 名同学排成一排，阿某和阿瓜一定不能站在一起，有多少种照相的方式？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步：$5$ 人全排列 $5\times4\times3\times2\times1=\underline{\quad}$ 种。
第 2 步：两人相邻（捆绑）$4\times3\times2\times1\times2=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步：不相邻 $=$ 总数 $-$ 相邻 $=120-48=\underline{\quad}$。

竞赛数学 · 四年级第22讲《计数综合一》举一反三练习卷

附录 · 答案

竞赛数学 · 四年级 第22讲《计数综合一》举一反三练习卷

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