四年级第23讲最值问题一

1. 【原题 ch23-chaoyue-01】一个两位数除以它的各位数字之和，余数最大是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「余数最大值」类问题：两位数除以它的各位数字之和。由余数一定小于除数、数字和最大只有 $18$，先卡出余数上界，再对接近上界的情形逐一验证。

关键切入点：数字和最多 $9+9=18$，余数一定小于除数，故余数 $\le17$。数字和 $18$ 的只有 $99$，$99\div18$ 余 $9$；数字和 $17$ 的 $89$、$98$ 余数是 $4$、$13$；再看数字和 $16$：$79\div16=4\cdots\cdots15$，余数 $15$。所以最大余数是 $15$。

方法概述：由余数小于除数得上界，再对接近上界的情形逐一检验。

规范步骤：

上界：余数 $<$ 数字和 $\le18$，故余数 $\le17$（余数性质）
验证接近上界的数：$99\div18$ 余 $9$，$98\div17$ 余 $13$（枚举检验）
找到 $79$：$79-16\times4=15$（取最值）

第一套

题目：一个三位数除以它的各位数字之和，余数最大是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（上界）：三位数各位数字之和最多 $9+9+9=27$，余数一定小于它，故余数 $\le26$。
第 2 步（验证 $998$）：$998\div26=38\cdots\cdots$，余数 $=998-26\times38=\underline{\quad}$。
第 3 步（找到 $799$）：$799\div25=31\cdots\cdots$，余数 $=799-25\times31=\underline{\quad}$。
第 4 步（比较取最大）：逐一检验接近上界的数，最大余数是 $24$。

第二套

题目：把一个两位数糖果数平均分给“各位数字之和”那么多的小朋友，最后剩下的糖果最多是多少颗？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（上界）：两位数各位数字之和最多 $18$，余数 $<$ 除数，故余数 $\le17$。
第 2 步（验证 $98$）：$98\div17=5\cdots\cdots$，余数 $=98-17\times5=\underline{\quad}$。
第 3 步（找到 $79$）：$79\div16=4\cdots\cdots$，余数 $=79-16\times4=\underline{\quad}$。
第 4 步（取最大）：最大余数是 $15$。

第三套

题目：能被自身各位数字之和整除的最大两位数是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出题型）：改求“能被自身各位数字之和整除”（余数为 $0$）的最大两位数，从大到小找。
第 2 步（逐一检验）：$99\div18$ 余 $9$、$98\div17$ 余 $13$…都不能整除，直到 $90$。
第 3 步（验证 $90$）：$90\div9=10$，余数 $=90-9\times10=\underline{\quad}$，恰好整除。
第 4 步（结论）：这样的最大两位数是 $90$。

第三套

题目：一个三位偶数除以它的各位数字之和，余数最大是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（上界）：三位偶数各位数字之和最多 $27$（如 $998$），余数 $\le26$。
第 2 步（验证 $898$）：$898\div25=35\cdots\cdots$，余数 $=898-25\times35=\underline{\quad}$。
第 3 步（说明最大）：偶数这一约束下逐一检验接近上界的偶数，最大余数是 $23$。

2. 【原题 ch23-chaoyue-02】$4$ 个小朋友，每人的体重都是整数千克，而且其中任意 $3$ 人体重之和都大于 $99$ 千克。这 $4$ 个小朋友体重之和最小是多少千克？

详细思路

是哪类问题：这是「若干数任意几个之和有下界、求总和最小」类问题：把所有“$3$ 人体重和”加起来会把每人算 $3$ 次，得到总重 $3$ 倍的下界，再构造达到下界的例子。

关键切入点：$4$ 个“$3$ 人和”都 $\ge100$，相加 $\ge400$；这相当于每人被算 $3$ 次，即总重的 $3$ 倍 $\ge400$，总重 $\ge400\div3\approx133.3$，取整 $\ge134$。取 $33,33,34,34$，任意 $3$ 人之和 $\ge100>99$，总重恰 $134$。

方法概述：所有 3 人之和相加得 3 倍总和下界，再构造达到下界的例子。

规范步骤：

四个 3 人和相加：$\ge4\times100=400$（整体求和）
等于总重的 3 倍，取整：总重 $\ge134$（重复计数）
构造：$33+33+34+34=134$（构造最优）

第一套

题目：$4$ 个小朋友体重都是整数千克，任意 $3$ 人体重之和都大于 $149$ 千克。这 $4$ 人体重之和最小是多少千克？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（求下界）：$4$ 个“$3$ 人和”都 $>149$，即都 $\ge150$，相加 $\ge4\times150=600$。
第 2 步（除以 $3$）：这是总重的 $3$ 倍，总重 $\ge600\div3=\underline{\quad}$。
第 3 步（构造）：取 $50,50,50,50$，任意 $3$ 人之和 $150>149$，总重 $=50+50+50+50=\underline{\quad}$。

第二套

题目：有 $4$ 袋大米，每袋重量都是整数千克，任意 $3$ 袋的重量之和都大于 $99$ 千克。这 $4$ 袋大米的总重量最小是多少千克？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（求下界）：$4$ 袋大米任意 $3$ 袋之和 $>99$，即 $\ge100$，$4$ 个和相加 $\ge400$。
第 2 步（除以 $3$）：这是总重的 $3$ 倍，总重 $\ge400\div3$ 取整 $=\underline{\quad}$。
第 3 步（构造）：取 $33,33,34,34$ 千克，总重 $134$ 千克。

第三套

题目：$4$ 个小朋友体重都是整数千克，任意 $3$ 人体重之和都大于 $119$ 千克。这 $4$ 人体重之和最小是多少千克？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（求下界）：$4$ 个“$3$ 人和”都 $>119$，即 $\ge120$，相加 $\ge4\times120=480$。
第 2 步（除以 $3$）：总重 $\ge480\div3=\underline{\quad}$。
第 3 步（构造）：取 $40,40,40,40$，总重 $=40+40+40+40=\underline{\quad}$。

第三套

题目：$5$ 个小朋友体重都是整数千克，任意 $4$ 人体重之和都大于 $99$ 千克。这 $5$ 人体重之和最小是多少千克？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（求下界）：$5$ 个人，任意 $4$ 人之和 $>99$ 即 $\ge100$。一共有 $5$ 个“$4$ 人和”，相加 $\ge5\times100=500$。
第 2 步（重复计数）：把这 $5$ 个“$4$ 人和”相加，每人被算了 $4$ 次，所以是总重的 $4$ 倍。
第 3 步（除以 $4$）：总重 $\ge500\div4=\underline{\quad}$。
第 4 步（构造）：取 $25,25,25,25,25$，任意 $4$ 人之和 $100>99$，总重 $=25+25+25+25+25=\underline{\quad}$。

3. 【原题 ch23-chaoyue-03】将 $1\sim 30$ 依次写成一排：$12345\cdots 282930$，形成一个多位数，从这个多位数中划掉 $45$ 个数字。（1）剩下的数最大是多少？（2）如果要求剩下的数首位不为 $0$，这个数最小是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「划数字构造最值」类问题：从数字串里删掉一些数字、剩下的按原顺序组成一个数。求最大就让高位尽量取大，求最小就让首位尽量小（且不为 $0$）、再尽量取 $0$。

关键切入点：$1\sim30$ 顺次连写是 $51$ 位数，划掉 $45$ 个即保留 $6$ 位。求最大：高位尽量取 $9$（串里有 $3$ 个 $9$），得 $998930$；求最小：首位取 $1$、再尽量取 $0$，得 $100120$。

方法概述：保留数位按原顺序，求最大高位取大、求最小高位取小。

规范步骤：

保留位数：$51-45=6$ 位（划数）
求最大：高位尽量取 $9$：$998930$（贪心取大）
求最小：首位 $1$、尽量取 $0$：$100120$（贪心取小）

第一套

题目：将 $1\sim40$ 依次连写成一个多位数，从中划掉 $65$ 个数字。（1）剩下的数最大是多少？（2）首位不为 $0$ 时最小是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（保留位数）：$1\sim40$ 连写共 $71$ 位，划掉 $65$ 个后保留 $71-65=\underline{\quad}$ 位。
第 2 步（求最大）：高位尽量取 $9$（串里有 $4$ 个 $9$），得到的最大六位数是 $\underline{\quad}$。
第 3 步（求最小）：首位取 $1$、再尽量取 $0$，得到的最小六位数是 $\underline{\quad}$。

第二套

题目：电子屏顺次显示 $1$ 到 $30$，连成一长串数字。关掉其中 $45$ 个数字灯，剩下的数字按原顺序组成一个数，最大是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（保留位数）：$1\sim30$ 连写共 $51$ 位，划掉 $45$ 个后保留 $51-45=\underline{\quad}$ 位。
第 2 步（求最大）：高位尽量取 $9$，得到的最大六位数是 $\underline{\quad}$。

第三套

题目：将 $1\sim30$ 依次连写，划掉 $47$ 个数字。（1）剩下的数最大是多少？（2）首位不为 $0$ 时最小是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（保留位数）：$1\sim30$ 连写 $51$ 位，划掉 $47$ 个后保留 $51-47=\underline{\quad}$ 位。
第 2 步（求最大）：高位尽量取 $9$，得最大四位数 $\underline{\quad}$。
第 3 步（求最小）：首位 $1$、再尽量取 $0$（来自 $10,20,30$），得最小四位数 $\underline{\quad}$。

第三套

题目：将 $1\sim50$ 依次连写，划掉 $85$ 个数字。（1）剩下的数最大是多少？（2）首位不为 $0$ 时最小是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（保留位数）：$1\sim50$ 连写共 $91$ 位，划掉 $85$ 个后保留 $91-85=\underline{\quad}$ 位。
第 2 步（求最大）：高位尽量取 $9$（串里 $9,19,29,39,49$ 提供多个 $9$），得最大六位数 $\underline{\quad}$。
第 3 步（求最小）：首位取 $1$、再尽量取 $0$（$10,20,30,40$ 的 $0$），得最小六位数 $\underline{\quad}$。

4. 【原题 ch23-chaoyue-04】用 $1$、$2$、$3$、$4$、$6$、$7$、$8$、$9$ 这 $8$ 个数字分别组成 $2$ 个四位数，使这 $2$ 个数的差最小（大减小），这个差最小是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「组数使差最小」类构造问题：$8$ 个数字组成两个四位数求最小正差。首位只能相差 $1$（否则差上千），再让被减数低位尽小、减数低位尽大，分几种首位相邻对比较。

关键切入点：首位相差 $1$ 的相邻对有 $(1,2)(2,3)(3,4)(6,7)(7,8)(8,9)$。逐一让被减数低三位最小、减数低三位最大：$e,a$ 取 $3,4$ 时 $4126-3987=139$；取 $6,7$ 时 $7123-6984=139$，都是最小。

方法概述：首位仅差 1，被减数低位尽小、减数低位尽大，分情形比较。

规范步骤：

首位取相邻的 $3$、$4$：$4126-3987=139$（首位仅差 1）
首位取相邻的 $6$、$7$：$7123-6984=139$（首位仅差 1）
比较各情形取最小：$139$（取最值）

第一套

题目：用 $2$、$3$、$4$、$5$、$6$、$7$、$8$、$9$ 这 $8$ 个数字分别组成 $2$ 个四位数，使这 $2$ 个数的差最小（大减小），这个差最小是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（想清楚差最小的样子）：首位只能相差 $1$，再让被减数低位尽小、减数低位尽大。
第 2 步（试首位 $5$、$6$）：被减数低三位取最小 $234$、减数低三位取最大 $987$。
第 3 步（算这一情形）：$6234-5987=\underline{\quad}$。
第 4 步（比较各首位相邻对）：逐一比较后，最小差是 $247$。

第二套

题目：用数字卡片 $1$、$2$、$3$、$4$、$6$、$7$、$8$、$9$ 拼成两个四位数，使它们的差（大减小）最小。这个最小差是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（想清楚差最小的样子）：首位相差 $1$，被减数低位尽小、减数低位尽大。
第 2 步（试首位 $3$、$4$）：$4126-3987=\underline{\quad}$。
第 3 步（试首位 $6$、$7$）：$7123-6984=\underline{\quad}$。
第 4 步（取最小）：两种都得 $139$，这就是最小差。

第三套

题目：用 $1$、$2$、$4$、$5$、$6$、$7$、$8$、$9$ 这 $8$ 个数字分别组成 $2$ 个四位数，使它们的差最小（大减小），这个差最小是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（想清楚差最小的样子）：首位相差 $1$，被减数低位尽小、减数低位尽大。
第 2 步（试首位 $5$、$6$）：被减数低三位取最小 $124$、减数低三位取最大 $987$。
第 3 步（算这一情形）：$6124-5987=\underline{\quad}$。
第 4 步（比较各首位相邻对）：逐一比较后，最小差是 $137$。

第三套

题目：用 $0$、$1$、$2$、$\dots$、$9$ 这 $10$ 个数字分别组成 $2$ 个五位数（首位都不为 $0$），使这 $2$ 个数的差最小（大减小），这个差最小是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（想清楚差最小的样子）：$0\sim9$ 各用一次组两个五位数，首位相差 $1$、且首位不能是 $0$；被减数低位尽小、减数低位尽大。
第 2 步（试首位 $5$、$4$）：被减数低四位取最小 $0123$、减数低四位取最大 $9876$。
第 3 步（算这一情形）：$50123-49876=\underline{\quad}$。
第 4 步（比较）：逐一比较各首位相邻对，最小差是 $247$。

5. 【原题 ch23-chaoyue-05】将 $2\sim 8$ 这 $7$ 个自然数填入算式“$\square\square\times\square\square-\square\square\div\square$”的 $\square$ 中，如果算式的计算结果为整数，那么这个结果：（1）最大是多少？（2）最小是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「填数使复合算式最值」类问题：算式 $\square\square\times\square\square-\square\square\div\square$，减号前是两位数相乘、后是除法。求最大让前积尽大、后商尽小；求最小让前积尽小、后商尽大，并注意除法要整除。

关键切入点：求最大：乘积用最大的 $8,7,6,5$ 且两数尽量接近得 $85\times76$，剩 $2,3,4$ 让 $\square\square\div\square$ 最小 $=24\div3=8$，结果 $85\times76-8=6452$。求最小：乘积用最小的 $2,3,4,5$ 得 $24\times35$，剩 $6,7,8$ 让商最大 $=78\div6=13$，结果 $24\times35-78\div6=827$。

方法概述：求最大让前积尽大、后商尽小；求最小让前积尽小、后商尽大。

规范步骤：

求最大：前积 $85\times76$，后商 $24\div3=8$：$85\times76-8=6452$（积大商小）
求最小：前积 $24\times35$，后商 $78\div6=13$：$24\times35-78\div6=827$（积小商大）

第一套

题目：将 $3\sim9$ 这 $7$ 个自然数填入“$\square\square\times\square\square-\square\square\div\square$”，结果为整数时，（1）最大是多少？（2）最小是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（求最大）：乘积用最大的 $9,8,7,6$ 且两数尽量接近得 $87\times96$，剩 $3,4,5$ 让 $\square\square\div\square$ 最小 $=45\div3=15$。
第 2 步（算最大）：$87\times96-15=\underline{\quad}$。
第 3 步（求最小）：乘积用最小的 $3,4,5,6$ 得 $35\times46$，剩 $7,8,9$ 让商最大 $=98\div7=14$。
第 4 步（算最小）：$35\times46-98\div7=\underline{\quad}$。

第二套

题目：把数字卡片 $2\sim8$ 摆进算式“$\square\square\times\square\square-\square\square\div\square$”，结果为整数时最大、最小各是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（求最大）：前积 $85\times76$，后商 $24\div3=8$。
第 2 步（算最大）：$85\times76-8=\underline{\quad}$。
第 3 步（求最小）：前积 $24\times35$，后商 $78\div6=13$。
第 4 步（算最小）：$24\times35-78\div6=\underline{\quad}$。

第三套

题目：将 $1\sim7$ 这 $7$ 个自然数填入“$\square\square\times\square\square-\square\square\div\square$”，结果为整数时最大、最小各是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（求最大）：乘积用最大的 $7,6,5,4$ 且尽量接近得 $65\times74$，剩 $1,2,3$ 让商最小 $=12\div3=4$。
第 2 步（算最大）：$65\times74-4=\underline{\quad}$。
第 3 步（求最小）：乘积用最小的 $1,2,3,4$ 得 $13\times24$，剩 $5,6,7$ 让商最大 $=56\div7=8$。
第 4 步（算最小）：$13\times24-56\div7=\underline{\quad}$。

第三套

题目：将 $1$、$2$、$\dots$、$8$ 这 $8$ 个自然数填入“$\square\square\times\square\square-\square\square\square\div\square$”，结果为整数时最大是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（求最大）：乘积用最大的 $8,7,6,5$ 且尽量接近得 $76\times85$，剩 $1,2,3,4$ 让三位数除以一位数最小 $=132\div4=33$。
第 2 步（算最大）：$76\times85-132\div4=\underline{\quad}$。

6. 【原题 ch23-chaoyue-06】如图 $23\text{-}5$，一只木箱的长、宽、高分别为 $5$ 厘米、$3$ 厘米、$4$ 厘米。有一只甲虫从 $A$ 点出发，沿棱爬行，每条棱只允许爬一次。（1）甲虫最多能爬行多少厘米？（2）如果要求甲虫最后回到 $A$ 点，那么它最多能爬行多少厘米？

详细思路

是哪类问题：这是「一笔画（欧拉路）+ 棱长最值」类问题：沿棱每条只走一次求最长路程，等价于尽量走遍所有棱；用奇偶点条件确定必须舍弃哪些棱，回到起点时再加方向配对约束。

关键切入点：(1) 长方体 $8$ 个顶点各连 $3$ 条棱（都是奇点），一笔画至多允许 $2$ 个奇点，故至少去掉 $3$ 条棱——去掉最短的 $3$ 条（长 $3$），最长 $=5\times4+3+4\times4=39$。(2) 要回到起点需去掉 $4$ 条棱，由“每个方向走的路程相等”，长 $3$ 的边要去偶数条，最优去 $2$ 条长 $3$、$2$ 条长 $4$，最长 $=5\times4+4\times2+3\times2=34$。

方法概述：用一笔画奇偶点条件定舍弃的棱，回路再加方向配对约束。

规范步骤：

去掉 $3$ 条最短棱：$5\times4+3+4\times4=39$（一笔画）
回路去掉 $2$ 条长 $3$、$2$ 条长 $4$：$5\times4+4\times2+3\times2=34$（欧拉回路）

7. 【原题 ch23-chaoyue-07】如图 $23\text{-}6$，黑板上写有一个三位数减三位数的算式，其中首位已经确定。接下来甲每次报一个数字，乙就把它放入四个方框中的一个，甲要使得差尽量大，乙要使得差尽量小，如果两人都用最佳策略，那么最后的差是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「填数博弈」类问题：甲每次报一个数字、乙放入某个方框；甲要差尽量大、乙要差尽量小。通过分析甲首报数字与乙的放置策略的对抗，确定双方最优下的稳定结果。

关键切入点：甲首报若是 $6\sim9$，乙放进减数的十位使差 $<140$；若是 $0\sim3$，乙放进被减数的十位使差 $<140$；所以甲只能报 $4$ 或 $5$。以报 $4$ 为例，乙把它放进减数十位得差恰 $140$，其余放法甲都能保证差 $\ge140$。故双方最优时差为 $140$。

方法概述：分析甲首报与乙放置的对抗，确定最优下的稳定差。

规范步骤：

甲首报只能是 $4$ 或 $5$：否则乙可使差 $<140$（博弈分析）
乙最优放置得差：$140$（博弈均衡）

8. 【原题 ch23-chaoyue-08】一栋大楼共 $33$ 层，电梯停在第 $1$ 层，有 $32$ 人分别要去第 $2$ 层、第 $3$ 层……第 $33$ 层，其中每层一人。电梯只能在某一层再停，每个人可以选择坐电梯上楼或乘电梯到这一层再走楼梯。每人上一层楼梯有 $3$ 分不满意，下一层楼梯会有 $1$ 分不满意。请问：电梯停在哪一层，才能使得所有人不满意的总分数最小？

详细思路

是哪类问题：这是「加权位置选址（投票法）」类问题：上楼每层 $3$ 分、下楼每层 $1$ 分，权重 $3:1$。用“投票法”逐层比较移动电梯的得失：上楼的人希望电梯升高（每人省 $3$ 分），下楼的人反对（每人多 $1$ 分），到某层两边票数持平即最优。

关键切入点：先估电梯在偏高的约五等分处，试 $26$ 层：$1\sim7$ 层走上去，$8\sim26$ 层坐电梯再走下，$27\sim33$ 层坐电梯再走上。从 $26$ 升到 $27$：上楼 $7$ 人各省 $3$ 分（赞成 $21$），下楼 $19$ 人各多 $1$ 分（反对 $19$），净省 $2$ 分，故 $27$ 更好；从 $27$ 升到 $28$：赞成 $6\times3=18$、反对 $20$，净亏，故 $27$ 最优。

方法概述：用上下楼权重 3:1（投票法）逐层比较移动电梯的得失。

规范步骤：

$26\to27$：赞成 $7\times3$、反对 $19$：$7\times3-19=2>0$（投票法）
$27\to28$：赞成 $6\times3$、反对 $20$：$6\times3-20=-2<0$（投票法）
结论：电梯停 $27$ 层最优（取最优）

第一套

题目：一栋大楼共 $49$ 层，电梯停在第 $1$ 层，有 $48$ 人分别要去第 $2\sim49$ 层，每层一人。电梯只能再停一层，每人可坐电梯到该层再走楼梯。上一层楼梯 $3$ 分不满意、下一层 $1$ 分。电梯停哪层能使总不满意最小？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（投票法）：上楼每层 $3$ 分、下楼每层 $1$ 分。先估在偏高处，试 $39$ 层，再逐层比较。
第 2 步（$39\to40$）：上楼的 $40\sim49$ 层共 $10$ 人各省 $3$ 分，下楼的人 $29$ 人各多 $1$ 分。
第 3 步（净变化）：$10\times3-29=\underline{\quad}$，大于 $0$，故 $40$ 比 $39$ 好。
第 4 步（$40\to41$）：上楼 $9$ 人省 $3$ 分、下楼 $30$ 人多 $1$ 分。
第 5 步（净变化）：$9\times3-30=\underline{\quad}$，小于 $0$，故 $41$ 不如 $40$。最优是 $40$ 层。

第二套

题目：一栋 $33$ 层的写字楼，班车停在 $1$ 层，$32$ 位员工分别去第 $2\sim33$ 层。班车只能再停一层，每位员工可坐到该层再走楼梯，上一层 $3$ 分不满意、下一层 $1$ 分。班车再停哪层使总不满意最小？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（投票法）：上楼每层 $3$ 分、下楼每层 $1$ 分，先试 $26$ 层。
第 2 步（$26\to27$）：上楼 $7$ 人省 $3$ 分、下楼 $19$ 人多 $1$ 分，净 $7\times3-19=\underline{\quad}>0$，$27$ 更好。
第 3 步（$27\to28$）：上楼 $6$ 人省 $3$ 分、下楼 $20$ 人多 $1$ 分，净 $6\times3-20=\underline{\quad}<0$，$27$ 最优。

第三套

题目：一栋大楼共 $57$ 层，电梯停在第 $1$ 层，有 $56$ 人分别要去第 $2\sim57$ 层。规则同上（上一层 $3$ 分、下一层 $1$ 分）。电梯再停哪层使总不满意最小？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（投票法）：上楼每层 $3$ 分、下楼每层 $1$ 分，试 $45$ 层附近。
第 2 步（$45\to46$）：上楼 $12$ 人省 $3$ 分、下楼 $33$ 人多 $1$ 分，净 $12\times3-33=\underline{\quad}>0$，$46$ 更好。
第 3 步（$46\to47$）：上楼 $11$ 人省 $3$ 分、下楼 $34$ 人多 $1$ 分，净 $11\times3-34=\underline{\quad}<0$，$46$ 最优。

第三套

题目：一栋大楼共 $41$ 层，电梯停在第 $1$ 层，有 $40$ 人分别要去第 $2\sim41$ 层。若上一层楼梯有 $5$ 分不满意、下一层有 $1$ 分不满意，电梯再停哪层使总不满意最小？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（权重变为 $5:1$）：上楼每层 $5$ 分、下楼每层 $1$ 分，分界点更靠近顶楼（约六等分处），试 $35$ 层。
第 2 步（$35\to36$）：上楼 $6$ 人各省 $5$ 分、下楼 $29$ 人各多 $1$ 分，净 $6\times5-29=\underline{\quad}>0$，$36$ 更好。
第 3 步（$36\to37$）：上楼 $5$ 人各省 $5$ 分、下楼 $30$ 人各多 $1$ 分，净 $5\times5-30=\underline{\quad}<0$，$36$ 最优。

9. 【原题 ch23-tuozhan-01】$3$ 个连续自然数相乘，所得乘积的个位数字最大可能是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「个位数字规律 + 枚举」类问题：只关心乘积的个位。$3$ 个连续自然数里若含个位为 $0$ 的数、或含 $5$（其相邻必有偶数），乘积个位都是 $0$；其余情形只有 $4$ 种个位排布，逐一算出比大小。

关键切入点：关键先排除个位出现 $0$、$5$ 的情形（这时积的个位是 $0$）；剩下的个位排布只有 $1,2,3$；$2,3,4$；$6,7,8$；$7,8,9$ 四种。算出 $1\times2\times3=6$、$2\times3\times4=24$、$6\times7\times8=336$、$7\times8\times9=504$，个位分别是 $6,4,6,4$，最大是 $6$。

方法概述：先排除含 0、5 的情形，再枚举其余四种比较积的个位。

规范步骤：

排除含 $0$、$5$ 的情形：积的个位为 $0$（只看个位）
算其余四种：$1\times2\times3=6,\ 2\times3\times4=24,\ 6\times7\times8=336,\ 7\times8\times9=504$（枚举）
取个位比较：个位 $6,4,6,4$，最大 $6$（取最值）

第一套

题目：在两位数范围内，$3$ 个连续自然数相乘，所得乘积的个位数字最大可能是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（只看个位）：含个位 $0$ 或 $5$ 的情形积的个位是 $0$；其余个位排布只有 $1,2,3$；$2,3,4$；$6,7,8$；$7,8,9$ 四种。
第 2 步（逐种算积）：$1\times2\times3=\underline{\quad}$，$2\times3\times4=\underline{\quad}$，$6\times7\times8=\underline{\quad}$，$7\times8\times9=\underline{\quad}$。
第 3 步（取个位）：四个积的个位依次是 $6,4,6,4$。
第 4 步（取最大）：乘积个位最大是 $\underline{\quad}$。

第二套

题目：三个编号连续的储物柜号码相乘，所得乘积的个位数字最大可能是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（转成个位问题）：连续 $3$ 个储物柜号相乘，含 $0$、$5$ 时个位为 $0$，其余排布只有 $1,2,3$；$2,3,4$；$6,7,8$；$7,8,9$。
第 2 步（逐种算积）：$1\times2\times3=\underline{\quad}$，$2\times3\times4=\underline{\quad}$，$6\times7\times8=\underline{\quad}$，$7\times8\times9=\underline{\quad}$。
第 3 步（取最大个位）：乘积个位最大是 $\underline{\quad}$。

第三套

题目：$3$ 个连续自然数相乘，所得乘积的个位数字最小可能是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（想清楚何时最小）：$3$ 个连续自然数只要含个位 $0$，或含 $5$（它旁边一定有偶数），乘积的个位就是 $0$。
第 2 步（举例验证）：如 $5\times6\times7=210$，个位 $210-210=\underline{\quad}$。
第 3 步（取最小）：个位最小就是 $0$。

第三套

题目：$4$ 个连续自然数相乘，所得乘积的个位数字最大可能是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（只看个位）：$4$ 个连续自然数含 $0$ 或 $5$ 时积的个位为 $0$；不含的个位排布只有 $1,2,3,4$ 和 $6,7,8,9$ 两种。
第 2 步（算这两种）：$1\times2\times3\times4=\underline{\quad}$，$6\times7\times8\times9=\underline{\quad}$。
第 3 步（取个位）：两个积的个位都是 $4$。
第 4 步（取最大）：乘积个位最大是 $\underline{\quad}$。

10. 【原题 ch23-tuozhan-02】（1）在五位数 $12435$ 的某一位数字后面再插入一个同样的数字（例如：可以在 $2$ 的后面插入 $2$ 得到 $122435$），这样得到的六位数最大可能是多少？（2）在七位数 $9876789$ 的某一位数字后面再插入一个同样的数字，这样得到的八位数最小是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「插入数字构造最大/最小数」类问题：在原数某一位后插入一个与它相同的数字，插入位置只有有限几个，枚举全部位置得到的数再比大小即可。

关键切入点：关键在于逐个插入位置试：$12435$ 分别在 $1,2,4,3,5$ 后插入得 $112435,122435,124435,124335,124355$，最大是 $124435$；$9876789$ 分别插入得 $7$ 个数，最小是 $98766789$。

方法概述：枚举所有插入位置得到的数，再比较取最值。

规范步骤：

(1) 枚举 $12435$ 的 $5$ 个插入结果：$112435,122435,124435,124335,124355$（枚举）
(1) 取最大：$124435$（取最值）
(2) 枚举 $9876789$ 的 $7$ 个插入结果并取最小：$98766789$（取最值）

第一套

题目：（1）在五位数 $13542$ 的某一位数字后插入一个同样的数字，得到的六位数最大是多少？（2）在七位数 $8765678$ 的某一位后插入一个同样的数字，得到的八位数最小是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（枚举 $13542$ 的插入结果）：分别在各位后插入得 $113542,133542,135542,135442,135422$。
第 2 步（取最大）：最大是 $\underline{\quad}$。
第 3 步（枚举 $8765678$ 的插入结果）：分别插入得 $88765678,87765678,87665678,87656678,87655678,87656778,87656788$。
第 4 步（取最小）：最小是 $\underline{\quad}$。

第二套

题目：车牌号 $12435$ 要在某一位数字后加印一个同样的数字，变成六位数。这样得到的最大车牌号是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（枚举插入结果）：$12435$ 分别在各位后插入相同数字得 $112435,122435,124435,124335,124355$。
第 2 步（取最大）：能得到的最大车牌是 $\underline{\quad}$。

第三套

题目：在五位数 $12435$ 的某一位数字后插入一个同样的数字，得到的六位数最小是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（枚举插入结果）：$12435$ 分别在各位后插入相同数字得 $112435,122435,124435,124335,124355$。
第 2 步（取最小）：其中最小的六位数是 $\underline{\quad}$。

第三套

题目：从六位数 $471205$ 中删去一个数字，得到一个五位数（首位不能是 $0$）。这个五位数最小是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（题型转为删数）：从 $471205$ 中删去一个数字得五位数，且首位不能是 $0$。删去哪一位能让数最小？
第 2 步（枚举删去每一位）：删去后依次得 $71205,41205,47205,47105,47125,47120$（删首位 $4$ 得 $71205$…）。
第 3 步（取最小，首位非 $0$）：最小的五位数是 $\underline{\quad}$。

11. 【原题 ch23-tuozhan-03】用 $24$ 根长 $1$ 厘米的火柴棒围成一个矩形。（1）这个矩形的面积最大是多少？（2）如果用 $22$ 根火柴棒呢？

详细思路

是哪类问题：这是「周长一定、求最大面积」类问题：周长定则长与宽之和定，此时长宽越接近面积越大（相等时最大）。

关键切入点：关键是先由周长求出长宽之和（周长的一半），再让长宽尽量接近。$24$ 根火柴：长宽和 $=24\div2=12$，取 $6\times6=36$；$22$ 根：长宽和 $=11$，取最接近的 $6\times5=30$。

方法概述：周长一半为长宽和，长宽越接近面积越大。

规范步骤：

(1) 长宽和 $=24\div2$：$12$（周长一半）
(1) 长宽相等时面积最大：$6\times6=36$（长宽接近）
(2) 长宽和 $=22\div2=11$，取 $6\times5$：$6\times5=30$（长宽接近）

第一套

题目：用火柴棒围成一个矩形。（1）用 $36$ 根时面积最大是多少？（2）用 $30$ 根时呢？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（求长宽和）：$36$ 根火柴周长 $36$，长宽和 $=36\div2=\underline{\quad}$。
第 2 步（长宽相等面积最大）：$9\times9=\underline{\quad}$。
第 3 步（第二问求长宽和）：$30\div2=\underline{\quad}$。
第 4 步（取最接近的长宽）：$7\times8=\underline{\quad}$。

第二套

题目：用 $24$ 米长的篱笆围成一个长方形菜地（四边都用篱笆，边长为整数米），面积最大是多少平方米？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（求长宽和）：篱笆总长 $24$ 米，长宽和 $=24\div2=\underline{\quad}$。
第 2 步（面积最大）：长宽相等 $6\times6=\underline{\quad}$。

第三套

题目：用火柴棒围矩形。（1）用 $28$ 根时面积最大是多少？（2）用 $26$ 根时呢？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（长宽和）：$28\div2=\underline{\quad}$。
第 2 步（面积最大）：$7\times7=\underline{\quad}$。
第 3 步（第二问长宽和）：$26\div2=\underline{\quad}$。
第 4 步（取最接近）：$7\times6=\underline{\quad}$。

第三套

题目：用 $24$ 米长的篱笆靠着一面墙围成一个长方形菜地（靠墙的一边不用篱笆，边长为整数米）。这个菜地面积最大是多少平方米？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（列关系）：一边靠墙，只需三条边。设宽为 $w$，则长 $=24-2w$，面积 $=w\times(24-2w)$。
第 2 步（试算几个宽求最大）：$w=5:5\times(24-10)=\underline{\quad}$，$w=6:6\times(24-12)=\underline{\quad}$，$w=7:7\times(24-14)=\underline{\quad}$。
第 3 步（取最大）：比较 $70$、$72$、$70$，当 $w=6$、长 $=12$ 时面积最大。
第 4 步（写出最大面积）：$6\times12=\underline{\quad}$。

12. 【原题 ch23-tuozhan-04】有 $9$ 个同学要进行象棋比赛，他们准备分成两组，不同组的人相互之间只比赛一场，同组的人之间不比赛，他们一共最多能比赛多少场？

详细思路

是哪类问题：这是「分组使乘积最大」类问题：两组之间每两人赛一场，由乘法原理，比赛总场数等于两组人数之积。人数和一定（都是 $9$），两数越接近积越大。

关键切入点：关键把“比赛场数”翻译成“两组人数之积”，再用“和一定、两数越接近积越大”：$9$ 人分成 $4$ 人和 $5$ 人时积最大，$4\times5=20$。

方法概述：场数 = 两组人数之积；和一定时两数越接近积越大。

规范步骤：

列出各种分法及场数：$1\times8=8,\ 2\times7=14,\ 3\times6=18,\ 4\times5=20$（乘法原理）
取两数最接近：$4\times5=20$（和一定积最大）

第一套

题目：$15$ 个同学分成两组进行象棋比赛，不同组的人之间各赛一场，同组不赛。他们一共最多能比赛多少场？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出题型）：比赛场数 $=$ 两组人数之积，$15$ 人分两组，和一定取两数最接近。
第 2 步（试算最接近的分法）：$7\times8=\underline{\quad}$，$6\times9=\underline{\quad}$。
第 3 步（取最大）：最多比赛 $\underline{\quad}$ 场。

第二套

题目：$9$ 个人分成两队，不同队的每两人握一次手，同队不握。最多一共握手多少次？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出题型）：握手次数 $=$ 两队人数之积，$9$ 人分两队，取两数最接近。
第 2 步（试算）：$4\times5=\underline{\quad}$，$3\times6=\underline{\quad}$。
第 3 步（取最大）：最多握手 $\underline{\quad}$ 次。

第三套

题目：$13$ 个同学分成两组进行象棋比赛，不同组各赛一场，同组不赛。最多能比赛多少场？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出题型）：$13$ 人分两组，场数 $=$ 两组人数之积，取两数最接近。
第 2 步（试算）：$6\times7=\underline{\quad}$，$5\times8=\underline{\quad}$。
第 3 步（取最大）：最多比赛 $\underline{\quad}$ 场。

第三套

题目：$12$ 个同学分成 $3$ 组进行象棋比赛，不同组的人之间各赛一场，同组不赛。他们一共最多能比赛多少场？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出题型升级）：$12$ 人分成 $3$ 组，不同组每两人各赛一场，总场数 $=$ 三组人数两两之积的和。要让它最大，三组人数应尽量平均。
第 2 步（平均分）：$12\div3=\underline{\quad}$，即每组 $4$ 人。
第 3 步（算总场数）：$4\times4+4\times4+4\times4=\underline{\quad}$。

13. 【原题 ch23-tuozhan-05】$3$ 个互不相同的自然数之和是 $17$，它们的乘积最大可能是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「和一定、互不相同、求积最大」类问题：几个互不相同的数，和一定时越接近积越大，但不能相等，需在平均数附近试凑比较。

关键切入点：$17\div3\approx5.7$，在 $5,6$ 附近找互不相同的三数：$17=4+5+8=4+6+7$，比较乘积，$4\times6\times7=168$ 最大。

方法概述：和一定且互不相同时各数尽量接近，枚举附近拆分比较。

规范步骤：

求平均定范围：$17\div3\approx5.7$（尽量接近）
试凑并比较：$4\times5\times8=160<4\times6\times7=168$（枚举比较）
取最大：$168$（取最值）

第一套

题目：$3$ 个互不相同的自然数之和是 $23$，它们的乘积最大可能是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出题型）：三数互不相同、和为 $23$ 求积最大，尽量接近 $23\\div3\\approx7.7$。
第 2 步（试凑附近两组）：$6\times8\times9=\underline{\quad}$，$5\times8\times10=\underline{\quad}$。
第 3 步（取最大）：最大乘积是 $\underline{\quad}$。

第二套

题目：三筐苹果一共 $17$ 个，每筐的个数互不相同。这三筐苹果个数的乘积最大可能是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出题型）：三筐苹果数互不相同、共 $17$ 个，求三数之积最大，尽量接近 $17\\div3\\approx5.7$。
第 2 步（试凑并比较）：$4\times6\times7=\underline{\quad}$，$4\times5\times8=\underline{\quad}$。
第 3 步（取最大）：最大乘积是 $\underline{\quad}$。

第三套

题目：$3$ 个互不相同的自然数之和是 $20$，它们的乘积最大可能是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出题型）：三数互不相同、和为 $20$ 求积最大，尽量接近 $20\\div3\\approx6.7$。
第 2 步（试凑并比较）：$5\times7\times8=\underline{\quad}$，$4\times7\times9=\underline{\quad}$。
第 3 步（取最大）：最大乘积是 $\underline{\quad}$。

第三套

题目：$4$ 个互不相同的自然数之和是 $23$，它们的乘积最大可能是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出题型）：$4$ 个互不相同的自然数和为 $23$ 求积最大，尽量接近 $23\\div4\\approx5.75$。
第 2 步（试凑并比较）：$4\times5\times6\times8=\underline{\quad}$，$3\times5\times7\times8=\underline{\quad}$。
第 3 步（取最大）：最大乘积是 $\underline{\quad}$。

14. 【原题 ch23-tuozhan-06】用 $2$、$3$、$4$、$5$、$6$、$8$ 这 $6$ 个数分别填入算式“$\square\square\square\times\square\square\square$”的 $\square$ 中，要使得算式结果最大，应该怎么填？

详细思路

是哪类问题：这是「填数字使两个三位数乘积最大」类问题：先把大数字放高位（百位放最大两个、十位放次大两个、个位放最小两个），此时两数各位之和都定了，再让两个三位数尽量接近。

关键切入点：百位放 $8$、$6$，十位放 $5$、$4$，个位放 $3$、$2$，则两数之和固定；和相等时差越小积越大，只需让 $8$ 后面跟最小、$6$ 后面跟最大，得 $842\times653$。

方法概述：大数放高位；各位定后让两三位数尽量接近。

规范步骤：

百位 $8$、$6$，十位 $5$、$4$，个位 $3$、$2$：各位之和固定（大数放高位）
让两数尽量接近并比较：$842\times653=549826>843\times652=549636$（两数接近积大）

第一套

题目：用 $1$、$3$、$5$、$6$、$7$、$9$ 这 $6$ 个数分别填入“$\square\square\square\times\square\square\square$”，要使乘积最大，应该怎么填？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（大数放高位）：百位放 $9$、$7$，十位放 $6$、$5$，个位放 $3$、$1$。
第 2 步（让两数尽量接近并比较）：$951\times763=\underline{\quad}$，$953\times761=\underline{\quad}$。
第 3 步（取最大）：乘积最大是 $\underline{\quad}$。

第二套

题目：用数字卡片 $2$、$3$、$4$、$5$、$6$、$8$ 摆成两个三位数相乘，要使乘积最大，应该怎么摆？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（大数放高位）：百位放 $8$、$6$，十位放 $5$、$4$，个位放 $3$、$2$。
第 2 步（让两数尽量接近并比较）：$842\times653=\underline{\quad}$，$843\times652=\underline{\quad}$。
第 3 步（取最大）：乘积最大是 $\underline{\quad}$。

第三套

题目：用 $2$、$4$、$5$、$7$、$8$、$9$ 这 $6$ 个数分别填入“$\square\square\square\times\square\square\square$”，要使乘积最大，应该怎么填？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（大数放高位）：百位放 $9$、$8$，十位放 $7$、$5$，个位放 $4$、$2$。
第 2 步（让两数尽量接近并比较）：$952\times874=\underline{\quad}$，$954\times872=\underline{\quad}$。
第 3 步（取最大）：乘积最大是 $\underline{\quad}$。

第三套

题目：用 $2$、$3$、$4$、$5$、$6$、$7$、$8$、$9$ 这 $8$ 个数分别填入“$\square\square\square\square\times\square\square\square\square$”，要使乘积最大，应该怎么填？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（大数放高位）：千位放 $9$、$8$，百位放 $7$、$6$，十位放 $5$、$4$，个位放 $3$、$2$。
第 2 步（让两数尽量接近并比较）：$9642\times8753=\underline{\quad}$，$9643\times8752=\underline{\quad}$。
第 3 步（取最大）：乘积最大是 $\underline{\quad}$。

15. 【原题 ch23-tuozhan-07】请将 $6\sim 9$ 这 $4$ 个数分别填入算式“$\square\times\square+\square\square$”的 $\square$ 中，要使得算式结果最大，应该怎么填？

详细思路

是哪类问题：这是「填数字使算式结果最大」类问题：比较每个位置对结果的贡献——两位数的十位每增 $1$ 结果增 $10$（贡献最大），故十位放最大数；剩下三个数里乘积贡献大于加数个位，故次大两数去相乘，最小的放两位数个位。

关键切入点：十位放最大的 $9$；剩下 $6,7,8$ 中让较大的 $7$、$8$ 相乘、最小的 $6$ 作个位：$7\times8+96=152$。

方法概述：比较各位贡献，大数字优先放贡献最大的位置。

规范步骤：

两位数十位放最大数 $9$：两位数为 $9\square$（十位贡献最大）
次大两数相乘、最小数作个位：$7\times8+96=152$（权衡乘积与加数）
验证更优不存在：$6\times8+97=145<152$（取最值）

第一套

题目：请将 $5$、$6$、$7$、$8$ 这 $4$ 个数分别填入“$\square\times\square+\square\square$”，要使算式结果最大，应该怎么填？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（十位放最大）：两位数十位放最大的 $8$。
第 2 步（次大相乘、最小作个位并比较）：$6\times7+85=\underline{\quad}$，$5\times7+86=\underline{\quad}$。
第 3 步（取最大）：结果最大是 $\underline{\quad}$。

第二套

题目：用数字卡片 $6$、$7$、$8$、$9$ 摆进算式“$\square\times\square+\square\square$”，要使算式结果最大，应该怎么摆？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（十位放最大）：两位数十位放最大的 $9$。
第 2 步（次大相乘、最小作个位并比较）：$7\times8+96=\underline{\quad}$，$6\times8+97=\underline{\quad}$。
第 3 步（取最大）：结果最大是 $\underline{\quad}$。

第三套

题目：请将 $5$、$6$、$7$、$9$ 这 $4$ 个数分别填入“$\square\times\square+\square\square$”，要使算式结果最大，应该怎么填？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（十位放最大）：两位数十位放最大的 $9$。
第 2 步（次大相乘、最小作个位并比较）：$6\times7+95=\underline{\quad}$，$5\times7+96=\underline{\quad}$。
第 3 步（取最大）：结果最大是 $\underline{\quad}$。

第三套

题目：请将 $5$、$6$、$7$、$8$、$9$ 这 $5$ 个数分别填入“$\square\times\square+\square\square\square$”，要使算式结果最大，应该怎么填？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（三位数百位放最大）：加数是三位数，百位每增 $1$ 结果增 $100$，贡献最大，放最大的 $9$。
第 2 步（安排其余）：剩下 $5,6,7,8$，让 $6$、$7$ 相乘，$8$、$5$ 作三位数的十位、个位。
第 3 步（比较）：$6\times7+985=\underline{\quad}$，$5\times8+976=\underline{\quad}$。
第 4 步（取最大）：结果最大是 $\underline{\quad}$。

16. 【原题 ch23-tuozhan-08】在图 $23\text{-}2$ 的中间 $\bigcirc$ 内填一个数，计算每一条线段两端的数之差（大减小），然后把这 $5$ 个差数相加。问：所得的和最小是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「作差求和最小」类问题（数阵/局部调整）：中间填 $x$，与外围五个数 $1$、$5$、$7$、$10$、$15$ 各作差（大减小）求和，本质是求 $x$ 到这五个数的距离之和最小，$x$ 取中位数。

关键切入点：五个数排好序，中位数是第 $3$ 个 $7$。也可分层看：$x$ 到最外两数 $1$、$15$ 的距离和恒为 $14$，到 $5$、$10$ 的距离和恒为 $5$（只要 $x$ 在中间），再让到 $7$ 的距离为 $0$，总和最小 $=14+5+0=19$。

方法概述：距离之和在中位数处最小，取正中间的 $7$。

规范步骤：

填中位数 $7$，逐差求和：$(7-1)+(7-5)+(7-7)+(10-7)+(15-7)=19$（中位数最小）
分层验证：$(15-1)+(10-5)+0=14+5+0=19$（端点差为定值）
取最小：$19$（取最值）

第一套

题目：在一条直线上标着 $2$、$6$、$9$、$13$、$20$ 五个数，中间填一个数 $x$，算出 $x$ 与这五个数各自的差（大减小）再相加。这个和最小是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出题型）：中间填 $x$，到 $2$、$6$、$9$、$13$、$20$ 的距离之和最小，取中位数（第 $3$ 个）$9$。
第 2 步（求距离和）：$(9-2)+(9-6)+(9-9)+(13-9)+(20-9)=\underline{\quad}$。
第 3 步（验证邻近更大）：$x=8=\underline{\quad}$，$x=10=\underline{\quad}$。
第 4 步（取最小）：比较 $25$、$26$、$26$，最小是 $25$。

第二套

题目：一条马路旁有 $5$ 个小区，位置在 $1$、$5$、$7$、$10$、$15$（千米）。要在某处设一个公交站，使它到 $5$ 个小区的距离之和最小，这个最小的距离之和是多少千米？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出题型）：公交站设在 $x$ 处，到五个小区（$1$、$5$、$7$、$10$、$15$）距离之和最小，取中位数 $7$。
第 2 步（求距离和）：$(7-1)+(7-5)+(7-7)+(10-7)+(15-7)=\underline{\quad}$。
第 3 步（取最小）：距离之和最小是 $19$。

第三套

题目：在一条直线上标着 $3$、$8$、$12$、$17$、$25$ 五个数，中间填一个数 $x$，算出 $x$ 与它们各自的差（大减小）再相加。这个和最小是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出题型）：到 $3$、$8$、$12$、$17$、$25$ 的距离之和最小，取中位数 $12$。
第 2 步（求距离和）：$(12-3)+(12-8)+(12-12)+(17-12)+(25-12)=\underline{\quad}$。
第 3 步（取最小）：距离之和最小是 $31$。

第三套

题目：在一条直线上标着 $1$、$3$、$6$、$8$、$11$、$14$、$19$ 七个数，中间填一个数 $x$，算出 $x$ 与它们各自的差（大减小）再相加。这个和最小是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出题型）：到 $7$ 个数 $1,3,6,8,11,14,19$ 的距离之和最小，取正中间（第 $4$ 个）数 $8$。
第 2 步（求距离和）：$(8-1)+(8-3)+(8-6)+(8-8)+(11-8)+(14-8)+(19-8)=\underline{\quad}$。
第 3 步（取最小）：距离之和最小是 $34$。

17. 【原题 ch23-tuozhan-09】如果 $7$ 个互不相同的自然数之和为 $100$，那么：（1）其中最小的数最大可能是多少？（2）最大的数最小可能是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「和一定、让极值数最优」类问题：要最小数最大，其余各数应紧贴最小数往上取（连续），用总和不等式卡出上界再微调。

关键切入点：最小数最大：$7$ 个数至少是 $a,a+1,\dots,a+6$，其和 $7a+21\le100$，得 $a\le11$；取 $11,12,\dots,16,19$ 和为 $100$，最小数最大是 $11$。最大数最小：$7$ 个数至多是 $c,c-1,\dots,c-6$，其和 $7c-21\ge100$，得 $c\ge18$，最大数最小是 $18$。

方法概述：其余各数紧贴极值数取连续值，用总和不等式定界。

规范步骤：

最小数最大：$7a+21\le100$：$a\le11$（整体估算）
最大数最小：$7c-21\ge100$：$c\ge18$（整体估算）

第一套

题目：$7$ 个互不相同的自然数之和为 $140$。（1）其中最小的数最大可能是多少？（2）最大的数最小可能是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（最小数最大）：$7$ 个互不相同的数至少是 $a,a+1,\dots,a+6$，其和 $=7a+21\le140$。
第 2 步（试 $a=17$）：$7\times17+21=\underline{\quad}$，不超过 $140$，可行。
第 3 步（试 $a=18$）：$7\times18+21=\underline{\quad}$，超过 $140$，不行。故最小数最大 $17$。
第 4 步（最大数最小）：至多 $c,c-1,\dots,c-6$，其和 $7c-21\ge140$。试 $c=23$：$7\times23-21=\underline{\quad}$，不小于 $140$，可行，故最大数最小 $23$。

第二套

题目：$7$ 个班一共 $100$ 名同学参加活动，各班人数互不相同。（1）人数最少的班最多有几人？（2）人数最多的班最少有几人？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（最小数最大）：$7$ 个班人数互不相同、共 $100$ 人，最少的班若为 $a$，则总人数至少 $7a+21$。
第 2 步（试 $a=11$）：$7\times11+21=\underline{\quad}$，不超过 $100$，可行；$a=12$ 时 $105>100$ 不行，故最少的班最多 $11$ 人。
第 3 步（最多的班最少）：最多的班若为 $c$，总人数至多 $7c-21$。$7\times18-21=\underline{\quad}\ge100$，故最多的班最少 $18$ 人。

第三套

题目：$5$ 个互不相同的自然数之和为 $100$。（1）其中最小的数最大可能是多少？（2）最大的数最小可能是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（最小数最大）：$5$ 个互不相同的数至少是 $a,a+1,a+2,a+3,a+4$，其和 $=5a+10\le100$。
第 2 步（试 $a=18$）：$5\times18+10=\underline{\quad}$，恰好 $100$，可行，故最小数最大 $18$。
第 3 步（最大数最小）：至多 $c,c-1,c-2,c-3,c-4$，和 $5c-10\ge100$。$5\times22-10=\underline{\quad}$，故最大数最小 $22$。

第三套

题目：$9$ 个互不相同的自然数之和为 $140$。（1）其中最小的数最大可能是多少？（2）最大的数最小可能是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（最小数最大）：$9$ 个互不相同的数至少是 $a,a+1,\dots,a+8$，其和 $=9a+36\le140$。
第 2 步（试 $a=11$）：$9\times11+36=\underline{\quad}$，不超过 $140$，可行；$a=12$ 时 $144>140$ 不行，故最小数最大 $11$。
第 3 步（最大数最小）：至多 $c,c-1,\dots,c-8$，和 $9c-36\ge140$。$9\times20-36=\underline{\quad}\ge140$，$c=19$ 时 $135<140$ 不行，故最大数最小 $20$。

18. 【原题 ch23-tuozhan-10】一个多位数的各位数字互不相同，而且各位数字之和为 $23$。（1）这样的多位数最小可能是多少？（2）最大可能是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「各位数字互不相同、数字和固定，求最大/最小数」类问题：先用“数字互不相同”限定位数，再让高位尽量小（求最小）或尽量大（求最大）。

关键切入点：求最小：数字和 $23$，最大的三个数字 $9+8+6=23$，所以至少 $3$ 位；三位数里让百位最小——个位十位取最大的 $9$、$8$，百位 $=23-17=6$，得 $689$。求最大：$0+1+\dots+7=28>23$，至多 $7$ 位；后 $6$ 位取最小的 $0\sim5$（和 $15$），最高位 $=23-15=8$，得 $8543210$。

方法概述：用互不相同限定位数，再让高位尽量小（最小）或尽量大（最大）。

规范步骤：

求最小：至少 $3$ 位，百位 $=23-9-8$：$689$（高位尽量小）
求最大：至多 $7$ 位，最高位 $=23-15$：$8543210$（高位尽量大）

第一套

题目：一个多位数的各位数字互不相同，且各位数字之和为 $25$。（1）这样的多位数最小是多少？（2）最大是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（求最小，定位数）：数字和 $25$，最大三个数字 $9+8+7=24<25$，四个 $9+8+7+6=30\ge25$，所以最小数至少 $4$ 位。
第 2 步（让高位最小）：后三位取最大的 $9$、$8$、$7$（和 $24$），千位 $=25-24=\underline{\quad}$，得 $1789$。
第 3 步（求最大，定位数）：$0+1+\dots+7=28>25$，至多 $7$ 位。
第 4 步（定最高位）：最高位取最大的 $9$，其余六位互不相同且不含 $9$，它们的和 $=25-9=\underline{\quad}$。
第 5 步（让第二位最大）：其余六位里最小的五位取 $0\sim4$（和 $10$），于是第二位 $=16-10=\underline{\quad}$，其余按降序排，得 $9643210$。

第二套

题目：某种会员编号各位数字互不相同，且各位数字之和为 $23$。这样的编号最小是多少？最大是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（求最小）：编号各位互不相同、数字和 $23$，最大三个数字 $9+8+6=23$，至少 $3$ 位。
第 2 步（高位最小）：个位十位取 $9$、$8$，百位 $=23-17=\underline{\quad}$，得 $689$。
第 3 步（求最大）：$0+1+\dots+7=28>23$，至多 $7$ 位，最高位 $=23-15=8$，得 $8543210$。

第三套

题目：一个多位数的各位数字互不相同，且各位数字之和为 $20$。这样的多位数最小是多少？最大是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（求最小）：数字和 $20$，最大三个数字 $9+8+7=24\ge20$，至少 $3$ 位。
第 2 步（高位最小）：个位十位取 $9$、$8$（和 $17$），百位 $=20-17=\underline{\quad}$，得 $389$。
第 3 步（求最大）：$0+1+\dots+5=15<20$，$0+1+\dots+6=21\ge20$，至多 $6$ 位，最高位 $=20-(0+1+2+3+5)=9$，得 $953210$。

第三套

题目：一个多位数的各位数字互不相同，且各位数字之和为 $30$。这样的多位数最小是多少？最大是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（求最小，定位数）：数字和 $30$，最大三个 $9+8+7=24<30$，最大四个 $9+8+7+6=30$，所以最小数至少 $4$ 位，且这四位只能是 $6,7,8,9$。
第 2 步（升序排）：最小就是把 $6,7,8,9$ 从小到大排：$6789$。验证 $6+7+8+9=\underline{\quad}$。
第 3 步（求最大，定位数）：$0+1+\dots+7=28<30$，$0+1+\dots+8=36\ge30$，至多 $8$ 位。
第 4 步（高位最大）：后七位取最小的 $0\sim6$（和 $21$），最高位 $=30-21=\underline{\quad}$，得 $96543210$。

19. 【原题 ch23-tuozhan-11】有 $7$ 个盘子排成一排，依次编号为 $1\sim 7$，每个盘子中都放有若干玻璃球，一共有 $80$ 个，其中 $1$ 号盘子中放了 $18$ 个玻璃球，并且任意编号相邻的 $3$ 个盘子中放的玻璃球数之和都相等。请问：第 $6$ 个盘子中最多可能放了多少个玻璃球？

详细思路

是哪类问题：这是「相邻若干数之和相等 + 极端取值」类问题：任意相邻 $3$ 个盘子球数之和相等，可推出隔 $3$ 位置的盘子球数相等，再用“要让某盘最多就让相邻盘最少”求极值。

关键切入点：由相邻 $3$ 个和相等得 $1$、$4$、$7$ 号相等，$2$、$5$ 号相等，$3$、$6$ 号相等。除 $1$ 号外分成 $(2,3,4)$、$(5,6,7)$ 两组，各组和 $=(80-18)\div2=31$；由 $4$ 号 $=18$ 得 $5$、$6$ 号和 $=31-18=13$。要让 $6$ 号最多，就让 $5$ 号最少（$1$ 个），$6$ 号最多 $=13-1=12$。

方法概述：由相邻三数和相等推出隔三相等，再用极端取值。

规范步骤：

两组各相邻三数和：$(80-18)\div2=31$（相邻三数和相等）
$5$、$6$ 号和：$31-18=13$（递推）
$5$ 号最少 $1$ 时 $6$ 号最多：$13-1=12$（极端取值）

第一套

题目：$7$ 个盘子排成一排，共放 $92$ 个玻璃球，其中 $1$ 号盘放了 $20$ 个，任意相邻 $3$ 个盘子的球数之和都相等。第 $6$ 个盘子最多可能放多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（两组相邻三数和）：$1$ 号放 $20$ 个，其余分两组，每组相邻三数和 $=(92-20)\div2=\underline{\quad}$。
第 2 步（求 $5$、$6$ 号和）：由 $4$ 号 $=20$，得 $5$、$6$ 号球数和 $=36-20=\underline{\quad}$。
第 3 步（极端取值）：让 $5$ 号最少放 $1$ 个，$6$ 号最多 $=16-1=\underline{\quad}$。

第二套

题目：$7$ 个果筐排成一排，共装 $80$ 个鸡蛋，其中 $1$ 号筐装了 $18$ 个，任意相邻 $3$ 个筐里的鸡蛋数之和都相等。第 $6$ 个筐最多可能装多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（两组相邻三数和）：$1$ 号筐放 $18$ 个，其余分两组，每组相邻三数和 $=(80-18)\div2=\underline{\quad}$。
第 2 步（求 $5$、$6$ 号和）：由 $4$ 号 $=18$，得 $5$、$6$ 号和 $=31-18=\underline{\quad}$。
第 3 步（极端取值）：$5$ 号最少 $1$ 个，$6$ 号最多 $=13-1=\underline{\quad}$。

第三套

题目：$7$ 个盘子排成一排，共放 $80$ 个玻璃球，$1$ 号盘放 $18$ 个，任意相邻 $3$ 个盘子的球数之和都相等。第 $5$ 个盘子最多可能放多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（相邻三数和）：每组相邻三数和 $=(80-18)\div2=\underline{\quad}$。
第 2 步（$5$、$6$ 号和）：$31-18=\underline{\quad}$。
第 3 步（求 $5$ 号最多）：$5$ 号 $=13-$ 6 号，让 $6$ 号最少放 $1$ 个，则 $5$ 号最多 $=13-1=\underline{\quad}$。

第三套

题目：$10$ 个盘子排成一排，共放 $100$ 个玻璃球，其中 $1$ 号盘放了 $10$ 个，任意相邻 $3$ 个盘子的球数之和都相等。第 $9$ 个盘子最多可能放多少个？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（找周期）：任意相邻 $3$ 个和相等，推出隔 $3$ 位置相等。$10$ 个盘子里，$1$、$4$、$7$、$10$ 号相等（都等于 $10$），$2$、$5$、$8$ 号相等，$3$、$6$、$9$ 号相等。
第 2 步（用总数列方程）：$4$ 个 $1$ 号 $+3$ 个 $2$ 号 $+3$ 个 $3$ 号 $=100$，即 $2$ 号 $+3$ 号 $=(100-4\times10)\div3=\underline{\quad}$。
第 3 步（极端取值）：$9$ 号 $=3$ 号 $=20-$ 2 号，让 $2$ 号最少放 $1$ 个，$9$ 号最多 $=20-1=\underline{\quad}$。

20. 【原题 ch23-tuozhan-12】黑板上写着 $1\sim 10$ 这 $10$ 个数字，小明每次擦去 $2$ 个奇偶性相同的数，再写上它们的平均数。最后当黑板上只剩下一个自然数时，这个数最大可能是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「反复取平均 + 上界估计」类构造问题：每次擦去两个奇偶性相同的数、写上平均数，要让最后剩下的数最大，需要先构造一种能得到 $9$ 的擦法，再证明无法得到 $10$。

关键切入点：构造：$1,3\to2$；$2,2\to2$；$2,4\to3$；$3,5\to4$；$4,6\to5$；$5,7\to6$；$6,8\to7$；$7,9\to8$；$8,10\to9$，最后剩 $9$。上界：要剩 $10$ 必须某步得到 $10$，而 $10$ 只能由 $10$ 与另一个数取平均得到（需另一个也是 $10$），无法实现，故最大是 $9$。

方法概述：先构造出 9 的擦法，再证明得不到 10。

规范步骤：

构造一串擦法：依次得到 $2,2,3,4,5,6,7,8,9$（构造）
说明得不到 $10$：最后剩下的数一定小于 $10$（上界估计）
结论：最大是 $9$（取最值）

21. 【原题 ch23-tuozhan-13】如图 $23\text{-}3$，这是一个正方体的展开图，将它折成一个正方体后，相交于同一顶点的 $3$ 个面上的数之和最大是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「正方体展开图判定相对面 + 构造和最大」类问题：先由展开图判断哪些面相对，相交于同一顶点的 $3$ 个面不能是相对面，故从每对相对面各取一个数，取较大者求和。

关键切入点：由展开图判定：$6$ 与 $5$、$1$ 与 $4$、$3$ 与 $2$ 各为相对面。相交于一顶点的 $3$ 个面来自三对相对面各取一个，取较大的 $6$、$4$、$3$，和最大 $=6+4+3=13$。

方法概述：由展开图判相对面，每对取较大者求和。

规范步骤：

判定三对相对面：$(5,6),(1,4),(2,3)$（展开图相对面）
每对取较大者求和：$6+4+3=13$（构造最大）

22. 【原题 ch23-tuozhan-14】如图 $23\text{-}4$，在一个正方体方块的左下角 $A$ 点处有一只蚂蚁，它要沿着正方体的表面爬行至右上角的 $B$ 点，去搬运一块食物。为了使这只蚂蚁所走的路线长度最短，它应该怎么爬行？它可以选择的最短路线一共有几条？

详细思路

是哪类问题：这是「正方体表面展开求最短路径 + 计数」类问题：沿表面从 $A$ 到对角顶点 $B$ 至少经过两个相邻面，把这两个面展开成平面后 $AB$ 连线即最短路径；数出不同的展开（两相邻面）方式即最短路线条数。

关键切入点：从 $A$ 到 $B$ 最少经过两个相邻面，把相邻两面展开成长方形后线段 $AB$ 最短。绕过 $A$、$B$ 所在棱的相邻面组合共有 $6$ 种，故最短路线一共有 $6$ 条。

方法概述：相邻两面展开，AB 连线最短，数出展开方式数。

规范步骤：

最短路径经过两个相邻面展开：$AB$ 为直线（两点间线段最短）
数出不同展开方式：$6$ 条（计数）

23. 【原题 ch23-xingqu-01】$3$ 个连续奇数相乘，所得乘积的个位数字最小可能是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「个位数字规律 + 枚举求最值」类问题：只关心乘积的个位，而积的个位只由各因数的个位决定，于是把无穷多组连续奇数压缩成有限几种个位排布逐一枚举。

关键切入点：关键在于发现：连续 $3$ 个奇数的个位排布只有 $5$ 种循环情形（$1,3,5$ / $3,5,7$ / $5,7,9$ / $7,9,1$ / $9,1,3$），别的组都与这 $5$ 种之一个位完全相同。算出这 $5$ 种的积的个位，再比大小即可。

方法概述：只算个位、枚举 $5$ 种个位排布、取最小。

规范步骤：

个位为 $1,3,5$：$1\times 3\times 5=15$，个位为 $5$（只看个位）
个位为 $3,5,7$：$3\times 5\times 7=105$，个位为 $5$（只看个位）
个位为 $5,7,9$：$5\times 7\times 9=315$，个位为 $5$（只看个位）
个位为 $7,9,1$：$7\times 9\times 11=693$，个位为 $3$（只看个位）
个位为 $9,1,3$：$9\times 11\times 13=1287$，个位为 $7$（只看个位）
比较 $5,5,5,3,7$ 取最小：$3$（枚举取最值）

第一套

题目：$4$ 个连续奇数相乘，所得乘积的个位数字最小可能是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（想清楚只看个位）：乘积的个位只由各因数的个位决定，而 $4$ 个连续奇数的个位排布只有 $5$ 种：$1,3,5,7$；$3,5,7,9$；$5,7,9,1$；$7,9,1,3$；$9,1,3,5$。
第 2 步（逐种算出乘积）：$1\times 3\times 5\times 7=\underline{\quad}$，$3\times 5\times 7\times 9=\underline{\quad}$，$5\times 7\times 9\times 11=\underline{\quad}$，$7\times 9\times 11\times 13=\underline{\quad}$，$9\times 11\times 13\times 15=\underline{\quad}$。
第 3 步（取出个位）：这 $5$ 个积的个位依次是 $5$、$5$、$5$、$9$、$5$。
第 4 步（比较取最小）：其中最小的个位数字是 $\underline{\quad}$。

第二套

题目：抽奖箱里的卡片上写着连续的奇数号码。主持人任意抽出号码连续的 $3$ 张奇数卡片，把 $3$ 个号码相乘。请问这个乘积的个位数字最小可能是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（转化成个位问题）：卡片号连续 $3$ 个奇数，乘积的个位只由 $3$ 个号码的个位决定，共 $5$ 种排布。
第 2 步（逐种计算）：$1\times 3\times 5=\underline{\quad}$，$3\times 5\times 7=\underline{\quad}$，$5\times 7\times 9=\underline{\quad}$，$7\times 9\times 11=\underline{\quad}$，$9\times 11\times 13=\underline{\quad}$。
第 3 步（取个位）：这 $5$ 个积的个位依次是 $5$、$5$、$5$、$3$、$7$。
第 4 步（取最小）：所以乘积的个位数字最小是 $\underline{\quad}$。

第三套

题目：$3$ 个连续奇数相乘，所得乘积的个位数字最大可能是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（同样只看个位）：$3$ 个连续奇数的个位排布仍是 $1,3,5$；$3,5,7$；$5,7,9$；$7,9,1$；$9,1,3$ 这 $5$ 种。
第 2 步（逐种计算）：$1\times 3\times 5=\underline{\quad}$，$3\times 5\times 7=\underline{\quad}$，$5\times 7\times 9=\underline{\quad}$，$7\times 9\times 11=\underline{\quad}$，$9\times 11\times 13=\underline{\quad}$。
第 3 步（取个位）：个位依次为 $5$、$5$、$5$、$3$、$7$。
第 4 步（这次取最大）：乘积的个位数字最大是 $\underline{\quad}$。

第三套

题目：$3$ 个连续奇数相乘，再加上这 $3$ 个奇数的和，所得结果的个位数字最小可能是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（拆成两部分）：结果 $=$ 三数之积 $+$ 三数之和，个位只由这两部分的个位相加（满十进一后取个位）决定，仍只需枚举 $5$ 种个位排布。
第 2 步（先算积）：$1\times 3\times 5=\underline{\quad}$，$3\times 5\times 7=\underline{\quad}$，$5\times 7\times 9=\underline{\quad}$，$7\times 9\times 11=\underline{\quad}$，$9\times 11\times 13=\underline{\quad}$。
第 3 步（再算和）：$1+3+5=\underline{\quad}$，$3+5+7=\underline{\quad}$，$5+7+9=\underline{\quad}$，$7+9+11=\underline{\quad}$，$9+11+13=\underline{\quad}$。
第 4 步（积与和相加）：$15+9=\underline{\quad}$，$105+15=\underline{\quad}$，$315+21=\underline{\quad}$，$693+27=\underline{\quad}$，$1287+33=\underline{\quad}$。
第 5 步（取个位）：$5$ 个结果的个位依次是 $4$、$0$、$6$、$0$、$0$。
第 6 步（取最小）：所以结果的个位数字最小是 $\underline{\quad}$。

24. 【原题 ch23-xingqu-02】用 $1$、$2$、$4$ 可以组成 $6$ 个没有重复数字的三位数，这些三位数中相差最小的两个数之差是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「排列组数 + 相邻作差取最小」类问题：先把所有可能的数按大小排好队，差最小的两个数一定在队列里相邻，于是只需比较相邻两数之差。

关键切入点：关键在于想明白：若两个数中间还夹着第三个数，它们的差一定比相邻的差大。所以不必两两都减（$6$ 个数两两有 $15$ 对），只算排好序后的 $5$ 个相邻差即可。

方法概述：全部列出并排序，只比较相邻两数之差。

规范步骤：

列出 $6$ 个三位数并从大到小排序：$421,412,241,214,142,124$（排列组数）
依次算相邻两数之差：$421-412=9$，$412-241=171$，$241-214=27$，$214-142=72$，$142-124=18$（相邻作差）
比较 $9,171,27,72,18$ 取最小：$9$（取最值）

第一套

题目：用 $2$、$5$、$7$ 可以组成 $6$ 个没有重复数字的三位数，这些三位数中相差最小的两个数之差是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（列出并排序）：用 $2$、$5$、$7$ 可组成 $6$ 个三位数，从大到小是 $752$、$725$、$572$、$527$、$275$、$257$。
第 2 步（想清楚为什么只看相邻）：若两数之间还夹着别的数，差一定更大，所以差最小的两数在排好序后必定相邻。
第 3 步（算 5 个相邻差）：$752-725=\underline{\quad}$，$725-572=\underline{\quad}$，$572-527=\underline{\quad}$，$527-275=\underline{\quad}$，$275-257=\underline{\quad}$。
第 4 步（取最小）：其中最小的差是 $\underline{\quad}$。

第二套

题目：一条小巷用数字 $1$、$2$、$4$ 给房子编三位数门牌号，数字不重复，一共编出 $6$ 个门牌号。这些门牌号中最接近的两个相差多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（排序）：$3$ 户人家的门牌号是 $1$、$2$、$4$ 的全排列，从大到小为 $421$、$412$、$241$、$214$、$142$、$124$。
第 2 步（只看相邻）：门牌号最接近的两户，在排好序后一定挨着。
第 3 步（算相邻差）：$421-412=\underline{\quad}$，$412-241=\underline{\quad}$，$241-214=\underline{\quad}$，$214-142=\underline{\quad}$，$142-124=\underline{\quad}$。
第 4 步（取最小）：最接近的两个门牌号相差 $\underline{\quad}$。

第三套

题目：用 $1$、$2$、$4$ 可以组成 $6$ 个没有重复数字的三位数，这些三位数中相差最大的两个数之差是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（排序）：$6$ 个三位数从小到大为 $124$、$142$、$214$、$241$、$412$、$421$。
第 2 步（想清楚取谁）：差最大的两个数，一定是最大的那个减最小的那个，不必逐对去减。
第 3 步（作差）：$421-124=\underline{\quad}$。

第三套

题目：用 $1$、$2$、$4$、$8$ 可以组成 $24$ 个没有重复数字的四位数，这些四位数中相差最小的两个数之差是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（想清楚差最小的两数长什么样）：要让差最小，两数的千位必须相同，百位也应尽量相同，因此只需在“千位、百位都相同”的那些数里比较。
第 2 步（找出这样的数对）：千位、百位相同、只交换后两位的一对数，差就是后两位之差。
第 3 步（把候选对逐一作差）：$4128-4182=\underline{\quad}$，$2148-2184=\underline{\quad}$，$1248-1284=\underline{\quad}$，$8124-8142=\underline{\quad}$。
第 4 步（比较）：这些差分别是 $54$、$36$、$36$、$18$，还要与其它千百位相同的对比较，逐一算完可知最小差出现在 $4821$ 与 $4812$。
第 5 步（写出答案）：最小的差是 $\underline{\quad}$。

25. 【原题 ch23-xingqu-03】阿呆和阿瓜两人手里各拿着一张扑克牌，两人牌的点数之和刚好是 $10$。请问两人牌的点数的乘积最大可能是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「和一定、求积最大」类问题：两个数的和固定时，它们相差越小乘积越大，相等时乘积最大。

关键切入点：关键在于把所有可能的点数配对全列出来（$1$ 和 $9$、$2$ 和 $8$、$3$ 和 $7$、$4$ 和 $6$、$5$ 和 $5$），会发现两数越靠近积越大；也可直接用“和一定、差越小积越大”的结论，一步锁定 $5$ 与 $5$。

方法概述：和一定时取两数尽量接近（能相等就相等）。

规范步骤：

列出所有和为 $10$ 的点数对及乘积：$1\times 9=9$，$2\times 8=16$，$3\times 7=21$，$4\times 6=24$，$5\times 5=25$（枚举）
发现两数越接近积越大：$9<16<21<24<25$（和一定差小积大）
取两数相等时：$5\times 5=25$（取最值）

第一套

题目：阿呆和阿瓜两人手里各拿着一张扑克牌，两人牌的点数之和刚好是 $18$。请问两人牌的点数的乘积最大可能是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出题型）：两数之和固定为 $18$，求积最大，用“和一定、两数差越小积越大”。
第 2 步（把靠近一半的几对算出来）：$5\times 13=\underline{\quad}$，$6\times 12=\underline{\quad}$，$7\times 11=\underline{\quad}$，$8\times 10=\underline{\quad}$，$9\times 9=\underline{\quad}$。
第 3 步（比较）：越靠近 $18\div 2=9$ 积越大。
第 4 步（取最值）：两数都取 $9$ 时积最大，最大乘积是 $\underline{\quad}$。

第二套

题目：把一根 $10$ 米长的绳子剪成两段（每段长度都是整数米），用这两段的长度分别作长方形的长和宽。这个长方形的面积最大是多少平方米？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出题型）：两段长度之和固定为 $10$ 米，求它们围成的长方形面积（即两数之积）最大。
第 2 步（列出所有整米分法并算面积）：$1\times 9=\underline{\quad}$，$2\times 8=\underline{\quad}$，$3\times 7=\underline{\quad}$，$4\times 6=\underline{\quad}$，$5\times 5=\underline{\quad}$。
第 3 步（比较取最大）：两段越接近面积越大，最大面积是 $\underline{\quad}$ 平方米。

第三套

题目：两个自然数的和是 $15$，它们的乘积最大可能是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出题型）：和固定为 $15$，仍用“和一定、差越小积越大”。
第 2 步（注意和是奇数）：$15\div 2=7.5$，两个自然数不能都取 $7.5$，只能取最靠近的一对 $7$ 与 $8$。
第 3 步（算靠近的几对验证）：$6\times 9=\underline{\quad}$，$7\times 8=\underline{\quad}$。
第 4 步（取最值）：最大乘积是 $\underline{\quad}$。

第三套

题目：一个长方形的周长是 $20$ 厘米，长和宽都是整数厘米。这个长方形的面积最大是多少平方厘米？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（由周长求长宽之和）：长方形周长 $=$（长 $+$ 宽）$\times 2$，所以长 $+$ 宽 $=20\div 2=\underline{\quad}$（厘米）。
第 2 步（转成和一定求积最大）：面积 $=$ 长 $\times$ 宽，和固定时两数越接近积越大。
第 3 步（列举整数长宽并算面积）：$1\times 9=\underline{\quad}$，$2\times 8=\underline{\quad}$，$3\times 7=\underline{\quad}$，$4\times 6=\underline{\quad}$，$5\times 5=\underline{\quad}$。
第 4 步（取最大）：当长与宽都是 $5$ 厘米时面积最大，为 $\underline{\quad}$ 平方厘米。

26. 【原题 ch23-xingqu-04】$3$ 个自然数的和是 $19$，它们的乘积最大可能是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「和一定、几个数求积最大」类问题：几个数的和固定时，要让乘积最大，各数应尽量接近，任意两数相差不超过 $1$。

关键切入点：关键在于把“尽量接近”落成“每两数相差 $0$ 或 $1$”。$19\div3=6\cdots\cdots1$，于是先让三数都取商 $6$，再把余下的 $1$ 加到其中一个数上，得 $6,6,7$。

方法概述：和一定时各数尽量接近（差 0 或 1），由 $19\div3$ 定值。

规范步骤：

求平均定基准：$19\div3=6\cdots\cdots1$（尽量接近）
取 $6,6,7$ 相乘：$6\times6\times7=252$（取最值）
与相邻分法比较：$5\times7\times7=245<252$（验证最大）

第一套

题目：$3$ 个自然数的和是 $25$，它们的乘积最大可能是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出题型）：三数和固定为 $25$ 求积最大，各数应尽量接近（差 $0$ 或 $1$）。
第 2 步（求基准）：$25\div3=8\cdots\cdots1$，所以在 $8$ 附近取 $8,8,9$。
第 3 步（算靠近的两组比较）：$8\times8\times9=\underline{\quad}$，$7\times9\times9=\underline{\quad}$。
第 4 步（取最大）：最大乘积是 $\underline{\quad}$。

第二套

题目：三个小朋友一共折了 $19$ 颗星星（每人折的都是自然数颗），要让三人折的颗数之积最大，这个乘积最大是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出题型）：三人所折星星数之和固定为 $19$，要让三人星星数之积最大，三数应尽量接近。
第 2 步（求基准）：$19\div3=6\cdots\cdots1$，取 $6,6,7$。
第 3 步（比较相邻分法）：$6\times6\times7=\underline{\quad}$，$5\times7\times7=\underline{\quad}$。
第 4 步（取最大）：三人星星数之积最大是 $\underline{\quad}$。

第三套

题目：$3$ 个互不相同的自然数之和是 $25$，它们的乘积最大可能是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出题型加约束）：三数和为 $25$ 且互不相同，求积最大，仍让三数尽量接近，但不能相等。
第 2 步（在 8 附近找互不相同的）：$25\div3\approx8$，取最接近且互不相同的 $7,8,10$ 与 $6,9,10$ 比较。
第 3 步（算两组）：$7\times8\times10=\underline{\quad}$，$6\times9\times10=\underline{\quad}$。
第 4 步（取最大）：最大乘积是 $\underline{\quad}$。

第三套

题目：$4$ 个自然数的和是 $31$，它们的乘积最大可能是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出题型）：现在是 $4$ 个自然数和为 $31$ 求积最大，各数仍尽量接近。
第 2 步（求基准）：$31\div4=7\cdots\cdots3$，把余下的 $3$ 各分给三个数，取 $8,8,8,7$。
第 3 步（算并比较）：$8\times8\times8\times7=\underline{\quad}$，$6\times8\times8\times9=\underline{\quad}$。
第 4 步（取最大）：最大乘积是 $\underline{\quad}$。

27. 【原题 ch23-xingqu-05】（1）请将 $1\sim 4$ 这 $4$ 个数分别填入算式“$\square\square\times\square\square$”的 $\square$ 中，要使得算式结果最大，应该怎么填？（2）请将 $1\sim 6$ 这 $6$ 个数分别填入算式“$\square\square\square\times\square\square\square$”的 $\square$ 中，要求 $5$、$6$ 分别填在百位，$4$、$3$ 分别填在十位，$1$、$2$ 分别填在个位，并使得算式结果最大，应该怎么填？

详细思路

是哪类问题：这是「填数字使乘积最大」类构造问题：先把大数字放到高位（高位对乘积影响最大），高位定好后再让两个因数尽量接近，使乘积最大。

关键切入点：关键两步：① 十位、百位这些高位放大数字；② 高位固定后两数之和也随之固定，此时两个因数越接近乘积越大。第 (1) 问 $4$、$3$ 放十位、$1$、$2$ 放个位后比较 $41\times32$ 与 $42\times31$；第 (2) 问百位、十位定好后让两个三位数尽量接近，得 $631\times542$。

方法概述：大数放高位；高位定后让两因数尽量接近。

规范步骤：

(1) 大数字 $4$、$3$ 放十位，$1$、$2$ 放个位：十位固定为 $4$、$3$（大数放高位）
(1) 让两数尽量接近并比较：$41\times32=1312>42\times31=1302$（两数接近积大）
(2) 百位 $5$、$6$，十位 $4$、$3$，个位 $1$、$2$，两三位数尽量接近：$631\times542=342002>632\times541=341912$（两数接近积大）

第一套

题目：请将 $5$、$6$、$7$、$8$ 这 $4$ 个数分别填入算式“$\square\square\times\square\square$”的 $\square$ 中，要使得算式结果最大，应该怎么填？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出题型）：拼两个两位数使乘积最大，大数字放十位。
第 2 步（定十位、个位）：十位放大的 $8$、$7$，个位放 $6$、$5$。
第 3 步（让两数尽量接近并比较）：$85\times76=\underline{\quad}$，$86\times75=\underline{\quad}$。
第 4 步（取最大）：乘积最大是 $\underline{\quad}$。

第二套

题目：小明有写着 $1$、$2$、$3$、$4$ 的 $4$ 张数字卡片，把它们分别摆进“$\square\square\times\square\square$”里，要使乘积最大，应该怎么摆？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出题型）：用 $4$ 张卡片拼两个两位数相乘、积最大，大数字放十位。
第 2 步（定十位、个位）：十位放 $4$、$3$，个位放 $1$、$2$。
第 3 步（两数尽量接近并比较）：$41\times32=\underline{\quad}$，$42\times31=\underline{\quad}$。
第 4 步（取最大）：乘积最大是 $\underline{\quad}$。

第三套

题目：请将 $2$、$4$、$6$、$8$ 这 $4$ 个数分别填入“$\square\square\times\square\square$”，要使乘积最大，应该怎么填？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出题型）：拼两个两位数使乘积最大，大数字放十位。
第 2 步（定十位、个位）：十位放 $8$、$6$，个位放 $4$、$2$。
第 3 步（两数尽量接近并比较）：$82\times64=\underline{\quad}$，$84\times62=\underline{\quad}$。
第 4 步（取最大）：乘积最大是 $\underline{\quad}$。

第三套

题目：请将 $1$、$2$、$3$、$4$、$5$、$6$、$7$、$8$ 这 $8$ 个数分别填入“$\square\square\square\square\times\square\square\square\square$”，要使乘积最大，应该怎么填？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出题型）：拼两个四位数使乘积最大，先把大数字放到高位——千位放 $8$、$7$，百位放 $6$、$5$，十位放 $4$、$3$，个位放 $2$、$1$。
第 2 步（高位定后让两数尽量接近）：各位之和都定了，两个四位数越接近乘积越大。
第 3 步（比较最接近的两种填法）：$8531\times7642=\underline{\quad}$，$8532\times7641=\underline{\quad}$。
第 4 步（取最大）：乘积最大是 $\underline{\quad}$。

28. 【原题 ch23-xingqu-06】在图 $23\text{-}1$ 的中间 $\bigcirc$ 内填一个数，计算每一条线段两端的数之差（大减小），然后把这 $3$ 个差数相加。那么所得的和最小是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「作差求和最小」类问题（数阵/局部调整）：中间填一个数 $x$，与外围三个数 $3$、$7$、$10$ 各作差（大减小）再求和，本质是求 $x$ 到这三个数的“距离之和”最小。

关键切入点：关键是认识到：到一组数的距离之和在中位数处最小。三数 $3$、$7$、$10$ 的中位数是 $7$，故 $x$ 取 $7$。也可从 $x=0$ 起逐步增大：填 $1\sim3$ 时三个差都随之减小；填到 $7$ 时与 $7$ 的差变 $0$，另两个差之和恒为 $10-3=7$，取到最小。

方法概述：距离之和在中位数处最小，故取中间的数 $7$。

规范步骤：

填中位数 $7$，逐差求和：$(7-3)+(7-7)+(10-7)=4+0+3=7$（中位数最小）
验证邻近更大：$x=6:(6-3)+(7-6)+(10-6)=8$（局部调整）
取最小：$7$（取最值）

第一套

题目：在一条直线上标着 $4$、$9$、$14$ 三个数，要在中间再填一个数 $x$，算出 $x$ 与这三个数各自的差（大减小），再把 $3$ 个差相加。所得的和最小是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出题型）：中间填 $x$，到 $4$、$9$、$14$ 的距离之和最小，取三数的中位数。
第 2 步（找中位数）：$4$、$9$、$14$ 的中位数是 $9$，取 $x=9$。
第 3 步（求距离和）：$(9-4)+(9-9)+(14-9)=\underline{\quad}$。
第 4 步（验证邻近更大）：$x=8:(8-4)+(9-8)+(14-8)=\underline{\quad}$，$x=10:(10-4)+(10-9)+(14-10)=\underline{\quad}$。
第 5 步（取最小）：比较 $10$、$11$、$11$，和最小是 $10$。

第二套

题目：一条公路旁在里程 $3$、$7$、$10$ 千米处各有一个村庄。要在某个里程 $x$ 处建邮局，使邮局到三个村庄的距离之和最小，这个最小的距离之和是多少千米？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出题型）：邮局设在里程 $x$ 处，到三个村庄（里程 $3$、$7$、$10$）的距离之和最小，取中位数。
第 2 步（找中位数）：$3$、$7$、$10$ 的中位数是 $7$，取 $x=7$。
第 3 步（求距离和）：$(7-3)+(7-7)+(10-7)=\underline{\quad}$（千米）。
第 4 步（验证邻近更大）：$x=6:(6-3)+(7-6)+(10-6)=\underline{\quad}$，$x=8:(8-3)+(8-7)+(10-8)=\underline{\quad}$。
第 5 步（取最小）：和最小是 $7$ 千米。

第三套

题目：在一条直线上标着 $2$、$6$、$10$、$14$ 四个数，中间填一个数 $x$，算出 $x$ 与这四个数各自的差（大减小）再相加。这个和最小是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出题型）：中间填 $x$，到 $2$、$6$、$10$、$14$ 四个数距离之和最小。四个数时，$x$ 取在中间两个数 $6$ 与 $10$ 之间的任意整数都最小。
第 2 步（取 $x=8$ 求和）：$(8-2)+(8-6)+(10-8)+(14-8)=\underline{\quad}$。
第 3 步（验证区间外更大）：取 $x=5$：$(5-2)+(6-5)+(10-5)+(14-5)=\underline{\quad}$。
第 4 步（取最小）：$16<18$，最小的距离之和是 $16$。

第三套

题目：在一条直线上标着 $2$、$5$、$8$、$11$、$20$ 五个数，中间填一个数 $x$，算出 $x$ 与这五个数各自的差（大减小）再相加。这个和最小是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出题型）：中间填 $x$，到五个数 $2$、$5$、$8$、$11$、$20$ 距离之和最小，取正中间（第 $3$ 个）数 $8$。
第 2 步（取 $x=8$ 求和）：$(8-2)+(8-5)+(8-8)+(11-8)+(20-8)=\underline{\quad}$。
第 3 步（验证邻近更大）：$x=7=\underline{\quad}$，$x=9=\underline{\quad}$。
第 4 步（取最小）：比较 $24$、$25$、$25$，最小是 $24$。

29. 【原题 ch23-xingqu-07】在所有包含 $3$ 个相同数码的四位数中，与 $1389$ 之差（大减小）最小的一个是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「构造最接近某数的特殊数」类问题：在“恰有 $3$ 个数字相同”的四位数里，找与 $1389$ 差（大减小）最小的一个。方法是从高位到低位逐位确定，使数尽量贴近 $1389$，再比较少数几个候选之差。

关键切入点：关键在逐位定：首位取 $1$（更靠近 $1389$ 一侧）；百位取 $3$ 或 $4$。百位是 $3$ 时四位数只能是 $1311$ 或 $1333$，取更近的 $1333$，差 $56$；百位是 $4$ 时只能是 $1411$ 或 $1444$，取更近的 $1411$，差 $22$。比较 $56$ 与 $22$，最近的是 $1411$。

方法概述：从高位逐位贴近目标，比较各候选之差取最小。

规范步骤：

首位取 $1$，百位试 $3$：候选 $1333$：$1389-1333=56$（逐位确定）
百位试 $4$：候选 $1411$：$1411-1389=22$（逐位确定）
比较 $56$ 与 $22$ 取最小：最接近的是 $1411$（取最值）

第一套

题目：在所有恰有 $3$ 个相同数码的四位数中，与 $2617$ 之差（大减小）最小的一个是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出题型）：在“恰 $3$ 个数字相同”的四位数里找最接近 $2617$ 的，从高位逐位贴近。
第 2 步（定高位）：首位取 $2$，百位取 $6$，含三个 $2$ 的候选是 $2622$，另有 $2555$ 在另一侧。
第 3 步（算 $2622$ 一侧的差）：$2622-2617=\underline{\quad}$。
第 4 步（算 $2555$ 一侧的差）：$2617-2555=\underline{\quad}$。
第 5 步（比较取最小）：$5<62$，最接近的数是 $2622$。

第二套

题目：某储物柜的编号恰好有 $3$ 位数字相同。在所有这样的四位数编号中，与 $1389$ 最接近的编号是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出题型）：储物柜编号“恰 $3$ 位数字相同”，要找与 $1389$ 最接近的编号，逐位贴近。
第 2 步（分类）：首位 $1$，百位试 $3$ 得 $1333$（差 $56$），百位试 $4$ 得 $1411$。
第 3 步（算 $1411$ 的差）：$1411-1389=\underline{\quad}$。
第 4 步（比较）：$22<56$，最接近的编号是 $1411$。

第三套

题目：在所有恰有 $3$ 个相同数码的四位数中，与 $6274$ 之差（大减小）最小的一个是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出题型）：找“恰 $3$ 个数字相同”且最接近 $6274$ 的四位数，逐位贴近。
第 2 步（定高位）：首位 $6$，百位取 $2$，含三个 $6$ 的候选 $6266$；另一侧候选 $6333$。
第 3 步（算 $6266$ 的差）：$6274-6266=\underline{\quad}$。
第 4 步（算 $6333$ 的差）：$6333-6274=\underline{\quad}$。
第 5 步（取最小）：$8<59$，最接近的是 $6266$。

第三套

题目：在所有恰有 $4$ 个相同数码的五位数中，与 $13890$ 之差（大减小）最小的一个是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出题型升级）：在“恰 $4$ 个数字相同”的五位数里找最接近 $13890$ 的，仍从高位逐位贴近，但要保证有 $4$ 个数字相同。
第 2 步（定高位）：首位 $1$，要凑出 $4$ 个相同数字。往大一侧最近的是含四个 $1$ 的 $14111$，另一侧含四个 $1$ 的是 $13111$。
第 3 步（算 $14111$ 的差）：$14111-13890=\underline{\quad}$。
第 4 步（算 $13111$ 的差）：$13890-13111=\underline{\quad}$。
第 5 步（取最小）：$221<779$，最接近的是 $14111$。

30. 【原题 ch23-xingqu-08】把 $1\sim 6$ 这 $6$ 个数分别填入算式“$\square\square\square-\square\square\square$”的 $\square$ 中，要求前一个三位数比后一个三位数大。（1）这个减法算式的结果最大可能是多少？（2）最小可能是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「填数字使差最大 / 最小」类构造问题：$6$ 个数字填成两个三位数相减。求最大差让被减数尽大、减数尽小；求最小差让两数首位只相差 $1$，再让被减数低位尽小、减数低位尽大。

关键切入点：求最大：被减数取最大的 $654$，减数取最小的 $123$，差 $531$。求最小：若首位相差 $2$ 以上差就上千，所以首位只差 $1$（取 $4$ 与 $3$）；剩下 $1,2,5,6$ 让被减数低两位尽小（$12$）、减数低两位尽大（$65$），得 $412-365=47$。

方法概述：差最大：大减小；差最小：首位仅差 1，低位被减数尽小、减数尽大。

规范步骤：

求最大：被减数最大、减数最小：$654-123=531$（大减小）
求最小：首位取相邻的 $4$、$3$，低位 $12$ 与 $65$：$412-365=47$（首位仅差 1）
写出答案：最大 $531$，最小 $47$（取最值）

第一套

题目：把 $1$、$3$、$4$、$6$、$7$、$9$ 这 $6$ 个数分别填入“$\square\square\square-\square\square\square$”（前一个三位数较大）。（1）结果最大是多少？（2）最小是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（求最大差）：被减数取最大的 $976$，减数取最小的 $134$。
第 2 步（算最大差）：$976-134=\underline{\quad}$。
第 2 步（求最小差）：首位取相邻的 $4$、$3$（差 $1$）；剩下 $1,6,7,9$ 让被减数低位 $16$ 最小、减数低位 $97$ 最大。
第 3 步（算最小差）：$416-397=\underline{\quad}$。

第二套

题目：六张卡片写着 $1\sim6$，摆成“$\square\square\square-\square\square\square$”的减法（前一个三位数较大）。这个算式的结果最大、最小各是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（求最大差）：被减数取最大 $654$，减数取最小 $123$。
第 2 步（算最大差）：$654-123=\underline{\quad}$。
第 2 步（求最小差）：首位取相邻的 $4$、$3$，低位 $12$ 与 $65$。
第 3 步（算最小差）：$412-365=\underline{\quad}$。

第三套

题目：把 $2$、$4$、$5$、$6$、$8$、$9$ 这 $6$ 个数分别填入“$\square\square\square-\square\square\square$”（前一个三位数较大）。结果最大、最小各是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（求最大差）：被减数取最大 $986$，减数取最小 $245$。
第 2 步（算最大差）：$986-245=\underline{\quad}$。
第 2 步（求最小差）：首位取相邻的 $6$、$5$（差 $1$）；剩下 $2,4,8,9$ 让被减数低位 $24$ 最小、减数低位 $98$ 最大。
第 3 步（算最小差）：$624-598=\underline{\quad}$。

第三套

题目：把 $1$、$2$、$3$、$4$、$5$、$6$、$7$、$8$ 这 $8$ 个数分别填入“$\square\square\square\square-\square\square\square\square$”（前一个四位数较大），差最小是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（想清楚差最小的样子）：两个四位数相减求最小正差，首位只能相差 $1$；剩下的数字让被减数低位尽小、减数低位尽大。
第 2 步（定首位）：取相邻的 $5$、$4$ 作首位；剩下 $1,2,3,6,7,8$，被减数低三位取最小的 $123$，减数低三位取最大的 $876$。
第 3 步（算最小差）：$5123-4876=\underline{\quad}$。
第 4 步（说明最小）：逐一比较各首位相邻对，最小差就是 $247$。

31. 【原题 ch23-xingqu-09】一个自然数由数字 $8$、$9$ 组成，它的任意相邻两位都可以组成一个两位数，并且这些相邻数字组成的两位数都不相等。满足条件的自然数最大可能是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「抽屉原理 + 贪心构造最大数」类问题：数字只用 $8$、$9$，要求所有相邻两位数互不相等，先用抽屉原理限定位数，再从高位贪心取大。

关键切入点：关键在于：$8$、$9$ 只能拼出 $88$、$89$、$98$、$99$ 共 $4$ 个不同的两位数。若这个数超过 $5$ 位，就有至少 $5$ 个相邻两位数，由抽屉原理必有两个相同，矛盾。所以最多 $5$ 位；再从高位贪心：万位 $9$、千位 $9$、百位 $8$、十位 $8$、个位 $9$，得 $99889$。

方法概述：抽屉原理定位数上界，再从高位贪心取大。

规范步骤：

数出可用的两位数种类：$88,89,98,99$ 共 $4$ 种（抽屉原理）
定位数上界：$4+1=5$ 位（抽屉原理）
从高位贪心取大：$99889$（贪心构造）

第一套

题目：一个自然数由数字 $7$、$8$ 组成，任意相邻两位组成的两位数都不相等。满足条件的自然数最大可能是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（数两位数种类）：$7$、$8$ 能拼出的两位数有 $77$、$78$、$87$、$88$。
第 2 步（算种类数）：$2\times2=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步（定位数上界）：相邻两位数最多 $4$ 个，所以数最多 $4+1=\underline{\quad}$ 位。
第 4 步（高位贪心）：万位、千位都取 $8$，接着为避免 $88$ 重复取 $7$、$7$、$8$，得 $88778$。

第二套

题目：某密码由数字 $8$、$9$ 组成，任意相邻两位组成的两位数都互不相等。这样的密码最大可能是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（数两位数种类）：密码只用 $8$、$9$，相邻两位组成的两位数有 $88$、$89$、$98$、$99$。
第 2 步（算种类数）：$2\times2=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步（定位数上界）：最多 $4+1=\underline{\quad}$ 位。
第 4 步（高位贪心）：得最大密码 $99889$。

第三套

题目：一个自然数由数字 $8$、$9$ 组成，任意相邻两位组成的两位数都互不相等。这样的自然数最多是几位数？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（数两位数种类）：$8$、$9$ 能拼出的两位数有 $88$、$89$、$98$、$99$。
第 2 步（算种类数）：$2\times2=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步（抽屉原理定上界）：若位数超过种类数就必有相邻两位数重复，所以最多 $4+1=\underline{\quad}$ 位。
第 4 步（结论）：满足条件的自然数最多是 $5$ 位数。

第三套

题目：一个自然数由数字 $7$、$8$、$9$ 组成，任意相邻两位组成的两位数都互不相等。满足条件的自然数最大可能是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（数两位数种类）：$7$、$8$、$9$ 每两个数字（可相同）能拼出的两位数有 $3\times3$ 种。
第 2 步（算种类数）：$3\times3=\underline{\quad}$ 种。
第 3 步（抽屉原理定上界）：相邻两位数最多 $9$ 个，所以这个数最多 $9+1=\underline{\quad}$ 位。
第 4 步（高位贪心）：从最高位起尽量取大，用满 $9$ 种两位数，得 $10$ 位数 $9989788779$。

32. 【原题 ch23-xingqu-10】如果 $3$ 个互不相同的自然数之和为 $20$，那么其中最小的数最大可能是多少？最大的数最小可能是多少？

详细思路

是哪类问题：这是「和一定、让极值数最优」类问题：要让最小的数最大、最大的数最小，都要求三个数尽量接近平均数，同时满足互不相同。

关键切入点：$20\div3=6\cdots\cdots2$，三数应向平均数 $6$ 附近靠拢，且互不相同。求最小数最大：另两数要比它大、且互不相同，故尽量紧贴它往上取。若最小数取 $6$，另两数至少是 $7,8$，$6+7+8=21>20$ 超了；故最小数最多取 $5$，配上尽量小的 $7,8$ 恰好 $5+7+8=20$，最小数 $=5$。求最大数最小：另两数要比它小、且互不相同，故尽量紧贴它往下取。若最大数取 $7$，三数至多 $5+6+7=18<20$ 不够；故最大数至少取 $8$，$5+7+8=20$ 成立，最大数 $=8$。两问的最优解都落在 $5,7,8$ 上。

方法概述：和一定且互不相同时让三数尽量接近平均数，再从两端逐一收紧确定边界。

规范步骤：

求平均定基准：$20\div3=6\cdots\cdots2$，三数向 $6$ 附近取（尽量接近）
最小数最大：设最小数为 $6$ 则另两数至少 $7,8$：$6+7+8=21>20$，超和，故最小数取不到 $6$（上界收紧）
退一步取最小数 $=5$，配 $7,8$：$5+7+8=20$，成立，最小数 $=5$（极值最优）
最大数最小：设最大数为 $7$ 则三数至多 $5,6,7$：$5+6+7=18<20$，不足，故最大数取不到 $7$（下界收紧）
进一步取最大数 $=8$，仍是 $5,7,8$：$5+7+8=20$，成立，最大数 $=8$（极值最优）

第一套

题目：$3$ 个互不相同的自然数之和为 $26$，那么其中最小的数最大可能是多少？最大的数最小可能是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（求平均）：三数互不相同、和为 $26$，$26\div3\approx8.7$，让三数尽量接近。
第 2 步（最小数最大）：其它两数尽量贴着最小数往上取，试得 $7,8,11$，其和 $7+8+11=26$，最小数是 $7$。
第 3 步（验证和）：$7+8+11=\underline{\quad}$。
第 4 步（最大数最小）：其它两数尽量贴着最大数往下取，试得 $7,9,10$，最大数是 $10$。
第 5 步（验证和）：$7+9+10=\underline{\quad}$。

第二套

题目：三个班一共有 $20$ 名同学参加社团，各班人数互不相同。那么人数最少的班最多有几人？人数最多的班最少有几人？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（求平均）：三班人数互不相同、共 $20$ 人，$20\div3=6\cdots\cdots2$。
第 2 步（最少的班最多）：取尽量接近的 $5,7,8$，最少的班有 $5$ 人。
第 3 步（验证）：$5+7+8=\underline{\quad}$。
第 4 步（最多的班最少）：取 $5,7,8$，最多的班有 $8$ 人。

第三套

题目：$3$ 个互不相同的自然数之和为 $20$，那么其中最大的数与最小的数之差最小可能是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（认出题型）：三数互不相同、和为 $20$，要让最大数与最小数之差最小，也要让三数尽量接近。
第 2 步（找最接近的一组）：$20\div3\approx6.7$，取最接近的 $5,7,8$。
第 3 步（算差）：最大数 $8$ 减最小数 $5$，$8-5=\underline{\quad}$。
第 4 步（说明最小）：任何一组互不相同、和为 $20$ 的三数，最大与最小之差都不小于 $3$，故最小是 $3$。

第三套

题目：$4$ 个互不相同的自然数之和为 $26$，那么其中最小的数最大可能是多少？最大的数最小可能是多少？

引导填空（在横线上填关键结果）：

第 1 步（求平均）：四数互不相同、和为 $26$，$26\div4=6.5$，让四数尽量接近。
第 2 步（最小数最大）：其它三数尽量贴着最小数往上取，试得 $5,6,7,8$，其和 $=26$，最小数是 $5$。
第 3 步（验证和）：$5+6+7+8=\underline{\quad}$。
第 4 步（最大数最小）：其它三数尽量贴着最大数往下取，仍是 $5,6,7,8$，最大数是 $8$。

竞赛数学 · 四年级第23讲《最值问题一》举一反三练习卷

附录 · 答案

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